Gyvenime dažnai teks spręsti matematines problemas: mokykloje, universitete, o vėliau padėti vaikui ruošti namų darbus. Tam tikrų profesijų žmonės su matematika susidurs kasdien. Todėl pravartu įsiminti arba prisiminti matematines taisykles. Šiame straipsnyje apžvelgsime vieną iš jų: stačiojo trikampio kojos radimą.

Kas yra stačiakampis trikampis

Pirmiausia prisiminkime, kas yra stačiakampis trikampis. Statusis trikampis yra geometrinė figūra iš trijų atkarpų, jungiančių taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, o vienas iš šios figūros kampų yra 90 laipsnių. Kraštinės, sudarančios stačią kampą, vadinamos kojomis, o pusė, kuri yra priešais stačią kampą, vadinama hipotenuse.

Stačiojo trikampio kojos radimas

Yra keletas būdų, kaip sužinoti kojos ilgį. Norėčiau juos išsamiau apsvarstyti.

Pitagoro teorema stačiojo trikampio kraštinei rasti

Jei žinome hipotenuzą ir koją, tada nežinomos kojos ilgį galime rasti naudodami Pitagoro teoremą. Tai skamba taip: „Kipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai“. Formulė: c²=a²+b², kur c – hipotenuzė, a ir b – kojos. Transformuojame formulę ir gauname: a²=c²-b².

Pavyzdys. Hipotenuzė yra 5 cm, o kojelė yra 3 cm Transformuojame formulę: c²=a²+b² → a²=c²-b². Toliau sprendžiame: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonometriniai santykiai stačiojo trikampio kojai rasti

Taip pat galite rasti nežinomą koją, jei žinote bet kurią kitą stačiojo trikampio kraštinę ir smailųjį kampą. Yra keturi parinktys, kaip rasti koją naudojant trigonometrines funkcijas: sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas. Norėdami išspręsti problemas, mums padės toliau pateikta lentelė. Apsvarstykime šias galimybes.

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami sinusą

Kampo sinusas (sin) yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis. Formulė: sin=a/c, kur a yra koja, priešinga duotam kampui, o c yra hipotenuzė. Toliau transformuojame formulę ir gauname: a=sin*c.

Pavyzdys. Hipotenuzė yra 10 cm, kampas A yra 30 laipsnių. Naudodamiesi lentele apskaičiuojame kampo A sinusą, jis lygus 1/2. Tada, naudodami transformuotą formulę, išsprendžiame: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami kosinusą

Kampo kosinusas (cos) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Formulė: cos=b/c, kur b yra koja, esanti greta tam tikro kampo, o c yra hipotenuzė. Transformuokime formulę ir gaukime: b=cos*c.

Pavyzdys. Kampas A lygus 60 laipsnių, hipotenuzė lygi 10 cm Naudodami lentelę apskaičiuojame kampo A kosinusą, jis lygus 1/2. Toliau sprendžiame: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami liestinę

Kampo liestinė (tg) yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis. Formulė: tg=a/b, kur a – kampui priešinga pusė, o b – gretima. Transformuokime formulę ir gaukime: a=tg*b.

Pavyzdys. Kampas A lygus 45 laipsniams, hipotenuza lygi 10 cm Naudodamiesi lentele apskaiciuojame kampo A liestine, jis lygus Spręsti: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami kotangentą

Kampo kotangentas (ctg) yra gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis. Formulė: ctg=b/a, kur b yra koja, esanti greta kampo, ir yra priešinga koja. Kitaip tariant, kotangentas yra „apversta liestinė“. Gauname: b=ctg*a.

Pavyzdys. Kampas A yra 30 laipsnių, priešinga kojelė yra 5 cm. Pagal lentelę kampo A liestinė yra √3. Skaičiuojame: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Taigi dabar jūs žinote, kaip rasti koją stačiakampiame trikampyje. Kaip matote, tai nėra taip sunku, svarbiausia atsiminti formules.

