Kaip nustatomas funkcijos paritetas? Funkcijų tyrimas

Apibrėžimas 1. Funkcija vadinama net (nelyginis ), jei kartu su kiekviena kintamojo reikšme
prasmė - X taip pat priklauso
ir lygybė galioja

Taigi funkcija gali būti lyginė arba nelyginė tik tada, kai jos apibrėžimo sritis yra simetriška skaičių eilutės (skaičiaus) koordinačių pradžiai X Ir - X priklauso tuo pačiu metu
). Pavyzdžiui, funkcija
nėra nei lyginis, nei nelyginis, nes jo apibrėžimo sritis
nėra simetriškas kilmei.

Funkcija
net, nes
simetriškas kilmei ir.

Funkcija
keista, nes
Ir
.

Funkcija
nėra lyginis ir nelyginis, nes nors
ir yra simetriškas kilmės atžvilgiu, lygybės (11.1) netenkinamos. Pavyzdžiui,.

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu Oi, nes jei taškas

taip pat priklauso tvarkaraščiui. Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei, nes jei
priklauso grafikui, tada taškui
taip pat priklauso tvarkaraščiui.

Įrodant, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė, naudingi šie teiginiai.

Teorema 1. a) Dviejų lyginių (nelyginių) funkcijų suma yra lyginė (nelyginė) funkcija.

b) Dviejų lyginių (nelyginių) funkcijų sandauga yra lyginė funkcija.

c) Lyginės ir nelyginės funkcijos sandauga yra nelyginė funkcija.

d) Jei f– net funkcija rinkinyje X, ir funkcija g apibrėžta rinkinyje
, tada funkcija
– net.

d) Jei f– nelyginė funkcija rinkinyje X, ir funkcija g apibrėžta rinkinyje
ir lyginis (nelyginis), tada funkcija
– lyginis (nelyginis).

Įrodymas. Įrodykime, pavyzdžiui, b) ir d).

b) Tegul
Ir
– net funkcijos. Taigi, tada. Panašiai traktuojamas ir nelyginių funkcijų atvejis
Ir
.

d) Leiskite f yra lygi funkcija. Tada.

Likusius teoremos teiginius galima įrodyti panašiai. Teorema įrodyta.

Teorema 2. Bet kokia funkcija
, apibrėžta rinkinyje X, simetriškas kilmei, gali būti pavaizduotas kaip lyginių ir nelyginių funkcijų suma.

Įrodymas. Funkcija
galima parašyti formoje

Funkcija
– net, nes
, ir funkcija
– Keista, nes. Taigi,
, Kur
– net ir
– nelyginės funkcijos. Teorema įrodyta.

Apibrėžimas 2. Funkcija
paskambino periodiškai , jei yra skaičius
, toks, kad bet kuriam
numeriai
Ir
taip pat priklauso apibrėžimo sričiai
ir lygybės tenkinamos

Toks skaičius T paskambino laikotarpį funkcijas
.

Iš 1 apibrėžimo išplaukia, kad jei T– funkcijos laikotarpis
, tada skaičius - T Tas pats yra funkcijos laikotarpis
(nuo pakeitimo Tįjungta – T išlaikoma lygybė). Naudojant matematinės indukcijos metodą galima parodyti, kad jei T– funkcijos laikotarpis f, tada
, taip pat yra laikotarpis. Iš to išplaukia, kad jei funkcija turi tašką, tai ji turi be galo daug periodų.

Apibrėžimas 3. Mažiausias iš teigiamų funkcijos periodų vadinamas jos pagrindinis laikotarpį.

Teorema 3. Jeigu T– pagrindinis funkcijos laikotarpis f, tada likę laikotarpiai yra jo kartotiniai.

Įrodymas. Tarkime, priešingai, tai yra, kad yra laikotarpis funkcijas f (>0), o ne keli T. Tada, padalijimas įjungta T su likusia dalimi gauname
, Kur
. Štai kodėl

tai yra – funkcijos laikotarpis f, ir
, ir tai prieštarauja faktui, kad T– pagrindinis funkcijos laikotarpis f. Iš gauto prieštaravimo išplaukia teoremos teiginys. Teorema įrodyta.

