Racionalių posakių transformacijos temos paaiškinimas. Racionalių posakių transformacija, transformacijų rūšys, pavyzdžiai

Straipsnyje kalbama apie racionalių posakių transformaciją. Panagrinėkime racionalių išraiškų tipus, jų transformacijas, grupavimą ir bendrąjį veiksnį skliaustuose. Išmokime pavaizduoti trupmenines racionaliąsias išraiškas racionaliųjų trupmenų pavidalu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalių posakių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Išraiškos, sudarytos iš skaičių, kintamųjų, skliaustų, laipsnių su sudėties, atimties, daugybos, dalybos operacijomis, kai yra trupmenos eilutės racionalios išraiškos.

Pavyzdžiui, turime, kad 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

Tai yra, tai yra išraiškos, kurios nėra suskirstytos į išraiškas su kintamaisiais. Racionaliosios išraiškos pradedamos studijuoti 8 klasėje, kur jos vadinamos trupmeninėmis racionaliosiomis išraiškomis.

Tai leidžia pereiti prie savavališkos formos racionalių trupmenų transformacijos. Tokia išraiška gali būti laikoma išraiška su racionaliomis trupmenomis ir sveikųjų skaičių išraiškomis su veiksmo ženklais.

Pagrindiniai racionalių reiškinių transformacijų tipai

Racionaliosiomis išraiškomis atliekamos identiškos transformacijos, grupavimas, panašių atvedimas ir kitos operacijos su skaičiais. Tokių posakių tikslas yra supaprastinimas.

1 pavyzdys

Paverskite racionaliąją išraišką 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Sprendimas

Matyti, kad tokia racionali išraiška yra skirtumas tarp 3 x x y - 1 ir 2 x x y - 1. Pastebime, kad jų vardiklis yra identiškas. Tai reiškia, kad panašių terminų sumažinimas bus toks

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Atsakymas: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

2 pavyzdys

Konvertuoti 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .

Sprendimas

Iš pradžių atliekame veiksmus skliausteliuose 3 · x − x = 2 · x. Šią išraišką pavaizduojame forma 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Mes gauname išraišką, kurioje yra operacijos su vienu žingsniu, tai yra, ji turi sudėtį ir atimtį.

Atsikratome skliaustų naudodami dalybos savybę. Tada gauname, kad 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x.

Skaitinius veiksnius sugrupuojame su kintamuoju x, po kurio galime atlikti operacijas su laipsniais. Mes tai gauname

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Atsakymas: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

3 pavyzdys

Pakeiskite x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 formos išraišką.

Sprendimas

Pirmiausia pakeičiame skaitiklį ir vardiklį. Tada gauname (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) formos išraišką: 1 2 · x · 4 + 2, ir pirmiausia atliekami skliausteliuose esantys veiksmai. Skaitiklyje atliekamos operacijos ir grupuojami veiksniai. Tada gauname x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x išraišką. + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Skaitiklyje transformuojame kvadratų skirtumo formulę, tada gauname

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Atsakymas: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Racionalus trupmenų vaizdavimas

Išspręstos algebrinės trupmenos dažniausiai supaprastinamos. Kiekvienas racionalus požiūris į tai pasiekiamas skirtingais būdais. Būtina atlikti visas būtinas operacijas su daugianariais, kad racionalioji išraiška galiausiai galėtų duoti racionaliąją trupmeną.

4 pavyzdys

Pateikite kaip racionaliąją trupmeną a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

Sprendimas

Ši išraiška gali būti pavaizduota kaip 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Daugyba atliekama pirmiausia pagal taisykles.

Turėtume pradėti nuo daugybos, tada gausime tai

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Gautą rezultatą pateikiame su originaliu. Mes tai gauname

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Dabar atlikime atimtį:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 ir 2 - 9

Po to akivaizdu, kad pradinė išraiška bus 16 a 2 - 9.

Atsakymas: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

5 pavyzdys

Išreikškite x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x kaip racionaliąją trupmeną.

Sprendimas

Pateikta išraiška rašoma trupmena, kurios skaitiklis yra x x + 1 + 1, o vardiklis 2 x - 1 1 + x. Reikia atlikti transformacijas x x + 1 + 1 . Norėdami tai padaryti, turite pridėti trupmeną ir skaičių. Gauname, kad x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Iš to išplaukia, kad x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Gautą trupmeną galima užrašyti kaip 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.

Po padalijimo gauname racionalią formos dalį

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Galite tai išspręsti kitaip.

