Euklidas arba Euklidas(senovės graikai Εὐκλείδης , nuo „geros šlovės“, klestėjimo laikas – apie 300 m. BC) - senovės graikų matematikas, pirmojo teorinio matematikos traktato, atėjusio pas mus, autorius. Biografinės informacijos apie Euklidą yra labai mažai. Vienintelis dalykas, kurį galima laikyti patikimu, yra tai, kad jo mokslinė veikla vyko Aleksandrijoje III amžiuje. pr. Kr e.

Enciklopedinis „YouTube“.

• 1 / 5

  Patikimiausia informacija apie Euklido gyvenimą laikoma ta, kuri pateikiama Proklo komentaruose prie pirmosios knygos. Prasidėjo Euklidas. Pažymėdamas, kad „tie, kurie rašė apie matematikos istoriją“ šio mokslo raidos neatnešė į Euklido laikus, Proklas nurodo, kad Euklidas buvo vyresnis už Platono ratą, bet jaunesnis už Archimedą ir Eratosteną ir „gyveno 2010 m. Ptolemėjus I Soteris“, „nes Archimedas, gyvenęs Ptolemėjo Pirmojo laikais, mini Euklidą ir ypač sako, kad Ptolemėjas jo paklausė, ar yra trumpesnis būdas studijuoti geometriją nei Pradžios; ir jis atsakė, kad nėra karališko kelio į geometriją“.

  Papildomų Euklido portreto palietimų galima gauti iš Pappus ir Stobaeus. Pappusas praneša, kad Euklidas buvo švelnus ir malonus visiems, kurie nors kiek galėjo prisidėti prie matematinių mokslų plėtros, o Stobaeusas pasakoja apie kitą anekdotą apie Euklidą. Pradėjęs studijuoti geometriją ir išanalizavęs pirmąją teoremą, vienas jaunuolis paklausė Euklido: „Kokia man nauda iš šio mokslo? Euklidas paskambino vergui ir pasakė: „Duok jam tris obolus, nes jis nori pasipelnyti iš studijų“. Istorijos istoriškumas abejotinas, nes panašiai pasakojama apie Platoną.

  Kai kurie šiuolaikiniai autoriai Proklo teiginį – Euklidas gyveno Ptolemėjaus I Soterio laikais – aiškina ta prasme, kad Euklidas gyveno Ptolemėjo dvare ir buvo Aleksandrijos muziejaus įkūrėjas. Tačiau reikia pažymėti, kad ši idėja Europoje įsitvirtino XVII amžiuje, o viduramžių autoriai Euklidą tapatino su Sokrato mokiniu, filosofu Euklidu iš Megaros.

  Arabų autoriai tikėjo, kad Euklidas gyveno Damaske ir ten publikavo “ Pradžios» Apolonija. Anoniminis XII amžiaus arabiškas rankraštis praneša:

  Euklidas, Nakrato sūnus, žinomas kaip „Geometra“, senųjų laikų mokslininkas, kilęs iš graikų, iš Sirijos, kilęs iš Tyro...

  Apskritai duomenų apie Euklidą yra tiek mažai, kad yra versija (nors ir nelabai paplitusi), kad kalbame apie kolektyvinį Aleksandrijos mokslininkų grupės pseudonimą.

  « Pradžios» Euklidas

  Pagrindinis Euklido darbas vadinamas Pradžios. Knygas tuo pačiu pavadinimu, kuriose nuosekliai išdėstyti visi pagrindiniai geometrijos ir teorinės aritmetikos faktai, anksčiau parengė Hipokratas iš Chijo, Leontas ir Feudijus. Tačiau Pradžios Euklidas išstūmė visus šiuos kūrinius iš naudojimo ir išliko pagrindiniu geometrijos vadovėliu daugiau nei du tūkstantmečius. Kurdamas savo vadovėlį, Euklidas įtraukė į jį daug to, ką sukūrė jo pirmtakai, apdorodamas šią medžiagą ir sujungdamas.

  Pradžios susideda iš trylikos knygų. Prieš pirmąją ir kai kurias kitas knygas pateikiamas apibrėžimų sąrašas. Prieš pirmąją knygą taip pat pateikiamas postulatų ir aksiomų sąrašas. Paprastai postulatai apibrėžia pagrindines konstrukcijas (pavyzdžiui, „reikalaujama, kad per bet kuriuos du taškus būtų galima nubrėžti tiesią liniją“), o aksiomos - bendrosios išvados taisyklės dirbant su dydžiais (pavyzdžiui, „jei du dydžiai lygūs trečdaliui, jie yra lygūs tarp jūsų“).

  I knygoje nagrinėjamos trikampių ir lygiagretainių savybės; Šią knygą vainikuoja garsioji Pitagoro teorema stačiakampiams trikampiams. Antroji knyga, grįžtanti prie pitagoriečių, yra skirta vadinamajai „geometrinei algebrai“. III ir IV knygose aprašoma apskritimų geometrija, taip pat įbrėžti ir apibrėžti daugiakampiai; dirbdamas prie šių knygų Euklidas galėjo pasinaudoti Hipokrato Chijo raštais. V knygoje supažindinama su Eudokso Knido sukurta bendra proporcijų teorija, o VI knygoje ji taikoma panašių figūrų teorijai. VII-IX knygos yra skirtos skaičių teorijai ir grįžta prie pitagoriečių; VIII knygos autorius galėjo būti Archytas iš Tarentumo. Šiose knygose aptariamos proporcijų ir geometrinės progresijos teoremos, pristatomas dviejų skaičių didžiausio bendro daliklio radimo metodas (dabar žinomas kaip Euklido algoritmas), sudaromi net tobuli skaičiai ir įrodoma pirminių skaičių aibės begalybė. X knygoje, kuri yra pati didžiausia ir sudėtingiausia dalis Prasidėjo, sukonstruota iracionalumų klasifikacija; gali būti, kad jos autorius yra Atėnų Theatetus. XI knygoje pateikiami stereometrijos pagrindai. XII knygoje išsekimo metodu įrodinėjamos teoremos apie apskritimų plotų santykius, taip pat piramidžių ir kūgių tūrius; Paprastai pripažįstama, kad šios knygos autorius yra Eudoksas Knidas. Galiausiai XIII knyga skirta penkių taisyklingų daugiakampių konstravimui; manoma, kad kai kurias konstrukcijas sukūrė Atėnų Teatetas.

  Mus pasiekusiuose rankraščiuose prie šių trylikos knygų buvo pridėtos dar dvi knygos. XIV knyga priklauso Aleksandrijos Hypsicles (apie 200 m. pr. Kr.), o XV knyga buvo sukurta gyvenant Izidorui Miletiečiui, statytojui Šv. Sofija Konstantinopolyje (VI mūsų eros a. pradžia).

  Pradžios sudaryti bendrą pagrindą vėlesniems Archimedo, Apolonijaus ir kitų senovės autorių geometriniams traktatams; juose įrodyti teiginiai laikomi visuotinai žinomais. Komentarai į Pradėkime senovėje buvo Garnys, Porfyras, Pappas, Proklas, Simplicijus. Išsaugotas Proklo komentaras apie I knygą, taip pat Pappus komentaras apie X knygą (arabišku vertimu). Iš senovės autorių komentarų tradicija pereina į arabus, o paskui į viduramžių Europą.

  Kuriant ir plėtojant šiuolaikinį mokslą Pradžios taip pat vaidino svarbų ideologinį vaidmenį. Jie išliko matematinio traktato modeliu, griežtai ir sistemingai pateikiančiu pagrindines konkretaus matematikos mokslo nuostatas.

  Kiti Euklido darbai

  Iš kitų Euklido darbų išliko:

  • Duomenys (δεδομένα ) - apie tai, kas būtina figūrai apibrėžti;
  • Apie padalijimą (περὶ διαιρέσεων ) – iš dalies išsaugota ir tik arabų kalba; pateikia geometrinių figūrų padalijimą į lygias dalis arba susidedančias viena iš kitos tam tikru santykiu;
  • Reiškiniai (φαινόμενα ) - sferinės geometrijos taikymas astronomijoje;
  • Optika (ὀπτικά ) – apie tiesinį šviesos sklidimą.

