Šaknies laipsnis n iš tikrojo skaičiaus a, Kur n- natūralusis skaičius, toks tikrasis skaičius vadinamas x, n kurio laipsnis lygus a.

Šaknies laipsnis n iš tarpo a yra pažymėtas simboliu. Pagal šį apibrėžimą.

Šaknies radimas n– laipsnis iš tarpo a vadinamas šaknų ištraukimu. Skaičius A vadinamas radikaliuoju skaičiumi (išraiška), n- šaknies indikatorius. Dėl keistų n yra šaknis n bet kurio realaus skaičiaus laipsnis a. Kai net n yra šaknis n-oji galia tik neneigiamiems skaičiams a. Norėdami išaiškinti šaknį n– laipsnis iš tarpo a, pristatoma aritmetinės šaknies sąvoka n– laipsnis iš tarpo a.

N laipsnio aritmetinės šaknies samprata

Jei ir n- natūralusis skaičius, didesnis 1 , tada yra ir tik vienas neneigiamas skaičius X, kad lygybė būtų patenkinta. Šis skaičius X vadinama aritmetine šaknimi n neneigiamo skaičiaus laipsnis A ir yra paskirtas. Skaičius A vadinamas radikaliuoju skaičiumi, n- šaknies indikatorius.

Taigi, pagal apibrėžimą, žymėjimas , kur , reiškia, pirma, tą ir, antra, tą, t.y. .

Laipsnio su racionaliuoju rodikliu samprata

Laipsnis su natūraliuoju rodikliu: tegul A yra tikrasis skaičius ir n- natūralusis skaičius, didesnis už vieną, n- skaičiaus laipsnis A skambinti į darbą n veiksniai, kurių kiekvienas yra lygus A, t.y. . Skaičius A- laipsnio pagrindas, n- eksponentas. Laipsnis su nuliniu rodikliu: pagal apibrėžimą, jei , tada . Nulinė skaičiaus galia 0 neturi prasmės. Laipsnis su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu: pagal apibrėžimą daroma prielaida, jei ir n yra natūralusis skaičius, tada . Laipsnis su trupmeniniu rodikliu: pagal apibrėžimą daroma prielaida, jei ir n- natūralusis skaičius, m yra sveikasis skaičius, tada .

Operacijos su šaknimis.

Visose toliau pateiktose formulėse simbolis reiškia aritmetinę šaknį (radikalioji išraiška yra teigiama).

1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:

2. Santykio šaknis lygi dividendo ir daliklio šaknų santykiui:

3. Keliant šaknį į laipsnį, iki šios laipsnio pakanka pakelti radikalųjį skaičių:

4. Jei padidinsite šaknies laipsnį n kartų ir tuo pačiu padidinsite radikalų skaičių iki n laipsnio, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

5. Jei sumažinsite šaknies laipsnį n kartų ir vienu metu ištrauksite n-ąją radikalinio skaičiaus šaknį, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

Laipsnio sampratos išplėtimas. Iki šiol laipsnius nagrinėjome tik su natūraliaisiais rodikliais; bet operacijos su laipsniais ir šaknimis taip pat gali sukelti neigiamus, nulinius ir trupmeninius rodiklius. Visi šie rodikliai reikalauja papildomo apibrėžimo.

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Tam tikro skaičiaus, turinčio neigiamą (sveikąjį) rodiklį, laipsnis apibrėžiamas kaip viena, padalyta iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliučiai neigiamo eksponento vertei:

Dabar formulė a m: a n = a m - n gali būti naudojama ne tik kai m didesnis už n, bet ir kai m mažesnis už n.

PAVYZDYS a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Jei norime, kad formulė a m: a n = a m - n galiotų m = n, mums reikia nulinio laipsnio apibrėžimo.

Laipsnis su nuliniu indeksu. Bet kurio nulinio skaičiaus, kurio rodiklis nulis, laipsnis yra 1.

PAVYZDŽIAI. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti realųjį skaičių a iki laipsnio m / n, turite išgauti šio skaičiaus a m-osios laipsnio n-ąją šaknį:

Apie posakius, kurie neturi prasmės. Yra keletas tokių posakių.

1 atvejis.

Kur a ≠ 0 neegzistuoja.

Tiesą sakant, jei darysime prielaidą, kad x yra tam tikras skaičius, tai pagal dalybos operacijos apibrėžimą turime: a = 0 x, t.y. a = 0, o tai prieštarauja sąlygai: a ≠ 0

2 atvejis.

Bet koks skaičius.

Tiesą sakant, jei darysime prielaidą, kad ši išraiška yra lygi tam tikram skaičiui x, tai pagal padalijimo operacijos apibrėžimą turime: 0 = 0 · x. Tačiau ši lygybė galioja bet kuriam skaičiui x, ką reikėjo įrodyti.

tikrai,

Sprendimas Panagrinėkime tris pagrindinius atvejus:

1) x = 0 – ši reikšmė netenkina šios lygties

2) jei x > 0 gauname: x / x = 1, t.y. 1 = 1, o tai reiškia, kad x yra bet koks skaičius; bet atsižvelgiant į tai, kad mūsų atveju x > 0, atsakymas yra x > 0;

3) ties x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

šiuo atveju sprendimo nėra. Taigi x > 0.

Neneigiamo skaičiaus n-osios laipsnio aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio n-asis laipsnis yra lygus:

Šaknies galia yra natūralusis skaičius, didesnis nei 1.

3.

4.