Užuot dalinę iš 2 x - 1 1 + x, padauginame iš jo atvirkštinės vertės 1 + x 2 x - 1. Taikykime paskirstymo savybę ir raskime tai

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Atsakymas: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pamoka ir pranešimas tema: "Racionalių posakių transformacija. Problemų sprendimo pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 8 klasei
Vadovėlio vadovas Muravinas G.K. Makarychevo vadovėlio vadovas Yu.N.

Racionalios raiškos samprata

Pradinėse klasėse spręsdami daug uždavinių, atlikę aritmetinius veiksmus, gaudavome konkrečias skaitines reikšmes, dažniausiai trupmenas. Dabar atlikę operacijas gausime algebrines trupmenas. Vaikinai, atminkite: norėdami gauti teisingą atsakymą, turite kiek įmanoma supaprastinti išraišką, su kuria dirbate. Reikia įgyti mažiausią įmanomą laipsnį; turėtų būti sumažintos identiškos išraiškos skaitikliuose ir vardikliuose; su posakiais, kuriuos galima sutraukti, turite tai padaryti. Tai yra, atlikę eilę veiksmų, turėtume gauti kuo paprastesnę algebrinę trupmeną.

Procedūra su racionaliomis išraiškomis

Įrodyti tapatybę reiškia parodyti, kad visoms kintamųjų reikšmėms dešinė ir kairė pusės yra lygios. Tapatybės įrodinėjimo pavyzdžių yra labai daug.

Pagrindiniai tapatybės sprendimo būdai apima.

• Transformuokite kairę pusę, kad ji būtų lygi dešiniajai.
• Transformuokite dešinę pusę, kad ji būtų lygi kairiajai.
• Keiskite kairę ir dešinę puses atskirai, kol gausite tą pačią išraišką.
• Dešinė pusė atimama iš kairės, o rezultatas turi būti lygus nuliui.

Racionalių išraiškų konvertavimas. Problemų sprendimo pavyzdžiai

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Sprendimas.
Akivaizdu, kad turime pakeisti kairę pusę.
Pirmiausia atlikime skliausteliuose nurodytus veiksmus:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1) )(5a-1))$

Turėtumėte stengtis maksimaliai taikyti bendrus veiksnius.
2) Transformuokite išraišką, pagal kurią dalijame:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a) +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Atlikite papildymo operaciją:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Dešinė ir kairė dalys sutapo. Tai reiškia, kad tapatybė įrodyta.
Vaikinai, sprendžiant šį pavyzdį mums reikėjo daugybės formulių ir operacijų žinių. Matome, kad po transformacijos didelė išraiška virto labai maža. Sprendžiant beveik visas problemas, transformacijos dažniausiai veda prie paprastų posakių.

2 pavyzdys.
Supaprastinkite išraišką:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Sprendimas.
Pradėkime nuo pirmųjų skliaustų.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Transformuokite antrus skliaustus.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b) )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Atlikime padalijimą.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

Atsakymas: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

3 pavyzdys.
Atlikite šiuos veiksmus:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$.

2. Dabar atlikime padalijimą.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Panaudokime savybę: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Atlikime atimties operaciją.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b) )(9b-3b^2)=b+4$.

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Nuo mokyklos algebros kurso pereiname prie specifikos. Šiame straipsnyje mes išsamiai išnagrinėsime specialų racionalių išraiškų tipą - racionalios trupmenos, taip pat apsvarstykite, kokia charakteristika yra identiška racionaliųjų trupmenų perskaičiavimai vykti.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad racionaliosios trupmenos ta prasme, kuria jas apibrėžiame toliau, kai kuriuose algebros vadovėliuose vadinamos algebrinėmis trupmenomis. Tai yra, šiame straipsnyje suprasime, kad racionalios ir algebrinės trupmenos reiškia tą patį.

Kaip įprasta, pradėkime nuo apibrėžimo ir pavyzdžių. Toliau kalbėsime apie racionaliosios trupmenos perkėlimą į naują vardiklį ir trupmenos narių ženklų keitimą. Po to pažiūrėsime, kaip sumažinti trupmenas. Galiausiai pažvelkime į racionaliosios trupmenos vaizdavimą kelių trupmenų suma. Visą informaciją pateiksime su pavyzdžiais ir išsamiais sprendimų aprašymais.

Puslapio naršymas.

Racionaliųjų trupmenų apibrėžimas ir pavyzdžiai

Racionaliosios trupmenos tiriamos 8 klasės algebros pamokose. Naudosime racionaliosios trupmenos apibrėžimą, kurį 8 klasei pateikia Yu N. Makarychev ir kt.

