Ištisinio atsitiktinio dydžio vienodo pasiskirstymo grafikas. Tolygūs ir eksponentinis nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniai

Šis klausimas jau seniai buvo išsamiai ištirtas, o plačiausiai naudojamas metodas yra polinių koordinačių metodas, kurį 1958 m. pasiūlė George Box, Mervyn Muller ir George Marsaglia. Šis metodas leidžia gauti nepriklausomų normaliai paskirstytų atsitiktinių dydžių porą, kurių matematinė tikėtis 0 ir dispersija 1:

Kur Z 0 ir Z 1 yra norimos reikšmės, s = u 2 + v 2, o u ir v yra atsitiktiniai dydžiai, tolygiai paskirstyti intervale (-1, 1), parinkti taip, kad būtų įvykdyta 0 sąlyga< s < 1.
Daugelis žmonių naudoja šias formules net nesusimąstydami, o daugelis net neįtaria jų egzistavimo, nes naudoja paruoštus įgyvendinimus. Tačiau yra žmonių, kuriems kyla klausimų: „Iš kur atsirado ši formulė? Ir kodėl tu gauni kelis kiekius iš karto? Toliau pabandysiu aiškiai atsakyti į šiuos klausimus.

Pirmiausia leiskite man priminti, kas yra tikimybės tankis, atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija ir atvirkštinė funkcija. Tarkime, kad yra tam tikras atsitiktinis dydis, kurio pasiskirstymą nurodo tankio funkcija f(x), kuri turi tokią formą:

Tai reiškia, kad tikimybė, kad tam tikro atsitiktinio dydžio reikšmė bus intervale (A, B), yra lygi tamsintos srities plotui. Ir dėl to visos užtamsintos srities plotas turi būti lygus vienetui, nes bet kokiu atveju atsitiktinio dydžio reikšmė pateks į funkcijos f apibrėžimo sritį.
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra tankio funkcijos integralas. Ir šiuo atveju jo apytikslė išvaizda bus tokia:

Reikšmė čia ta, kad atsitiktinio dydžio reikšmė bus mažesnė už A su tikimybe B. Dėl to funkcija niekada nemažėja, o jos reikšmės yra intervale.

Atvirkštinė funkcija yra funkcija, kuri grąžina argumentą pradinei funkcijai, jei į ją perduodama pradinės funkcijos reikšmė. Pavyzdžiui, funkcijai x 2 atvirkštinė yra šaknies ištraukimo funkcija, sin(x) – arcsin(x) ir kt.

Kadangi dauguma pseudoatsitiktinių skaičių generatorių sukuria tik vienodą paskirstymą kaip išvestį, dažnai reikia jį konvertuoti į kitą. Šiuo atveju į įprastą Gauso:

Visų vienodo skirstinio transformavimo į bet kurį kitą metodų pagrindas yra atvirkštinės transformacijos metodas. Tai veikia taip. Surandama funkcija, kuri yra atvirkštinė reikiamo skirstinio funkcijai, ir į ją kaip argumentas perduodamas atsitiktinis dydis, tolygiai paskirstytas intervale (0, 1). Išvestyje gauname reikšmę su reikiamu skirstiniu. Aiškumo dėlei pateikiu toliau pateiktą paveikslėlį.

Taigi vienodas segmentas tarsi ištepamas pagal naują skirstymą, per atvirkštinę funkciją projektuojamas į kitą ašį. Tačiau problema ta, kad Gauso skirstinio tankio integralą nėra lengva apskaičiuoti, todėl minėti mokslininkai turėjo sukčiauti.

Yra chi kvadrato skirstinys (Pearson skirstinys), kuris yra k nepriklausomų normaliųjų atsitiktinių dydžių kvadratų sumos skirstinys. Ir tuo atveju, kai k = 2, šis skirstinys yra eksponentinis.

