Matricos metodas SLAU sprendimai taikomas sprendžiant lygčių sistemas, kuriose lygčių skaičius atitinka nežinomųjų skaičių. Metodas geriausiai tinka sprendžiant žemos eilės sistemas. Tiesinių lygčių sistemų sprendimo matricinis metodas pagrįstas matricos daugybos savybių taikymu.
Šis metodas, kitaip tariant atvirkštinės matricos metodas, taip vadinama, nes sprendimas redukuojasi į įprastą matricos lygtį, kuriai išspręsti reikia rasti atvirkštinę matricą.
Matricinio sprendimo metodas SLAE, kurio determinantas yra didesnis arba mažesnis už nulį, yra toks:
Tarkime, kad yra SLE (tiesinių lygčių sistema) su n nežinomas (virš savavališko lauko):
Tai reiškia, kad jį galima lengvai konvertuoti į matricos formą:
AX = B, Kur A— pagrindinė sistemos matrica, B Ir X— atitinkamai sistemos laisvųjų terminų ir sprendimų stulpeliai:
Padauginkime šią matricos lygtį iš kairės iš A−1— atvirkštinė matrica į matricą A: A -1 (AX) = A -1 B.
Nes A −1 A=E, Reiškia, X=A–1 B. Dešinėje lygties pusėje pateikiamas pradinės sistemos sprendimo stulpelis. Matricos metodo taikymo sąlyga yra matricos neišsigimimas A. Tam būtina ir pakankama sąlyga yra ta, kad matricos determinantas nėra lygus nuliui A:
detA≠0.
Už vienalytė tiesinių lygčių sistema, t.y. jei vektorius B=0, galioja priešinga taisyklė: sistema AX=0 yra netrivialus (t. y. nelygus nuliui) sprendimas tik tada, kai detA=0. Šis ryšys tarp vienarūšių ir nehomogeninių tiesinių lygčių sistemų sprendinių vadinamas Fredholmo alternatyva.
Taigi, SLAE sprendimas matricos metodu atliekamas pagal formulę 
. Arba SLAE sprendimas randamas naudojant atvirkštinė matrica A−1.
Yra žinoma, kad kvadratinei matricai A tvarka nįjungta n yra atvirkštinė matrica A−1 tik tuo atveju, jei jo determinantas nėra lygus nuliui. Taigi, sistema n tiesines algebrines lygtis su n Nežinomuosius matricos metodu sprendžiame tik tada, kai pagrindinės sistemos matricos determinantas nėra lygus nuliui.
Nepaisant to, kad šio metodo pritaikymui yra apribojimų ir didelių koeficientų verčių ir aukšto laipsnio sistemų skaičiavimo sunkumų, metodą galima lengvai įdiegti kompiuteryje.
Nehomogeninio SLAE sprendimo pavyzdys.
Pirmiausia patikrinkime, ar nežinomų SLAE koeficientų matricos determinantas nėra lygus nuliui.
Dabar randame sąjungos matrica, perkelkite jį ir pakeiskite jį į formulę, kad nustatytumėte atvirkštinę matricą.
Pakeiskite kintamuosius į formulę:
Dabar nežinomuosius randame padauginę atvirkštinę matricą ir laisvųjų terminų stulpelį.
Taigi, x=2; y = 1; z=4.
Pereidami nuo įprastos SLAE formos prie matricos formos, būkite atsargūs su nežinomų kintamųjų tvarka sistemos lygtyse. Pavyzdžiui:
NEGALI būti parašytas taip:
Pirmiausia reikia surikiuoti nežinomus kintamuosius kiekvienoje sistemos lygtyje ir tik po to pereiti prie matricos žymėjimo:
Be to, vietoj to turite būti atsargūs su nežinomų kintamųjų žymėjimu x 1, x 2, …, x n gali būti ir kitų raidžių. Pavyzdžiui:
matricos pavidalu rašome taip:
Matricos metodas geriau tinka sprendžiant tiesinių lygčių sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi, o sistemos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 lygtys, atvirkštinės matricos radimas pareikalaus daugiau skaičiavimo pastangų, todėl tokiu atveju sprendimams patartina naudoti Gauso metodą.