Ypatingi atvejai:

1. Jei šaknies rodiklis yra nelyginis sveikasis skaičius(), tada radikali išraiška gali būti neigiama.

Nelyginio rodiklio atveju lygtis bet kuriai realiajai vertei ir sveikajam skaičiui VISADA turi vieną šaknį:

Nelyginio laipsnio šaknis galioja ši tapatybė:

,

2. Jei šaknies rodiklis yra lyginis sveikasis skaičius (), tada radikalioji išraiška negali būti neigiama.

Lyginio eksponento atveju lygtis. turi

adresu viena šaknis

ir, jei ir

Lyginio laipsnio šaknis galioja tokia tapatybė:

Lyginio laipsnio šaknims galioja šios lygybės::

Galios funkcija, jos savybės ir grafikas.

Galios funkcija ir jos savybės.

Galios funkcija su natūraliu eksponentu. Funkcija y = x n, kur n yra natūralusis skaičius, vadinama laipsnio funkcija su natūraliuoju rodikliu. Jei n = 1, gauname funkciją y = x, jos savybes:

Tiesioginis proporcingumas. Tiesioginis proporcingumas yra funkcija, apibrėžta formule y = kx n, kur skaičius k vadinamas proporcingumo koeficientu.

Išvardinkime funkcijos y = kx savybes.

Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė.

y = kx – nelyginė funkcija (f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).

3) Jei k > 0, funkcija didėja, o k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Grafikas (tiesė) parodytas II.1 paveiksle.

Ryžiai. II.1.

Kai n=2 gauname funkciją y = x 2, jos savybės:

Funkcija y -x 2. Išvardinkime funkcijos y = x 2 savybes.

y = x 2 – lyginė funkcija (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

Funkcija per intervalą mažėja.

Tiesą sakant, jei , tada - x 1 > - x 2 > 0, todėl

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, t.y., tai reiškia, kad funkcija mažėja.

Funkcijos y=x2 grafikas yra parabolė. Šis grafikas parodytas II.2 paveiksle.

Ryžiai. II.2.

Kai n = 3, gauname funkciją y = x 3, jos savybės:

Funkcijos apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė.

y = x 3 – nelyginė funkcija (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) Funkcija y = x 3 didėja visoje skaičių tiesėje. Funkcijos y = x 3 grafikas parodytas paveiksle. Ji vadinama kubine parabole.

Grafikas (kubinė parabolė) parodyta II.3 paveiksle.

Ryžiai. II.3.

Tegul n yra lyginis natūralusis skaičius, didesnis už du:

n = 4, 6, 8,... . Šiuo atveju funkcija y = x n turi tokias pačias savybes kaip ir funkcija y = x 2. Tokios funkcijos grafikas primena parabolę y = x 2, tik grafiko šakos ties |n| >1 kuo statesnis jie kyla aukštyn, tuo didesnis n, o kuo labiau „prispaustas“ prie x ašies, tuo didesnis n.

Tegul n yra savavališkas nelyginis skaičius, didesnis už tris: n = = 5, 7, 9, ... . Šiuo atveju funkcija y = x n turi tokias pačias savybes kaip ir funkcija y = x 3. Tokios funkcijos grafikas primena kubinę parabolę (stačiau eina aukštyn ir žemyn tik grafiko šakos, tuo didesnis n. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad intervale (0; 1) juda laipsnio funkcijos y = x n grafikas. nutolsta nuo x ašies lėčiau, kai x didėja, tuo labiau nei n.

Galios funkcija su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu. Apsvarstykite funkciją y = x - n, kur n yra natūralusis skaičius. Kai n = 1, gauname y = x - n arba y = šios funkcijos savybės:

Grafikas (hiperbolė) parodytas II.4 paveiksle.

Pradinis lygis

Šaknis ir jos savybės. Išsami teorija su pavyzdžiais (2019 m.)

Pabandykime išsiaiškinti, kokia yra ši „šaknis“ ir „su kuo ji valgoma“. Norėdami tai padaryti, pažvelkime į pavyzdžius, su kuriais jau susidūrėte klasėje (na, arba jūs tik ruošiatės su tuo susidurti).

Pavyzdžiui, turime lygtį. Koks yra šios lygties sprendimas? Kokius skaičius galima pakelti kvadratu ir gauti? Prisimindami daugybos lentelę, nesunkiai galite atsakyti: ir (juk padauginus du neigiamus skaičius gaunamas teigiamas skaičius)! Norėdami supaprastinti, matematikai pristatė specialią kvadratinės šaknies sąvoką ir priskyrė jai specialų simbolį.

Apibrėžkime aritmetinę kvadratinę šaknį.

Kodėl skaičius turi būti neneigiamas? Pavyzdžiui, kam jis lygus? Na, gerai, pabandykime pasirinkti vieną. Gal trys? Patikrinkime: , ne. Gal,? Dar kartą patikriname: . Na, ar netinka? To ir reikia tikėtis – nes nėra skaičių, kuriuos patraukus kvadratu gautas neigiamas skaičius!
Štai ką reikia atsiminti: skaičius arba posakis po šaknies ženklu turi būti neneigiamas!

Tačiau dėmesingiausi tikriausiai jau pastebėjo, kad apibrėžime sakoma, jog kvadratinės šaknies iš „skaičiaus“ sprendinys vadinamas taip neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus ". Kai kas sakys, kad pačioje pradžioje išanalizavome pavyzdį, atrinkome skaičius, kuriuos galima pakelti kvadratu ir gauti, atsakymas buvo ir, bet čia kalbame apie kažkokį „neneigiamą skaičių“! Ši pastaba yra gana tinkama. Čia tereikia atskirti kvadratinių lygčių sąvokas ir skaičiaus aritmetinę kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, nėra lygiavertis išraiškai.

