Su normalaus paskirstymo dėsniu dažniausiai susiduriama praktikoje. Pagrindinis bruožas, išskiriantis jį iš kitų įstatymų, yra tai, kad tai yra ribojantis dėsnis, prie kurio labai dažnai būdingomis sąlygomis priartėja kiti skirstymo dėsniai (žr. 6 skyrių).

Apibrėžimas. Ištisinis atsitiktinis dydis X turinormalaus paskirstymo dėsnis (Gauso dėsnis)su parametrais a ir a 2, jeigu jo tikimybinis tankis turi formą

Sąvoka „normalus“ nėra visiškai tinkama. Daugelis ženklų paklūsta normaliam dėsniui, pavyzdžiui, žmogaus ūgis, sviedinio nuotolis ir kt. Bet jei kuri nors charakteristika paklūsta paskirstymo dėsniui, kuris skiriasi nuo normalaus, tai visiškai nereiškia, kad su šia charakteristika susijęs reiškinys yra „nenormalus“.

Normaliojo pasiskirstymo kreivė vadinama normalus, arba Gauso, kreivas. Fig. 4.6, A, 6 pateiktos normaliosios kreivės fd, (x) su parametrais io 2, t.y. aš [a] a 2), ir atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos grafiką X, kuris turi normalų dėsnį. Atkreipkime dėmesį į tai, kad normalioji kreivė yra simetriška tiesės atžvilgiu x = a, taške turi maksimumą X= A,

lygus , t.y.

Ir du posūkio taškai x = a±

su ordinatėmis

Galima pastebėti, kad normaliojo dėsnio tankio išraiškoje parametrai žymimi raidėmis A ir st 2, kuriuos naudojame matematiniams lūkesčiams žymėti M(X) ir dispersija OI).Šis sutapimas nėra atsitiktinis. Panagrinėkime teoremą, kuri nustato normaliojo dėsnio parametrų tikimybinę teorinę reikšmę.

Teorema. Atsitiktinio dydžio X, paskirstyto pagal normalųjį dėsnį, matematinis lūkestis yra lygus šio dėsnio parametrui a, tie.

A jo sklaida - į parametrą a 2, t.y.

Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis X:

Pakeiskime kintamąjį įdėdami

Tada integracijos ribos nesikeičia

ir todėl

(pirmasis integralas lygus nuliui kaip nelyginės funkcijos integralas intervale, simetriškas pradžios atžvilgiu, o antrasis integralas - Euleris - Puasono integralas).

Atsitiktinio dydžio dispersija X:

Atlikime tą patį kintamojo pakeitimą x = a + o^2 t, kaip ir skaičiuojant ankstesnį integralą. Tada

Taikydami integravimo dalimis metodą gauname

Išsiaiškinkime, kaip pasikeis normalioji kreivė pasikeitus parametrams A ir su 2 (arba a). Jei a = const, ir parametras pasikeičia a (a x a 3), t.y. skirstinio simetrijos centras, tada normalioji kreivė pasislinks išilgai abscisių ašies, nekeisdama savo formos (4.7 pav.).

Jeigu a = const ir parametras a 2 (arba a) pasikeičia, tada keičiasi ordinatė

kreivės maksimumas Didėjant, maksimumo ordinatė

kreivė mažėja, bet kadangi plotas po bet kuria pasiskirstymo kreive turi likti lygus vienetui, kreivė tampa plokštesnė, besitęsianti išilgai x ašies; kai mažėja su, priešingai, normali kreivė tęsiasi į viršų, kartu suspaudžiant į šonus. Fig. 4.8 paveiksle parodytos normalios kreivės su parametrais a 1 (o 2 ir a 3, kur o, A(dar žinomas kaip matematinis lūkestis) apibūdina centro padėtį, o parametras a 2 (dar žinomas kaip dispersija) apibūdina normaliosios kreivės formą.

Atsitiktinio dydžio normaliojo pasiskirstymo dėsnis X su parametrais A= 0, st 2 = 1, t.y. X ~ N( 0; 1), vadinamas standartinis arba normalizuotas o atitinkama normalioji kreivė yra standartinis arba normalizuotas.

Atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal normalųjį dėsnį pagal (3.23) formulę, sunkumas ir jo patekimo į tam tikrą intervalą tikimybę pagal formulę (3.22) siejamas su tuo, kad integralas funkcija (4.26) yra „neatrenkama“ elementariose funkcijose . Todėl jie išreiškiami per funkciją

- funkcija (tikimybių integralas) Laplasas, kuriems buvo sudarytos lentelės. Prisiminkime, kad su Laplaso funkcija jau susidūrėme nagrinėdami Moivre-Laplace integralų teoremą (žr. 2.3 skyrių). Ten buvo aptartos ir jo savybės. Geometriškai Laplaso funkcija Ф(.с) parodo plotą po standartine normaliąja segmento kreive [-X; X] (4.9 pav.) 1 .

Ryžiai. 4.10

Ryžiai. 4.9

Teorema. Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija, paskirstyta pagal normalųjį dėsnį, išreiškiama per Laplaso funkcijąФ(х) pagal formulę

Pagal (3.23) formulę paskirstymo funkcija yra:

Pakeiskime kintamąjį, nustatydami ties X-> -oo? -» -00, todėl

1 Kartu su formos (4.29) tikimybiniu integralu, vaizduojančiu funkciją Ф(х), jos išraiškos literatūroje taip pat naudojamos kitų lentelių pavidalu:

atitinkantys standartinės normaliosios kreivės jodo plotus, atitinkamai intervalais (0; x], (-oo; x], [-x>/2; Chl/2) .

Pirmasis integralas

(dėl integrando pariteto ir to, kad Eulerio – Puasono integralas yra lygus [Kam).

Antrasis integralas, atsižvelgiant į (4.29) formulę, yra

Geometriškai pasiskirstymo funkcija parodo plotą po normaliąja kreive intervale (-co, x) (4.10 pav.). Kaip matome, jis susideda iš dviejų dalių: pirmosios, intervale (-oo, A), lygus 1/2, t.y. pusė viso ploto po normaliąja kreive, o antrasis – intervale (i, x),

lygus

Panagrinėkime atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal normalųjį dėsnį, savybes.

1. Tikimybė pataikyti į atsitiktinį kintamąjį X, paskirstytą pagal normalųjį dėsnį, yra V intervalas[x 1(x 2 ], lygus

Atsižvelgiant į tai, kad pagal savybę (3.20) tikimybė P(x,

kur ir Г 2 nustatomi pagal (4.33) formulę (4.11 pav.). ?

2. Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio X, paskirstyto pagal normalųjį dėsnį, nuokrypis nuo matematinio lūkesčio a neviršys reikšmės A > 0 ( absoliučia verte) yra lygus

taip pat gauname Laplaso funkcijos keistumo savybę

Kur? =D/o (4.12 pav.). ?

Fig. 4.11 ir 4.12 pateikia geometrinį normaliojo dėsnio savybių aiškinimą.

komentuoti. Aptarta sk. 2 apytikslė Moivre - Laplaso integralo formulė (2.10) išplaukia iš normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio savybės (4.32). x ( = a, x 2 = b ) a = pr Ir Taigi

kaip atsitiktinio dydžio dvinarį pasiskirstymo dėsnį X = t su parametrais P Ir R, kuriam ši formulė buvo gauta, su n -> OS linksta į įprastą dėsnį (žr. 6 skyrių).

Panašios yra skaičiaus Moivre-Laplace integralo formulės (2.13), (2.14) ir (2.16) pasekmės X = t įvykio įvykis P nepriklausomi bandymai ir jų dažnumas t/n išplaukia iš normaliojo dėsnio savybių (4.32) ir (4.34).

Apskaičiuokime tikimybes pagal formulę (4.34) P(X-a e) esant įvairioms D reikšmėms (naudojame priedų II lentelę). Mes gauname

Štai iš kur kyla „trijų sigmų taisyklė“.

Jeigu atsitiktinis dydis X turi normalaus skirstinio dėsnį su parametrais a ir a 2, t.y. M(a; a 2), tada beveik neabejotina, kad jo reikšmės yra intervale(a – už, A+ Už).

„Trijų sigmų taisyklės“ pažeidimas, t.y. normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio nuokrypis X daugiau nei 3 (bet absoliuti reikšmė), yra beveik neįmanomas įvykis, nes jo tikimybė yra labai maža:

Atkreipkite dėmesį, kad nuokrypis D į, kuriame , paskambino

tikėtinas nukrypimas. Normaliam dėsniui D į « 0,675a, t.y. per intervalą (A – 0,675a, A+ 0,675a) sudaro pusę viso ploto po normaliąja kreive.

Raskime atsitiktinio dydžio pasvirumo koeficientą ir kurtozę X, paskirstytas pagal įprastą dėsnį.

Akivaizdu, kad dėl normalios kreivės simetrijos vertikalios linijos atžvilgiu x = a, einantis per paskirstymo centrą a = M(X), normaliojo skirstinio asimetrijos koeficientas A = 0.

Normalaus pasiskirstymo atsitiktinio dydžio kurtozė X randame naudodami (3.37) formulę, t.y.

kur atsižvelgėme į tai, kad centrinis 4 eilės momentas, randamas pagal formulę (3.30), atsižvelgiant į apibrėžimą (4.26), t.y.

(integralo skaičiavimą praleidžiame).

Taigi, normaliojo skirstinio kurtozė lygi nuliui o kitų skirstinių statumas nustatomas normaliojo atžvilgiu (tai jau minėjome 3.7 pastraipoje).

