Lyginių ir nelyginių funkcijų lentelė. Lyginių ir nelyginių funkcijų grafikas

Funkcija vadinama lygine (nelygine), jei bet kuriai ir lygybei

.

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu
.

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.

6.2 pavyzdys. Patikrinkite, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė

1)
; 2)
; 3)
.

Sprendimas.

1) Funkcija apibrėžiama kada
. Mes rasime
.

Tie.
. Reiškia, šią funkciją yra lygus.

2) Funkcija apibrėžiama kada

Tie.
. Taigi ši funkcija yra keista.

3) funkcija apibrėžta , t.y. Dėl

,
. Todėl funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Pavadinkime tai bendrosios formos funkcija.

3. Monotoniškumo funkcijos tyrimas.

Funkcija
vadinamas didėjimu (mažėjimu) tam tikru intervalu, jei šiame intervale kiekvienas didesnę vertę argumentas atitinka didesnę (mažesnę) funkcijos reikšmę.

Funkcijos, didėjančios (mažėjančios) per tam tikrą intervalą, vadinamos monotoninėmis.

Jei funkcija
skiriasi intervalu
ir turi teigiamą (neigiamą) išvestinę
, tada funkcija
per šį intervalą didėja (sumažėja).

6.3 pavyzdys. Raskite funkcijų monotoniškumo intervalus

1)
; 3)
.

Sprendimas.

1) Ši funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Raskime išvestinę.

Išvestinė lygi nuliui, jei
Ir
. Domenas - skaičių ašis, padalintas taškais
,
tarpais. Kiekviename intervale nustatykime išvestinės ženklą.

Intervale
išvestinė yra neigiama, funkcija mažėja šiame intervale.

Intervale
išvestinė yra teigiama, todėl funkcija didėja per šį intervalą.

2) Ši funkcija apibrėžiama, jei
arba

.

Kiekviename intervale nustatome kvadratinio trinalio ženklą.

Taigi funkcijos apibrėžimo sritis

Raskime išvestinę
,
, Jei
, t.y.
, Bet
. Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose
.

Intervale
išvestinė yra neigiama, todėl funkcija intervale mažėja
. Intervale
išvestinė yra teigiama, funkcija didėja per intervalą
.

4. Ekstremo funkcijos tyrimas.

Taškas
vadinamas maksimaliu (minimaliu) funkcijos tašku
, jei yra tokia taško kaimynystė tai visiems
iš šios kaimynystės galioja nelygybė

.

Maksimalus ir minimalus funkcijos taškai yra vadinami ekstremumais.

Jei funkcija
taške turi ekstremumą, tai funkcijos išvestinė šiame taške lygi nuliui arba neegzistuoja (būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga).

Taškai, kuriuose išvestinė yra nulis arba neegzistuoja, vadinami kritiniais.

5. Pakankamos sąlygos ekstremumui egzistuoti.

1 taisyklė. Jei perėjimo metu (iš kairės į dešinę) per kritinį tašką išvestinė
pakeičia ženklą iš „+“ į „–“, tada taške funkcija
turi maksimumą; jei nuo „–“ iki „+“, tada minimumas; Jeigu
nekeičia ženklo, tada nėra ekstremumo.

2 taisyklė. Tegul taške
pirmoji funkcijos išvestinė
lygus nuliui
, o antroji išvestinė egzistuoja ir skiriasi nuo nulio. Jeigu
, Tai – maksimalus taškas, jei
, Tai – funkcijos mažiausias taškas.

Pavyzdys 6.4 . Ištirkite maksimalias ir minimalias funkcijas:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Sprendimas.

1) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiama intervale
.

Raskime išvestinę
ir išspręskite lygtį
, t.y.
.Iš čia
– kritiniai taškai.

Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose ,
.

Pravažiuojant taškus
Ir
išvestinė keičia ženklą iš „–“ į „+“, todėl pagal 1 taisyklę
– minimalūs balai.

Kai eina per tašką
išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „–“, taigi
– maksimalus taškas.

,
.

2) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale
. Raskime išvestinę
.

Išsprendę lygtį
, rasime
Ir
– kritiniai taškai. Jei vardiklis
, t.y.
, tada išvestinė neegzistuoja. Taigi,
– trečias kritinis taškas. Išvestinės ženklą nustatykime intervalais.

Todėl funkcija taške turi minimumą
, daugiausia taškais
Ir
.

3) Funkcija yra apibrėžta ir tolydi, jei
, t.y. adresu
.