  Iš trumpų aprašymų žinome:

  • Porizmai (πορίσματα ) - apie sąlygas, kurios lemia kreives;
  • Kūginės sekcijos (κωνικά );
  • Paviršutiniškos vietos (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - apie kūginių pjūvių savybes;
  • Pseudara (ψευδαρία ) - apie geometrinių įrodymų klaidas;

  Euklidas taip pat priskiriamas:

  Euklidas ir senovės filosofija

  Jau nuo pitagoriečių ir Platono laikų aritmetika, muzika, geometrija ir astronomija (vadinamieji „matematiniai“ mokslai; vėliau Boethius pavadino kvadrivijumi) buvo laikomi sisteminio mąstymo modeliu ir išankstiniu filosofijos studijų etapu. . Neatsitiktinai kilo legenda, pagal kurią virš įėjimo į Platono akademiją buvo užrašas „Neįeina čia, kas nepažįsta geometrijos“.

  Geometriniai brėžiniai, kuriuose nubrėžus pagalbines linijas tampa akivaizdi numanoma tiesa, iliustruoja Platono m. Menone ir kiti dialogai. Geometrijos teiginiai vadinami teoremomis, nes norint suvokti jų tiesą, piešinį reikia suvokti ne paprastu jutiminiu regėjimu, o „proto akimis“. Kiekvienas teoremos brėžinys atspindi idėją: matome šią figūrą priešais save, samprotaujame ir darome išvadas dėl visų to paties tipo figūrų iš karto.

  Tam tikras Euklido „platonizmas“ taip pat yra susijęs su tuo, kad m Timėjas Platonas mano, kad doktrina apie keturis elementus, atitinkančius keturis taisyklingus daugiakampius (tetraedras - ugnis, oktaedras - oras, ikosaedras - vanduo, kubas - žemė), o penktasis daugiaedras, dodekaedras, "pateko į figūros dalį". visata." Dėl to Pradžios gali būti laikomas mokymu apie penkių taisyklingų daugiakampių – vadinamųjų „platoniškų kietųjų kūnų“, sukurtų su visomis reikiamomis prielaidomis ir ryšiais – konstravimą, baigiant įrodymu, kad be šių penkių kitų taisyklingų kietųjų kūnų nėra.

  Aristoteliškajai įrodymų doktrinai, sukurtai m Antroji analizė, Pradžios taip pat suteikia turtingą medžiagą. Geometrija viduje Pradžios yra sukurta kaip išvadinė žinių sistema, kurioje visi teiginiai nuosekliai išvedami vienas po kito grandinėje, remiantis nedideliu pradinių teiginių rinkiniu, priimtu be įrodymų. Anot Aristotelio, tokie pradiniai teiginiai turi egzistuoti, nes išvadų grandinė turi prasidėti kažkur, kad nebūtų begalinė. Be to, Euklidas bando įrodyti bendro pobūdžio teiginius, kurie taip pat atitinka mėgstamą Aristotelio pavyzdį: „jei kiekvienam lygiašoniam trikampiui būdingi kampai, kurie sudaro du stačiuosius kampus, tai jam būdinga ne todėl, kad lygiašonis, bet todėl, kad tai trikampis“ (An. Post.85b12).

  Pseudo-Euklidas

  Euklidui priskiriami du svarbūs senovės muzikos teorijos traktatai: Harmoninis įvadas (Harmonika) ir Kanono padalijimas.

  Sveiki, draugai! Straipsnis „Euklidas: trumpa biografija, atradimai, faktai, vaizdo įrašas“ – apie senovės graikų matematiko ir filosofo gyvenimą. „Euklidas“ – išvertus iš senovės graikų kalbos reiškia „gera šlovė“.

  Euklido biografija

  Remiantis kai kuriais archyviniais dokumentais, jis gimė apie 325 m. e. Mąstytojo gyvenimas laike sutampa su Ptolemėjo Pirmojo valdymo laiku.

  Didžiojo matematiko mokslinė veikla vystėsi Aleksandrijoje. Išsilavinimą gavo iš Platono pasekėjų, iš jų paveldėjo filosofinių pažiūrų sistemą. Tai leido Euklidui atidaryti matematikos mokyklą Aleksandrijoje, kur jis tapo pirmuoju mokytoju.

  Pagrindinis mokslininko darbas yra „Principia“ - pirmasis teorinės matematikos traktatas istorijoje. Traktate buvo apžvelgtos ir susistemintos visos Senovės Graikijoje sukauptos žinios apie planimetriją, stereometriją ir skaičių teoriją.

  Euklido algoritmas, šiuo metu naudojamas metodas ieškant dviejų skaičių didžiausio bendro daliklio, buvo suformuluotas jau Principijoje. Traktatas padėjo pagrindą ne tik vėlesniems jo moksliniams darbams, bet ir visos matematikos raidai.

  Kas yra „euklidinė geometrija“?

  Puikus mąstytojas savo žinias apie planimetriją ir stereometriją suformulavo aksiomų ir postulatų pavidalu. Aksiomų sistema apėmė keturias sąvokas: tašką, tiesę, plokštumą, judėjimą, taip pat šių sąvokų tarpusavio ryšį.

  Norėdamas plokštumoje ar erdvėje sukonstruoti konkrečias figūras, jis sukūrė postulatų sistemą, nurodančią konkrečius veiksmus. Šiais laikais tokia aksiomų ir postulatų sistema vadinama „euklidine geometrija“.

  Euklido pasiekimai

  Didžioji dalis mokslininko darbų buvo parašyti matematikoje:

  • „Pradžia“;
  • „Dėl figūrų padalijimo“;
  • „Kūgio pjūviai“;
  • „Porizmai“ yra apie lenktas linijas ir jas lemiančias sąlygas;
  • „Pseudarius“ – traktatas apie klaidas, kylančias geometriniuose įrodymuose.

  Žinomi mokslininko darbai susijusiose disciplinose: muzika, astronomija, optika:

  • „Reiškiniai“ – apie praktinį geometrijos taikymą astronomijos studijoms;
  • „Optika“ - apie šviesą ir jos sklidimo dėsnius;
  • „Catoptrics“ - ir šviesos lūžis;
  • „Kanono padalijimas“ – elementari muzikos teorija.

  Arabų mokslininkai šį matematiką laiko kai kurių darbų apie mechaniką ir kūnų savitojo svorio nustatymą autoriumi.

  Šiame vaizdo įraše yra papildomos ir įdomios informacijos straipsniui „Euklidas: trumpa biografija, atradimai, faktai, vaizdo įrašas“

  Kupčinskio jaunimo skaitymai „Mokslas. Kūrimas. Paieška".
  Skyrius "Matematika"

  "Euklidas ir jo indėlis į mokslą"

  Darbą atliko 6 "B" klasės mokinys
  Suroveginas Nikolajus
  Vadovas: Vasiljeva
  Daria Gennadievna

  Sankt Peterburgas 2008 m

  I. Įvadas………………………………….…3

  II. Matematika senovės Graikijoje………………..4

  III. Euklido biografija………………………….….5

  IV. Euklido algoritmas…………………………………8

  V. Aksiomatika………………………………….11

  VI. Euklido geometrija ir V postulatas………..12

  VII. Prasidėjo …………………………………………………………19

  VIII. Euklido principų problemos………………………22

  IX. Problemų sprendimas………………………………..23

  X. Nuorodos į informacijos šaltinius......24

  XI. Išvada……………………………………..25

  I. Įvadas

  Šioje esė pabandysiu papasakoti viską, ką žinau apie didįjį senovės graikų matematiką Euklidą. Mintis parašyti apie jį man kilo po to, kai sužinojau apie Euklido algoritmą. Šis mokslininkas daug nuveikė algebrai ir geometrijai, o mes nuolat naudojame jo atradimus. Santraukoje taip pat yra praktinių problemų nuo pat pradžių, Euklido knygų.