Šis internetinis skaičiuotuvas išsprendžia tiesinių lygčių sistemą naudodamas matricos metodą. Pateiktas labai išsamus sprendimas. Norėdami išspręsti tiesinių lygčių sistemą, pasirinkite kintamųjų skaičių. Pasirinkite atvirkštinės matricos skaičiavimo metodą. Tada įveskite duomenis į langelius ir spustelėkite mygtuką "Apskaičiuoti".
×
Įspėjimas
Išvalyti visas ląsteles?
Uždaryti Išvalyti
Duomenų įvedimo instrukcijos. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir tt), dešimtainiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvedama a/b forma, kur a ir b yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.
Matricinis metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti
Apsvarstykite šią tiesinių lygčių sistemą:
Atsižvelgdami į atvirkštinės matricos apibrėžimą, turime A −1 A=E, Kur E- tapatybės matrica. Todėl (4) galima parašyti taip:
Taigi, norint išspręsti tiesinių lygčių sistemą (1) (arba (2)), pakanka padauginti atvirkštinę A matrica vienam apribojimo vektoriui b.
Tiesinių lygčių sistemos sprendimo matricos metodu pavyzdžiai
1 pavyzdys. Matricos metodu išspręskite šią tiesinių lygčių sistemą:
Raskime matricos A atvirkštinę vertę naudodami Jordano-Gausso metodą. Dešinėje matricos pusėje A Parašykime tapatybės matricą:
Išskirkime žemiau pagrindine įstrižainės esančius 1-ojo matricos stulpelio elementus. Norėdami tai padaryti, pridėkite eilutes 2,3 su 1 eilute, padaugintą atitinkamai iš -1/3, -1/3:
Išskirkime žemiau pagrindine įstrižainės esančius 2-ojo matricos stulpelio elementus. Norėdami tai padaryti, pridėkite 3 eilutę su 2 eilute, padauginta iš -24/51:
Išskirkime 2-ojo matricos stulpelio elementus virš pagrindinės įstrižainės. Norėdami tai padaryti, pridėkite 1 eilutę su 2 eilute, padauginta iš -3/17:
Atskirkite dešinę matricos pusę. Gauta matrica yra atvirkštinė matrica A :
Tiesinių lygčių sistemos rašymo matricinė forma: Ax=b, Kur
Apskaičiuokime visus matricos algebrinius papildinius A:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Atvirkštinė matrica apskaičiuojama pagal šią išraišką.
M tiesinių lygčių sistema su n nežinomųjų vadinama formos sistema
Kur a ij Ir b i (i=1,…,m; b=1,…,n) yra kai kurie žinomi skaičiai ir x 1,…,x n– nežinomas. Koeficientų žymėjime a ij pirmasis indeksas ižymi lygties skaičių, o antrasis j– nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas.
Nežinomųjų koeficientus parašysime matricos pavidalu 
, kurį paskambinsime sistemos matrica.
Dešinėje lygčių pusėje esantys skaičiai yra b 1 ,…, b m yra vadinami nemokami nariai.
Visumą n skaičių c 1,…,c n paskambino sprendimas tam tikros sistemos, jei kiekviena sistemos lygtis į ją pakeitus skaičius tampa lygybe c 1,…,c n vietoj atitinkamų nežinomųjų x 1,…,x n.
Mūsų užduotis bus rasti sistemos sprendimus. Tokiu atveju gali susidaryti trys situacijos:
Vadinama tiesinių lygčių sistema, turinti bent vieną sprendinį jungtis. Priešingu atveju, t.y. jei sistema neturi sprendimų, tada ji vadinama ne sąnarių.
Panagrinėkime būdus, kaip rasti sistemos sprendimus.
TIŠINIŲ LYGČIŲ SISTEMŲ SPRENDIMO MATRIKSNIS METODAS
Matricos leidžia trumpai užrašyti tiesinių lygčių sistemą. Pateikiame 3 lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą:
Apsvarstykite sistemos matricą 
ir nežinomų ir laisvųjų terminų matricų stulpelius 
Susiraskime darbą
tie. dėl sandaugos gauname šios sistemos lygčių kairiąsias puses. Tada, naudojant matricų lygybės apibrėžimą, šią sistemą galima parašyti forma
arba trumpesnis A∙X = B.
Čia yra matricos A Ir B yra žinomi, ir matrica X nežinomas. Jį surasti būtina, nes... jos elementai yra šios sistemos sprendimas. Ši lygtis vadinama matricos lygtis.