O 4.9 pavyzdys. Darant prielaidą, kad tam tikros amžiaus grupės vyrų ūgis yra normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis X su parametrais A= 173 ir 2 = 36:

• 1) Raskite: a) atsitiktinio dydžio tikimybės tankio ir pasiskirstymo funkcijos išraišką X; b) 4 ūgio (176–182 cm) ir 3 ūgio (170–176 cm) kostiumų dalis, kuri turi būti įtraukta į bendrą tam tikros amžiaus grupės gamybos apimtį; c) kvantilė x 07 ir atsitiktinio dydžio 10 % tašką X.
• 2) Suformuluokite „trijų sigmų taisyklę“ atsitiktiniam dydžiui X. Sprendimas. 1, a) Naudodami (4.26) ir (4.30) formules rašome

1, b) 4 ūgio (176-182 cm) kostiumų dalis bendroje gamybos apimtyje bus nustatyta pagal (4.32) formulę kaip tikimybę.

(4.14 pav.), nes pagal formules (4.33)

3 ūgio kostiumų dalis (170–176 cm) gali būti nustatyta panašiai kaip (4.32) formulėje, tačiau tai padaryti lengviau naudojant formulę (4.34), nes šis intervalas yra simetriškas matematinio lūkesčio atžvilgiu. A = M(X) = 173, t.y. nelygybė 170 X X -173|

(žr. 4.14 pav.;.

1, c) Kvantilė x 07(žr. 3.7 pastraipą) atsitiktinis dydis X iš (3.29) lygties randame atsižvelgdami į (4.30) formulę:

kur

Pagal lentelę Radome 11 paraiškų aš- 0,524 ir

Tai reiškia, kad 70% šios amžiaus grupės vyrų yra iki 176 cm ūgio.

• 10% taškas yra ego kvantilė x 09 = 181 cm (yra panašiai), t.y. 10% vyrų yra bent 181 cm ūgio.
• 2) Beveik neabejotina, kad šios amžiaus grupės vyrų ūgis yra ribose A- Z = 173 - 3 6 = 155 iki + Zet = 173 + 3 - 6 = = 191 (cm), t.y. 155

  Dėl skirsnio pradžioje (ir 6 skyriuje) nurodytų normalaus skirstinio dėsnio ypatumų jis užima pagrindinę vietą tikimybinės statistikos metodų teorijoje ir praktikoje. Didžioji teorinė normaliojo dėsnio reikšmė yra ta, kad jo pagalba gaunama nemažai svarbių skirstinių, kurios aptariamos toliau.

  • Rodyklės pav. 4.11-4.13 pažymėti sutartiniai plotai ir atitinkami skaičiai po normaliąja kreive.
  • Laplaso funkcijos Ф(х) reikšmės nustatomos iš lentelės. II paraiškos.

Ištisinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai

Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis negali būti nurodytas taip pat, kaip ir diskrečiojo. Jis netaikomas dėl to, kad neįmanoma išvardyti visos begalinės nesuskaičiuojamos reikšmių aibės, o kiekvienos atskiros nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmės tikimybės yra lygios nuliui.

Apibūdinti nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį X siūlomas kitas požiūris: svarstyti ne įvykių tikimybes X=x skirtingam X, ir įvykio tikimybę X<х . Šiuo atveju tikimybėP( X< x) priklauso nuo esamo kintamojo, t. y. yra tam tikra funkcija X.

Paskirstymo funkcija atsitiktinis kintamasis X vadinama funkcijaF( x) , išreiškiant kiekvienam X tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X bus mažesnė nei vertė X:

Funkcija F( x) paskambino kumuliacinio pasiskirstymo funkcija arba integralinis skirstymo dėsnis.

Tolydinio atsitiktinio dydžio nustatymo metodas, naudojant skirstinio funkciją, nėra vienintelis. Būtina apibrėžti tam tikrą funkciją, kuri atspindėtų atsitiktinio taško patekimo į skirtingas nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų verčių diapazono dalis. Tai yra, pateikti tam tikrą tikimybių pakaitalą p i diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui tęstiniu atveju.

Ši funkcija yra tikimybės tankio funkcija. Tikimybių tankis (pasiskirstymo tankis, diferencinė funkcija) atsitiktinis dydis X vadinama funkcijaf( x), kuri yra pirmoji integraliojo skirstinio funkcijos išvestinė:

.

Apie atsitiktinį kintamąjį X sakoma, kad jis turi pasiskirstymą (paskirstytą) su tankiuf( x) tam tikroje x ašies atkarpoje.

Vienodas platinimo įstatymas. Nuolatinis atsitiktinis dydis X turi vienodą pasiskirstymo dėsnį (pastovaus tankio dėsnį) atkarpoje [a; b], jei šiame segmente atsitiktinio dydžio tikimybės tankio funkcija yra pastovi, t.y.f( x) turi formą:

Tikėtina vertė
. Atsitiktinio dydžio, tolygiai paskirstyto segmente, matematinė prognozė(a, b), yra lygus šios atkarpos viduriui.

Sklaida:

Reikšmė vadinama Sheppard korekcija.

Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio, turinčio vienodą pasiskirstymą, reikšmė patenka į intervalą (a, b), kuris visiškai priklauso segmentui [a, b]:

Geometriškai ši tikimybė yra užtamsinto stačiakampio plotas. Skaičiai A Irbyra vadinami paskirstymo parametrai Ir vienareikšmiškai nustato vienodą pasiskirstymą.

4 pavyzdys. Atsakymo į telefono skambutį laukimo laikas yra atsitiktinis dydis, atitinkantis vienodą paskirstymo dėsnį nuo 0 iki 2 minučių. Raskite šio atsitiktinio dydžio integralinio ir diferencinio skirstinio funkcijas.

Normalaus paskirstymo dėsnis (Gauso dėsnis). Nuolatinis atsitiktinis dydis X turi normalaus skirstinio dėsnį su parametrais ir (žymėkite ), jei jo tikimybės tankis turi tokią formą:

Matematinis lūkestis apibūdina atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos centrą, o besikeičiant kreivė pasislinks išilgai abscisių ašies (žr. 2 pav. ties ir ties ). Jei, esant pastoviems matematiniams lūkesčiams, atsitiktinio dydžio dispersija keičiasi, tai kreivė pakeis savo formą, susitraukdama arba ištempdama (žr. 2 pav.: ; ; ). Taigi parametras apibūdina padėtį, o parametras – tikimybių tankio kreivės formą.

Atsitiktinio dydžio normaliojo pasiskirstymo dėsnis X su parametrais ir (žymimasN(0;1)) vadinamas standartinis arba normalizuotas o atitinkama normalioji kreivė yra standartinė arba normalizuota.

Pagal apibrėžimą tikimybės tankio funkcija ir pasiskirstymo funkcija yra susijusios:

, Kur.

Tokio pobūdžio integralas „neįmanomas“, todėl jam surasti naudojama speciali funkcija, vadinamoji. tikimybinis integralas arba Laplaso funkcija, kuriai buvo sudarytos lentelės (žr. 1 priedą).

Naudodami Laplaso funkciją, galite išreikšti normalaus dėsnio paskirstymo funkciją naudodami formulę:

, Kur.

Praktiniais tikslais tai labai svarbu savybių atsitiktinis kintamasis, turintis normalaus skirstinio dėsnį.

1. Jei , tada norėdami rasti tikimybę, kad ši vertė pateks į tam tikrą intervalą ( x 1 x 2) naudojama formulė:

2. Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio neviršys reikšmės (absoliučia verte), yra lygi:

.

3. „Trijų sigmų taisyklė“ . Jei atsitiktinis kintamasis yra , tai beveik neabejotina, kad jo reikšmės yra intervale ( ). (Tikimybė peržengti šias ribas yra 0,0027.) Taisyklė leidžia, žinant parametrus ( ir ), apytiksliai nustatyti atsitiktinio dydžio praktinių reikšmių intervalą.

5 pavyzdys. Atsitiktinis dydis paprastai paskirstomas su parametrais , . Raskite tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis kaip eksperimento rezultatas įgis reikšmę, esančią intervale (12.5; 14).

6 pavyzdys. Atsitiktinė matavimo paklaida priklauso normaliojo skirstinio dėsniui su parametrais , . Atliekami trys nepriklausomi matavimai. Raskite tikimybę, kad bent vieno matavimo paklaida absoliučia verte neviršys 3 mm.

Tikimybė, kad matavimo paklaida vieno bandymo metu neviršija 3 mm:

Tikimybė, kad ši matavimo paklaida vieno bandymo metu viršys 3 mm:

Tikimybė, kad matavimo paklaida visuose trijuose bandymuose yra didesnė nei 3 mm:

.

Būtina tikimybė: .

NORMIDIST funkcija

Grąžina nurodyto vidurkio ir standartinio nuokrypio normaliojo skirstinio funkciją. Ši funkcija labai plačiai naudojama statistikoje, įskaitant hipotezių tikrinimą.

Sintaksė

NORMDISTAS(x;vidutinis;standartinis_išjungtas;integralas )

x - vertė, kuriai sudarytas skirstinys.

Vidutinis

Standartinis_išjungtas

Integralinis- loginė reikšmė, apibrėžianti funkcijos formą. Jei kumuliatyvus yra TRUE, NORMDIST grąžina kaupiamąją skirstinio funkciją; jei šis argumentas yra FALSE, grąžinama tankio funkcija.

Pastabos

· Jei argumentas yra „vidutinis“ arba „ standartinis_išjungtas" nėra skaičius, funkcija NORMIDIST grąžina klaidos reikšmę #VALUE!.

· Jeigu standartinis_išjungtas≤ 0, tada funkcija NORMIDIST grąžina klaidos reikšmę #NUM!

· Jei vidurkis = 0, standartinis_išjungtas= 1 ir kaupiamasis = TRUE, tada funkcija NORMSDIST grąžina standartinį normalųjį skirstinį, ty NORMSDIST.

· Normaliojo skirstinio tankio lygtis (argumente „kaupiamasis“ yra reikšmė FALSE) yra tokia:

· Jei integralas yra TRUE, formulė apibūdina integralą, kurio ribos yra nuo minus begalybės iki x.

NORMSDIST funkcija

Grąžina standartinį normalųjį kaupiamąjį skirstinį.