  II skyrius.
  Matematika senovės Graikijoje

  Psichinis vystymasis, o kartu ir mokslo raida, niekada nebuvo vienodai progresavusi visoje žmonijoje. Kai kurios tautos stovėjo žmonijos psichikos judėjimo viršūnėje, kitos pasirodė vos išėjusios iš savo primityvios būklės. Kai pastarieji, gerėjant gyvenimo sąlygoms, atsirado, veikiami vidinių ar išorinių impulsų, įgyti žinių, tada jiems pirmiausia teko pasivyti pažangias gentis. Jei tuo pat metu išsivysčiusios gentys, pasiekusios aukščiausią joms prieinamą išsivystymo lygį pagal savo sugebėjimus ar istorijos joms sukurtas gyvenimo sąlygas, išsigimdavo ir krito, psichikos raidoje įvyko sąstingis ar net matomas laikinas nuosmukis. visa žmonija: naujų žinių įgijimas nutrūko ir protinis darbas žmonija buvo redukuota tik iki minėtos atsilikusių žmonijos jau įgytų žinių genčių asimiliacijos. Tik pasiekusios šią asimiliaciją atsiliekančios gentys gavo galimybę tęsti naujų žinių įgijimo užduotį ir per tai savo ruožtu tapti žmonijos mentalinio judėjimo galva. Taigi kiekvienos tautos protinės veiklos istorijoje, kuri kada nors užėmė vietą tarp pirmaujančių žmonijos figūrų, o paskui baigė visą savo gyvenimo ciklą, tyrėjas turi išskirti tris laikotarpius: žmonijos jau įgytų žinių įsisavinimo laikotarpį; savarankiškos veiklos laikotarpis naujų, bendrų visai žmonijai žinių įgijimo srityje ir galiausiai nuosmukio bei psichikos degeneracijos laikotarpis. Pereinant nuo šio bendro žmonijos psichikos raidos eigos svarstymo prie atskirų jos sričių, kurios, atrodo, yra matematikos raida, svarstymo, matome, kad esant dabartinei istorinių ir matematinių žinių padėčiai, turime galimybę tyrinėti visiškai užbaigtas atskirų žmonių veiklos ciklas matematikos raidos srityje tik vienoje tautoje, senovės graikuose.

  I skyriusašaš Euklido biografija

  EUCLID (Euklidasc.356-300 VS)

  BIOGRAFIJA

  Euklidas – senovės graikų matematikas, pirmųjų mus pasiekusių teorinių matematikos traktatų autorius. Biografinė informacija apie Euklido gyvenimą ir kūrybą yra labai ribota. Yra žinoma, kad jis buvo iš Atėnų ir buvo Platono mokinys. Jo mokslinė veikla vyko Aleksandrijoje, kur sukūrė matematikos mokyklą.

  MATEMATIKOS PASIEKIMAI

  Pagrindiniuose Euklido darbuose „Elementai“ (lotyniškas pavadinimas – „Elementai“) pristatoma planimetrija, stereometrija ir daugybė skaičių teorijos, algebros, bendrosios santykių teorijos ir plotų bei tūrių nustatymo metodo, įskaitant ribų elementus. (Išsekimo metodas). Elementuose Euklidas apibendrino visus ankstesnius graikų matematikos pasiekimus ir sukūrė pagrindą tolimesnei jos plėtrai. Istorinė Euklido elementų reikšmė slypi tame, kad jie pirmieji bandė logiškai konstruoti geometriją, pagrįstą aksiomatika. Pagrindiniu Euklido aksiomatikos trūkumu reikėtų laikyti jos neužbaigtumą; nėra tęstinumo, judėjimo ir tvarkos aksiomų, todėl Euklidui dažnai tekdavo apeliuoti į intuiciją ir pasitikėti akimi. XIV ir XV knygos yra vėliau papildytos, tačiau ar pirmosios trylika knygų yra vieno žmogaus, ar Euklido vadovaujamos mokyklos darbas, nežinoma. Nuo 1482 m Euklido elementai buvo išleisti daugiau nei 500 leidimų. visomis pasaulio kalbomis.

  "Pradžia"

  Pirmosios keturios Elementų knygos yra skirtos plokštumos geometrijai, jose nagrinėjamos pagrindinės tiesių figūrų ir apskritimų savybės.

  Prieš I knygą pateikiami vėliau vartojami sąvokų apibrėžimai. Jie yra intuityvūs, nes apibrėžiami atsižvelgiant į fizinę tikrovę: „Taškas yra kažkas, kas neturi dalių“. "Linija yra ilgis be pločio." "Tiesioji linija yra ta, kuri yra vienodai išdėstyta joje esančių taškų atžvilgiu." „Paviršius yra tas, kuris turi tik ilgį ir plotį“ ir kt.

  Po šių apibrėžimų pateikiami penki postulatai: „Tarkime:
  1) kad tiesė gali būti nubrėžta iš bet kurio taško į bet kurį tašką;
  2) ir kad apribota linija gali būti nuolat tęsiama išilgai tiesės;
  3) ir kad apskritimas gali būti apibūdintas iš bet kurio centro ir bet kokiu sprendiniu;
  4) ir kad visi statūs kampai yra lygūs vienas kitam;
  5) ir jei tiesi linija, krintanti ant dviejų tiesių, vienoje pusėje sudaro vidinius kampus, mažesnius nei du stačiakampiai, tada neribotą laiką pratęstos šios dvi tiesės susidurs toje pusėje, kurioje kampai yra mažesni už du stačiuosius kampus.

  Pirmieji trys postulatai užtikrina tiesės ir apskritimo egzistavimą. Penktasis, vadinamasis paralelinis postulatas, yra pats garsiausias. Ji visada domino matematikus, kurie bandė jį išvesti iš keturių ankstesnių arba išvis jį atmesti, kol XIX a. Buvo atrasta, kad galima sukonstruoti ir kitokias, ne euklido geometrijas, ir kad penktasis postulatas turi teisę egzistuoti. Tada Euklidas suformulavo aksiomas, kurios, priešingai nei postulatai, kurie galioja tik geometrijai, paprastai yra taikomi visiems mokslams. Be to, Euklidas I knygoje įrodo elementarias trikampių savybes, tarp kurių yra ir lygybės sąlygos. Tada aprašomos kai kurios geometrinės konstrukcijos, pvz., kampo pusiausvyros, atkarpos vidurio taško ir statmenos tiesei konstrukcija. I knygoje taip pat pateikiama paralelių teorija ir kai kurių plokštumos figūrų (trikampių, lygiagretainių ir kvadratų) plotų skaičiavimas. II knygoje klojami vadinamosios geometrinės algebros, kilusios iš Pitagoro mokyklos, pagrindai. Visi dydžiai jame pavaizduoti geometriškai, o operacijos su skaičiais atliekamos geometriškai. Skaičiai pakeičiami linijų atkarpomis. III knyga yra visiškai skirta apskritimo geometrijai, o IV knyga tiria taisyklingus daugiakampius, įbrėžtus apskritime, taip pat aplink jį.

  Proporcijų teorija, išplėtota V knygoje, vienodai gerai buvo taikoma ir proporcingiems, ir neproporcingiems dydžiams. Euklidas įtrauktas į „didumo“ sąvoką ilgiai, plotai, tūriai, svoriai, kampai, laiko intervalai ir kt. Atsisakydamas naudoti geometrinius įrodymus, bet ir vengdamas griebtis aritmetikos, jis nepriskyrė dydžiams skaitinių verčių. Pirmieji Euklido elementų V knygos apibrėžimai: 1. Dalis yra dydis, kuris yra mažesnis (iš) didesnis, jei jis matuoja didesnį. 2. Kartinys yra didesnis (nuo) mažesnis, jei jis matuojamas mažesniuoju. 3. Santykis yra tam tikra dviejų vienarūšių dydžių priklausomybė. 4. Sakoma, kad kiekiai turi ryšį vienas su kitu, jei jie, paimti kaip kartotiniai, gali viršyti vienas kitą. 5. Sakoma, kad dydžiai yra vienodu santykiu: pirmas su antruoju ir trečias su ketvirtu, jei vienodi pirmojo ir trečiojo kartotiniai yra didesni arba tuo pačiu metu lygūs, arba tuo pačiu metu mažesni už lygūs antrosios ir ketvirtosios kartotiniai bet kokiam dauginimui, jei paimkite juos atitinkama tvarka. 6. Dydžius, turinčius vienodą santykį, vadinkime proporcingais. Euklidas iš aštuoniolikos visos knygos pradžioje pateiktų apibrėžimų ir I knygoje suformuluotų bendrųjų sąvokų su nuostabiu grakštumu ir beveik be loginių trūkumų išvedė (nenaudodamas postulatų, kurių turinys buvo geometrinis) dvidešimt teoremų, kuriose dydžių savybės ir jų santykiai.

  VI knygoje V knygos proporcijų teorija taikoma tiesiosioms figūroms, geometrijai plokštumoje ir ypač panašioms figūroms, o „panašios tiesios figūros yra tos, kurių kampai yra vienodi, o kraštinės yra vienodos kampuose. proporcingas“. VII, VIII ir IX knygos sudaro skaičių teorijos traktatą; juose esantiems skaičiams taikoma proporcijų teorija. VII knygoje apibrėžiama sveikųjų skaičių santykių lygybė arba, šiuolaikiniu požiūriu, sukuriama racionaliųjų skaičių teorija. Iš daugelio Euklido tyrinėtų skaičių savybių (pariteto, dalijamumo ir kt.), mes pacituojame, pavyzdžiui, IX knygos 20 teiginį, nustatantį begalinės „pirmųjų skaičių“, t. y. pirminių skaičių, egzistavimą: „Yra. yra daugiau pirminių skaičių nei bet kokie siūlomi pirmieji skaičiai. Jo prieštaravimo įrodymą vis dar galima rasti algebros vadovėliuose.

