Kokia yra pradinė tiesinės lygties forma. Tiesinių lygčių sprendimas viename kintamajame

• Lygybė su kintamuoju vadinama lygtimi.
• Išspręsti lygtį reiškia rasti daugybę jos šaknų. Lygtis gali turėti vieną, dvi, kelias, daug šaknų arba jų visai nebūti.
• Kiekviena kintamojo reikšmė, kuriai esant tam tikra lygtis virsta tikrąja lygybe, vadinama lygties šaknimi.
• Lygtys, kurių šaknys yra vienodos, vadinamos lygiavertėmis lygtimis.
• Bet kuris lygties narys gali būti perkeltas iš vienos lygybės dalies į kitą, keičiant termino ženklą į priešingą.
• Jei abi lygties pusės padauginamos arba padalijamos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, gausite lygtį, lygiavertę duotai lygčiai.

Pavyzdžiai. Išspręskite lygtį.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Surinkome terminus, kuriuose yra kintamasis kairėje lygybės pusėje, o laisvuosius – dešinėje lygybės pusėje. Šiuo atveju buvo panaudota ši savybė:

1,2x = -6. Atnešė panašius terminus pagal taisyklę:

x = -6 : 1.2. Abi lygybės pusės buvo padalintos iš kintamojo koeficiento, nes

x = -5. Padalinta pagal dešimtainės trupmenos padalijimo iš taisyklę dešimtainis:

Norėdami padalyti skaičių iš dešimtainės trupmenos, turite perkelti kablelius į dividendą ir padalyti tiek skaitmenų į dešinę, kiek yra po kablelio daliklyje, tada padalinkite iš natūraliojo skaičiaus:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Atsakymas: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Mes atidarėme skliaustus naudodami daugybos paskirstymo įstatymą atimties atžvilgiu: (a–b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6x-4x = -16+27. Surinkome terminus, kuriuose yra kintamasis kairėje lygybės pusėje, o laisvuosius – dešinėje lygybės pusėje. Šiuo atveju buvo panaudota ši savybė: bet kuris lygties narys gali būti perkeltas iš vienos lygybės dalies į kitą, taip pakeičiant termino ženklą į priešingą.

2x = 11. Panašūs terminai buvo pateikti pagal taisyklę: norint gauti panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir gautą rezultatą padauginti iš jų bendrosios raidės dalies (t. y. prie gauto rezultato pridėti jų bendrosios raidės dalį).

x = 11 : 2. Abi lygybės pusės buvo padalintos iš kintamojo koeficiento, nes Jei abi lygties pusės yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, gausite lygtį, lygiavertę duotai lygčiai.

Atsakymas: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Mes atidarėme skliaustus pagal skliaustų atidarymo taisyklę, prieš kurią yra „-“ ženklas: jei prieš skliaustus yra ženklas „-“, tada nuimkite skliaustus, „-“ ženklą ir parašykite terminus skliausteliuose su priešingais ženklais.

7x-2x-x = -9+3. Surinkome terminus, kuriuose yra kintamasis kairėje lygybės pusėje, o laisvuosius – dešinėje lygybės pusėje. Šiuo atveju buvo panaudota ši savybė: bet kuris lygties narys gali būti perkeltas iš vienos lygybės dalies į kitą, taip pakeičiant termino ženklą į priešingą.

4x = -6. Panašūs terminai buvo pateikti pagal taisyklę: norint gauti panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir gautą rezultatą padauginti iš jų bendrosios raidės dalies (t. y. prie gauto rezultato pridėti jų bendrosios raidės dalį).

x = -6 : 4. Abi lygybės pusės buvo padalintos iš kintamojo koeficiento, nes Jei abi lygties pusės yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, gausite lygtį, lygiavertę duotai lygčiai.

Atsakymas: -1,5.

3 ∙ (x–5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Abi lygties puses padauginkite iš 12 – mažiausią Bendras vardiklisšių trupmenų vardiklius.

