Bibliografinis aprašymas: Gasanovas A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai // Jaunasis mokslininkas. 2016. Nr 6.1. P. 17-20.02.2019).



Mūsų projektas yra apie kvadratinių lygčių sprendimo būdus. Projekto tikslas: išmokti spręsti kvadratines lygtis būdais, kurie neįtraukti į mokyklos programą. Užduotis: suraskite visus įmanomus kvadratinių lygčių sprendimo būdus ir išmokite jomis naudotis patys bei supažindinkite su šiais metodais savo klasės draugus.

Kas yra „kvadratinės lygtys“?

Kvadratinė lygtis- formos lygtis kirvis2 + bx + c = 0, Kur a, b, c- kai kurie skaičiai ( a ≠ 0), x- nežinomas.

Skaičiai a, b, c vadinami kvadratinės lygties koeficientais.

• a vadinamas pirmuoju koeficientu;
• b vadinamas antruoju koeficientu;
• c - laisvas narys.

Kas pirmasis „išrado“ kvadratines lygtis?

Kai kurios algebrinės tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo technikos buvo žinomos prieš 4000 metų Senovės Babilone. Senovės Babilono molio lentelių, datuotų kažkur tarp 1800 ir 1600 m. pr. Kr., atradimas yra ankstyviausias kvadratinių lygčių tyrimo įrodymas. Tose pačiose tabletėse yra tam tikrų tipų kvadratinių lygčių sprendimo būdų.

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis net senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės sklypų plotų paieška ir karinio pobūdžio žemės kasimo darbais. kaip ir su pačios astronomijos ir matematikos raida.

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma išdėstytų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukšto algebros išsivystymo lygio Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

Babilono matematikai maždaug IV amžiuje prieš Kristų. naudojo kvadrato komplemento metodą, kad išspręstų lygtis su teigiamomis šaknimis. Maždaug 300 m.pr.Kr Euklidas sugalvojo bendresnį geometrinio sprendimo būdą. Pirmasis matematikas, radęs lygčių su neigiamomis šaknimis sprendimus algebrinės formulės pavidalu, buvo indų mokslininkas. Brahmagupta(Indija, VII a. po Kr.).

Brahmagupta išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kanoninės formos, sprendimo taisyklę:

ax2 + bx = c, a>0

Šios lygties koeficientai taip pat gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.

Indijoje buvo įprasti vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išsimokslinęs žmogus pranoksta savo šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas“. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Algebriniame traktate Al-Khwarizmi pateikta tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikacija. Autorius suskaičiuoja 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty ax2 = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty ax2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax2 = c.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys yra lygūs skaičiui“, ty ax2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-mukabal metodus. Jo sprendimas, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, spręsdamas nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį, Al-Khorezmi, kaip ir visi matematikai iki XVII a., neatsižvelgia į nulinį sprendimą. tikriausiai todėl, kad konkrečioje praktikoje tai neturi reikšmės užduotyse. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, Al-Khwarizmi nustato jų sprendimo taisykles, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius, o tada jų geometrinius įrodymus.

Kvadratinių lygčių sprendimo formos pagal Al-Khwarizmi modelį Europoje pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, parašytoje 1202 m. italų matematikas Leonardas Fibonačis. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis šios knygos problemų buvo panaudotos beveik visuose XIV–XVII a. Europos vadovėliuose. Bendroji kvadratinių lygčių, redukuotų iki vienos kanoninės formos x2 + bх = с, sprendimo taisyklė visoms galimoms ženklų ir koeficientų b, c kombinacijoms buvo suformuluota Europoje 1544 m. M. Stiefel.

Kvadratinės lygties bendros formos sprendimo formulės išvedimą galima gauti iš Vieth, tačiau Vieth atpažino tik teigiamas šaknis. italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli tarp pirmųjų XVI a. Be teigiamų, atsižvelgiama ir į neigiamas šaknis. Tik XVII a. pastangų dėka Girardas, Dekartas, Niutonas ir kitų mokslininkų, kvadratinių lygčių sprendimo metodas įgauna šiuolaikinę formą.

Pažvelkime į kelis kvadratinių lygčių sprendimo būdus.

Standartiniai kvadratinių lygčių sprendimo metodai iš mokyklos programos:

1. Kairiosios lygties pusės faktorinavimas.
2. Viso kvadrato pasirinkimo būdas.
3. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant formulę.
4. Grafinis kvadratinės lygties sprendimas.
5. Lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Išsamiau apsistokime ties redukuotų ir neredukuotų kvadratinių lygčių sprendimu, naudodamiesi Vietos teorema.

Prisiminkite, kad aukščiau nurodytoms kvadratinėms lygtims išspręsti pakanka rasti du skaičius, kurių sandauga yra lygi laisvajam nariui, o suma lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu.