Sintaksė

Šio skirstinio vidurkis yra nulis, o standartinis nuokrypis – vienetas. Ši funkcija naudojama vietoj standartinės įprastos kreivės ploto lentelės.(NORMSDISTAS )

zZ

Pastabos

- vertė, kuriai sudarytas skirstinys. · Jei

· z nėra skaičius, funkcija NORMSDIST grąžina klaidos reikšmę #VALUE!

Standartinio normaliojo skirstinio tankio lygtis yra tokia:

NORMINV funkcija

Sintaksė

Grąžina atvirkštinį normalųjį skirstinį pagal nurodytą vidurkį ir standartinį nuokrypį.(;vidutinis;standartinis_išjungtas )

NORMOBRETikimybė

Vidutinis- tikimybė, atitinkanti normalųjį pasiskirstymą.

Standartinis_išjungtas - skirstinio aritmetinis vidurkis.

Pastabos

· Jei kuris nors iš argumentų nėra skaičius, NORMINV pateikia klaidos reikšmę #VALUE!

· Jei tikimybė< 0 или вероятность >1, funkcija NORMINV grąžina klaidos reikšmę #NUM!

· Jeigu standartinis_išjungtas≤ 0, funkcija NORMINV grąžina klaidos reikšmę #NUM!

· Jei vidurkis = 0 ir standartinis_išjungtas= 1, funkcija NORMSINV naudoja standartinį normalųjį skirstinį (žr. NORMSINV).

Jei pateikiama tikimybės reikšmė, funkcija NORMIDST ieško x reikšmės, kuriai NORMIDST(x, vidurkis, standartinis_išjungtas, TRUE) = tikimybė.

Tačiau NORMINV funkcijos tikslumas priklauso nuo NORMIDST tikslumo. Funkcija NORMINV paieškai naudoja iteracijos metodą. Jei paieška nesibaigia po 100 iteracijų, funkcija grąžina klaidos reikšmę #N/A.

Trijų sigmų taisyklė.

Ar pakeisime vertę? į formulę (*), gauname:

Taigi, su tikimybe, savavališkai artima vienetui, galime teigti, kad normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio modulis neviršija standartinio nuokrypio tris kartus.

Centrinės ribos teorema.

Centrinė ribinė teorema yra teoremų grupė, skirta nustatyti sąlygas, kurioms esant atsiranda normalus skirstymo dėsnis. Tarp šių teoremų svarbiausia vieta tenka Lyapunovo teoremai. X Jei atsitiktinis dydis X reiškia didelio skaičiaus sumą tarpusavyje? nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, tai yra, kurių kiekvieno įtaka visai sumai yra nereikšminga, tada atsitiktinis dydis

turi skirstinį, kuris neribotai artėja prie normalaus skirstinio.

Ištisinio atsitiktinio dydžio pradiniai ir centriniai momentai, kreivumas ir kurtozė. Režimas ir mediana.

Taikomuosiuose uždaviniuose, pavyzdžiui, matematinės statistikos srityje, teoriškai tiriant empirinius skirstinius, kurie skiriasi nuo normalaus skirstinio, reikia kiekybinių šių skirtumų įverčių. Šiuo tikslu buvo įvestos specialios bematės charakteristikos. Apibrėžimas.X)) Nuolatinio atsitiktinio dydžio režimas (Mo ( yra jo labiausiai tikėtina reikšmė, kuriai tikimybė p i

Taikomuosiuose uždaviniuose, pavyzdžiui, matematinės statistikos srityje, teoriškai tiriant empirinius skirstinius, kurie skiriasi nuo normalaus skirstinio, reikia kiekybinių šių skirtumų įverčių. Šiuo tikslu buvo įvestos specialios bematės charakteristikos. arba tikimybės tankis f(x) pasiekia maksimumą. X (Ištisinio atsitiktinio dydžio mediana(X)) Aš

– tai yra jo vertė, kuriai taikoma lygybė:

Geometriškai vertikali linija x = Me (X) padalija figūros plotą po kreive į dvi lygias dalis.

Taške X = Me (X), pasiskirstymo funkcija F (Me (X)) =

Tikimybių tankis f (x) yra didžiausias, kai x = 1, t.y. f (1) = 3, todėl Mo (X) = 1 intervale [ 0; 1].

Norėdami rasti medianą, pažymėkime Me (X) = b.

Kadangi Me (X) tenkina sąlygą P (X 3 = .

b 3 = ; b = "0,79

M (X) = =+ =

Atkreipkite dėmesį į gautas 3 reikšmes Mo (x), Me (X), M (X) Ox ašyje:

Taikomuosiuose uždaviniuose, pavyzdžiui, matematinės statistikos srityje, teoriškai tiriant empirinius skirstinius, kurie skiriasi nuo normalaus skirstinio, reikia kiekybinių šių skirtumų įverčių. Šiuo tikslu buvo įvestos specialios bematės charakteristikos. Asimetrija Teorinis skirstinys vadinamas trečios eilės centrinio momento ir standartinio nuokrypio kubo santykiu:

Taikomuosiuose uždaviniuose, pavyzdžiui, matematinės statistikos srityje, teoriškai tiriant empirinius skirstinius, kurie skiriasi nuo normalaus skirstinio, reikia kiekybinių šių skirtumų įverčių. Šiuo tikslu buvo įvestos specialios bematės charakteristikos. Perteklius teorinis skirstinys yra lygybe apibrėžtas kiekis:

kur? ketvirtos eilės centrinis momentas.

Normaliam pasiskirstymui. Nukrypstant nuo normalaus skirstinio, asimetrija yra teigiama, jei pasiskirstymo kreivės „ilgoji“ ir plokštesnė dalis yra į dešinę nuo taško x ašyje, atitinkančio režimą; jei ši kreivės dalis yra kairėje nuo režimo, tai asimetrija yra neigiama (1 pav., a, b).

Kurtozė apibūdina pasiskirstymo kreivės kilimo „statumą“, palyginti su normalia kreive: jei kurtozė yra teigiama, tai kreivė turi aukštesnę ir ryškesnę smailę; neigiamos kurtozės atveju lyginamoji kreivė turi žemesnę ir plokštesnę smailę.

Reikėtų nepamiršti, kad naudojant nurodytas palyginimo charakteristikas, prielaidos apie tas pačias matematinių lūkesčių ir dispersijos vertes normaliajam ir teoriniam skirstiniams yra atskaitos.

Pavyzdys. Tegul diskretinis atsitiktinis dydis X paskirstymo įstatymas:

Rasti: teorinio skirstinio kreivumas ir kurtozė.

Pirmiausia suraskime matematinį atsitiktinio dydžio lūkestį:

Tada apskaičiuojame 2, 3 ir 4 eilės pradinius ir centrinius momentus ir:

Dabar, naudodami formules, randame reikiamus kiekius:

Šiuo atveju „ilgoji“ pasiskirstymo kreivės dalis yra dešinėje nuo režimo, o pati kreivė yra šiek tiek aukščiau nei įprasta kreivė su tomis pačiomis matematinių lūkesčių ir sklaidos reikšmėmis.

Teorema. Savavališkam atsitiktiniam dydžiui X ir bet koks skaičius

?>0 teisingos šios nelygybės:

Priešingos nelygybės tikimybė.

Vidutinis vandens suvartojimas gyvulininkystės ūkyje yra 1000 litrų per dieną, o šio atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis neviršija 200 litrų. Apskaičiuokite tikimybę, kad ūkio vandens debitas bet kurią dieną neviršys 2000 L, taikant Čebyševo nelygybę.

Leisti X– vandens suvartojimas gyvulininkystės ūkyje (l).

Sklaida D(X) = . Kadangi intervalo ribos yra 0 X 2000 yra simetriški matematinio lūkesčio atžvilgiu M(X) = 1000, tada norimo įvykio tikimybei įvertinti galime pritaikyti Čebyševo nelygybę:

Tai yra, ne mažiau kaip 0,96.

Binominiam skirstiniui Čebyševo nelygybė yra tokia:

ATSITIKTINIŲ KINTAMŲJŲ PASKIRSTYMO DĖSNIAI

ATSITIKTINIŲ KINTAMŲJŲ PASKIRSTYMO DĖSNIAI - skyrius Matematika, TIKIMYBIŲ TEORIJA IR MATEMATINĖ STATISTIKA Labiausiai paplitę dėsniai yra Uniforminis, Normalusis ir Eksponentinis.

Labiausiai paplitę dėsniai yra vienodos, normaliosios ir eksponentinės nuolatinių atsitiktinių dydžių tikimybių skirstiniai.

Ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymas vadinamas vienodu, jei intervale (a,b), kuriam priklauso visos galimos X reikšmės, pasiskirstymo tankis išlaiko pastovią reikšmę (6.1).

Paskirstymo funkcija yra tokia:

Normalus yra ištisinio atsitiktinio dydžio X, kurio tankis turi tokią formą, tikimybių skirstinys:

Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę, priklausančią intervalui (?; ?):

kur yra Laplaso funkcija ir

Tikimybė, kad absoliuti nuokrypio vertė bus mažesnė už teigiamą skaičių?:

Visų pirma, jei a = 0, . (6.7)

Eksponentinis yra ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybės pasiskirstymas, apibūdinamas tankiu:

Kur? – pastovi teigiama reikšmė.

Eksponentinio dėsnio paskirstymo funkcija:

Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis X pateks į intervalą (a, b), paskirstytas pagal eksponentinį dėsnį:

1. Atsitiktinis dydis X yra tolygiai pasiskirstęs intervale (-2;N). Raskite: a) atsitiktinio dydžio X diferencialinę funkciją; b) integralinė funkcija; c) tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą (-1;); d) atsitiktinio dydžio X matematinė prognozė, dispersija ir standartinis nuokrypis.

2. Raskite tolygiai intervale paskirstyto atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją: a) (5; 11); b) (-3; 5). Nubraižykite šių funkcijų grafikus.

