Dvi sąlygos taisyklingajai piramidei pagal jos apibrėžimą. Piramidė ir jos elementai

Trimatė figūra, kuri dažnai atsiranda geometrinėse problemose, yra piramidė. Paprasčiausia iš visų šios klasės figūrų yra trikampė. Šiame straipsnyje mes išsamiai išanalizuosime pagrindines teisingo formules ir savybes

Geometrinės idėjos apie figūrą

Prieš pradėdami svarstyti taisyklingos trikampės piramidės savybes, atidžiau pažiūrėkime, apie kokią figūrą kalbame.

Tarkime, kad trimatėje erdvėje yra savavališkas trikampis. Pažymime bet kurį šios erdvės tašką, kuris nėra trikampio plokštumoje, ir sujungsime jį su trimis trikampio viršūnėmis. Gavome trikampę piramidę.

Jį sudaro 4 kraštinės, kurios visos yra trikampės. Taškai, kuriuose susikerta trys veidai, vadinami viršūnėmis. Figūroje taip pat yra keturi iš jų. Dviejų veidų susikirtimo linijos yra briaunos. Aptariama piramidė turi 6 briaunas Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodytas šios figūros pavyzdys.

Kadangi figūrą sudaro keturios kraštinės, ji taip pat vadinama tetraedru.

Teisinga piramidė

Aukščiau mes apsvarstėme savavališką figūrą su trikampiu pagrindu. Dabar tarkime, kad nubrėžiame statmeną atkarpą nuo piramidės viršaus iki jos pagrindo. Šis segmentas vadinamas aukščiu. Akivaizdu, kad galite nupiešti 4 skirtingus figūros aukščius. Jei aukštis kerta trikampio pagrindą geometriniame centre, tada tokia piramidė vadinama tiesia.

Tiesi piramidė, kurios pagrindas yra lygiakraštis trikampis, vadinama taisyklingąja. Jai visi trys trikampiai, sudarantys šoninį figūros paviršių, yra lygiašoniai ir lygūs vienas kitam. Ypatingas taisyklingosios piramidės atvejis yra situacija, kai visos keturios kraštinės yra lygiakraščiai identiški trikampiai.

Panagrinėkime taisyklingos trikampės piramidės savybes ir pateiksime atitinkamas formules jos parametrams apskaičiuoti.

Pagrindo pusė, aukštis, šoninis kraštas ir apotema

Bet kurie du iš išvardytų parametrų vienareikšmiškai nustato likusias dvi charakteristikas. Pateiksime formules, kurios susieja šiuos dydžius.

Tarkime, kad taisyklingos trikampės piramidės pagrindo kraštinė yra a. Jo šoninio krašto ilgis b. Koks bus taisyklingos trikampės piramidės ir jos apotemos aukštis?

Dėl ūgio h gauname išraišką:

Ši formulė išplaukia iš Pitagoro teoremos, kurios šoninė briauna, aukštis ir 2/3 pagrindo aukščio.

Piramidės apotemas yra bet kurio kraštinio trikampio aukštis. Apotemos a b ilgis yra lygus:

a b = √ (b 2 - a 2 /4)

Iš šių formulių aišku, kad ir kokia būtų trikampės taisyklingosios piramidės pagrindo kraštinė ir jos šoninės briaunos ilgis, apotemas visada bus didesnis už piramidės aukštį.

Dviejose pateiktose formulėse yra visos keturios nagrinėjamos figūros tiesinės charakteristikos. Todėl, atsižvelgiant į žinomus du iš jų, likusius galite rasti išspręsdami rašytinių lygybių sistemą.

Figūros tūris

Absoliučiai bet kuriai piramidei (įskaitant pasvirusią) jos ribojamos erdvės tūrio reikšmę galima nustatyti žinant figūros aukštį ir jos pagrindo plotą. Atitinkama formulė yra:

Pritaikę šią išraišką aptariamai figūrai, gauname tokią formulę:

Kur taisyklingos trikampės piramidės aukštis yra h, o pagrindo kraštinė yra a.

Nesunku gauti tetraedro tūrio formulę, kurioje visos kraštinės yra lygios viena kitai ir vaizduoja lygiakraščius trikampius. Šiuo atveju figūros tūris nustatomas pagal formulę:

Tai yra, ji vienareikšmiškai nustatoma pagal kraštinės a ilgį.

Paviršiaus plotas

Toliau svarstykime trikampį įprastą. Bendras visų figūros veidų plotas vadinamas jos paviršiaus plotu. Pastarąjį galima patogiai ištirti atsižvelgiant į atitinkamą plėtrą. Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kaip atrodo taisyklingos trikampės piramidės raida.

Tarkime, kad žinome figūros aukštį h ir pagrindo a kraštinę. Tada jo pagrindo plotas bus lygus:

Kiekvienas moksleivis gali gauti šią išraišką, jei prisimena, kaip rasti trikampio plotą, ir taip pat atsižvelgia į tai, kad lygiakraščio trikampio aukštis taip pat yra pusiausvyra ir mediana.

Šoninio paviršiaus plotas, sudarytas iš trijų vienodų lygiašonių trikampių, yra:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ši lygybė išplaukia iš piramidės apotemos išraiškos pagrindo aukščiu ir ilgiu.

Bendras paveikslo paviršiaus plotas yra:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Atkreipkite dėmesį, kad tetraedro, kurio visos keturios kraštinės yra vienodi lygiakraščiai trikampiai, plotas S bus lygus:

Taisyklingos nupjautinės trikampės piramidės savybės

Jei nagrinėjamos trikampės piramidės viršūnė nupjaunama plokštuma, lygiagrečia pagrindui, tada likusi apatinė dalis bus vadinama nupjautąja piramide.

Trikampio pagrindo atveju taikant aprašytą pjūvių metodą gaunamas naujas trikampis, kuris taip pat yra lygiakraštis, bet kurio kraštinės ilgis yra trumpesnis nei pagrindo kraštinės. Žemiau parodyta nupjauta trikampė piramidė.

Matome, kad šią figūrą jau riboja du trikampiai pagrindai ir trys lygiašonės trapecijos.

Tarkime, kad gautos figūros aukštis lygus h, apatinio ir viršutinio pagrindo kraštinių ilgiai atitinkamai a 1 ir a 2, o apotemas (trapecijos aukštis) lygus a b. Tada nupjautos piramidės paviršiaus plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Čia pirmasis terminas yra šoninio paviršiaus plotas, antrasis terminas yra trikampio pagrindo plotas.

Figūros tūris apskaičiuojamas taip:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Norint vienareikšmiškai nustatyti nupjautos piramidės charakteristikas, reikia žinoti tris jos parametrus, kuriuos parodo pateiktos formulės.

Piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis. Visi veidai savo ruožtu sudaro trikampius, kurie susilieja vienoje viršūnėje. Piramidės yra trikampės, keturkampės ir pan. Norint nustatyti, kuri piramidė yra priešais jus, pakanka suskaičiuoti kampų skaičių jos pagrindu. „Piramidės aukščio“ apibrėžimas labai dažnai randamas geometrijos uždaviniuose mokyklos programoje. Šiame straipsnyje pabandysime pažvelgti į įvairius būdus, kaip jį rasti.

Piramidės dalys

Kiekviena piramidė susideda iš šių elementų:

• šoniniai paviršiai, kurie turi tris kampus ir susilieja viršūnėje;
• apotemas reiškia aukštį, kuris nusileidžia nuo jo viršūnės;
• piramidės viršus yra taškas, jungiantis šoninius šonkaulius, bet ne guli pagrindo plokštumoje;
• pagrindas yra daugiakampis, ant kurio viršūnė nėra;
• piramidės aukštis yra atkarpa, kuri kerta piramidės viršūnę ir sudaro stačią kampą su jos pagrindu.

