Apimtis yra figūra, susidedanti iš visų plokštumos taškų, esančių tam tikru atstumu nuo tam tikro taško. Šis taškas vadinamas centras apskritimas, o atkarpa, jungianti centrą su bet kuriuo apskritimo tašku, yra spindulys apskritimai.
Plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas, vadinama aplinkui.
Žiedinis sektorius arba tiesiog sektoriuje yra apskritimo dalis, kurią riboja lankas ir du spinduliai, jungiantys lanko galus su apskritimo centru.
Segmentas yra apskritimo dalis, kurią riboja lankas ir jį apimanti styga.
Pagrindiniai terminai
Tangentas
Vadinama tiesė, turinti tik vieną bendrą tašką liestinė į apskritimą, o jų bendras taškas vadinamas susikirtimo taškas tiesi linija ir apskritimas.
Tangentinės savybės
Apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam iki liesties taško.
Iš vieno taško nubrėžtos apskritimo liestinių atkarpos yra lygios ir sudaro lygius kampus tiesia linija, einančia per šį tašką ir apskritimo centrą.
Akordas
Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinama atkarpa akordas. Vadinamas styga, einanti per apskritimo centrą skersmuo
Akordų savybės
Skersmuo (spindulys), statmenas stygai, padalija šią stygą ir abu jos sulenktus lankus per pusę. Taip pat teisinga atvirkštinė teorema: jei skersmuo (spindulys) dalija stygą, tai ji yra statmena šiai stygai.
Lankai, esantys tarp lygiagrečių stygų, yra lygūs.
Jei du apskritimo akordai, AB Ir CD susikerta taške M, tada vienos stygos atkarpų sandauga yra lygi kitos stygos atkarpų sandaugai: AM MB = CM MD.
Apskritimo savybės
Tiesė negali turėti bendrų taškų su apskritimu; turi vieną bendrą tašką su apskritimu ( liestinė); turi du bendrus dalykus su ja ().
sekantas
Per tris taškus, kurie nėra toje pačioje linijoje, galite nubrėžti apskritimą ir tik vieną.
Dviejų apskritimų sąlyčio taškas yra tiesėje, jungiančioje jų centrus.
Tangento ir sekanto teorema Jei liestinė ir atkarpa nubrėžtos iš taško, esančio už apskritimo ribų, tai liestinės ilgio kvadratas yra lygus sekanto ir jo išorinės dalies sandaugai: 2 M.C..
= MA MB
Jei iš taško, esančio už apskritimo ribų, nubrėžiamos dvi sekantos, tai vieno sekanto ir jo išorinės dalies sandauga yra lygi kito sekanto ir jo išorinės dalies sandaugai. MA MB = MC MD.
Kampai apskritime
Centrinis Kampas apskritime yra plokštumos kampas, kurio centre yra viršūnė.
Kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta šį apskritimą, vadinamas įrašytas kampas.
Bet kurie du apskritimo taškai padalykite jį į dvi dalis. Kiekviena iš šių dalių vadinama lankas apskritimai. Lanko matas gali būti jį atitinkančio centrinio kampo matas.
Lankas vadinamas puslankiu, jei jo galus jungiantis segmentas yra skersmens.
Kampų, susijusių su apskritimu, savybės
Įbrėžtas kampas yra lygus pusei atitinkamo centrinio kampo arba papildo pusę šio kampo iki 180°.
Kampai, įrašyti į tą patį apskritimą ir esantys ant to paties lanko, yra lygūs.
Skersmens įbrėžtas kampas yra 90°.
Kampas, sudarytas iš apskritimo liestinės ir per sąlyčio tašką nubrėžtos atkarpos, yra lygus pusei lanko, esančio tarp jo kraštų.
Ilgiai ir plotai
Apimtis C spindulys R apskaičiuojamas pagal formulę:
C= 2 R.
Kvadratas S apskritimo spindulys R apskaičiuojamas pagal formulę:
S = R 2 .