Pavyzdys.x 2 -5x+6=0

Reikia rasti skaičius, kurių sandauga yra 6, o suma – 5. Šie skaičiai bus 3 ir 2.

Atsakymas: x 1 =2, x 2 =3.

Bet jūs taip pat galite naudoti šį metodą lygtims, kurių pirmasis koeficientas nėra lygus vienetui.

Pavyzdys.3x 2 +2x-5=0

Paimkite pirmąjį koeficientą ir padauginkite jį iš laisvojo nario: x 2 +2x-15=0

Šios lygties šaknys bus skaičiai, kurių sandauga lygi – 15, o suma lygi – 2. Šie skaičiai yra 5 ir 3. Norėdami rasti pradinės lygties šaknis, gautas šaknis padalinkite iš pirmojo koeficiento.

Atsakymas: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Lygčių sprendimas „metimo“ metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Abi puses padauginę iš a, gauname lygtį a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Tegu ax = y, iš kur x = y/a; tada gauname lygtį y 2 + by + ac = 0, lygiavertę duotajai. Jo šaknis 1 ir 2 randame naudodami Vietos teoremą.

Galiausiai gauname x 1 = y 1 /a ir x 2 = y 2 /a.

Taikant šį metodą, koeficientas a dauginamas iš laisvojo termino, tarsi jam „įmestas“, todėl jis vadinamas „metimo“ metodu. Šis metodas naudojamas, kai galite lengvai rasti lygties šaknis naudodami Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Pavyzdys.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Išmeskime“ koeficientą 2 į laisvąjį dėmenį, pakeiskime ir gaukime lygtį y 2 - 11y + 30 = 0.

Pagal atvirkštinę Vietos teoremą

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atsakymas: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

Tegu kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Jei a+ b + c = 0 (t.y. lygties koeficientų suma lygi nuliui), tai x 1 = 1.

2. Jei a - b + c = 0 arba b = a + c, tai x 1 = - 1.

Pavyzdys.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Kadangi a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), tai x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Atsakymas: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Pavyzdys.132x 2 + 247x + 115 = 0

Nes a-b+c = 0 (132 - 247 +115 = 0), tada x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Atsakymas: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Yra ir kitų kvadratinės lygties koeficientų savybių. bet jų naudojimas yra sudėtingesnis.

8. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą.

1 pav. Nomograma

Tai senas ir šiuo metu užmirštas kvadratinių lygčių sprendimo būdas, patalpintas 83 rinkinio p.: Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematikos lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.

XXII lentelė. Nomograma lygčiai išspręsti z 2 + pz + q = 0. Ši nomograma leidžia, neišsprendžiant kvadratinės lygties, iš jos koeficientų nustatyti lygties šaknis.

Kreivinė nomogramos skalė sudaryta pagal formules (1 pav.):

Tikėdamas OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), iš 1 pav. trikampių panašumai SAN Ir CDF gauname proporciją

kuri po pakeitimų ir supaprastinimų duoda lygtį z 2 + pz + q = 0, ir laiškas z reiškia bet kurio taško ženklą lenktoje skalėje.

Ryžiai. 2 Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą

Pavyzdžiai.

1) Dėl lygties z 2 – 9z + 8 = 0 nomograma pateikia šaknis z 1 = 8,0 ir z 2 = 1,0

Atsakymas:8,0; 1.0.

2) Naudodami nomogramą išsprendžiame lygtį

2z 2 – 9z + 2 = 0.

Šios lygties koeficientus padaliname iš 2, gauname lygtį z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogramoje pateikiamos šaknys z 1 = 4 ir z 2 = 0,5.

Atsakymas: 4; 0.5.

9. Geometrinis kvadratinių lygčių sprendimo metodas.

Pavyzdys.X 2 + 10x = 39.

Originale ši problema suformuluota taip: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“.

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė x, jo šonuose sukonstruoti stačiakampiai taip, kad kiekvieno iš jų kita pusė būtų 2,5, todėl kiekvieno plotas yra 2,5x. Tada gauta figūra papildoma į naują kvadratą ABCD, kampuose pastatant keturis vienodus kvadratus, kurių kiekvieno kraštinė yra 2,5, o plotas 6,25

Ryžiai. 3 Grafinis lygties x 2 + 10x = 39 sprendimo metodas

Kvadrato ABCD plotas S gali būti pavaizduotas kaip: pradinio kvadrato x 2, keturių stačiakampių (4∙2,5x = 10x) ir keturių papildomų kvadratų (6,25∙4 = 25) suma, t.y. S = x 2 + 10x = 25. Pakeitus x 2 + 10x skaičiumi 39, gauname, kad S = 39+ 25 = 64, vadinasi, kvadrato kraštinė yra ABCD, t.y. atkarpa AB = 8. Pradinio kvadrato reikiamai kraštinei x gauname

10. Lygčių sprendimas naudojant Bezout teoremą.

Bezouto teorema. Polinomo P(x) dalijimo iš dvejetainio x - α liekana lygi P(α) (t. y. P(x) reikšmė, kai x = α).