Kaip sužinoti piramidės aukštį, jei žinomas jos tūris

Pagal formulę V = (S*h)/3 (formulėje V – tūris, S – pagrindo plotas, h – piramidės aukštis) gauname, kad h = (3*V)/ S. Norėdami konsoliduoti medžiagą, nedelsdami išspręskime problemą. Trikampio pagrindo plotas yra 50 cm 2 , o tūris - 125 cm 3 . Trikampės piramidės aukštis nežinomas, tai mums reikia rasti. Čia viskas paprasta: duomenis įterpiame į savo formulę. Gauname h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Kaip rasti piramidės aukštį, jei žinomas įstrižainės ilgis ir jos briaunos

Kaip prisimename, piramidės aukštis sudaro stačią kampą su jos pagrindu. Tai reiškia, kad aukštis, kraštas ir pusė įstrižainės kartu sudaro Daugelis, žinoma, prisimena Pitagoro teoremą. Žinant du matmenis, nebus sunku rasti trečiąjį dydį. Prisiminkime gerai žinomą teoremą a² = b² + c², kur a yra hipotenuzė, o mūsų atveju - piramidės kraštas; b - piramidės pirmoji atkarpa arba pusė įstrižainės ir c - atitinkamai antroji kojelė arba piramidės aukštis. Pagal šią formulę c² = a² - b².

Dabar problema: įprastoje piramidėje įstrižainė yra 20 cm, kai krašto ilgis yra 30 cm. Reikia rasti aukštį. Išsprendžiame: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Vadinasi, c = √ 500 = apie 22,4.

Kaip rasti nupjautos piramidės aukštį

Tai daugiakampis, kurio skerspjūvis lygiagretus jo pagrindui. Nupjautos piramidės aukštis yra segmentas, jungiantis du jos pagrindus. Taisyklingos piramidės aukštį galima rasti, jei yra žinomi abiejų pagrindų įstrižainių ilgiai, taip pat piramidės briauna. Tegul didesnio pagrindo įstrižainė yra d1, o mažesnio pagrindo įstrižainė lygi d2, o briaunos ilgis l. Norėdami rasti aukštį, galite sumažinti aukščius nuo dviejų viršutinių priešingų diagramos taškų iki pagrindo. Matome, kad turime du stačiuosius trikampius, belieka rasti jų kojų ilgį. Norėdami tai padaryti, iš didesnės įstrižainės atimkite mažesnę ir padalinkite iš 2. Taigi rasime vieną koją: a = (d1-d2)/2. Po to, pagal Pitagoro teoremą, mums tereikia surasti antrąją koją, kuri yra piramidės aukštis.

Dabar pažvelkime į visa tai praktiškai. Mūsų laukia užduotis. Nupjautos piramidės apačioje yra kvadratas, didesnio pagrindo įstrižainės ilgis yra 10 cm, o mažesnio - 6 cm, o kraštas - 4 cm. Reikia rasti aukštį. Pirmiausia randame vieną koją: a = (10-6)/2 = 2 cm Viena koja yra lygi 2 cm, o hipotenuzė yra 4 cm. 4 = 12, tai yra, h = √12 = apie 3,5 cm.

Šis vaizdo įrašas padės vartotojams suprasti piramidės temą. Teisinga piramidė. Šioje pamokoje susipažinsime su piramidės sąvoka ir pateiksime jos apibrėžimą. Panagrinėkime, kas yra įprasta piramidė ir kokias jos savybes ji turi. Tada įrodome teoremą apie taisyklingosios piramidės šoninį paviršių.

Šioje pamokoje susipažinsime su piramidės sąvoka ir pateiksime jos apibrėžimą.

Apsvarstykite daugiakampį A 1 A 2...A n, kuris yra α plokštumoje, ir taškas P, kuris nėra α plokštumoje (1 pav.). Sujunkime taškus P su viršūnėmis A 1, A 2, A 3, … A n. Mes gauname n trikampiai: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R ir taip toliau.

Apibrėžimas. Daugiakampis RA 1 A 2 ...A n, sudarytas iš n- kvadratas A 1 A 2...A n Ir n trikampiai RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 vadinamas n- anglies piramidė. Ryžiai. 1.

Ryžiai. 1

Apsvarstykite keturkampę piramidę PABCD(2 pav.).

R- piramidės viršūnė.

ABCD- piramidės pagrindas.

RA- šoninis šonkaulis.

AB- pagrindo šonkaulis.

Iš taško R numeskime statmeną RNį bazinę plokštumą ABCD. Nubrėžtas statmuo yra piramidės aukštis.

Ryžiai. 2

Visas piramidės paviršius susideda iš šoninio paviršiaus, tai yra, visų šoninių paviršių ploto ir pagrindo ploto:

S pilnas = S pusė + S pagrindinis

Piramidė vadinama teisinga, jei:

• jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis;
• atkarpa, jungianti piramidės viršūnę su pagrindo centru, yra jos aukštis.

Paaiškinimas naudojant taisyklingos keturkampės piramidės pavyzdį

Apsvarstykite taisyklingą keturkampę piramidę PABCD(3 pav.).

R- piramidės viršūnė. Piramidės pagrindas ABCD- taisyklingas keturkampis, tai yra kvadratas. Taškas APIE, įstrižainių susikirtimo taškas, yra kvadrato centras. Reiškia, RO yra piramidės aukštis.

Ryžiai. 3

Paaiškinimas: teisinga n Trikampyje įbrėžto apskritimo centras ir apskritimo centras sutampa. Šis centras vadinamas daugiakampio centru. Kartais sakoma, kad viršūnė projektuojama į centrą.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, ištrauktas iš jos viršūnės, vadinamas apotemas ir yra paskirtas h a.

1. visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios;

2. Šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai.

Šių savybių įrodymą pateiksime taisyklingos keturkampės piramidės pavyzdžiu.

Duota: PABCD- taisyklinga keturkampė piramidė,

ABCD- kvadratas,

RO- piramidės aukštis.

Įrodyk:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Žr. pav. 4.

Ryžiai. 4

Įrodymas.

RO- piramidės aukštis. Tai yra, tiesiai RO statmenai plokštumai ABC, todėl tiesioginis UAB, VO, SO Ir DARYK guli joje. Taigi trikampiai ROA, ROV, ROS, ROD- stačiakampis.

Apsvarstykite kvadratą ABCD. Iš kvadrato savybių matyti, kad AO = VO = CO = DARYK.

Tada stačiakampiai trikampiai ROA, ROV, ROS, ROD koja RO- bendras ir kojos UAB, VO, SO Ir DARYK yra lygūs, o tai reiškia, kad šie trikampiai yra lygūs iš dviejų kraštinių. Iš trikampių lygybės išplaukia atkarpų lygybė, RA = PB = RS = PD. 1 punktas įrodytas.

Segmentai AB Ir Saulė yra vienodos, nes yra to paties kvadrato kraštinės, RA = PB = RS. Taigi trikampiai AVR Ir VSR – lygiašonis ir lygus iš trijų kraštinių.

Panašiai randame tuos trikampius ABP, VCP, CDP, DAP yra lygiašoniai ir lygūs, kaip reikalaujama įrodyti 2 dalyje.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusei pagrindo ir apotemos perimetro sandaugos:

Norėdami tai įrodyti, parinkkime taisyklingą trikampę piramidę.

Duota: RAVS- taisyklinga trikampė piramidė.

AB = BC = AC.

RO- aukštis.

Įrodyk: . Žr. pav. 5.

Ryžiai. 5

Įrodymas.

RAVS- taisyklinga trikampė piramidė. Tai yra AB= AC = BC. Leiskite APIE- trikampio centras ABC, Tada RO yra piramidės aukštis. Piramidės pagrinde yra lygiakraštis trikampis ABC. Atkreipkite dėmesį, kad .

