Iš ko susideda ratas? II

Demonstracinė medžiaga: kompasas, medžiaga eksperimentui: apvalūs daiktai ir virvės (kiekvienam mokiniui) ir liniuotės; apskritimo modelis, spalvotos kreidelės.

Tikslas:„Apskritimo“ sąvokos ir jos elementų studijavimas, sąsajų tarp jų nustatymas; naujų terminų įvedimas; ugdyti gebėjimą atlikti stebėjimus ir daryti išvadas naudojant eksperimentinius duomenis; ugdyti pažintinį susidomėjimą matematika.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas

Sveikinimai. Tikslo nustatymas.

II. Skaičiavimas žodžiu

III. Nauja medžiaga

Tarp visų rūšių plokščių figūrų išsiskiria dvi pagrindinės: trikampis ir apskritimas. Šios figūros jums buvo žinomos nuo ankstyvos vaikystės. Kaip apibrėžti trikampį? Per segmentus! Kaip galime nustatyti, kas yra apskritimas? Juk ši linija lenkiasi kiekviename taške! Žymus matematikas Grathendieckas, prisimindamas savo mokyklos metus, pažymėjo, kad matematika susidomėjo išmokęs apskritimo apibrėžimą.

Nubrėžkime apskritimą naudodami geometrinį įtaisą - kompasas. Apskritimo su demonstraciniu kompasu sukūrimas lentoje:

pažymėkite tašką plokštumoje;
Kompaso kojelę sulygiuojame su galiuku su pažymėtu tašku, o koją sukame rašikliu aplink šį tašką.

Rezultatas yra geometrinė figūra - ratas.

(Skairė Nr. 1)

Taigi, kas yra ratas?

Apibrėžimas. Apimtis - yra uždara kreivinė linija, kurios visi taškai yra vienodu atstumu nuo nurodyto plokštumos taško, vadinama centras apskritimai.

(Skairė Nr. 2)

Į kiek dalių plokštuma padalija apskritimą?

Taškas O- centras apskritimai.

ARBA - spindulys apskritimas (tai atkarpa, jungianti apskritimo centrą su bet kuriuo jo tašku). Lotynų kalba spindulys- rato stipinas.

AB – akordas apskritimas (tai atkarpa, jungianti bet kuriuos du apskritimo taškus).

DC – skersmuo apskritimas (tai styga, einanti per apskritimo centrą). Skersmuo kilęs iš graikų kalbos „skersmuo“.

DR – lankas apskritimas (tai apskritimo dalis, kurią riboja du taškai).

Kiek spindulių ir skersmenų galima nubrėžti apskritime?

Plokštumos dalis apskritimo viduje ir pats apskritimas sudaro apskritimą.

Apibrėžimas. Apskritimas - Tai plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas. Atstumas nuo bet kurio apskritimo taško iki apskritimo centro neviršija atstumo nuo apskritimo centro iki bet kurio apskritimo taško.

Kuo ratas ir ratas skiriasi vienas nuo kito ir ką jie turi bendro?

Kaip vienas su kitu susiję vieno apskritimo spindulio (r) ir skersmens (d) ilgiai?

d = 2 * r (d– skersmens ilgis; r – spindulio ilgis)

Kaip yra susiję skersmens ir bet kurios stygos ilgiai?

Skersmuo yra didžiausias iš apskritimo stygų!

Apskritimas yra nuostabiai harmoninga figūra, senovės graikai laikė jį tobuliausia, nes apskritimas yra vienintelė kreivė, galinti „slysti“, besisukanti aplink centrą. Pagrindinė apskritimo savybė atsako į klausimus, kodėl jam piešti naudojami kompasai ir kodėl ratai daromi apvalūs, o ne kvadratiniai ar trikampiai. Beje, apie ratą. Tai vienas didžiausių žmonijos išradimų. Pasirodo, sugalvoti vairą nebuvo taip paprasta, kaip gali pasirodyti. Juk net Meksikoje gyvenę actekai rato nepažino beveik iki XVI a.