Jei skaičius α yra daugianario P(x) šaknis, tai šis daugianomas dalijasi iš x -α be liekanos.

Pavyzdys.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Padalinkite P(x) iš (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1 = 0; x=1 arba x-3=0, x=3; Atsakymas: x1 =2, x2 =3.

Išvada: Gebėjimas greitai ir efektyviai išspręsti kvadratines lygtis yra būtinas sprendžiant sudėtingesnes lygtis, pvz., trupmenines racionaliąsias lygtis, didesnės galios lygtis, bikvadratines lygtis ir, vidurinėje mokykloje, trigonometrines, eksponencines ir logaritmines lygtis. Išstudijavę visus rastus kvadratinių lygčių sprendimo būdus, galime patarti savo klasės draugams, be standartinių metodų, spręsti perkėlimo metodu (6) ir spręsti lygtis naudojant koeficientų savybę (7), nes jos yra labiau prieinamos. iki supratimo.

Literatūra:

1. Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematikos lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.
2. Algebra 8 klasė: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo įstaigos Makarychev Yu, Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. red. S. A. Telyakovsky 15-asis leidimas, pataisytas. - M.: Švietimas, 2015 m
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje. Vadovas mokytojams. / Red. V.N. Jaunesnis. - M.: Išsilavinimas, 1964 m.

Tikslai:

• Supažindinti su sumažintos kvadratinės lygties samprata;
• „atrasti“ duotosios kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšį;
• ugdyti susidomėjimą matematika, Vieto gyvenimo pavyzdžiu parodydami, kad matematika gali būti hobis.

1. Namų darbų tikrinimas

Nr. 309(g) x 1 =7, x 2 =

Nr. 311(g) x 1 =2, x 2 =-1

Nr. 312 (d) be šaknų

Kiekvienas turi stalą ant stalo. Raskite atitiktį tarp kairiojo ir dešiniojo lentelės stulpelių.

Įveskite teisingus atsakymus į lentelę.

1-Z; 2-E; 3-A; 4-K; 5-B; 6-I; 7-D; 8-B; 9-G; 10-L; 11-F.

Išspręskite lygtis:

a) -5x 2 + 8x -3=0;

Sprendimas:

D = 64 – 4 (-5) (-3) = 4,

x 1 = x 2 = = a + b + c = -5+8-3=0

b) 2 x 2 +6x – 8 = 0;

Sprendimas:

D = 36 – 4 2 (-8) = 100,

x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0

c) 2009 x 2 +x – 2010 =0

Sprendimas:

a + b + c = 2009 + 1 + (-2010) = 0, tada x 1 = 1 x 2 =

Apsvarstykime lygčių sprendimą

a) 2x 2 + 5x +3 = 0

Sprendimas:

D = 25 -24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2-5 + 3 = 0

b) -4x 2 -5x -1 =0

Sprendimas:

D = 25 – 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0

c)1150x2 +1135x-15 = 0

Sprendimas:

a – b+c = 1150-1135 +(-15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =

ax 2 +in+c=0, jei a-b+c=0, tai x 1 = – 1 x 2 =

5. Nauja tema

Patikrinkime, ar atlikote pirmąją užduotį. Su kokiomis naujomis koncepcijomis susidūrėte? 11 – f, t.y.

Pateikta kvadratinė lygtis yra x 2 + px + q = 0.

Mūsų pamokos tema.
Užpildykime šią lentelę.
Kairysis stulpelis yra sąsiuviniuose, o vienas mokinys yra prie lentos.
Lygties sprendimas akh 2 +in+c=0
Dešinysis stulpelis, labiau pasiruošęs mokinys prie lentos
Lygties sprendimas x 2 + px + q = 0, kai a = 1, b = p, c = q

Mokytojas (jei reikia) padeda, likusieji – sąsiuviniuose.

X 2-6 X + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 1,	x 1 = 3 – 1 = 2	x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 0,	x 1 = -3 – 1 = -4	x 2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 X + 51 = 0,	D = 100 – 51 = 49	x 1 = 10 – 7 = 3	x 2 = 10 + 7 = 17
X 2–20 X – 69 = 0,	D = 100 – 69 = 31

Remdamiesi savo skaičiavimų rezultatais, užpildysime lentelę.

Lygtis Nr.	r	x 1+ x 2	q	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

Palyginkime gautus rezultatus su kvadratinių lygčių koeficientais.
Kokią išvadą galima padaryti?

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšį pirmasis nustatė garsus prancūzų mokslininkas Francois Viète (1540–1603).

