N-osios eilės tiesinės diferencialinės lygtys. N-osios eilės tiesinės nehomogeninės lygtys

n– įsakymas

Teorema. Jeigu y 0- vienalytės lygties sprendimas L[y]=0, y 1- atitinkamos nehomogeninės lygties sprendimas L[y] = f(x), tada suma y 0 +y 1 yra šios nehomogeninės lygties sprendimas.

Nehomogeninės lygties bendrojo sprendinio struktūra nustatoma pagal tokią teoremą.

Teorema. Jeigu Y- konkretus lygties sprendimas L[y] = f(x) su nuolatiniais koeficientais, - atitinkamos homogeninės lygties bendrasis sprendimas L[y] = 0, tada šios nehomogeninės lygties bendrasis sprendimas nustatomas pagal formulę

komentuoti. Norint užrašyti bendrą tiesinės nehomogeninės lygties sprendinį, reikia rasti tam tikrą šios lygties sprendinį ir bendrą atitinkamos vienalytės lygties sprendimą.

Tiesinės nehomogeninės lygtys n

Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę lygtį n-toji eilė su pastoviais koeficientais

Kur a 1, a 2, …, a n- realūs skaičiai. Parašykime atitinkamą vienalytę lygtį

Bendrasis nehomogeninės lygties sprendinys nustatomas pagal formulę

Bendrasis vienalytės lygties sprendimas y 0 galime rasti konkretų sprendimą Y galima rasti neapibrėžtųjų koeficientų metodu šiais paprastais atvejais:

Bendruoju atveju naudojamas savavališkų konstantų keitimo metodas.

Savavališkų konstantų kitimo metodas

Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę lygtį n-toji eilė su kintamaisiais koeficientais

Jei sunku rasti konkretų šios lygties sprendimą, bet bendras atitinkamos homogeninės lygties sprendimas yra žinomas, tada galima rasti bendrą nehomogeninės lygties sprendimą savavališkų konstantų kitimo metodas.

Tegu atitinkama vienalytė lygtis

turi bendrą sprendimą

Bendro nehomogeninės lygties sprendinio ieškosime formoje

Kur y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x), …, y n = y n (x) yra tiesiškai nepriklausomi vienarūšės lygties, įtrauktos į jos bendrąjį sprendinį, sprendiniai, ir C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- nežinomos funkcijos. Norėdami rasti šias funkcijas, nustatykime joms tam tikras sąlygas.

Raskime išvestinę

Mes reikalaujame, kad suma antrajame skliaustelyje būtų lygi nuliui, tai yra

Raskime antrąją išvestinę

ir mes to reikalausime

Tęsdami panašų procesą, gauname

Šiuo atveju negalima reikalauti, kad antrame skliaustelyje esanti suma išnyktų, nes funkcijos C 1 (x), C2(x), …, Cn(x) jau pavaldūs n-1 sąlygomis, bet vis tiek turite patenkinti pradinę nehomogeninę lygtį.

Linijinės diferencialinės sistemos lygtys.

Diferencialinių lygčių sistema vadinama linijinis, jeigu jis tiesinis nežinomų funkcijų ir jų išvestinių atžvilgiu. sistema n-1-osios eilės tiesinės lygtys parašytos tokia forma:

Sistemos koeficientai yra pastovūs.

Šią sistemą patogu rašyti matricine forma: ,

kur yra nežinomų funkcijų stulpelio vektorius, priklausantis nuo vieno argumento.

Šių funkcijų išvestinių stulpelių vektorius.

Laisvųjų terminų stulpelių vektorius.

Koeficientų matrica.

1 teorema: Jei visi matricos koeficientai A yra tęstinis tam tikru intervalu ir , Tada kai kuriose kiekvieno m kaimynystėje. TS&E sąlygos yra įvykdytos. Vadinasi, per kiekvieną tokį tašką eina viena integralioji kreivė.

Iš tiesų šiuo atveju dešiniosios sistemos pusės yra ištisinės argumentų aibės atžvilgiu, o jų dalinės išvestinės (lygios matricos A koeficientams) yra ribotos dėl tęstinumo uždarame intervale.