3x-15 = 84-8x+44. Mes atidarėme skliaustus naudodami daugybos paskirstymo įstatymą atimties atžvilgiu: Norėdami padauginti dviejų skaičių skirtumą iš trečio skaičiaus, galite atskirai padauginti minuend ir atskirai atimti iš trečiojo skaičiaus, o tada iš pirmojo rezultato atimti antrąjį rezultatą, t.y.(a–b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3x+8x = 84+44+15. Surinkome terminus, kuriuose yra kintamasis kairėje lygybės pusėje, o laisvuosius – dešinėje lygybės pusėje. Šiuo atveju buvo panaudota ši savybė: bet kuris lygties narys gali būti perkeltas iš vienos lygybės dalies į kitą, taip pakeičiant termino ženklą į priešingą.

Spręsdami tiesines lygtis, siekiame rasti šaknį, tai yra kintamojo reikšmę, kuri lygtį pavers teisinga lygybe.

Norėdami rasti reikalingos lygties šaknį ekvivalentinės transformacijos atveda mums pateiktą lygtį į formą

\(x=[skaičius]\)

Šis skaičius bus šaknis.

Tai yra, mes transformuojame lygtį, supaprastindami ją kiekvienu žingsniu, kol sumažiname ją iki visiškai primityvios lygties „x = skaičius“, kur šaknis yra akivaizdi. Dažniausiai naudojamas sprendžiant tiesines lygtis yra šios transformacijos:

Pavyzdžiui: pridėti \(5\) prie abiejų lygties pusių \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Atkreipkite dėmesį, kad tą patį rezultatą galėtume gauti greičiau, tiesiog užrašydami penkis kitoje lygties pusėje ir pakeisdami jo ženklą. Tiesą sakant, būtent taip vyksta mokyklos „perėjimas per lygius su ženklo pakeitimu į priešingą“.

2. Abiejų lygties pusių dauginimas arba dalijimas iš to paties skaičiaus arba išraiškos.

Pavyzdžiui: lygtį \(-2x=8\) padalinkite iš minus dviejų

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Paprastai šį žingsnį atliekama pačioje pabaigoje, kai lygtis jau redukuota iki formos \(ax=b\), ir dalijame iš \(a\), kad pašalintume ją iš kairės.

3. Matematikos savybių ir dėsnių naudojimas: skliaustų atidarymas, panašių terminų atvedimas, trupmenų mažinimas ir kt.

Pridėkite \(2x\) į kairę ir į dešinę

Iš abiejų lygties pusių atimkite \(24\).

Dar kartą pateikiame panašias sąlygas

Dabar lygtį padalijame iš \(-3\), taip pašalindami priekinį X kairėje pusėje.

Atsakymas : \(7\)

Atsakymas rastas. Tačiau patikrinkime. Jei septyni iš tikrųjų yra šaknis, tada vietoj X ją pakeitus pradinėje lygtyje turėtų būti gauta teisinga lygybė - tie patys skaičiai kairė ir dešinė. Pabandykime.

Egzaminas:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Tai pasiteisino. Tai reiškia, kad septyni iš tikrųjų yra pradinės tiesinės lygties šaknis.

Nepatingėkite patikrinti atsakymų, kuriuos radote pakeitimu, ypač jei sprendžiate lygtį testo ar egzamino metu.

Lieka klausimas – kaip nustatyti, ką daryti su lygtimi kitame žingsnyje? Kaip tiksliai jį konvertuoti? Iš ko nors padalinti? Arba atimti? Ir ką tiksliai turėčiau atimti? Iš ko padalinti?

Atsakymas paprastas:

Jūsų tikslas yra pateikti lygtį į formą \(x=[skaičius]\), tai yra, kairėje yra x be koeficientų ir skaičių, o dešinėje yra tik skaičius be kintamųjų. Todėl pažiūrėkite, kas jus stabdo ir daryti priešingai, nei daro trukdantis komponentas.

Kad tai geriau suprastume, žingsnis po žingsnio pažvelkime į tiesinės lygties \(x+3=13-4x\) sprendimą.

Pagalvokime: kuo ši lygtis skiriasi nuo \(x=[skaičius]\)? Kas mus stabdo? Kas negerai?

