Instrukcijos
Prieš pradėdami įrodinėjimą, įsitikinkite, kad linijos yra toje pačioje plokštumoje ir gali būti brėžiamos joje. Paprasčiausias būdas tai įrodyti – matuoti liniuote. Norėdami tai padaryti, liniuote išmatuokite atstumą tarp tiesių keliose vietose, kiek įmanoma toliau viena nuo kitos. Jei atstumas nesikeičia, nurodytos linijos yra lygiagrečios. Tačiau šis metodas nėra pakankamai tikslus, todėl geriau naudoti kitus metodus.
Nubrėžkite trečią liniją taip, kad ji kirstų abi lygiagrečias linijas. Su jais sudaro keturis išorinius ir keturis vidinius kampus. Apsvarstykite vidinius kampus. Tie, kurie guli per sekantinę liniją, vadinami kryžminiu gulėjimu. Tie, kurie guli vienoje pusėje, vadinami vienašaliais. Naudodami transporterį išmatuokite du vidinius susikertančius kampus. Jei jos yra lygios viena kitai, tada linijos bus lygiagrečios. Jei abejojate, išmatuokite vienpusius vidinius kampus ir pridėkite gautas vertes. Linijos bus lygiagrečios, jei vienpusių vidinių kampų suma lygi 180º.
Jei neturite transporterio, naudokite 90º kvadratą. Naudokite jį statmenai vienai iš tiesių sukurti. Po to tęskite šį statmeną, kad jis kirstų kitą liniją. Naudodami tą patį kvadratą patikrinkite, kokiu kampu šis statmenas jį kerta. Jei šis kampas taip pat yra 90º, tada linijos yra lygiagrečios viena kitai.
Jei tiesės pateiktos Dekarto koordinačių sistemoje, raskite jų kryptį arba normaliuosius vektorius. Jei šie vektoriai yra kolinearūs vienas su kitu, tada linijos yra lygiagrečios. Sumažinkite tiesių lygtį į bendrą formą ir raskite kiekvienos tiesės normaliojo vektoriaus koordinates. Jo koordinatės lygios koeficientams A ir B. Jei normaliųjų vektorių atitinkamų koordinačių santykis yra vienodas, tai jos yra kolinijinės, o tiesės lygiagrečios.
Pavyzdžiui, tiesės pateikiamos lygtimis 4x-2y+1=0 ir x/1=(y-4)/2. Pirmoji lygtis yra bendrosios formos, antroji – kanoninė. Išveskite antrąją lygtį į jos bendrą formą. Tam naudokite proporcijų konvertavimo taisyklę, rezultatas bus 2x=y-4. Suvedus į bendrą formą, gaunama 2x-y+4=0. Kadangi bendroji bet kurios eilutės lygtis parašyta Ax+By+C=0, tai pirmai eilutei: A=4, B=2, o antrajai eilutei A=2, B=1. Pirmajai tiesioginei normalaus vektoriaus koordinatei (4;2), o antrajai – (2;1). Raskite normaliųjų vektorių atitinkamų koordinačių santykį 4/2=2 ir 2/1=2. Šie skaičiai yra lygūs, o tai reiškia, kad vektoriai yra kolineariniai. Kadangi vektoriai yra kolinearūs, linijos yra lygiagrečios.
1 apibrėžimas
Vadinama tiesė $c$ sekantas tiesėms $a$ ir $b$, jei ji kerta jas dviejuose taškuose.
Apsvarstykite dvi eilutes $a$ ir $b$ bei sekantinę eilutę $c$.
Kai jie susikerta, atsiranda kampai, kuriuos žymime skaičiais nuo $1$ iki $8$.
Kiekvienas iš šių kampų turi pavadinimą, kuris dažnai naudojamas matematikoje:
- vadinamos kampų poros $3$ ir $5$, $4$ ir $6$ guli skersai;
- vadinamos kampų poros $1$ ir $5$, $4$ ir $8$, $2$ ir $6$, $3$ ir $7$ tinkamas;
- vadinamos kampų poros $4$ ir $5$, $5$ ir $6$ vienpusis.
Lygiagrečių linijų ženklai
1 teorema
Kryžminių kampų poros lygybė tiesėms $a$ ir $b$ ir sekantas $c$ rodo, kad linijos $a$ ir $b$ yra lygiagrečios:
Įrodymas.
Tegul tiesių $a$ ir $b$ ir skersinės $c$ skersiniai kampai yra lygūs: $∠1=∠2$.
Parodykime, kad $a \parallel b$.
Jei kampai $1$ ir $2$ yra statūs, gauname, kad tiesės $a$ ir $b$ bus statmenos tiesei $AB$, taigi lygiagrečios.
Jei kampai $1$ ir $2$ nėra statūs, iš taško $O$ - atkarpos $AB$ vidurio brėžiame statmeną $OH$ tiesei $a$.