Internetinis skaičiuotuvas.
Trikampių sprendimas.

Trikampio sprendimas reiškia visų šešių jo elementų (t. y. trijų kraštinių ir trijų kampų) paiešką iš bet kurių trijų nurodytų trikampį apibrėžiančių elementų.

Ši matematinė programa suranda kraštines \(b, c\) ir kampą \(\alpha \) iš vartotojo nurodytos pusės \(a\) ir du gretimus kampus \(\beta \) ir \(\gamma \)

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo paieškos procesą.

Ši internetinė skaičiuoklė gali praversti vidurinių mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakyla.

Jei nesate susipažinę su skaičių įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Skaičių įvedimo taisyklės

Skaičius galima nurodyti ne tik kaip sveikus skaičius, bet ir kaip trupmenas.
Sveikasis skaičius ir trupmenos dalys dešimtainėse trupmenose gali būti atskirtos tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti dešimtaines trupmenas, pvz., 2,5 arba 2,5

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palaukite sek...

Jeigu jūs pastebėjo sprendimo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Sinusų teorema

Teorema

Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinuso teorema

Teorema
Tegu trikampyje ABC AB = c, BC = a, CA = b. Tada
Trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, atėmus du kartus tų kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Trikampių sprendimas

Trikampio sprendimas reiškia visų šešių jo elementų (t. y. trijų kraštinių ir trijų kampų) paiešką iš bet kurių trijų nurodytų trikampį apibrėžiančių elementų.

Pažvelkime į tris problemas, susijusias su trikampio sprendimu. Šiuo atveju trikampio ABC kraštinėms žymėti naudosime tokį žymėjimą: AB = c, BC = a, CA = b.

Trikampio sprendimas naudojant dvi kraštines ir kampą tarp jų

Duota: \(a, b, \kampas C\). Rasti \(c, \kampas A, \kampas B\)

Sprendimas
1. Naudodami kosinuso teoremą randame \(c\):

3. \(\kampas B = 180^\circ -\kampas A -\kampas C\)

Trikampio sprendimas pagal šoną ir gretimus kampus

Duota: \(a, \kampas B, \kampas C\). Rasti \(\kampas A, b, c\)

Sprendimas
1. \(\kampas A = 180^\circ -\kampas B -\kampas C\)

Trikampio sprendimas naudojant tris kraštines

Duota: \(a, b, c\). Rasti \(\kampas A, \kampas B, \kampas C\)

Sprendimas
1. Naudodamiesi kosinuso teorema gauname:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. Panašiai randame kampą B.
3. \(\kampas C = 180^\circ -\kampas A -\kampas B\)

Trikampio sprendimas naudojant dvi kraštines ir kampą prieš žinomą kraštinę

Duota: \(a, b, \kampas A\). Rasti \(c, \kampas B, \kampas C\)

Sprendimas
1. Naudodami sinusų teoremą randame \(\sin B\) gauname:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Įveskime žymėjimą: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Atsižvelgiant į skaičių D, galimi šie atvejai:
Jei D > 1, tokio trikampio nėra, nes \(\sin B\) negali būti didesnis nei 1
Jei D = 1, yra unikalus \(\kampas B: \quad \sin B = 1 \RightArrow \angle B = 90^\circ \)
Jei D Jei D 2. \(\kampas C = 180^\circ -\kampas A -\kampas B\)

3. Naudodami sinuso teoremą apskaičiuojame kraštinę c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Pirmieji yra segmentai, esantys greta stačiojo kampo, o hipotenuzė yra ilgiausia figūros dalis ir yra priešais 90 laipsnių kampą. Pitagoro trikampis yra tas, kurio kraštinės lygios natūraliiesiems skaičiams; jų ilgiai šiuo atveju vadinami „Pitagoro trigubu“.

Egipto trikampis

Kad dabartinė karta atpažintų geometriją tokia forma, kokia jos mokoma mokykloje, ji vystėsi per kelis šimtmečius. Esminis dalykas yra Pitagoro teorema. Stačiakampio kraštinės yra žinomos visame pasaulyje) yra 3, 4, 5.