Tai reiškia, kad jei taškas stačiakampėje koordinačių sistemoje turi atsitiktines X ir Y koordinates, paskirstytas normaliai, tada konvertavus šias koordinates į poliarinę sistemą (r, θ), spindulio kvadratas (atstumas nuo pradžios iki taško) bus paskirstytas pagal eksponentinį dėsnį, nes spindulio kvadratas yra koordinačių kvadratų suma (pagal Pitagoro dėsnį). Tokių taškų pasiskirstymo tankis plokštumoje atrodys taip:

Kadangi jis yra lygus visomis kryptimis, kampas θ turės tolygų pasiskirstymą diapazone nuo 0 iki 2π. Taip pat yra priešingai: jei polinės koordinačių sistemos tašką apibrėžiate naudodami du nepriklausomus atsitiktinius dydžius (tolygiai paskirstytas kampas ir eksponentiškai pasiskirstęs spindulys), tada šio taško stačiakampės koordinatės bus nepriklausomi normalūs atsitiktiniai dydžiai. Ir daug lengviau gauti eksponentinį skirstinį iš vienodo, naudojant tą patį atvirkštinės transformacijos metodą. Tai yra poliarinio Box-Muller metodo esmė.
Dabar išveskime formules.

(1)

Norėdami gauti r ir θ, turime sugeneruoti du atsitiktinius dydžius, tolygiai paskirstytus intervale (0, 1) (vadinkime juos u ir v), kurių vieno (tarkime v) skirstinį reikia konvertuoti į eksponentinį į gauti spindulį. Eksponentinio paskirstymo funkcija atrodo taip:

Jo atvirkštinė funkcija yra:

Kadangi vienodas pasiskirstymas yra simetriškas, transformacija veiks panašiai su funkcija

Iš chi kvadrato pasiskirstymo formulės išplaukia, kad λ = 0,5. Pakeiskite šią funkciją λ, v ir gaukite spindulio kvadratą, o tada patį spindulį:

Kampą gauname ištempę vieneto segmentą iki 2π:

Dabar pakeičiame r ir θ į formules (1) ir gauname:

(2)

Šios formulės jau paruoštos naudoti. X ir Y bus nepriklausomi ir normaliai pasiskirstę su dispersija 1, o matematinė tikėtis 0. Norint gauti skirstinį su kitomis charakteristikomis, pakanka funkcijos rezultatą padauginti iš standartinio nuokrypio ir pridėti matematinį lūkestį.
Bet trigonometrinių funkcijų galima atsikratyti nurodant kampą ne tiesiogiai, o netiesiogiai per atsitiktinio apskritimo taško stačiakampes koordinates. Tada per šias koordinates bus galima apskaičiuoti spindulio vektoriaus ilgį, o tada rasti kosinusą ir sinusą, atitinkamai padalijus x ir y iš jo. Kaip ir kodėl tai veikia?
Parinkime atsitiktinį tašką iš tolygiai paskirstytų vienetinio spindulio apskritime ir šio taško spindulio vektoriaus ilgio kvadratą pažymime raide s:

Pasirinkimas atliekamas nurodant atsitiktines stačiakampes koordinates x ir y, tolygiai paskirstytas intervale (-1, 1), ir atmetant apskritimui nepriklausančius taškus, taip pat centrinį tašką, kuriame yra spindulio vektoriaus kampas. nėra apibrėžtas. Tai reiškia, kad turi būti įvykdyta 0 sąlyga< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Gauname formules kaip straipsnio pradžioje. Šio metodo trūkumas yra tas, kad jis atmeta taškus, kurie neįtraukti į apskritimą. Tai yra, naudojant tik 78,5% sugeneruotų atsitiktinių dydžių. Senesniuose kompiuteriuose trigonometrijos funkcijų trūkumas vis dar buvo didelis privalumas. Dabar, kai viena procesoriaus komanda akimirksniu apskaičiuoja ir sinususą, ir kosinusą, manau, kad šie metodai vis tiek gali konkuruoti.

Asmeniškai aš vis dar turiu du klausimus:

• Kodėl s reikšmė pasiskirsto tolygiai?
• Kodėl dviejų normalių atsitiktinių dydžių kvadratų suma pasiskirsto eksponentiškai?