Įrašyti ir apibrėžti apskritimai
Apskritimas ir trikampis 
apskritimo centras yra trikampio bisektorių susikirtimo taškas, jo spindulys r apskaičiuojamas pagal formulę:
r = ,
Kur S yra trikampio plotas ir - pusperimetras;
R= ,
R= ;
čia a, b, c yra trikampio kraštinės, yra kampas priešais kraštinę a, S- trikampio plotas;
apie statųjį trikampį apibrėžto apskritimo centras yra hipotenuzės viduryje;
Trikampio apibrėžtųjų ir įbrėžtųjų apskritimų centrai sutampa tik tada, kai šis trikampis yra taisyklingas.
Apskritimas ir keturkampiai
Apskritimas aplink išgaubtą keturkampį gali būti aprašytas tada ir tik tada, kai jo vidinių priešingų kampų suma lygi 180°:
180°;
Apskritimas gali būti įrašytas į keturkampį tada ir tik tada, kai jo priešingų kraštinių sumos yra lygios:
a + c = b + d;
lygiagretainį galima apibūdinti kaip apskritimą tada ir tik tada, kai jis yra stačiakampis;
galima apibūdinti apskritimą aplink trapeciją tada ir tik tada, kai ši trapecija yra lygiašonė;
apskritimo centras yra trapecijos simetrijos ašies sankirtoje su statmenu į šoną pusę;
Į lygiagretainį apskritimą galima įrašyti tada ir tik tada, kai jis yra rombas.- geometrinė figūra, susidedanti iš visų plokštumos taškų, esančių tam tikru atstumu nuo nurodyto taško.
Šis taškas (O) vadinamas apskritimo centras.
Apskritimo spindulys- tai segmentas, jungiantis centrą su bet kuriuo apskritimo tašku. Visi spinduliai yra vienodo ilgio (pagal apibrėžimą).
Akordas- atkarpa, jungianti du apskritimo taškus. Vadinamas styga, einanti per apskritimo centrą skersmuo. Apskritimo centras yra bet kokio skersmens vidurio taškas.
Bet kurie du apskritimo taškai padalykite jį į dvi dalis. Kiekviena iš šių dalių vadinama apskritimo lankas. Lankas vadinamas puslankiu, jei atkarpa, jungianti jo galus, yra skersmens.
Vienetinio puslankio ilgis žymimas π
.
Dviejų apskritimo lankų su bendrais galais laipsnio matų suma lygi 360º.
Plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas, vadinama aplinkui.
Žiedinis sektorius- apskritimo dalis, kurią riboja lankas ir du spinduliai, jungiantys lanko galus su apskritimo centru. Lankas, kuris riboja sektorių, vadinamas sektoriaus lankas.
Vadinami du apskritimai, turintys bendrą centrą koncentrinis.
Vadinami du apskritimai, susikertantys stačiu kampu stačiakampis.
Tiesės ir apskritimo santykinė padėtis
- Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra mažesnis už apskritimo spindulį ( d), tada tiesė ir apskritimas turi du bendrus taškus. Šiuo atveju linija vadinama sekantas apskritimo atžvilgiu.
- Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra lygus apskritimo spinduliui, tai tiesė ir apskritimas turi tik vieną bendrą tašką. Ši linija vadinama apskritimo liestinė, o jų bendras taškas vadinamas tiesės ir apskritimo liesties taškas.
- Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra didesnis už apskritimo spindulį, tada tiesė ir apskritimas neturi bendrų taškų .
Centriniai ir įrašyti kampai
Centrinis kampas yra kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre.
Įrašytas kampas- kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta apskritimą.
Įbrėžto kampo teorema
Įbrėžtas kampas matuojamas puse lanko, ant kurio jis yra.
- 1 išvada.
Įbrėžti kampai, sulenkę tą patį lanką, yra lygūs. - 2 išvada.
Įbrėžtas kampas, nubrėžtas puslankiu, yra stačiakampis.
Teorema apie susikertančių stygų atkarpų sandaugą.
Jei dvi apskritimo stygos susikerta, tai vienos stygos atkarpų sandauga yra lygi kitos stygos atkarpų sandaugai.