Apskritimą galima nupiešti ant languoto popieriaus be kompaso, tai yra ranka. Tiesa, apskritimas pasirodo tam tikro dydžio. (Mokytojas rodo languotą lentą)

Tokio apskritimo vaizdavimo taisyklė parašyta kaip 3-1, 1-1, 1-3.

Ranka nubrėžkite ketvirtadalį tokio apskritimo.

Kiek langelių yra lygus šio apskritimo spindulys? Sakoma, kad didysis vokiečių menininkas Albrechtas Diureris vienu rankos judesiu (be taisyklių) galėjo taip tiksliai nubrėžti apskritimą, kad vėlesnis patikrinimas kompasu (menininkas nurodė centrą) neparodė jokių nukrypimų.

Laboratoriniai darbai

Jūs jau žinote, kaip išmatuoti atkarpos ilgį, rasti daugiakampių (trikampio, kvadrato, stačiakampio) perimetrus. Kaip išmatuoti apskritimo ilgį, jei pats apskritimas yra lenkta linija, o ilgio matavimo vienetas yra atkarpa?

Yra keletas būdų, kaip išmatuoti apskritimą.

Pėdsakas iš apskritimo (vienas apsisukimas) tiesia linija.

Mokytojas lentoje nubrėžia tiesią liniją, pažymi joje tašką ir apskritimo modelio ribą. Sujungia juos, o tada sklandžiai ridena apskritimą tiesia linija iki pažymėto taško A ant apskritimo nebus tiesiame taške IN. Segmentas AB tada bus lygus apskritimui.

Leonardo da Vinci: „Karučių judėjimas mums visada rodė, kaip ištiesinti apskritimo perimetrą“.

Užduotis studentams:

a) nubrėžkite apskritimą apjuosdami apvalaus daikto apačią;

b) apvyniokite daikto apačią siūlu (vieną kartą), kad sriegio galas sutaptų su pradžia tame pačiame apskritimo taške;

c) ištiesinkite šį siūlą iki segmento ir liniuote išmatuokite jo ilgį, tai bus apskritimas.

Mokytoją domina kelių mokinių matavimo rezultatai.

Tačiau šie tiesioginio perimetro matavimo metodai yra nepatogūs ir duoda apytikslius rezultatus. Todėl nuo seniausių laikų jie pradėjo ieškoti pažangesnių apimties matavimo būdų. Matavimo proceso metu pastebėjome, kad tarp apskritimo ilgio ir jo skersmens ilgio yra tam tikras ryšys.

d) Išmatuokite objekto dugno skersmenį (didžiausią iš apskritimo stygų);

e) raskite santykį C:d (dešimtųjų tikslumu).

Paklauskite kelių mokinių skaičiavimo rezultatų.

Daugelis mokslininkų ir matematikų bandė įrodyti, kad šis santykis yra pastovus skaičius, nepriklausomas nuo apskritimo dydžio. Pirmasis tai padarė senovės graikų matematikas Archimedas. Jis rado gana tikslią šio santykio reikšmę.

Šis ryšys buvo pradėtas žymėti graikiška raide (skaitykite „pi“) - pirmoji graikiško žodžio „periferija“ raidė yra apskritimas.

C – apimtis;

d – skersmens ilgis.

Istorinė informacija apie skaičių π:

Archimedas, gyvenęs Sirakūzuose (Sicilija) 287–212 m. pr. Kr., prasmę rado be matavimų, tiesiog samprotaudamas.

Tiesą sakant, skaičius π negali būti išreikštas kaip tiksli trupmena. 16 amžiaus matematikas Ludolfas turėjo kantrybės jį apskaičiuoti 35 skaitmenų po kablelio tikslumu ir paliko šią π reikšmę iškalti ant jo kapo paminklo. 1946-1947 metais du mokslininkai savarankiškai apskaičiavo 808 skaitmenis po kablelio. Dabar kompiuteriuose rasta daugiau nei milijardas skaičiaus π skaitmenų.