Tegul matricos determinantas skiriasi nuo nulio | A| ≠ 0. Tada matricos lygtis sprendžiama taip. Abi kairėje esančios lygties puses padauginkite iš matricos A-1, atvirkštinė matrica A: . Kadangi A -1 A = E Ir E∙X = X, tada gauname matricos lygties sprendimą formoje X = A -1 B .
Atkreipkite dėmesį, kad kadangi atvirkštinę matricą galima rasti tik kvadratinėms matricoms, matricos metodas gali išspręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomųjų skaičiumi. Tačiau sistemos matricinis įrašymas galimas ir tuo atveju, kai lygčių skaičius nėra lygus nežinomųjų skaičiui, tada matrica A nebus kvadratinis ir todėl neįmanoma rasti sistemos sprendimo formoje X = A -1 B.
Pavyzdžiai. Išspręskite lygčių sistemas.
CRAMERIO TAISYKLĖ
Apsvarstykite 3 tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:
Trečios eilės determinantas, atitinkantis sistemos matricą, t.y. sudarytas iš nežinomųjų koeficientų,
paskambino sistemos determinantas.
Dar tris determinantus sudarykime taip: determinanto D 1, 2 ir 3 stulpelius iš eilės pakeiskite laisvųjų terminų stulpeliu.
Tada galime įrodyti tokį rezultatą.
Teorema (Cramerio taisyklė). Jei sistemos determinantas Δ ≠ 0, tai nagrinėjama sistema turi vieną ir tik vieną sprendinį, ir
Įrodymas. Taigi, panagrinėkime 3 lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais. 1-ąją sistemos lygtį padauginkime iš algebrinio papildinio A 11 elementas a 11, 2 lygtis – įjungta A 21 ir 3 – įjungta A 31:
Pridėkime šias lygtis:
Pažvelkime į kiekvieną skliaustą ir dešinę šios lygties pusę. Pagal teoremą apie determinanto išplėtimą 1 stulpelio elementuose
Panašiai galima parodyti, kad ir .
Galiausiai tai nesunku pastebėti 
Taigi gauname lygybę: .
Vadinasi,.
Lygybės ir yra išvestos panašiai, iš kurios išplaukia teoremos teiginys.
Taigi, pastebime, kad jei sistemos determinantas Δ ≠ 0, tai sistema turi unikalų sprendimą ir atvirkščiai. Jeigu sistemos determinantas lygus nuliui, tai sistema arba turi begalinį sprendinių skaičių, arba neturi sprendinių, t.y. nesuderinamas.
Pavyzdžiai. Išspręskite lygčių sistemą
GAUSS METODAS
Anksčiau aptartais metodais galima spręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomųjų skaičiumi, o sistemos determinantas turi skirtis nuo nulio. Gauso metodas yra universalesnis ir tinka sistemoms su bet kokiu lygčių skaičiumi. Jį sudaro nuoseklus nežinomųjų pašalinimas iš sistemos lygčių.
Dar kartą apsvarstykite trijų lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:
.
Pirmąją lygtį paliksime nepakeistą, o iš 2 ir 3 išimsime terminus, kuriuose yra x 1. Norėdami tai padaryti, padalykite antrąją lygtį iš A 21 ir padauginkite iš – A 11, tada pridėkite jį prie 1-osios lygties. Panašiai mes padalijame trečiąją lygtį iš A 31 ir padauginkite iš – A 11, tada pridėkite jį prie pirmojo. Dėl to pradinė sistema bus tokia:
Dabar iš paskutinės lygties pašaliname terminą, kuriame yra x 2. Norėdami tai padaryti, padalykite trečiąją lygtį iš, padauginkite iš ir pridėkite prie antrosios. Tada turėsime lygčių sistemą:
Iš čia, iš paskutinės lygties, lengva rasti x 3, tada iš 2-osios lygties x 2 ir galiausiai nuo 1 d. x 1.
Naudojant Gauso metodą, prireikus lygtis galima sukeisti.
Dažnai, užuot parašę naują lygčių sistemą, jie apsiriboja išplėstinės sistemos matricos užrašymu:
ir tada, naudojant elementarias transformacijas, padarykite trikampę arba įstrižainę.
KAM elementarios transformacijos matricos apima šias transformacijas:
- eilučių ar stulpelių pertvarkymas;
- eilutės padauginimas iš kito skaičiaus nei nulis;
- į vieną eilutę įtraukiant kitas eilutes.