Na, pirma, trys trukdo, nes kairėje turėtų būti tik vienas X, be skaičių. Ką „veikia“ trejetas? Pridėta prie X. Taigi, norėdami jį pašalinti - atimti tos pačios trys. Bet jei iš kairės atimame tris, turime atimti iš dešinės, kad nebūtų pažeista lygybė.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10–4x\)

gerai. Dabar kas tau trukdo? \(4x\) dešinėje, nes ten turėtų būti tik skaičiai. \(4x\) atskaityta- pašaliname pridedant.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Dabar pateikiame panašius terminus kairėje ir dešinėje.

Jis beveik paruoštas. Belieka pašalinti penkis kairėje pusėje. Ką ji daro"? Dauginasi ant x. Taigi pašalinkime padalinys.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Sprendimas baigtas, lygties šaknis yra dvi. Galite patikrinti pakeitę.

pastebėti, kad dažniausiai tiesinėse lygtyse yra tik viena šaknis. Tačiau gali būti du ypatingi atvejai.

Ypatingas 1 atvejis – tiesinėje lygtyje nėra šaknų.

Pavyzdys . Išspręskite lygtį \(3x-1=2(x+3)+x\)

Sprendimas :

Atsakymas : nėra šaknų.

Tiesą sakant, tai, kad prie tokio rezultato pasieksime, buvo matyti anksčiau, net kai gavome \(3x-1=3x+6\). Pagalvokite: kaip gali būti lygūs \(3x\), iš kurių atėmėme \(1\), ir \(3x\), prie kurių pridėjome \(6\)? Akivaizdu, kad jokiu būdu, nes jie padarė tą patį skirtingus veiksmus! Akivaizdu, kad rezultatai skirsis.

2 ypatingas atvejis – tiesinė lygtis turi begalinį šaknų skaičių.

Sprendimas :

Atsakymas : bet koks skaičius.

Tai, beje, buvo pastebima ir anksčiau, stadijoje: \(8x+12=8x+12\). Iš tiesų, kairė ir dešinė yra tos pačios išraiškos. Kad ir kokį X pakeistumėte, jis bus toks pat skaičius ir ten, ir ten.

Sudėtingesnės tiesinės lygtys.

Pradinė lygtis ne visada iš karto atrodo kaip tiesinė, kartais ji „užmaskuojama“ kaip kita, daugiau sudėtingos lygtys. Tačiau virsmo procese maskuotė išnyksta.

Pavyzdys . Raskite lygties šaknį \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(x=5\)

Pavyzdys . Išspręskite tiesinę lygtį \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(x=-1,25\)

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl

Kas yra "tiesinės lygtys"

arba viduje žodžiu- trims draugams buvo duoti obuoliai, remiantis tuo, kad Vasya turėjo visus obuolius.

O dabar jau apsisprendei tiesinė lygtis
Dabar pateikime šiam terminui matematinį apibrėžimą.

Tiesinė lygtis - Tai algebrinė lygtis, kuris pilnas laipsnis jį sudarančių daugianarių yra lygus. Tai atrodo taip:

Kur ir yra kokie nors skaičiai ir

Mūsų atveju su Vasya ir obuoliais parašysime:

- „Jei Vasja visiems trims draugams duos tiek pat obuolių, jam nebeliks obuolių“

„Paslėptos“ tiesinės lygtys, arba tapatybės transformacijų svarba

Nepaisant to, kad iš pirmo žvilgsnio viskas be galo paprasta, sprendžiant lygtis reikia būti atsargiems, nes tiesinėmis lygtimis vadinamos ne tik tokio tipo lygtys, bet ir visos lygtys, kurias transformuojant ir supaprastinus galima redukuoti iki tokio tipo. Pavyzdžiui:

Mes matome, kas yra dešinėje, o tai teoriškai jau rodo, kad lygtis nėra tiesinė. Be to, jei atidarysime skliaustus, gausime dar du terminus, kuriais tai bus, bet neskubėkite daryti išvadų! Prieš sprendžiant, ar lygtis yra tiesinė, būtina atlikti visas transformacijas ir taip supaprastinti originalus pavyzdys. Tokiu atveju transformacijos gali keistis išvaizda, bet ne pati lygties esmė.