SLD sprendimo metodai

1. Diferencialinių lygčių sistema gali būti sumažinta iki vienos lygties, pašalinus nežinomuosius.

Pavyzdys: Išspręskite lygčių sistemą: (1)

Sprendimas: išskirti z iš šių lygčių. Iš pirmosios lygties turime . Pakeičiant antrąja lygtimi, supaprastinus gauname: .

Ši lygčių sistema (1) sumažintas iki vienos antros eilės lygties. Iš šios lygties radę y, reikėtų rasti z, naudojant lygybę.

2. Sprendžiant lygčių sistemą pašalinant nežinomuosius, dažniausiai gaunama aukštesnės eilės lygtis, todėl daugeliu atvejų sistemą patogiau išspręsti ieškant integruoti deriniai.

Tęsinys 27b

Pavyzdys: Išspręskite sistemą

Sprendimas:

Išspręskime šią sistemą naudodami Eilerio metodą. Užrašykime determinantą charakteristikai rasti

lygtis: , (kadangi sistema yra vienalytė, kad ji turėtų netrivialų sprendimą, šis determinantas turi būti lygus nuliui). Gauname charakteringą lygtį ir randame jos šaknis:

Bendras sprendimas yra toks: ;

- savasis vektorius.

Užrašome sprendimą: ;

- savasis vektorius.

Užrašome sprendimą: ;

Gauname bendrą sprendimą: .

Patikrinkime:

suraskime : ir pakeiskime pirmąja šios sistemos lygtimi, t.y. .

Mes gauname:

– tikra lygybė.

Linijinis skirtumas. n-osios eilės lygtis. Nehomogeninės n-osios eilės tiesinės lygties bendrojo sprendinio teorema.

N-osios eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra tokios formos lygtis: (1)

Jei ši lygtis turi koeficientą, tada padalijus iš jo gauname lygtį: (2) .

Paprastai lygtys tipo (2). Tarkime, kad ur-i (2) visi šansai, taip pat f(x) nuolatinis tam tikru intervalu (a, b). Tada, pagal TS&E, lygtis (2) turi unikalų sprendimą, kuris tenkina pradines sąlygas: , , …, for . Čia - bet kuris taškas iš intervalo (a, b), ir visi – bet kokie nurodyti skaičiai. Lygtis (2) tenkina TC&E , todėl neturi specialūs sprendimai.

Def.: specialus taškai yra tie, kuriuose =0.

Tiesinės lygties savybės:

Tiesinė lygtis išlieka tokia bet kokiam nepriklausomo kintamojo pokyčiui.
Tiesinė lygtis išlieka tokia bet kokiam norimos funkcijos tiesiniam pokyčiui.

Numatyta: jei lygtyje (2) įdėti f(x)=0, tada gauname formos lygtį: (3) , kuris vadinamas vienalytė lygtis nehomogeninės lygties atžvilgiu (2).

Pristatykime tiesinį diferencialinį operatorių: (4). Naudodami šį operatorių galite trumpai perrašyti lygtį (2) Ir (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operatorius (4) turi šias paprastas savybes:

Iš šių dviejų savybių galima padaryti išvadą: .

Funkcija y=y(x) yra nehomogeninės lygties sprendimas (2), Jeigu L(y(x))=f(x), Tada f(x) vadinamas lygties sprendiniu. Taigi lygties sprendimas (3) vadinama funkcija y(x), Jei L(y(x))=0 aptartais intervalais.

Apsvarstykite nehomogeninė tiesinė lygtis: , L(y)=f(x).

Tarkime, kad tam tikru būdu radome konkretų sprendimą, tada .

Pristatykime naują nežinomą funkciją z pagal formulę: , kur yra tam tikras sprendimas.

Pakeiskime jį į lygtį: , atidarykite skliaustus ir gaukite: .

Gautą lygtį galima perrašyti taip:

Kadangi yra ypatingas pradinės lygties sprendimas, tada .