3. Atsitiktinis dydis X yra tolygiai paskirstytas intervale (2; 6), kai D(x) = 12. Raskite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcijas. Nubraižykite funkcijų grafikus.

4. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal stačiojo trikampio dėsnį (1 pav.) intervale (0; a). Raskite: a) atsitiktinio dydžio X diferencialinę funkciją; b) integralinė funkcija; c) tikriausiai

atsitiktinio dydžio pataikymo tikimybė

į int(); d) matematiniai

lūkesčiai, dispersija ir vidutinis kvadratas

atsitiktinis racionalus nuokrypis

5. Atsitiktinis dydis X paskirstomas pagal Simpsono dėsnį („lygiašonio trikampio dėsnį“) (2 pav.) per intervalą (-a; a). Raskite: a) atsitiktinio dydžio X diferencinio tikimybių pasiskirstymo funkciją;

b) integralo funkciją ir sudaryti jos grafiką; c) tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą (-); d) atsitiktinio dydžio X matematinė prognozė, dispersija ir standartinis nuokrypis.

6. Tam tikros naminių paukščių veislės produktyvumui tirti matuojamas kiaušinių skersmuo. Didžiausias skersinis kiaušinių skersmuo yra atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal normalųjį dėsnį, kurio vidutinė vertė yra 5 cm, o standartinis nuokrypis yra 0,3 cm. Raskite tikimybę, kad: a) atsitiktinai paimto kiaušinio skersmuo bus ribose diapazonas nuo 4,7 iki 6, 2 cm; b) skersmens nuokrypis nuo vidurkio absoliučia verte neviršys 0,6 cm.

7. Tvenkinyje sugautų žuvų svoris paklūsta normaliam pasiskirstymo dėsniui, kurio standartinis nuokrypis yra 150 g ir matematinis lūkestis a = 1000 g Raskite tikimybę, kad sugautos žuvies svoris bus: a) nuo 900 iki 1300 g. ; b) ne daugiau 1500 g; c) ne mažiau 800 g; d) skiriasi nuo vidutinio svorio modulio ne daugiau kaip 200 g; e) nubraižykite atsitiktinio dydžio X diferencinės funkcijos grafiką.

8. Žieminių kviečių derlingumas sklypų rinkinyje paskirstomas pagal normalųjį dėsnį su parametrais: a = 50 c/ha, = 10 c/ha. Nustatykite: a) kiek procentų sklypų derlius bus didesnis nei 40 c/ha; b) sklypų, kurių derlingumas nuo 45 iki 60 c/ha, procentas.

9. Grūdų užterštumas matuojamas selektyviniu metodu atsitiktinių matavimų paklaidoms taikomas normalaus pasiskirstymo dėsnis, kurio standartinis nuokrypis yra 0,2 g, o matematinė prognozė a = 0. Raskite tikimybę, kad iš keturių nepriklausomų matavimų paklaida yra bent viena; iš jų neviršys absoliučios vertės 0,3 g.

10. Iš kiekvieno bandomojo lauko sklypo surinktas grūdų kiekis yra normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis X, kurio matematinė prognozė a = 60 kg ir standartinis nuokrypis 1,5 kg. Raskite intervalą, kuriame bus reikšmė X su tikimybe 0,9906. Parašykite šio atsitiktinio dydžio diferencinę funkciją.

11. Su 0,9973 tikimybe nustatyta, kad atsitiktinai parinktos galvijų gyvojo svorio absoliutus nuokrypis nuo visos bandos vidutinio gyvulio svorio neviršija 30 kg. Raskite gyvulių gyvojo svorio standartinį nuokrypį, darant prielaidą, kad gyvulių pasiskirstymas pagal gyvąjį svorį atitinka normalų dėsnį.

12. Daržovių derlingumas pagal sklypą yra normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis, kurio matematinė prognozė 300 c/ha ir standartinis nuokrypis 30 c/ha. Su 0,9545 tikimybe nustatykite ribas, kuriose bus vidutinis daržovių derlius sklypuose.

13. Normalaus paskirstymo atsitiktinis dydis X nurodomas diferencine funkcija:

Nustatykite: a) atsitiktinio dydžio patekimo į intervalą tikimybę

(3; 9); b) atsitiktinio dydžio X modą ir medianą.

14. Prekybos įmonė prekiauja panašia dviejų gamintojų produkcija. Gaminių tarnavimo laikas priklauso nuo įprastinių įstatymų. Pirmojo gamintojo gaminių vidutinis tarnavimo laikas yra 5,5 tūkst. valandų, o antrojo – 6 tūkst. Pirmasis gamintojas teigia, kad su 0,95 tikimybe pirmojo gamintojo tarnavimo laikas yra nuo 5 iki 6 tūkstančių valandų, o antrojo, su 0,9 tikimybe, nuo 5 iki 7 tūkstančių valandų. Kuris gamintojas turi didesnį gaminių tarnavimo laiką.

15. Įmonės darbuotojų mėnesinis darbo užmokestis paskirstomas pagal įprastą dėsnį su matematine lūkesčiu a = 10 tūkst. Yra žinoma, kad 50% įmonės darbuotojų gauna atlyginimą nuo 8 iki 12 tūkstančių rublių. Nustatykite, koks procentas įmonės darbuotojų turi mėnesinį atlyginimą nuo 9 iki 18 tūkstančių rublių.

16. Parašykite eksponentinio dėsnio tankio ir pasiskirstymo funkciją, jei: a) parametras; b) ; V) . Nubraižykite funkcijų grafikus.

17. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal eksponentinį dėsnį, ir. Raskite tikimybę, kad atsitiktinis dydis X pateks į intervalą: a) (0; 1); b) (2; 4). M(X), D(X), (X).

18. Raskite atsitiktinio dydžio X eksponentinės skirstinio dėsnį M(X), D(X), (X) pagal pateiktą funkciją:

19. Bandomi du nepriklausomai veikiantys elementai. Pirmojo veikimo be gedimų trukmė pasiskirsto labiau nei antrojo. Raskite tikimybę, kad per 20 valandų: a) veiks abu elementai; b) suges tik vienas elementas; c) suges bent vienas elementas; d) abu elementai suges.

20. Tikimybė, kad abu nepriklausomi elementai veiks per 10 dienų, yra 0,64. Nustatykite kiekvieno elemento patikimumo funkciją, jei funkcijos yra vienodos.

21. Vidutinis klaidų skaičius, kurį operatorius padaro per darbo valandą, yra 2. Raskite tikimybę, kad per 3 darbo valandas operatorius padarys: a) 4 klaidas; b) bent dvi klaidos; c) bent viena klaida.

22. Vidutinis telefono stočių skambučių skaičius per minutę yra trys. Raskite tikimybę, kad per 2 minutes sulauksite: a) 4 skambučių; b) mažiausiai tris skambučius.

23. Atsitiktinis kintamasis X pasiskirsto pagal Koši dėsnį

Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai

6. Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai

6.1. Ištisinių atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos

Nepertraukiamas yra atsitiktinis kintamasis, kuris gali paimti visas reikšmes iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo.

Paskirstymo funkcija vadinama funkcija F (x)? nustatant tikimybę, kad atsitiktinis dydis X bandymo rezultatu įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y.

Paskirstymo funkcijos savybės:

1. Pasiskirstymo funkcijos reikšmės priklauso segmentui, t.y.

2. F (x) yra nemažėjanti funkcija, t.y. jei tada .

· Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X įgis intervale esančią reikšmę, yra lygi:

· Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis X įgis vieną konkrečią reikšmę, yra lygi nuliui.

Ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis yra funkcija – pirmoji skirstinio funkcijos išvestinė.

Tikimybė, kad nenutrūkstamas atsitiktinis dydis pateks į tam tikrą intervalą:

Pasiskirstymo funkcijos nustatymas naudojant žinomą pasiskirstymo tankį:

Pasiskirstymo tankio savybės

1. Pasiskirstymo tankis yra neneigiama funkcija:

2. Normalizavimo sąlyga:

Standartinis nuokrypis

6.2. Vienodas paskirstymas

Tikimybių pasiskirstymas vadinamas vienodu, jei intervale, kuriam priklauso visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, pasiskirstymo tankis išlieka pastovus.

Tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio tikimybių tankis

Standartinis nuokrypis

6.3. Normalus skirstinys

Normalusis – atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys, apibūdinamas pasiskirstymo tankiu

a- matematinis lūkestis

standartinis nuokrypis

dispersija

Tikimybė patekti į intervalą

Kur yra Laplaso funkcija. Ši funkcija yra lentelėse, t.y. nereikia skaičiuoti integralo, reikia naudoti lentelę.

Atsitiktinio dydžio x nukrypimo nuo matematinio lūkesčio tikimybė

Trijų sigmų taisyklė

Jei atsitiktinis dydis pasiskirsto normaliai, tai jo nuokrypio nuo matematinio lūkesčio absoliuti reikšmė neviršija standartinio nuokrypio tris kartus.

Tiksliau tariant, tikimybė peržengti nurodytą intervalą yra 0,27%

Normaliojo pasiskirstymo tikimybės internetinė skaičiuoklė

6.4. Eksponentinis pasiskirstymas

Atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal eksponentinį dėsnį, jei pasiskirstymo tankis turi formą

Standartinis nuokrypis

Išskirtinis šio skirstinio bruožas yra tas, kad matematinis lūkestis yra lygus standartiniam nuokrypiui.

Tikimybių teorija. Atsitiktiniai įvykiai (6 psl.)

12. Atsitiktiniai dydžiai X , Jei , , , .

13. Tikimybė pagaminti nekokybišką prekę yra 0,0002. Apskaičiuokite tikimybę, kad inspektorius, patikrinęs 5000 gaminių kokybę, ras 4 nekokybiškus.

X X ims reikšmę, priklausančią intervalui . Sukurkite funkcijų grafikus ir .