Gerai žinoma, kad trigonometrinės funkcijos yra periodinės. Pagrindinis laikotarpis
Ir
lygus
,
Ir
. Raskime funkcijos periodą
. Leiskite
- šios funkcijos laikotarpis. Tada

(nes
.

arba arba
.

Reikšmė T, nustatytas iš pirmosios lygybės, negali būti laikotarpis, nes jis priklauso nuo X, t.y. yra funkcija X, o ne pastovus skaičius. Laikotarpis nustatomas iš antrosios lygybės:
. Yra be galo daug laikotarpių, su
mažiausias teigiamas periodas gaunamas ties
:
. Tai yra pagrindinis funkcijos laikotarpis
.

Sudėtingesnės periodinės funkcijos pavyzdys yra Dirichlet funkcija

Atkreipkite dėmesį, kad jei T tada yra racionalus skaičius
Ir
yra racionalūs racionalieji skaičiai X ir neracionalu, kai neracionalu X. Štai kodėl

bet kuriam racionaliam skaičiui T. Todėl bet koks racionalus skaičius T yra Dirichlet funkcijos laikotarpis. Akivaizdu, kad ši funkcija neturi pagrindinio laikotarpio, nes yra teigiamų racionalūs skaičiai, savavališkai arti nulio (pavyzdžiui, galima pasirinkti racionalų skaičių n savavališkai arti nulio).

Teorema 4. Jei funkcija f apibrėžta rinkinyje X ir turi laikotarpį T, ir funkcija g apibrėžta rinkinyje
, tada sudėtinga funkcija
taip pat turi laikotarpį T.

Įrodymas. Todėl turime

tai teoremos teiginys įrodytas.

Pavyzdžiui, nuo cos x turi laikotarpį
, tada funkcijos
turėti laikotarpį
.

Apibrėžimas 4. Iškviečiamos funkcijos, kurios nėra periodinės neperiodinis .

Kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kuriame kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę, vadinama funkcija. Pažymėjimui naudokite žymėjimą y=f(x). Kiekviena funkcija turi keletą pagrindinių savybių, tokių kaip monotoniškumas, paritetas, periodiškumas ir kt.

Apsvarstykite daugiau informacijos apie nuosavybę paritetas.

Funkcija y=f(x) iškviečiama, net jei ji tenkina šias dvi sąlygas:

2. Funkcijos reikšmė taške x, priklausanti funkcijos apibrėžimo sričiai, turi būti lygi funkcijos reikšmei taške -x. Tai reiškia, kad bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti įvykdyta ši lygybė: f(x) = f(-x).

Lyginės funkcijos grafikas

Jei nubraižysite lyginės funkcijos grafiką, jis bus simetriškas Oy ašiai.

Pavyzdžiui, funkcija y=x^2 yra lyginė. Pažiūrėkime. Visa apibrėžimo sritis skaičių ašis, o tai reiškia, kad jis yra simetriškas taško O atžvilgiu.

Paimkime savavališką x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Todėl f(x) = f(-x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra lygi. Žemiau pateikiamas funkcijos y=x^2 grafikas.

Paveikslėlyje parodyta, kad grafikas yra simetriškas Oy ašiai.

Nelyginės funkcijos grafikas

Funkcija y=f(x) vadinama nelygine, jei ji tenkina šias dvi sąlygas:

1. Duotosios funkcijos apibrėžimo sritis turi būti simetriška taško O atžvilgiu. Tai yra, jei kuris nors taškas a priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai, tai atitinkamas taškas -a taip pat turi priklausyti apibrėžimo sričiai. nurodytos funkcijos.

2. Bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti įvykdyta ši lygybė: f(x) = -f(x).

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas taško O – koordinačių pradžios – atžvilgiu. Pavyzdžiui, funkcija y=x^3 yra nelyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.