Iš to išplaukia, kad, tai yra, arba. (Skaityti temą "")

Ir iš to išplaukia.

Žinoma, tai labai painu, tačiau reikia atsiminti, kad ženklai yra lygties sprendimo rezultatas, nes spręsdami lygtį turime užrašyti visus X, kuriuos pakeitus į pradinę lygtį, gausite teisingas rezultatas. Abu ir tilptų į mūsų kvadratinę lygtį.

Tačiau jei tiesiog paimkite kvadratinę šaknį nuo kažko, tada visada gauname vieną neneigiamą rezultatą.

Dabar pabandykite išspręsti šią lygtį. Viskas nebėra taip paprasta ir sklandu, ar ne? Pabandyk perskaityti skaičius, gal kas nors pavyks? Pradėkime nuo pat pradžių – nuo ​​nulio: – netelpa, eik toliau – mažiau nei trys, taip pat nušluoti, o jeigu. Patikrinkime: - irgi netinka, nes... tai daugiau nei trys. Ta pati istorija su neigiamais skaičiais. Taigi ką turėtume daryti dabar? Ar tikrai paieškos nieko nedavė? Visai ne, dabar tikrai žinome, kad atsakymas bus tam tikras skaičius tarp ir, taip pat tarp ir. Be to, akivaizdu, kad sprendimai nebus sveikieji skaičiai. Be to, jie nėra racionalūs. Taigi kas toliau? Pavaizduokime funkcijos grafiką ir pažymėkime joje sprendimus.

Pabandykime apgauti sistemą ir gaukime atsakymą naudodami skaičiuotuvą! Išmeskime šaknis! Oi-oi, pasirodo taip. Šis skaičius niekada nesibaigia. Kaip galite tai prisiminti, nes egzamino metu nebus skaičiuoklės!? Viskas labai paprasta, nereikia to atsiminti, tereikia atsiminti (arba sugebėti greitai įvertinti) apytikslę vertę. ir patys atsakymai. Tokie skaičiai vadinami neracionaliais, siekiant supaprastinti tokių skaičių rašymą, įvesta kvadratinės šaknies sąvoka.

Pažvelkime į kitą pavyzdį, kad tai sustiprintume. Pažiūrėkime į tokią problemą: reikia kirsti kvadratinį lauką, kurio kraštinė yra km įstrižai, kiek km reikia nuvažiuoti?

Akivaizdžiausias dalykas čia yra apsvarstyti trikampį atskirai ir naudoti Pitagoro teoremą: . Taigi,. Taigi koks čia reikalingas atstumas? Akivaizdu, kad atstumas negali būti neigiamas, mes tai suprantame. Dviejų šaknis yra maždaug lygi, bet, kaip minėjome anksčiau, jau yra išsamus atsakymas.

Norėdami išspręsti pavyzdžius su šaknimis nesukeldami problemų, turite juos pamatyti ir atpažinti. Norėdami tai padaryti, turite žinoti bent skaičių kvadratus nuo iki, taip pat mokėti juos atpažinti. Pavyzdžiui, jūs turite žinoti, kas yra lygus kvadratui, ir, atvirkščiai, kas yra lygus kvadratui.

Ar supratote, kas yra kvadratinė šaknis? Tada išspręskite keletą pavyzdžių.

Pavyzdžiai.

Na, kaip tai pavyko? Dabar pažvelkime į šiuos pavyzdžius:

Atsakymai:

Kubo šaknis

Na, atrodo, kad išsiaiškinome kvadratinės šaknies sąvoką, dabar pabandykime išsiaiškinti, kas yra kubinė šaknis ir kuo jos skiriasi.

Skaičiaus kubinė šaknis yra skaičius, kurio kubas yra lygus. Ar pastebėjote, kad čia viskas daug paprasčiau? Nėra jokių apribojimų galimoms vertėms po kubo šaknies ženklu ir išgaunamam skaičiui. Tai yra, kubo šaknį galima išskirti iš bet kurio skaičiaus: .

Ar suprantate, kas yra kubo šaknis ir kaip ją išgauti? Tada eikite į priekį ir išspręskite pavyzdžius.

Pavyzdžiai.

Atsakymai:

Šaknis – o laipsnis

Na, mes supratome kvadratinių ir kubo šaknų sąvokas. Dabar apibendrinkime su koncepcija įgytas žinias 1-oji šaknis.

1-oji šaknis skaičiaus yra skaičius, kurio laipsnis yra lygus, t.y.

lygiavertis.

Jei – net, Tai:

• su neigiamu, išraiška neturi prasmės (lyginės neigiamų skaičių šaknys negalima pašalinti!);
• už neneigiamą() išraiška turi vieną neneigiamą šaknį.

Jei - yra nelyginis, tada išraiška turi unikalią šaknį bet kuriai.

Neišsigąskite, čia galioja tie patys principai kaip ir kvadratinėms bei kubinėms šaknims. Tai reiškia, kad principai, kuriuos taikėme svarstydami kvadratines šaknis, taikomi visoms lyginio laipsnio šaknims.

O savybės, kurios buvo naudojamos kubinei šaknims, taikomos nelyginio laipsnio šaknims.

Na, ar tapo aiškiau? Pažiūrėkime į pavyzdžius:

Čia viskas daugmaž aišku: pirmiausia žiūrime – taip, laipsnis lyginis, skaičius po šaknimi yra teigiamas, o tai reiškia, kad mūsų užduotis yra rasti skaičių, kurio ketvirtoji galia duos mums. Na, bet kokių spėjimų? Gal,? Būtent!

