Logaritmų dalyba su tais pačiais pagrindais. Logaritmai: pavyzdžiai ir sprendimai

• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Mes ir toliau studijuojame logaritmus. Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie logaritmų skaičiavimas, šis procesas vadinamas logaritmas. Pirmiausia suprasime logaritmų skaičiavimą pagal apibrėžimą. Toliau pažiūrėkime, kaip logaritmų reikšmės randamos naudojant jų savybes. Po to mes sutelksime dėmesį į logaritmų skaičiavimą pagal iš pradžių nurodytas kitų logaritmų reikšmes. Galiausiai, išmokime naudoti logaritmų lenteles. Visa teorija pateikiama su pavyzdžiais su išsamiais sprendimais.

Puslapio naršymas.

Logaritmų skaičiavimas pagal apibrėžimą

Paprasčiausiais atvejais galima atlikti gana greitai ir lengvai logaritmo radimas pagal apibrėžimą. Pažiūrėkime atidžiau, kaip vyksta šis procesas.

Jo esmė yra pavaizduoti skaičių b forma a c, iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą skaičius c yra logaritmo reikšmė. Tai yra, pagal apibrėžimą, logaritmo radimą atitinka tokia lygybių grandinė: log a b=log a a c =c.

Taigi, apskaičiuojant logaritmą pagal apibrėžimą, reikia rasti tokį skaičių c, kad a c = b, o pats skaičius c yra norima logaritmo reikšmė.

Atsižvelgiant į ankstesnėse pastraipose pateiktą informaciją, kai skaičius po logaritmo ženklu pateikiamas tam tikra logaritmo bazės galia, galite iš karto nurodyti, kam logaritmas yra lygus - jis lygus eksponentui. Parodykime pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Raskite log 2 2 −3, taip pat apskaičiuokite skaičiaus e 5,3 natūralųjį logaritmą.

Sprendimas.

Logaritmo apibrėžimas leidžia iš karto pasakyti, kad log 2 2 −3 =−3. Iš tiesų, skaičius po logaritmo ženklu yra lygus bazei 2 iki –3 laipsnio.

Panašiai randame ir antrą logaritmą: lne 5.3 =5.3.

Atsakymas:

log 2 2 −3 =−3 ir lne 5,3 =5,3.

Jei skaičius b po logaritmo ženklu nenurodytas kaip logaritmo pagrindo laipsnis, tuomet reikia atidžiai pažiūrėti, ar įmanoma sugalvoti skaičiaus b atvaizdavimą a c forma. Dažnai šis vaizdavimas yra gana akivaizdus, ​​ypač kai skaičius po logaritmo ženklu yra lygus bazei 1, 2, 3, ...

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmus log 5 25 , ir .

Sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad 25=5 2, tai leidžia apskaičiuoti pirmąjį logaritmą: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pereikime prie antrojo logaritmo skaičiavimo. Skaičius gali būti pavaizduotas kaip 7 laipsnis: (jei reikia, žiūrėkite). Vadinasi, .

Trečiąjį logaritmą perrašykime tokia forma. Dabar jūs galite tai pamatyti , iš ko darome išvadą . Todėl pagal logaritmo apibrėžimą .

Trumpai sprendimą būtų galima parašyti taip: .

Atsakymas:

log 5 25=2 , ir .

Kai po logaritmo ženklu yra pakankamai didelis natūralusis skaičius, nepakenks jį įtraukti į pirminius veiksnius. Dažnai padeda tokį skaičių pavaizduoti kaip tam tikrą logaritmo pagrindo laipsnį ir todėl apskaičiuoti šį logaritmą pagal apibrėžimą.

Pavyzdys.

Raskite logaritmo reikšmę.

Sprendimas.

Kai kurios logaritmų savybės leidžia iš karto nurodyti logaritmų reikšmę. Šios savybės apima vieneto logaritmo savybę ir skaičiaus, lygaus bazei, logaritmo savybę: log 1 1=log a a 0 =0 ir log a a=log a a 1 =1. Tai yra, kai po logaritmo ženklu yra skaičius 1 arba skaičius a, lygus logaritmo pagrindui, tada šiais atvejais logaritmai yra atitinkamai lygūs 0 ir 1.