Trikampiai RAV, RVS, RSA- lygiašoniai trikampiai (pagal savybę). Trikampė piramidė turi tris šoninius paviršius: RAV, RVS, RSA. Tai reiškia, kad piramidės šoninio paviršiaus plotas yra:

S pusė = 3S RAW

Teorema įrodyta.

Į taisyklingos keturkampės piramidės pagrindą įbrėžto apskritimo spindulys yra 3 m, piramidės aukštis – 4 m. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Duota: taisyklinga keturkampė piramidė ABCD,

ABCD- kvadratas,

r= 3 m,

RO- piramidės aukštis,

RO= 4 m.

Rasti: S pusė. Žr. pav. 6.

Ryžiai. 6

Sprendimas.

Pagal įrodytą teoremą,.

Pirmiausia suraskime pagrindo pusę AB. Žinome, kad į taisyklingos keturkampės piramidės pagrindą įbrėžto apskritimo spindulys yra 3 m.

Tada, m.

Raskite kvadrato perimetrą ABCD kurių kraštinė yra 6 m:

Apsvarstykite trikampį BCD. Leiskite M- šono vidurys DC. Nes APIE- vidurys BD, Tai (m).

Trikampis DPC- lygiašoniai. M- vidurys DC. tai yra RM- mediana, taigi ir aukštis trikampyje DPC. Tada RM- piramidės apotema.

RO- piramidės aukštis. Tada tiesiai RO statmenai plokštumai ABC, todėl tiesioginis OM, guli jame. Raskime apotemą RM iš stačiojo trikampio ROM.

Dabar galime rasti piramidės šoninį paviršių:

Atsakymas Plotas: 60 m2.

Aplink taisyklingos trikampės piramidės pagrindą apibrėžiamo apskritimo spindulys lygus m. Šoninio paviršiaus plotas yra 18 m 2. Raskite apotemo ilgį.

Duota: ABCP- taisyklinga trikampė piramidė,

AB = BC = SA,

R= m,

P pusė = 18 m2.

Rasti: . Žr. pav. 7.

Ryžiai. 7

Sprendimas.

Stačiakampiame trikampyje ABC Nurodytas apibrėžto apskritimo spindulys. Raskime pusę ABšis trikampis naudojant sinusų dėsnį.

Žinodami taisyklingo trikampio kraštinę (m), randame jo perimetrą.

Pagal teoremą apie taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotą, kur h a- piramidės apotema. Tada:

Atsakymas: 4 m.

Taigi, pažiūrėjome, kas yra piramidė, kas yra taisyklingoji piramidė, ir įrodėme teoremą apie taisyklingosios piramidės šoninį paviršių. Kitoje pamokoje susipažinsime su nupjautąja piramide.

Nuorodos

1. Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų (pagrindinio ir specializuoto lygio) mokiniams / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-asis leidimas, red. ir papildomas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr.
2. Geometrija. 10-11 kl.: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: iliustr.
3. Geometrija. 10 klasė: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu /E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6 leid., stereotipas. - M.: Bustardas, 008. - 233 p.: iliustr.

1. Interneto portalas "Yaklass" ()
2. Interneto portalas „Pedagoginių idėjų festivalis „Rugsėjo pirmoji“ ()
3. Interneto portalas „Slideshare.net“ ()

Namų darbai

1. Ar taisyklingas daugiakampis gali būti netaisyklingos piramidės pagrindas?
2. Įrodykite, kad taisyklingosios piramidės nesujungtos briaunos yra statmenos.
3. Raskite dvikampio kampo taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinėje reikšmę, jei piramidės apotemas lygus jos pagrindo kraštinei.
4. RAVS- taisyklinga trikampė piramidė. Sukurkite dvisienio kampo tiesinį kampą piramidės pagrindu.

Su piramidės koncepcija studentai susiduria dar gerokai prieš studijuodami geometriją. Dėl to kalti garsieji didieji Egipto pasaulio stebuklai. Todėl pradėdami tyrinėti šį nuostabų daugiakampį dauguma studentų jau aiškiai jį įsivaizduoja. Visi aukščiau paminėti atrakcionai yra tinkamos formos. Kas atsitiko taisyklinga piramidė, ir kokias savybes jis turi, bus aptarta toliau.

Apibrėžimas

Yra gana daug piramidės apibrėžimų. Nuo seniausių laikų jis buvo labai populiarus.

Pavyzdžiui, Euklidas jį apibrėžė kaip kūno figūrą, susidedančią iš plokštumų, kurios, pradedant nuo vienos, susilieja tam tikrame taške.

Heronas pateikė tikslesnę formulę. Jis tvirtino, kad tai yra ta figūra turi pagrindą ir plokštumas trikampių pavidalu, susilieja viename taške.

Remiantis šiuolaikine interpretacija, piramidė vaizduojama kaip erdvinis daugiakampis, susidedantis iš tam tikro k-gon ir k plokščių trikampių figūrų, turinčių vieną bendrą tašką.

Pažvelkime į tai išsamiau, iš kokių elementų jis susideda:

• K-gonas laikomas figūros pagrindu;
• 3 kampų formos išsikiša kaip šoninės dalies kraštai;
• viršutinė dalis, iš kurios atsiranda šoniniai elementai, vadinama viršūne;
• visos atkarpos, jungiančios viršūnę, vadinamos briaunomis;
• jei tiesi linija nuleista nuo viršūnės iki figūros plokštumos 90 laipsnių kampu, tai jos dalis, esanti vidinėje erdvėje, yra piramidės aukštis;
• bet kuriame šoniniame elemente statmenas, vadinamas apotemu, gali būti nubrėžtas į mūsų daugiakampio pusę.

Kraštinių skaičius apskaičiuojamas pagal formulę 2*k, kur k – k-kampio kraštinių skaičius. Kiek veidų turi daugiakampis, pavyzdžiui, piramidė, galima nustatyti naudojant išraišką k+1.

Svarbu! Taisyklingos formos piramidė yra stereometrinė figūra, kurios pagrindinė plokštuma yra kkampis, turintis lygias kraštines.

Pagrindinės savybės

Teisinga piramidė turi daug savybių, kurios būdingos tik jai. Išvardinkime juos:

1. Pagrindas yra tinkamos formos figūra.
2. Šoninius elementus ribojančios piramidės briaunos turi vienodas skaitines reikšmes.
3. Šoniniai elementai yra lygiašoniai trikampiai.
4. Figūros aukščio pagrindas patenka į daugiakampio centrą, o kartu yra centrinis įbrėžto ir apibrėžto taškas.
5. Visi šoniniai šonkauliai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu.
6. Visi šoniniai paviršiai turi tokį patį pasvirimo kampą pagrindo atžvilgiu.

Dėl visų išvardytų savybių elementų skaičiavimas yra daug paprastesnis. Remdamiesi aukščiau pateiktomis savybėmis, atkreipiame dėmesį į du ženklai:

1. Tuo atveju, kai daugiakampis tilps į apskritimą, šoniniai paviršiai turės lygius kampus su pagrindu.
2. Apibūdinant apskritimą aplink daugiakampį, visos piramidės briaunos, kylančios iš viršūnės, bus vienodo ilgio ir vienodo kampo su pagrindu.

Pagrindas yra kvadratas

Taisyklinga keturkampė piramidė - daugiakampis, kurio pagrindas yra kvadratas.

Jis turi keturis šoninius paviršius, kurie yra lygiašoniai.

Kvadratas vaizduojamas plokštumoje, bet remiasi visomis taisyklingo keturkampio savybėmis.

Pavyzdžiui, jei reikia susieti kvadrato kraštinę su jo įstrižaine, naudokite tokią formulę: įstrižainė yra lygi kvadrato kraštinės ir dviejų kvadratinės šaknies sandaugai.

Jis pagrįstas taisyklingu trikampiu

Taisyklinga trikampė piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra taisyklingas 3 kampų.

