Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Pereikime prie integralinio skaičiavimo taikymo. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį – kaip naudoti apibrėžtąjį integralą plokštumos figūros plotui apskaičiuoti. Pagaliau tie, kurie ieško prasmės aukštojoje matematikoje – tegul ją randa. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai apskaičiuoti vasarnamio sklypą naudodami elementarias funkcijas ir rasti jo plotą naudodami apibrėžtą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, jums nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio sudarymą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai bus daug aktualesnis klausimas. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti atmintį apie pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus ir bent jau turėti galimybę sukurti tiesę, parabolę ir hiperbolę. Tai galima padaryti (daugeliui tai būtina) pasitelkus metodinę medžiagą ir straipsnį apie geometrines grafų transformacijas.

Tiesą sakant, visi buvo susipažinę su užduotimi rasti sritį naudojant apibrėžtą integralą nuo mokyklos laikų, ir mes neperžengsime daug daugiau nei mokyklos mokymo programa. Šio straipsnio galėjo ir nebūti, bet faktas yra tas, kad problema iškyla 99 atvejais iš 100, kai studentas kenčia nuo nekenčiamos mokyklos ir entuziastingai įvaldo aukštosios matematikos kursą.

Šio seminaro medžiaga pateikiama paprastai, išsamiai ir turint minimalų teoriją.

Pradėkime nuo lenktos trapecijos.

Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, kurią riboja ašis, tiesės ir funkcijos grafikas, ištisinis intervale, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne žemesnė x ašis:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaičiais lygus apibrėžtajam integralui. Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Klasėje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai Sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

tai yra apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Integrandas apibrėžia kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali piešti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas yra brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.

Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus taškas po taško, taško po taško konstravimo techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Užbaikime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Neužtemdysiu lenktos trapecijos, čia akivaizdu, apie kokią sritį kalbame. Sprendimas tęsiasi taip:

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:

Atsakymas:

Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę , skaitykite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Šiuo atveju brėžinyje esančių langelių skaičių skaičiuojame „iš akies“ - na, jų bus apie 9, o tai atrodo tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, , ir ašimi, plotą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jeigu išsidėsčiusi lenkta trapecija po ašimi(arba bent jau ne aukščiau nurodyta ašis), tada jos plotą galima rasti naudojant formulę:
Šiuo atveju:

Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis , plotą.

Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba yra , viršutinė integracijos riba yra .
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Įvairių grafikų taškinio konstravimo technika išsamiai aptariama žinyne Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Kartoju, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė: Jei segmente yra kokia nors ištisinė funkcija didesnis arba lygus tam tikrą ištisinę funkciją , tada figūros plotą, kurį riboja šių funkcijų grafikai ir linijos , galima rasti naudojant formulę:

Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) yra specialus formulės atvejis. . Kadangi ašis nurodoma lygtimi, o funkcijos grafikas yra ne aukščiau tada kirvius

O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , .

Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl neatsargumo... rastas netinkamos figūros plotas, būtent taip jūsų nuolankus tarnas kelis kartus suklydo. Štai realus atvejis:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .

Sprendimas: Pirmiausia nupieškime:

...Ech, piešinys išėjo mėšlas, bet viskas lyg ir įskaitoma.

Figūra, kurios sritį turime rasti, yra nuspalvinta mėlynai(atidžiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai nutinka „gedimas“, kai reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesės grafikas;

2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

Pereikime prie kitos prasmingos užduoties.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokykloje“ ir nubrėžkime tašką po taško:

Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra? Gali buti? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali pasirodyti, kad... Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?

Tokiais atvejais tenka skirti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.

Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:

,

Tikrai,.

Tolesnis sprendimas yra nereikšmingas, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, skaičiavimai čia nėra patys paprasčiausi.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, o pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos, ,

Sprendimas: Pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.