Paimkime savavališką x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Todėl f(x) = -f(x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra funkcijos y=x^3 grafikas.

Paveikslas tai aiškiai parodo Ne lygi funkcija y=x^3 yra simetriškas kilmei.

net, jei visiems $x$ iš jo apibrėžimo srities teisinga: $f(-x)=f(x)$ .

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas $y$ ašiai:

Pavyzdys: funkcija $f(x)=x^2+\cos x$ yra lyginė, nes $f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)$.

$\blacktriangleright$ Iškviečiama funkcija $f(x)$. nelyginis, jei visiems $x$ iš jo apibrėžimo srities teisinga: $f(-x)=-f(x)$ .

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei:

Pavyzdys: funkcija $f(x)=x^3+x$ yra keista, nes $f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$.

$\blacktriangleright$ Funkcijos, kurios nėra nei lyginės, nei nelyginės, vadinamos funkcijomis bendras vaizdas. Tokia funkcija visada gali būti vienareikšmiškai pavaizduota kaip lyginės ir nelyginės funkcijos suma.

Pavyzdžiui, funkcija $f(x)=x^2-x$ yra lyginės funkcijos $f_1=x^2$ ir nelyginės $f_2=-x$ suma.

$\juodas trikampis$ Kai kurios savybės:

1) Dviejų to paties pariteto funkcijų sandauga ir koeficientas yra lyginė funkcija.

2) Dviejų skirtingų paritetų funkcijų sandauga ir koeficientas yra nelyginė funkcija.

3) Lyginių funkcijų suma ir skirtumas yra lygioji funkcija.

4) Nelyginių funkcijų suma ir skirtumas – nelyginė funkcija.

5) Jei $f(x)$ yra lyginė funkcija, tada lygtis $f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)$ ) turi unikalią šaknį tada ir tik tada, kai $ x =0$ .

6) Jei $f(x)$ yra lyginė arba nelyginė funkcija, o lygtis $f(x)=0$ turi šaknį $x=b$, tada ši lygtis būtinai turės sekundę šaknis $x =-b$ .

$\blacktriangleright$ Funkcija $f(x)$ vadinama periodine $X$, jei tam tikram skaičiui $T\ne 0$ galioja: $f(x)=f( x+T) $ , kur $x, x+T\in X$ . Mažiausias $T$, kuriam ši lygybė tenkinama, vadinamas pagrindiniu (pagrindiniu) funkcijos periodu.

U periodinė funkcija bet koks skaičius $nT$ , kur $n\in \mathbb(Z)$ taip pat bus taškas.

Pavyzdys: bet koks trigonometrinė funkcija yra periodiškas;
funkcijoms $f(x)=\sin x$ ir $f(x)=\cos x$ pagrindinis laikotarpis yra lygus $2\pi$, funkcijos $f(x)=\mathrm(tg)\,x$ ir $f(x)=\mathrm(ctg)\,x$ turi pagrindinis laikotarpis lygus \ (\pi\) .

Norėdami sudaryti periodinės funkcijos grafiką, galite pavaizduoti jos grafiką bet kuriame $T$ ilgio segmente (pagrindinis periodas); tada visos funkcijos grafikas užbaigiamas perkeliant sukonstruotą dalį sveiku skaičiumi periodų į dešinę ir į kairę:

$\blacktriangleright$ Funkcijos $f(x)$ domenas $D(f)$ yra rinkinys, susidedantis iš visų argumento $x$ reikšmių, kurioms funkcija turi prasmę (yra apibrėžtas).

Pavyzdys: funkcija $f(x)=\sqrt x+1$ turi apibrėžimo sritį: \(x\in

1 užduotis #6364

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Kokiomis parametro reikšmėmis $a$ veikia lygtis

turi vienintelis sprendimas?

Atminkite, kad kadangi $x^2$ ir $\cos x$ yra lyginės funkcijos, jei lygtis turi šaknį $x_0$ , ji taip pat turės šaknį $-x_0$ .
Iš tiesų, tegul $x_0$ yra šaknis, tai yra lygybė $2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0$ teisingai. Pakeiskime $-x_0$: $2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0$.