Jei pagrindas yra taisyklingas trikampis, o šoniniai kraštai yra lygūs pagrindo kraštams, tada tokia figūra vadinamas tetraedru.

Visi tetraedro paviršiai yra lygiakraščiai 3 kampų. Tokiu atveju turite žinoti kai kuriuos dalykus ir nešvaistyti jiems laiko skaičiuodami:

• šonkaulių pasvirimo kampas į bet kurį pagrindą yra 60 laipsnių;
• visų vidinių veidų dydis taip pat yra 60 laipsnių;
• bet koks veidas gali veikti kaip pagrindas;
• , nupieštas paveikslo viduje, tai yra vienodi elementai.

Daugiakampio pjūviai

Bet kuriame daugiakampyje yra kelių tipų skyriai butas. Dažnai mokyklos geometrijos kursuose jie dirba su dviem:

• ašinis;
• lygiagrečiai pagrindui.

Ašinis pjūvis gaunamas susikertant daugiakampį su plokštuma, kuri eina per viršūnę, šonines briaunas ir ašį. Šiuo atveju ašis yra aukštis, nubrėžtas iš viršūnės. Pjovimo plokštumą riboja susikirtimo linijos su visais paviršiais, todėl susidaro trikampis.

Dėmesio! Taisyklingoje piramidėje ašinis pjūvis yra lygiašonis trikampis.

Jei pjovimo plokštuma eina lygiagrečiai pagrindui, rezultatas yra antrasis variantas. Šiuo atveju turime skerspjūvio figūrą, panašią į pagrindą.

Pavyzdžiui, jei prie pagrindo yra kvadratas, tai atkarpa lygiagreti pagrindui taip pat bus kvadratas, tik mažesnių matmenų.

Spręsdami problemas pagal šią sąlygą, jie naudoja figūrų panašumo ženklus ir savybes, remiantis Thaleso teorema. Pirmiausia reikia nustatyti panašumo koeficientą.

Jei plokštuma nubrėžta lygiagrečiai pagrindui ir ji nupjauna viršutinę daugiakampio dalį, tai apatinėje dalyje gaunama taisyklinga nupjauta piramidė. Tada sakoma, kad nupjauto daugiakampio pagrindai yra panašūs daugiakampiai. Šiuo atveju šoniniai paviršiai yra lygiašonės trapecijos. Ašinė pjūvis taip pat lygiašonis.

Norint nustatyti nupjauto daugiakampio aukštį, reikia nubrėžti aukštį ašinėje pjūvėje, tai yra trapecijoje.

Paviršiaus plotai

Pagrindinės geometrinės problemos, kurias reikia išspręsti mokykliniame geometrijos kurse piramidės paviršiaus ploto ir tūrio radimas.

Yra dviejų tipų paviršiaus ploto vertės:

• šoninių elementų plotas;
• viso paviršiaus plotas.

Iš paties pavadinimo aišku, apie ką kalbame. Šoninis paviršius apima tik šoninius elementus. Iš to išplaukia, kad norint jį rasti, tereikia susumuoti šoninių plokštumų plotus, tai yra lygiašonių 3 kampų plotus. Pabandykime išvesti šoninių elementų ploto formulę:

1. Lygiašonio 3 kampo plotas yra Str = 1/2 (aL), kur a yra pagrindo kraštinė, L yra apotema.
2. Šoninių plokštumų skaičius priklauso nuo pagrindo k-gon tipo. Pavyzdžiui, taisyklinga keturkampė piramidė turi keturias šonines plokštumas. Todėl reikia pridėti keturių skaičių plotus Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Išraiška tokiu būdu supaprastinta, nes reikšmė 4a = Rosn, kur Rosn yra pagrindo perimetras. O išraiška 1/2*Rosn yra jos pusiau perimetras.
3. Taigi darome išvadą, kad taisyklingos piramidės šoninių elementų plotas yra lygus pagrindo pusperimetro ir apotemos sandaugai: Sside = Rosn * L.

Piramidės viso paviršiaus plotas susideda iš šoninių plokštumų ir pagrindo plotų sumos: Sp.p = Sside + Sbas.

Kalbant apie pagrindo plotą, čia formulė naudojama pagal daugiakampio tipą.

Taisyklingos piramidės tūris lygi bazinės plokštumos ploto ir aukščio sandaugai, padalytai iš trijų: V=1/3*Sbas*H, kur H – daugiakampio aukštis.

Kas yra taisyklinga piramidė geometrijoje

Taisyklingos keturkampės piramidės savybės

Darbo tekstas skelbiamas be vaizdų ir formulių.
Pilną darbo versiją rasite skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu

Įvadas

Kai susiduriame su žodžiu „piramidė“, mūsų asociatyvi atmintis nukelia mus į Egiptą. Jei kalbėtume apie ankstyvosios architektūros paminklus, galima teigti, kad jų skaičius siekia bent kelis šimtus. Vienas XIII amžiaus arabų rašytojas sakė: „Viskas pasaulyje bijo laiko, o laikas bijo piramidžių“. Piramidės yra vienintelis iš septynių pasaulio stebuklų, išlikęs iki mūsų laikų, prieš kompiuterinių technologijų erą. Tačiau mokslininkams vis dar nepavyko rasti raktų į visas savo paslaptis. Kuo daugiau sužinome apie piramides, tuo daugiau mums kyla klausimų. Piramidės domina istorikus, fizikus, biologus, gydytojus, filosofus ir kt. Jos kelia didelį susidomėjimą ir skatina giliau tyrinėti jų savybes tiek matematiniu, tiek kitais (istoriniais, geografiniais ir kt.) požiūriais.

Štai kodėl tikslas Mūsų tyrimas buvo tirti piramidės savybes iš skirtingų požiūrių. Tarpiniais tikslais nustatėme: piramidės savybių svarstymą matematikos požiūriu, hipotezių apie piramidės paslapčių ir paslapčių egzistavimą, jos pritaikymo galimybes, tyrimą.

ObjektasŠio darbo tyrimas yra piramidė.

Prekė tyrimai: piramidės ypatybės ir savybės.

Užduotys tyrimas:

Studijuoti populiariąją mokslinę literatūrą tyrimo tema.

Apsvarstykite piramidę kaip geometrinį kūną.

Nustatykite piramidės savybes ir ypatybes.

Raskite medžiagą, patvirtinančią piramidės savybių pritaikymą įvairiose mokslo ir technikos srityse.

Metodai tyrimai: analizė, sintezė, analogija, mentalinis modeliavimas.

Laukiamas darbo rezultatas turėtų būti struktūrizuota informacija apie piramidę, jos savybes ir pritaikymo galimybes.

Projekto rengimo etapai:

Projekto temos, tikslų ir uždavinių nustatymas.

Studijuoti ir rinkti medžiagą.

Projekto plano sudarymas.

Tikėtino projekto veiklos rezultato suformulavimas, įskaitant naujos medžiagos įsisavinimą, žinių, įgūdžių ir gebėjimų formavimą dalykinėje veikloje.

Tyrimo rezultatų pristatymas.

