Funkcija vadinama lygine (nelygine), jei bet kuriai ir lygybei 
.
Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu 
.
Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.
6.2 pavyzdys. Patikrinkite, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė
1)
;
2)
;
3)
.
Sprendimas.
1) Funkcija apibrėžiama kada 
. Mes surasime 
.
Tie. 
. Reiškia, šią funkciją yra lygus.
2) Funkcija apibrėžiama kada 
Tie. 
. Taigi ši funkcija yra keista.
3) funkcija apibrėžta , t.y. Už
,
. Todėl funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Pavadinkime tai bendrosios formos funkcija.
3. Monotoniškumo funkcijos tyrimas.
Funkcija 
vadinamas didėjimu (mažėjimu) tam tikru intervalu, jei šiame intervale kiekvienas didesnę vertę argumentas atitinka didesnę (mažesnę) funkcijos reikšmę.
Funkcijos, didėjančios (mažėjančios) per tam tikrą intervalą, vadinamos monotoninėmis.
Jei funkcija 
skiriasi intervalu 
ir turi teigiamą (neigiamą) išvestinę 
, tada funkcija 
per šį intervalą didėja (sumažėja).
6.3 pavyzdys. Raskite funkcijų monotoniškumo intervalus
1)
;
3)
.
Sprendimas.
1) Ši funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Raskime išvestinę.
Išvestinė lygi nuliui, jei 
Ir 
. Taikymo sritis – skaičių ašis, padalintas taškais 
,
tarpais. Kiekviename intervale nustatykime išvestinės ženklą.
Intervale 
išvestinė yra neigiama, funkcija mažėja šiame intervale.
Intervale 
išvestinė yra teigiama, todėl funkcija didėja per šį intervalą.
2) Ši funkcija apibrėžiama, jei 
arba
.
Kiekviename intervale nustatome kvadratinio trinalio ženklą.
Taigi funkcijos apibrėžimo sritis
Raskime išvestinę 
,
, Jei 
, t.y. 
, Bet 
. Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose 
.
Intervale 
išvestinė yra neigiama, todėl funkcija intervale mažėja 
. Intervale 
išvestinė yra teigiama, funkcija didėja per intervalą 
.
4. Ekstremo funkcijos tyrimas.
Taškas 
vadinamas maksimaliu (minimaliu) funkcijos tašku 
, jei yra tokia taško kaimynystė 
tai visiems 
iš šios kaimynystės galioja nelygybė 
.
Maksimalus ir minimalus funkcijos taškai yra vadinami ekstremumais.
Jei funkcija 
taške 
turi ekstremumą, tai funkcijos išvestinė šiame taške lygi nuliui arba neegzistuoja (būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga).
Taškai, kuriuose išvestinė yra nulis arba neegzistuoja, vadinami kritiniais.
5. Pakankamos sąlygos ekstremumui egzistuoti.
1 taisyklė. Jei perėjimo metu (iš kairės į dešinę) per kritinį tašką 
išvestinė 
pakeičia ženklą iš „+“ į „–“, tada taške 
funkcija 
turi maksimumą; jei nuo „–“ iki „+“, tada minimumas; Jeigu 
nekeičia ženklo, tada nėra ekstremumo.
2 taisyklė. Tegul taške 
pirmoji funkcijos išvestinė 
lygus nuliui 
, o antroji išvestinė egzistuoja ir skiriasi nuo nulio. Jeigu 
, Tai 
– maksimalus taškas, jei 
, Tai 
– funkcijos mažiausias taškas.
Pavyzdys 6.4 . Ištirkite maksimalias ir minimalias funkcijas:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Sprendimas.
1) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale 
.
Raskime išvestinę 
ir išspręskite lygtį 
, t.y. 
.Iš čia 
– kritiniai taškai.
Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose , 
.
Pravažiuojant taškus 
Ir 
išvestinė keičia ženklą iš „–“ į „+“, todėl pagal 1 taisyklę 
– minimalūs balai.
Kai eina per tašką 
išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „–“, taigi 
– maksimalus taškas.
,
.
2) Funkcija yra apibrėžta ir tęstinė intervale 
. Raskime išvestinę 
.
Išsprendę lygtį 
, rasime 
Ir 
– kritiniai taškai. Jei vardiklis 
, t.y. 
, tada išvestinė neegzistuoja. Taigi, 
– trečias kritinis taškas. Išvestinės ženklą nustatykime intervalais.
Todėl funkcija taške turi minimumą 
, daugiausia taškais 
Ir 
.
3) Funkcija yra apibrėžta ir tolydi, jei 
, t.y. adresu 
.
Raskime išvestinę 
.
Raskime kritinius taškus: 
Taškų apylinkės 
nepriklauso apibrėžimo sričiai, todėl nėra kraštutinumai. Taigi, panagrinėkime kritinius taškus 
Ir 
.
4) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale 
. Naudokime taisyklę 2. Raskite išvestinę 
.
Raskime kritinius taškus:
Raskime antrąją išvestinę 
ir nustatykite jo ženklą taškuose 
Taškuose 
funkcija turi minimumą.
Taškuose 
funkcija turi maksimumą.
Kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kuriame kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę, vadinama funkcija. Pažymėjimui naudokite žymėjimą y=f(x). Kiekviena funkcija turi keletą pagrindinių savybių, tokių kaip monotoniškumas, paritetas, periodiškumas ir kt.
Apsvarstykite daugiau informacijos apie nuosavybę paritetas.