Raskime išvestinę

.

Raskime kritinius taškus:

Taškų apylinkės
nepriklauso apibrėžimo sričiai, todėl nėra kraštutinumai. Taigi, panagrinėkime kritinius taškus
Ir
.

4) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale
. Naudokime taisyklę 2. Raskite išvestinę
.

Raskime kritinius taškus:

Raskime antrąją išvestinę
ir nustatykite jo ženklą taškuose

Taškuose
funkcija turi minimumą.

Taškuose
funkcija turi maksimumą.

Net ir Ne lygi funkcija turi šias funkcijas:

Jei funkcija yra lygi, tada jos grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu. Jei funkcija nelyginė, tada jos grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu.

Sprendimas. Apsvarstykite funkciją: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) ir pakeiskite priešingą \(-x \) vietoj \(x \). Dėl paprastų transformacijų gauname: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Kituose žodžiais, jei argumentą pakeisite priešingu ženklu, funkcija nepasikeis.

Tai reiškia, kad ši funkcija yra lygi, o jos grafikas bus simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu ( vertikali ašis). Šios funkcijos grafikas parodytas paveikslėlyje kairėje. Tai reiškia, kad sudarydami grafiką galite nubrėžti tik pusę, o antrąją dalį (į kairę nuo vertikalios ašies, piešti simetriškai į dešinę). Prieš pradėdami braižyti jos grafiką, nustatydami funkcijos simetriją, galite labai supaprastinti funkcijos konstravimo ar tyrimo procesą. Jei sunku atlikti patikrinimą bendra forma, galite tai padaryti paprasčiau: pakeiskite lygtį tos pačios vertybės skirtingi ženklai. Pavyzdžiui -5 ir 5. Jei funkcijos reikšmės bus vienodos, galime tikėtis, kad funkcija bus lygi. SU matematinis taškas Praktiniu požiūriu šis požiūris nėra visiškai teisingas, tačiau praktiniu požiūriu jis yra patogus. Norėdami padidinti rezultato patikimumą, galite pakeisti kelias tokių priešingų verčių poras.

Sprendimas. Patikrinkime taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ Tai reiškia, kad pradinė funkcija yra nelyginė (funkcijos ženklas pasikeitė į priešingą).

Išvada: funkcija yra simetriška kilmei. Galite pastatyti tik vieną pusę, o antrąją piešti simetriškai. Tokią simetriją nubrėžti sunkiau. Tai reiškia, kad žiūrite į diagramą iš kitos lapo pusės ir netgi apverstos. Arba galite tai padaryti: paimkite nupieštą dalį ir pasukite aplink pradžią 180 laipsnių prieš laikrodžio rodyklę.

Sprendimas. Atlikime tą patį ženklo pasikeitimo patikrinimą, kaip ir ankstesniuose dviejuose pavyzdžiuose. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Dėl to gauname kad: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Ir tai reiškia, kad funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Išvada: funkcija nėra simetriška nei koordinačių sistemos pradžios, nei centro atžvilgiu. Taip atsitiko, nes tai yra dviejų funkcijų suma: lyginė ir nelyginė. Ta pati situacija atsitiks, jei atimsite dvi skirtingas funkcijas. Tačiau padauginimas ar padalijimas duos kitokį rezultatą. Pavyzdžiui, lyginės ir nelyginės funkcijos sandauga sukuria nelyginę funkciją. Arba dviejų nelyginių skaičių koeficientas lemia lyginę funkciją.

Slėpti Rodyti

Funkcijos nustatymo metodai

Tegu funkcija pateikiama formule: y=2x^(2)-3. Priskirdami bet kokias reikšmes nepriklausomam kintamajam x, naudodamiesi šia formule galite apskaičiuoti atitinkamas priklausomo kintamojo y reikšmes. Pavyzdžiui, jei x=-0,5, tada, naudojant formulę, nustatome, kad atitinkama y reikšmė yra y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Imdami bet kurią reikšmę, kurią paima argumentas x formulėje y=2x^(2)-3, galite apskaičiuoti tik vieną ją atitinkančią funkcijos reikšmę. Funkciją galima pavaizduoti kaip lentelę:

Naudodami šią lentelę matote, kad argumento reikšmei −1 atitiks funkcijos reikšmė −3; o reikšmė x=2 atitiks y=0 ir t.t. Taip pat svarbu žinoti, kad kiekviena argumento reikšmė lentelėje atitinka tik vieną funkcijos reikšmę.