  X knygą sunku skaityti; joje yra kvadratinių neracionalių dydžių, kurie čia pavaizduoti geometrinėmis linijomis ir stačiakampiais, klasifikacija. Štai kaip Euklido elementų X knygoje suformuluotas 1 teiginys: „Jei duoti du nelygūs dydžiai ir iš didesnės dalies atimama didesnė nei pusė, o iš likusios vėl dalis, didesnė už pusę, ir tai nuolat kartojama, tada kada nors liks kiekis, kuris yra mažesnis už mažesnę iš pateiktų verčių. Šiuolaikine kalba: Jei a ir b yra teigiami realieji skaičiai, o a > b, tai visada egzistuoja natūralusis skaičius m, kad mb > a. Euklidas įrodė geometrinių transformacijų pagrįstumą.

  XI knyga skirta stereometrijai. XII knygoje, kuri taip pat tikriausiai datuojama Eudoksu, kreivių figūrų plotai lyginami su daugiakampių plotais naudojant išnaudojimo metodą. XIII knygos tema – taisyklingų daugiakampių konstravimas. Platono kietųjų kūnų konstrukcija, kuri, matyt, užbaigia elementus, davė pagrindą priskirti Euklidą Platono filosofijos pasekėjui.

  DOMĖJIMO SRITYS

  Be „Elementų“, mus pasiekė šie Euklido darbai: knyga lotynišku pavadinimu „Duomenys“ (su sąlygų, kurioms esant bet koks matematinis vaizdas gali būti laikomas „duomenimis“), aprašymu; knyga apie optiką (kuriame yra perspektyvos doktrina), apie katoptriką (iškreipiama veidrodžių iškraipymų teorija), knyga „Figūrų padalijimas“. Euklido pedagoginis veikalas „Apie klaidingas išvadas“ (matematikoje) neišliko. Euklidas taip pat parašė darbų apie astronomiją („reiškinius“) ir muziką.

  EUCLID NUOLINIAI

  EUKLIDO TEOREMA apie pirminius skaičius: pirminių skaičių aibė yra begalinė (Euklido elementai, IX knyga, 20 teorema). Tikslesnė kiekybinė informacija apie pirminių skaičių aibę natūraliose eilutėse yra pateikta Čebyševo teoremoje apie pirminius skaičius ir asimptotines lygtis. pirminių skaičių skirstymo dėsnis.

  EUCLIDAN GEOMETRY – erdvės geometrija, aprašyta aksiomų sistema, pirmasis sistemingas (bet ne pakankamai griežtas) pristatymas buvo pateiktas Euklido elementuose. Paprastai elektroninės geometrinės sistemos erdvė apibūdinama kaip trijų rūšių objektų rinkinys, vadinamas „taškais“, „tiesiomis linijomis“ ir „plokštumomis“; santykiai tarp jų: ​​priklausymas, tvarka ("gulėti tarp"), kongruence (arba judėjimo samprata); tęstinumą. Ypatingą vietą E. aksiomatikoje užima paralelių aksioma (penktas postulatas). Pirmąją pakankamai griežtą J. g aksiomatiką pasiūlė D. Hilbertas (D. Hilbertas, žr. Hilberto aksiomų sistemą). Yra Hilberto aksiomų sistemos modifikacijos ir kiti E.G aksiomatikos variantai Pavyzdžiui, vektorinio taško aksiomatikoje vektoriaus sąvoka imama kaip viena iš pagrindinių sąvokų. Pvz. aksiomatika gali būti pagrįsta simetrijos ryšiu (žr.).

  EUCLIDAN FIELD yra sutvarkytas laukas, kuriame kiekvienas teigiamas elementas yra kvadratas. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių laukas R yra E.p. Racionaliųjų skaičių laukas Q nėra E.p. L. Popovas.

  EUKLIDOJI ERDVĖ – tai erdvė, kurios savybes apibūdina Euklido geometrijos aksiomos. Bendresne prasme E. erdvė yra baigtinių matmenų realioji vektorinė erdvė Rn su skaliarine sandauga (x, y), x, kuri tinkamai parinktomis koordinatėmis (Dekarto) išreiškiama formule

  I skyriusV Euklido algoritmas

  Euklido algoritmas- algoritmas, skirtas rasti didžiausią bendrą dviejų sveikųjų skaičių daliklį. Šis algoritmas taip pat taikomas ieškant didžiausio bendro daugianario daliklio, žiedai, kuriuose taikomas Euklido algoritmas, vadinami Euklido žiedais.

  Euklidas tai aprašė VII ir X elementų knygose. Abiem atvejais jis geometriškai apibūdino algoritmą, kaip rasti dviejų segmentų „bendrą matą“. Euklido algoritmas senovės Graikijos matematikoje buvo žinomas mažiausiai šimtmetį prieš Euklidą pavadinimu „antifiresis“ – „nuosekli abipusė atimtis“.

  Euklido algoritmas sveikiesiems skaičiams

  Leisti a Ir b yra sveikieji skaičiai, kurie tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui, ir skaičių seka

  lemia tai, kad kiekvienas rk tai ikiankstesnio skaičiaus dalybos iš ankstesnio liekana, o priešpaskutinis dalinamas iš paskutiniojo visiškai, t.y.

  a = bq 0 + r 1

  b = r 1q 1 + r 2

  r 1 = r 2q 2 + r 3

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image004_176.gif" width="47" height="20">, įrodoma indukcija m.

  TeisingumasŠis algoritmas išplaukia iš šių dviejų teiginių:

  Leisti a = bq + r, Tada ( a,b) = (b,r). (0,r) = r. bet kokiam ne nuliui r. Išplėstinis Euklido algoritmas ir Bezouto ryšys

  Formulės, skirtos ri galima perrašyti taip:

  r 1 = a + b(- q 0)

  r 2 = b − r 1q 1 = a(− q 1) + b(1 + q 1q 0)

  margin-top:0cm" type="disc"> Santykis a / b gali būti pavaizduota kaip tęstinė trupmena:

  .

  Požiūris - t / s, išplėstiniame euklido algoritme leidžia pavaizduoti tęstinės trupmenos forma:

  .

  Variacijos ir apibendrinimai

  Žiedai, kuriems taikomas Euklido algoritmas, vadinami Euklido žiedais, kurie visų pirma apima daugianario žiedą.

  Paspartintos algoritmo versijos

  Vienas iš būdų pagreitinti Euklido sveikųjų skaičių algoritmą yra pasirinkti simetriška liekana:

  

  Viena iš perspektyviausių pagreitinto Euklido daugianario algoritmo versijų yra pagrįsta tuo, kad tarpinės algoritmo reikšmės daugiausia priklauso nuo didelių galių. Taikant Divide & Conqurer strategiją, pastebimas didelis algoritmo asimptotinio greičio pagreitis.

  skyriusV.
  Aksiomatika

  Aksioma(senovės graikų ἀξίωμα – teiginys, pozicija) arba postulatas- pareiškimas, priimtas be įrodymų.

  Aksiomatizacija teorija – aiškus baigtinės aksiomų aibės požymis. Iš aksiomų išplaukiantys teiginiai vadinami teoremomis.

  Matematinės logikos ir euklidinės geometrijos galima rasti skirtingų, bet lygiaverčių aksiomų rinkinių pavyzdžių.

  Aksiomų aibė vadinama nuoseklia, jei, naudojant logikos taisykles, iš aibės aksiomų neįmanoma gauti prieštaravimo. Aksiomos yra savotiški „atskaitos taškai“ kuriant bet kokį mokslą, nors jos pačios nėra įrodytos, o gaunamos tiesiogiai iš empirinio stebėjimo (patirties).