Pagrindinės formulės
- Apimtis:
- Apvalaus lanko ilgis:
- Skersmuo:
- Apvalaus lanko ilgis:
Kur α - apskritimo lanko ilgio laipsnis)
- Apskritimo plotas:
- Žiedinio sektoriaus plotas:
Apskritimo lygtis
- Stačiakampėje koordinačių sistemoje apskritimo su spinduliu lygtis yra r centruojamas taške C(x o;y o) turi tokią formą:
- Spindulio r apskritimo, kurio centras yra pradžioje, lygtis:
Geometrinė taškų vieta. Mediana statmena. Kampo bisektorius.
Apskritimas. Apskritimas . Apskritimo centras. Spindulys. Arc. Sekantas. Akordas.
Skersmuo. Tangentas ir jo savybės. Segmentas. Sektorius. Kampai apskritime.
Arkos ilgis . Radianas. Apskritimo elementų ryšiai.
Geometrinis lokusas – tai rinkinys Visi taškų, tenkina duotas tam tikras sąlygos.
1 pavyzdys. Bet kurios atkarpos mediana yra geometrinė
taškų vieta (t. y. visų taškų aibė), vienodu atstumu iš
šio segmento galai. Tegul PO AB ir AO = OB:
Tada atstumai nuo bet kurio taško P , guli ant medianos statmenos PO, į segmento AB galus A ir B vienodi ir lygūsd.
Taigi, kiekvienas vidurinio statmens taškas segmentas turi šią savybę: jis yra vienodu atstumu nuo atkarpos galų.
2 pavyzdys. Kampo bisektorius Yra taškų vieta vienodu atstumu nuo jos kraštų .
3 pavyzdys . Apskritimas yra taškų (t. y. daugelio kokybės
visi taškai), vienodu atstumu nuo jo centro ( pav. Ate vien zana
iš šių taškų – A).
Apskritimas - Tai taškų lokusas (t. y. visų taškų aibė) plokštumoje ,vienodu atstumu iš vieno taškovadinamas apskritimo centru. Atkarpa, jungianti apskritimo centrą su bet kuriuo jo tašku, vadinama spindulys ir yra paskirtasr arba R. Plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas, vadinama aplinkui. Apskritimo dalis (
A m B, 39 pav.) paskambino lankas. Tiesiai PQeinantis per taškus M Ir N apskritimai (39 pav ), skambino sekantas ir jo segmentas MN , guli apskritimo viduje - akordas.
Akordas, einantis per apskritimo centrą (pavyzdžiui,
B.C. , 39 pav.), vadinamasskersmuo ir yra paskirtas d arba D.Skersmuo yra didžiausia styga, lygi dviem spinduliams (d= 2 r).
Tangentas. Tarkime, sekantas PQ (40 pav.) eina per taškus K ir M apskritimai. Taip pat manykime, kad taškas M juda ratu, artėdamas prie taško K. Tada sekantas PQ pakeis savo padėtį, sukdamasis aplink tašką K . Artėjant taškui M iki taško K sekant PQ bus linkęs į kokią nors ribinę padėtį AB. Tiesiai AB paskambino liestinė į apskritimą taške K. Taškas K paskambino susikirtimo taškas. Liestinė ir apskritimas turi tik vieną bendrą tašką – sąlyčio tašką.
Tangento savybės.
1) KAMapskritimo liestinė yra statmena nubrėžtam spinduliui iki sąlyčio taško(AB gerai, 40 pav.) .
2) Iš taško, esančio už apskritimo ribų, galima nubrėžti dvi liestinės
tas pats ratas; jų segmentai lygūs (41 pav.).
Segmentas - tai yra apskritimo dalis, apribotas lanku ACB ir atitinkamą akordą AB (42 pav.). Statmens ilgis CD nupieštas nuo akordo vidurio AB kol susikirs su lanku ACB , paskambino aukščio segmentas.