Pavyzdys.

Kam lygūs logaritmai ir log10?

Sprendimas.

Kadangi , tada iš logaritmo apibrėžimo išplaukia .

Antrame pavyzdyje skaičius 10 po logaritmo ženklu sutampa su jo pagrindu, todėl dešimtainis dešimtainis logaritmas yra lygus vienetui, tai yra lg10=lg10 1 =1.

Atsakymas:

IR lg10=1 .

Atkreipkite dėmesį, kad logaritmų apskaičiavimas pagal apibrėžimą (kurį aptarėme ankstesnėje pastraipoje) reiškia, kad reikia naudoti lygybę log a a p =p, kuri yra viena iš logaritmų savybių.

Praktikoje, kai skaičius po logaritmo ženklu ir logaritmo pagrindas lengvai vaizduojami kaip tam tikro skaičiaus laipsnis, labai patogu naudoti formulę , kuris atitinka vieną iš logaritmų savybių. Panagrinėkime logaritmo radimo pavyzdį, iliustruojantį šios formulės naudojimą.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmą.

Sprendimas.

Atsakymas:

.

Skaičiavimams naudojamos ir aukščiau nepaminėtos logaritmų savybės, tačiau apie tai kalbėsime tolesnėse pastraipose.

Logaritmų paieška naudojant kitus žinomus logaritmus

Šioje pastraipoje pateikta informacija tęsia logaritmų savybių naudojimo juos skaičiuojant temą. Tačiau čia pagrindinis skirtumas yra tas, kad logaritmų savybės naudojamos pirminiam logaritmui išreikšti kitu logaritmu, kurio reikšmė yra žinoma. Pateiksime aiškumo pavyzdį. Tarkime, žinome, kad log 2 3≈1,584963, tada galime rasti, pavyzdžiui, log 2 6, atlikdami nedidelę transformaciją naudodami logaritmo savybes: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Aukščiau pateiktame pavyzdyje mums pakako panaudoti sandaugos logaritmo savybę. Tačiau daug dažniau reikia naudoti platesnį logaritmų savybių arsenalą, norint apskaičiuoti pirminį logaritmą per duotus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmą nuo 27 iki 60, jei žinote, kad log 60 2=a ir log 60 5=b.

Sprendimas.

Taigi turime rasti žurnalą 60 27 . Nesunku pastebėti, kad 27 = 3 3, o pradinis logaritmas dėl laipsnio logaritmo savybės gali būti perrašytas į 3·log 60 3.

Dabar pažiūrėkime, kaip išreikšti log 60 3 žinomais logaritmais. Skaičiaus, lygaus bazei, logaritmo savybė leidžia parašyti lygybės log 60 60=1. Kita vertus, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Taigi, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Vadinasi, log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.

Galiausiai apskaičiuojame pradinį logaritmą: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Atsakymas:

log 60 27=3·(1–2·a–b)=3–6·a–3·b.

Atskirai verta paminėti perėjimo prie naujos formos logaritmo bazės formulės reikšmę. Tai leidžia pereiti nuo logaritmų su bet kuria baze prie logaritmų su konkrečia baze, kurių reikšmės yra žinomos arba jas galima rasti. Paprastai iš pradinio logaritmo, naudojant perėjimo formulę, jie pereina prie logaritmų vienoje iš 2, e arba 10 bazių, nes šioms bazėms yra logaritmų lentelės, leidžiančios apskaičiuoti jų reikšmes tam tikru laipsniu. tikslumu. Kitoje pastraipoje parodysime, kaip tai daroma.

Logaritmų lentelės ir jų panaudojimas

Apytiksliai logaritmų reikšmių skaičiavimas gali būti naudojamas logaritmų lentelės. Dažniausiai naudojama 2 bazinių logaritmų lentelė, natūraliųjų logaritmų lentelė ir dešimtainių logaritmų lentelė. Dirbant dešimtainių skaičių sistemoje patogu naudoti logaritmų lentelę, pagrįstą dešimtuku. Su jo pagalba išmoksime rasti logaritmų reikšmes.