François Viète pagal profesiją buvo teisininkas ir daug metų dirbo karaliaus patarėju. Ir nors matematika buvo jo pomėgis, arba, kaip sakoma, hobis, triūso dėka joje pasiekė puikių rezultatų. Viet 1591 m. įvedė raidžių žymėjimą nežinomiesiems ir lygčių koeficientams. Tai leido parašyti šaknis ir kitas lygties savybes naudojant bendrąsias formules.

Vietos algebros trūkumas buvo tas, kad ji atpažino tik teigiamus skaičius. Siekdamas išvengti neigiamų sprendimų, jis keisdavo lygtis arba ieškodavo dirbtinių sprendimų, o tai atimdavo daug laiko, komplikuotų sprendimą ir dažnai būdavo klaidų.

Viète'as padarė daug įvairių atradimų, tačiau jis pats labiausiai vertino kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų santykio nustatymą, tai yra ryšį, vadinamą „Vjeto teorema“.

Šią teoremą nagrinėsime kitoje pamokoje.

Klausimai:

1. Kuri lygtis vadinama redukuota kvadratine lygtimi?
2. Kokia formule galima rasti duotosios kvadratinės lygties šaknis?
3. Kas lemia duotosios kvadratinės lygties šaknų skaičių?
4. Kas yra sumažintos kvadratinės lygties diskriminantas?
5. Kaip yra susijusios aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknys ir jos koeficientai?
6. Kas užmezgė šį ryšį?

4.5 punktas, Nr. 321(b,f) Nr.322(a,d,g,h)

Užpildykite lentelę.

Lygtis	Šaknys	Šaknų suma	Šaknų produktas
X 2 – 8x + 7 = 0	1 ir 7	8	7

Literatūra

CM. Nikolskis ir kiti, „MSU-School“ serijos vadovėlis „Algebra 8“ - M.: Prosveshchenie, 2007 m.

Šiuolaikinėje visuomenėje galimybė atlikti operacijas su lygtimis, turinčiomis kvadratinį kintamąjį, gali būti naudinga daugelyje veiklos sričių ir yra plačiai naudojama praktikoje mokslo ir technikos raidoje. To įrodymų galima rasti jūrų ir upių laivų, orlaivių ir raketų konstrukcijose. Naudojant tokius skaičiavimus, nustatomos įvairiausių kūnų, įskaitant ir kosminius objektus, judėjimo trajektorijos. Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai naudojami ne tik ekonominiam prognozavimui, pastatų projektavimui ir statybai, bet ir įprastomis kasdienėmis aplinkybėmis. Jų gali prireikti žygiuose pėsčiomis, sporto renginiuose, parduotuvėse perkant ir kitose labai įprastose situacijose.

Išskaidykime išraišką į komponentinius veiksnius

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią kintamojo laipsnio reikšmę, kurią sudaro išraiška. Jei jis lygus 2, tada tokia lygtis vadinama kvadratine.

Jei kalbėtume formulių kalba, tai nurodytos išraiškos, kad ir kaip jos atrodytų, visada gali būti perkeltos į formą, kai kairėje išraiškos pusėje yra trys terminai. Tarp jų: ​​ax 2 (ty kintamasis kvadratas su jo koeficientu), bx (nežinomasis be kvadrato su jo koeficientu) ir c (laisvasis komponentas, tai yra įprastas skaičius). Visa tai dešinėje yra lygi 0. Tuo atveju, kai tokiame daugianario nėra vieno iš jo sudedamųjų dalių, išskyrus ax 2, jis vadinamas nepilna kvadratine lygtimi. Pirmiausia reikėtų atsižvelgti į tokių problemų sprendimo pavyzdžius, kurių kintamųjų reikšmes lengva rasti.

Jei išraiška atrodo taip, kad dešinėje pusėje yra du terminai, tiksliau ax 2 ir bx, lengviausia x rasti kintamąjį iš skliaustų. Dabar mūsų lygtis atrodys taip: x(ax+b). Tada tampa akivaizdu, kad arba x=0, arba problema kyla ieškant kintamojo iš šios išraiškos: ax+b=0. Tai lemia viena iš daugybos savybių. Taisyklė teigia, kad dviejų veiksnių sandauga yra 0 tik tada, kai vienas iš jų yra lygus nuliui.

Pavyzdys

x = 0 arba 8x - 3 = 0

Dėl to gauname dvi lygties šaknis: 0 ir 0,375.

Tokios lygtys gali apibūdinti kūnų judėjimą veikiant gravitacijai, kurie pradėjo judėti iš tam tikro taško, laikomo koordinačių pradžia. Čia matematinis žymėjimas įgauna tokią formą: y = v 0 t + gt 2 /2. Pakeitę reikiamas reikšmes, prilygindami dešinę pusę su 0 ir suradę galimus nežinomuosius, galite sužinoti laiką, kuris praeina nuo kūno pakilimo iki kritimo, taip pat daugybę kitų dydžių. Bet apie tai pakalbėsime vėliau.