Nedaugelis žmonių nežino frazės „Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis“. Tačiau iš tikrųjų teorema skamba taip: c 2 (hipotenuzės kvadratas) = ​​a 2 + b 2 (kojelių kvadratų suma).

Tarp matematikų trikampis, kurio kraštinės yra 3, 4, 5 (cm, m ir tt), vadinamas „egiptišku“. Įdomu tai, kad tai, kas įrašyta paveiksle, yra lygi vienetui. Pavadinimas atsirado maždaug V amžiuje prieš Kristų, kai graikų filosofai keliavo į Egiptą.

Statydami piramides architektai ir matininkai naudojo santykį 3:4:5. Tokios konstrukcijos pasirodė proporcingos, malonios žiūrėti ir erdvios, taip pat retai griūdavo.

Statant statmeną kampą, statybininkai panaudojo virvę, ant kurios buvo surišta 12 mazgų. Šiuo atveju stačiojo trikampio sudarymo tikimybė padidėjo iki 95%.

Figūrų lygybės ženklai

• Smailusis kampas stačiakampyje ir ilgoji kraštinė, kurie yra lygūs tiems patiems antrojo trikampio elementams, yra neginčijamas figūrų lygybės ženklas. Atsižvelgiant į kampų sumą, nesunku įrodyti, kad antrieji smailieji kampai taip pat yra lygūs. Taigi pagal antrąjį kriterijų trikampiai yra identiški.
• Sudėdami dvi figūras vieną ant kitos, jas pasukame taip, kad sujungus jos taptų vienu lygiašoniu trikampiu. Pagal jo savybę kraštinės, tiksliau, hipotenosai yra vienodos, taip pat kampai prie pagrindo, vadinasi, šios figūros yra vienodos.

Remiantis pirmuoju ženklu, labai lengva įrodyti, kad trikampiai tikrai lygūs, svarbiausia, kad dvi mažesnės kraštinės (t. y. kojos) būtų lygios viena kitai.

Trikampiai bus identiški pagal antrąjį kriterijų, kurio esmė – kojos ir smailiojo kampo lygybė.

Trikampio su stačiu kampu savybės

Aukštis, nuleistas iš dešiniojo kampo, padalija figūrą į dvi lygias dalis.

Stačiojo trikampio kraštines ir jo medianą galima nesunkiai atpažinti pagal taisyklę: mediana, kuri patenka į hipotenuzą, yra lygi jos pusei. galima rasti ir pagal Herono formulę, ir pagal teiginį, kad jis lygus pusei kojų sandaugos.

Stačiakampiame trikampyje taikomos 30°, 45° ir 60° kampų savybės.

• Kai kampas yra 30 °, reikia atsiminti, kad priešinga kojelė bus lygi 1/2 didžiausios pusės.
• Jei kampas yra 45°, tai antrasis smailusis kampas taip pat yra 45°. Tai rodo, kad trikampis yra lygiašonis, o jo kojos yra vienodos.
• 60° kampo savybė yra ta, kad trečiojo kampo laipsnio matas yra 30°.

Plotas gali būti lengvai nustatomas naudojant vieną iš trijų formulių:

1. per aukštį ir pusę, ant kurios nusileidžia;
2. pagal Herono formulę;
3. šonuose ir kampu tarp jų.

Stačiojo trikampio kraštinės, tiksliau, kojos, susilieja su dviem aukščiais. Norint rasti trečiąjį, reikia atsižvelgti į gautą trikampį, o tada, naudojant Pitagoro teoremą, apskaičiuoti reikiamą ilgį. Be šios formulės, taip pat yra ryšys tarp dvigubo ploto ir hipotenuzės ilgio. Dažniausia studentų išraiška yra pirmoji, nes reikia mažiau skaičiavimų.