Pateiktoje lentelėje galite rasti skaičių dešimtainių logaritmų reikšmes nuo 1 000 iki 9 999 (su trimis skaitmenimis po kablelio) dešimties tūkstantųjų tikslumu. Išanalizuosime logaritmo vertės nustatymo principą naudodami dešimtainių logaritmų lentelę naudodami konkretų pavyzdį - taip aiškiau. Raskime log1.256.

Dešimtainių logaritmų lentelės kairiajame stulpelyje randame pirmuosius du skaičiaus 1,256 skaitmenis, tai yra, randame 1,2 (šis skaičius aiškumo dėlei apvestas mėlynai). Trečiasis skaičiaus 1,256 skaitmuo (5 skaitmuo) yra pirmoje arba paskutinėje eilutėje, esančioje kairėje nuo dvigubos eilutės (šis skaičius apibrėžiamas raudonai). Ketvirtasis pradinio skaičiaus 1,256 skaitmuo (6 skaitmuo) randamas pirmoje arba paskutinėje eilutėje, esančioje dešinėje dvigubos eilutės pusėje (šis skaičius apibrauktas žalia linija). Dabar skaičius randame logaritmų lentelės langeliuose pažymėtos eilutės ir pažymėtų stulpelių sankirtoje (šie skaičiai paryškinti oranžine spalva). Pažymėtų skaičių suma suteikia norimą dešimtainio logaritmo reikšmę ketvirtos skaitmens po kablelio tikslumu, tai yra, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ar galima naudojant aukščiau pateiktą lentelę rasti skaičių, turinčių daugiau nei tris skaitmenis po kablelio, dešimtainių logaritmų reikšmes, taip pat tų, kurios viršija diapazoną nuo 1 iki 9,999? Taip, galite. Parodykime, kaip tai daroma su pavyzdžiu.

Apskaičiuokime lg102.76332. Pirmiausia reikia užsirašyti numeris standartine forma: 102.76332=1.0276332·10 2. Po to mantisa turėtų būti suapvalinta iki trečio skaičiaus po kablelio 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, o pradinis dešimtainis logaritmas yra maždaug lygus gauto skaičiaus logaritmui, tai yra, imame log102.76332≈lg1.028·10 2. Dabar taikome logaritmo savybes: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028 + 2. Galiausiai iš dešimtainių logaritmų lentelės randame logaritmo reikšmę lg1,028 lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Dėl to visas logaritmo skaičiavimo procesas atrodo taip: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Apibendrinant verta paminėti, kad naudodamiesi dešimtainių logaritmų lentele galite apskaičiuoti apytikslę bet kurio logaritmo vertę. Norėdami tai padaryti, pakanka naudoti perėjimo formulę, kad pereitumėte prie dešimtainių logaritmų, suraskite jų reikšmes lentelėje ir atlikite likusius skaičiavimus.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime log 2 3 . Pagal perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulę turime . Iš dešimtainių logaritmų lentelės randame log3≈0,4771 ir log2≈0,3010. Taigi, .

Nuorodos.

• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Logaritmo priimtinų verčių (APV) diapazonas

Dabar pakalbėkime apie apribojimus (ODZ - leistinų kintamųjų verčių diapazonas).

Prisimename, kad, pavyzdžiui, kvadratinės šaknies negalima paimti iš neigiamų skaičių; arba jei turime trupmeną, tai vardiklis negali būti lygus nuliui. Logaritmai turi panašius apribojimus:

Tai yra, ir argumentas, ir bazė turi būti didesni už nulį, bet bazė dar negali būti lygi.

Kodėl taip yra?

Pradėkime nuo paprasto dalyko: sakykime taip. Tada, pavyzdžiui, skaičius neegzistuoja, nes nesvarbu, iki kokios galios mes padidinsime, jis visada pasirodo. Be to, jis niekam neegzistuoja. Bet tuo pat metu jis gali būti lygus bet kam (dėl tos pačios priežasties – lygus bet kokiam laipsniui). Todėl objektas nedomina, o jis buvo tiesiog išmestas iš matematikos.

Šiuo atveju turime panašią problemą: ji yra bet kokiai teigiamai galiai, bet ji išvis negali būti pakelta į neigiamą galią, nes tai lems padalijimą iš nulio (priminsiu).

Kai susiduriame su pakėlimo iki trupmeninės galios problema (kuri vaizduojama kaip šaknis: . Pavyzdžiui, (tai yra), bet jos neegzistuoja.