Išraiškos faktorius

Aukščiau aprašyta taisyklė leidžia išspręsti šias problemas sudėtingesniais atvejais. Pažvelkime į tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

X 2 – 33x + 200 = 0

Šis kvadratinis trinaris baigtas. Pirma, transformuokime išraišką ir ją koeficientu. Jų yra dvi: (x-8) ir (x-25) = 0. Dėl to turime dvi šaknis 8 ir 25.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai 9 klasėje leidžia šiuo metodu rasti kintamąjį ne tik antros, bet net ir trečios bei ketvirtos eilės išraiškose.

Pavyzdžiui: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Skaičiuojant dešinę pusę į veiksnius su kintamuoju, yra trys iš jų, tai yra (x+1), (x-3) ir (x+) 3).

Dėl to tampa akivaizdu, kad ši lygtis turi tris šaknis: -3; -1; 3.

Kvadratinė šaknis

Kitas nepilnos antrosios eilės lygties atvejis yra išraiška, pavaizduota raidžių kalba taip, kad dešinė pusė sudaryta iš komponentų ax 2 ir c. Čia, norint gauti kintamojo reikšmę, laisvasis narys perkeliamas į dešinę pusę, o po to iš abiejų lygybės pusių ištraukiama kvadratinė šaknis. Reikėtų pažymėti, kad šiuo atveju paprastai yra dvi lygties šaknys. Vienintelės išimtys gali būti lygybės, kuriose iš viso nėra termino su, kai kintamasis lygus nuliui, taip pat reiškinių variantai, kai dešinioji pusė yra neigiama. Pastaruoju atveju iš viso nėra sprendimų, nes pirmiau minėtų veiksmų negalima atlikti su šaknimis. Reikėtų apsvarstyti tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžius.

Šiuo atveju lygties šaknys bus skaičiai -4 ir 4.

Žemės ploto apskaičiavimas

Tokio pobūdžio skaičiavimų poreikis atsirado senovėje, nes matematikos raidą tais tolimais laikais daugiausia lėmė poreikis kuo tiksliau nustatyti žemės sklypų plotus ir perimetrus.

Taip pat turėtume apsvarstyti kvadratinių lygčių, pagrįstų tokio pobūdžio problemomis, sprendimo pavyzdžius.

Taigi, tarkime, yra stačiakampis žemės sklypas, kurio ilgis yra 16 metrų didesnis už plotį. Turėtumėte sužinoti sklypo ilgį, plotį ir perimetrą, jei žinote, kad jos plotas yra 612 m2.

Norėdami pradėti, pirmiausia sukurkime reikiamą lygtį. Pažymėkime x ploto plotį, tada jo ilgis bus (x+16). Iš to, kas parašyta, seka, kad plotas nustatomas pagal išraišką x(x+16), kuri pagal mūsų uždavinio sąlygas yra 612. Tai reiškia, kad x(x+16) = 612.

Išspręsti visas kvadratines lygtis, o ši išraiška yra būtent tokia, negali būti atlikta taip pat. Kodėl? Nors kairėje pusėje vis dar yra du faktoriai, jų sandauga visai nelygu 0, todėl čia naudojami skirtingi metodai.

Diskriminuojantis

Pirmiausia atliksime reikiamas transformacijas, tada šios išraiškos išvaizda atrodys taip: x 2 + 16x - 612 = 0. Tai reiškia, kad išraišką gavome forma, atitinkančia anksčiau nurodytą standartą, kur a = 1, b = 16, c = -612.

Tai galėtų būti kvadratinių lygčių, naudojant diskriminantą, sprendimo pavyzdys. Čia reikalingi skaičiavimai atliekami pagal schemą: D = b 2 - 4ac. Šis pagalbinis dydis ne tik leidžia rasti reikiamus kiekius antros eilės lygtyje, bet ir nustato galimų variantų skaičių. Jei D>0, jų yra du; D=0 yra viena šaknis. Tuo atveju, kai D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Apie šaknis ir jų formulę

Mūsų atveju diskriminantas yra lygus: 256 - 4(-612) = 2704. Tai rodo, kad mūsų problema turi atsakymą. Jei žinote k, kvadratinių lygčių sprendimas turi būti tęsiamas naudojant toliau pateiktą formulę. Tai leidžia apskaičiuoti šaknis.

Tai reiškia, kad pateiktu atveju: x 1 =18, x 2 =-34. Antrasis variantas šioje dilemoje negali būti sprendimas, nes žemės sklypo matmenys negali būti matuojami neigiamais dydžiais, o tai reiškia, kad x (tai yra sklypo plotis) yra 18 m. Iš čia skaičiuojame ilgį: 18 +16=34, o perimetras 2(34+ 18)=104(m2).