Stačiajam trikampiui taikomos teoremos

Stačiojo trikampio geometrija apima teoremų, tokių kaip:

Geometrijoje kampas yra figūra, sudaryta iš dviejų spindulių, sklindančių iš vieno taško (kampo viršūnės). Kampai dažniausiai matuojami laipsniais, o visas kampas arba apsisukimas yra 360 laipsnių. Galite apskaičiuoti daugiakampio kampą, jei žinote daugiakampio tipą ir kitų jo kampų dydį arba, jei trikampis yra stačiakampis, dviejų jo kraštinių ilgį.

Žingsniai

Daugiakampio kampų skaičiavimas

Suskaičiuokite kampų skaičių daugiakampyje.

Raskite visų daugiakampio kampų sumą. Visų daugiakampio vidinių kampų sumos nustatymo formulė yra (n - 2) x 180, kur n yra daugiakampio kraštinių skaičius ir kampai. Štai kai kurių dažniausiai pasitaikančių daugiakampių kampų sumos:

• Trikampio (trikampio daugiakampio) kampų suma lygi 180 laipsnių.
• Keturkampio (keturkampio daugiakampio) kampų suma yra 360 laipsnių.
• Penkiakampio (penkiakampio daugiakampio) kampų suma yra 540 laipsnių.
• Šešiakampio (šešiakampio daugiakampio) kampų suma yra 720 laipsnių.
• Aštuonkampio (aštuonkampio daugiakampio) kampų suma yra 1080 laipsnių.

1. Nustatykite, ar daugiakampis yra taisyklingas. Taisyklingas daugiakampis yra tas, kurio visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs. Taisyklingų daugiakampių pavyzdžiai yra lygiakraštis trikampis ir kvadratas, o Pentagonas Vašingtone yra pastatytas taisyklingo penkiakampio formos, o sustojimo ženklas yra įprasto aštuonkampio formos.

   Sudėkite žinomus daugiakampio kampus ir atimkite šią sumą iš visų jo kampų sumos. Dauguma tokio pobūdžio geometrijos problemų yra susijusios su trikampiais arba keturkampiais, nes jiems reikia mažiau įvesties duomenų, todėl darysime tą patį.

   • Jei du trikampio kampai yra lygūs atitinkamai 60 laipsnių ir 80 laipsnių, pridėkite šiuos skaičius. Rezultatas bus 140 laipsnių. Tada atimkite šią sumą iš visos trikampio kampų sumos, tai yra, iš 180 laipsnių: 180 - 140 = 40 laipsnių. (Trikampis, kurio visi kampai yra nelygūs, vadinamas lygiakraštis.)
   • Šį sprendimą galite parašyti kaip formulę a = 180 - (b + c), kur a yra kampas, kurio vertę reikia rasti, b ir c yra žinomų kampų reikšmės. Daugiakampiuose, kurių kraštinės yra daugiau nei trys, 180 pakeiskite to tipo daugiakampio kampų suma ir prie kiekvieno žinomo kampo skliausteliuose esančios sumos pridėkite po vieną narį.
   • Kai kurie daugiakampiai turi savo „gudrybes“, kurios padės apskaičiuoti nežinomą kampą. Pavyzdžiui, lygiašonis trikampis yra trikampis su dviem lygiomis kraštinėmis ir dviem vienodais kampais. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės ir priešingi kampai yra lygūs.

   Stačiojo trikampio kampų skaičiavimas

   1. Nustatykite, kokius duomenis žinote. Statusis trikampis vadinamas todėl, kad vienas iš jo kampų yra tiesus. Galite rasti vieno iš dviejų likusių kampų dydį, jei žinote vieną iš šių dalykų:

      Nustatykite, kurią trigonometrinę funkciją naudoti. Trigonometrinės funkcijos išreiškia ryšį tarp dviejų iš trijų trikampio kraštinių. Yra šešios trigonometrinės funkcijos, tačiau dažniausiai naudojamos:

Jame įrašytas apskritimas (r). Norėdami tai padaryti, padidinkite jį šešis kartus ir padalinkite iš trijų kvadratinės šaknies: A = r*6/√3.