Pavyzdžiai: Išspręskite lygčių sistemas Gauso metodu.
Taigi sistema turi begalinį sprendimų skaičių.
2 tema. TIŠINIŲ ALGEBRINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS.
Pagrindinės sąvokos.
1 apibrėžimas. Sistema m tiesines lygtis su n Unknowns yra tokios formos sistema:
kur ir yra skaičiai.
2 apibrėžimas. Sistemos (I) sprendimas yra nežinomųjų rinkinys, kuriame kiekviena šios sistemos lygtis tampa tapatybe.
3 apibrėžimas. Sistema (I) vadinama jungtis, jei jis turi bent vieną sprendimą ir ne sąnarių, jei jis neturi sprendimų. Jungčių sistema vadinama tam tikras, jei jis turi unikalų sprendimą, ir neapibrėžtas kitaip.
4 apibrėžimas. Formos lygtis
paskambino nulis, o lygtis yra tokios formos
paskambino nesuderinamas. Akivaizdu, kad lygčių sistema, turinti nenuoseklią lygtį, yra nenuosekli.
5 apibrėžimas. Vadinamos dvi tiesinių lygčių sistemos lygiavertis, jei kiekvienas vienos sistemos sprendimas yra kitos sistemos sprendimas ir, atvirkščiai, kiekvienas antrosios sistemos sprendimas yra pirmosios.
Tiesinių lygčių sistemos matricinis vaizdavimas.
Panagrinėkime sistemą (I) (žr. §1).
Pažymime:
Nežinomųjų koeficientų matrica
Matrica – laisvų terminų stulpelis
Matrica – nežinomųjų stulpelis
.
1 apibrėžimas. Matrica vadinama pagrindinė sistemos matrica(I), o matrica yra išplėstinė sistemos (I) matrica.
Pagal matricų lygybės apibrėžimą, sistema (I) atitinka matricos lygybę:
.
Dešinė šios lygybės pusė pagal matricų sandaugą ( žr. 3 apibrėžimą, 5 dalies 1 skyrių) gali būti koeficientas:
, t.y.
Lygybė (2) paskambino sistemos (I) matricos žymėjimas.
Tiesinių lygčių sistemos sprendimas Kramerio metodu.
Įleisti sistemą (I) (žr. §1) m=n, t.y. lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinė sistemos matrica yra nevienetinė, t.y. . Tada sistema (I) iš §1 turi unikalų sprendimą
kur Δ = A vadinamas pagrindiniu sistemos determinantas(I), Δ i gaunamas iš determinanto Δ pakeičiant i stulpelį į laisvųjų sistemos narių stulpelį (I).
Pavyzdys: išspręskite sistemą naudodami Cramerio metodą:
.
Pagal formules (3)
.
Apskaičiuojame sistemos determinantus:
,
,
.
Norėdami gauti determinantą, pirmą determinanto stulpelį pakeitėme laisvųjų terminų stulpeliu; 2-ąjį stulpelį determinante pakeitę laisvųjų terminų stulpeliu, gauname ; panašiu būdu, determinanto 3 stulpelį pakeitę laisvųjų terminų stulpeliu, gauname . Sisteminis sprendimas:
Tiesinių lygčių sistemų sprendimas naudojant atvirkštinę matricą.
Įleisti sistemą (I) (žr. §1) m=n o pagrindinė sistemos matrica yra ne vienaskaita. Parašykime sistemą (I) matricos forma ( žr. §2):
nes matrica A ne vienaskaita, tada ji turi atvirkštinę matricą ( žr. 1 skyriaus 1 teoremą 6). Padauginkime abi lygybės puses (2) tada į matricą
Pagal atvirkštinės matricos apibrėžimą. Iš lygybės (3) mes turime
Išspręskite sistemą naudodami atvirkštinę matricą
.
Pažymėkime
Pavyzdyje (§ 3) apskaičiavome determinantą, taigi, matricą A turi atvirkštinę matricą. Tada galioja (4) , t.y.
. (5)
Raskime matricą ( žr. §6 1 skyrių)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Gauso metodas.
Pateikiame tiesinių lygčių sistemą:
. (aš)
Būtina rasti visus sistemos (I) sprendimus arba patikrinti, ar sistema nenuosekli.