15. Elemento veikimo be gedimų tikimybė paskirstoma pagal eksponentinį dėsnį (). Raskite tikimybę, kad elementas veiks be gedimų 50 valandų.

16. Įrenginys susideda iš 10 savarankiškai veikiančių elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė laikui bėgant T lygus 0,05. Naudodamiesi Čebyševo nelygybe, įvertinkite tikimybę, kad absoliuti skirtumo tarp sugedusių elementų skaičiaus ir vidutinio gedimų skaičiaus (matematinio lūkesčio) vertė laikui bėgant T bus mažiau nei du.

17. Į taikinį buvo iššauti trys nepriklausomi šūviai (4.1 pav. m, m) be sisteminės paklaidos () su numatomu smūgių sklaida m. Raskite bent vieno pataikymo į taikinį tikimybę.

1. Kiek triženklių skaičių galima padaryti iš skaičių 0,1,2,3,4,5?

2. Chorą sudaro 10 dalyvių. Kiek būdų per 3 dienas galima atrinkti 6 dalyvius, kad kiekvieną dieną būtų vis kitas choras?

3. Keliais būdais 52 sumaišytų kortų kaladę galima padalyti per pusę, kad vienoje pusėje būtų trys tūzai?

4. Iš dėžutės, kurioje yra žetonai su skaičiais nuo 1 iki 40, loterijos dalyviai traukia žetonus. Nustatykite tikimybę, kad pirmojo atsitiktinai ištraukto žetono skaičiuje nėra skaičiaus 2.

5. Bandymo stende tam tikromis sąlygomis išbandoma 250 prietaisų. Raskite tikimybę, kad bent vienas iš bandomų įrenginių suges per valandą, jei žinoma, kad vieno iš šių įrenginių gedimo per valandą tikimybė yra 0,04 ir yra vienoda visiems įrenginiams.

6. Piramidėje yra 10 šautuvų, iš kurių 4 yra su optiniu taikikliu. Tikimybė, kad šaulys pataikys į taikinį, šaudydamas iš šautuvo su teleskopiniu taikikliu, yra 0,95; šautuvams be optinio taikiklio ši tikimybė yra 0,8. Šaulys į taikinį pataikė atsitiktinai paimtu šautuvu. Raskite tikimybę, kad šaulys iššovė iš šautuvo su teleskopiniu taikikliu.

7. Įrenginys susideda iš 10 mazgų. Patikimumas (tikimybė, kad laikui bėgant veiks be gedimų t kiekvienam mazgui yra lygus . Mazgai sugenda nepriklausomai vienas nuo kito. Raskite tikimybę, kad laiku t: a) suges bent vienas mazgas; b) suges lygiai du mazgai; c) suges lygiai vienas mazgas; d) suges bent du mazgai.

8. Testuojamas kiekvienas iš 16 tam tikro įrenginio elementų. Tikimybė, kad elementas išlaikys testą, yra 0,8. Raskite labiausiai tikėtiną elementų, kurie išlaikys testą, skaičių.

9. Raskite tikimybę, kad įvykis A(pavarų perjungimas) įvyks 70 kartų 243 kilometrų greitkelyje, jei kiekvieno šios greitkelio kilometro įjungimo tikimybė yra 0,25.

10. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Raskite tikimybę, kad 100 šūvių į taikinį bus pataikyta mažiausiai 75 ir ne daugiau kaip 90 kartų.

X.

12. Atsitiktiniai dydžiai X ir nepriklausomas. Raskite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją , Jei , , , .

13. 1000 puslapių spausdinto teksto rankraštyje yra 100 rašybos klaidų. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai paimtame puslapyje yra tiksliai 2 rašybos klaidos.

14. Nuolatinis atsitiktinis dydis X pasiskirstę tolygiai su pastoviu tikimybių tankiu, kur Raskite 1) parametrą ir užrašykite pasiskirstymo dėsnį; 2) Rasti , ; 3) Raskite tikimybę, kad X ims reikšmę, priklausančią intervalui .

15. Elemento veikimo be gedimų trukmė turi eksponentinį skirstinį (). Raskite tikimybę, kad t= 24 valandos elementas nesuges.

16. Nuolatinis atsitiktinis dydis X paprastai paskirstytas . Rasti,. Raskite tikimybę, kad atlikus testą X ims reikšmę, esančią intervale .

17. Pateiktas diskretinio dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys:

Raskite komponentų pasiskirstymo dėsnį X Ir ; jų matematinius lūkesčius ir ; dispersijos ir ; koreliacijos koeficientas .

1. Kiek triženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1,2, 3, 4, 5, jei kiekvienas iš šių skaitmenų naudojamas ne daugiau kaip vieną kartą?

2. Duota n taškai, iš kurių 3 yra toje pačioje tiesėje. Kiek tiesių galima nubrėžti jungiant taškus poromis?

Kiek domino galite padaryti naudodami skaičius nuo 0 iki 9?

3. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai išplėštas popieriaus lapas iš naujo kalendoriaus atitinka pirmąją mėnesio dieną? (Metai nelaikomi keliamaisiais metais).

4. Dirbtuvėse yra 3 telefonai, veikiantys vienas nuo kito nepriklausomai.

5. Kiekvieno iš jų įsidarbinimo tikimybės yra atitinkamai tokios: ; ; . Raskite tikimybę, kad bent vienas telefonas yra laisvas.

6. Yra trys vienodos urnos. Pirmoje urnoje yra 20 baltų rutulių, antroje – 10 baltų ir 10 juodų, trečioje – 20 juodų rutulių. Iš atsitiktinai parinktos urnos traukiamas baltas rutulys. Raskite tikimybę, kad rutulys bus ištrauktas iš pirmosios urnos.

7. Kai kuriose vietovėse vasarą vidutiniškai 20 % dienų būna lietingos. Kokia tikimybė, kad per vieną savaitę: a) bus bent viena lietinga diena; b) bus lygiai viena lietinga diena; c) lietingų dienų skaičius bus ne daugiau kaip keturios; d) nebus lietingų dienų.

8. Prietaiso surinkimo tikslumo pažeidimo tikimybė yra 0,32. Nustatykite labiausiai tikėtiną tiksliųjų instrumentų skaičių 9 vienetų partijoje.

9. Nustatyti tikimybę, kad 150 šūvių iš šautuvo į taikinį bus pataikyta 70 kartų, jei tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,4.

10. Nustatykite tikimybę, kad iš 1000 gimusių vaikų berniukų bus ne mažiau kaip 455 ir ne daugiau kaip 555, jei berniukų gimimo tikimybė yra 0,515.

11. Pateiktas diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X:

Raskite: 1) reikšmę atitinkančią tikimybės reikšmę; 2) , , ; 3) paskirstymo funkcija; sukurti savo grafiką. Sukurkite atsitiktinių kintamųjų pasiskirstymo daugiakampį X.

12. Atsitiktiniai dydžiai X ir nepriklausomas. Raskite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją , Jei , , , .

13. Nestandartinės detalės pagaminimo tikimybė yra 0,004. Raskite tikimybę, kad tarp 1000 dalių bus 5 nestandartinės.

14. Nuolatinis atsitiktinis dydis X duota paskirstymo funkcijos Raskite: 1) tankio funkciją; 2) , , ; 3) tikimybė, kad dėl eksperimento atsitiktinis dydis X ims reikšmę, priklausančią intervalui . Sudarykite funkcijų grafikus ir .km, km. Nustatykite dviejų smūgių į taikinį tikimybę.

1. Posėdyje turi dalyvauti pranešėjai A, IN, SU, D. Kiek būdų juos galima įtraukti į pranešėjų sąrašą, kad IN kalbėjo paskui kalbėtoją A?

2. Keliais būdais 14 vienodų kamuoliukų galima paskirstyti į 8 dėžutes?

3. Kiek penkiaženklių skaičių galima sudaryti iš skaičių nuo 1 iki 9?

4. Mokinys į egzaminą atėjo žinodamas tik 24 iš 32 programos klausimų. Egzaminuotojas jam uždavė 3 klausimus. Raskite tikimybę, kad mokinys atsakė į visus klausimus.

5. Dienos pabaigoje parduotuvėje buvo likę 60 arbūzų, iš jų 50 prinokusių. Pirkėjas pasirenka 2 arbūzus. Kokia tikimybė, kad abu arbūzai yra prinokę?

6. Sportininkų grupėje yra 20 bėgikų, 6 šuolininkai ir 4 kūjo metikai. Tikimybė, kad bėgikas atitiks sporto meistro normatyvą yra 0,9; šuolininkas - 0,8 ir metikas - 0,75. Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinai pašauktas sportininkas įvykdys sporto meistro normatyvą.

7. Tikimybė, kad išsinuomotas daiktas bus grąžintas geros būklės, yra 0,8. Nustatykite tikimybę, kad iš penkių paimtų dalykų: a) trys bus grąžinti geros būklės; b) visos penkios prekės bus grąžintos geros būklės; c) bent dvi prekės bus grąžintos geros būklės.

8. Tikimybė, kad 500 dalių partijoje atsiras defektas, yra 0,035. Nustatykite labiausiai tikėtiną sugedusių dalių skaičių šioje partijoje.

9. Gaminant elektros lemputes, manoma, kad tikimybė pagaminti pirmos klasės lempą yra 0,64. Nustatykite tikimybę, kad iš 100 atsitiktinai paimtų elektros lempų 70 bus pirmos klasės.

10. Tiriama 400 rūdos mėginių. Pramoninio metalo kiekio tikimybė kiekviename mėginyje yra vienoda ir lygi 0,8. Raskite tikimybę, kad mėginių, kuriuose yra pramoninio metalo, skaičius bus nuo 290 iki 340.

11. Pateiktas diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X, jei X X Ir ; 4) išsiaiškinti, ar šie dydžiai yra priklausomi.