Daugiau funkcijų galima nurodyti naudojant grafikus. Naudojant grafiką, nustatoma, kuri funkcijos reikšmė koreliuoja su tam tikra reikšme x. Dažniausiai tai bus apytikslė funkcijos reikšmė.

Lyginė ir nelyginė funkcija

Funkcija yra lygi funkcija, kai f(-x)=f(x) bet kuriam x iš apibrėžimo srities. Tokia funkcija bus simetriška Oy ašiai.

Funkcija yra nelyginė funkcija, kai f(-x)=-f(x) bet kuriam x iš apibrėžimo srities. Tokia funkcija bus simetriška kilmei O (0;0) .

Funkcija yra net ne, nei keista ir yra vadinamas funkcija bendras vaizdas , kai jis neturi simetrijos ašies arba pradžios atžvilgiu.

Panagrinėkime šią pariteto funkciją:

f(x)=3x^(3)–7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) su simetriška apibrėžimo sritis, susijusią su kilme. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Tai reiškia, kad funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) yra nelyginė.

Periodinė funkcija

Funkcija y=f(x) , kurios srityje galioja lygybė f(x+T)=f(x-T)=f(x) bet kuriam x, vadinama periodinė funkcija su periodu T \neq 0 .

Funkcijos grafiko kartojimas bet kuriame x ašies segmente, kurio ilgis T.

Intervalai, kuriuose funkcija yra teigiama, ty f(x) > 0, yra abscisių ašies atkarpos, atitinkančios funkcijos grafiko taškus, esančius virš abscisių ašies.

f(x) > 0 įjungta (x_(1); x_(2)) \puodelis (x_(3); +\infty)

Intervalai, kai funkcija yra neigiama, ty f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \puodelis (x_(2); x_(3))

Ribota funkcija

Apribota iš apačiosĮprasta funkciją y=f(x), x \in X vadinti, kai yra skaičius A, kuriam nelygybė f(x) \geq A galioja bet kuriam x \in X .

Funkcijos, apribotos iš apačios, pavyzdys: y=\sqrt(1+x^(2)), nes y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 bet kuriam x .

Apribota iš viršaus funkcija y=f(x), x \in X iškviečiama, kai yra skaičius B, kurio nelygybė f(x) \neq B galioja bet kuriam x \in X .

Toliau nurodytos funkcijos pavyzdys: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] kadangi y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 bet kuriam x \in [-1;1] .

RibotasĮprasta funkciją y=f(x), x \in X vadinti, kai yra skaičius K > 0, kuriam nelygybė \left | f(x)\dešinė | \neq K bet kuriam x \in X .

Pavyzdys ribota funkcija: y=\sin x yra ribojamas visoje skaičių ašyje, nes \kairė | \sin x \right | \neq 1.

Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas

Įprasta kalbėti apie funkciją, kuri didėja nagrinėjamame intervale kaip didinanti funkcija tada, kai didesnė x reikšmė atitinka didesnę funkcijos y=f(x) reikšmę. Iš to seka, kad paėmus dvi savavališkas argumento x_(1) ir x_(2) reikšmes iš nagrinėjamo intervalo, kai x_(1) > x_(2) , rezultatas bus y(x_(1)) > y(x_(2)).

Funkcija, kuri mažėja nagrinėjamame intervale, vadinama mažėjanti funkcija tada kai didesnė x reikšmė atitinka mažesnė vertė funkcijos y(x) . Iš to seka, kad iš nagrinėjamo intervalo paėmus dvi savavališkas argumento x_(1) ir x_(2) bei x_(1) > x_(2) reikšmes, rezultatas bus y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funkcija ŠaknysĮprasta vadinti taškus, kuriuose funkcija F=y(x) kerta abscisių ašį (jie gaunami sprendžiant lygtį y(x)=0).

a) Jei x > 0 lygi funkcija didėja, tai x mažėja< 0

b) Kai lyginė funkcija mažėja, kai x > 0, tada ji didėja ties x< 0

c) Kai nelyginė funkcija didėja, kai x > 0, tada ji didėja ir ties x< 0

d) Kai nelyginė funkcija sumažėja, kai x > 0, tada ji taip pat mažės ir x< 0

Funkcijos kraštutinumas

Mažiausias funkcijos taškas y=f(x) paprastai vadinamas tašku x=x_(0), kurio kaimynystėje bus kiti taškai (išskyrus tašką x=x_(0)), ir jiems tada bus nelygybė f(x) > f patenkintas (x_(0)) . y_(min) - funkcijos žymėjimas min taške.