Apytikslę π reikšmę, tikslią penkių skaičių po kablelio tikslumu, galima prisiminti naudojant šią eilutę (pagal raidžių skaičių žodyje):

π ≈ 3,14159 – „Aš tai puikiai žinau ir atsimenu“.

Įvadas į apskritimo formulę

Žinant, kad C:d = π, koks bus apskritimo C ilgis?

(Skairė Nr. 3) C = πd C = 2πr

Kaip atsirado antroji formulė?

Skaito: perimetras yra lygus skaičiaus π ir jo skersmens sandaugai (arba dvigubai skaičiaus π ir jo spindulio sandaugai).

Apskritimo plotas yra lygus skaičiaus π ir spindulio kvadrato sandaugai.

S = πr 2

IV. Problemų sprendimas

№1. Raskite apskritimo, kurio spindulys yra 24 cm, ilgį. Suapvalinkite skaičių π iki šimtosios dalies.

Sprendimas:π ≈ 3,14.

Jei r = 24 cm, tai C = 2 π r ≈ 2 3,14 24 = 150,72 (cm).

Atsakymas: apimtis 150,72 cm.

Nr. 2 (žodžiu): Kaip rasti lanko ilgį, lygų puslankiui?

Užduotis: Jei apvyniosite laidą aplink Žemės rutulį išilgai pusiaujo ir tada pridėsite 1 metrą prie jo ilgio, ar pelė galės praslysti tarp vielos ir žemės?

Sprendimas: C = 2 πR, C+1 = 2π(R+x)

Į tokį tarpą įlįs ne tik pelytė, bet ir didelė katė. Ir atrodytų, ką reiškia 1 m lyginant su 40 milijonų metrų žemės pusiaujo?

V. Išvada

Į kokius pagrindinius dalykus reikėtų atkreipti dėmesį konstruojant ratą?
Kurios pamokos dalys jums buvo įdomiausios?
Ką naujo išmokote šioje pamokoje?

Kryžiažodžio sprendimas su paveikslėliais(Skairė Nr. 3)

Jį lydi apskritimo, stygos, lanko, spindulio, skersmens apibrėžimų kartojimas, apskritimo formulės. Ir kaip rezultatas - raktinis žodis: „RATUMAS“ (horizontaliai).

Pamokos santrauka: vertinimas, namų darbų pastabos. Namų darbai: 24 p., Nr. 853, 854. Atlikite eksperimentą, kad surastumėte skaičių π dar 2 kartus.

Norėdami susidaryti bendrą supratimą apie tai, kas yra apskritimas, pažiūrėkite į žiedą ar lanką. Taip pat galite paimti apvalią stiklinę ir puodelį, padėkite jį aukštyn kojomis ant popieriaus lapo ir nubrėžkite pieštuku. Pakartotinai didinant susidariusi linija taps stora ir ne visai lygi, o jos kraštai bus neryškūs. Apskritimas kaip geometrinė figūra neturi tokios charakteristikos kaip storis.

Apskritimas: apibrėžimas ir pagrindinės apibūdinimo priemonės

Apskritimas yra uždara kreivė, susidedanti iš daugelio taškų, esančių toje pačioje plokštumoje ir vienodu atstumu nuo apskritimo centro. Šiuo atveju centras yra toje pačioje plokštumoje. Paprastai jis žymimas raide O.

Atstumas nuo bet kurio apskritimo taško iki centro vadinamas spinduliu ir žymimas raide R.

Jei sujungsite bet kuriuos du apskritimo taškus, gauta atkarpa bus vadinama styga. Per apskritimo centrą einanti styga yra skersmuo, žymimas raide D. Skersmuo padalija apskritimą į du vienodus lankus ir yra du kartus didesnis už spindulio ilgį. Taigi D = 2R arba R = D/2.