  Sąvoka „aksioma“ pirmą kartą buvo rasta Ariste 322 m. pr. Kr.) ir perėjo į matematiką iš Senovės Graikijos filosofų. Euklidas išskiria „postulato“ ir „aksiomos“ sąvokas, nepaaiškindamas jų skirtumų. Nuo Boetijaus laikų postulatai verčiami kaip reikalavimai (petitio), aksiomos – kaip bendrosios sąvokos. Iš pradžių žodis „aksioma“ reiškė „tiesą, kuri savaime yra akivaizdi“. Skirtinguose Euklido elementų rankraščiuose teiginių skirstymas į aksiomas ir postulatus yra skirtingas, jų tvarka nesutampa. Tikriausiai raštininkai turėjo skirtingą požiūrį į šių sąvokų skirtumą.

  skyriusVI. Euklido geometrija ir V postulatas

  Euklido geometrija(senas tarimas - "euklido") - mokykloje mokytasi pažįstama geometrija. Paprastai tai reiškia dvi ar tris dimensijas, nors galima kalbėti apie daugiamatę euklido erdvę. Euklido geometrija pavadinta senovės graikų matematiko Euklido vardu. Jo knygoje „Principia“ ypač sistemingai aprašoma Euklido plokštumos geometrija.

  Aksiomatizacija

  Euklido pateiktos aksiomos elementuose yra šios:

  Per kas du taškus galite nubrėžti tiksliai vieną tiesią liniją. Galite nubrėžti tiesią liniją išilgai bet kurio segmento. Turėdami atkarpą, galite nubrėžti apskritimą taip, kad atkarpa būtų spindulys, o vienas jo galų būtų apskritimo centras. Visi stačiakampiai yra lygūs. Euklido lygiagretumo aksioma: per tašką A už tiesės a plokštumoje, einančioje per A ir a, galima nubrėžti tik vieną tiesę, kuri nesikerta a.

  Norint apibrėžti trimatę Euklido erdvę, mums reikia dar kelių aksiomų. Yra ir kitų, šiuolaikinių aksiomatizacijų.

  Elementariosios geometrijos visiško aksiomatizavimo problema yra viena iš geometrijos problemų, iškilusių Senovės Graikijoje, kritikuojant šį pirmąjį bandymą sukurti pilną aksiomų sistemą taip, kad visi Euklido geometrijos teiginiai iš šių aksiomų būtų pagrįsti grynai loginėmis išvadomis. be brėžinių aiškumo. Pirmąją tokią pilną aksiomų sistemą sukūrė D. Hilbertas 1899 m., ji susideda jau iš 20 aksiomų, suskirstytų į 5 grupes.

  Euklido paralelizmo aksioma arba penktasis postulatas- viena iš aksiomų, kuriomis grindžiama klasikinė planimetrija. Pirmą kartą pateikta Euklido elementuose.

  Ir jei tiesi linija, krintanti ant dviejų tiesių, vienoje pusėje sudaro vidinius kampus, mažesnius nei du stačiakampiai, tada, jei bus pratęstas neribotą laiką, šios tiesės susidurs toje pusėje, kur kampai yra mažesni nei du stačiakampiai.

  Euklidas skiria sąvokas postulatas Ir aksioma nepaaiškindami jų skirtumų; skirtinguose Euklido elementų rankraščiuose teiginių skirstymas į aksiomas ir postulatus skiriasi, kaip ir nesutampa jų tvarka. Klasikiniame Heybergo Principia leidime nurodytas teiginys yra penktasis postulatas.

  Šiuolaikine kalba Euklido tekstas gali būti performuluotas taip:

  Jei vidinių kampų su bendrąja kraštine, kurią sudaro dvi tiesės, kai jos susikerta su trečiąja linija, vienoje sekanto pusėje, suma yra mažesnė nei 180°, tada šios tiesės susikerta ir, be to, toje pačioje pusėje sekantas.

  Mokykliniuose vadovėliuose paprastai pateikiama kita formuluotė, lygiavertė (ekvivalentiška) V postulatui ir dėl Proklo:

  margin-top:0cm" type="disc"> Yra stačiakampis ( mažiausiai vienas), tai yra keturkampis su visais stačiais kampais. Yra trikampių, kurie yra panašūs, bet ne lygūs. Bet koks skaičius gali būti proporcingai padidintas. Yra bet kokio dydžio trikampis. Per kiekvieną smailiojo kampo tašką visada galima nubrėžti tiesią liniją, kertančią abi jo puses. Jei dvi tiesios linijos nukrypsta viena kryptimi, tada kitoje jos priartėja. Susiliejančios tiesios anksčiau ar vėliau susikirs. Yra tokių linijų, kad atstumas nuo vieno taško iki kito yra pastovus. Jei dvi tiesios linijos pradeda artėti viena prie kitos, tada joms neįmanoma pradėti (ta pačia kryptimi) skirtis. Kampų suma yra vienoda visiems trikampiams. Yra trikampis, kurio kampai sudaro du stačiuosius kampus. Yra lygiagrečių linijų, o dvi tiesės lygiagrečios trečiajai yra lygiagrečios viena kitai. Yra lygiagrečių linijų, o tiesi linija, kertanti vieną iš lygiagrečių tiesių, tikrai susikirs su kita. Kiekvienam trikampiui yra apibrėžtas apskritimas. Pitagoro teorema yra teisinga.

  Jų lygiavertiškumas reiškia, kad juos visus galima įrodyti, jei priimame V postulatą, ir atvirkščiai, V postulatą pakeitę bet kuriuo iš šių teiginių, galime įrodyti pirminį V postulatą kaip teoremą.

  Neeuklido geometrijose vietoj V postulato naudojama kitokia aksioma, kuri leidžia sukurti alternatyvią, viduje logiškai nuoseklią sistemą. Pavyzdžiui, Lobačevskio geometrijoje formuluotė yra tokia: „ plokštumoje per tašką, esantį ne ant nurodytos tiesės, galima nubrėžti bent dvi skirtingas tieses, kurios nesikerta su duota linija“ O sferinėje geometrijoje, kur dideli apskritimai veikia kaip tiesių linijų analogai, lygiagrečių tiesių iš viso nėra.

  Akivaizdu, kad neeuklido geometrijoje visi aukščiau pateikti lygiaverčiai teiginiai yra klaidingi.

  Bandymai įrodyti

  Penktasis postulatas ryškiai išsiskiria iš kitų, kurie yra gana akivaizdūs (žr. Euklido elementai). Tai labiau atrodo kaip sudėtinga, neakivaizdi teorema. Euklidas tikriausiai tai žinojo, todėl pirmieji 28 elementų sakiniai yra įrodyti be jo pagalbos.

  Nuo seniausių laikų matematikai bandė „patobulinti Euklidą“ – arba neįtraukti penktojo postulato iš pradinių teiginių skaičiaus, tai yra įrodyti jį remiantis likusiais postulatais ir aksiomomis, arba pakeisti kitu, kaip akivaizdu, kiti postulatai. Viltis, kad šis rezultatas bus pasiekiamas, patvirtino faktas, kad Euklido IV postulatas ( visi stačiakampiai yra lygūs) tikrai pasirodė perteklinis – jis buvo griežtai įrodytas kaip teorema ir išbrauktas iš aksiomų sąrašo.

  Per du tūkstantmečius buvo pasiūlyta daug penktojo postulato įrodymų, tačiau kiekviename iš jų anksčiau ar vėliau buvo aptiktas užburtas ratas: paaiškėjo, kad tarp aiškių ar numanomų prielaidų yra teiginys, kurio neįmanoma įrodyti be jo. naudojant tą patį penktąjį postulatą.

  Pirmą kartą paminėjus tokį bandymą, sakoma, kad Klaudijus Ptolemėjus buvo susijęs su tuo, tačiau jo įrodymo detalės nežinomos. Proklas (V a. po Kr.) pateikia savo įrodymą, remdamasis prielaida, kad atstumas tarp dviejų nevienodų linijų yra ribota reikšmė; vėliau paaiškėjo, kad ši prielaida prilygsta penktajam postulatui.

  Po senovės kultūros nuosmukio islamo šalių matematikai ėmėsi postulato V. Al-Khwarizmi mokinio (IX a.) al-Abbas al-Jauhari įrodymas netiesiogiai reiškė: jei dvi tiesės susikerta su bet kuria trečiąja, kryžminiai kampai yra lygūs, tada tas pats atsitinka, kai tos pačios dvi tiesės. tiesios linijos susikerta su bet kuria kita. Ir ši prielaida yra lygiavertė V postulatui.

  Thabit ibn Qurra (IX a.) pateikė 2 įrodymus; pirmajame jis remiasi prielaida, kad jei dvi tiesės nutolsta viena nuo kitos vienoje pusėje, jos būtinai artėja iš kitos pusės. Antrojoje jis remiasi vienodais atstumais nutolusių tiesių egzistavimu, o Ibn Kurra bando išvesti šį faktą iš „paprasto judesio“, t. y. tolygaus judėjimo fiksuotu atstumu nuo tiesės, idėjos (atrodo akivaizdu, jam, kad tokio judėjimo trajektorija taip pat yra tiesi linija). Kiekvienas iš dviejų paminėtų Ibn Koros teiginių yra lygiavertis V postulatui.