Taigi, jei $x_0\ne 0$ , tai lygtis jau turės bent dvi šaknis. Todėl $x_0=0$ . Tada:

Gavome dvi parametro $a$ reikšmes. Atminkite, kad naudojome faktą, kad $x=0$ yra būtent pradinės lygties šaknis. Bet mes niekada nepasinaudojome tuo, kad jis vienintelis. Todėl gautas parametro $a$ reikšmes turite pakeisti į pradinė lygtis ir patikrinkite, kurios $a$ šaknis $x=0$ tikrai bus unikali.

1) Jei $a=0$ , tada lygtis bus $2x^2=0$ . Akivaizdu, kad ši lygtis turi tik vieną šaknį $x=0$ . Todėl reikšmė $a=0$ mums tinka.

2) Jei $a=-\mathrm(tg)\,1$ , tada lygtis bus tokia forma \ Perrašykime lygtį į formą \ Nes $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$, Tai $-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1$. Vadinasi, segmentui priklauso lygties dešinės pusės reikšmės (*). $[-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]$.

Kadangi $x^2\geqslant 0$ , tada kairėje pusėje lygtis (*) yra didesnė arba lygi $0+ \mathrm(tg)^2\,1$ .

Taigi lygybė (*) gali būti įvykdyta tik tada, kai abi lygties pusės yra lygios $\mathrm(tg)^2\,1$ . Ir tai reiškia, kad \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftright rodyklė\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Todėl reikšmė $a=-\mathrm(tg)\,1$ mums tinka.

Atsakymas:

$a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0$\)

2 užduotis #3923

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Raskite visas parametro $a$ reikšmes, kurių kiekvienos funkcijos grafikas \

simetriškas kilmei.

Jei funkcijos grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu, tada tokia funkcija yra nelyginė, tai yra, $f(-x)=-f(x)$ galioja bet kuriam $x$ iš srities funkcijos apibrėžimo. Taigi reikia rasti tas parametrų reikšmes, kurioms $f(-x)=-f(x).$

\[\begin(lygiuotas) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end (sulygiuotas)\]

Paskutinė lygtis turi būti įvykdyta visoms $x$ iš $f(x)\ srities), todėl \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$.

Atsakymas:

$\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$

3 užduotis #3069

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Raskite visas parametro $a$ reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \ turi 4 sprendinius, kur $f$ yra lyginė periodinė funkcija su periodu $T=\dfrac(16)3$ apibrėžta visoje skaičių eilutėje ir $f(x)=ax^2$ for $0\leqslant x\leqslant \dfrac83.$

(Prenumeratorių užduotis)

Kadangi $f(x)$ yra lyginė funkcija, jos grafikas yra simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu, todėl $-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0$$f(x)=ax^2$ . Taigi, kada $-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83$, ir tai yra $\dfrac(16)3$ ilgio segmentas, funkcija $f(x)=ax^2$ .

1) Tegu $a>0$ . Tada funkcijos $f(x)$ grafikas atrodys taip:

Tada, kad lygtis turėtų 4 sprendinius, grafikas $g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx$ eitų per tašką $A$ :

Vadinasi, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin(surinkta)\begin (sulygiuotas) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\pabaiga(sulygiuota)\pabaiga(surinkta)\dešinė. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(surinkta)\begin (sulygiuotas) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(sulygiuotas) \end( surinkta)\teisingai.\] Kadangi $a>0$ , tada tinka $a=\dfrac(18)(23)$.

2) Leiskite $a<0$ . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Būtina, kad grafikas $g(x)$ eitų per tašką $B$: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin(surinkta)\begin (sulygiuotas) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \pabaiga(sulygiuota) \pabaiga(surinkta)\dešinė.\] Nuo $a<0$ , то подходит $a=-\dfrac{18}{41}$ .