Akordų savybės

Jei per bet kuriuos du apskritimo taškus nubrėžiama styga, o tada statmenai pastarajam nubrėžiamas spindulys arba skersmuo, tada ši atkarpa ir stygą, ir jos nupjautą lanką padalins į dvi lygias dalis. Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei spindulys (skersmuo) dalija stygą pusiau, vadinasi, ji yra jai statmena.
Jei tame pačiame apskritime nubrėžtos dvi lygiagrečios stygos, jų nupjauti lankai, taip pat tarp jų esantys, bus lygūs.
Nubrėžkime dvi stygas PR ir QS, susikertančias apskritime taške T. Vienos stygos atkarpų sandauga visada bus lygi kitos stygos atkarpų sandaugai, tai yra PT x TR = QT x TS.

Apimtis: bendroji sąvoka ir pagrindinės formulės

Viena iš pagrindinių šios geometrinės figūros savybių yra apskritimas. Formulė išvedama naudojant tokius dydžius kaip spindulys, skersmuo ir konstanta "π", atspindintis apskritimo ir skersmens santykio pastovumą.

Taigi L = πD arba L = 2πR, kur L yra apskritimas, D yra skersmuo, R yra spindulys.

Apimties formulė gali būti laikoma pradine ieškant spindulį arba skersmenį tam tikram apskritimui: D = L/π, R = L/2π.

Kas yra apskritimas: pagrindiniai postulatai

neturi bendrų taškų;
turi vieną bendrą tašką, o tiesė vadinama liestine: jei nubrėžiate spindulį per centrą ir liesties tašką, tada jis bus statmenas liestei;
turi du bendrus taškus, o linija vadinama sekantu.

2. Per tris savavališkus taškus, esančius toje pačioje plokštumoje, galima nubrėžti ne daugiau kaip vieną apskritimą.

3. Du apskritimai gali liestis tik viename taške, kuris yra atkarpoje, jungiančioje šių apskritimų centrus.

4. Bet kokiems apsisukimams centro atžvilgiu apskritimas virsta savimi.

5. Kas yra apskritimas pagal simetriją?

tas pats linijos kreivumas bet kuriame taške;
taško O atžvilgiu;
veidrodinė simetrija skersmens atžvilgiu.

6. Jei sudarysite du savavališkus įbrėžtus kampus pagal tą patį apskritimo lanką, jie bus lygūs. Kampas, pagrįstas lanku, lygus pusei, ty nupjautas stygos skersmeniu, visada yra lygus 90°.

7. Jei palyginsite uždaras vienodo ilgio lenktas linijas, paaiškėja, kad apskritimas riboja didžiausio ploto plokštumos atkarpą.

Apskritimas įbrėžtas ir apribotas trikampiu

Idėja, kas yra apskritimas, bus neišsami, jei nebus aprašytos jo santykio su trikampiais ypatybės.

Statant apskritimą, įrašytą į trikampį, jo centras visada sutaps su trikampio susikirtimo tašku.
Aplink trikampį apibrėžto apskritimo centras yra kiekvienos trikampio kraštinės vidurinių statmenų sankirtoje.
Jei apibūdinsime apskritimą, tada jo centras bus hipotenuzės viduryje, tai yra, pastaroji bus skersmuo.
Įbrėžtų ir apibrėžtų apskritimų centrai bus tame pačiame taške, jei konstrukcijos pagrindas yra

Pagrindiniai teiginiai apie apskritimus ir keturkampius

Apskritimas gali būti aprašytas aplink išgaubtą keturkampį tik tada, kai jo priešingų vidinių kampų suma lygi 180°.
Galima sukonstruoti apskritimą, įrašytą į išgaubtą keturkampį, jei jo priešingų kraštinių ilgių suma yra vienoda.
Galite apibūdinti apskritimą aplink lygiagretainį, jei jo kampai yra teisingi.
Apskritimas gali būti įrašytas į lygiagretainį, jei visos jo kraštinės yra lygios, tai yra, tai yra rombas.
Galite sudaryti apskritimą per trapecijos kampus tik tada, kai jis yra lygiašonis. Šiuo atveju apibrėžtojo apskritimo centras bus keturkampio ir į šoną nubrėžto vidurinio statmens sankirtoje.