Maksimalus funkcijos taškas y=f(x) paprastai vadinamas tašku x=x_(0), kurio kaimynystėje bus kiti taškai (išskyrus tašką x=x_(0)), ir jiems tada bus įvykdyta nelygybė f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Būtina sąlyga

Pagal Ferma teoremą: f"(x)=0, kai taške x_(0) diferencijuojama funkcija f(x) šiame taške turės ekstremumą.

Pakankama būklė

1. Kai išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, tada x_(0) bus minimalus taškas;
2. x_(0) - bus maksimalus taškas tik tada, kai išvestinė pereinant pro šalį pakeičia ženklą iš minuso į pliusą stacionarus taškas x_(0) .

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė intervale

Skaičiavimo žingsniai:

1. Ieškoma išvestinės f"(x);
2. Surandami stacionarūs ir kritiniai funkcijos taškai bei parenkami segmentui priklausantys taškai;
3. Funkcijos f(x) reikšmės randamos stacionariose ir kritinius taškus ir segmento galai. Bus mažesnis iš gautų rezultatų mažiausia vertė funkcijas, ir dar - didžiausia.

Kurie buvo jums vienaip ar kitaip pažįstami. Ten taip pat buvo pažymėta, kad funkcinių savybių atsargos bus palaipsniui pildomos. Šiame skyriuje bus aptariamos dvi naujos savybės.

1 apibrėžimas.

Funkcija y = f(x), x є X iškviečiama net jei bet kuriai x reikšmei iš aibės X galioja lygybė f (-x) = f (x).

2 apibrėžimas.

Funkcija y = f(x), x є X vadinama nelygine, jei bet kuriai x reikšmei iš aibės X galioja lygybė f (-x) = -f (x).

Įrodykite, kad y = x 4 yra lyginė funkcija.

Sprendimas. Turime: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Bet (-x) 4 = x 4. Tai reiškia, kad bet kuriai x galioja lygybė f(-x) = f(x), t.y. funkcija lygi.

Panašiai galima įrodyti, kad funkcijos y - x 2, y = x 6, y - x 8 yra lyginės.

Įrodykite, kad y = x 3 ~ nelyginė funkcija.

Sprendimas. Turime: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Bet (-x) 3 = -x 3. Tai reiškia, kad bet kuriai x galioja lygybė f (-x) = -f (x), t.y. funkcija nelyginė.

Panašiai galima įrodyti, kad funkcijos y = x, y = x 5, y = x 7 yra nelyginės.

Jūs ir aš jau ne kartą įsitikinome, kad naujieji matematikos terminai dažniausiai turi „žemišką“ kilmę, t.y. juos galima kažkaip paaiškinti. Taip yra ir su lyginėmis, ir su nelyginėmis funkcijomis. Žr.: y - x 3, y = x 5, y = x 7 yra nelyginės funkcijos, o y = x 2, y = x 4, y = x 6 yra lyginės funkcijos. Ir apskritai, bet kuriai y = x formos funkcijai (toliau mes konkrečiai išnagrinėsime šias funkcijas), kur n yra natūralusis skaičius, galime daryti išvadą: jei n nėra lyginis skaičius, tada funkcija y = x" yra nelyginė; jei n yra lyginis skaičius, tada funkcija y = xn yra lyginė.

Taip pat yra funkcijų, kurios nėra nei lyginės, nei nelyginės. Pavyzdžiui, tokia yra funkcija y = 2x + 3. Iš tiesų, f(1) = 5 ir f (-1) = 1. Kaip matote, čia nėra nei tapatybės f(-x) = f (x), nei tapatybė f(-x) = -f(x).

Taigi funkcija gali būti lyginė, nelyginė arba nė viena.

Tiriant klausimą, ar suteikta funkcija lyginis arba nelyginis paprastai vadinamas pariteto funkcijos tyrimu.

1 ir 2 apibrėžimuose mes kalbame apie apie funkcijos reikšmes taškuose x ir -x. Tai daroma prielaida, kad funkcija apibrėžta taške x ir taške -x. Tai reiškia, kad taškas -x priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai kartu su tašku x. Jeigu numerių rinkinys X kartu su kiekvienu jo elementu x turi ir priešingą elementą -x, tada X vadinamas simetriška aibe. Tarkime, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) yra simetriškos aibės, o )