Taigi, mes gavome vienalytę lygtį atžvilgiu z. Bendras šios vienalytės lygties sprendimas yra tiesinis derinys: , kur funkcijos - sudaro pagrindinę homogeninės lygties sprendinių sistemą. Pakeičiant zį pakeitimo formulę gauname: (*) funkcijai y– nežinoma pradinės lygties funkcija. Visi pradinės lygties sprendiniai bus pateikti (*).

Taigi bendras nehomogeninės linijos sprendimas. lygtis vaizduojama kaip homogeninės tiesinės lygties bendrojo sprendinio ir tam tikro nehomogeninės lygties sprendinio suma.

(tęsinys kitoje pusėje)

30. Diferencialo sprendimo egzistavimo ir unikalumo teorema. lygtys

Teorema: Jei dešinioji lygties pusė yra ištisinė stačiakampyje ir yra ribotas, taip pat tenkina Lipschitz sąlygą: , N=const, tada yra unikalus sprendimas, kuris tenkina pradines sąlygas ir yra apibrėžtas segmente , Kur.

Įrodymas:

Apsvarstykite visą metrinę erdvę SU, kurių taškai yra visos galimos tolydžios funkcijos y(x), apibrėžtos intervale , kurių grafikai yra stačiakampio viduje, o atstumas nustatomas pagal lygybę: . Ši erdvė dažnai naudojama matematinėje analizėje ir vadinama vienodos konvergencijos erdvė, nes šios erdvės metrikos konvergencija yra vienoda.

Pakeiskime diferencialą. lygtis su nurodytomis pradinėmis sąlygomis į ekvivalentinę integralinę lygtį: ir atsižvelgti į operatorių A(y), lygus dešiniajai šios lygties pusei: . Šis operatorius priskiria kiekvienai nuolatinei funkcijai

Naudodamiesi Lipšico nelygybe, galime parašyti, kad atstumas . Dabar išsirinkime vieną, kuriai galiotų ši nelygybė: .

Jis turėtų būti pasirinktas taip, kad tada . Taip mes parodėme, kad.

Pagal susitraukimo atvaizdavimo principą yra vienas taškas arba, kas yra tas pats, viena funkcija – diferencialinės lygties sprendimas, tenkinantis pateiktas pradines sąlygas.

Tiesioginės integracijos būdu išspręstos lygtys

Apsvarstykite šią diferencialinę lygtį:
.
Integruojame n kartų.
;
;
ir taip toliau. Taip pat galite naudoti formulę:
.
Žr. Diferencialines lygtis, kurias galima išspręsti tiesiogiai integracija >>>

Lygtys, kuriose nėra tiesiogiai priklausomo kintamojo y

Pakeitimas sumažina lygties tvarką vienu. Čia yra funkcija iš .
Žr. Diferencialinės lygtys aukštesnių kategorijų, kuriose nėra aiškiai nurodytos funkcijos >>>

Lygtys, kuriose nėra nepriklausomo kintamojo x

.
Manome, kad tai yra funkcija.
.
Tada
Panašiai ir dėl kitų išvestinių priemonių. Dėl to lygties tvarka sumažėja vienu.

Žr. Aukštesnių kategorijų diferencialines lygtis, kuriose nėra aiškaus kintamojo > > >

Lygtys, vienalytės y, y′, y′′, ...
,
Norėdami išspręsti šią lygtį, atliekame pakeitimą
.
kur yra funkcija .
Tada

Panašiai transformuojame išvestines ir kt. Dėl to lygties tvarka sumažėja vienu.

Žr. aukštesnės eilės diferencialines lygtis, kurios yra vienalytės funkcijos ir jos išvestinių atžvilgiu >>> Aukštesnių laipsnių tiesinės diferencialinės lygtys:
(1) ,
Pasvarstykime
(2) ,
n-osios eilės tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis
kur yra nepriklausomo kintamojo funkcijos. Tegul yra n tiesiškai nepriklausomų šios lygties sprendinių. Tada bendrasis (1) lygties sprendimas turi tokią formą:

Žr. aukštesnės eilės diferencialines lygtis, kurios yra vienalytės funkcijos ir jos išvestinių atžvilgiu >>> tiesinė nehomogeninė n-osios eilės diferencialinė lygtis:
.
Tegul yra tam tikras (bet koks) šios lygties sprendimas. Tada bendras sprendimas turi tokią formą:
,
kur yra bendras homogeninės lygties (1) sprendinys.

Tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais ir į jas redukuojamos

Tiesinės vienalytės lygtys su pastoviais koeficientais

Tai yra šios formos lygtys:
(3) .
Čia yra tikri skaičiai. Norėdami rasti bendrą šios lygties sprendimą, turime rasti n tiesiškai nepriklausomų sprendinių, kurie sudaro pagrindinę sprendinių sistemą. Tada bendras sprendimas nustatomas pagal (2) formulę:
(2) .

Mes ieškome sprendimo formoje. Mes gauname:
(4) .

charakteristikos lygtis Jei ši lygtis turiįvairios šaknys
.

, tada pagrindinė sprendinių sistema turi tokią formą: Jei yra
,
sudėtinga šaknis

tada yra ir sudėtinga konjuguota šaknis.Šios dvi šaknys atitinka sprendimus ir , kuriuos įtraukiame į pagrindinę sistemą vietoj kompleksinių sprendimų ir .

Daugybė šaknų dauginiai atitinka tiesiškai nepriklausomus sprendinius: .
.

Daugybė sudėtingų šaknų

dauginiai ir jų sudėtingos konjuguotos reikšmės atitinka tiesiškai nepriklausomus sprendimus:
,
Tiesinės nehomogeninės lygtys su specialia nevienalyte dalimi 1 Apsvarstykite formos lygtį 2 kur yra s laipsnių daugianariai

ir s ;- nuolatinis.
,
Pirmiausia ieškome bendro homogeninės lygties (3) sprendimo. Jei charakteristikos lygtis (4)
;
;
nėra šaknies 1 Apsvarstykite formos lygtį 2 .

, tada ieškome konkretaus sprendimo tokia forma: Kur s – didžiausias iš s
.

Jei charakteristikos lygtis (4)
.

turi šaknį

daugumą, tada ieškome konkretaus sprendimo formoje:

1) Po to gauname bendrą sprendimą:.
Tiesinės nehomogeninės lygtys su pastoviais koeficientais
.
Čia yra trys galimi sprendimai.
,
Bernulli metodas - 1 Pirma, randame bet kokį nulinį homogeninės lygties sprendimą

2) Tada atliekame pakeitimą.
kur yra kintamojo x funkcija.
,
Gauname u diferencialinę lygtį, kurioje yra tik u išvestinės x atžvilgiu.

3) Atlikdami pakeitimą, gauname lygtį n.
- įsakymas.
(2) .
Tiesinio pakeitimo metodas
,
kur nežinomos funkcijos. Pakeitę pradinę lygtį ir nustatę tam tikrus apribojimus, gauname lygtis, iš kurių galime rasti funkcijų tipą.

Eilerio lygtis

Jis redukuojamas į tiesinę lygtį su pastoviais koeficientais pakeičiant:
.
Tačiau norint išspręsti Eulerio lygtį, tokio pakeitimo atlikti nereikia. Formoje galite iš karto ieškoti vienalytės lygties sprendimo
.
Dėl to gauname tas pačias taisykles kaip ir lygčiai su pastoviais koeficientais, kuriose vietoj kintamojo reikia pakeisti .

Naudota literatūra:
V.V. Stepanovas, Diferencialinių lygčių kursas, „LKI“, 2015 m.
N.M. Gunteris, R.O. Kuzminas, Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys, „Lan“, 2003 m.

Diferencialinės lygtysn– įsakymas.

Jei lygtis yra išsprendžiama didžiausios išvestinės atžvilgiu, tada ji turi formą (1). N-osios eilės lygtis taip pat gali būti pavaizduota kaip n pirmosios eilės lygčių sistema.