Pavyzdžiai ir užduotys

Tęsiame kvadratinių lygčių tyrimą. Toliau bus pateikti kelių iš jų pavyzdžiai ir išsamūs sprendimai.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Viską perkelkime į kairę lygybės pusę, atliksime transformaciją, tai yra, gausime lygties tipą, kuris paprastai vadinamas standartiniu, ir prilyginsime jį nuliui.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sudėję panašius, nustatome diskriminantą: D = 49 - 48 = 1. Tai reiškia, kad mūsų lygtis turės dvi šaknis. Apskaičiuokime juos pagal aukščiau pateiktą formulę, o tai reiškia, kad pirmasis iš jų bus lygus 4/3, o antrasis - 1.

2) Dabar išspręskime kitokio pobūdžio paslaptis.

Išsiaiškinkime, ar čia yra šaknų x 2 - 4x + 5 = 1? Norėdami gauti išsamų atsakymą, sumažinkime daugianarį iki atitinkamos įprastos formos ir apskaičiuokime diskriminantą. Aukščiau pateiktame pavyzdyje kvadratinės lygties spręsti nebūtina, nes tai visai ne problemos esmė. Šiuo atveju D = 16 - 20 = -4, o tai reiškia, kad šaknų tikrai nėra.

Vietos teorema

Kvadratines lygtis patogu spręsti naudojant aukščiau pateiktas formules ir diskriminantą, kai iš pastarojo reikšmės imama kvadratinė šaknis. Tačiau taip nutinka ne visada. Tačiau šiuo atveju yra daug būdų, kaip gauti kintamųjų reikšmes. Pavyzdys: kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą. Ji pavadinta XVI amžiuje gyvenusio Prancūzijoje ir dėl savo matematinio talento bei ryšių dvaro dėka padariusio puikią karjerą. Jo portretą galima pamatyti straipsnyje.

Modelis, kurį pastebėjo garsus prancūzas, buvo toks. Jis įrodė, kad lygties šaknys skaičiais sumuojasi į -p=b/a, o jų sandauga atitinka q=c/a.

Dabar pažvelkime į konkrečias užduotis.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Kad būtų paprasčiau, pakeiskime išraišką:

x 2 + 7x - 18 = 0

Panaudokime Vietos teoremą, tai duos mums taip: šaknų suma yra -7, o jų sandauga yra -18. Iš čia gauname, kad lygties šaknys yra skaičiai -9 ir 2. Patikrinę įsitikinsime, kad šios kintamųjų reikšmės tikrai tinka išraiškai.

Parabolės grafikas ir lygtis

Kvadratinės funkcijos ir kvadratinių lygčių sąvokos yra glaudžiai susijusios. To pavyzdžiai jau buvo pateikti anksčiau. Dabar pažvelkime į kai kurias matematines mįsles šiek tiek išsamiau. Bet kuri aprašyto tipo lygtis gali būti pavaizduota vizualiai. Toks santykis, nubraižytas kaip grafikas, vadinamas parabole. Įvairūs jo tipai pateikti paveikslėlyje žemiau.

Bet kuri parabolė turi viršūnę, tai yra tašką, iš kurio atsiranda jos šakos. Jei a>0, jie kyla aukštai iki begalybės, o kai a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualus funkcijų atvaizdavimas padeda išspręsti visas lygtis, įskaitant kvadratines. Šis metodas vadinamas grafiniu. O kintamojo x reikšmė yra abscisių koordinatė taškuose, kur grafiko linija susikerta su 0x. Viršūnės koordinates galima rasti naudojant ką tik pateiktą formulę x 0 = -b/2a. Ir pakeisdami gautą reikšmę į pradinę funkcijos lygtį, galite sužinoti y 0, tai yra, antrąją parabolės viršūnės koordinatę, kuri priklauso ordinačių ašiai.

Parabolės šakų susikirtimas su abscisių ašimi

Yra daug kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžių, tačiau yra ir bendrųjų modelių. Pažiūrėkime į juos. Akivaizdu, kad grafiko susikirtimas su 0x ašimi, kai a>0 yra įmanomas tik tada, kai 0 įgyja neigiamas reikšmes. Ir už a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Priešingu atveju D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iš parabolės grafiko taip pat galite nustatyti šaknis. Taip pat yra priešingai. Tai yra, jei nėra lengva gauti vaizdinį kvadratinės funkcijos vaizdą, dešinę išraiškos pusę galite prilyginti 0 ir išspręsti gautą lygtį. O žinant susikirtimo taškus su 0x ašimi, grafiką sudaryti lengviau.

Iš istorijos

Naudojant lygtis, turinčias kvadratinį kintamąjį, senais laikais jie ne tik atlikdavo matematinius skaičiavimus ir nustatydavo geometrinių figūrų plotus. Tokių skaičiavimų senovės žmonėms prireikė dideliems atradimams fizikos ir astronomijos srityse, taip pat astrologinėms prognozėms daryti.