Taigi, laipsnis lygus - nelyginis, skaičius po šaknimi yra neigiamas. Mūsų užduotis yra rasti skaičių, kuris, padidintas iki galios, sukuria. Gana sunku iš karto pastebėti šaknį. Tačiau jūs galite iš karto susiaurinti paiešką, tiesa? Pirma, reikalingas skaičius tikrai yra neigiamas, antra, galima pastebėti, kad jis yra nelyginis, taigi ir norimas skaičius yra nelyginis. Pabandykite rasti šaknį. Žinoma, galite drąsiai jo atsisakyti. Gal,?

Taip, štai ko mes ieškojome! Atkreipkite dėmesį, kad norėdami supaprastinti skaičiavimą, naudojome laipsnių savybes: .

Pagrindinės šaknų savybės

Ar aišku? Jei ne, tai pažiūrėjus pavyzdžius, viskas turėtų stoti į savo vietas.

Dauginamos šaknys

Kaip padauginti šaknis? Paprasčiausia ir pagrindinė savybė padeda atsakyti į šį klausimą:

Pradėkime nuo kažko paprasto:

Ar gautų skaičių šaknys nėra tiksliai ištrauktos? Jokių problemų – štai keli pavyzdžiai:

O jei yra ne du, o daugiau daugiklių? Tas pats! Šaknų dauginimo formulė veikia su daugybe veiksnių:

Ką mes galime su juo padaryti? Na, žinoma, paslėpkite tris po šaknimi, prisimindami, kad trys yra kvadratinė šaknis!

Kodėl mums to reikia? Taip, tik norėdami išplėsti savo galimybes sprendžiant pavyzdžius:

Kaip jums patinka ši šaknų savybė? Ar tai labai palengvina gyvenimą? Man tai visiškai teisinga! Jūs tiesiog turite tai atsiminti Teigiamus skaičius galime įvesti tik po lyginio laipsnio šaknies ženklu.

Pažiūrėkime, kur dar tai gali būti naudinga. Pavyzdžiui, norint išspręsti problemą, reikia palyginti du skaičius:

Dar daugiau:

Negalite pasakyti iš karto. Na, naudokimės išardyta savybe įvesti skaičių po šaknies ženklu? Tada pirmyn:

Na, žinant, kad kuo didesnis skaičius po šaknies ženklu, tuo didesnė pati šaknis! Tie. jei, tada,. Iš to darome tvirtą išvadą. Ir niekas mūsų neįtikins kitaip!

Prieš tai įvedėme daugiklį po šaknies ženklu, bet kaip jį pašalinti? Jums tereikia įtraukti tai į veiksnius ir išskirti tai, ką ištraukiate!

Buvo galima pasukti kitu keliu ir išplėsti kitus veiksnius:

Neblogai, tiesa? Bet kuris iš šių būdų yra teisingas, nuspręskite, kaip norite.

Pavyzdžiui, čia yra tokia išraiška:

Šiame pavyzdyje laipsnis yra lyginis, bet kas, jei jis yra nelyginis? Vėlgi, taikykite galių savybes ir įvertinkite viską:

Atrodo, kad viskas aišku, bet kaip ištraukti skaičiaus šaknį į laipsnį? Štai, pavyzdžiui, tai:

Gana paprasta, tiesa? O jei laipsnis didesnis nei du? Mes vadovaujamės ta pačia logika, naudodami laipsnių savybes:

Na, ar viskas aišku? Tada čia yra pavyzdys:

Tai yra spąstai, apie juos visada verta prisiminti. Tai iš tikrųjų atsispindi nuosavybės pavyzdžiuose:

Ar aišku? Sustiprinkite pavyzdžiais:

Taip, matome, kad šaknis yra lygiam laipsniui, neigiamas skaičius po šaknimi taip pat yra lyginis. Na, ar pavyksta taip pat? Štai kas:

tai viskas! Dabar čia yra keletas pavyzdžių:

Supratai? Tada eikite į priekį ir išspręskite pavyzdžius.

Pavyzdžiai.

Atsakymai.

Jei gavote atsakymus, galite ramiai judėti toliau. Jei ne, supraskime šiuos pavyzdžius:

Pažvelkime į dvi kitas šaknų savybes:

Šios savybės turi būti analizuojamos pavyzdžiuose. Na, padarykime tai?

Supratai? Apsaugokime tai.

Pavyzdžiai.

Atsakymai.

ŠAKNYS IR JŲ SAVYBĖS. VIDURIO LYGIS

Aritmetinė kvadratinė šaknis

Lygtis turi du sprendinius: ir. Tai skaičiai, kurių kvadratas lygus.

Apsvarstykite lygtį. Išspręskime grafiškai. Nubraižykime funkcijos grafiką ir tiesę lygiu. Šių linijų susikirtimo taškai bus sprendimai. Matome, kad ši lygtis taip pat turi du sprendinius – vieną teigiamą, kitą neigiamą:

Tačiau šiuo atveju sprendiniai nėra sveikieji skaičiai. Be to, jie nėra racionalūs. Norėdami užrašyti šiuos neracionalius sprendimus, įvedame specialų kvadratinės šaknies simbolį.

Aritmetinė kvadratinė šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus. Kai išraiška neapibrėžta, nes Nėra skaičiaus, kurio kvadratas būtų lygus neigiamam skaičiui.

Kvadratinė šaknis: .

Pavyzdžiui,. Ir iš to seka, kad arba.

Leiskite dar kartą atkreipti jūsų dėmesį, tai labai svarbu: Kvadratinė šaknis visada yra neneigiamas skaičius: !

Kubo šaknis skaičiaus yra skaičius, kurio kubas yra lygus. Kubo šaknis yra apibrėžta kiekvienam. Jį galima išgauti iš bet kurio skaičiaus: . Kaip matote, jis taip pat gali turėti neigiamas reikšmes.