Todėl neigiamas priežastis lengviau išmesti, nei su jomis susitvarkyti.

Na, kadangi mūsų bazė a gali būti tik teigiama, tai kad ir kokia galia ją pakeltume, visada gausime griežtai teigiamą skaičių. Taigi argumentas turi būti teigiamas. Pavyzdžiui, jo nėra, nes jis jokiu laipsniu nebus neigiamas skaičius (ar net nulis, todėl jo taip pat nėra).

Kilus problemoms su logaritmais, pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra užsirašyti ODZ. Pateiksiu pavyzdį:

Išspręskime lygtį.

Prisiminkime apibrėžimą: logaritmas yra galia, iki kurios reikia pakelti bazę, kad gautume argumentą. O pagal sąlygą šis laipsnis lygus: .

Gauname įprastą kvadratinę lygtį: . Išspręskime tai naudodami Vietos teoremą: šaknų suma lygi, o sandauga. Lengva pasiimti, tai yra skaičiai ir.

Bet jei iškart imsite ir atsakyme įrašysite abu šiuos skaičius, už problemą galite gauti 0 balų. Kodėl? Pagalvokime, kas atsitiks, jei šias šaknis pakeisime į pradinę lygtį?

Tai aiškiai neteisinga, nes bazė negali būti neigiama, tai yra, šaknis yra „trečioji šalis“.

Norėdami išvengti tokių nemalonių spąstų, turite užsirašyti ODZ dar prieš pradedant spręsti lygtį:

Tada, gavę šaknis ir, iš karto išmetame šaknį ir parašome teisingą atsakymą.

1 pavyzdys(pabandykite tai išspręsti patys) :

Raskite lygties šaknį. Jei šaknys yra kelios, atsakyme nurodykite mažiausią iš jų.

Sprendimas:

Pirmiausia parašykime ODZ:

Dabar prisiminkime, kas yra logaritmas: kokia galia reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą? Į antrą. Tai yra:

Atrodytų, kad mažesnė šaknis yra lygi. Bet taip nėra: pagal ODZ šaknis yra pašalinė, tai yra, ji visai nėra šios lygties šaknis. Taigi lygtis turi tik vieną šaknį: .

Atsakymas: .

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Prisiminkime logaritmo apibrėžimą bendra forma:

Pakeiskime logaritmą antrąja lygybe:

Ši lygybė vadinama pagrindinė logaritminė tapatybė. Nors iš esmės tai yra lygybė – tiesiog parašyta kitaip logaritmo apibrėžimas:

Tai galia, kurią turite pakelti, kad gautumėte.

Pavyzdžiui:

Išspręskite šiuos pavyzdžius:

2 pavyzdys.

Raskite posakio prasmę.

Sprendimas:

Prisiminkime taisyklę iš skyriaus:, tai yra, kai laipsnį pakeliame į laipsnį, laipsniai dauginami. Taikome:

3 pavyzdys.

Įrodyk tai.

Sprendimas:

Logaritmų savybės

Deja, užduotys ne visada tokios paprastos – dažnai pirmiausia reikia supaprastinti išraišką, suvesti ją į įprastą formą ir tik tada bus galima apskaičiuoti reikšmę. Tai padaryti lengviausia, jei žinote logaritmų savybės. Taigi išmokime pagrindines logaritmų savybes. Įrodysiu kiekvieną iš jų, nes bet kurią taisyklę lengviau atsiminti, jei žinai, iš kur ji kilusi.

Be jų reikia atsiminti visas šias savybes, dauguma logaritmų problemų negali būti išspręstos.

O dabar apie visas logaritmų savybes plačiau.

1 nuosavybė:

Įrodymas:

Tebūnie tada.

Turime: ir kt.

2 savybė: logaritmų suma

Logaritmų su tomis pačiomis bazėmis suma yra lygi sandaugos logaritmui: .

Įrodymas:

Tebūnie tada. Tebūnie tada.

Pavyzdys: Raskite posakio reikšmę: .

Sprendimas:.