3) Atvejis, kai $a=0$ netinka, nuo tada $f(x)=0$ visiems $x$ , $g(x)=2\sqrtx$ ir lygtis turės tik 1 šaknį.

Atsakymas:

$a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right$\)

4 užduotis #3072

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Raskite visas $a$ reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \

turi bent vieną šaknį.

(Prenumeratorių užduotis)

Perrašykime lygtį į formą \ ir apsvarstykite dvi funkcijas: $g(x)=7\sqrt(2x^2+49)$ ir $f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funkcija \(g(x)$ yra lyginė ir turi minimalų tašką $x=0$ (ir $g(0)=49$ ).
Funkcija $f(x)$ $x>0$ mažėja, o $x)<0$ – возрастающей, следовательно, $x=0$ – точка максимума.
Iš tiesų, kai $x>0$ antrasis modulis bus atidarytas teigiamai ($|x|=x$ ), todėl, nepaisant to, kaip bus atidarytas pirmasis modulis, $f(x)$ bus lygus į $kx+A$ , kur $A$ yra $a$ išraiška, o $k$ yra lygi $-9$ arba $-3$ . Kai $x<0$ наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $3$ , либо $9$ .
Raskime $f$ reikšmę didžiausiame taške: \

Kad lygtis turėtų bent vieną sprendinį, būtina, kad funkcijų $f$ ir $g$ grafikai turėtų bent vieną susikirtimo tašką. Todėl jums reikia: \ \\]

Atsakymas:

$a\in \(-7$\puodelis\)

5 užduotis #3912

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Raskite visas parametro $a$ reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \

turi šešis skirtingus sprendimus.

Pakeiskime $(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t$ , $t>0$ . Tada lygtis įgaus formą \ Palaipsniui išrašysime sąlygas, kurioms esant pradinė lygtis turės šešis sprendinius.
Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis $(*)$ gali turėti daugiausiai du sprendinius. Bet kuri kubinė lygtis $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ gali turėti ne daugiau kaip tris sprendinius. Todėl, jei lygtis $(*)$ turi du skirtingus sprendinius (teigiamas!, nes $t$ turi būti didesnis už nulį) $t_1$ ir $t_2$ , tada padarius atvirkščiai pakeitimas, gauname: \[\left[\begin(surinkta)\begin(sulyginta) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\pabaiga(sulygiuota)\pabaiga(surinkta)\dešinė.\] Kadangi bet koks teigiamas skaičius tam tikru mastu gali būti pavaizduotas kaip $\sqrt2$, pavyzdžiui, $t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)$, tada pirmoji aibės lygtis bus perrašyta forma \ Kaip jau minėjome, bet kuri kubinė lygtis turi ne daugiau kaip tris sprendinius, todėl kiekviena aibės lygtis turės ne daugiau kaip tris sprendinius. Tai reiškia, kad visame rinkinyje bus ne daugiau kaip šeši sprendimai.
Tai reiškia, kad tam, kad pradinė lygtis turėtų šešis sprendinius, kvadratinė lygtis $(*)$ turi turėti du skirtingus sprendinius, o kiekviena gauta kubinė lygtis (iš aibės) turi turėti tris skirtingus sprendinius (o ne vieną viena lygtis turėtų sutapti su bet kuria – antrosios sprendimu!)
Akivaizdu, kad jei kvadratinė lygtis $(*)$ turi vieną sprendinį, tada negausime šešių pradinės lygties sprendinių.

Taigi sprendimo planas tampa aiškus. Taškas po taško surašykime sąlygas, kurios turi būti įvykdytos.

1) Kad lygtis $(*)$ turėtų du skirtingus sprendinius, jos diskriminantas turi būti teigiamas: \

2) Taip pat būtina, kad abi šaknys būtų teigiamos (nes $t>0$ ). Jei dviejų šaknų sandauga yra teigiama, o jų suma teigiama, tada ir pačios šaknys bus teigiamos. Todėl jums reikia: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Taigi, mes jau turime dvi skirtingas teigiamas šaknis $t_1$ ir $t_2$ .