Skaičiaus šaknis yra skaičius, kurio laipsnis yra lygus, t.y.

Jei jis lygus, tada:

• jei, tada a šaknis neapibrėžta.
• jei, tada neneigiama lygties šaknis vadinama aritmetine th laipsnio šaknimi ir žymima.

Jei - yra nelyginis, tada lygtis turi unikalią šaknį bet kuriai.

Ar pastebėjote, kad kairėje virš šaknies ženklo rašome jo laipsnį? Bet ne už kvadratinę šaknį! Jei matote šaknį be laipsnio, tai reiškia, kad ji yra kvadratinė (laipsniai).

Pavyzdžiai.

Pagrindinės šaknų savybės

ŠAKNYS IR JŲ SAVYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Kvadratinė šaknis (aritmetinė kvadratinė šaknis) iš neneigiamo skaičiaus vadinamas tai neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra

Šaknies savybės:

Šiame straipsnyje mes supažindinsime skaičiaus šaknies samprata. Toliau eisime nuosekliai: pradėsime nuo kvadratinės šaknies, nuo jos pereisime prie kubinės šaknies aprašymo, po to apibendrinsime šaknies sąvoką, apibrėždami n-ąją šaknį. Kartu supažindinsime su apibrėžimais, žymėjimais, pateiksime šaknų pavyzdžius ir pateiksime reikiamus paaiškinimus bei komentarus.

Kvadratinė šaknis, aritmetinė kvadratinė šaknis

Norėdami suprasti skaičiaus šaknies apibrėžimą, o ypač kvadratinę šaknį, turite turėti . Šiuo metu dažnai susidursime su antrąja skaičiaus laipsniu – skaičiaus kvadratu.

Pradėkime nuo kvadratinių šaknų apibrėžimai.

Apibrėžimas

Kvadratinė šaknis iš a yra skaičius, kurio kvadratas lygus a.

Vadovauti kvadratinių šaknų pavyzdžiai, paimkite kelis skaičius, pavyzdžiui, 5, –0,3, 0,3, 0, ir padėkite juos kvadratu, gausime atitinkamai skaičius 25, 0,09, 0,09 ir 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 ir 0 2 =0,0=0). Tada pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą skaičius 5 yra kvadratinė šaknis iš skaičiaus 25, skaičiai –0,3 ir 0,3 yra kvadratinės šaknys iš 0,09, o 0 yra kvadratinė šaknis iš nulio.

Reikia pažymėti, kad jokiam skaičiui a nėra a, kurio kvadratas būtų lygus a. Būtent bet kuriam neigiamam skaičiui a nėra tikrojo skaičiaus b, kurio kvadratas būtų lygus a. Tiesą sakant, lygybė a=b 2 neįmanoma bet kuriam neigiamam a, nes b 2 yra neneigiamas bet kurio b skaičius. Taigi, realiųjų skaičių aibėje nėra neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies. Kitaip tariant, realiųjų skaičių aibėje neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis nėra apibrėžta ir neturi reikšmės.

Tai veda prie logiško klausimo: „Ar yra bet kurio neneigiamo a kvadratinė šaknis“? Atsakymas yra taip. Šį faktą galima pateisinti konstruktyviu metodu, naudojamu kvadratinės šaknies vertei rasti.

Tada iškyla kitas logiškas klausimas: „Koks yra duoto neneigiamo skaičiaus a visų kvadratinių šaknų skaičius - vienas, du, trys ar net daugiau“? Štai atsakymas: jei a yra nulis, tai vienintelė nulio kvadratinė šaknis yra nulis; jei a yra teigiamas skaičius, tada skaičiaus a kvadratinių šaknų skaičius yra du, o šaknys yra . Pagrįskime tai.

Pradėkime nuo atvejo a=0 . Pirma, parodykime, kad nulis iš tikrųjų yra kvadratinė šaknis iš nulio. Tai išplaukia iš akivaizdžios lygybės 0 2 =0·0=0 ir kvadratinės šaknies apibrėžimo.

Dabar įrodykime, kad 0 yra vienintelė kvadratinė šaknis iš nulio. Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad yra koks nors nulinis skaičius b, kuris yra kvadratinė šaknis iš nulio. Tada turi būti įvykdyta sąlyga b 2 =0, o tai neįmanoma, nes bet kokiam nuliui b reiškinio b 2 reikšmė yra teigiama. Priėjome prieštaravimą. Tai įrodo, kad 0 yra vienintelė kvadratinė šaknis iš nulio.

Pereikime prie atvejų, kai a yra teigiamas skaičius. Aukščiau sakėme, kad visada yra bet kurio neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis, tegul kvadratinė šaknis iš a yra skaičius b. Tarkime, kad yra skaičius c, kuris taip pat yra a kvadratinė šaknis. Tada pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą lygybės b 2 =a ir c 2 =a yra teisingos, iš to išplaukia, kad b 2 −c 2 =a−a=0, bet kadangi b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , tada (b−c)·(b+c)=0 . Gauta lygybė galioja operacijų su realiaisiais skaičiais savybės galima tik tada, kai b−c=0 arba b+c=0 . Taigi skaičiai b ir c yra lygūs arba priešingi.

Jei darysime prielaidą, kad yra skaičius d, kuris yra dar viena kvadratinė šaknis iš skaičiaus a, tai samprotaujant panašiai kaip jau pateiktos, įrodoma, kad d yra lygus skaičiui b arba skaičiui c. Taigi teigiamo skaičiaus kvadratinių šaknų skaičius yra du, o kvadratinės šaknys yra priešingi skaičiai.