1. Keliais būdais prie apvalaus stalo galima susodinti 8 svečius, kad du žinomi svečiai sėdėtų vienas šalia kito?

2. Kiek skirtingų „žodžių“ galite padaryti pertvarkę žodžio „kombinatorika“ raides?

3. Kiek yra trikampių, kurių kraštinių ilgiai turi vieną iš šių reikšmių: 4, 5, 6, 7 cm?

4. Voke yra suskaidytos abėcėlės raidės: APIE, P, R, SU, T. Raidės kruopščiai sumaišomos. Nustatykite tikimybę, kad išėmę šias raides ir padėję jas viena šalia kitos gausite žodį „ SPORTAS‘.

5. Iš pirmos mašinos į mazgą tiekiama 20% detalių, iš antros 30%, iš trečios - 50% detalių. Pirmoji mašina duoda vidutiniškai 0,2% defektų, antroji - 0,3%, trečioji - 1%. Raskite tikimybę, kad surinkimui gauta dalis yra sugedusi.

6. Vienas iš trijų šaulių iškviečiamas į šaudymo liniją ir paleidžia šūvį. Į taikinį pataikyta. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu pirmajam šauliui yra 0,3, antrajam - 0,5, trečiajam - 0,8. Raskite tikimybę, kad šūvį paleido antrasis šaulys.

7. Dirbtuvėse yra 6 varikliai. Kiekvieno variklio tikimybė, kad jis šiuo metu įjungtas, yra 0,8. Raskite tikimybę, kad šiuo metu: a) įjungti 4 varikliai; b) įjungtas bent vienas variklis; c) visi varikliai įjungti.

8. Televizorius turi 12 lempų. Kiekvienas iš jų su 0,4 tikimybe gali sugesti garantiniu laikotarpiu. Raskite labiausiai tikėtiną lempų, kurios sugestų garantiniu laikotarpiu, skaičių.

9. Tikimybė susilaukti berniuko yra 0,515. Raskite tikimybę, kad iš 200 gimusių vaikų bus vienodas berniukų ir mergaičių skaičius.

10. Tikimybė, kad detalė nepraėjo kokybės kontrolės patikrinimo, bus . Raskite tikimybę, kad tarp 400 atsitiktinai atrinktų dalių bus nuo 70 iki 100 neišbandytų dalių.

11. Pateiktas diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X:

• Pagrindiniai atsitiktinio dydžio skirstymo dėsniai Mokymo įstaiga „Baltarusijos valstybinis aukštosios matematikos katedra“ studijuoja temą „Pagrindiniai atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai“ neakivaizdinio mokymosi apskaitos fakulteto (NISPO) studentams Pagrindiniai skirstymo dėsniai atsitiktinio dydžio [...]
• Kelių policijos baudos Leninogorskas Pavėluotai valstybė imsis priemonių, kad surinktų baudas, jei neapskundėte Kelių policijos baudų Leninogorskas jums reikia Simboliai. Be registracijos dokumentų ir transporto priemonių valdytojų civilinės atsakomybės privalomojo draudimo poliso hipersaitas į šį straipsnį kainuos 500 Lt. Pareigūnai baudos kelių policijai Leninogorsko [...]
• Išeitinės kompensacijos černobyliečiams: (3 + 1) ar tik 3? Dėl Černobylio katastrofos nukentėjusiems piliečiams (toliau – Černobylio aukos) įstatymas Nr. 796* nustatė tam tikras lengvatas ir garantijas. Taigi černobylio aukoms, priskiriamoms 1 kategorijai, be kita ko, suteikiama pirmumo teisė likti […]
• Kotedžo mokestis. Turėtumėte tai žinoti. Su vyru galvojame apie vasarnamį, kur galėtume atvažiuoti, šiek tiek pasikapstyti lysvėse, o vakare pasėdėti supamoje kėdėje prie laužo ir apie nieką negalvoti. Atsipalaiduok. Iš pirmų lūpų žinome, kad sodininkystė nėra pigi (mėšlas, trąšos, sodinukai), mokesčiai... Kokie mokesčiai […]
• 1 patarimas: Kaip nustatyti pasiskirstymo dėsnį Kaip nustatyti pasiskirstymo dėsnį Kaip sudaryti Pareto diagramą Kaip rasti matematinį lūkestį, jei dispersija žinoma – matematinis žinynas;
• 3. ATSITIKTINIAI KINTAMAI. ATSITIKTINIO KINTAMOJO SAMPRATA Atsitiktinis dydis yra dydis, kuris, atlikus bandymus tomis pačiomis sąlygomis, įgauna skirtingas, paprastai kalbant, reikšmes, priklausomai nuo atsitiktinių veiksnių, į kuriuos neatsižvelgiama. Atsitiktinių dydžių pavyzdžiai: taškų, surinktų už […]
• Pravažiavimo panaikinimas Bendras objekto plotas, km 2; N poros – paveiktų objekto elementų (pastatų, dirbtuvių, konstrukcijų, sistemų) skaičius; Ntot yra bendras objekto elementų skaičius. Norėdami nustatyti aukų skaičių, galite naudoti šią išraišką: kur Spor yra aukų skaičius staigaus sprogimo metu; Lс yra darbuotojų skaičius tam tikram […]
• Stefano Boltzmanno spinduliavimo dėsniai Realiems kūnams Stefano-Boltzmanno dėsnis tenkinamas tik kokybiškai, tai yra, didėjant temperatūrai, visų kūnų energetiniai šviesuliai didėja. Tačiau realiems kūnams energetinio šviesumo priklausomybė nuo temperatūros nebeapibūdinama paprastu ryšiu (16.7), o […]

6 skyrius. Ištisiniai atsitiktiniai dydžiai.

§ 1. Ištisinio atsitiktinio dydžio tankio ir pasiskirstymo funkcija.

Nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmių rinkinys yra neskaičiuojamas ir paprastai reiškia tam tikrą baigtinį arba begalinį intervalą.

Iškviečiamas atsitiktinis dydis x(w), apibrėžtas tikimybių erdvėje (W, S, P). tęstinis(absoliučiai tęstinis) W, jei yra tokia neneigiama funkcija, kad bet kurio x pasiskirstymo funkcija Fx(x) gali būti pavaizduota kaip integralas

Funkcija vadinama funkcija tikimybių pasiskirstymo tankiai.

Apibrėžimas reiškia pasiskirstymo tankio funkcijos savybes:

1..gif" width="97" height="51">

3. Tolydumo taškuose pasiskirstymo tankis lygus skirstinio funkcijos išvestinei: .

4. Pasiskirstymo tankis apsprendžia atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, nes jis nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą:

5. Tikimybė, kad nenutrūkstamas atsitiktinis dydis įgis tam tikrą reikšmę, lygi nuliui: . Todėl galioja šios lygybės:

Pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas vadinamas pasiskirstymo kreivė, o plotas, ribojamas pasiskirstymo kreivės ir x ašies, yra lygus vienetui. Tada geometriškai pasiskirstymo funkcijos Fx(x) reikšmė taške x0 yra plotas, apribotas pasiskirstymo kreivės ir x ašies ir esantis į kairę nuo taško x0.

1 užduotis. Ištisinio atsitiktinio dydžio tankio funkcija yra tokia:

Nustatykite konstantą C, sukonstruokite pasiskirstymo funkciją Fx(x) ir apskaičiuokite tikimybę.

Sprendimas. Konstanta C randama iš sąlygos Mes turime:

kur C=3/8.

Norėdami sukurti paskirstymo funkciją Fx(x), atkreipkite dėmesį, kad intervalas padalija argumento x (skaitinės ašies) reikšmių diapazoną į tris dalis: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

kadangi tankis x pusašyje lygus nuliui. Antruoju atveju

Galiausiai, paskutiniu atveju, kai x>2,

Kadangi tankis išnyksta pusiau ašyje. Taigi gaunama paskirstymo funkcija

Tikimybė Apskaičiuokime pagal formulę. Taigi,

§ 2. Ištisinio atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos

Tikėtina vertė nuolat paskirstytų atsitiktinių kintamųjų atveju nustatoma pagal formulę https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

jei integralas dešinėje absoliučiai suartėja.

Sklaida x galima apskaičiuoti naudojant formulę , taip pat, kaip ir atskiru atveju, pagal formulę https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Visos matematinių lūkesčių ir dispersijos savybės, pateiktos 5 skyriuje diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams, galioja ir nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams.

2 problema. Atsitiktiniam dydžiui x iš 1 uždavinio, apskaičiuokite matematinį lūkestį ir dispersiją .

Sprendimas.

Ir tai reiškia

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Norėdami gauti vienodą pasiskirstymo tankio grafiką, žr. .

6.2 pav. Pasiskirstymo funkcija ir pasiskirstymo tankis. vienoda teisė

Tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija Fx(x) lygi

Fx(x)=

Lūkesčiai ir dispersija; .

Eksponentinis (eksponentinis) skirstinys. Ištisinis atsitiktinis dydis x, turintis neneigiamas reikšmes, turi eksponentinį pasiskirstymą, kurio parametras l>0, jei atsitiktinio dydžio tikimybės tankio pasiskirstymas yra lygus

рx(x)=

Ryžiai. 6.3. Eksponentinio dėsnio skirstinio funkcija ir pasiskirstymo tankis.

Eksponentinio skirstinio pasiskirstymo funkcija turi formą

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> o jeigu jo pasiskirstymo tankis lygus

.

Through reiškia visų atsitiktinių dydžių, paskirstytų pagal įprastą dėsnį, rinkinį su parametrų parametrais ir .

Normalaus pasiskirstymo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija lygi

.

Ryžiai. 6.4. Pasiskirstymo funkcija ir normalaus pasiskirstymo tankis

Normaliojo skirstinio parametrai yra matematinis lūkestis https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Ypatingu atveju, kai https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normalusis skirstinys vadinamas standartinis, o tokių paskirstymų klasė žymima https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

ir paskirstymo funkcija

Toks integralas negali būti apskaičiuojamas analitiškai (neimamas „kvadratūromis“), todėl funkcijai buvo sudarytos lentelės. Funkcija yra susijusi su Laplaso funkcija, pristatyta 4 skyriuje

,

tokiu ryšiu . Esant savavališkoms parametrų reikšmėms https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> atsitiktinio kintamojo pasiskirstymo funkcija yra susijusi su Laplaso funkcija naudojant ryšį:

.