1 apibrėžimas.Pavadinkime tai elementaria sistemos transformacija(I) bet kurį iš trijų veiksmų:
1) nulinės lygties perbraukimas;
2) prie abiejų lygties pusių pridedant atitinkamas kitos lygties dalis, padaugintas iš skaičiaus l;
3) sistemos lygtyse terminų sukeitimas taip, kad nežinomieji su vienodais skaičiais visose lygtyse užimtų tas pačias vietas, t.y. jei, pavyzdžiui, 1 lygtyje pakeitėme 2 ir 3 narius, tai tą patį reikia daryti visose sistemos lygtyse.
Gauso metodas susideda iš to, kad sistema (I) elementariųjų transformacijų pagalba redukuojama į ekvivalentinę sistemą, kurios sprendimas randamas tiesiogiai arba nustatomas jos neišsprendžiamumas.
Kaip aprašyta §2, sistema (I) yra vienareikšmiškai nulemta jos išplėstinės matricos ir bet kuri elementari sistemos (I) transformacija atitinka elementariąją išplėstinės matricos transformaciją:
.
Transformacija 1) atitinka nulinės eilutės išbraukimą matricoje, 2) transformacija atitinka kitos eilutės pridėjimą prie atitinkamos matricos eilutės, padauginta iš skaičiaus l, transformacija 3) atitinka stulpelių pertvarkymą matricoje.
Nesunku pastebėti, kad, priešingai, kiekviena elementari matricos transformacija atitinka elementariąją sistemos (I) transformaciją. Dėl to, kas išdėstyta aukščiau, vietoj operacijų su sistema (I), dirbsime su išplėstine šios sistemos matrica.
Matricoje 1 stulpelis susideda iš koeficientų už x 1, 2 stulpelis – iš koeficientų už x 2 ir tt Jei stulpeliai pertvarkomi, reikia atsižvelgti į tai, kad ši sąlyga pažeidžiama. Pavyzdžiui, jei sukeisime 1 ir 2 stulpelius, dabar 1 stulpelyje bus koeficientai x 2, o 2 stulpelyje – koeficientai už x 1.
Sistemą (I) spręsime Gauso metodu.
1. Nubraukite visas nulines matricos eilutes, jei tokių yra (t. y. perbraukite visas nulines lygtis sistemoje (I).
2. Patikrinkime, ar tarp matricos eilučių yra eilutė, kurioje visi elementai, išskyrus paskutinį, yra lygūs nuliui (vadinkime tokią eilutę nenuoseklia). Akivaizdu, kad tokia linija atitinka nenuoseklią lygtį sistemoje (I), todėl sistema (I) neturi sprendinių ir čia procesas baigiasi.
3. Tegul matricoje nėra nenuoseklių eilučių (sistemoje (I) nėra nenuoseklių lygčių). Jeigu 11 = 0, tada 1-oje eilėje randame kokį nors elementą (išskyrus paskutinę), išskyrus nulį, ir perstatome stulpelius taip, kad 1-oje eilutėje 1-oje vietoje nebūtų nulio. Dabar manysime, kad (t. y. sukeisime atitinkamus terminus sistemos (I) lygtyse).
4. Padauginkite 1 eilutę ir pridėkite rezultatą su 2 eilute, tada 1 eilutę padauginkite iš ir pridėkite rezultatą su 3 eilute ir pan. Akivaizdu, kad šis procesas prilygsta nežinomybės pašalinimui x 1 iš visų (I) sistemos lygčių, išskyrus 1-ąją. Naujoje matricoje 1-ame stulpelyje po elementu gauname nulius a 11:
.
5. Nubraukime visas matricos nulines eilutes, jei tokių yra, ir patikrinkime, ar nėra nenuoseklios eilutės (jei yra, tada sistema nenuosekli ir sprendimas baigiasi). Patikrinkim ar bus a 22 / =0, jei taip, tada 2-oje eilutėje randame elementą, kuris nėra nulis, ir pertvarkome stulpelius taip, kad . Tada padauginkite 2-os eilutės elementus iš 
ir pridėti su atitinkamais 3 eilutės elementais, tada - 2 eilutės elementais ir pridėti su atitinkamais 4 eilutės elementais ir pan., kol gausime nulius po 22/
.