Atspindys

Piramidė kaip geometrinis kūnas

Panagrinėkime žodžio ir termino kilmę “ piramidė“ Iš karto verta paminėti, kad „piramidė“ arba „ piramidė"(anglų kalba), " piramidė"(prancūzų, ispanų ir slavų kalbos), "piramidė"(vokiečių kalba) yra vakarietiškas terminas, kilęs iš senovės Graikijos. Senovės graikų kalba πύραμίς („p iramis"ir daug daugiau. h. Πύραμίδες « piramidės“) turi keletą reikšmių. Senovės graikai vadino piramidė» kviečių pyragas, panašus į Egipto pastatų formą. Vėliau šis žodis ėmė reikšti „monumentalią statinį su kvadratiniu plotu apačioje ir nuožulniomis kraštinėmis, susijungiančiomis viršuje. Etimologinis žodynas rodo, kad graikų "piramis" kilęs iš egiptiečių " pimaras“. Pirmasis rašytinis žodžio aiškinimas "piramidė" rastas Europoje 1555 m. ir reiškia: „vienas iš senovės karalių struktūrų tipų“. Po piramidžių atradimo Meksikoje ir XVIII amžiuje tobulėjant mokslui piramidė tapo ne tik senovės architektūros paminklu, bet ir taisyklinga geometrine figūra su keturiomis simetriškomis kraštinėmis (1716 m.). Piramidės geometrija prasidėjo Senovės Egipte ir Babilone, tačiau buvo aktyviai plėtojama Senovės Graikijoje. Pirmasis piramidės tūrį nustatė Demokritas, ir tai įrodė Eudoksas Knidas.

Pirmasis apibrėžimas priklauso senovės graikų matematikui, iki mūsų atėjusių teorinių matematikos traktatų autoriui Euklidui. XII savo „Principų“ tome jis apibrėžia piramidę kaip vientisą figūrą, apribotą plokštumų, kurios iš vienos plokštumos (pagrindo) susilieja viename taške (viršūnėje). Tačiau šis apibrėžimas buvo kritikuojamas jau senovėje. Taigi Heronas pasiūlė tokį piramidės apibrėžimą: „Tai figūra, apribota viename taške susiliejančių trikampių, kurių pagrindas yra daugiakampis“.

Yra apibrėžimas, kurį pateikė prancūzų matematikas Adrienas Marie Legendre, kuris 1794 m. savo darbe „Geometrijos elementai“ apibrėžia piramidę taip: „Piramidė yra vientisa figūra, sudaryta iš trikampių, susiliejančių viename taške ir besibaigiančių skirtingose ​​jo pusėse. plokščias pagrindas“.

Šiuolaikiniai žodynai terminą „piramidė“ aiškina taip:

Analizuodami piramidės apibrėžimus, galime daryti išvadą, kad visi šaltiniai turi panašias formuluotes:

Piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusios briaunos yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę. Pagal pagrindo kampų skaičių piramidės skirstomos į trikampes, keturkampes ir kt.

Daugiakampis A 1 A 2 A 3 ... An yra piramidės pagrindas, o trikampiai RA 1 A 2 , RA 2 A 3 , ..., RANA 1 yra piramidės šoniniai paviršiai, P yra piramidės viršus piramidė, segmentai RA 1 , RA 2 , ..., RAN - šoniniai šonkauliai.

Statmenas, nubrėžtas nuo piramidės viršūnės iki pagrindo plokštumos, vadinamas aukštis piramidės.

Be savavališkos piramidės, yra taisyklinga piramidė, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis ir nupjauta piramidė.

Plotas Bendras piramidės paviršius yra visų jos paviršių plotų suma. Pilnas = S pusė + S pagrindinė, kur S pusė yra šoninių paviršių plotų suma.

Apimtis piramidė randama pagal formulę: V=1/3S main.h, kur S pagrindinis. - bazinis plotas, h - aukštis.

KAM piramidės savybės apima:

Kai visi šoniniai kraštai yra vienodo dydžio, tada lengva apibūdinti apskritimą aplink piramidės pagrindą, o piramidės viršūnė projektuojama į šio apskritimo centrą; šoniniai šonkauliai sudaro vienodus kampus su pagrindo plokštuma; Be to, yra ir atvirkščiai, t.y. kai šoniniai briaunos sudaro lygius kampus su pagrindo plokštuma arba kai aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą ir piramidės viršūnė bus projektuojama į šio apskritimo centrą, tai reiškia, kad visos šoninės briaunos piramidės yra tokio pat dydžio.

Kai šoniniai paviršiai turi tokio paties dydžio pasvirimo kampą į pagrindo plokštumą, tada lengva apibūdinti apskritimą aplink piramidės pagrindą, o piramidės viršus bus projektuojamas į šio apskritimo centrą ; šoninių paviršių aukščiai yra vienodo ilgio; Šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei pagrindo perimetro ir šoninio paviršiaus aukščio sandaugos.

Piramidė vadinama teisinga, jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o jo viršūnė projektuojama į pagrindo centrą. Taisyklingosios piramidės šoniniai paviršiai yra lygūs, lygiašoniai trikampiai (2a pav.). Ašis Taisyklinga piramidė yra tiesi linija, nurodanti jos aukštį. Apotemas - taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršūnės.

Kvadratas taisyklingosios piramidės šoninis paviršius išreiškiamas taip: Sside. =1/2P h, kur P – pagrindo perimetras, h – šoninio paviršiaus aukštis (taisyklingos piramidės apotema). Jei piramidę kerta plokštuma A’B’C’D’, lygiagreti pagrindui, tai šoninės briaunos ir aukštis šios plokštumos dalijamos į proporcingas dalis; skerspjūvyje gaunamas daugiakampis A’B’C’D’, panašus į pagrindą; Skerspjūvio plotai ir pagrindai yra susiję kaip jų atstumų nuo viršūnės kvadratai.

Nupjauta piramidė gaunamas nupjovus jos viršutinę dalį nuo piramidės plokštuma, lygiagrečia pagrindui (2b pav.). Nupjautinės piramidės pagrindai yra panašūs daugiakampiai ABCD ir A`B`C`D`, šoniniai paviršiai yra trapecijos. Nupjautos piramidės aukštis yra atstumas tarp pagrindų. Nupjautos piramidės tūris randamas pagal formulę: V = 1/3 h (S + + S'), kur S ir S' yra bazių ABCD ir A'B'C'D' plotai, h yra aukštis.

Taisyklingos nupjautinės n kampinės piramidės pagrindai yra taisyklingos n kampinės. Taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotas išreiškiamas taip: Sside. = ½(P+P’)h, kur P ir P’ yra pagrindo perimetrai, h – šoninio paviršiaus aukštis (taisyklingos nupjautos piramidės apotema)

Piramidės pjūviai plokštumų, einančių per jos viršūnę, yra trikampiai. Atkarpa, einanti per du negretimus šoninius piramidės kraštus, vadinama įstrižaine. Jei atkarpa eina per tašką šoniniame krašte ir pagrindo šone, tada jos pėdsakas iki piramidės pagrindo plokštumos bus ši pusė. Pjūvis, einantis per tašką, esantį ant piramidės paviršiaus, ir tam tikrą pjūvio pėdsaką pagrindo plokštumoje, tada konstravimas turi būti atliktas taip: suraskite nurodyto paviršiaus plokštumos ir pjūvio pjūvio tašką. piramidę ir pažymėkite ją; sukonstruoti tiesę, einanti per nurodytą tašką ir susikirtimo tašką; pakartokite šiuos veiksmus kitiems veidams.

Stačiakampė piramidė - Tai piramidė, kurios vienas iš šoninių kraštų yra statmenas pagrindui. Šiuo atveju ši briauna bus piramidės aukštis (2c pav.).

Taisyklinga trikampė piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas trikampis, o viršūnė projektuojama į pagrindo centrą. Ypatingas taisyklingos trikampės piramidės atvejis yra tetraedras. (2a pav.)

Panagrinėkime teoremas, jungiančias piramidę su kitais geometriniais kūnais.

Sfera

Sfera gali būti apibūdinta aplink piramidę, kai piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama sąlyga). Rutulio centras bus plokštumų, einančių per joms statmenos piramidės kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas. Iš šios teoremos išplaukia, kad sfera gali būti aprašyta ir aplink bet kurią trikampę, ir aplink bet kurią taisyklingąją piramidę; Į piramidę galima įrašyti sferą, kai viename taške susikerta piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas bus sferos centras.