Po velnių, pamiršau pasirašyti tvarkaraštį ir, atsiprašau, nenorėjau perdaryti nuotraukos. Ne piešimo diena, trumpai tariant, šiandien tokia diena =)

Norint sukurti tašką po taško, būtina žinoti sinusoidės išvaizdą (ir apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.

Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl:

Geometrinės figūros plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, kurią riboja uždaras šios figūros kontūras). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formulės

Trikampio ploto pagal kraštą ir aukštį formulė
Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir apskritimo spinduliu
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir įbrėžto apskritimo spinduliu
Trikampio plotas lygi trikampio pusperimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.

Kvadratinės ploto formulės

Kvadrato ploto pagal kraštinių ilgį formulė
Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
Kvadrato ploto išilgai įstrižainės formulė
Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
S = 1 2
2

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas

Lygiagretainio ploto formulės

Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta kraštinės ilgiu ir aukščiu
Lygiagretainio plotas
Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų
Lygiagretainio plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
a b sin α

Rombo ploto formulės

Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir aukštį
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir kampą
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
Rombo ploto formulė, pagrįsta jo įstrižainių ilgiais
Rombo plotas lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.

Trapecijos plotų formulės

Garnio trapecijos formulė
kur S yra trapecijos plotas,
- trapecijos pagrindų ilgiai,
- trapecijos kraštinių ilgiai,

Žinios, kaip matuoti Žemę, atsirado senovėje ir pamažu formavosi geometrijos moksle. Šis žodis iš graikų kalbos išverstas kaip „žemės matavimas“.

Plokščios Žemės atkarpos ilgio ir pločio matas yra plotas. Matematikoje jis paprastai žymimas lotyniška raide S (iš anglų kalbos „square“ - „area“, „quare“) arba graikiška raide σ (sigma). S žymi figūros plotą plokštumoje arba kūno paviršiaus plotą, o σ yra laido skerspjūvio plotas fizikoje. Tai yra pagrindiniai simboliai, nors gali būti ir kitų, pavyzdžiui, medžiagų stiprumo srityje A yra profilio skerspjūvio plotas.

Skaičiavimo formulės

Žinodami paprastų figūrų sritis, galite rasti sudėtingesnių figūrų parametrus.. Senovės matematikai sukūrė formules, kuriomis galima lengvai jas apskaičiuoti. Tokios figūros yra trikampis, keturkampis, daugiakampis, apskritimas.

Norėdami rasti sudėtingos plokštumos figūros plotą, ji suskaidoma į daugybę paprastų figūrų, tokių kaip trikampiai, trapecijos ar stačiakampiai. Tada, naudojant matematinius metodus, gaunama šios figūros ploto formulė. Panašus metodas naudojamas ne tik geometrijoje, bet ir matematinės analizės metu skaičiuojant figūrų, apribotų kreivių, plotus.

Trikampis

Pradėkime nuo paprasčiausios figūros – trikampio. Jie yra stačiakampiai, lygiašoniai ir lygiakraščiai. Paimkite bet kurį trikampį ABC, kurio kraštinės AB=a, BC=b ir AC=c (∆ ABC). Norėdami rasti jo plotą, prisiminkime sinuso ir kosinuso teoremas, žinomas iš mokyklinio matematikos kurso. Atsisakę visų skaičiavimų, gauname šias formules:

S=√ - visiems žinoma Herono formulė, kur p=(a+b+c)/2 yra trikampio pusperimetras;
S = a h/2, kur h yra aukštis, nuleistas į a pusę;
S=a b (sin γ)/2, kur γ yra kampas tarp kraštinių a ir b;
S=a b/2, jei ∆ ABC yra stačiakampis (čia a ir b yra kojos);
S=b² (sin (2 β))/2, jei ∆ ABC yra lygiašonis (čia b yra vienas iš „klunų“, β – kampas tarp trikampio „klunų“);
S=a² √¾, jei ∆ ABC lygiakraštis (čia a yra trikampio kraštinė).