(3)

N-osios eilės lygčiai tenkinamos teoremos egzistavimo ir unikalumo sąlygos, nes (1) ~ (2) ~ (3).

Paprasčiausi užsakymų mažinimo atvejai.

Lygtyje nėra reikiamos funkcijos ir jos išvestinės iki eilės k -1 imtinai , tai yra

Tokiu atveju užsakymą galima sumažinti iki
pakeitimas. Jei išreiškiame šią lygtį, sprendimas y gali būti nustatytas k karto integruojama funkcija p.

Pavyzdys.
.

Lygtis, kurioje nėra nežinomo kintamojo

(5)

Tokiu atveju užsakymas gali būti sumažintas vienu pakeičiant.

Pavyzdys.
.

Kairioji lygties pusė

(6)

yra kokios nors diferencinės išraiškos ( n -1) užsakymas .
. Jeigu
- todėl yra paskutinės lygties sprendimas. Gavome pirmąjį (6) lygties integralą ir sprendžiamos lygties laipsnį sumažinome vienu.

komentuoti. Kartais kairioji (6) pusė tampa (n-1) eilės diferencialinės lygties išvestine tik tada, kai ji padauginama iš
todėl čia gali atsirasti nereikalingų sprendimų (atvirkščiai iki nulio) arba galime prarasti sprendimą, jei nepertraukiama funkcija.

Pavyzdys.

Lygtis

(7)

santykinai vienalytis ir jo dariniai .

Arba kur yra indikatorius
nustatomas iš homogeniškumo sąlygų.

Šios lygties eiliškumą galima sumažinti vienu pakeičiant: .

Jei šiuos ryšius pakeisime į (7) ir atsižvelgsime į funkcijos homogeniškumą F , tada galų gale gauname: .

Pavyzdys.
.

Antros eilės diferencialinės lygtys,

leidžiantis sumažinti tvarką.

Pakeitimas
.

Jei (8) lygtį galima išspręsti atsižvelgiant į didžiausią išvestinę, tada lygtis.
integruota du kartus per kintamąjį x.

Galite įvesti parametrą ir pakeisti (8) lygtį jos parametriniu vaizdu:
. Skirtumų santykio naudojimas:
, gauname: ir

II .
(9)

Naudokime parametrinį vaizdavimą:

III.
. (10)

Galite sumažinti užsakymą pakeisdami:
.

Jei (10) lygtis yra išsprendžiama atsižvelgiant į didžiausią išvestinę
, tada dešinę ir kairę puses padauginkite iš
. Gauname: Tai lygtis su atskiriamais kintamaisiais:
.

(10) lygtis gali būti pakeista jos parametriniu vaizdu: . Pasinaudokime diferencialo savybėmis:.

Pavyzdys.
.

Tiesinės diferencialinės lygtysn– įsakymas.

Apibrėžimas. Tiesinės diferencialinės lygtys n – įsakymas vadinamos formos lygtimis:
. (1)

Jei šansai tęstinis už
, tada šalia bet kokių pradinių formos reikšmių:, kur priklauso intervalui, tada šalia šių pradinių verčių sąlygos tenkinamos egzistavimo ir unikalumo teoremos. (1) lygties tiesiškumas ir homogeniškumas išsaugomas atliekant bet kokią transformaciją
, Kur yra savavališkai kartų diferencijuojama funkcija. Be to
. Tiesiškumas ir homogeniškumas išsaugomi, kai nežinoma funkcija transformuojama tiesiškai ir vienalyčiai.

Įveskime tiesinį diferencialinį operatorių: , tada (1) gali būti parašytas taip:
. Wronskio determinantas už
atrodys taip:

, Kur - tiesiškai nepriklausomi (1) lygties sprendiniai.

1 teorema. Jei tiesiškai nepriklausomos funkcijos
yra tiesinės vienalytės lygties (1) su tolydine sprendinys
koeficientai
, tada Wronskio determinantas
neišnyksta jokiame atkarpos taške
.