Sektorius – yra apskritimo dalis, apribota lanku A m B ir du spinduliai OA ir OB, nubrėžtas iki šio lanko galų (43 pav.).
Kampai apskritime. Centrinis kampas – kampas, sudarytas dviejų spindulių ( A.O.B. 43 pav.). Įrašytas kampas– dviejų stygų suformuotas kampas AB ir AC , paimti iš jų vieno bendro taško ( BA C, 44 pav.). Apribotas kampas– kampas, sudarytas iš dviejų liestinių AB ir AC nubrėžta iš vieno bendro taško ( BAC, 41 pav.).
Arkos ilgis apskritimas yra proporcingas jo spinduliuir ir atitinkamas centrinis kampas :
l = r
Taigi, jei žinome lanko ilgį
l ir spindulys r, tada atitinkamo centrinio kampo reikšmė galima nustatyti pagal jų ryšį: = l/r.Ši formulė yra pagrindas nustatant radiano matavimas kampuose Taigi, jeil = r, Tai = 1 ir sakome, kad kampas lygus 1 radianui (tai žymima: = 1 džiaugiuosi). Taigi turime tokį radiano, kaip kampų matavimo vieneto, apibrėžimą: radianas yra centrinis kampas ( AOB, 43 pav.), kurio lanko ilgis lygus jo spinduliui (A m B = AO, 43 pav.). Taigi, Bet kurio kampo radianinis matas yra lanko, nubrėžto savavališku spinduliu ir uždengto tarp šio kampo kraštinių, ilgio ir jo spindulio santykis. Tiksliau, pagal lanko ilgio formulę, apskritimąCgali būti išreikštas taip:
Kur apibrėžiamas kaip santykisCiki apskritimo skersmens 2r :
= C/ 2 r.
Neracionalus skaičius; apytikslė jo vertė 3.1415926…
Kitoje pusėje, 2- Tai apskrito kampo apskritimas, kuris laipsnių matavimo sistemoje yra lygus 360º. Praktikoje dažnai pasitaiko, kad nežinomas ir lanko spindulys, ir kampas. Šiuo atveju lanko ilgį galima apskaičiuoti naudojant apytikslę Huygenso formulę:
p 2l + (2l-L) / 3 ,
kur (žr. 42 pav.): p– lanko ilgis ACB; l– stygos ilgis AC; L– stygos ilgis AB. Jei lanke yra ne daugiau kaip 60º , santykinė šios formulės paklaida neviršija 0,5%.
Apskritimo elementų ryšiai. Įrašytas kampas (ABC, 45 pav.) lygus pusei centrinio kampo , besiremiantis ant to paties lanko A mC (AOC, 45 pav.) . Štai kodėl, visi įrašyti kampai(45 pav.), ilsisi ant vieno ir ta viena tas pats lankas(A m C , 45 pav.), yra lygūs. Ir kadangi centriniame kampe yra tiek pat laipsnių laipsnių kaip ir jo lankas ( A m C ,45 pav.), tada bet koks įrašytas kampas matuojamas puse lanko, ant kurio jis yra(mūsų atveju A m C).
Visi įbrėžti kampai, išlenkti puslankiu (APB, AQB, ..., 46 pav.), tiesiai (Įrodyk, prašau!).
Kampas(AOD, 47 pav ), sudarytas iš dviejų akordų( AB ir CD), priemones yra tarp jo kraštinių uždarytų lankų pusinės sumos: (A n D+C m B) / 2 .
Kampas(AOD, 48 pav.) , sudarytas iš dviejų sekantų (AO ir OD ), matuojamas pagal lankų skirtumą, tarp jos šalių sudaryta: (A n D-B m C ) / 2. sekantas(CO ir BO ), matuojamas pusės skirtumu lankai, uždaryti tarp jo šonų: (B m C – C n D ) / 2 .
Apribotas kampas(AOC, 50 pav ), sudarytas iš dviejų liestinių( CO ir AO ), matuojamas tarp jo esančių lankų pusiausvyros skirtumu vakarėliai:(ABC – CDA) / 2 .