Keturkampis

Tebūnie keturkampis ABCD, kurio AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Norėdami rasti savavališko 4 kampo plotą S, turite jį padalyti iš įstrižainės į du trikampius, kurių plotai S1 ir S2 paprastai nėra lygūs.

Tada apskaičiuokite jas naudodami formules ir sudėkite, t.y. S=S1+S2. Tačiau jei 4-kampis priklauso tam tikrai klasei, tada jo plotą galima rasti naudojant anksčiau žinomas formules:

S=(a+c) h/2=e h, jei tetragonas yra trapecijos formos (čia a ir c – pagrindai, e – trapecijos vidurio linija, h – aukštis, nuleistas iki vieno iš trapecijos pagrindų);
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, jei ABCD yra lygiagretainis (čia φ – kampas tarp kraštinių a ir b, h – aukštis, nukritęs į kraštinę a, d1 ir d2 – įstrižainės);
S=a b=d²/2, jei ABCD yra stačiakampis (d yra įstrižainė);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, jei ABCD yra rombas (a – rombo kraštinė, φ – vienas iš jo kampų, P – perimetras);
S=a²=P²/16=d²/2, jei ABCD yra kvadratas.

Daugiakampis

Norėdami rasti n kampo plotą, matematikai suskirsto jį į paprasčiausias lygias figūras - trikampius, suras kiekvieno iš jų plotą ir prideda. Bet jei daugiakampis priklauso reguliaraus klasei, naudokite formulę:

S=a n h/2=a² n/=P²/, kur n – daugiakampio viršūnių (arba kraštinių) skaičius, a – n kampo kraštinė, P – perimetras, h – apotemas, t.y. atkarpa, nubrėžta nuo daugiakampio centro iki vienos iš jo kraštinių 90° kampu.

Apskritimas

Apskritimas yra puikus daugiakampis su begaliniu kraštinių skaičiumi. Turime apskaičiuoti dešinėje esančios išraiškos ribą daugiakampio, kurio kraštinių skaičius n linkęs į begalybę, ploto formulėje. Šiuo atveju daugiakampio perimetras pavirs R spindulio apskritimo, kuris bus mūsų apskritimo riba, ilgiu ir taps lygus P=2 π R. Pakeiskite šią išraišką aukščiau pateikta formule. Gausime:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Raskime šios išraiškos ribą kaip n→∞. Norėdami tai padaryti, atsižvelgiame į tai, kad lim (cos (180°/n)) n→∞ yra lygus cos 0°=1 (lim yra ribos ženklas), o lim = lim, kai n→∞ yra lygus 1/π (laipsnio matą pavertėme radianu, naudodami santykį π rad=180°, ir pritaikėme pirmąją žymiąją ribą lim (sin x)/x=1 ties x→∞). Pakeisdami gautas reikšmes paskutine S išraiška, gauname gerai žinomą formulę:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Matavimo vienetai

Naudojami sisteminiai ir nesisteminiai matavimo vienetai. Sistemos vienetai priklauso SI (System International). Tai kvadratinis metras (kv. metras, m²) ir iš jo gaunami vienetai: mm², cm², km².

Pavyzdžiui, kvadratiniais milimetrais (mm²) jie matuoja elektros inžinerijos laidų skerspjūvio plotą, kvadratiniais centimetrais (cm²) - sijos skerspjūvį konstrukcijų mechanikoje, kvadratiniais metrais (m²) - bute ar name, kvadratiniais kilometrais (km²) - geografiškai .

Tačiau kartais naudojami nesisteminiai matavimo vienetai, tokie kaip: pynimas, ar (a), hektaras (ha) ir akras (as). Pateikiame šiuos ryšius:

1 šimtas kvadratinių metrų = 1 a = 100 m² = 0,01 hektaro;
1 ha=100 a=100 akrų=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 arai = 0,405 ha.