Todėl tikimybę, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis pateks į intervalą, galima apskaičiuoti naudojant formulę

.

Neneigiamas atsitiktinis dydis x vadinamas lognormaliai paskirstytu, jei jo logaritmas h=lnx paklūsta normaliajam dėsniui. Tikėtina lognormalaus pasiskirstymo atsitiktinių dydžių reikšmė ir dispersija yra Mx= ir Dx=.

3 užduotis. Pateikiame atsitiktinį kintamąjį https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Sprendimas.Čia https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplaso pasiskirstymas yra pateikta funkcija fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41">, o kurtozė yra gx=3.

6.5 pav. Laplaso pasiskirstymo tankio funkcija.

Atsitiktinis kintamasis x yra paskirstytas Veibulio dėsnis, jei jo pasiskirstymo tankio funkcija yra lygi https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Weibull paskirstymas reguliuoja daugelio techninių prietaisų veikimo laiką be gedimų. Šio profilio uždaviniuose svarbi charakteristika yra tiriamų amžiaus t elementų gedimų dažnis (mirtingumo rodiklis) l(t), nustatomas ryšiu l(t)=. Jei a=1, tai Weibull skirstinys virsta eksponenciniu skirstiniu, o jei a=2 - į vadinamąjį skirstinį. Rayleigh.

Matematiniai Weibull skirstinio lūkesčiai: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, kur Г(а) yra Euleris funkcija. .

Įvairiose taikomosios statistikos problemose dažnai susiduriama su vadinamaisiais „sutrumpintais“ skirstiniais. Pavyzdžiui, mokesčių administratorius domisi pajamų paskirstymu tų asmenų, kurių metinės pajamos viršija tam tikrą mokesčių įstatymų nustatytą c0 ribą. Šie skirstiniai maždaug sutampa su Pareto skirstiniu. Pareto paskirstymas suteikiama funkcijomis

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> atsitiktinio dydžio x ir monotoninės diferencijuojamos funkcijos ..gif" width="200" height="51">

Čia https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

4 užduotis. Atsitiktinis dydis yra tolygiai paskirstytas segmente. Raskite atsitiktinio dydžio tankį.

Sprendimas. Iš probleminių sąlygų matyti, kad

Toliau funkcija yra monotoniška ir diferencijuojama intervalo funkcija ir turi atvirkštinę funkciją , kurio išvestinė yra lygi Todėl

§ 5. Ištisinių atsitiktinių dydžių pora

Tegu pateikiami du nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai x ir h. Tada pora (x, h) apibrėžia "atsitiktinį" tašką plokštumoje. Pora (x, h) vadinama atsitiktinis vektorius arba dvimatis atsitiktinis dydis.

Jungties paskirstymo funkcija atsitiktiniai dydžiai x ir h, o funkcija vadinama F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. sąnario tankis atsitiktinių dydžių x ir h tikimybių skirstinys vadinamas tokia funkcija, kad .

Šio jungtinio pasiskirstymo tankio apibrėžimo reikšmė yra tokia. Tikimybė, kad „atsitiktinis taškas“ (x, h) pateks į plokštumos sritį, apskaičiuojama kaip trimatės figūros tūris – „kreivinio“ cilindro, apriboto paviršiaus https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Paprasčiausias dviejų atsitiktinių dydžių bendro pasiskirstymo pavyzdys yra dvimatis vienodas pasiskirstymas filmavimo aikštelėjeA. Tegu apibrėžiama aibė M su plotu. Ji apibrėžiama kaip poros (x, h) skirstinys, apibrėžtas tokiu jungties tankiu:

5 užduotis. Tegu dvimatis atsitiktinis vektorius (x, h) yra tolygiai paskirstytas trikampio viduje. Apskaičiuokite nelygybės x>h tikimybę.

Sprendimas. Nurodyto trikampio plotas lygus (žr. pav. Nr.?). Remiantis dvimačio vienodo pasiskirstymo apibrėžimu, atsitiktinių dydžių x, h bendras tankis yra lygus

Įvykis atitinka rinkinį lėktuve, t.y., pusiau lėktuve. Tada tikimybė

Pusplokštumoje B jungties tankis yra lygus nuliui už aibės ribų https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Taigi pusiau plokštuma B yra padalinta į dvi aibes ir https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> ir , o antrasis integralas yra lygus nulis, nes jungties tankis ten lygus nuliui. Štai kodėl

Jei duotas jungties pasiskirstymo tankis porai (x, h), tai abiejų komponentų x ir h tankiai vadinami privatus tankumas ir apskaičiuojami pagal formules:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Nuolat paskirstytų atsitiktinių dydžių, kurių tankis рx(х), рh(у), nepriklausomumas reiškia, kad

6 užduotis. Ankstesnio uždavinio sąlygomis nustatykite, ar atsitiktinių vektoriaus x ir h komponentai yra nepriklausomi?

Sprendimas. Apskaičiuokime dalinius tankius ir . Mes turime:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Akivaizdu, kad mūsų atveju https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> yra dydžių x ir h jungties tankis, o j( x, y) yra dviejų argumentų funkcija

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

7 užduotis. Ankstesnės problemos sąlygomis apskaičiuokite .

Sprendimas. Pagal aukščiau pateiktą formulę turime:

.

Trikampį vaizduojantis kaip

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Dviejų nuolatinių atsitiktinių dydžių sumos tankis

Tegul x ir h yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurių tankis yra https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Atsitiktinio dydžio x + tankis h apskaičiuojamas pagal formulę konvoliucija

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Apskaičiuokite sumos tankį.

Sprendimas. Kadangi x ir h yra pasiskirstę pagal eksponentinį dėsnį su parametru , jų tankiai yra lygūs

Vadinasi,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Jei x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">yra neigiamas, todėl . Todėl, jei https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Taip gavome atsakymą:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> paprastai skirstomas su parametrais 0 ir 1. Atsitiktiniai kintamieji x1 ir x2 yra nepriklausomi ir turi normalius skirstiniai atitinkamai su parametrais a1 ir a2. Įrodykite, kad x1 + x2 yra normalaus pasiskirstymo.

.

Raskite pasiskirstymo funkciją ir reikšmių pasiskirstymo tankį:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn); b) h(2) = maks. (x1,x2, ... xn)

Atsitiktiniai dydžiai x1, x2, ... xn yra nepriklausomi ir tolygiai pasiskirstę intervale [a, b]. Raskite dydžių skirstinių pasiskirstymo funkcijas ir tankio funkcijas

x(1) = min (x1,x2, ... xn) ir x(2) = max (x1, x2, ...xn).

Įrodykite, kad Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Atsitiktinis dydis pasiskirsto pagal Koši dėsnį Raskite: a) koeficientą a; b) paskirstymo funkcija; c) tikimybė patekti į intervalą (-1, 1). Parodykite, kad matematinis x lūkestis neegzistuoja. Atsitiktiniam dydžiui taikomas Laplaso dėsnis su parametru l (l>0): Raskite koeficientą a; sudaryti pasiskirstymo tankio grafikus ir pasiskirstymo funkcijas; rasti Mx ir Dx; rasti įvykių tikimybes (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Parašykite pasiskirstymo tankio formulę, raskite Mx ir Dx.

Skaičiavimo užduotys.

Atsitiktinis taškas A tolygiai pasiskirsto apskritime, kurio spindulys R. Raskite taško atstumo r iki apskritimo centro matematinį lūkestį ir dispersiją. Parodykite, kad reikšmė r2 yra tolygiai paskirstyta segmente.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis yra toks:

Apskaičiuokite konstantą C, pasiskirstymo funkciją F(x) ir tikimybę Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis yra toks:

Apskaičiuokite konstantą C, pasiskirstymo funkciją F(x) ir tikimybę Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis yra toks:
Apskaičiuokite konstantą C, pasiskirstymo funkciją F(x), , dispersiją ir tikimybę Atsitiktinis dydis turi pasiskirstymo funkciją

Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio tankį, matematinį lūkestį, dispersiją ir tikimybę Patikrinkite, ar funkcija =
gali būti atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija. Raskite šio dydžio skaitines charakteristikas: Mx ir Dx. Atsitiktinis dydis yra tolygiai paskirstytas segmente. Užrašykite pasiskirstymo tankį. Raskite paskirstymo funkciją. Raskite tikimybę, kad atsitiktinis dydis nukris ant atkarpos ir atkarpos. Pasiskirstymo tankis x lygus

.

Raskite konstantą c, pasiskirstymo tankį h = ir tikimybę

P (0,25

Kompiuterio veikimo laikas be gedimų paskirstomas pagal eksponentinį dėsnį, kurio parametras l = 0,05 (gedimai per valandą), t.y. turi tankio funkciją.

p(x) = .

Norint išspręsti tam tikrą problemą, mašina turi veikti be problemų 15 minučių. Jei sprendžiant problemą įvyksta gedimas, klaida aptinkama tik užbaigus sprendimą ir problema išsprendžiama dar kartą. Raskite: a) tikimybę, kad sprendžiant uždavinį neatsiras nė vieno gedimo; b) vidutinis laikas, per kurį problema bus išspręsta.