Tai uždara plokščia linija, kurios kiekvienas taškas yra vienodu atstumu nuo to paties taško ( O), skambino centras.

Tiesiai ( O.A., O.B., OS. ..) jungiantys centrą su apskritimo taškais yra spinduliai.

Iš to gauname:

1. Visi spinduliai vieno ratas yra lygūs.

2. Du vienodo spindulio apskritimai bus lygūs.

3. Skersmuo lygus dviem spinduliams.

4. Taškas, esantis apskritimo viduje, yra arčiau centro, o už apskritimo esantis taškas yra toliau nuo centro nei apskritimo taškai.

5. Skersmuo, statmenai stygai, padalija šią stygą ir abu jos sutrauktus lankus per pusę.

6. Arkos, uždarytas tarp lygiagrečių akordai, yra lygūs.

Dirbant su apskritimais, taikomos šios teoremos:

1. Teorema . Tiesi linija ir apskritimas negali turėti daugiau nei dviejų bendrų taškų.

Iš šios teoremos gauname dvi logiškai sekančias pasekmės:

Jokios dalies ratas negali būti derinamas su linija, nes kitaip apskritimas su linija turėtų daugiau nei du bendrus taškus.

Vadinama linija, kurios nė viena dalis negali būti sujungta su tiesia linija kreivas.

Iš ankstesnio išplaukia, kad apskritimas yra kreiva linija.

2. Teorema . Per bet kuriuos tris taškus, kurie nėra toje pačioje linijoje, galite nubrėžti apskritimą ir tik vieną.

Kaip pasekmė iš šios teoremos gauname:

Trys statmenaiį šonus trikampisįrašyti į apskritimą, nubrėžtą per jų vidurio taškus, susikerta viename taške, kuris yra apskritimo centras.

Išspręskime problemą. Būtina rasti siūlomo centro centrą ratas.

Pažymėkime bet kokius tris siūlomo taškus A, B ir C, per juos nubrėžkime du taškus akordai, pavyzdžiui, AB ir CB, o nuo šių akordų vidurio nurodome statmenai MN ir PQ. Norimas centras, būdamas vienodai nutolęs nuo A, B ir C, turi gulėti ir ant MN, ir ant PQ, todėl yra šių statmenų sankirtoje, t.y. taške O.

Apskritimas- geometrinė figūra, susidedanti iš visų plokštumos taškų, esančių tam tikru atstumu nuo nurodyto taško.

Šis taškas (O) vadinamas apskritimo centras.
Apskritimo spindulys- tai segmentas, jungiantis centrą su bet kuriuo apskritimo tašku. Visi spinduliai yra vienodo ilgio (pagal apibrėžimą).
Akordas- atkarpa, jungianti du apskritimo taškus. Vadinamas styga, einanti per apskritimo centrą skersmuo. Apskritimo centras yra bet kokio skersmens vidurio taškas.
Bet kurie du apskritimo taškai padalykite jį į dvi dalis. Kiekviena iš šių dalių vadinama apskritimo lankas. Lankas vadinamas puslankiu, jei atkarpa, jungianti jo galus, yra skersmens.
Vienetinio puslankio ilgis žymimas π .
Dviejų apskritimo lankų su bendrais galais laipsnio matų suma yra lygi 360º.
Plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas, vadinama aplinkui.
Žiedinis sektorius- apskritimo dalis, kurią riboja lankas ir du spinduliai, jungiantys lanko galus su apskritimo centru. Lankas, kuris riboja sektorių, vadinamas sektoriaus lankas.
Vadinami du apskritimai, turintys bendrą centrą koncentrinis.
Vadinami du stačiu kampu susikertantys apskritimai stačiakampis.