Kūgis

Sakoma, kad kūgis yra įrašytas į piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o jos pagrindas yra įrašytas į piramidės pagrindą. Be to, į piramidę kūgį galima sutalpinti tik tada, kai piramidės apotemos yra lygios viena kitai (būtina ir pakankama sąlyga); Sakoma, kad kūgis apibūdinamas šalia piramidės, kai jų viršūnės sutampa, o jo pagrindas aprašomas šalia piramidės pagrindo. Be to, kūgį prie piramidės galima apibūdinti tik tada, kai visos piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai (būtina ir pakankama sąlyga); Tokių kūgių ir piramidžių aukščiai yra lygūs vienas kitam.

Cilindras

Cilindras yra įbrėžtas į piramidę, jei vienas iš jo pagrindų sutampa su apskritimu, kurį piramidės pjūvyje įbrėžia plokštuma, lygiagreti pagrindui, o kitas pagrindas priklauso piramidės pagrindui. Cilindras apibūdinamas šalia piramidės, jei piramidės viršūnė priklauso vienam iš jos pagrindų, o kita bazė aprašoma šalia piramidės pagrindo. Be to, apibūdinti cilindrą prie piramidės galima tik tuo atveju, jei piramidės pagrinde yra įrašytas daugiakampis (būtina ir pakankama sąlyga).

Labai dažnai savo tyrimuose mokslininkai naudoja piramidės savybes su aukso santykio proporcijomis. Kitoje pastraipoje apžvelgsime, kaip aukso pjūvio koeficientai buvo naudojami statant piramides, o čia apsistosime ties aukso pjūvio apibrėžimu.

Matematinis enciklopedinis žodynas pateikia tokį apibrėžimą Auksinis santykis- tai segmento AB padalijimas į dvi dalis taip, kad jo didesnė dalis AC būtų vidutinė proporcinga visam segmentui AB ir jo mažesnei daliai CD.

Atkarpos AB = a auksinės pjūvio algebrinis nustatymas redukuojamas į lygties a:x = x:(a-x) sprendimą, iš kurios x apytiksliai lygus 0,62a. Santykis x gali būti išreikštas trupmenomis n/n+1= 0,618, kur n yra Fibonačio skaičius, pažymėtas n.

Aukso pjūvis dažnai naudojamas meno kūriniuose, architektūroje, randamas gamtoje. Ryškūs pavyzdžiai yra Apolono Belvederio ir Partenono skulptūra. Statant Partenoną buvo naudojamas pastato aukščio ir ilgio santykis ir šis santykis yra 0,618. Mus supantys objektai taip pat pateikia auksinio santykio pavyzdžių, pavyzdžiui, daugelio knygų įrišimo pločio ir ilgio santykis taip pat artimas 0,618.

Taigi, išstudijavę populiariąją mokslinę literatūrą apie tyrimo problemą, priėjome prie išvados, kad piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likę paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne. Išnagrinėjome piramidės elementus ir savybes, jos tipus ir ryšį su Aukso santykio proporcijomis.

2. Piramidės ypatybės

Taigi Didžiajame enciklopediniame žodyne rašoma, kad piramidė yra monumentalus statinys, turintis piramidės geometrinę formą (kartais laiptuotą arba bokšto formą). Piramidėmis buvo pavadinti 3–2 tūkstantmečio prieš Kristų senovės Egipto faraonų kapai. e., taip pat Centrinės ir Pietų Amerikos šventyklų postamentai, susiję su kosmologiniais kultais. Tarp grandiozinių Egipto piramidžių ypatingą vietą užima Didžioji faraono Cheopso piramidė. Prieš pradėdami analizuoti Cheopso piramidės formą ir dydį, turėtume prisiminti, kokią matavimo sistemą naudojo egiptiečiai. Egiptiečiai turėjo tris ilgio vienetus: „uolektį“ (466 mm), kuri buvo lygi septynioms „delnams“ (66,5 mm), o tai savo ruožtu buvo lygi keturiems „pirštams“ (16,6 mm).

Dauguma tyrinėtojų sutinka, kad piramidės pagrindo kraštinės ilgis, pavyzdžiui, GF, yra lygus L = 233,16 m. Ši reikšmė beveik tiksliai atitinka 500 uolekčių. Visiškai atitiks 500 „alkūnių“, jei „alkūnės“ ilgis bus lygus 0,4663 m.

Piramidės aukštis (H) tyrėjų vertinamas įvairiai nuo 146,6 iki 148,2 m Ir priklausomai nuo priimto piramidės aukščio, kinta visi jos geometrinių elementų santykiai. Kokia yra piramidės aukščio įverčių skirtumų priežastis? Faktas yra tas, kad Cheopso piramidė yra sutrumpinta. Jo viršutinė platforma šiandien yra maždaug 10x10 m, o prieš šimtmetį ji buvo 6x6 m. Akivaizdu, kad piramidės viršūnė buvo išardyta ir ji neatitinka originalios. Vertinant piramidės aukštį, būtina atsižvelgti į tokį fizikinį veiksnį kaip statinio nusėdimas. Per ilgą laiką, veikiant milžiniškam slėgiui (siekiant 500 tonų 1 m 2 apatinio paviršiaus), piramidės aukštis sumažėjo, palyginti su pradiniu aukščiu. Pradinį piramidės aukštį galima atkurti radus pagrindinę geometrinę idėją.

1837 metais anglų pulkininkas G. Wise'as išmatavo piramidės paviršių pasvirimo kampą: paaiškėjo, kad jis lygus a = 51°51". Šią reikšmę dauguma tyrinėtojų pripažįsta ir šiandien. Nurodyta vertė kampas atitinka liestinę (tg a), lygią 1,27306. Ši vertė atitinka piramidės AC aukščio ir jos pagrindo CB santykį, tai yra, AC / CB = H / (L / 2) = 2H /. L.

Ir štai mokslininkų laukė didelė staigmena! Faktas yra tas, kad jei paimsime kvadratinę šaknį iš auksinio pjūvio, gausime tokį rezultatą = 1,272. Palyginus šią reikšmę su reikšme tg a = 1,27306, matome, kad šios reikšmės yra labai arti viena kitos. Jeigu imsime kampą a = 51°50", tai yra sumažinsime jį tik viena lanko minute, tai a reikšmė taps lygi 1,272, tai yra sutaps su reikšme. Reikia pažymėti, kad m. 1840 m. G. Wise'as pakartojo savo matavimus ir paaiškino, kad kampo a reikšmė = 51°50".

Šie matavimai paskatino tyrėjus padaryti tokią įdomią hipotezę: Cheopso piramidės trikampis ACB buvo pagrįstas santykiu AC / CB = 1,272.

Dabar panagrinėkime statųjį trikampį ABC, kuriame kojų santykis AC / CB = . Jei dabar stačiakampio ABC kraštinių ilgius pažymėsime x, y, z, taip pat atsižvelgsime į tai, kad santykis y/x =, tai pagal Pitagoro teoremą ilgį z galima apskaičiuoti naudojant formulę:

Jei priimame x = 1, y = , tada:

Statusis trikampis, kurio kraštinių santykis yra t::1, vadinamas „auksiniu“ stačiu trikampiu.

Tada, jei remsimės hipoteze, kad pagrindinė Cheopso piramidės „geometrinė idėja“ yra „auksinis“ stačiakampis trikampis, tada iš čia galime lengvai apskaičiuoti Cheopso piramidės „projektinį“ aukštį. Jis lygus:

H = (L/2)/= 148,28 m.

Dabar išveskime kitus Cheopso piramidės ryšius, kylančius iš „auksinės“ hipotezės. Visų pirma, mes rasime piramidės išorinio ploto ir jos pagrindo ploto santykį. Norėdami tai padaryti, imame kojos CB ilgį kaip vieną, tai yra: CB = 1. Bet tada piramidės pagrindo kraštinės ilgis yra GF = 2, o pagrindo plotas EFGH bus būti lygus S EFGH = 4.