Kitaip tariant, transformacijos duomenys turi būti identiški arba lygiavertis. Tokių transformacijų yra tik dvi, bet jos vaidina labai, LABAI svarbus vaidmuo sprendžiant problemas. Pažvelkime į abi transformacijas naudodami konkrečius pavyzdžius.

Perkėlimas į kairę - į dešinę.

Tarkime, kad turime išspręsti šią lygtį:

Taip pat į pradinė mokykla mums buvo pasakyta: "su X - į kairę, be X - į dešinę". Kokia išraiška su X yra dešinėje? Teisingai, bet ne kaip ne. Ir tai svarbu, nes jei tai būtų neteisingai suprasta, atrodytų paprastas klausimas, pasirodo neteisingas atsakymas. Kokia išraiška su X yra kairėje? Teisingai,.

Dabar, kai tai išsiaiškinome, visus terminus su nežinomais perkeliame į kairė pusė, ir viskas, kas žinoma - į dešinę, atsimenant, kad jei, pavyzdžiui, prieš skaičių nėra ženklo, tada skaičius yra teigiamas, tai yra, priešais yra ženklas „ “.

Perkelta? Ką tu gavai?

Belieka pateikti panašias sąlygas. Pristatome:

Taigi, mes sėkmingai išanalizavome pirmą identišką transformaciją, nors esu tikras, kad jūs tai žinojote ir aktyviai naudojote be manęs. Svarbiausia nepamiršti skaičių ženklų ir pakeisti juos į priešingus, kai perkeliamas per lygybės ženklą!

Daugyba-dalyba.

Iš karto pradėkime nuo pavyzdžio

Pažiūrėkime ir pagalvokime: kas mums nepatinka šiame pavyzdyje? Nežinomybė yra vienoje dalyje, žinoma kitoje, bet kažkas mus stabdo... Ir šis kažkas yra ketvertas, nes jei ne, viskas būtų tobula - x lygus skaičiui- kaip mums reikia!

Kaip tu gali jo atsikratyti? Negalime jo perkelti į dešinę, nes tada reikia perkelti visą daugiklį (negalime jo paimti ir nuplėšti), o perkelti visą daugiklį taip pat nėra prasmės...

Atėjo laikas prisiminti apie padalijimą, todėl padalinkime viską iš! Viskas – tai reiškia ir kairę, ir dešinioji pusė. Taip ir tik taip! Ką mes darome?

Štai atsakymas.

Dabar pažiūrėkime į kitą pavyzdį:

Ar galite atspėti, ką tokiu atveju reikia daryti? Teisingai, kairę ir dešinę puses padauginkite iš! Kokį atsakymą gavai? Teisingai. .

Tikrai viskas apie tapatybės transformacijos jau žinojai. Pagalvokite, kad mes tiesiog atnaujinome šias žinias jūsų atmintyje ir atėjo laikas kažkam daugiau - Pavyzdžiui, išspręsti mūsų didelį pavyzdį:

Kaip minėjome anksčiau, pažvelgus į tai negalima teigti, kad ši lygtis yra tiesinė, tačiau reikia atidaryti skliaustus ir atlikti identiškas transformacijas. Taigi pradėkime!

Pirmiausia primename sutrumpinto daugybos formules, ypač sumos kvadratą ir skirtumo kvadratą. Jei neprisimenate, kas tai yra ir kaip atveriami skliaustai, primygtinai rekomenduoju perskaityti temą, nes šie įgūdžiai jums pravers sprendžiant beveik visus egzamino metu sutiktus pavyzdžius.
Atskleista? Palyginkime:

Dabar atėjo laikas pateikti panašias sąlygas. Ar prisimeni, kaip mes buvome toje pačioje pradinė mokykla ar jie sakė "mes su kotletais nededame"? Čia aš jums tai primenu. Sudedame viską atskirai – turinčius veiksnius, turinčius veiksnius ir likusius veiksnius, kurie neturi nežinomųjų. Kai pateikiate panašius terminus, perkelkite visus nežinomus į kairę, o viską, kas žinoma, į dešinę. Ką tu gavai?