Ką tik išmokta formulė padeda supaprastinti logaritmų sumą, o ne skirtumą, todėl šių logaritmų negalima iš karto sujungti. Bet jūs galite padaryti priešingai - „padalykite“ pirmąjį logaritmą į dvi dalis: Ir čia yra pažadėtas supaprastinimas:
.
Kodėl tai būtina? Na, pavyzdžiui: kam tai lygu?

Dabar tai aišku.

Dabar supaprastink pats:

Užduotys:

Atsakymai:

3 savybė: logaritmų skirtumas:

Įrodymas:

Viskas lygiai taip pat, kaip 2 punkte:

Tebūnie tada.

Tegul tada būna. Turime:

Pavyzdys iš ankstesnės pastraipos dabar tampa dar paprastesnis:

Sudėtingesnis pavyzdys: . Ar galite patys sugalvoti, kaip tai išspręsti?

Čia reikia pažymėti, kad mes neturime vienos formulės apie logaritmus kvadratu. Tai kažkas panašaus į posakį – jo negalima iš karto supaprastinti.

Todėl pailsėkime nuo formulių apie logaritmus ir pagalvokime, kokias formules dažniausiai naudojame matematikoje? Nuo 7 klasės!

Tai -. Reikia priprasti prie to, kad jų yra visur! Jie atsiranda eksponentinėse, trigonometrinėse ir neracionaliose problemose. Todėl juos reikia atsiminti.

Jei atidžiai pažvelgsite į pirmuosius du terminus, paaiškės, kad tai kvadratų skirtumas:

Atsakymas patikrinti:

Supaprastinkite patys.

Pavyzdžiai

Atsakymai.

4 ypatybė: eksponento pašalinimas iš logaritmo argumento:

Įrodymas: Ir čia taip pat naudojame logaritmo apibrėžimą: tegul, tada. Turime: ir kt.

Šią taisyklę galima suprasti taip:

Tai reiškia, kad argumento laipsnis perkeliamas prieš logaritmą kaip koeficientą.

Pavyzdys: Raskite posakio prasmę.

Sprendimas: .

Spręskite patys:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

5 savybė: eksponento paėmimas iš logaritmo pagrindo:

Įrodymas: Tebūnie tada.

Turime: ir kt.
Prisiminkite: nuo pagrindu laipsnis išreiškiamas kaip priešingai numeris, skirtingai nei ankstesniu atveju!

6 ypatybė: eksponento pašalinimas iš logaritmo bazės ir argumento:

Arba jei laipsniai vienodi: .

7 nuosavybė: perėjimas prie naujos bazės:

Įrodymas: Tebūnie tada.

Turime: ir kt.

8 savybė: sukeiskite logaritmo bazę ir argumentą:

Įrodymas: Tai ypatingas 7 formulės atvejis: jei pakeičiame, gauname: , ir t.t.

Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.

4 pavyzdys.

Raskite posakio prasmę.

Naudojame logaritmų savybę Nr. 2 - logaritmų su ta pačia baze suma lygi sandaugos logaritmui:

5 pavyzdys.

Raskite posakio prasmę.

Sprendimas:

Mes naudojame logaritmų Nr. 3 ir Nr. 4 savybę:

6 pavyzdys.

Raskite posakio prasmę.

Sprendimas:

Naudokime savybę Nr. 7 – pereikime prie 2 bazės:

7 pavyzdys.

Raskite posakio prasmę.

Sprendimas:

Kaip jums patinka straipsnis?

Jei skaitote šias eilutes, vadinasi, perskaitėte visą straipsnį.

Ir tai puiku!

Dabar pasakykite mums, kaip jums patinka straipsnis?

Ar išmokote spręsti logaritmus? Jei ne, kokia problema?

Parašykite mums toliau pateiktuose komentaruose.

Ir taip, sėkmės egzaminuose.

Apie vieningą valstybinį egzaminą ir vieningą valstybinį egzaminą ir apskritai gyvenime

pagrindinės savybės.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identiškais pagrindais

Log6 4 + log6 9.

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį.

Logaritmų sprendimo pavyzdžiai

Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Perėjimas prie naujo pagrindo

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Taip pat žiūrėkite:

Pagrindinės logaritmo savybės

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus.

Pagrindinės logaritmų savybės

Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Logaritmų pavyzdžiai

Logaritminės išraiškos

1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame

2.

3.