Tiesės ir apskritimo santykinė padėtis

Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra mažesnis už apskritimo spindulį ( d), tada tiesė ir apskritimas turi du bendrus taškus. Šiuo atveju linija vadinama sekantas apskritimo atžvilgiu.
Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra lygus apskritimo spinduliui, tai tiesė ir apskritimas turi tik vieną bendrą tašką. Ši linija vadinama apskritimo liestinė, o jų bendras taškas vadinamas tiesės ir apskritimo liesties taškas.
Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra didesnis už apskritimo spindulį, tada tiesė ir apskritimas neturi bendrų taškų

Centriniai ir įrašyti kampai

Centrinis kampas yra kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre.
Įrašytas kampas- kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta apskritimą.

Įrašyto kampo teorema

Įbrėžtas kampas matuojamas puse lanko, ant kurio jis yra.

1 išvada.
Įbrėžti kampai, sulenkę tą patį lanką, yra lygūs.

2 išvada.
Puslankiu įbrėžtas kampas yra stačiakampis.

Teorema apie susikertančių stygų atkarpų sandaugą.

Jei dvi apskritimo stygos susikerta, tai vienos stygos atkarpų sandauga yra lygi kitos stygos atkarpų sandaugai.

Pagrindinės formulės

Apimtis:

C = 2∙π∙R

Apvalaus lanko ilgis:

R = С/(2∙π) = D/2

Skersmuo:

D = C/π = 2∙R

Apvalaus lanko ilgis:

l = (π∙R) / 180∙α,
Kur α - apskritimo lanko ilgio laipsnis)

Apskritimo sritis:

S = π∙R 2

Žiedinio sektoriaus plotas:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Apskritimo lygtis

Stačiakampėje koordinačių sistemoje apskritimo su spinduliu lygtis yra r centruojamas taške C(x o;y o) turi tokią formą:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

Spindulio r apskritimo, kurio centras yra pradžioje, lygtis:

x 2 + y 2 = r 2

Pirma, supraskime skirtumą tarp apskritimo ir apskritimo. Norint pamatyti šį skirtumą, pakanka apsvarstyti, kokie yra abu skaičiai. Tai yra begalinis taškų skaičius plokštumoje, esančių vienodu atstumu nuo vieno centrinio taško. Bet jei apskritimas taip pat susideda iš vidinės erdvės, tada jis nepriklauso apskritimui. Pasirodo, apskritimas yra ir apskritimas, kuris jį riboja (circle(r)), ir nesuskaičiuojamas skaičius taškų, esančių apskritimo viduje.

Bet kuriam taškui L, esančiam ant apskritimo, galioja lygybė OL=R. (Atkarpos OL ilgis lygus apskritimo spinduliui).

Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, yra jos akordas.

Tiesiogiai per apskritimo centrą einanti styga yra skersmuošis ratas (D). Skersmenį galima apskaičiuoti pagal formulę: D=2R

Apimtis apskaičiuojamas pagal formulę: C=2\pi R

Apskritimo plotas: S=\pi R^(2)

Apskritimo lankas vadinama ta jo dalimi, kuri yra tarp dviejų taškų. Šie du taškai apibrėžia du apskritimo lankus. Akordas CD apima du lankus: CMD ir CLD. Identiškos stygos sudaro vienodus lankus.

Centrinis kampas Kampas, esantis tarp dviejų spindulių, vadinamas.

Lanko ilgis galima rasti naudojant formulę:

Naudojant laipsnio matą: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Naudojant radianinį matą: CD = \alpha R

Skersmuo, kuris yra statmenas stygai, padalija stygą ir jos sutrauktus lankus per pusę.

Jeigu apskritimo stygos AB ir CD susikerta taške N, tai tašku N atskirtų stygų atkarpų sandaugos yra lygios viena kitai.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Apskritimo liestinė

Apskritimo liestinėĮprasta vadinti tiesę, kuri turi vieną bendrą tašką su apskritimu.

Jei tiesė turi du bendrus taškus, ji vadinama sekantas.

Jei nubrėžiate spindulį į liestinės tašką, jis bus statmenas apskritimo liestinei.