Kasdieniame gyvenime turime susidurti su tokia sąvoka kaip sritis. Taigi, pavyzdžiui, statydami namą turite tai žinoti, kad galėtumėte apskaičiuoti reikalingos medžiagos kiekį. Sodo sklypo dydis taip pat pasižymės jo plotu. Netgi buto remontas negali būti atliktas be šio apibrėžimo. Todėl klausimas, kaip rasti stačiakampio plotą, iškyla labai dažnai ir yra svarbus ne tik moksleiviams.

Tiems, kurie nežino, stačiakampis yra plokščia figūra, kurios priešingos kraštinės yra lygios, o kampai yra 90 laipsnių. Matematikoje plotui žymėti naudojama angliška raidė S. Jis matuojamas kvadratiniais vienetais: metrais, centimetrais ir pan.

Dabar pabandysime pateikti išsamų atsakymą į klausimą, kaip rasti stačiakampio plotą. Yra keletas būdų, kaip nustatyti šią vertę. Dažniausiai susiduriame su ploto nustatymo metodu, naudojant plotį ir ilgį.

Paimkime stačiakampį, kurio plotis b ir ilgis k. Norėdami apskaičiuoti nurodyto stačiakampio plotą, turite padauginti plotį iš ilgio. Visa tai gali būti pavaizduota formulės forma, kuri atrodys taip: S = b * k.

Dabar pažvelkime į šį metodą naudodami konkretų pavyzdį. Būtina nustatyti 2 metrų pločio ir 7 metrų ilgio sodo sklypo plotą.

S = 2 * 7 = 14 m2

Matematikoje, ypač matematikoje, plotą turime nustatyti kitais būdais, nes daugeliu atvejų nežinome nei stačiakampio ilgio, nei pločio. Tuo pačiu metu yra ir kitų žinomų dydžių. Kaip šiuo atveju rasti stačiakampio plotą?

Jei žinome įstrižainės ilgį ir vieną iš kampų, sudarančių įstrižainę su bet kuria stačiakampio kraštine, tada šiuo atveju turėsime atsiminti sritį du vienodi stačiakampiai trikampiai. Taigi, grįžkime prie nustatytos vertės. Pirmiausia turite nustatyti kampo kosinusą. Gautą vertę padauginkite iš įstrižainės ilgio. Dėl to gauname vienos iš stačiakampio kraštinių ilgį. Panašiai, bet naudodamiesi sinuso apibrėžimu, galite nustatyti antrosios pusės ilgį. Kaip dabar rasti stačiakampio plotą? Taip, tai labai paprasta, gautas vertes padauginkite.

Formulės pavidalu tai atrodys taip:

S = cos(a) * sin(a) * d2, kur d yra įstrižainės ilgis

Kitas būdas nustatyti stačiakampio plotą yra per jame įrašytą apskritimą. Jis naudojamas, jei stačiakampis yra kvadratas. Norėdami naudoti šį metodą, turite žinoti, Kaip tokiu būdu apskaičiuoti stačiakampio plotą? Žinoma, pagal formulę. Mes to neįrodysime. Ir tai atrodo taip: S = 4 * r2, kur r yra spindulys.

Taip atsitinka, kad vietoj spindulio mes žinome įbrėžto apskritimo skersmenį. Tada formulė atrodys taip:

S=d2, kur d yra skersmuo.

Jei žinoma viena iš kraštinių ir perimetras, kaip šiuo atveju sužinoti stačiakampio plotą? Norėdami tai padaryti, turite atlikti keletą paprastų skaičiavimų. Kaip žinome, priešingos stačiakampio kraštinės yra lygios, todėl žinomas ilgis, padaugintas iš dviejų, turi būti atimtas iš perimetro reikšmės. Padalinkite rezultatą iš dviejų ir gaukite antrosios pusės ilgį. Na, tada standartinė technika yra padauginti abi puses ir gauti stačiakampio plotą. Formulės pavidalu tai atrodys taip:

S=b* (P - 2*b), kur b – kraštinės ilgis, P – perimetras.