Kaip matote, X aikštėje dingo ir matome kažką visiškai normalaus. tiesinė lygtis. Belieka jį surasti!

Ir pabaigai pasakysiu dar vieną labai svarbus dalykas apie tapatumo transformacijas - tapatumo transformacijos taikytinos ne tik tiesinėms lygtims, bet ir kvadratinėms, trupmeninėms racionaliosioms ir kt. Tik reikia atsiminti, kad koeficientus perkeldami per lygybės ženklą, ženklą keičiame į priešingą, o dalindami ar daugindami iš kokio nors skaičiaus, abi lygties puses dauginame/daliname iš TO PAČIO skaičiaus.

Ką dar pasiėmėte iš šio pavyzdžio? Kad žiūrint į lygtį ne visada galima tiesiogiai ir tiksliai nustatyti, ar ji tiesinė, ar ne. Pirmiausia reikia visiškai supaprastinti išraišką ir tik tada nuspręsti, kas tai yra.

Tiesinės lygtys. Pavyzdžiai.

Štai dar keli pavyzdžiai, kuriuos galite praktikuoti patys – nustatykite, ar lygtis yra tiesinė, ir jei taip, suraskite jos šaknis:

Atsakymai:

1. Is.

2. Nėra.

Atidarykime skliaustus ir pateiksime panašius terminus:

Atlikime identišką transformaciją – padalykite kairę ir dešinę puses į:

Matome, kad lygtis nėra tiesinė, todėl jos šaknų ieškoti nereikia.

3. Is.

Atlikime identišką transformaciją – padauginkite kairę ir dešinę puses iš, kad atsikratytumėte vardiklio.

Pagalvokite, kodėl tai taip svarbu? Jei žinote atsakymą į šį klausimą, pereikite prie tolimesnio lygties sprendimo, jei ne, būtinai peržiūrėkite temą, kad nepadarytumėte daugiau klaidų sudėtingų pavyzdžių. Beje, kaip matote, situacija neįmanoma. Kodėl?
Taigi, eikime į priekį ir pertvarkykime lygtį:

Jei viską pavyko be vargo, pakalbėkime apie tiesines lygtis su dviem kintamaisiais.

Tiesinės lygtys dviejuose kintamuosiuose

Dabar pereikime prie šiek tiek sudėtingesnių – tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais.

Tiesinės lygtys su dviem kintamaisiais turi tokią formą:

Kur, ir - bet kokie skaičiai ir.

Kaip matote, vienintelis skirtumas yra tas, kad prie lygties pridedamas kitas kintamasis. Taigi viskas yra taip pat – nėra x kvadrato, dalybos iš kintamojo ir pan. ir taip toliau.

Kurį tau atnešti? gyvenimo pavyzdys... Imkime tą pačią Vasiją. Tarkime, jis nusprendė, kad kiekvienam iš 3 draugų padovanos tiek pat obuolių, o obuolius pasiliks sau. Kiek obuolių Vasjai reikia nusipirkti, jei kiekvienam draugui duoda po obuolį? Kaip apie? O jei iki?

Priklausomybė nuo obuolių skaičiaus, kurį gaus kiekvienas asmuo iš viso obuoliai, kuriuos reikia įsigyti, bus išreikšti lygtimi:

• - obuolių skaičius, kurį asmuo gaus (, arba, arba);
• - obuolių, kuriuos Vasya pasiims sau, skaičius;
• - kiek obuolių Vasjai reikia nusipirkti, atsižvelgiant į obuolių skaičių vienam asmeniui?

Išspręsdami šią problemą, gauname, kad jei Vasya duoda vienam draugui obuolį, jam reikia nusipirkti gabalus, jei duoda obuolių ir pan.