Kad būtų patogiau dirbti su kvadratinėmis šaknimis, neigiama šaknis „atskiriama“ nuo teigiamos. Šiuo tikslu jis įvedamas aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimas.

Apibrėžimas

Aritmetinė kvadratinė šaknis iš neneigiamo skaičiaus a yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a.

A aritmetinės kvadratinės šaknies žymėjimas yra . Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu. Jis taip pat vadinamas radikaliu ženklu. Todėl kartais galite išgirsti ir „root“, ir „radical“, o tai reiškia tą patį objektą.

Skaičius po aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu vadinamas radikalus skaičius, o išraiška po šaknies ženklu yra radikali išraiška, o terminas „radikalus skaičius“ dažnai pakeičiamas „radikaliąja išraiška“. Pavyzdžiui, žymėjime skaičius 151 yra radikalus skaičius, o užraše išraiška a yra radikali išraiška.

Skaitant žodis „aritmetika“ dažnai praleidžiamas, pavyzdžiui, įrašas skaitomas kaip „kvadratinė šaknis iš septynių taškų dvidešimt devyni“. Žodis „aritmetika“ vartojamas tik tada, kai norima pabrėžti, kad kalbame konkrečiai apie teigiamą skaičiaus kvadratinę šaknį.

Atsižvelgiant į įvestą žymėjimą, iš aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimo matyti, kad bet kuriam neneigiamam skaičiui a .

Teigiamojo skaičiaus a kvadratinės šaknys rašomos naudojant aritmetinį kvadratinės šaknies ženklą kaip ir . Pavyzdžiui, 13 kvadratinės šaknys yra ir . Aritmetinė nulio kvadratinė šaknis yra lygi nuliui, tai yra, . Neigiamų skaičių a žymėjimui reikšmės neteiksime tol, kol neištirsime kompleksiniai skaičiai. Pavyzdžiui, posakiai ir yra beprasmiai.

Remiantis kvadratinės šaknies apibrėžimu, įrodytos kvadratinių šaknų savybės, kurios dažnai naudojamos praktikoje.

Baigdami šią pastraipą pažymime, kad skaičiaus a kvadratinės šaknys yra x 2 =a formos sprendiniai kintamojo x atžvilgiu.

Skaičiaus kubinė šaknis

Kubo šaknies apibrėžimas skaičius a pateikiamas panašiai kaip kvadratinės šaknies apibrėžimas. Tik jis remiasi ne kvadrato, o skaičiaus kubo koncepcija.

Apibrėžimas

Kubo šaknis a yra skaičius, kurio kubas yra lygus a.

Duokim kubo šaknų pavyzdžiai. Norėdami tai padaryti, paimkite kelis skaičius, pavyzdžiui, 7, 0, -2/3, ir supjaustykite juos kubu: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Tada, remiantis kubo šaknies apibrėžimu, galime pasakyti, kad skaičius 7 yra 343 kubinė šaknis, 0 yra nulio kubinė šaknis, o −2/3 yra −8/27 kubinė šaknis.

Galima parodyti, kad skaičiaus kubinė šaknis, skirtingai nei kvadratinė šaknis, visada egzistuoja ne tik neneigiamam a, bet ir bet kuriam realiajam skaičiui a. Norėdami tai padaryti, galite naudoti tą patį metodą, kurį minėjome studijuodami kvadratines šaknis.

Be to, tam tikro skaičiaus a yra tik viena kubo šaknis. Įrodykime paskutinį teiginį. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite tris atvejus atskirai: a yra teigiamas skaičius, a = 0 ir a yra neigiamas skaičius.

Nesunku parodyti, kad jei a yra teigiamas, a kubinė šaknis negali būti nei neigiamas skaičius, nei nulis. Iš tiesų, tegul b yra a kubinė šaknis, tada pagal apibrėžimą galime parašyti lygybę b 3 =a. Akivaizdu, kad ši lygybė negali būti teisinga neigiamam b ir b=0, nes šiais atvejais b 3 =b·b·b bus atitinkamai neigiamas skaičius arba nulis. Taigi teigiamo skaičiaus a kubinė šaknis yra teigiamas skaičius.

Tarkime, kad be skaičiaus b yra dar viena skaičiaus a kubinė šaknis, pažymėkime ją c. Tada c 3 =a. Todėl b 3 −c 3 =a−a=0, bet b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(tai yra sutrumpinta daugybos formulė kubelių skirtumas), iš kur (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Gauta lygybė galima tik tada, kai b−c=0 arba b 2 +b·c+c 2 =0. Iš pirmosios lygybės turime b=c, o antroji lygybė neturi sprendinių, nes jos kairioji pusė yra teigiamas skaičius bet kokiems teigiamiems skaičiams b ir c kaip trijų teigiamų narių b 2, b·c ir c 2 suma. Tai įrodo teigiamo skaičiaus a kubinės šaknies unikalumą.

Kai a=0, skaičiaus a kubinė šaknis yra tik skaičius nulis. Iš tiesų, jei darysime prielaidą, kad yra skaičius b, kuris yra ne nulinė nulio kubinė šaknis, tuomet turi galioti lygybė b 3 =0, o tai įmanoma tik tada, kai b=0.

Neigiamajam a galima pateikti argumentus, panašius į teigiamo a atveju. Pirma, parodome, kad neigiamo skaičiaus kubinė šaknis negali būti lygi nei teigiamam skaičiui, nei nuliui. Antra, darome prielaidą, kad yra antroji neigiamo skaičiaus kubinė šaknis, ir parodome, kad ji būtinai sutaps su pirmuoju.