Kaip teigia šiuolaikiniai mokslininkai, Babilono gyventojai vieni pirmųjų išsprendė kvadratines lygtis. Tai įvyko keturis šimtmečius prieš mūsų erą. Žinoma, jų skaičiavimai kardinaliai skyrėsi nuo šiuo metu priimtų ir pasirodė esą daug primityvesni. Pavyzdžiui, Mesopotamijos matematikai neturėjo supratimo apie neigiamų skaičių egzistavimą. Jiems nebuvo pažįstamos ir kitos subtilybės, kurias žino bet kuris šiuolaikinis moksleivis.

Galbūt net anksčiau nei Babilono mokslininkai išminčius iš Indijos Baudhayama pradėjo spręsti kvadratines lygtis. Tai įvyko maždaug aštuonis šimtmečius prieš Kristaus erą. Tiesa, antros eilės lygtys, jų sprendimo būdai, kuriuos jis pateikė, buvo patys paprasčiausi. Be jo, senais laikais panašiais klausimais domėjosi ir kinų matematikai. Europoje kvadratinės lygtys pradėtos spręsti tik XIII amžiaus pradžioje, tačiau vėliau jas savo darbuose panaudojo tokie didieji mokslininkai kaip Niutonas, Dekartas ir daugelis kitų.

Formos lygtis

Išraiška D= b 2 - 4 ak paskambino diskriminuojantis kvadratinė lygtis. JeiguD = 0, tada lygtis turi vieną tikrąją šaknį; jei D> 0, tada lygtis turi dvi realiąsias šaknis.
Tuo atveju D = 0 , kartais sakoma, kad kvadratinė lygtis turi dvi vienodas šaknis.
Naudojant žymėjimą D= b 2 - 4 ak, formulę (2) galime perrašyti į formą

Jeigu b= 2k, tada (2) formulė įgauna tokią formą:

Kur k= b / 2 .
Pastaroji formulė ypač patogi tais atvejais, kai b / 2 - sveikasis skaičius, t.y. koeficientas b- lyginis skaičius.
1 pavyzdys: Išspręskite lygtį 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Čia a = 2, b = -5, c = 2. Turime D= b 2 - 4 ak = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Nes D > 0 , tada lygtis turi dvi šaknis. Raskime juos naudodami formulę (2)

Taigi x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
tai yra x 1 = 2 Ir x 2 = 1 / 2 - duotosios lygties šaknys.
2 pavyzdys: Išspręskite lygtį 2 x 2 - 3x + 5 = 0 . Čia a = 2, b = -3, c = 5. Diskriminanto radimas D= b 2 - 4 ak = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Nes D 0 , tada lygtis neturi realių šaknų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys. Jei kvadratinėje lygtyje kirvis 2 +bx+c =0 antrasis koeficientas b arba laisvas narys c yra lygus nuliui, tada vadinama kvadratinė lygtis nepilnas. Neišsamios lygtys yra išskiriamos, nes norint rasti jų šaknis, nereikia naudoti kvadratinės lygties šaknų formulės – lengviau išspręsti lygtį faktorinuojant jos kairę pusę.
1 pavyzdys: išspręsti lygtį 2 x 2 - 5x = 0 .
Turime x(2x - 5) = 0 . Taigi arba x = 0 , arba 2 x - 5 = 0 , tai yra x = 2.5 . Taigi lygtis turi dvi šaknis: 0 Ir 2.5
2 pavyzdys: išspręsti lygtį 3 x 2 - 27 = 0 .
Turime 3 x 2 = 27 . Todėl šios lygties šaknys yra 3 Ir -3 .

Vietos teorema. Jei redukuota kvadratinė lygtis x 2 +px+q =0 turi realias šaknis, tada jų suma lygi - p, ir produktas yra lygus q, tai yra

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(anksčiau pateiktos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui).

Su šia matematikos programa galite išspręsti kvadratinę lygtį.

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą dviem būdais:
- naudojant diskriminantą
- naudojant Vietos teoremą (jei įmanoma).

Be to, atsakymas rodomas kaip tikslus, o ne apytikslis.
Pavyzdžiui, lygties \(81x^2-16x-1=0\) atsakymas rodomas tokia forma:

Ši programa gali praversti bendrojo lavinimo mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakils.

Jei nesate susipažinę su kvadratinio daugianario įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės

Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.

Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai.
Be to, trupmeninius skaičius galima įvesti ne tik kablelio, bet ir paprastosios trupmenos pavidalu.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis gali būti atskirta nuo visos dalies tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, dešimtaines trupmenas galite įvesti taip: 2,5x – 3,5x^2

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersando ženklu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5z +1/7z^2
Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant kvadratinę lygtį, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.
Pavyzdžiui: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palaukite sek...