Akordų segmentų gaminiai ( AB ir CD , 51 pav. arba 52 pav.), į kurią jie yra padalinti susikirtimo tašku, yra lygūs: AO·BO = CO·DO.
K liestinės kvadratas lygus sekanto ir jo išorinės dalies sandaugai (50 pav.): OA 2 = O B O D (įrodyk!). Šis turtas gali būti laikomas ypatingu atveju 52 pav.
Akordas(AB , 53 pav.) , statmenai skersmeniui( CD ), yra padalintas jų susikirtimo taške O per pusę: AO = OB.
( Pabandykite tai įrodyti!).
Universalus. Bisektorius. Lygybės ženklas. Bet kuris trikampis turi tris aukščius. Bet kuris trikampis turi tris medianas. Aukštis. Sakoma, kad du trikampiai sutampa, jei juos galima sujungti perdengiant. Trikampių lygybės testas. Trikampių klasifikacija. Šoninis ir du gretimi kampai. Kiekvienas iš trikampių. Mediana. Taikykime trikampį. Trikampis. Trikampiai lygūs. Bet kuriame trikampyje medianos susikerta viename taške.
„Pagrindinės geometrijos sąvokos“ – vienodi segmentai yra vienodo ilgio. Trikampio konstrukcija. Pasekmė. Trikampio lygybės ženklas. Linijos lygiagrečios. Lygiagrečios linijos. Kiek linijų galima nubrėžti per du taškus? Paprasčiausios geometrinės figūros. Kampo laipsnio matas. Medianos. Sekanti linija. Kampo bisektoriaus segmentas. Kampas yra geometrinė figūra, susidedanti iš taško ir dviejų spindulių. Spindulys ir kampas. Rėjus. Trikampiai lygūs.
„Geometrijos uždaviniai“ 7 klasė - Atkarpų matavimas. AOB = 45. OC – bisektorius. MP segmentas. OE – bisektorius. ABD = 100. KN atkarpa. FD skyrius. Kampai. Gretimi kampai. OD – bisector. KE skyrius. Skyrius AC. Vertikalūs kampai. DF skyrius. BOC = 23. AOB = 55. Linijos atkarpa AB. Kampų matavimas. Pagrindinė geometrinė informacija. EDK = 36. ABC = 72. Segmentas AD.
„Kampo apibrėžimas“ – kampai. Pamokos paruošiamasis etapas. Loginio mąstymo ugdymas. Aštrus kampas. Kampų sampratos. Dažykite vidinę kampo sritį. Naujos medžiagos paaiškinimas. Kampų tipai. Tiesiojo kampo apibrėžimas. Bukas kampas. Spindulys paveiksle dalija kampą. Pirmosios geometrijos pamokos. Kampai. Tiesus kampas. Kampas dalija plokštumą. Susidomėkite tema. Spindulys BM padalija kampą ABC į du kampus. Užrašykite visų kampų simbolius.
„Lygiašonis trikampis“ – AFD – lygiašonis. Išvardykite sutampančius trikampio elementus. Trikampių klasifikavimas pagal jų kampų dydį. Trikampis yra paprasčiausia uždara tiesi figūra. Lygiašoniame trikampyje AMK AM = AK. Kontroliniai klausimai. Trikampis, kurio visos kraštinės lygios. ABC – lygiašonis. Trikampis vadinamas lygiašoniu, jei jo dvi kraštinės yra lygios. Lygiašonis trikampis. Trikampių lygybė.
„Pradinės geometrijos sampratos“ – kaip atsirado geometrija. Per vieną tašką galite nubrėžti daugybę skirtingų tiesių linijų. Pagrindinės geometrijos žinios. Geometrinė informacija. Įvadas į geometriją. Taškai, priklausantys tiesei. Geometriniai terminai. Linijos segmentas. Ką tiria geometrija? Graikų mokslininko Euklido darbas. Matematinio diktanto tikrinimas. Praktinis tiesioginių linijų vedimas. Praktinės užduotys. Geometrija. Pagrindinė geometrinė informacija.
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