2 teorema. Bendrasis tiesinės vienalytės lygties (1) sprendimas su tolydine
koeficientai
bus linijinis sprendinių derinys , tai yra
(2), kur
tiesiškai nepriklausomas nuo segmento
privatūs sprendimai (1).

(įrodyta panašiai kaip tiesinių diferencialinių lygčių sistemos atveju)

Pasekmė. Didžiausias tiesiškai nepriklausomų (1) sprendinių skaičius yra lygus jo tvarkai.

Žinant vieną ne trivialų konkretų (1) lygties sprendimą -
, galite pakeisti
ir sumažinti lygties eiliškumą išlaikant jos tiesiškumą ir nevienalytiškumą. Paprastai šis pakaitalas yra padalintas į du. Kadangi tai yra tiesiškai vienalytis vaizdas, jis išsaugo (1) tiesiškumą ir vienalytiškumą, o tai reiškia, kad (1) turi būti sumažintas iki formos. Sprendimas
galiojantys
atitinka sprendimą
, ir todėl
. Padaręs pakeitimą
, gauname lygtį su tvarka
.

Lemma. (3)

Dvi (3) ir (4) formos lygtys, kur Q i ir P i yra tolydžios funkcijos, turinčios bendrą pamatinę sprendinių sistemą, sutampa, t.y. Q i (x) = P i (x), i = 1,2,…n,  x

Remdamiesi lema, galime daryti išvadą, kad pagrindinė sprendinių y 1 y 2 …y n sistema visiškai lemia tiesinę vienalytę lygtį (3).

Raskime (3) lygties formą, kuri turi pagrindinę sprendinių sistemą y 1 y 2 …y n . Bet koks sprendimas y(x) (3) lygtis tiesiškai priklauso nuo pagrindinės sprendinių sistemos, o tai reiškia, kad W=0. Išplėskime Wronskio determinantą W per paskutinį stulpelį.

(5) lygtis yra norima tiesinė diferencialinė lygtis, turinti duotą pagrindinių sprendinių sistemą. (5) galime padalyti iš W, nes jis nelygus nuliui  x.

(*)

Tada:

Pagal determinanto diferenciacijos taisyklę determinanto išvestinė lygi i=1,2...n determinantų sumai, kurių kiekvienos i-oji eilutė lygi determinanto išvestinei i- pradinio determinanto eilutė. Šioje sumoje visi determinantai, išskyrus paskutinį, yra lygūs nuliui (nes jie turi dvi vienodas eilutes), o paskutinė yra lygi (*). Taigi gauname:
(6)

(7)

Apibrėžimas. , Tada: Formulės (6) ir (7) vadinamos

Ostrogradsky-Liouville formulės.

Mes naudojame (7), kad integruotume antros eilės tiesinę homogeninę lygtį. Ir sužinokime vieną iš (8) lygties sprendinių y 1.

(9)

Pagal (7) bet koks sprendimas (8) turi atitikti šį ryšį:

Naudokime integravimo faktoriaus metodą.

Tiesinės vienalytės lygtys su

pastovūs koeficientai.

Jei tiesinėje vienalytėje lygtyje visi koeficientai yra pastovūs,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

tada konkrečius sprendinius (1) galima apibrėžti taip: y=e kx, kur k yra konstanta.

Apibrėžimas. (3) - a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

charakteristikos lygtis.

1Sprendimo tipas (1) nustatomas pagal charakteristinės lygties (3) šaknis. ). Visos šaknys yra tikros ir skirtingos

, Tada: .

2). Jei visi koeficientai yra realūs, tada šaknys gali būti sudėtingos konjuguotos

k 1 =+i k 2 =-i

Tada sprendimai turi tokią formą:

Pavyzdys.