Ir apskritai. Turime du kintamuosius. Kodėl nepavaizdavus šių santykių grafike? Mes statome ir pažymime savo vertę, tai yra taškus, koordinatėmis ir!

Kaip matote, jie priklauso vienas nuo kito linijinis, taigi ir lygčių pavadinimas - " linijinis».

Abstrahuosime nuo obuolių ir pažiūrėkime grafiškai įvairios lygtys. Atidžiai pažiūrėkite į du sudarytus grafikus – tiesę ir parabolę, nurodytas savavališkomis funkcijomis:

Abiejose nuotraukose raskite ir pažymėkite atitinkamus taškus.
Ką tu gavai?

Tai matote pirmosios funkcijos grafike vienas atitinka vienas, tai yra, jie taip pat tiesiškai priklauso vienas nuo kito, ko negalima pasakyti apie antrąją funkciją. Žinoma, galite ginčytis, kad antrajame grafike x taip pat atitinka, bet tai tik vienas taškas, tai yra ypatinga byla, nes vis tiek galite rasti tokį, kuris atitiktų ne tik vieną. O sukonstruotas grafikas niekaip neprimena tiesės, o yra parabolė.

Pakartosiu dar karta: tiesinės lygties grafikas turi būti TIESIAI.

Atsižvelgiant į tai, kad lygtis nebus tiesinė, jei eisime bet kokiu laipsniu - tai suprantama naudojant parabolės pavyzdį, nors galite sukurti dar keletą sau. paprasti grafikai, pavyzdžiui, arba. Bet aš jus užtikrinu – nė vienas iš jų nebus TIESIAUSIA.

Netikiu? Sukurkite jį ir palyginkite su tuo, ką gavau:

Kas atsitiks, jei ką nors padalinsime, pavyzdžiui, iš kažkokio skaičiaus? Ar bus tiesinė priklausomybė Ir? Nesiginčykime, o statykime! Pavyzdžiui, sukurkime funkcijos grafiką.

Kažkaip neatrodo, kad ji sukonstruota kaip tiesi linija... atitinkamai lygtis nėra tiesinė.
Apibendrinkime:

1. Tiesinė lygtis - yra algebrinė lygtis, kurioje visas ją sudarančių daugianario laipsnis yra lygus.
2. Tiesinė lygtis su vienu kintamuoju turi tokią formą:
   , kur ir yra bet kokie skaičiai;
   Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais:
   , kur ir yra bet kokie skaičiai.
3. Ne visada įmanoma iš karto nustatyti, ar lygtis yra tiesinė, ar ne. Kartais, norint tai suprasti, reikia atlikti identiškas transformacijas, perkelti panašius terminus į kairę/dešinę, nepamirštant pakeisti ženklą arba padauginti/padalyti abi lygties puses iš to paties skaičiaus.

TIŠINĖS LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

1. Tiesinė lygtis

Tai algebrinė lygtis, kurioje visas ją sudarančių daugianario laipsnis yra lygus.

2. Tiesinė lygtis su vienu kintamuoju turi formą:

Kur ir yra kokie nors skaičiai;

3. Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais turi formą:

Kur, ir – bet kokie skaičiai.

4. Tapatybės transformacijos

Norint nustatyti, ar lygtis yra tiesinė, ar ne, būtina atlikti identiškas transformacijas:

• panašius terminus perkelkite į kairę/dešinę, nepamirštant pakeisti ženklo;
• padauginkite/padalinkite abi lygties puses iš to paties skaičiaus.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, stojant į koledžą su biudžetu ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos yra daug daugiau atvirumo daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Matematikos lygtys yra tokios pat svarbios kaip ir veiksmažodžiai rusų kalba. Neturint galimybės rasti lygties šaknį, sunku pasakyti, kad studentas yra įsisavinęs algebros kursą. Be to, kiekviena rūšis turi savo specialius sprendimus.

Kas tai yra?

Lygtis yra dvi savavališkos išraiškos, turinčios kintamųjų, tarp kurių dedamas lygybės ženklas. Be to, nežinomų kiekių skaičius gali būti savavališkas. Minimali suma- vienas.