Taigi, visada yra bet kurio tikrojo skaičiaus a kubinė šaknis ir unikalus.

Duokim aritmetinės kubo šaknies apibrėžimas.

Apibrėžimas

Neneigiamo skaičiaus aritmetinė kubo šaknis a yra neneigiamas skaičius, kurio kubas yra lygus a.

Neneigiamo skaičiaus a aritmetinė kubo šaknis žymima kaip , ženklas vadinamas aritmetinio kubo šaknies ženklu, skaičius 3 šioje žymėjime vadinamas šaknies indeksas. Skaičius po šaknies ženklu yra radikalus skaičius, išraiška po šaknies ženklu yra radikali išraiška.

Nors aritmetinė kubo šaknis apibrėžiama tik neneigiamiems skaičiams a, tačiau patogu naudoti ir užrašus, kuriuose neigiami skaičiai randami po aritmetinio kubo šaknies ženklu. Juos suprasime taip: , kur a yra teigiamas skaičius. Pavyzdžiui, .

Apie kubinių šaknų savybes kalbėsime bendrame straipsnyje šaknų savybės.

Kubo šaknies reikšmės apskaičiavimas vadinamas kubo šaknies ištraukimu. Šis veiksmas aptariamas straipsnyje šaknų ištraukimas: metodai, pavyzdžiai, sprendimai.

Apibendrinant šį teiginį, tarkime, kad skaičiaus a kubinė šaknis yra x 3 =a formos sprendinys.

n-oji šaknis, n laipsnio aritmetinė šaknis

Apibendrinkime skaičiaus šaknies sąvoką – pristatome n-osios šaknies apibrėžimas už n.

Apibrėžimas

n-oji a šaknis yra skaičius, kurio n-oji laipsnis yra lygus a.

Iš šio apibrėžimo aišku, kad skaičiaus a pirmojo laipsnio šaknis yra pats skaičius a, nes tirdami laipsnį su natūraliuoju laipsniu ėmėme 1 =a.

Aukščiau apžvelgėme specialius n-osios šaknies atvejus, kai n=2 ir n=3 – kvadratinė ir kubinė šaknis. Tai reiškia, kad kvadratinė šaknis yra antrojo laipsnio šaknis, o kubo šaknis yra trečiojo laipsnio šaknis. Tiriant n-ojo laipsnio šaknis, kai n=4, 5, 6, ..., patogu jas suskirstyti į dvi grupes: pirmoji grupė - lyginių laipsnių šaknis (tai yra, kai n = 4, 6, 8 , ...), antroji grupė – šaknys nelyginiais laipsniais (tai yra, kai n=5, 7, 9, ...). Taip yra dėl to, kad lyginių galių šaknys yra panašios į kvadratines šaknis, o nelyginių – į kubines. Susitvarkykime su jais po vieną.

Pradėkime nuo šaknų, kurių laipsniai yra lyginiai skaičiai 4, 6, 8, ... Kaip jau minėjome, jie yra panašūs į skaičiaus a kvadratinę šaknį. Tai yra, bet kurio lyginio skaičiaus a laipsnio šaknis egzistuoja tik neneigiamam a. Be to, jei a=0, tai a šaknis yra unikali ir lygi nuliui, o jei a>0, tai yra dvi skaičiaus a lyginio laipsnio šaknys ir jos yra priešingi skaičiai.

Pagrįskime paskutinį teiginį. Tegu b yra lyginė skaičiaus a šaknis (žymime 2·m, kur m yra koks nors natūralusis skaičius). Tarkime, kad yra skaičius c – kita 2·m laipsnio šaknis nuo skaičiaus a. Tada b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Bet mes žinome formą b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), tada (b–c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iš šios lygybės išplaukia, kad b−c=0, arba b+c=0, arba b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Pirmosios dvi lygybės reiškia, kad skaičiai b ir c yra lygūs arba b ir c yra priešingi. Ir paskutinė lygybė galioja tik b=c=0, nes jos kairėje pusėje yra išraiška, kuri yra neneigiama bet kuriam b ir c kaip neneigiamų skaičių suma.

Kalbant apie nelyginio n laipsnio n-ojo laipsnio šaknis, jos yra panašios į kubinę šaknį. Tai yra, bet kurio nelyginio skaičiaus a laipsnio šaknis egzistuoja bet kuriam realiajam skaičiui a, o tam tikram skaičiui a ji yra unikali.

Skaičiaus a 2·m+1 nelyginio laipsnio šaknies unikalumas įrodomas pagal analogiją su a kubinės šaknies unikalumo įrodymu. Tik čia vietoj lygybės a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) naudojama b 2 m+1 −c 2 m+1 = formos lygybė (b–c)·(b 2·m +b 2·m–1 ·c+b 2·m–2 ·c 2 +… +c 2·m). Išraiška paskutiniame skliaustelyje gali būti perrašyta kaip b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Pavyzdžiui, su m=2 turime b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b–c)·(b 4 +c 4 +b · c · (b 2 +c 2 +b · c)). Kai a ir b yra teigiami arba abu yra neigiami, jų sandauga yra teigiamas skaičius, tada b 2 +c 2 +b·c išraiška aukščiausiuose įdėtuose skliausteliuose yra teigiama kaip teigiamų skaičių suma. Dabar, nuosekliai pereinant prie ankstesnių įdėjimo laipsnių skliausteliuose esančių išraiškų, esame įsitikinę, kad jos taip pat yra teigiamos kaip teigiamų skaičių suma. Dėl to gauname lygybę b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b–c)·(b 2·m +b 2·m–1 ·c+b 2·m–2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 galima tik tada, kai b−c=0, tai yra, kai skaičius b lygus skaičiui c.