3) Pažvelkime į šią lygtį \ Kam $t$ bus trys skirtingi sprendimai?
Apsvarstykite funkciją $f(x)=x^3-3x^2+4$ .
Galima faktorizuoti: \ Todėl jo nuliai yra: $x=-1;2$ .
Jeigu rasime išvestinę $f"(x)=3x^2-6x$ , tai gausime du ekstremumo taškus $x_(max)=0, x_(min)=2$ .
Todėl grafikas atrodo taip:

Matome, kad bet kuri horizontali linija $y=k$ , kur $0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t$ turėjo tris skirtingus sprendimus, būtina, kad $0<\log_ {\sqrt2}t<4$ .
Taigi, jums reikia: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Taip pat iš karto atkreipkime dėmesį, kad jei skaičiai $t_1$ ir $t_2$ yra skirtingi, tada skaičiai $\log_(\sqrt2)t_1$ ir $\log_(\sqrt2)t_2$ bus skiriasi, o tai reiškia lygtis $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1$ Ir $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2$ turės skirtingas šaknis.
Sistemą $(**)$ galima perrašyti taip: \[\begin(cases) 1

Taigi nustatėme, kad abi lygties $(*)$ šaknys turi būti intervale $(1;4)$ . Kaip parašyti šią sąlygą?
Šaknų aiškiai neužrašysime.
Apsvarstykite funkciją $g(t)=t^2+(a-10)t+12-a$ . Jos grafikas yra parabolė su į viršų nukreiptomis šakomis, kuri turi du susikirtimo taškus su x ašimi (šią sąlygą užrašėme 1 pastraipoje). Kaip turėtų atrodyti jo grafikas, kad susikirtimo taškai su x ašimi būtų intervale $(1;4)$? Taigi:

Pirma, funkcijos reikšmės $g(1)$ ir $g(4)$ taškuose $1$ ir $4$ turi būti teigiamos, ir, antra, funkcijos viršūnė parabolė $t_0\ ) taip pat turi būti intervale \((1;4)$ . Todėl galime parašyti sistemą: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4$a$ visada turi bent vieną šaknį $x=0$ . Tai reiškia, kad norint įvykdyti uždavinio sąlygas, būtina lygtis \

turėjo keturias skirtingas šaknis, kurios skiriasi nuo nulio ir kartu su $x=0$ reiškia aritmetinę progresiją.

Atminkite, kad funkcija $y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)$ yra lyginė, o tai reiškia, kad jei $x_0$ yra lygties šaknis $ (*)\ ) , tada \(-x_0$ taip pat bus jo šaknis. Tada būtina, kad šios lygties šaknys būtų skaičiai, išdėstyti didėjančia tvarka: $-2d, -d, d, 2d$ (tada $d>0$). Tada šie penki skaičiai sudarys aritmetinę progresiją (su skirtumu $d$).

Kad šios šaknys būtų skaičiai $-2d, -d, d, 2d$ , būtina, kad skaičiai $d^(\,2), 4d^(\,2)$ būtų lygtis $25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0$ . Tada pagal Vietos teoremą:

Perrašykime lygtį į formą \ ir apsvarstykite dvi funkcijas: $g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)$ ir $f(x)=13|x|-2|5x+12a|$ .
Funkcijos $g(x)$ maksimalus taškas yra $x=0$ (ir $g_(\tekstas(viršuje))=g(0)=-a^2+20a-4$):
$g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x$. Nulinė išvestinė: $x=0$ . Kai $x<0$ имеем: $g">0$ , $x>0$ : $g"<0$ .
Funkcija $f(x)$ $x>0$ didėja, o $x)<0$ – убывающей, следовательно, $x=0$ – точка минимума.
Iš tiesų, kai $x>0$ pirmasis modulis bus atidarytas teigiamai ($|x|=x$), todėl, nepaisant to, kaip bus atidarytas antrasis modulis, $f(x)$ bus lygus į $kx+A$ , kur $A$ yra $a$ išraiška, o $k$ yra lygus $13-10=3$ arba $13+10 =23$ . Kai $x<0$ наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $-3$ , либо $-23$ .
Raskime $f$ reikšmę minimaliame taške: \