Šis apibrėžimas nenurodo, ar racionaliosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio daugianariai turi būti standartinės formos daugianariai, ar ne. Todėl manysime, kad racionaliųjų trupmenų žymėjimuose gali būti ir standartinių, ir nestandartinių polinomų.

Štai keletas racionaliųjų trupmenų pavyzdžiai. Taigi, x/8 ir - racionalios trupmenos. Ir trupmenomis ir neatitinka pateikto racionaliosios trupmenos apibrėžimo, nes pirmajame iš jų skaitiklyje nėra daugianario, o antrajame ir skaitiklyje, ir vardiklyje yra išraiškų, kurios nėra daugianario.

Racionaliosios trupmenos skaitiklio ir vardiklio konvertavimas

Bet kurios trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra savarankiškos matematinės išraiškos racionaliųjų trupmenų atveju, tai yra daugianariai, mononomai ir skaičiai; Todėl identiškas transformacijas galima atlikti su racionaliosios trupmenos skaitikliu ir vardikliu, kaip ir su bet kuria išraiška. Kitaip tariant, išraiška racionaliosios trupmenos skaitiklyje gali būti pakeista identiška išraiška, kaip ir vardiklis.

Galite atlikti identiškas transformacijas racionaliosios trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Pavyzdžiui, skaitiklyje galite grupuoti ir sumažinti panašius terminus, o vardiklyje kelių skaičių sandaugą galite pakeisti jos reikšme. O kadangi racionaliosios trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra polinomai, tai su jais galima atlikti daugianariams būdingas transformacijas, pavyzdžiui, redukciją į standartinę formą arba atvaizdavimą sandaugos forma.

Kad būtų aiškumo, panagrinėkime kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Konvertuoti racionaliąją trupmeną kad skaitiklyje būtų standartinės formos daugianario, o vardiklyje – daugianario sandauga.

Sprendimas.

Racionaliųjų trupmenų sumažinimas iki naujo vardiklio daugiausia naudojamas racionaliųjų trupmenų pridėjimui ir atėmimui.

Ženklų keitimas prieš trupmeną, taip pat jos skaitiklyje ir vardiklyje

Pagrindine trupmenos savybe galima pakeisti trupmenos narių ženklus. Iš tiesų, racionalios trupmenos skaitiklio ir vardiklio padauginimas iš -1 prilygsta jų ženklų keitimui, o rezultatas yra trupmena, identiška duotajai. Šią transformaciją tenka naudoti gana dažnai dirbant su racionaliosiomis trupmenomis.

Taigi, jei vienu metu pakeisite trupmenos skaitiklio ir vardiklio ženklus, gausite trupmeną, lygią pradinei. Į šį teiginį atsako lygybė.

Pateikime pavyzdį. Racionaliąją trupmeną galima pakeisti identiškai lygia dalimi su pakeistais formos skaitiklio ir vardiklio ženklais.

Su trupmenomis galite atlikti kitą identišką transformaciją, kurioje pasikeičia arba skaitiklio, arba vardiklio ženklas. Nurodykime atitinkamą taisyklę. Jei trupmenos ženklą pakeisite kartu su skaitiklio ar vardiklio ženklu, gausite trupmeną, kuri yra identiška pradinei. Rašytinis pareiškimas atitinka lygybes ir .

Įrodyti šias lygybes nėra sunku. Įrodymas pagrįstas skaičių daugybos savybėmis. Įrodykime pirmąjį iš jų: . Naudojant panašias transformacijas, įrodoma lygybė.

Pavyzdžiui, trupmeną galima pakeisti išraiška arba.

Norėdami užbaigti šį klausimą, pateikiame dar dvi naudingas lygybes ir . Tai yra, jei pakeisite tik skaitiklio arba tik vardiklio ženklą, trupmena pakeis savo ženklą. Pavyzdžiui, Ir .

Svarstomos transformacijos, leidžiančios pakeisti trupmenos narių ženklą, dažnai naudojamos transformuojant trupmenines racionaliąsias išraiškas.

Racionaliųjų trupmenų mažinimas

Ši racionaliųjų trupmenų transformacija, vadinama racionaliųjų trupmenų redukcija, yra pagrįsta ta pačia pagrindine trupmenos savybe. Ši transformacija atitinka lygybę , kur a, b ir c yra kai kurie daugianariai, o b ir c yra ne nulis.

Iš aukščiau pateiktos lygybės tampa aišku, kad racionaliosios trupmenos sumažinimas reiškia, kad jos skaitiklyje ir vardiklyje atsisakoma bendro veiksnio.

Pavyzdys.

Atšaukti racionaliąją trupmeną.

Sprendimas.