Jį išspręsti reiškia išsiaiškinti, ar yra lygties šaknis. Tai yra skaičius, kuris paverčia jį tikra lygybe. Jei jų nėra, atsakymas yra teiginys, kad „nėra šaknų“. Tačiau gali būti ir priešingai, kai atsakymas yra skaičių rinkinys.

Kokių tipų lygtys yra?

Linijinis. Jame yra kintamasis, kurio laipsnis lygus vienetui.

• Kvadratas. Kintamasis turi 2 laipsnį arba transformacijos lemia tokios galios atsiradimą.
• Aukščiausio laipsnio lygtis.
• Trupmeninis-racionalus. Kai trupmenos vardiklyje atsiranda kintamasis.
• Su moduliu.
• Neracionalus. Tai yra tas, kuriame yra algebrinė šaknis.

Kaip išspręsti tiesinę lygtį?

Tai elementaru. Tai yra išvaizda, kurios siekia visi kiti. Kadangi gana lengva rasti lygties šaknį.

• Pirmiausia turite atlikti galimas transformacijas, tai yra atidaryti skliaustus ir pateikti panašius terminus.
• Perkelti visus monomelius iš kintamasisį kairę lygybės pusę, dešinėje paliekant laisvus terminus.
• Kiekvienoje sprendžiamos lygties dalyje nurodykite panašius terminus.
• Gautoje lygybėje kairėje pusėje bus koeficiento ir kintamojo sandauga, o dešinėje – skaičius.
• Belieka rasti lygties šaknį, dešinėje esantį skaičių padalijus iš koeficiento prieš nežinomąjį.

Kaip rasti kvadratinės lygties šaknis?

Pirmiausia jis turi būti pristatytas standartinis vaizdas, tai yra, atidarykite visus skliaustus, įtraukite panašius terminus ir perkelkite visus vienatūrius į kairę pusę. Dešinėje lygybės pusėje turėtų likti tik nulis.

• Naudokite diskriminuojančios formulę. Nežinomo koeficiento kvadratas su galia „1“. Padauginkite laisvąjį vienanarį ir skaičių prieš kintamąjį, pakeltą kvadratu iš skaičiaus 4. Iš gauto kvadrato atimkite sandaugą.
• Įvertinkite diskriminanto vertę. Tai neigiama – sprendimas baigtas, nes neturi šaknų. Lygus nuliui- atsakymas bus vienas skaičius. Teigiamas – kintamasis turi dvi reikšmes.

Kaip išspręsti kubinę lygtį?

Pirmiausia raskite lygties x šaknį. Jis nustatomas parenkant skaičius, kurie yra laisvojo termino dalikliai. Patogu apsvarstyti šį metodą konkretus pavyzdys. Tegul lygtis yra tokia: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

Jo laisvas narys yra lygus 12. Tada dalikliai, kuriuos reikia patikrinti, bus teigiami ir neigiami skaičiai: 1, 2, 3, 4, 6 ir 12. Paieška gali būti baigta jau esant skaičiui 2. Tai suteikia teisingą lygtį lygtyje. Tai yra, jo kairė pusė pasirodo lygus nuliui. Taigi skaičius 2 yra pirmoji kubinės lygties šaknis.

Dabar reikia padalyti pradinę lygtį iš kintamojo ir pirmosios šaknies skirtumo. Konkrečiame pavyzdyje tai yra (x - 2). Paprasta transformacija veda skaitiklį į tokią faktorinaciją: (x - 2) (x + 2) (x - 3). Tie patys skaitiklio ir vardiklio veiksniai atšaukia, o likę du skliausteliai atidarius suteikia paprastą kvadratinė lygtis: x 2 - x - 6 = 0.

Čia raskite dvi lygties šaknis, vadovaudamiesi ankstesniame skyriuje aprašytu principu. Pasirodo, jie yra skaičiai: 3 ir -2.

Iš viso, konkrečiam kubinė lygtis gavome tris šaknis: 2, -2 ir 3.

Kaip sprendžiamos tiesinių lygčių sistemos?