24 cm ilgio strypas sulaužytas į dvi dalis; Darysime prielaidą, kad lūžio taškas pasiskirsto tolygiai per visą strypo ilgį. Koks yra vidutinis daugumos meškerės ilgis? 12 cm ilgio gabalas atsitiktinai supjaustomas į dvi dalis. Pjovimo taškas yra tolygiai paskirstytas per visą segmento ilgį. Koks vidutinis mažos atkarpos dalies ilgis? Atsitiktinis dydis yra tolygiai paskirstytas segmente. Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Parodykite, kad jei x turi nuolatinio skirstinio funkciją

F(x) = P(x

Raskite dviejų nepriklausomų dydžių x ir h sumos tankio funkciją ir pasiskirstymo funkciją su vienodais pasiskirstymo dėsniais atkarpose ir atitinkamai. Atsitiktiniai dydžiai x ir h yra nepriklausomi ir tolygiai paskirstyti segmentuose ir atitinkamai. Apskaičiuokite sumos x+h tankį. Atsitiktiniai dydžiai x ir h yra nepriklausomi ir tolygiai paskirstyti segmentuose ir atitinkamai. Apskaičiuokite sumos x+h tankį. Atsitiktiniai dydžiai x ir h yra nepriklausomi ir tolygiai paskirstyti segmentuose ir atitinkamai. Apskaičiuokite sumos x+h tankį. Atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi ir turi eksponentinį pasiskirstymą su tankiu . Raskite jų sumos pasiskirstymo tankį. Raskite nepriklausomų atsitiktinių dydžių x ir h sumos skirstinį, kur x turi tolygų pasiskirstymą intervale, o h – eksponentinį pasiskirstymą su parametru l. Raskite P , jei x turi: a) normalųjį skirstinį su parametrais a ir s2; b) eksponentinis skirstinys su parametru l; c) vienodas pasiskirstymas atkarpoje [-1;1]. Jungtinis x, h skirstinys yra vienodas kvadratu
K = (x, y): |x| +|y|2 GBP). Raskite tikimybę . Ar x ir h yra nepriklausomi? Atsitiktinių dydžių pora x ir h yra tolygiai pasiskirstę trikampio K= viduje. Apskaičiuokite tankius x ir h. Ar šie atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi? Raskite tikimybę. Atsitiktiniai dydžiai x ir h yra nepriklausomi ir tolygiai pasiskirstę atkarpose ir [-1,1]. Raskite tikimybę. Dvimatis atsitiktinis dydis (x, h) yra tolygiai paskirstytas kvadrate, kurio viršūnės (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Raskite jungties pasiskirstymo funkcijos reikšmę taške (1, -1). Atsitiktinis vektorius (x, h) yra tolygiai paskirstytas 3 spindulio apskritime, kurio centras yra taške. Parašykite jungties pasiskirstymo tankio išraišką. Nustatykite, ar šie atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi. Apskaičiuokite tikimybę. Pora atsitiktinių dydžių x ir h yra tolygiai paskirstyta trapecijos viduje, kurios viršūnės yra taškuose (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Raskite šios atsitiktinių dydžių poros bendrą pasiskirstymo tankį ir komponentų tankį. Ar x ir h priklauso? Atsitiktinė pora (x, h) yra tolygiai paskirstyta puslankiu. Raskite tankius x ir h, ištirkite jų priklausomybės klausimą. Dviejų atsitiktinių dydžių x ir h bendras tankis yra lygus .
Raskite tankius x, h. Ištirkite x ir h priklausomybės klausimą. Atsitiktinė pora (x, h) yra tolygiai paskirstyta aibėje. Raskite tankius x ir h, ištirkite jų priklausomybės klausimą. Raskite M(xh). Atsitiktiniai dydžiai x ir h yra nepriklausomi ir paskirstyti pagal eksponentinį dėsnį su parametru Find

– berniukų skaičius tarp 10 naujagimių.

Visiškai aišku, kad šis skaičius iš anksto nežinomas, o į kitus dešimt gimusių vaikų gali būti:

Arba berniukai - vienas ir vienintelis iš išvardytų parinkčių.

O norint palaikyti formą, šiek tiek fizinio lavinimo:

– šuolio į tolį nuotolis (kai kuriuose vienetuose).

Net sporto meistras to negali nuspėti :)

Tačiau jūsų hipotezės?

2) Nuolatinis atsitiktinis dydis – priima Visi skaitinės reikšmės iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo.

Pastaba : santrumpos DSV ir NSV yra populiarios mokomojoje literatūroje

Pirmiausia išanalizuokime diskrečiąjį atsitiktinį kintamąjį, tada - tęstinis.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

- Tai susirašinėjimą tarp galimų šio dydžio verčių ir jų tikimybių. Dažniausiai įstatymas rašomas lentelėje:

Terminas vartojamas gana dažnai eilė paskirstymas, bet kai kuriose situacijose tai skamba dviprasmiškai, todėl pasiliksiu prie „įstatymo“.

Ir dabar labai svarbus punktas: kadangi atsitiktinis dydis Būtinai priims viena iš vertybių, tada susiformuoja atitinkami įvykiai pilna grupė o jų atsiradimo tikimybių suma lygi vienetui:

arba, jei parašyta trumpai:

Taigi, pavyzdžiui, ant kauliuko metamų taškų tikimybių pasiskirstymo dėsnis turi tokią formą:

Be komentarų.

Jums gali susidaryti įspūdis, kad atskiras atsitiktinis kintamasis gali įgyti tik „geras“ sveikųjų skaičių reikšmes. Išsklaidykime iliuziją – jos gali būti bet kokios:

1 pavyzdys

Kai kuriems žaidimams taikomas toks laimėjimo platinimo įstatymas:

...turbūt seniai svajojote apie tokias užduotis :) Išduosiu paslaptį - aš taip pat. Ypač baigus darbą lauko teorija.

Sprendimas: kadangi atsitiktinis kintamasis gali turėti tik vieną iš trijų reikšmių, susidaro atitinkami įvykiai pilna grupė, o tai reiškia, kad jų tikimybių suma yra lygi vienetui:

„Partizano“ demaskavimas:

– taigi, tikimybė laimėti sutartinius vienetus yra 0,4.

Kontrolė: tuo turėjome įsitikinti.

Atsakymas:

Neretai pasitaiko, kad platinimo įstatymą reikia parengti pačiam. Tam jie naudoja klasikinis tikimybės apibrėžimas, įvykių tikimybių daugybos/sudėties teoremos ir kiti traškučiai tervera:

2 pavyzdys

Dėžutėje yra 50 loterijos bilietų, iš kurių 12 laimi, o 2 iš jų laimi po 1000 rublių, o likusieji - po 100 rublių. Sudarykite atsitiktinio dydžio paskirstymo įstatymą - laimėjimo dydį, jei atsitiktine tvarka iš dėžutės ištrauktas vienas bilietas.

Sprendimas: kaip pastebėjote, dažniausiai įvedamos atsitiktinio dydžio reikšmės didėjimo tvarka. Todėl pradedame nuo mažiausių laimėjimų, būtent rublių.

Tokių bilietų iš viso yra 50 – 12 = 38, o pagal klasikinis apibrėžimas:
– tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas bilietas bus pralaimėtojas.

Kitais atvejais viskas paprasta. Tikimybė laimėti rublių yra:

Patikrinkite: – ir tai ypač malonus tokių užduočių momentas!

Atsakymas: norimas laimėjimų paskirstymo dėsnis:

Šią užduotį turite išspręsti patys:

3 pavyzdys

Tikimybė, kad šaulys pataikys į taikinį, yra . Sudarykite atsitiktinio dydžio paskirstymo dėsnį - pataikymų skaičių po 2 šūvių.

...žinojau, kad tu jo pasiilgai :) Prisiminkime daugybos ir sudėties teoremos. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį, tačiau praktiškai gali būti naudinga (o kartais ir naudingiau) žinoti tik dalį jo skaitinės charakteristikos .

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis

Paprastai tariant, tai yra vidutinė numatoma vertė kai bandymas kartojamas daug kartų. Leiskite atsitiktiniam dydžiui įgauti reikšmes su tikimybėmis atitinkamai. Tada šio atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis yra lygi produktų suma visos jo reikšmės atitinka atitinkamas tikimybes:

arba sugriuvo:

Apskaičiuokime, pavyzdžiui, matematinį atsitiktinio dydžio lūkestį – ant kauliuko metimų skaičių:

Dabar prisiminkime mūsų hipotetinį žaidimą:

Kyla klausimas: ar apskritai apsimoka žaisti šį žaidimą? ...kas turi įspūdžių? Taigi jūs negalite to sakyti „neatsargiai“! Tačiau į šį klausimą galima nesunkiai atsakyti apskaičiavus matematinį lūkestį, iš esmės - svertinis vidurkis pagal laimėjimo tikimybę:

Taigi, matematinis šio žaidimo lūkestis pralaimi.

Nepasitikėk savo įspūdžiais – pasitikėk skaičiais!

Taip, čia galima laimėti 10 ar net 20-30 kartų iš eilės, bet ilgainiui mūsų laukia neišvengiama pražūtis. Ir tau nepatarčiau tokių žaidimų žaisti :) Na gal tik pramogai.

Iš viso to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad matematinis lūkestis nebėra ATSITIKTINĖ reikšmė.

Kūrybinė užduotis savarankiškam tyrimui:

4 pavyzdys

Ponas X žaidžia europietišką ruletę pagal tokią sistemą: jis nuolat stato 100 rublių ant „raudonos“. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį – jo laimėjimą. Apskaičiuokite matematinį laimėjimo tikėjimą ir suapvalinkite jį iki artimiausios kapeikos. Kiek vidutinis Ar žaidėjas pralaimi už kiekvieną statytą šimtą?

Nuoroda : Europietiškoje ruletėje yra 18 raudonų, 18 juodų ir 1 žalias sektorius („nulis“). Jei pasirodo „raudona“, žaidėjui sumokamas dvigubas statymas, kitu atveju jis patenka į kazino pajamas

Yra daugybė kitų ruletės sistemų, kurioms galite sukurti savo tikimybių lenteles. Bet tai yra atvejis, kai mums nereikia jokių paskirstymo dėsnių ir lentelių, nes yra tikrai nustatyta, kad žaidėjo matematinis lūkestis bus visiškai toks pat. Vienintelis dalykas, kuris keičiasi nuo sistemos iki sistemos, yra