Funkcija y=f(x) iškviečiama, net jei ji tenkina šias dvi sąlygas:
2. Funkcijos reikšmė taške x, priklausanti funkcijos apibrėžimo sričiai, turi būti lygi funkcijos reikšmei taške -x. Tai reiškia, kad bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti įvykdyta ši lygybė: f(x) = f(-x).
Lyginės funkcijos grafikas
Jei sukursite grafiką lygi funkcija jis bus simetriškas Oy ašiai.
Pavyzdžiui, funkcija y=x^2 yra lyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.
Paimkime savavališką x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Todėl f(x) = f(-x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra lygi. Žemiau pateikiamas funkcijos y=x^2 grafikas.
Paveikslėlyje parodyta, kad grafikas yra simetriškas Oy ašiai.
Nelyginės funkcijos grafikas
Funkcija y=f(x) vadinama nelygine, jei ji tenkina šias dvi sąlygas:
1. Duotosios funkcijos apibrėžimo sritis turi būti simetriška taško O atžvilgiu. Tai yra, jei kuris nors taškas a priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai, tai atitinkamas taškas -a taip pat turi priklausyti apibrėžimo sričiai. nurodytos funkcijos.
2. Bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti įvykdyta ši lygybė: f(x) = -f(x).
Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas taško O – koordinačių pradžios – atžvilgiu. Pavyzdžiui, funkcija y=x^3 yra nelyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.
Paimkime savavališką x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Todėl f(x) = -f(x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra funkcijos y=x^3 grafikas.
Paveikslas tai aiškiai parodo nelyginė funkcija y=x^3 yra simetriškas kilmei.
Grafikų konvertavimas.
Žodinis funkcijos aprašymas.
Grafinis metodas.
Grafinis funkcijos nurodymo metodas yra vizualiausias ir dažnai naudojamas technikoje. IN matematinė analizė Kaip iliustracija naudojamas grafinis funkcijų nurodymo metodas.
Funkcijų grafikas f yra visų taškų aibė (x;y) koordinačių plokštuma, kur y=f(x) ir x „eina per“ visą šios funkcijos apibrėžimo sritį.
Koordinačių plokštumos poaibis yra funkcijos grafikas, jei ji turi ne daugiau kaip vieną bendras taškas nuo bet kurios tiesės, lygiagrečios Oy ašiai.
Pavyzdys. Ar žemiau pateikti skaičiai yra funkcijų grafikai?
Privalumas grafinė užduotis yra jo matomumas. Galite iš karto matyti, kaip funkcija veikia, kur ji didėja, o kur mažėja. Iš grafiko kai kuriuos iš karto galite atpažinti svarbias savybes funkcijas.
Apskritai analitinės ir grafiniai būdai funkcijų priskyrimas eina koja kojon. Darbas su formule padeda sudaryti grafiką. O diagramoje dažnai siūlomi sprendimai, kurių net nepastebėtumėte formulėje.
Beveik bet kuris studentas žino tris būdus, kaip apibrėžti funkciją, kurią ką tik pažvelgėme.
Pabandykime atsakyti į klausimą: "Ar yra kitų būdų nurodyti funkciją?"
Yra toks būdas.
Funkcija gali būti gana vienareikšmiškai nurodyta žodžiais.
Pavyzdžiui, funkcija y=2x gali būti nurodyta tokiu žodiniu aprašymu: kiekviena tikroji argumento x reikšmė yra susieta su dviguba jo reikšme. Taisyklė nustatyta, funkcija nurodyta.
Be to, galite žodžiu nurodyti funkciją, kurią labai sunku ar net neįmanoma apibrėžti naudojant formulę.
Pavyzdžiui: kiekviena natūralaus argumento x reikšmė yra susieta su skaitmenų, sudarančių x reikšmę, suma. Pavyzdžiui, jei x=3, tai y=3. Jei x=257, tai y=2+5+7=14. Ir taip toliau. Tai sunku užrašyti į formulę. Tačiau ženklą lengva padaryti.
Būdas žodinis aprašymas- gana retai naudojamas metodas. Bet kartais taip.
Jei yra x ir y atitikimo vienas su vienu dėsnis, tada yra funkcija. Koks dėsnis, kokia forma išreiškiamas – formulė, lentelė, grafikas, žodžiai – nekeičia reikalo esmės.
Panagrinėkime funkcijas, kurių apibrėžimo sritys yra simetriškos kilmės atžvilgiu, t.y. bet kam X iš apibrėžimo numerio srities (- X) taip pat priklauso apibrėžimo sričiai. Tarp šių funkcijų yra lyginis ir nelyginis.
Apibrėžimas. Funkcija f vadinama net, jei kam X iš savo apibrėžimo srities
Pavyzdys. Apsvarstykite funkciją 
Tai lygu. Pažiūrėkime.
Bet kam X lygybės tenkinamos
Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra lygi. Žemiau yra šios funkcijos grafikas.
Apibrėžimas. Funkcija f vadinama nelyginis, jei kam X iš savo apibrėžimo srities 
Pavyzdys. Apsvarstykite funkciją 
Tai yra keista. Pažiūrėkime.
Apibrėžimo sritis yra visa skaičiaus ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško atžvilgiu (0;0).
Bet kam X lygybės tenkinamos
Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra šios funkcijos grafikas.
Pirmame ir trečiame paveikslėliuose pavaizduoti grafikai yra simetriški ordinačių ašiai, o antrame ir ketvirtame paveikslėliuose – simetriški pradžios atžvilgiu.
Kurios iš funkcijų, kurių grafikai pavaizduoti paveiksluose, yra lyginės, o kurios – nelyginės?