Čia siūlomas nežinomųjų pašalinimo būdas. Jis susideda iš vieno nežinomojo išreiškimo kitoje lygtyje ir šios išraiškos pakeitimo kita. Be to, dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendimas visada yra kintamųjų pora.

Jei juose esantys kintamieji žymimi raidėmis x 1 ir x 2, tai iš pirmosios lygybės galima išvesti, pavyzdžiui, x 2. Tada jis pakeičiamas antruoju. Atliekamas būtinas transformavimas: atidaromi skliausteliai ir liejimas panašių narių. Rezultatas yra paprasta tiesinė lygtis, kurios šaknį lengva apskaičiuoti.

Dabar grįžkite į pirmąją lygtį ir raskite lygties x 2 šaknį naudodami gautą lygtį. Šie du skaičiai yra atsakymas.

Norint įsitikinti gautu atsakymu, rekomenduojama visada pasitikrinti. Nebūtina to užsirašyti.

Jei sprendžiama viena lygtis, tada kiekviena jos šaknis turi būti pakeista pradine lygybe ir gauti tuos pačius skaičius iš abiejų pusių. Viskas susidėjo – sprendimas buvo teisingas.

Dirbant su sistema, į kiekvieną tirpalą reikia įkišti šaknis ir viskas galimus veiksmus. Ar lygtis teisinga? Taigi sprendimas yra teisingas.

Pirmiausia turite suprasti, kas tai yra.

Yra paprastas apibrėžimas tiesinė lygtis, kuris yra pateiktas įprasta mokykla: „lygtis, kurioje kintamasis rodomas tik pirmajai laipsniai“. Bet tai nėra visiškai teisinga: lygtis nėra tiesinė, ji net iki to nesumažėja, ji redukuojasi į kvadratinę.

Daugiau tikslus apibrėžimas ar tai: tiesinė lygtis yra lygtis, kurią naudojant lygiavertės transformacijos gali būti sumažintas iki formos , kur title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Tiesą sakant, norint suprasti, ar lygtis yra tiesinė, ar ne, pirmiausia ją reikia supaprastinti, ty pateikti tokią formą, kad jos klasifikacija būtų vienareikšmė. Atminkite, kad su lygtimi galite daryti ką norite, jei tik ji nekeičia savo šaknų – štai kas. lygiavertis konvertavimas. Paprasčiausi lygiaverčiai transformacijos apima:

1. atidarymo skliausteliuose
2. atneša panašius
3. padauginus ir (arba) padalijant abi lygties puses iš nulinio kito skaičiaus
4. pridedant ir (arba) atimant iš abiejų to paties skaičiaus ar išraiškos pusių*

1 pavyzdys:
(atverkime skliaustus)
(pridėkite prie abiejų dalių ir atimkite/perkelkite keičiant skaičiaus ženklą į kairę, o kintamuosius į dešinę)
(duokime panašius)
(padalinkite abi lygties puses iš 3)

Taigi gauname lygtį, kurios šaknys yra tokios pačios kaip ir pradinė. Priminsime tai skaitytojui "išspręskite lygtį"– reiškia surasti visas jo šaknis ir įrodyti, kad kitų nėra, ir "lygties šaknis"- tai yra skaičius, kuris, pakeitus nežinomybę, pavers lygtį tikra lygybe. Na, o paskutinėje lygtyje labai paprasta rasti skaičių, kuris lygtį paverčia tikrąja lygybe – tai yra skaičius. Jokio kito asmens kodo iš duota lygtis to nepadarys. Atsakymas:

2 pavyzdys:
(padauginkite abi lygties puses iš , įsitikinę, kad nedauginame iš : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(atverkime skliaustus)
(perkelkime sąlygas)
(duokime panašius)
(abi dalis padaliname iš )

Maždaug taip išsprendžiamos visos tiesinės lygtys. Labiausiai tikėtina, kad jaunesniems skaitytojams duotas paaiškinimas atrodė sudėtinga, todėl siūlome versiją "tiesinės lygtys 5 klasei"