Pagal teoremą: jei operatorius su realiais koeficientais turi kompleksinius konjuguotus sprendinius, tai jų tikroji ir menamoji dalys taip pat yra sprendiniai. Tada:
Pateiksime sprendimą formoje

, tada charakteristikos lygtis turi tokią formą:

, gauname du sprendimus:

tada reikalinga funkcija yra: k 3). Yra kelios šaknys: i  3). Yra kelios šaknys: . su daugybe
Šiuo atveju skirtingų sprendimų skaičius

Įrodymas:

bus mažesnis, todėl trūkstamų tiesiškai nepriklausomų sprendimų reikia ieškoti kitokia forma. Pavyzdžiui:

Tarkime, k i =0, jei pakeisime jį į (3), gausime, kad , tada:

- konkretūs sprendimai (3).
(6)

Tegul k i 0, pakeisime

Šaknys (3) skiriasi nuo charakteristikų (7) lygties šaknų terminu k i .

(8)

Jei k=k i , tai šis k atitinka (7) lygties sprendinį, kurio šaknis p=0, t.y. atitinka z= formos sprendinius
, tada y= yra (1) lygties sprendimas. Ir bendras sprendimas atrodo taip:

sprendimas k i



Eilerio lygtis.

Apibrėžimas. Formos lygtis:

a i yra pastovūs koeficientai, vadinami Eilerio lygtis.

Eilerio lygtis pakeitus x=e t redukuojama į tiesinę homogeninę lygtį su pastoviais koeficientais.

Galite ieškoti sprendinių formoje y=x k, tada jie turi formą:

Tiesinės nehomogeninės lygtys.

Jei 0 (x)0, padalijus (1) lygtį iš šio koeficiento, gauname:

Jei i ir f yra ištisiniai b, tai (2) turi unikalų sprendinį, kuris tenkina atitinkamas pradines sąlygas. Jei aukščiausias išvestines iš (2) išreiškiame aiškiai, gauname lygtį, kurios dešinioji pusė tenkina egzistavimo ir unikalumo teoremą. Kadangi operatorius L yra tiesinis, tai reiškia, kad (2) galioja:

1).
- sprendimas (2), jei - nehomogeninės lygties (2) sprendimas ir - atitinkamos vienalytės lygties sprendimas.

2). Jeigu - sprendimai
, Tai
lygties sprendimas
.

2 savybė yra superpozicijos principas, jis galioja tada, kai
, jei serija
- suartėja ir prisipažįsta m- kelių terminų diferencijavimas.

3) Tegu pateikta operatoriaus lygtis
, kur L yra operatorius su koeficientais , Visi - tikras. Funkcijos U ir V taip pat yra realios. Tada, jei ši lygtis turi sprendimą
, tada tos pačios lygties sprendimas bus ir menamoji, ir tikroji dalys:
Ir
. Be to, kiekvienas iš jų atitinka sprendimą.

Teorema. Bendrasis nehomogeninės lygties sprendimasn- apie
segmente [a, b] su sąlyga, kad visi koeficientai
ir dešinėje pusėje
- tolydžios funkcijos, gali būti vaizduojamos kaip bendrojo sprendinio suma, atitinkanti vienalytę sistemą
ir ypatingas nehomogeniškumo sprendimas -
.

Tie. sprendimas
.

Jei neįmanoma aiškiai pasirinkti nehomogeninės sistemos sprendinių, galite naudoti šį metodą konstantos variacijos . Ieškosime sprendimo formoje:

(3)

Kur
vienalytės sistemos sprendimai,
- nežinomos funkcijos.

Iš viso nežinomų funkcijų
- n.

Jie turi atitikti pradinę (2) lygtį.
Pakeitę išraišką y(x) į (2) lygtį, gauname sąlygas nustatyti tik vieną nežinomą funkciją. Likusioms (n-1) šulinėlių funkcijoms nustatyti būtina dar viena (n-1) – tačiau jas galima pasirinkti savavališkai. Parinkime juos taip, kad sprendinys (2) - y(x) būtų tokios pat formos kaip jei

buvo konstantos.
nes
tada elkitės kaip konstantos
.

Tai. be (1) lygties gauname sąlygą (n-1)-bet. Jei išvestinių išraišką pakeisime (1) lygtimi ir atsižvelgsime į visas gautas sąlygas ir į tai, kad y i yra atitinkamos vienalytės sistemos sprendinys, tada gauname paskutinę sąlygą
.