Veiksmai, kurių imamasi, prilygsta nežinomybės pašalinimui x 2 iš visų (I) sistemos lygčių, išskyrus 1-ąją ir 2-ąją. Kadangi eilučių skaičius yra baigtinis, todėl po baigtinio žingsnių skaičiaus gauname, kad arba sistema nenuosekli, arba gauname žingsnių matricą ( žr. 2 punkto 7 apibrėžimą, 1 skyrių) :
,
Išrašykime lygčių sistemą, atitinkančią matricą . Ši sistema yra lygiavertė sistemai (I)
.
Iš paskutinės lygties išreiškiame; pakeisti į ankstesnę lygtį, rasti ir tt, kol gausime .
1 pastaba. Taigi, sprendžiant sistemą (I) Gauso metodu, pasiekiame vieną iš šių atvejų.
1. Sistema (I) nenuosekli.
2. Sistema (I) turi unikalų sprendimą, jei matricos eilučių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui ().
3. Sistema (I) turi begalinį sprendinių skaičių, jei matricos eilučių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių ().
Taigi galioja tokia teorema.
Teorema. Tiesinių lygčių sistema yra arba nenuosekli, arba turi unikalų sprendimą, arba turi begalinį sprendinių skaičių.
Pavyzdžiai. Išspręskite lygčių sistemą Gauso metodu arba įrodykite jos nenuoseklumą:
b) 
;
a) Perrašykime pateiktą sistemą į formą:
.
Sukeitėme 1-ąją ir 2-ąją pradinės sistemos lygtis, kad supaprastintume skaičiavimus (vietoj trupmenų, naudodami šį pertvarkymą, dirbsime tik su sveikaisiais skaičiais).
Sukurkime išplėstinę matricą:
.
Nulinių eilučių nėra; nėra nesuderinamų eilučių, ; Išskirkime 1-ąjį nežinomąjį iš visų sistemos lygčių, išskyrus 1-ąją. Norėdami tai padaryti, padauginkite 1-osios matricos eilutės elementus iš „-2“ ir pridėkite juos su atitinkamais 2-osios eilutės elementais, o tai prilygsta 1-osios lygties padauginimui iš „-2“ ir pridėjimui prie 2-osios. lygtis. Tada 1-os eilutės elementus padauginame iš „-3“ ir pridedame juos su atitinkamais trečios eilutės elementais, t.y. Duotosios sistemos 2-ąją lygtį padauginkime iš „-3“ ir pridėkime prie 3-osios lygties. Mes gauname
.
Matrica atitinka lygčių sistemą). - (žr. 1 skyriaus 3§7 apibrėžimą).
Tai koncepcija, kuri apibendrina visas galimas operacijas, atliekamas su matricomis. Matematinė matrica – elementų lentelė. Apie stalą kur m linijos ir n stulpelius, teigiama, kad ši matrica turi matmenis mįjungta n.
Bendras matricos vaizdas:
Už matriciniai sprendimai būtina suprasti, kas yra matrica, ir žinoti pagrindinius jos parametrus. Pagrindiniai matricos elementai:
- Pagrindinė įstrižainė, susidedanti iš elementų a 11, a 22…a mn.
- Šoninė įstrižainė, susidedanti iš elementų a 1n , a 2n-1 .....a m1.
Pagrindiniai matricų tipai:
- Kvadratas yra matrica, kurioje eilučių skaičius = stulpelių skaičius ( m=n).
- Nulis – kur visi matricos elementai = 0.
- Transponuota matrica – matrica IN, kuris buvo gautas iš pradinės matricos A eilutes pakeičiant stulpeliais.
- Vienybė – visi pagrindinės įstrižainės elementai = 1, visi kiti = 0.
- Atvirkštinė matrica yra matrica, kurią padauginus iš pradinės matricos gaunama tapatybės matrica.
Matrica gali būti simetriška pagrindinės ir antrinės įstrižainės atžvilgiu. Tai yra, jei 12 = 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, tada matrica yra simetriška pagrindinei įstrižai. Tik kvadratinės matricos gali būti simetriškos.
Matricų sprendimo metodai.
Beveik viskas matricos sprendimo metodai susideda iš jo determinanto suradimo n-oji tvarka ir dauguma jų yra gana sudėtingos. Norint rasti 2 ir 3 eilės determinantą, yra kiti, racionalesni metodai.
2 eilės determinantų radimas.
Apskaičiuoti matricos determinantą A 2 eilės, antrinės įstrižainės elementų sandaugą reikia atimti iš pagrindinės įstrižainės elementų sandaugos:
3 eilės determinantų radimo metodai.