Iš karto matomas bendras faktorius 2, juo sumažinkime (rašant patogu nubraukti bendruosius veiksnius, kuriais mažinami). Turime . Kadangi x 2 =x·x ir y 7 =y 3 ·y 4 (jei reikia, žr.), aišku, kad x yra bendras gautos trupmenos skaitiklio ir vardiklio koeficientas, kaip ir y 3. Sumažinkime pagal šiuos veiksnius: . Tai užbaigia sumažinimą.

Aukščiau mes atlikome racionaliųjų frakcijų mažinimą nuosekliai. Arba buvo galima sumažinti sumažinimą vienu žingsniu, iškart sumažinant frakciją 2 x y 3. Šiuo atveju sprendimas atrodytų taip: .

Atsakymas:

.

Mažinant racionaliąsias trupmenas, pagrindinė problema yra ta, kad ne visada matomas bendras skaitiklio ir vardiklio veiksnys. Be to, jis ne visada egzistuoja. Norint rasti bendrą veiksnį arba patikrinti jo nebuvimą, reikia įskaičiuoti racionaliosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Jei nėra bendro koeficiento, tada pradinės racionalios frakcijos nereikia mažinti, kitaip redukuojama.

Mažinant racionalias trupmenas gali atsirasti įvairių niuansų. Pagrindinės subtilybės aptariamos straipsnyje mažinant algebrines trupmenas naudojant pavyzdžius ir išsamiai.

Baigdami pokalbį apie racionaliųjų trupmenų mažinimą, pastebime, kad ši transformacija yra identiška, o pagrindinis sunkumas ją įgyvendinant yra daugianario faktoriaus skaitiklyje ir vardikliuose.

Racionaliosios trupmenos vaizdavimas trupmenų suma

Gana specifinis, bet kai kuriais atvejais labai naudingas yra racionaliosios trupmenos transformacija, kurią sudaro kelių trupmenų suma arba visos išraiškos ir trupmenos suma.

Racionalioji trupmena, kurios skaitiklyje yra daugianaris, vaizduojantis kelių vienanarių sumą, visada gali būti užrašoma kaip trupmenų su tais pačiais vardikliais suma, kurios skaitikliuose yra atitinkami vienanaliai. Pavyzdžiui, . Šis vaizdavimas paaiškinamas algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykle.

Apskritai, bet kuri racionali trupmena gali būti išreikšta kaip trupmenų suma įvairiais būdais. Pavyzdžiui, trupmena a/b gali būti pavaizduota kaip dviejų trupmenų suma – savavališka trupmena c/d ir trupmena, lygi skirtumui tarp trupmenų a/b ir c/d. Šis teiginys yra teisingas, nes galioja lygybė . Pavyzdžiui, racionalioji trupmena gali būti pavaizduota kaip trupmenų suma įvairiais būdais: Įsivaizduokime pradinę trupmeną kaip sveikojo skaičiaus išraiškos ir trupmenos sumą. Padalinę skaitiklį iš vardiklio su stulpeliu, gauname lygybę . Išraiškos n 3 +4 reikšmė bet kuriam sveikajam skaičiui n yra sveikasis skaičius. Ir trupmenos reikšmė yra sveikas skaičius tada ir tik tada, kai jos vardiklis yra 1, −1, 3 arba −3. Šios reikšmės atitinka reikšmes n=3, n=1, n=5 ir n=−1.

Atsakymas:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 13 leidimas, red. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Ankstesnėje pamokoje jau buvo pristatyta racionalios išraiškos sąvoka šiandienos pamokoje toliau dirbame su racionaliomis išraiškomis ir sutelkiame dėmesį į jų transformacijas. Naudodamiesi konkrečiais pavyzdžiais, apsvarstysime problemų sprendimo būdus, susijusius su racionalių išraiškų transformacijomis ir su jomis susijusių tapatybių įrodymu.

Tema:Algebrinės trupmenos. Aritmetiniai veiksmai su algebrinėmis trupmenomis

Pamoka:Racionalių išraiškų konvertavimas

Pirmiausia prisiminkime racionalios išraiškos apibrėžimą.

Apibrėžimas.Racionalusišraiška- algebrinė išraiška, kurioje nėra šaknų ir apima tik sudėjimo, atimties, daugybos ir padalijimo (padidėjimo iki laipsnio) operacijas.

Sąvoka „racionalios išraiškos transformavimas“ visų pirma turime omenyje jos supaprastinimą. Ir tai atliekama mums žinoma veiksmų tvarka: pirmiausia veiksmai skliausteliuose, tada skaičių sandauga(eksponentiškumas), skaičių padalijimas ir pridėjimo/atėmimo operacijos.