Atėjo laikas suprasti n-ųjų šaknų žymėjimą. Šiuo tikslu ji yra suteikta n-ojo laipsnio aritmetinės šaknies apibrėžimas.

Apibrėžimas

Neneigiamo skaičiaus n-ojo laipsnio aritmetinė šaknis a yra neneigiamas skaičius, kurio n-asis laipsnis yra lygus a.

Išspręskime paprastą uždavinį rasti kvadrato, kurio plotas lygus 9 cm 2, kraštinę. Jei manytume, kad kvadrato pusė A cm, tada sudarome lygtį pagal uždavinio sąlygas:

A X A = 9

A 2 = 9

A 2 -9 =0

(A-3) (A+3) = 0

A=3 arba A=-3

Kvadrato kraštinės ilgis negali būti neigiamas skaičius, todėl reikiama kvadrato kraštinė yra 3 cm.

Spręsdami lygtį radome skaičius 3 ir -3, kurių kvadratai lygūs 9. Kiekvienas iš šių skaičių vadinamas kvadratine šaknimi iš skaičiaus 9. Šių šaknų neneigiamas, tai yra skaičius 3, vadinama aritmetine skaičiaus šaknimi.

Gana logiška sutikti su tuo, kad šaknį galima rasti nuo skaičių iki trečiosios laipsnio (kubo šaknies), ketvirtosios laipsnio ir pan. Ir iš esmės šaknis yra atvirkštinis eksponencijos veiksmas.

Šaknisn laipsnis iš tarpo α yra toks skaičius b, Kur b n = α .

Čia n- paprastai vadinamas natūralusis skaičius šaknies indeksas(arba šaknies laipsnis); kaip taisyklė, jis yra didesnis arba lygus 2, nes atvejis n = 1 kuklus.

Pažymėtas raidėje kaip simbolis (šaknies ženklas) dešinėje pusėje vadinamas radikalus. Skaičius α - radikali išraiška. Mūsų pavyzdyje su vakarėliu sprendimas galėtų atrodyti taip: nes (± 3) 2 = 9 .

Gavome teigiamas ir neigiamas šaknies vertes. Ši funkcija apsunkina skaičiavimus. Siekiant nedviprasmiškumo, koncepcija buvo pristatyta aritmetinė šaknis, kurio reikšmė visada yra su pliuso ženklu, tai yra tik teigiama.

Šaknis paskambino aritmetika, jei jis išgaunamas iš teigiamo skaičiaus ir pats yra teigiamas skaičius.

Pavyzdžiui,

Yra tik viena tam tikro laipsnio aritmetinė šaknis iš nurodyto skaičiaus.

Skaičiavimo operacija paprastai vadinama šaknų ištraukimas n laipsnis“ iš tarpo α . Iš esmės mes atliekame operaciją atvirkščiai didinimui į laipsnį, būtent, surandame galios pagrindą b pagal žinomą rodiklį n ir pakėlimo į valdžią rezultatas

α = mlrd.

Antrojo ir trečiojo laipsnių šaknys praktikoje vartojamos dažniau nei kitos, todėl joms buvo suteikti specialūs pavadinimai.

Kvadratinė šaknis: Šiuo atveju įprasta nerašyti laipsnio 2, o terminas „šaknis“ nenurodant laipsnio dažniausiai reiškia kvadratinę šaknį. Geometriškai aiškinama, yra kvadrato, kurio plotas lygus, kraštinės ilgis α .

Kubo šaknis: geometriškai interpretuota, kubo, kurio tūris yra lygus, briaunos ilgis α .

Aritmetinių šaknų savybės.

1) Skaičiuojant sandaugos aritmetinė šaknis, būtina jį išskirti iš kiekvieno faktoriaus atskirai

Pavyzdžiui,

2) Skaičiavimui trupmenos šaknis, būtina jį išskirti iš šios trupmenos skaitiklio ir vardiklio

Pavyzdžiui,

3) Skaičiuojant laipsnio šaknis, reikia padalyti rodiklį iš šaknies

Pavyzdžiui,

Pirmieji skaičiavimai, susiję su kvadratinės šaknies ištraukimu, buvo rasti senovės Babilono ir Kinijos, Indijos, Graikijos matematikų darbuose (šaltiniuose nėra informacijos apie senovės Egipto pasiekimus šiuo klausimu).

Senovės Babilono (II tūkstantmečio pr. Kr.) matematikai naudojo specialų skaitinį metodą, kad ištrauktų kvadratinę šaknį. Pradinis kvadratinės šaknies apytikslis apskaičiavimas buvo nustatytas remiantis natūraliuoju skaičiumi, esančiu arčiausiai šaknies (mažesne kryptimi) n. Radikalios išraiškos pateikimas tokia forma: α=n 2 +r, gauname: x 0 =n+r/2n, tada buvo pritaikytas kartotinis patikslinimo procesas:

Šio metodo iteracijos susilieja labai greitai. už ,

Pavyzdžiui, α=5; n = 2; r = 1; x 0 = 9/4 = 2,25 ir gauname aproksimacijų seką:

Galutinėje vertėje visi skaitmenys yra teisingi, išskyrus paskutinį.

Graikai suformulavo kubo padvigubinimo problemą, kuri baigėsi kubo šaknies konstravimu naudojant kompasą ir liniuotę. Bet kokio sveikojo skaičiaus laipsnio apskaičiavimo taisykles ištyrė Indijos ir arabų valstybių matematikai. Tada jie buvo plačiai išplėtoti viduramžių Europoje.

Šiandien kvadratinių ir kubo šaknų skaičiavimo patogumui plačiai naudojami skaičiuotuvai.