Sąlyginiai skirstymo dėsniai. Regresija.
Apibrėžimas. Vieno iš dvimačio atsitiktinio dydžio (X, Y) vienmačio komponento sąlyginis pasiskirstymo dėsnis yra jo pasiskirstymo dėsnis, apskaičiuojamas su sąlyga, kad kitas komponentas įgavo tam tikrą reikšmę (arba pateko į kokį nors intervalą). Ankstesnėje paskaitoje nagrinėjome diskrečiųjų atsitiktinių dydžių sąlyginių skirstinių radimą. Ten taip pat pateiktos sąlyginių tikimybių formulės:
Ištisinių atsitiktinių dydžių atveju būtina nustatyti sąlyginių skirstinių j y (x) ir j X (y) tikimybių tankius. Tuo tikslu pateiktose formulėse įvykių tikimybes pakeičiame jų „tikimybės elementais“!
sumažinę dx ir dy gauname:
tie. dvimačio atsitiktinio dydžio vienos iš vienmačių dedamųjų sąlyginis tikimybės tankis yra lygus jo jungtinio tankio ir kitos dedamosios tikimybės tankio santykiui. Šie santykiai parašyti formoje
vadinami pasiskirstymo tankių dauginimo teorema (taisykle).
Sąlyginiai tankiai j y (x) ir j X (y). turi visas „besąlyginio“ tankio savybes.
Tiriant dvimačius atsitiktinius dydžius, atsižvelgiama į vienmačių komponentų X ir Y skaitines charakteristikas – matematinius lūkesčius ir dispersijas. Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui (X, Y) jie nustatomi pagal formules:
Kartu su jais nagrinėjamos ir skaitinės sąlyginių skirstinių charakteristikos: sąlyginiai matematiniai lūkesčiai M x (Y) ir M y (X) bei sąlyginės dispersijos D x (Y) ir D Y (X). Šios charakteristikos randamos naudojant įprastas matematinių lūkesčių ir dispersijos formules, kuriose vietoj įvykių tikimybių ar tikimybių tankių naudojamos sąlyginės tikimybės arba sąlyginių tikimybių tankiai.
Sąlyginis matematinis atsitiktinio dydžio Y lūkestis, kai X = x, t.y. M x (Y) yra x funkcija, vadinama regresijos funkcija arba tiesiog Y regresija X. Panašiai M Y (X) vadinama regresijos funkcija arba tiesiog X regresija nuo Y. Šių funkcijų grafikai yra vadinamos regresijos linijomis (arba regresijos kreivėmis) Y atitinkamai X arba X pagal Y.
Priklausomi ir nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.
Apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nepriklausomais, jei jų jungtinė skirstymo funkcija F(x,y) vaizduojama kaip šių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcijų F 1 (x) ir F 2 (y) sandauga, t.y.
Kitu atveju atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami priklausomais.
Du kartus diferencijuodami lygybę argumentų x ir y atžvilgiu, gauname
tie. nepriklausomiems nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams X ir Y jų bendras tankis j(x,y) yra lygus šių atsitiktinių dydžių tikimybių tankių j 1 (x) ir j 2 (y) sandaugai.
Iki šiol susidurdavome su funkcinio ryšio tarp kintamųjų X ir Y samprata, kai kiekviena vieno kintamojo reikšmė x atitiko griežtai apibrėžtą kito reikšmę. Pavyzdžiui, ryšys tarp dviejų atsitiktinių dydžių – sugedusių įrenginių skaičiaus per tam tikrą laikotarpį ir jų kainos – yra funkcinis.
Apskritai jie susiduria su kitokio tipo priklausomybe, ne tokia stipria nei funkcinė.
Apibrėžimas. Ryšys tarp dviejų atsitiktinių dydžių vadinamas tikimybiniu (stochastiniu arba statistiniu), jei kiekviena vieno iš jų reikšmė atitinka tam tikrą (sąlyginį) kito pasiskirstymą.
Tikimybinės (stochastinės) priklausomybės atveju, žinant vieno iš jų reikšmę, tiksliai nustatyti kito reikšmę neįmanoma, tačiau galima tik nurodyti kito dydžio pasiskirstymą. Pavyzdžiui, įrangos gedimų skaičiaus ir jos prevencinio remonto kainos santykis, žmogaus svoris ir ūgis, laikas, kurį moksleivis praleidžia žiūrėdamas televizorių ir skaitydamas knygas ir kt. yra tikimybiniai (stochastiniai).
Fig. 5.10 paveiksle pateikti priklausomų ir nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y pavyzdžiai.
Du atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami nepriklausomais, jei vieno atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis nesikeičia priklausomai nuo to, kokias galimas reikšmes įgyja kitas atsitiktinis kintamasis. Tai yra, bet kurių $x$ ir $y$ įvykiai $X=x$ ir $Y=y$ yra nepriklausomi. Kadangi įvykiai $X=x$ ir $Y=y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių sandaugos teoremą $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ dešinė)\right)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.
1 pavyzdys . Atsitiktinis dydis $X$ išreiškia grynuosius laimėjimus iš vienos loterijos „Russian Lotto“ bilietų, o atsitiktinis dydis $Y$ – grynuosius laimėjimus iš kitos loterijos „Auksinis raktas“ bilietų. Akivaizdu, kad atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ bus nepriklausomi, nes vienos loterijos bilietų laimėjimai nepriklauso nuo laimėjimų paskirstymo iš kitos loterijos bilietų dėsnio. Tuo atveju, kai atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ išreikštų tos pačios loterijos laimėjimus, akivaizdu, kad šie atsitiktiniai dydžiai būtų priklausomi.