Žemiau pateikiamos 3 eilės determinanto radimo taisyklės.
Supaprastinta trikampio taisyklė kaip viena iš matricos sprendimo metodai, galima pavaizduoti taip:
Kitaip tariant, pirmojo determinanto elementų, sujungtų tiesiomis linijomis, sandauga paimama su „+“ ženklu; Be to, 2-ojo determinanto atveju atitinkami produktai imami su „-“ ženklu, tai yra, pagal šią schemą:
At sprendžiant matricas naudojant Sarrus taisyklę, determinanto dešinėje, pridėkite pirmąsias 2 stulpelius ir atitinkamų elementų sandaugos pagrindinėje įstrižainėje ir lygiagrečiose jai įstrižainėse paimkite su „+“ ženklu; antrinės įstrižainės ir jai lygiagrečių įstrižainių atitinkamų elementų sandaugos su ženklu „-“:
Determinanto išskaidymas eilutėje ar stulpelyje sprendžiant matricas.
Determinantas lygus determinanto eilutės elementų ir jų algebrinių papildinių sandaugų sumai. Paprastai pasirenkama eilutė / stulpelis, kuriame yra nuliai. Eilutė ar stulpelis, išilgai kurio atliekamas skaidymas, bus pažymėtas rodykle.
Determinanto sumažinimas iki trikampio formos sprendžiant matricas.
At sprendžiant matricas determinanto redukavimo į trikampę metodą, jie veikia taip: naudojant paprasčiausias eilučių ar stulpelių transformacijas, determinantas tampa trikampio formos ir tada jo reikšmė, atsižvelgiant į determinanto savybes, bus lygi sandaugai elementų, kurie yra pagrindinėje įstrižainėje.
Laplaso teorema matricoms spręsti.
Sprendžiant matricas naudojant Laplaso teoremą, reikia žinoti pačią teoremą. Laplaso teorema: Tegu Δ - tai yra lemiamas veiksnys n– įsakymas. Mes pasirenkame bet kurį k eilučių (arba stulpelių). k≤ n - 1. Šiuo atveju visų nepilnamečių produktų suma k- užsakymas, esantis pasirinktame k eilučių (stulpelių), pagal jų algebrinius papildinius bus lygūs determinantui.
Atvirkštinės matricos sprendimas.
Veiksmų seka, skirta atvirkštinės matricos sprendimai:
- Nustatykite, ar duota matrica yra kvadratinė. Jei atsakymas yra neigiamas, tampa aišku, kad jam negali būti atvirkštinė matrica.
- Skaičiuojame algebrinius papildinius.
- Sudarome sąjunginę (abipusę, adjungtinę) matricą C.
- Atvirkštinę matricą sudarome iš algebrinių priedų: visi adjungtinės matricos elementai C padalinti iš pradinės matricos determinanto. Galutinė matrica bus reikiama atvirkštinė matrica, palyginti su duota.
- Tikriname atliktą darbą: padauginame pradinę matricą ir gautą matricą, rezultatas turėtų būti tapatumo matrica.
Matricinių sistemų sprendimas.
Už matricinių sistemų sprendimai Dažniausiai naudojamas Gauso metodas.
Gauso metodas yra standartinis tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistemų sprendimo metodas ir susideda iš to, kad kintamieji yra eliminuojami nuosekliai, t. formą ir iš jos nuosekliai, pradedant nuo pastarojo (pagal skaičių), rasti kiekvieną sistemos elementą.
Gauso metodas yra universaliausias ir geriausias įrankis ieškant matricinių sprendimų. Jei sistemoje yra begalinis sprendinių skaičius arba sistema nesuderinama, tai jos negalima išspręsti naudojant Cramerio taisyklę ir matricos metodą.
Gauso metodas taip pat apima tiesioginius (išplėstinės matricos sumažinimas į laipsnišką formą, t. y. nulių gavimą po pagrindine įstrižaine) ir atvirkštinį (nulių gavimą virš pagrindinės išplėstinės matricos įstrižainės) judesius. Judėjimas pirmyn yra Gauso metodas, o atvirkštinis judėjimas yra Gauso-Jordano metodas. Gauso-Jordano metodas nuo Gauso metodo skiriasi tik kintamųjų eliminavimo seka.