Jeigu jūs sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Kvadratinė lygtis ir jos šaknys. Nebaigtos kvadratinės lygtys

Kiekviena iš lygčių
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
atrodo kaip
\(ax^2+bx+c=0, \)
kur x yra kintamasis, a, b ir c yra skaičiai.
Pirmoje lygtyje a = -1, b = 6 ir c = 1,4, antrojoje a = 8, b = -7 ir c = 0, trečiojoje a = 1, b = 0 ir c = 4/9. Tokios lygtys vadinamos kvadratines lygtis.

Apibrėžimas.
Kvadratinė lygtis vadinama ax 2 +bx+c=0 formos lygtimi, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \).

Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, skaičius b yra antrasis koeficientas, o skaičius c yra laisvasis terminas.

Kiekvienoje iš ax 2 +bx+c=0 formos lygčių, kur \(a\neq 0\), didžiausia kintamojo x laipsnis yra kvadratas. Iš čia ir kilo pavadinimas: kvadratinė lygtis.

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis taip pat vadinama antrojo laipsnio lygtimi, nes jos kairioji pusė yra antrojo laipsnio daugianario.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurioje koeficientas x 2 lygus 1 duota kvadratinė lygtis. Pavyzdžiui, pateiktos kvadratinės lygtys yra lygtys
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeigu kvadratinėje lygtyje ax 2 +bx+c=0 bent vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, tai tokia lygtis vadinama nepilna kvadratinė lygtis. Taigi lygtys -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 yra nepilnos kvadratinės lygtys. Pirmajame iš jų b=0, antrajame c=0, trečiame b=0 ir c=0.

Yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:
1) ax 2 +c=0, kur \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kur \(b \neq 0 \);
3) kirvis 2 =0.

Panagrinėkime kiekvieno iš šių tipų lygčių sprendimą.

Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 +c=0 \(c \neq 0 \), perkelkite jos laisvąjį narį į dešinę ir padalykite abi lygties puses iš a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rodyklė dešinėn x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Kadangi \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jei \(-\frac(c)(a)>0\), tada lygtis turi dvi šaknis.

Jei \(-\frac(c)(a) Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 +bx=0 su \(b \neq 0 \) koeficientu, padėkite jos kairę pusę ir gaukite lygtį
\(x(ax+b)=0 \RightArrow \left\( \begin(masyvas)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(masyvas) \right. \Rightarrow \left\( \begin (masyvas)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(masyvas) \dešinė.

Tai reiškia, kad nepilna kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \), visada turi dvi šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios forma yra ax 2 =0, yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, todėl turi vieną šaknį 0.

Kvadratinės lygties šaknų formulė

Dabar panagrinėkime, kaip išspręsti kvadratines lygtis, kuriose ir nežinomųjų, ir laisvojo nario koeficientai yra nuliniai.

Išspręskime kvadratinę lygtį bendra forma ir gausime šaknų formulę. Tada ši formulė gali būti naudojama bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.

Išspręskite kvadratinę lygtį ax 2 +bx+c=0

Abi puses padalijus iš a, gauname ekvivalentinę sumažintą kvadratinę lygtį
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformuokime šią lygtį pasirinkdami dvinario kvadratą:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \rodyklė dešinėn \)

Radikali išraiška vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ax 2 +bx+c=0 („diskriminantas“ lotyniškai – diskriminatorius). Jis žymimas raide D, t.y.
\(D = b^2-4ac\)

Dabar, naudodami diskriminacinį žymėjimą, perrašome kvadratinės lygties šaknų formulę:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kur \(D= b^2-4ac \)

Akivaizdu, kad:
1) Jei D>0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.
2) Jei D=0, tai kvadratinė lygtis turi vieną šaknį \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jei D Taigi, priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis gali turėti dvi šaknis (kai D > 0), vieną šaknį (kai D = 0) arba neturėti šaknų (D Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant š. formulę, patartina daryti taip:
1) apskaičiuokite diskriminantą ir palyginkite jį su nuliu;
2) jei diskriminantas yra teigiamas arba lygus nuliui, tada naudokite šaknies formulę, jei diskriminantas yra neigiamas, tada užrašykite, kad nėra šaknų;

Vietos teorema

Duota kvadratinė lygtis ax 2 -7x+10=0 turi šaknis 2 ir 5. Šaknų suma lygi 7, sandauga 10. Matome, kad šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingumu. ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Bet kuri sumažinta kvadratinė lygtis, turinti šaknis, turi šią savybę.

Sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Tie. Vietos teorema teigia, kad redukuotos kvadratinės lygties x 2 +px+q=0 šaknys x 1 ir x 2 turi savybę:
\(\left\( \begin(masyvas)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(masyvas) \right. \)