Žinodami spindulį (R), taip pat galite apskaičiuoti ilgį pusės(A) teisinga trikampis. Šis spindulys yra du kartus didesnis nei naudotas ankstesnėje formulėje, todėl jį patrigubinkite ir taip pat padalinkite iš trijų kvadratinės šaknies: A = R*3/√3.

Pagal (P) lygiakraščius trikampis apskaičiuokite jo ilgį pusės(A) yra dar paprastesnis, nes šio paveikslo kraštinių ilgiai yra vienodi. Tiesiog padalinkite perimetrą iš trijų: A = P/3.

Lygiašoniame trikampyje, skaičiuojant ilgį pusės išilgai žinomo perimetro yra šiek tiek sudėtingiau - taip pat reikia žinoti bent vienos pusės ilgį. Jei žinomas ilgis pusės A, gulėdamas figūros pagrinde, raskite bet kurios kraštinės (B) ilgį per pusę skirtumo tarp perimetro (P) ir pagrindo dydžio: B = (P-A)/2. O jei žinoma šoninė pusė, tai pamato ilgį nustatykite iš perimetro atėmę dvigubą kraštinės ilgį: A = P-2*B.

Taip pat pakanka žinoti plotą (S), kurį užima taisyklingas trikampis plokštumoje, norint rasti jo ilgį pusės(A). Paimkite kvadratinę šaknį iš ploto santykio ir šaknies iš trijų ir padvigubinkite rezultatą: A = 2*√(S/√3).

Į , iš bet kurios kitos, norint apskaičiuoti vienos iš kraštinių ilgį, pakanka žinoti kitų dviejų ilgius. Jei reikiama kraštinė yra (C), norėdami tai padaryti, raskite žinomų kraštinių (A ir B) ilgių kvadratinę šaknį, pakeltą kvadratu: C = √(A²+B²). O jei reikia apskaičiuoti vienos kojos ilgį, tada kvadratinę šaknį reikia paimti iš hipotenuzės ir kitos kojos ilgių: A = √(C²-B²).

Šaltiniai:

• kaip apskaičiuoti lygiakraščio trikampio kraštinę

Bendru atveju, t.y. kai nėra informacijos apie tai, ar trikampis yra lygiakraštis, lygiašonis ar dešinysis, jo kraštinių ilgiams apskaičiuoti turime naudoti trigonometrines funkcijas. Jų taikymo taisykles nustato teoremos, kurios vadinamos sinusų, kosinusų ir liestinių teorema.

Instrukcijos

Vienas iš būdų apskaičiuoti savavališko kraštinių ilgį trikampis prisiima sinuso teoremas. Pagal jį priešingų kampų kraštinių ilgių santykis trikampis yra lygūs. Tai leidžia išvesti kraštinės ilgio formulę tiems atvejams, kai iš uždavinio sąlygų yra žinoma bent viena kraštinė ir du kampai figūros viršūnėse. Jei nė vienas iš šių dviejų kampų (α ir β) nėra tarp žinomos kraštinės A ir apskaičiuotos kraštinės B, tada žinomos kraštinės ilgį padauginkite iš gretimo žinomo kampo β sinuso ir padalykite iš kito žinomo kampo sinuso. a: B = A*sin(β)/sin(α).

Jei vieną (γ) iš dviejų žinomų kampų (α ir γ) sudaro , kurio vieno ilgis (A) nurodytas , o reikia apskaičiuoti antrąjį (B), tada taikykite tą pačią teoremą. Sprendimas gali būti sumažintas iki formulės, gautos ankstesniame žingsnyje, jei taip pat prisiminsime teoremą apie trikampio kampų sumą - ši vertė visada yra 180 °. Kampas β formulėje nežinomas, kurį galima apskaičiuoti pagal šią teoremą iš 180° atėmus dviejų žinomų kampų vertes. Pakeiskite šią reikšmę į lygtį ir gausite formulę B = A*sin(180°-α-γ)/sin(α).