Kaip matote, stačiakampio plotą galima nustatyti įvairiais būdais. Viskas priklauso nuo to, kokius kiekius žinome prieš svarstydami šį klausimą. Žinoma, su naujausiais skaičiavimo metodais praktiškai niekada gyvenime nesusitinkama, tačiau jie gali būti naudingi sprendžiant daugelį problemų mokykloje. Galbūt šis straipsnis bus naudingas sprendžiant jūsų problemas.

Pamoka tema: "Trikampio, stačiakampio, kvadrato ploto nustatymo formulės"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 5 klasei
I. I. Zubarevos ir A. G. Mordkovičiaus vadovėlio simuliatorius
G.V.Dorofejevo ir L.G.Petersono vadovėlio simuliatorius

Figūros ploto apibrėžimas ir samprata

Norėdami geriau suprasti, koks yra figūros plotas, apsvarstykite figūrą.
Ši savavališka figūra yra padalinta į 12 mažų kvadratų. Kiekvieno kvadrato kraštinė yra 1 cm, o kiekvieno kvadrato plotas yra 1 kvadratinis centimetras, kuris parašyta taip: 1 cm2.

Tada figūros plotas yra 12 kvadratinių centimetrų. Matematikoje plotas žymimas lotyniška S raide.
Tai reiškia, kad mūsų figūros plotas yra: S forma = 12 cm 2.

Figūros plotas lygus visų ją sudarančių mažų kvadratėlių plotui!

Vaikinai, prisiminkite!
Plotas matuojamas kvadratiniais ilgio vienetais. Ploto vienetai:
1. Kvadratinis kilometras – km 2 (kai plotai labai dideli, pvz., šalis ar jūra).
2. Kvadratinis metras - m2 (labai tinka sklypo ar buto plotui išmatuoti).
3. Kvadratinis centimetras - cm 2 (dažniausiai naudojamas matematikos pamokose piešiant figūras sąsiuvinyje).
4. Kvadratinis milimetras - mm 2.

Trikampio plotas

Panagrinėkime dviejų tipų trikampius: stačiakampį ir savavališką.

Norėdami rasti stačiojo trikampio plotą, turite žinoti pagrindo ilgį ir aukštį. Stačiakampiame trikampyje aukštis pakeičiamas viena iš kraštinių. Todėl trikampio ploto formulėje vietoj aukščio pakeičiame vieną iš kraštinių.
Mūsų pavyzdyje kraštinės yra 7 cm ir 4 cm. Trikampio ploto apskaičiavimo formulė parašyta taip:
Stačiojo trikampio ABC = BC * CA: 2

Stačiojo trikampio ABC S = 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm 2

Dabar apsvarstykite savavališką trikampį.

Tokiam trikampiui reikia nubrėžti aukštį iki pagrindo.
Mūsų pavyzdyje aukštis yra 6 cm, o pagrindas yra 8 cm, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, apskaičiuojame plotą pagal formulę:
Savavališko trikampio ABC = BC * h: 2.

Pakeiskime duomenis į formulę ir gaukime:
Savavališko trikampio ABC S = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.

Stačiakampio ir kvadrato plotas

Paimkite stačiakampį ABCD, kurio kraštinės yra 5 cm ir 8 cm.

Stačiakampio ploto apskaičiavimo formulė parašyta taip:
S stačiakampis ABCD = AB * BC.

S stačiakampis ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.

Dabar apskaičiuokime kvadrato plotą. Skirtingai nuo stačiakampio ir trikampio, norint rasti kvadrato plotą, reikia žinoti tik vieną kraštinę. Mūsų pavyzdyje kvadrato ABCD kraštinė yra 9 cm. S kvadratas ABCD = AB * BC = AB 2.