2 pavyzdys. Raskite x jei

3 pavyzdys. Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu.

Logaritminės formulės. Logaritmų sprendimų pavyzdžiai.

Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas ir buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kaip jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar „atsukkime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia keičiant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemose ir, stebėtinai, kelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. logaa = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
2. loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Taip pat žiūrėkite:

B logaritmas iki a pagrindo reiškia išraišką. Apskaičiuoti logaritmą reiškia rasti laipsnį x (), kai lygybė tenkinama

Pagrindinės logaritmo savybės

Būtina žinoti aukščiau pateiktas savybes, nes jų pagrindu išsprendžiamos beveik visos su logaritmais susijusios problemos ir pavyzdžiai. Likusias egzotines savybes galima gauti atliekant matematines manipuliacijas su šiomis formulėmis

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Skaičiuodami logaritmų sumos ir skirtumo formulę (3.4) susiduri gana dažnai. Likusieji yra šiek tiek sudėtingi, tačiau atliekant daugybę užduočių jie yra būtini norint supaprastinti sudėtingas išraiškas ir apskaičiuoti jų reikšmes.

Dažni logaritmų atvejai

Kai kurie iš labiausiai paplitusių logaritmų yra tie, kurių bazė yra lygi dešimčiai, eksponentinė arba dvi.
Logaritmas iki dešimties pagrindo paprastai vadinamas dešimtainiu logaritmu ir tiesiog žymimas lg(x).

Iš įrašo aišku, kad pagrindai įraše neparašyti. Pavyzdžiui

Natūralusis logaritmas yra logaritmas, kurio bazė yra eksponentas (žymimas ln(x)).

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus. Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Ir dar vienas svarbus logaritmas dviem pagrindams žymimas

Funkcijos logaritmo išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kintamojo

Integralinis arba antiderivinis logaritmas nustatomas pagal ryšį

Pateiktos medžiagos pakanka, kad išspręstumėte plačią su logaritmais ir logaritmais susijusių problemų klasę. Kad padėčiau suprasti medžiagą, pateiksiu tik keletą bendrų pavyzdžių iš mokyklos programos ir universitetų.

Logaritmų pavyzdžiai

Logaritminės išraiškos

1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame

2.
Pagal logaritmų skirtumo savybę turime

3.
Naudodami savybes 3.5 randame

Iš pažiūros sudėtinga išraiška supaprastinama, kad būtų suformuota naudojant daugybę taisyklių

Logaritmo reikšmių paieška

2 pavyzdys. Raskite x jei

Sprendimas. Skaičiavimui taikome paskutinio termino 5 ir 13 savybių

Įrašome tai ir gedime

Kadangi bazės yra lygios, išraiškas sulyginame

Logaritmai. Pradinis lygis.

Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Sprendimas: Paimkime kintamojo logaritmą, kad parašytume logaritmą per jo terminų sumą

Tai tik mūsų pažinties su logaritmais ir jų savybėmis pradžia. Praktikuokite skaičiavimus, praturtinkite savo praktinius įgūdžius – greitai jums prireiks įgytų žinių sprendžiant logaritmines lygtis. Išstudijavę pagrindinius tokių lygčių sprendimo būdus, jūsų žinias išplėsime į kitą ne mažiau svarbią temą - logaritmines nelygybes...

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log6 4 + log6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas ir buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kaip jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar „atsukkime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia keičiant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemose ir, stebėtinai, kelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. logaa = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
2. loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b *a c = a b+c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą paprastu sudėjimu. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.

Apibrėžimas matematikoje

Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) „b“ logaritmas iki jo bazės „a“ laikomas laipsniu „c“. “, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai gautume reikšmę „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokią galią, kad nuo 2 iki reikiamos galios gautumėte 8. Galvoje atlikę keletą skaičiavimų, gauname skaičių 3! Ir tai tiesa, nes 2 iki 3 laipsnio suteikia atsakymą kaip 8.

Logaritmų tipai

Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą prasmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys atskiri logaritminių išraiškų tipai:

1. Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
2. Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
3. Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.

Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį redukavimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norėdami gauti teisingas logaritmų reikšmes, spręsdami turėtumėte atsiminti jų savybes ir veiksmų seką.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra keletas taisyklių-apribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra tiesa. Pavyzdžiui, neįmanoma skaičių padalyti iš nulio, taip pat neįmanoma išgauti neigiamų skaičių lyginės šaknies. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kurių laikydamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:

• Bazė „a“ visada turi būti didesnė už nulį, o ne lygi 1, kitaip išraiška praras savo prasmę, nes „1“ ir „0“ bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
• jei a > 0, tai a b >0, pasirodo, kad „c“ taip pat turi būti didesnis už nulį.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, pateikiama užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x = 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti laipsnį, padidinant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 = 100.

Dabar pavaizduokime šią išraišką logaritmine forma. Gauname logaritmą 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad rastų laipsnį, į kurį reikia įvesti logaritmo bazę, norint gauti duotą skaičių.

Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:

Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį protą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau didesnėms vertėms jums reikės maitinimo stalo. Ją gali naudoti net tie, kurie nieko nežino apie sudėtingas matematines temas. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinė skaičių eilutė yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Sankryžoje langeliuose yra skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!

Lygtys ir nelygybės

Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti užrašytos kaip logaritminė lygybė. Pavyzdžiui, 3 4 =81 gali būti parašytas kaip 81 bazinis 3 logaritmas, lygus keturiems (log 3 81 = 4). Neigiamų galių taisyklės yra vienodos: 2 -5 = 1/32 rašome kaip logaritmą, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena įdomiausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Žemiau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius ir sprendimus, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.

Pateikiama tokia išraiška: log 2 (x-1) > 3 - tai logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė „x“ yra po logaritminiu ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas su baziniu du yra didesnis nei skaičius trys.

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) reiškia vieną ar daugiau konkrečių skaitinių reikšmių atsakyme, o sprendžiant nelygybę, tiek priimtinų intervalų. reikšmės ir taškai nustatomi pažeidžiant šią funkciją. Todėl atsakymas yra ne paprastas atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių seka arba rinkinys.

Pagrindinės teoremos apie logaritmus

Sprendžiant primityvias logaritmo reikšmių paieškos užduotis, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Vėliau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius, pirmiausia pažvelkime į kiekvieną ypatybę išsamiau.

1. Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tada, kai a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
2. Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju privaloma sąlyga yra: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritminės formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ypatybės laipsniai ), o tada pagal apibrėžimą: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ką reikėjo įrodyti.
3. Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.

Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi natūraliais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.

Tegu log a b = t, pasirodo a t =b. Jei abi dalis pakelsime laipsniu m: a tn = b n ;

bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n, todėl log a q b n = (n*t)/t, tada log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.

Problemų ir nelygybių pavyzdžiai

Dažniausiai pasitaikančios logaritmų problemos yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra privaloma matematikos egzaminų dalis. Norėdami įstoti į universitetą ar išlaikyti stojamuosius matematikos egzaminus, turite žinoti, kaip teisingai išspręsti tokias užduotis.

Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Pirmiausia turėtumėte išsiaiškinti, ar išraišką galima supaprastinti arba sumažinti iki bendros formos. Galite supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas, jei teisingai naudojate jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.

Spręsdami logaritmines lygtis turime nustatyti, kokio tipo logaritmą turime: pavyzdinėje išraiškoje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.

Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad jiems reikia nustatyti galią, kuriai bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Norėdami išspręsti natūralius logaritmus, turite taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.

Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.

1. Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia išskaidyti didelę skaičiaus b reikšmę į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo galios savybę, mums pavyko išspręsti iš pažiūros sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Jums tereikia apskaičiuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.

Vieningo valstybinio egzamino užduotys

Logaritmai dažnai aptinkami stojamuosiuose egzaminuose, ypač daug logaritminių uždavinių – vieningame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia egzamino dalis), bet ir C dalyje (sudėtingiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reikalauja tikslių ir nepriekaištingų temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymo.

Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialių vieningo valstybinio egzamino versijų. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.

Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2, pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4, todėl 2x = 17; x = 8,5.

• Geriausia visus logaritmus sumažinti iki vienodo pagrindo, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
• Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl, kai po logaritmo ženklu esančios išraiškos ir jo bazės eksponentas išimamas kaip daugiklis, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.