Dabar apskaičiuokime Cheopso piramidės S D šoninio paviršiaus plotą. Kadangi trikampio AEF aukštis AB yra lygus t, šoninio paviršiaus plotas bus lygus S D = t. Tada bendras visų keturių piramidės šoninių paviršių plotas bus lygus 4t ir viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pjūviui. Tai yra pagrindinė Cheopso piramidės geometrinė paslaptis.

Taip pat, statant Egipto piramides, buvo nustatyta, kad piramidės aukštyje pastatytas kvadratas yra tiksliai lygus kiekvieno šoninio trikampio plotui. Tai patvirtina naujausi matavimai.

Žinome, kad ryšys tarp apskritimo ilgio ir jo skersmens yra pastovi reikšmė, gerai žinoma šiuolaikiniams matematikams ir moksleiviams – tai skaičius „Pi“ = 3,1416... Bet jei susumuotume keturias pagrindo kraštines Cheopso piramidės, gauname 931,22 m Padalinę šį skaičių iš dvigubo piramidės aukščio (2x148,208), gauname 3,1416..., tai yra skaičių „Pi“. Vadinasi, Cheopso piramidė yra unikalus paminklas, vaizduojantis materialų skaičių „Pi“, kuris vaidina svarbų vaidmenį matematikoje.

Taigi, aukso pjūvio buvimas piramidės matmenyse - piramidės dvigubos kraštinės ir jos aukščio santykis - yra skaičius, labai artimas skaičiui π. Tai neabejotinai taip pat yra savybė. Nors daugelis autorių mano, kad šis sutapimas yra atsitiktinis, nes trupmena 14/11 yra „geras apytikslis aukso pjūvio kvadrato šaknis ir kvadrato bei jame įrašyto apskritimo plotų santykis“.

Tačiau čia nekorektiška kalbėti tik apie Egipto piramides. Yra ne tik Egipto piramidės, Žemėje yra visas piramidžių tinklas. Pagrindiniai paminklai (Egipto ir Meksikos piramidės, Velykų sala ir Stounhendžo kompleksas Anglijoje) iš pirmo žvilgsnio atsitiktinai išsibarstę po mūsų planetą. Bet jei į tyrimą įtraukiamas Tibeto piramidžių kompleksas, tada atsiranda griežta matematinė jų išsidėstymo Žemės paviršiuje sistema. Himalajų kalnagūbrio fone aiškiai išsiskiria piramidės formos darinys – Kailašo kalnas. Labai įdomi yra Kailašo miesto, Egipto ir Meksikos piramidžių vieta, būtent – ​​jei Kailašo miestą jungiate su Meksikos piramidėmis, tai juos jungianti linija eina į Velykų salą. Jei Kailašo miestą sujungsite su Egipto piramidėmis, tada jų ryšio linija vėl eina į Velykų salą. Buvo nubrėžta lygiai ketvirtadalis Žemės rutulio. Jei sujungsime Meksikos ir Egipto piramides, pamatysime du vienodus trikampius. Jei rasite jų plotus, tada jų suma lygi vienai ketvirtadaliui Žemės rutulio ploto.

Atskleistas neginčijamas ryšys tarp Tibeto piramidžių komplekso su kitomis struktūromis antika – Egipto ir Meksikos piramidės, Velykų salos kolosai ir Stounhendžo kompleksas Anglijoje. Pagrindinės Tibeto piramidės – Kailašo kalno – aukštis yra 6714 metrų. Atstumas nuo Kailašo iki Šiaurės ašigalio yra 6714 kilometrų, atstumas nuo Kailasho iki Stounhendžo yra 6714 kilometrų Jei padėtume juos ant Žemės rutulio iš Šiaurės ašigalio 6714 kilometrų, tada pateksime į vadinamąjį Velnio bokštą, kuris atrodo kaip nupjauta piramidė. Ir galiausiai, tiksliai 6714 kilometrų nuo Stounhendžo iki Bermudų trikampio.

Dėl šių tyrimų galime daryti išvadą, kad Žemėje egzistuoja piramidinė-geografinė sistema.

Taigi, funkcijos apima viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pjūviui; aukso pjūvio piramidės matmenyse - piramidės dvigubos kraštinės ir jos aukščio santykis - yra skaičius, labai artimas skaičiui π, t.y. Cheopso piramidė yra unikalus paminklas, vaizduojantis materialų skaičiaus „Pi“ įsikūnijimą; piramidinės-geografinės sistemos egzistavimas.

3. Kitos piramidės savybės ir panaudojimas.

Panagrinėkime praktinį šios geometrinės figūros pritaikymą. Pavyzdžiui, holograma. Pirmiausia pažiūrėkime, kas yra holografija. Holografija - optinės elektromagnetinės spinduliuotės bangų laukų tikslaus fiksavimo, atkūrimo ir performavimo technologijų rinkinys, specialus fotografinis metodas, kai naudojant lazerį įrašomi ir vėliau atkuriami trimačių objektų vaizdai, labai panašūs į tikrus. Holograma yra holografijos produktas, trimatis vaizdas, sukurtas naudojant lazerį, atkuriantį trimačio objekto vaizdą. Naudodami įprastą nupjautą tetraedrinę piramidę galite atkurti vaizdą – hologramą. Iš permatomos medžiagos sukuriama nuotraukų byla ir taisyklinga nupjauta tetraedrinė piramidė. Iš žemiausio ir vidurinio taško ordinačių ašies atžvilgiu padaryta nedidelė įduba. Šis taškas bus kvadrato, kurį sudaro pjūvis, kraštinės vidurys. Nuotrauka padauginama, o jos kopijos išdėstomos taip pat kitų trijų pusių atžvilgiu. Padėkite piramidę ant kvadrato skerspjūviu žemyn, kad ji sutaptų su kvadratu. Monitorius sukuria šviesos bangą, kiekviena iš keturių identiškų nuotraukų, esančių plokštumoje, kuri yra piramidės veido projekcija, krenta ant paties veido. Dėl to kiekviename iš keturių veidų turime identiškus vaizdus, ​​o kadangi medžiaga, iš kurios pagaminta piramidė, turi skaidrumo savybę, bangos tarsi lūžta ir susitinka centre. Dėl to gauname tą patį stovinčios bangos interferencijos modelį, kurios centrinė ašis arba sukimosi ašis yra taisyklingos nupjautos piramidės aukštis. Šis metodas taip pat veikia su vaizdo įrašais, nes veikimo principas nesikeičia.

Atsižvelgiant į ypatingus atvejus, matote, kad piramidė yra plačiai naudojama kasdieniame gyvenime, net ir buityje. Piramidės forma dažniausiai randama gamtoje: augaluose, kristaluose, metano molekulė turi taisyklingos trikampės piramidės formą - tetraedrą, Deimantinio kristalo vienetinė ląstelė taip pat yra tetraedras, kurio centre yra anglies atomai ir keturios viršūnės. Piramidės randamos namuose ir vaikiškuose žaisluose. Mygtukai ir kompiuterių klaviatūros dažnai yra tarsi keturkampė nupjauta piramidė. Jie gali būti matomi kaip pastatų ar architektūrinių konstrukcijų elementai, pavyzdžiui, permatomos stogo konstrukcijos.

Pažvelkime į dar keletą termino „piramidė“ vartojimo pavyzdžių.