Jei panaši transformacija atliekama normaliam atsitiktiniam dydžiui, tada jo kvadrato tankio funkcija pasirodys panaši į hiperbolę. O dviejų normalių atsitiktinių dydžių kvadratų pridėjimas jau yra daug sudėtingesnis procesas, susijęs su dviguba integracija. O tai, kad rezultatas bus eksponentinis pasiskirstymas, aš asmeniškai turiu tik patikrinti praktiniu metodu arba priimti kaip aksiomą. O tiems, kam įdomu, siūlau pažvelgti į temą atidžiau, pasisemti žinių iš šių knygų:

• Ventzel E.S. Tikimybių teorija
• Knutas D.E. Programavimo menas, 2 tomas

Apibendrinant, čia yra įprastai paskirstyto atsitiktinių skaičių generatoriaus įdiegimo JavaScript programoje pavyzdys:

Funkcija Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = funkcija(vidurkis, dev) ( vidurkis = vidurkis == neapibrėžtas ? 0.0: vidurkis; dev = dev == neapibrėžtas ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; grąžinti this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. atsitiktinis () - 1,0 vidurkis ) ) g = naujas Gausas(); // sukurti objektą a = g.next(); // sugeneruokite reikšmių porą ir gaukite pirmąją b = g.next(); // gauti antrąjį c = g.next(); // dar kartą sugeneruokite verčių porą ir gaukite pirmąją
Parametrai vidurkis (matematinis lūkestis) ir dev (standartinis nuokrypis) yra neprivalomi. Atkreipiu jūsų dėmesį į tai, kad logaritmas yra natūralus.

Kaip nuolatinio atsitiktinio dydžio pavyzdį, apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X, tolygiai paskirstytą intervale (a; b). Sakoma, kad atsitiktinis dydis X yra tolygiai paskirstytas intervale (a; b), jei jo pasiskirstymo tankis šiame intervale nėra pastovus:

Iš normalizavimo sąlygos nustatome konstantos c reikšmę. Plotas po pasiskirstymo tankio kreive turėtų būti lygus vienetui, bet mūsų atveju tai yra stačiakampio su pagrindu (b - α) ir aukščiu c plotas (1 pav.).

Ryžiai. 1 Vienodo pasiskirstymo tankis
Iš čia randame konstantos c reikšmę:

Taigi tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio tankis yra lygus

Dabar raskime paskirstymo funkciją naudodami formulę:
1) už
2) už
3) 0+1+0=1.
Taigi,

Pasiskirstymo funkcija yra ištisinė ir nemažėja (2 pav.).

Ryžiai. 2 Tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija

Mes surasime matematinis tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio lūkestis pagal formulę:

Tolygaus pasiskirstymo sklaida apskaičiuojamas pagal formulę ir yra lygus

1 pavyzdys. Matavimo prietaiso skalės padalijimo reikšmė yra 0,2. Prietaiso rodmenys suapvalinami iki artimiausios visos padalos. Raskite tikimybę, kad skaičiavimo metu bus padaryta klaida: a) mažesnė nei 0,04; b) didelis 0,02
Sprendimas. Apvalinimo paklaida yra atsitiktinis dydis, tolygiai paskirstytas intervale tarp gretimų sveikųjų skaičių padalų. Laikykime intervalą (0; 0,2) tokiu padalijimu (a pav.). Apvalinimas gali būti atliekamas tiek link kairiosios kraštinės - 0, tiek į dešinę - 0,2, o tai reiškia, kad paklaida, mažesnė arba lygi 0,04, gali būti padaryta du kartus, į kurią reikia atsižvelgti skaičiuojant tikimybę:



P = 0,2 + 0,2 = 0,4

Antruoju atveju paklaidos reikšmė taip pat gali viršyti 0,02 abiejose padalijimo ribose, tai yra, ji gali būti didesnė nei 0,02 arba mažesnė nei 0,18.


Tada tokios klaidos tikimybė:

2 pavyzdys. Daryta prielaida, kad apie šalies ekonominės padėties stabilumą (nebuvo karų, stichinių nelaimių ir pan.) per pastaruosius 50 metų galima spręsti pagal gyventojų pasiskirstymo pagal amžių pobūdį: ramioje situacijoje turėtų būti uniforma. Atlikus tyrimą buvo gauti tokie vienos iš šalių duomenys.

Sprendimą atliekame naudodami skaičiuotuvą Hipotezių tikrinimas. Rodiklių skaičiavimo lentelė.

Sprendimas:
1. Raskite vienodo skirstinio parametrų a * ir b * įverčius, naudodami formules:


2. Raskite tariamo vienodo skirstinio tankį:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Raskime teorinius dažnius:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0,0121 (10-1,58) = 0,1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0,0121 (84,42-70) = 0,17
Likusios n s bus lygios:
n s = n*f(x)(x i – x i-1)