Kad lygtis turėtų bent vieną sprendinį, būtina, kad funkcijų $f$ ir $g$ grafikai turėtų bent vieną susikirtimo tašką. Todėl jums reikia: \ Išspręsdami šį sistemų rinkinį, gauname atsakymą: \\]

Atsakymas:

$a\in \(-2$\puodelis\)

Lyginių ir nelyginių funkcijų grafikai turi šias funkcijas:

Jei funkcija yra lygi, tada jos grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu. Jei funkcija nelyginė, tada jos grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu.

Pavyzdys. Sukurkite funkcijos $y=\left|x \right|$ grafiką.

Sprendimas. Apsvarstykite funkciją: $f\left(x \right)=\left|x \right|$ ir pakeiskite priešingą $-x $ vietoj $x $. Dėl paprastų transformacijų gauname: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Kituose žodžiais, jei argumentą pakeisite priešingu ženklu, funkcija nepasikeis.

Tai reiškia, kad ši funkcija yra lygi, o jos grafikas bus simetriškas ordinačių ašies (vertikalios ašies) atžvilgiu. Šios funkcijos grafikas parodytas paveikslėlyje kairėje. Tai reiškia, kad sudarydami grafiką galite nubrėžti tik pusę, o antrąją dalį (į kairę nuo vertikalios ašies, piešti simetriškai į dešinę). Prieš pradėdami braižyti jos grafiką, nustatę funkcijos simetriją, galite labai supaprastinti funkcijos konstravimo ar tyrimo procesą. Jei sunku atlikti bendrą patikrinimą, galite tai padaryti paprasčiau: į lygtį pakeiskite tas pačias skirtingų ženklų reikšmes. Pavyzdžiui -5 ir 5. Jei funkcijos reikšmės bus vienodos, galime tikėtis, kad funkcija bus lygi. Matematiniu požiūriu šis požiūris nėra visiškai teisingas, tačiau praktiniu požiūriu jis yra patogus. Norėdami padidinti rezultato patikimumą, galite pakeisti kelias tokių priešingų verčių poras.

Pavyzdys. Sukurkite funkcijos $y=x\left|x \right|$ grafiką.

Sprendimas. Patikrinkime taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ Tai reiškia, kad pradinė funkcija yra nelyginė (funkcijos ženklas pasikeitė į priešingą).

Išvada: funkcija yra simetriška kilmei. Galite pastatyti tik vieną pusę, o antrąją piešti simetriškai. Tokią simetriją nubrėžti sunkiau. Tai reiškia, kad žiūrite į diagramą iš kitos lapo pusės ir netgi apverstos. Arba galite tai padaryti: paimkite nupieštą dalį ir pasukite aplink pradžią 180 laipsnių prieš laikrodžio rodyklę.

Pavyzdys. Sukurkite funkcijos $y=x^3+x^2$ grafiką.

Sprendimas. Atlikime tą patį ženklo pasikeitimo patikrinimą, kaip ir ankstesniuose dviejuose pavyzdžiuose. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Dėl to gauname kad: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Ir tai reiškia, kad funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Išvada: funkcija nėra simetriška nei koordinačių sistemos pradžios, nei centro atžvilgiu. Taip atsitiko, nes tai yra dviejų funkcijų suma: lyginė ir nelyginė. Ta pati situacija atsitiks, jei atimsite dvi skirtingas funkcijas. Tačiau dauginimas ar padalijimas duos kitokį rezultatą. Pavyzdžiui, lyginės ir nelyginės funkcijos sandauga sukuria nelyginę funkciją. Arba dviejų nelyginių skaičių koeficientas lemia lyginę funkciją.

Grafikų konvertavimas.

Žodinis funkcijos aprašymas.