Ekologinės piramidės- tai grafiniai modeliai (dažniausiai trikampių pavidalu), atspindintys individų skaičių (skaičių piramidė), jų biomasės kiekį (biomasės piramidė) arba juose esančią energiją (energijos piramidė) kiekviename trofiniame lygyje ir tai rodo visų rodiklių mažėjimą didėjant trofiniam lygiui

Informacinė piramidė. Tai atspindi skirtingų tipų informacijos hierarchiją. Informacijos teikimas struktūrizuotas pagal tokią piramidinę schemą: viršuje yra pagrindiniai rodikliai, pagal kuriuos galima aiškiai sekti įmonės judėjimo tempą link pasirinkto tikslo. Jei kažkas negerai, galite pereiti į vidurinį piramidės lygį - apibendrintus duomenis. Jie paaiškina kiekvieno rodiklio vaizdą atskirai arba kartu vienas su kitu. Naudodami šiuos duomenis galite nustatyti galimą gedimo ar problemos vietą. Norėdami gauti išsamesnės informacijos, turite kreiptis į piramidės pagrindą - išsamų visų procesų būklės aprašymą skaitine forma. Šie duomenys padeda nustatyti problemos priežastį, kad ją būtų galima ištaisyti ir jos išvengti ateityje.

Bloomo taksonomija. Bloomo taksonomija siūlo užduočių klasifikaciją piramidės pavidalu, kurią mokytojai nustato studentams, ir atitinkamai mokymosi tikslus. Ugdymo tikslus ji skirsto į tris sritis: kognityvinę, afektinę ir psichomotorinę. Kiekvienoje atskiroje sferoje, norint pereiti į aukštesnį lygį, būtina ankstesnių, šioje sferoje išskirtų lygių patirtis.

Finansinė piramidė- specifinis ekonominės raidos reiškinys. Pavadinimas „piramidė“ aiškiai iliustruoja situaciją, kai piramidės „apačioje“ esantys žmonės dovanoja pinigus mažajai viršūnei. Be to, kiekvienas naujas dalyvis moka padidinti savo paaukštinimo į piramidės viršūnę galimybę

Poreikių piramidė Maslow atspindi vieną populiariausių ir žinomiausių motyvacijos teorijų – hierarchijos teoriją. poreikius. Maslow paskirstė poreikius jiems didėjant, paaiškindamas šią konstrukciją tuo, kad žmogus negali patirti aukšto lygio poreikių, kol jam reikia primityvesnių dalykų. Tenkinant žemesnius poreikius, aukštesnio lygio poreikiai tampa vis aktualesni, tačiau tai nereiškia, kad ankstesnio poreikio vietą užima naujas tik tada, kai ankstesnis visiškai patenkinamas.

Kitas termino „piramidė“ vartojimo pavyzdys yra maisto piramidė - mitybos specialistų sukurtų sveikos mitybos principų schematiškas vaizdas. Maisto produktai, sudarantys piramidės pagrindą, turėtų būti valgomi kuo dažniau, o maisto produktai, esantys piramidės viršuje, turėtų būti vengiami arba vartojami ribotais kiekiais.

Taigi visa tai, kas išdėstyta aukščiau, rodo piramidės panaudojimo įvairovę mūsų gyvenime. Galbūt piramidė turi daug aukštesnę paskirtį ir yra skirta kažkam didesniam nei dabar atrastas praktinis panaudojimas.

Išvada

Su piramidėmis savo gyvenime susiduriame nuolat – tai senovės Egipto piramidės ir žaislai, su kuriais žaidžia vaikai; architektūros ir dizaino objektai, natūralūs kristalai; virusai, kuriuos galima pamatyti tik elektroniniu mikroskopu. Per daugelį savo egzistavimo tūkstantmečių piramidės tapo savotišku simboliu, įkūnijančiu žmogaus troškimą pasiekti žinių viršūnę.

Tyrimo metu nustatėme, kad piramidės yra gana dažnas reiškinys visame pasaulyje.

Išstudijavome populiariąją mokslinę literatūrą tyrimo tema, nagrinėjome įvairias termino „piramidė“ interpretacijas, nustatėme, kad geometrine prasme piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusios briaunos – trikampiai, turintys bendra viršūnė. Ištyrėme piramidžių tipus (taisyklingos, nupjautinės, stačiakampės), elementus (apotemą, šoninius paviršius, šoninius kraštus, viršūnę, aukštį, pagrindą, įstrižainę) ir geometrinių piramidžių savybes, kai šoninės briaunos yra lygios ir kai šoniniai paviršiai. yra pasvirusios į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu. Išnagrinėjome teoremas, jungiančias piramidę su kitais geometriniais kūnais (rutuliu, kūgiu, cilindru).

Mes įtraukėme šias piramidės savybes:

viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pjūviui;

aukso pjūvio piramidės matmenyse - piramidės dvigubos kraštinės ir jos aukščio santykis - yra skaičius, labai artimas skaičiui π, t.y. Cheopso piramidė yra unikalus paminklas, vaizduojantis materialų skaičiaus „Pi“ įsikūnijimą;

piramidinės-geografinės sistemos egzistavimas.

Ištyrėme šiuolaikinį šios geometrinės figūros panaudojimą. Pažiūrėjome, kaip jungiasi piramidė ir holograma, pastebėjome, kad piramidės forma dažniausiai sutinkama gamtoje (augalai, kristalai, metano molekulės, deimantinės gardelės sandara ir kt.). Viso tyrimo metu susidūrėme su medžiaga, patvirtinančia piramidės savybių panaudojimą įvairiose mokslo ir technologijų srityse, kasdieniame žmonių gyvenime, informacijos analizėje, ekonomikoje ir daugelyje kitų sričių. Ir jie priėjo prie išvados, kad galbūt piramidės turi daug aukštesnę paskirtį ir yra skirtos kažkam didesniam nei dabar atrasti praktiniai jų panaudojimo būdai.

Nuorodos.

Van der Waerden, Bartel Leendert. Pabudimo mokslas. Senovės Egipto, Babilono ir Graikijos matematika. [Tekstas]/ B. L. Van der Waerden – KomKniga, 2007 m

Vološinovas A.V. Matematika ir menas. [Tekstas]/ A.V. Vološinovas – Maskva: „Apšvietimas“, 2000 m.

Pasaulio istorija (enciklopedija vaikams). [Tekstas]/ - M.: „Avanta+“, 1993 m.

Halograma . [Elektroninis išteklius] – https://hi-news.ru/tag/hologramma - straipsnis internete

Geometrija [Tekstas]: Vadovėlis. 10-11 klasės švietimo įstaigoms Atanasyan L.S., V.F Butuzov ir kiti - 22 leidimas. - M.: Švietimas, 2013 m.

Coppensas F. Naujoji piramidžių era. [Tekstas]/ F. Coppens – Smolenskas: Rusich, 2010 m

Matematinis enciklopedinis žodynas. [Tekstas]/ A. M. Prochorov ir kt. – M.: Sovietų enciklopedija, 1988 m.

Muldaševas E.R. Pasaulinė piramidžių ir senovės paminklų sistema mus išgelbėjo nuo pasaulio pabaigos, bet ... [Tekstas]/ E.R. Muldaševas - M.: „AiF-Print“; M.: „OLMA-PRESS“; Sankt Peterburgas: leidykla „Neva“; 2003 m.

Perelman Ya I. Pramoginė aritmetika. [Tekstas]/ Ya. I. Perelman – M.: Tsentrpoligraf, 2017 m

Reichard G. Piramidės. [Tekstas]/ Hansas Reichardas – M.: Slovė, 1978 m

Terra-Lexicon. Iliustruotas enciklopedinis žodynas. [Tekstas]/ - M.: TERRA, 1998 m.

Tompkinsas P. Didžiosios Cheopso piramidės paslaptys. [Tekstas]/ Peteris Tompkinsas. - M.: „Centropoligrafas“, 2008 m

Uvarovas V. Magiškos piramidžių savybės. [Tekstas]/ V. Uvarovas - Lenizdatas, 2006 m.

Sharygin I.F.. Geometrija 10-11 kl. [Tekstas]/ I.F. Šaryginas:. - M: „Švietimas“, 2000 m

Yakovenko M. Piramidės supratimo raktas [Elektroninis išteklius] – http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html – straipsnis internete.