Pagrindinis šios dienos pamokos tikslas bus įgyti patirties sprendžiant sudėtingesnes racionalių posakių supaprastinimo problemas.

1 pavyzdys.

Sprendimas. Iš pradžių gali atrodyti, kad šias trupmenas galima sumažinti, nes trupmenų skaitikliuose esančios išraiškos yra labai panašios į jų atitinkamų vardiklių tobulųjų kvadratų formules. Tokiu atveju svarbu neskubėti, o atskirai pasitikrinti, ar taip yra.

Patikrinkime pirmosios trupmenos skaitiklį: . Dabar antrasis skaitiklis: .

Kaip matote, mūsų lūkesčiai nepasiteisino, o skaitiklių išraiškos nėra tobuli kvadratai, nes jie neturi produkto padvigubinimo. Tokie posakiai, jei prisimenate 7 klasės kursą, vadinami nepilnais kvadratais. Tokiais atvejais reikėtų būti labai atsargiems, nes pilno kvadrato formulės supainiojimas su nepilnu yra labai dažna klaida, o tokie pavyzdžiai tikrina mokinio atidumą.

Kadangi redukuoti neįmanoma, pridėsime trupmenas. Vardikliai neturi bendrų koeficientų, todėl jie tiesiog dauginami, kad gautų mažiausią bendrą vardiklį, o kiekvienos trupmenos papildomas koeficientas yra kitos trupmenos vardiklis.

Žinoma, tada galite atidaryti skliaustus ir pateikti panašius terminus, tačiau tokiu atveju galite išsiversti su mažiau pastangų ir pastebėsite, kad skaitiklyje pirmasis narys yra kubų sumos formulė, o antrasis kubelių skirtumas. Kad būtų patogiau, prisiminkime šias formules bendra forma:

Mūsų atveju skaitiklio išraiškos sutraukiamos taip:

, antroji išraiška panaši. Turime:

Atsakymas..

2 pavyzdys. Supaprastinkite racionalią išraišką .

Sprendimas.Šis pavyzdys panašus į ankstesnį, tačiau čia iš karto aišku, kad trupmenų skaitikliuose yra daliniai kvadratai, todėl pradiniame sprendimo etape redukuoti neįmanoma. Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, pridedame trupmenas:

Čia, panašiai kaip aukščiau nurodytas metodas, mes pastebėjome ir sutraukėme išraiškas naudodami kubų sumos ir skirtumo formules.

Atsakymas..

3 pavyzdys. Supaprastinkite racionalią išraišką.

Sprendimas. Galite pastebėti, kad antrosios trupmenos vardiklis faktorinuojamas naudojant kubų sumos formulę. Kaip jau žinome, faktoringo vardikliai yra naudingi toliau ieškant mažiausio bendro trupmenų vardiklio.

Nurodykime mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį, jis lygus: , nes jis dalijamas iš trečiosios trupmenos vardiklio, o pirmoji išraiška paprastai yra sveikasis skaičius ir jai tinka bet koks vardiklis. Nurodę akivaizdžius papildomus veiksnius, rašome:

Atsakymas.

Panagrinėkime sudėtingesnį pavyzdį su „daugiaaukštėmis“ trupmenomis.

4 pavyzdys.Įrodykite visų leistinų kintamojo reikšmių tapatumą.

Įrodymas. Norėdami įrodyti šią tapatybę, pabandysime supaprastinti jo kairę pusę (kompleksą) iki paprastos formos, kurios iš mūsų reikalaujama. Norėdami tai padaryti, atliksime visas operacijas su trupmenomis skaitiklyje ir vardiklyje, o tada padalinsime trupmenas ir supaprastinsime rezultatą.

Įrodyta visoms leistinoms kintamojo reikšmėms.

Įrodyta.

Kitoje pamokoje išsamiai apžvelgsime sudėtingesnius racionalių išraiškų konvertavimo pavyzdžius.

Nuorodos

1. Bašmakovas M.I. Algebra 8 klasė. - M.: Švietimas, 2004 m.

2. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt. Algebra 8. – 5 leid. - M.: Švietimas, 2010 m.

3. Nikolskis S.M., Potapovas M.A., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra 8 klasė. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms. - M.: Švietimas, 2006 m.

2. Pamokų plėtra, pristatymai, pamokų užrašai ().

Namų darbai

1. Nr.96-101. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt. Algebra 8. – 5 leid. - M.: Švietimas, 2010 m.

2. Supaprastinkite išraišką .

3. Supaprastinkite išraišką.

4. Įrodykite tapatybę.