Grafinis metodas.

Grafinis funkcijos nurodymo metodas yra vizualiausias ir dažnai naudojamas technikoje. Atliekant matematinę analizę, kaip iliustracija naudojamas grafinis funkcijų nurodymo metodas.

Funkcijų grafikas f yra visų koordinačių plokštumos taškų (x;y) aibė, kur y=f(x), o x „eina per“ visą šios funkcijos apibrėžimo sritį.

Koordinačių plokštumos poaibis yra funkcijos grafikas, jei jis turi ne daugiau kaip vieną bendrą tašką su bet kuria tiese, lygiagrečia Oy ašiai.

Pavyzdys. Ar žemiau pateikti skaičiai yra funkcijų grafikai?

Grafinės užduoties pranašumas yra jos aiškumas. Galite iš karto matyti, kaip funkcija veikia, kur ji didėja, o kur mažėja. Iš grafiko galite iš karto sužinoti keletą svarbių funkcijos savybių.

Apskritai, analitiniai ir grafiniai funkcijos apibrėžimo metodai eina koja kojon. Darbas su formule padeda sudaryti grafiką. O diagramoje dažnai siūlomi sprendimai, kurių net nepastebėtumėte formulėje.

Beveik bet kuris studentas žino tris būdus, kaip apibrėžti funkciją, kurią ką tik pažvelgėme.

Pabandykime atsakyti į klausimą: "Ar yra kitų būdų apibrėžti funkciją?"

Yra toks būdas.

Funkcija gali būti gana vienareikšmiškai nurodyta žodžiais.

Pavyzdžiui, funkcija y=2x gali būti nurodyta tokiu žodiniu aprašymu: kiekviena tikroji argumento x reikšmė yra susieta su dviguba jo reikšme. Taisyklė nustatyta, funkcija nurodyta.

Be to, galite žodžiu nurodyti funkciją, kurią labai sunku ar net neįmanoma apibrėžti naudojant formulę.

Pavyzdžiui: kiekviena natūralaus argumento x reikšmė yra susieta su skaitmenų, sudarančių x reikšmę, suma. Pavyzdžiui, jei x=3, tai y=3. Jei x=257, tai y=2+5+7=14. Ir taip toliau. Tai sunku užrašyti į formulę. Tačiau ženklą lengva padaryti.

Žodinio aprašymo metodas yra gana retai naudojamas metodas. Bet kartais taip.

Jei yra x ir y atitikimo vienas su vienu dėsnis, tada yra funkcija. Koks dėsnis, kokia forma išreiškiamas – formulė, lentelė, grafikas, žodžiai – nekeičia reikalo esmės.

Panagrinėkime funkcijas, kurių apibrėžimo sritys yra simetriškos kilmės atžvilgiu, t.y. bet kam X iš apibrėžimo numerio srities (- X) taip pat priklauso apibrėžimo sričiai. Tarp šių funkcijų yra lyginis ir nelyginis.

Apibrėžimas. Funkcija f vadinama net, jei kam X iš savo apibrėžimo srities

Pavyzdys. Apsvarstykite funkciją

Tai lygu. Pažiūrėkime.

Bet kam X lygybės tenkinamos

Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra lygi. Žemiau yra šios funkcijos grafikas.

Apibrėžimas. Funkcija f vadinama nelyginis, jei kam X iš savo apibrėžimo srities

Pavyzdys. Apsvarstykite funkciją

Tai yra keista. Pažiūrėkime.

Apibrėžimo sritis yra visa skaitinė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško atžvilgiu (0;0).

Bet kam X lygybės tenkinamos

Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra šios funkcijos grafikas.

Pirmame ir trečiame paveikslėliuose pateikti grafikai yra simetriški ordinačių ašiai, o antrajame ir ketvirtame paveikslėliuose pateikti grafikai yra simetriški pradžios atžvilgiu.

Kurios iš funkcijų, kurių grafikai pavaizduoti paveiksluose, yra lyginės, o kurios – nelyginės?