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image011_109.gif" width="180" height="229">

  Saccheri esė

  Išsamų V postulato tyrimą, pagrįstą visiškai originaliu principu, 1733 metais atliko italų vienuolis jėzuitas ir matematikos mokytojas Girolamo Saccheri. Jis paskelbė kūrinį pavadinimu " Euklidas, išvalytas nuo visų dėmių, arba geometrinis bandymas nustatyti pačius pirmuosius visos geometrijos principus". Saccheri idėja buvo pakeisti V postulatą priešingu teiginiu, gauti kuo daugiau pasekmių iš naujos aksiomų sistemos, taip sukonstruojant "klaidingą geometriją", ir rasti šioje geometrijoje prieštaravimų ar akivaizdžiai nepriimtinų nuostatų. V postulato bus įrodyta iš priešingos pusės.

  Saccheri svarsto tas pačias tris hipotezes apie 4-ąjį Lamberto keturkampio kampą. Jis iš karto atmetė buko kampo hipotezę dėl formalių priežasčių. Nesunku parodyti, kad šiuo atveju apskritai visos tiesės susikerta, ir tada galime daryti išvadą, kad Euklido V postulatas galioja – juk jame tiksliai nurodyta, kad tam tikromis sąlygomis linijos susikerta. Iš to daroma išvada, kad „ buko kampo hipotezė visada yra visiškai klaidinga, nes ji sunaikina save» .

  Po to Saccheri pereina prie „ūmaus kampo hipotezės“ paneigimo, ir čia jo tyrimai yra daug įdomesni. Jis pripažįsta, kad tai tiesa, ir viena po kitos įrodo visą eilę pasekmių. To nė neįtardamas, jis gana toli nukeliauja kurdamas Lobačevskio geometriją. Daugelis Saccheri įrodytų teoremų intuityviai atrodo nepriimtinos, tačiau jis tęsia teoremų grandinę. Galiausiai Saccheri įrodo, kad „klaidingoje geometrijoje“ bet kurios dvi tiesės susikerta arba turi bendrą statmeną. tiek pusės, nuo kurių jie tolsta vienas nuo kito arba nutolsta vienas nuo kito vienoje pusėje ir neribotai artėja vienas prie kito iš kitos. Šiuo metu Saccheri daro netikėtą išvadą: „ ūmaus kampo hipotezė yra visiškai klaidinga, nes ji prieštarauja tiesės pobūdžiui» .

  Matyt, Saccheri manė, kad šie „įrodymai“ buvo nepagrįsti, nes tyrimai tęsiasi. Jis laiko vienodą atstumą – geometrinį taškų lokusą plokštumoje, esančią vienodu atstumu nuo tiesės; Skirtingai nei jo pirmtakai, Saccheri žino, kad šiuo atveju tai visai ne tiesi linija. Tačiau skaičiuodamas lanko ilgį, Saccheri daro klaidą ir prieina prie tikro prieštaravimo, po kurio baigia tyrimą ir su palengvėjimu pareiškia, kad „ sugriovė šią piktavališką hipotezę iš šaknų».

  XVIII amžiaus antroje pusėje buvo paskelbta daugiau nei 50 paralelių teorijos darbų. Tų metų apžvalgoje () nagrinėjama daugiau nei 30 bandymų įrodyti V postulatą ir įrodomas jų klaidingumas. Problema susidomėjo ir garsus vokiečių matematikas ir fizikas, su kuriuo Klügelis susirašinėjo; jo paralelinių linijų teorija buvo paskelbta po mirties 1786 m.

  Sferinė geometrija: visos linijos susikerta

  Lambertas pirmasis atrado, kad „bukojo kampo geometrija“ realizuojama sferoje, jei tiesiomis linijomis turime omenyje didžiuosius apskritimus. Jis, kaip ir Saccheri, išvedė daug pasekmių iš „ūmaus kampo hipotezės“ ir nuėjo daug toliau nei Saccheri; visų pirma jis atrado, kad trikampio kampų sumos pridėjimas prie 180° yra proporcingas trikampio plotui.

  Savo knygoje Lambertas įžvalgiai pažymėjo:

  Man atrodo labai nuostabu, kad antroji [bukukampio] hipotezė pasiteisina, jei vietoj plokščių trikampių imsime sferinius. Iš to beveik turėčiau padaryti išvadą – išvadą, kad trečioji hipotezė vyksta kažkokioje įsivaizduojamoje sferoje. Bet kuriuo atveju turi būti priežastis, kodėl lėktuve nėra taip lengva paneigti, kaip tai būtų galima padaryti atsižvelgiant į antrąją hipotezę.

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image014_44.jpg" width="180" height="135">

  Lobačevskis ir Bolyai parodė didesnę drąsą nei Gaussas ir beveik vienu metu (apie 1830 m.), nepriklausomai vienas nuo kito, paskelbė ekspoziciją to, kas dabar vadinama Lobačevskio geometrija. Būdamas aukščiausios klasės profesionalas, Lobačevskis pasistūmėjo toliausiai naujos geometrijos studijose, ir ji pagrįstai pavadinta jo vardu. Tačiau pagrindinis jo nuopelnas yra ne tai, o tai, kad jis tikėjo nauja geometrija ir turėjo drąsos apginti savo įsitikinimą (jis netgi pasiūlė eksperimentiškai patikrinti V postulatą, matuojant trikampio kampų sumą).

  Tragiškas Lobačevskio, išstumto mokslo pasaulyje ir oficialiuose sluoksniuose dėl pernelyg drąsių minčių, likimas parodė, kad Gauso baimės nebuvo veltui. Tačiau jo kova nebuvo veltui. Po kelių dešimtmečių matematikai (Bernhardas Riemannas), o paskui fizikai (Bendroji reliatyvumo teorija, Einšteinas) pagaliau padarė galą euklido fizinės erdvės geometrijos dogmai.

  Nei Lobačevskis, nei Bolyai nesugebėjo įrodyti naujosios geometrijos nuoseklumo – tada matematika dar neturėjo tam reikalingų priemonių. Tik po 40 metų pasirodė Kleino modelis ir kiti modeliai, kurie įgyvendino Lobačevskio geometrijos aksiomatiką Euklido geometrijos pagrindu. Šie modeliai įtikinamai įrodo, kad V postulato neigimas neprieštarauja kitoms geometrijos aksiomoms; iš čia išplaukia, kad postulatas V yra nepriklausomas nuo kitų aksiomų ir to įrodyti neįmanoma. Šimtmečius trukusi idėjų drama baigėsi.

  VII skyrius. Euklido pradžia.

  Graikiškas tekstas Prasidėjo.

  Kasinėjant senovės miestus, buvo rasta keletas papirusų, kuriuose yra nedidelių Euklido elementų fragmentų. Geriausiai žinomas buvo rastas senovinio Oxyrhynchus miesto griuvėsiuose, netoli šiuolaikinio Behnesos kaimo (apie 110 mylių aukštyn Nilo upe nuo Kairo ir 10 mylių į vakarus nuo jo) ir jame yra užrašas II. 5 su nuotrauka.

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image016_37.jpg" width="292" height="230 src="> .jpg" width="291" height="229 src=">

  Kviečiame susipažinti su tokiu puikiu matematiku kaip Euklidas. Mūsų straipsnyje pateikiama biografija, jo pagrindinio darbo santrauka ir keletas įdomių faktų apie šį mokslininką. Euklidas (gyvenimo metai – 365-300 m. pr. Kr.) – matematikas, kilęs iš helenų eros. Jis dirbo Aleksandrijoje, vadovaujamas Ptolemėjaus I Soterio. Yra dvi pagrindinės versijos, kur jis gimė. Pagal pirmąjį – Atėnuose, pagal antrąjį – Tyre (Sirija).

  Euklido biografija: įdomūs faktai

  Gyvenime to nėra daug. Yra žinia, priklausanti Papui iš Aleksandrijos. Šis žmogus buvo matematikas, gyvenęs III mūsų eros amžiaus antroje pusėje. Jis pažymėjo, kad mus dominantis mokslininkas buvo malonus ir švelnus visiems, kurie galėtų kažkaip prisidėti prie tam tikrų matematikos mokslų plėtros.