Iš šio taško į mūsų apskritimą nubrėžkime dvi liestes. Pasirodo, kad liestinės atkarpos bus lygios viena kitai, o apskritimo centras bus kampo, kurio viršūnė yra šiame taške, pusiaukelėje.

AC = CB

Dabar nubrėžkime apskritimo liestinę ir sekantą nuo mūsų taško. Gauname, kad liestinės atkarpos ilgio kvadratas bus lygus viso atkarpos ir jo išorinės dalies sandaugai.

AC^(2) = CD \cdot BC

Galime daryti išvadą: viso pirmojo sekanto segmento ir jo išorinės dalies sandauga yra lygi viso antrojo sekanto segmento ir jo išorinės dalies sandaugai.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Kampai apskritime

Centrinio kampo ir lanko, ant kurio jis remiasi, laipsniai yra vienodi.

\angle COD = \puodelis CD = \alpha ^(\circ)

Įrašytas kampas yra kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio šonuose yra stygos.

Galite jį apskaičiuoti žinodami lanko dydį, nes jis yra lygus pusei šio lanko.

\angle AOB = 2 \kampas ADB

Remiantis skersmeniu, įbrėžtu kampu, stačiu kampu.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Įbrėžti kampai, kurie sudaro tą patį lanką, yra identiški.

Įbrėžti kampai, esantys ant vienos stygos, yra identiški arba jų suma lygi 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Tame pačiame apskritime yra trikampių su vienodais kampais ir duotu pagrindu viršūnės.

Kampas su viršūne apskritimo viduje ir esantis tarp dviejų stygų yra identiškas pusei apskritimo lankų, esančių duotame ir vertikaliame kampuose, kampinių verčių sumos.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Kampas, kurio viršūnė yra už apskritimo ir yra tarp dviejų sekantų, yra identiškas pusei apskritimo lankų, esančių kampo viduje, kampinių verčių skirtumo.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Įrašytas apskritimas

Įrašytas apskritimas yra apskritimo liestinė su daugiakampio kraštinėmis.

Toje vietoje, kur susikerta daugiakampio kampų pusiausvyros, yra jo centras.

Apskritimas negali būti įrašytas į kiekvieną daugiakampį.

Daugiakampio su įrašytu apskritimu plotas randamas pagal formulę:

S = pr,

p yra daugiakampio pusperimetras,

r yra įbrėžto apskritimo spindulys.

Iš to išplaukia, kad įbrėžto apskritimo spindulys yra lygus:

r = \frac(S)(p)

Priešingų kraštinių ilgių sumos bus vienodos, jei apskritimas įrašytas į išgaubtą keturkampį. Ir atvirkščiai: apskritimas telpa į išgaubtą keturkampį, jei priešingų kraštinių ilgių sumos yra vienodos.

AB + DC = AD + BC

Į bet kurį iš trikampių galima įbrėžti apskritimą. Tik vienas vienintelis. Toje vietoje, kur susikerta figūros vidinių kampų pusiausvyros, bus šio įbrėžto apskritimo centras.

Įbrėžto apskritimo spindulys apskaičiuojamas pagal formulę:

r = \frac(S)(p) ,

kur p = \frac(a + b + c)(2)

Apskritimas

Jei apskritimas eina per kiekvieną daugiakampio viršūnę, tada toks apskritimas paprastai vadinamas aprašyta apie daugiakampį.

Šios figūros kraštinių statmenų bisektorių susikirtimo taške bus apskritimo centras.

Spindulį galima rasti apskaičiuojant jį kaip apskritimo, kurį apibrėžia bet kurios 3 daugiakampio viršūnės apibrėžtą trikampį, spindulį.

Yra tokia sąlyga: apskritimą galima apibūdinti aplink keturkampį tik tada, kai jo priešingų kampų suma lygi 180^( \circ) .

\kampas A + \kampas C = \kampas B + \kampas D = 180^ (\circ)

Aplink bet kurį trikampį galite apibūdinti apskritimą ir tik vieną. Tokio apskritimo centras bus toje vietoje, kur susikerta statmenos trikampio kraštinių pusės.