2 pavyzdys . Du darbuotojai dirba skirtinguose cechuose ir gamina įvairius gaminius, nesusijusius vienas su kitu gamybos technologijomis ir naudojamomis žaliavomis. Pirmojo darbuotojo per pamainą pagamintų nekokybiškų gaminių skaičiaus paskirstymo įstatymas yra tokia forma:
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ gaminių skaičius \ x & 0 ir 1 \\
\hline
Tikimybė ir 0,8 ir 0,2 \\
\hline
\end(masyvas)$
Sugedusių gaminių skaičius, kurį per pamainą pagamina antrasis darbuotojas, atitinka šį paskirstymo dėsnį.
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ gaminių skaičius \ y & 0 ir 1 \\
\hline
Tikimybė ir 0,7 ir 0,3 \\
\hline
\end(masyvas)$
Raskime paskirstymo dėsnį sugedusių gaminių skaičiui, pagaminamų dviejų darbuotojų per pamainą.
Tegul atsitiktinis kintamasis $X$ yra sugedusių gaminių, pagamintų pirmojo darbuotojo per pamainą, skaičius, o $Y$ – gaminių su trūkumais, pagamintų antrojo darbuotojo per pamainą, skaičius. Pagal sąlygą atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi.
Dviejų darbuotojų per pamainą pagamintų gaminių su defektais skaičius yra atsitiktinis dydis $X+Y$. Galimos jo vertės yra $0,\1$ ir $2$. Raskime tikimybes, su kuriomis atsitiktinis kintamasis $X+Y$ įgauna savo reikšmes.
$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0.8\cdot 0.7=0.56.$
$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\Y=1\ or\X=1,\Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\kairė(Y=1\dešinė)+P\kairė(X=1\dešinė)P\kairė(Y=0\dešinė)=0,8\ctaškas 0,3+0,2\ctaškas 0,7 =0,38.$
$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0.2\cdot 0.3=0.06.$
Tada sugedusių gaminių, pagamintų dviejų darbuotojų per pamainą, skaičiaus pasiskirstymo dėsnis:
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ produktų skaičius & 0 & 1 ir 2 \\
\hline
Tikimybė ir 0,56 ir 0,38 ir 0,06\\
\hline
\end(masyvas)$
Ankstesniame pavyzdyje atlikome operaciją su atsitiktiniais dydžiais $X,\Y$, būtent, radome jų sumą $X+Y$. Dabar pateikime griežtesnį atsitiktinių dydžių operacijų (sudėties, skirtumo, daugybos) apibrėžimą ir pateiksime sprendimų pavyzdžius.
1 apibrėžimas. Atsitiktinio kintamojo $X$ sandauga $kX$ iš pastovaus kintamojo $k$ yra atsitiktinis kintamasis, kuris įgyja reikšmes $kx_i$ su tokiomis pačiomis tikimybėmis $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \taškai ,\ n\ dešinė)$.
2 apibrėžimas. Atsitiktinių dydžių $X$ ir $Y$ suma (skirtumas arba sandauga) yra atsitiktinis dydis, kurio visos galimos formos $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ arba $x_i\cdot y_i$) , kur $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, su tikimybėmis $p_(ij)$, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis $x_i$, o $Y$ – $y_j$:
$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$
Kadangi atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dešinėje)= p_i\cdot p_j$.
3 pavyzdys . Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai $X,\ Y$ nurodomi jų tikimybių skirstymo dėsniais.
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
x_i ir -8 ir 2 ir 3 \\
\hline
p_i ir 0,4 ir 0,1 ir 0,5 \\
\hline
\end(masyvas)$
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
y_i ir 2 ir 8 \\
\hline
p_i ir 0,3 ir 0,7 \\
\hline
\end(masyvas)$
Suformuluokime atsitiktinio dydžio $Z=2X+Y$ pasiskirstymo dėsnį. Atsitiktinių dydžių $X$ ir $Y$ suma, ty $X+Y$, yra atsitiktinis kintamasis, kurio visos galimos reikšmės yra $x_i+y_j$, kur $i=1,\ 2 ,\taškai ,\ n$ , su tikimybėmis $p_(ij)$, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis $x_i$, o $Y$ - $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Kadangi atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dešinėje)= p_i\cdot p_j$.
Taigi, jis turi atsitiktinių dydžių $2X$ ir $Y$ pasiskirstymo dėsnius.
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
x_i ir -16 ir 4 ir 6 \\
\hline
p_i ir 0,4 ir 0,1 ir 0,5 \\
\hline
\end(masyvas)$
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
y_i ir 2 ir 8 \\
\hline
p_i ir 0,3 ir 0,7 \\
\hline
\end(masyvas)$
Kad būtų patogiau rasti visas sumos $Z=2X+Y$ reikšmes ir jų tikimybes, sudarysime pagalbinę lentelę, kurios kiekviename langelyje kairiajame kampe patalpinsime sumos $ reikšmes. Z=2X+Y$, o dešiniajame kampe – šių reikšmių tikimybės, gautos kaip rezultatas, padauginus atitinkamų atsitiktinių dydžių $2X$ ir $Y$ reikšmių tikimybes.
Dėl to gauname paskirstymą $Z=2X+Y$:
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
z_i ir -14 ir -8 ir 6 ir 12 ir 10 ir 16 \\
\hline
p_i ir 0,12 ir 0,28 ir 0,03 ir 0,07 ir 0,15 ir 0,35 \\
\hline
\end(masyvas)$