  Taip pat yra legenda, kurią pranešė Archimedas. Jo pagrindinis veikėjas yra Euklidas. Į trumpą biografiją vaikams dažniausiai įtraukiama ši legenda, nes ji labai įdomi ir gali sužadinti jaunųjų skaitytojų susidomėjimą šiuo matematiku. Jame rašoma, kad karalius Ptolemėjus norėjo studijuoti geometriją. Tačiau paaiškėjo, kad tai padaryti nėra lengva. Tada karalius paskambino mokslininkui Euklidui ir paklausė, ar yra koks nors paprastas būdas suprasti šį mokslą. Tačiau Euklidas atsakė, kad nėra karališko kelio į geometriją. Taigi šis išpopuliarėjęs posakis pas mus atkeliavo legendos pavidalu.

  

  3 amžiaus pr. Kr. pradžioje. e. įkūrė Aleksandrijos muziejų ir Euklidą. Trumpa biografija ir jo atradimai yra susiję su šiomis dviem įstaigomis, kurios buvo ir švietimo centrai.

  Euklidas – Platono mokinys

  Šis mokslininkas praėjo Platono įkurtą akademiją (jo portretas pateikiamas žemiau). Jis išmoko pagrindinę šio mąstytojo filosofinę idėją, kuri buvo ta, kad egzistuoja nepriklausomas idėjų pasaulis. Galima drąsiai teigti, kad Euklidas, kurio biografija yra menka, buvo filosofijos platonistas. Toks požiūris sustiprino mokslininką supratimu, kad viskas, kas buvo sukurta ir išdėstyta savo „Principuose“, yra amžina.

  

  Mus dominantis mąstytojas gimė 205 metais vėliau už Pitagorą, 63 metais vėliau už Platoną, 33 metais vėliau už Eudoksasą, 19 metų vėliau už Aristotelį. Su jų filosofiniais ir matematiniais darbais susipažino savarankiškai arba per tarpininkus.

  Ryšys tarp Euklido elementų ir kitų mokslininkų darbų

  Neoplatonizmo filosofas (gyvenimo metai – 412–485), „Elementų“ komentarų autorius Proklas Diadochas išreiškė mintį, kad šis veikalas atspindi Platono kosmologiją ir „Pitagoro doktriną...“. Savo darbe Euklidas išdėstė aukso pjūvio teoriją (2, 6 ir 13 knygos) ir (13 knyga). Būdamas platonizmo šalininkas, mokslininkas suprato, kad jo „Principai“ prisidėjo prie Platono kosmologijos ir jo pirmtakų išplėtotų idėjų apie visatą apibūdinančią skaitmeninę harmoniją.

  Proklas Diadochos buvo ne vienintelis, kuris vertino platoniškus kietus daiktus ir (gyvenimo metai - 1571-1630) taip pat jais domėjosi. Šis vokiečių astronomas pastebėjo, kad geometrijoje yra 2 lobiai – aukso pjūvis (segmento padalijimas į vidutinį ir kraštutinį santykį) ir Pitagoro teorema. Paskutinio iš jų vertę jis palygino su auksu, o pirmosios – su brangakmeniu. Johanesas Kepleris naudojo platonines kietąsias medžiagas kurdamas savo kosmologinę hipotezę.

  Reikšmė „pradėta“

  

  Knyga „Elementai“ yra pagrindinis Euklido sukurtas kūrinys. Šio mokslininko biografija, žinoma, yra pažymėta kitais darbais, kuriuos aptarsime straipsnio pabaigoje. Pažymėtina, kad kūrinius pavadinimu „Principai“, kuriuose išdėstyti visi svarbiausi teorinės aritmetikos ir geometrijos faktai, parengė ir jo pirmtakai. Vienas iš jų – Hipokratas iš Chijo, matematikas, gyvenęs V amžiuje prieš Kristų. e. Teudijus (IV a. pr. Kr. II pusė) ir Leontas (IV a. pr. Kr.) taip pat rašė knygas tokiu pavadinimu. Tačiau, atsiradus Euklido „Principams“, visi šie kūriniai buvo priversti nebenaudoti. Euklido knyga buvo pagrindinis geometrijos vadovėlis daugiau nei 2 tūkstančius metų. Mokslininkas, kurdamas savo darbą, panaudojo daugelį savo pirmtakų pasiekimų. Euklidas apdorojo turimą informaciją ir sujungė medžiagą.

  Savo knygoje autorius apibendrino matematikos raidą Senovės Graikijoje ir sukūrė tvirtą pagrindą tolesniems atradimams. Tai yra pagrindinio Euklido veikalo reikšmė pasaulio filosofijai, matematikai ir visam mokslui apskritai. Būtų klaidinga manyti, kad tai yra Platono ir Pitagoro mistikos stiprinimas jų pseudovisatoje.

  Daugelis mokslininkų įvertino Euklido elementus, įskaitant Albertą Einšteiną. Jis pažymėjo, kad tai nuostabus darbas, suteikęs žmogaus protui pasitikėjimo savimi, būtino tolesnei veiklai. Einšteinas teigė, kad žmogus, kuris jaunystėje nesižavėjo šia kūryba, gimė ne teoriniams tyrimams.

  Aksiominis metodas

  Atskirai reikėtų atkreipti dėmesį į mus dominančio mokslininko darbo svarbą puikioje jo „Principų“ demonstracijoje. Šis metodas šiuolaikinėje matematikoje yra rimčiausias iš tų, kurie naudojami teorijoms pagrįsti. Jis taip pat plačiai naudojamas mechanikoje. Didysis mokslininkas Niutonas sukūrė savo „Gamtos filosofijos principus“ pagal Euklido sukurto darbo modelį.

  Pagrindinės „Pradžių“ nuostatos

  

  Knygoje „Principia“ sistemingai aiškinama Euklido geometrija. Jo koordinačių sistema pagrįsta tokiomis sąvokomis kaip plokštuma, tiesi linija, taškas, judėjimas. Jame naudojami ryšiai: „taškas yra tiesėje, esančioje plokštumoje“ ir „taškas yra tarp dviejų kitų taškų“.

  Euklido geometrijos nuostatų sistema, pateikta šiuolaikiniame pristatyme, paprastai skirstoma į 5 aksiomų grupes: Euklido judėjimą, tvarką, tęstinumą, derinį ir paraleliškumą.

  

  Trylikoje „Principų“ knygų mokslininkas pristatė aritmetiką, stereometriją, planimetriją ir ryšius pagal Eudoksą. Pažymėtina, kad pristatymas šiame darbe yra griežtai dedukcinis. Kiekviena Euklido knyga prasideda apibrėžimais, o pirmoje iš jų seka aksiomos ir postulatai. Toliau seka sakiniai, suskirstyti į problemas (kur reikia ką nors sukurti) ir teoremas (kur reikia kažką įrodyti).

  Euklido matematikos trūkumas

  Pagrindinis trūkumas yra tas, kad šio mokslininko aksiomatika nėra išsami. Trūksta judėjimo, tęstinumo ir tvarkos aksiomų. Todėl mokslininkui dažnai tekdavo pasitikėti savo akimis ir pasitelkti intuiciją. 14 ir 15 knygos yra vėlesni Euklido kūrinio papildymai. Yra tik labai trumpa jo biografija, todėl negalima tiksliai pasakyti, ar pirmąsias 13 knygų sukūrė vienas žmogus, ar tai yra mokslininko vadovaujamos mokyklos kolektyvinio darbo vaisius.

  Tolesnė mokslo plėtra

  Euklido geometrijos atsiradimas siejamas su mus supančio pasaulio vizualinių vaizdų atsiradimu (šviesos spinduliai, ištempti siūlai kaip tiesių linijų iliustracija ir kt.). Tada jie pagilėjo, todėl atsirado abstraktesnis supratimas apie tokį mokslą kaip geometrija. N.I. Lobačevskis (gyvenimo metai - 1792-1856) - Rusijos matematikas, padaręs svarbų atradimą. Jis pažymėjo, kad yra geometrija, kuri skiriasi nuo euklido. Tai pakeitė mokslininkų idėjas apie kosmosą. Paaiškėjo, kad jie jokiu būdu nėra a priori. Kitaip tariant, Euklido elementuose išdėstyta geometrija negali būti laikoma vienintele, apibūdinančia mus supančios erdvės savybes. Gamtos mokslų (pirmiausia astronomijos ir fizikos) raida parodė, kad jos struktūrą aprašo tik tam tikru tikslumu. Be to, jis negali būti taikomas visai erdvei. Euklido geometrija yra pirmasis jos struktūros supratimo ir apibūdinimo priartėjimas.

  Beje, Lobačevskio likimas susiklostė tragiškai. Moksliniame pasaulyje jis nebuvo priimtas dėl drąsių minčių. Tačiau šio mokslininko kova nebuvo veltui. Lobačevskio idėjų triumfą užtikrino Gaussas, kurio korespondencija buvo paskelbta 1860 m. Tarp laiškų buvo mokslininko entuziastingos Lobačevskio geometrijos apžvalgos.

  Kiti Euklido darbai

  

  Euklido, kaip mokslininko, biografija mūsų laikais yra labai įdomi. Jis padarė svarbių matematikos atradimų. Tai patvirtina faktas, kad nuo 1482 m. knyga „Principai“ išleido daugiau nei penkis šimtus leidimų įvairiomis pasaulio kalbomis. Tačiau matematiko Euklido biografija pažymėta ne tik šios knygos sukūrimu. Jam priklauso daugybė optikos, astronomijos, logikos ir muzikos darbų. Viena iš jų – knyga „Duomenys“, kurioje aprašomos sąlygos, leidžiančios vieną ar kitą matematinį maksimalų vaizdą laikyti „duomenimis“. Kitas Euklido darbas yra knyga apie optiką, kurioje yra informacijos apie perspektyvą. Mus dominantis mokslininkas taip pat parašė esė apie katoptrikus (šiame darbe jis išdėstė veidrodžių iškraipymų teoriją). Taip pat žinoma Euklido knyga „Figūrų padalijimas“. Matematikos veikalas „Deja, neišliko.

  Taigi, jūs sutikote tokį puikų mokslininką kaip Euklidas. Tikimės, kad jo trumpa biografija jums buvo naudinga.

  Senovės matematikas ir filosofas Euklidas gyveno III amžiuje prieš Kristų. Ir jis tikrai buvo puikus matematikas – ne tik savo, bet ir mūsų laikui. Juk pati geometrija, kurią šiandien mokosi viso pasaulio moksleiviai, vadinama euklidine. Jis pagrįstas penkiomis jo išvestomis aksiomomis. Be perdėto, šis mokslininkas padėjo pagrindus šiuolaikinei geometrijai ir daugeliu atžvilgių matematikai kaip mokslui.

  Ir tikriausiai daugeliui bus įdomu sužinoti keletą įdomių faktų iš Euklido gyvenimo.
  
  

  Kur ir kada

  Pastebėtina, kad nėra tiksliai žinoma, kada tiksliai ir kurioje vietoje gimė Euklidas. Iš menkų įrašų iš XII amžiaus arabiškų knygų galima spręsti, kad jo tėvo vardas buvo Naukratas, o pats būsimas didis matematikas gimė Graikijoje.

  Spėjama, kad jis pradėjo mokytis Platono akademijoje, prie įėjimo, į kurią, beje, buvo užrašas: „Niekas, kuris nemoka geometrijos, niekada čia neįstos“.

  Tačiau Euklido mirties aplinkybes ir net tikslią datą taip pat gaubia paslaptis: manoma, kad šis liūdnas įvykis įvyko ne vėliau kaip 265 m. pr.

  Karališkieji būdai

  Viena garsiausių legendų apie Euklidą atkeliavo pas mus iš paties Archimedo žodžių. Jis pasakojo, kad vieną dieną pats karalius Ptolemėjus nusprendė pradėti studijuoti geometriją pagal Euklido elementus. Tačiau mokslas karališkajam asmeniui atrodė labai sunkus ir nebuvo duotas. Ir tada Ptolemėjas paklausė, ar nėra lengvesnio ir greitesnio būdo viską suvaldyti... Tam Euklidas ištarė dabar skambančią frazę: „Geometrijoje nėra karališkųjų takų“.
  

  Pelningas mokslas

  Taip pat žinomas atvejis, kai vienas studentas paklausė žinomo matematiko, kuo geometrija gali būti naudinga jam gyvenime. Euklidas pašaukė tarną ir liepė duoti studentui tris obolus (piniginį vienetą), sakydamas:

  - Duok jam pinigų, nes jis nori tik pelno iš mokslo.

  Daug pradžios

  Įdomu tai, kad Euklido „Elementai“ nebuvo vieninteliai „Elementai“ prieš jį. Anksčiau daugelis mokslininkų rašė mokslinius darbus, kurie buvo vadinami „Principais“. Tačiau per šimtmečius išgarsėjo tik euklidiniai.

  Tačiau didysis geometras nekūrė savo darbų iš absoliučiai nieko. Tiesą sakant, verta paminėti, kad daugelis jo teoremų buvo sukurtos remiantis tuo metu jau turimomis žiniomis. Tačiau Euklidas juos sujungė, klasifikavo ir sugebėjo pagrįsti moksliniu požiūriu.

  Pagal griežtą loginę grandinę

  Būtent savo „Elementuose“ Euklidas padarė tai, kas šiandien atrodo savaime suprantama: visas savo išvadas jis pradėjo grįsti griežtų loginių išvadų grandine. Tuo pačiu metu jis manė, kad svarbu, kad grandinė prasidėtų kažkur, o ne augtų iš tuščios vietos, nes tokiu atveju ji gali niekada nesibaigti. Pats jo mokslinio darbo pavadinimas turi būti susijęs su tuo. Tačiau kadangi buvo labai sunku pasiekti patį pradinį sprendimą, pats Euklidas suformulavo savo garsiąsias aksiomas – teiginius, kuriems nereikia įrodymų. Ir tik pagal šias aksiomas jam pavyko išvesti visus kitus įrodymus ir teoremas.
  
  

  Platonas yra mano draugas

  Kaip jau minėta, Euklidas mokėsi mokykloje pas patį Platoną. Nenuostabu, kad savo filosofiniais sprendimais jis priklausė vadinamajam platonistui. Visų pirma jis tikėjo, kad viskas remiasi keturiais elementais – vandeniu, oru, žeme ir ugnimi.

  Nepatvirtinti Euklido darbai

  Arabai – ir ne tik jie – Euklidui dažnai priskiria kitus kūrinius daugelyje žinių sričių – nuo ​​muzikos iki medicinos. Pavyzdžiui, pagrindinis muzikos teorijos darbas „Armonika“, taip pat „Kanonų padalijimas“. Tačiau mūsų laikais buvo įrodyta, kad matematikas su šiais darbais neturi nieko bendra. Greičiausiai jų autorius buvo pitagorietis Kleonidas. Nors tai nėra tiksliai žinoma.

  Gera matematika

  Kitas senovės matematikas Pappas praneša, kad Euklidas buvo neįprastai švelnus ir malonus tiems, kurie, pirma, galėjo padėti skleisti matematiką kaip mokslą, ir, antra, jei pamatė, kad žmogus tikrai trokšta geometrijos. Jis netgi sugebėjo pakeisti savo nuomonę apie tą ar kitą žmogų, jei staiga sužinojo, kad jam įdomi arba, priešingai, nesidomi matematika.

  Ir muziejus, ir biblioteka

  Taip pat žinoma, kad Euklidas trečiojo amžiaus sandūroje prieš Kristų organizavo muziejaus ir bibliotekos atidarymą Aleksandrijos mieste. Čia jis vėliau padarė daug savo atradimų. Be to, muziejus ir Euklido biblioteka atliko senovės mokslo centrų vaidmenį.
  

  „Amžina“ knyga

  Pasiduodamas Platono mokyklai, Euklidas tikėjo, kad viskas, ką jis išdėstė savo „Principuose“, ne tik nėra kvestionuojama, bet ir egzistuos amžinai. Kad ir kaip būtų, daugiau nei 2 tūkstančius metų būtent iš Euklido darbų studentai įvaldo geometrijos išmintį.

  Neeuklidinė geometrija

  Ir tik po daugiau nei 2 tūkstančių metų rusų matematikas Lobačevskis suabejojo ​​absoliučiu Euklido geometrijos pagrįstumu. Jis sukūrė „savo“ geometriją, kuri buvo pagrįsta ne plokštuma, o pseudosfera. Įdomu tai, kad visos Euklido išvestos aksiomos buvo išsaugotos. Išskyrus vieną – apie lygiagrečias linijas.

  Be Lobačevskio, „savo“ geometriją sukūrė ir vokiečių matematikas Riemannas. Šiuo metu pasaulyje keistai sugyvena trys geometrijos – Euklido, Rimano ir Lobačevskio.

  Ar taip buvo, kaip aprašo kai kurios istorijos apie Euklidą, o gal nieko panašaus neįvyko, nėra taip svarbu. „Matematinių principų“ autorius amžiams įrašė savo vardą į mokslo metraščius, kur ir liks – kartu su tokiais genijais kaip Niutonas, Galilėjus, Sokratas ar Pitagoras.