Tiesioje tiesėje $b$ nubrėžiame atkarpą $BH_1=AH$ ir nubrėžiame atkarpą $OH_1$. Gauname du vienodus trikampius $ОНА$ ir $ОH_1В$ iš dviejų kraštinių ir kampą tarp jų ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), todėl $∠3=∠4$ ir $ ∠5 = ∠6 $. Nes $∠3=∠4$, tada taškas $H_1$ yra ant spindulio $ON$, taigi taškai $H$, $O$ ir $H_1$ priklauso tai pačiai tiesei. Nes $∠5=∠6$, tada $∠6=90^(\circ)$. Taigi, tiesės $a$ ir $b$ yra statmenos tiesei $HH_1$ lygiagrečios. Teorema įrodyta.
2 teorema
Atitinkamų kampų poros lygybė tiesėms $a$ ir $b$ ir sekantas $c$ rodo, kad linijos $a$ ir $b$ yra lygiagrečios:
jei $∠1=∠2$, tai $a \parallel b$.
Įrodymas.
Tegul atitinkami kampai tiesėms $a$ ir $b$ bei sekantės $c$ yra lygūs: $∠1=∠2$. Kampai $2$ ir $3$ yra vertikalūs, taigi $∠2=∠3$. Taigi $∠1=∠3$. Nes kampai $1$ ir $3$ yra kryžminiai, tada tiesės $a$ ir $b$ lygiagrečios. Teorema įrodyta.
3 teorema
Jei tiesių $a$ ir $b$ ir skersinio $c$ dviejų vienpusių kampų suma yra lygi $180^(\circ)C$, tai linijos $a$ ir $b$ yra lygiagrečios:
jei $∠1+∠4=180^(\circ)$, tai $a \parallel b$.
Įrodymas.
Tegul vienpusiai kampai tiesioms $a$ ir $b$ ir skersinėms $c$ sudaro $180^(\circ)$, pvz.
$∠1+∠4=180^(\circ)$.
Kampai $3$ ir $4$ yra gretimi, taigi
$∠3+∠4=180^(\circ)$.
Iš gautų lygybių aišku, kad kryžminiai kampai $∠1=∠3$, iš to seka, kad tiesės $a$ ir $b$ yra lygiagrečios.
Teorema įrodyta.
Iš nagrinėjamų požymių matyti, kad linijos yra lygiagrečios.
Problemų sprendimo pavyzdžiai
1 pavyzdys
Susikirtimo taškas dalija atkarpas $AB$ ir $CD$ per pusę. Įrodykite, kad $AC \parallel BD$.
Duota: $AO=OB$, $CO=OD$.
Įrodyk: $AC \parallel BD$.
Įrodymas.
Iš uždavinio sąlygų $AO=OB$, $CO=OD$ ir vertikalių kampų lygybės $∠1=∠2$ pagal pirmąjį trikampių lygybės kriterijų išplaukia, kad $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$ . Taigi $∠3=∠4$.
Kampai $3$ ir $4$ yra kryžminiai su dviem tiesiomis $AC$ ir $BD$ bei skersine $AB$. Tada pagal pirmąjį tiesių lygiagretumo kriterijų $AC \parallel BD$. Teiginys pasitvirtino.
2 pavyzdys
Duotas kampas $∠2=45^(\circ)$, o $∠7$ yra $3$ kartų didesnis už nurodytą kampą. Įrodykite, kad $a \parallel b$.
Duota: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.
Įrodyk: $a \parallel b$.
Įrodymas:
- Raskime kampo vertę $7$:
$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.
- Vertikalūs kampai $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
- Raskime vidinių kampų sumą $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$.
Pagal trečiąjį tiesių $a \parallel b$ lygiagretumo kriterijų. Teiginys pasitvirtino.
3 pavyzdys
Duota: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.
Įrodyk: $AC \parallel BD$, $AD \parallel BC$.
Įrodymas:
Nagrinėjamiems brėžiniams įprasta pusė $AB$.
Nes trikampiai $ABC$ ir $ADB$ yra lygūs, tada $AD=CB$, $AC=BD$, taip pat atitinkami kampai yra lygūs $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠ 5=∠6 USD.
Kampų pora $3$ ir $4$ yra kryžminė tiesėms $AC$ ir $BD$ bei atitinkamam sekantui $AB$, todėl pagal pirmąjį tiesių $AC \parallel BD$ lygiagretumo kriterijų.
Kampų pora $5$ ir $6$ yra kryžminė tiesėms $AD$ ir $BC$ bei atitinkamam sekantui $AB$, todėl pagal pirmąjį tiesių $AD \parallel BC$ lygiagretumo kriterijų.
Klasė: 2
Pamokos tikslas:
- sudaryti 2 tiesių lygiagretumo sampratą, atsižvelgti į pirmąjį tiesių lygiagretumo požymį;
- ugdyti gebėjimą taikyti ženklą sprendžiant problemas.
Užduotys:
- Mokomasis: studijuojamos medžiagos kartojimas ir įtvirtinimas, 2 eilučių lygiagretumo sampratos formavimas, 2 eilučių 1-ojo lygiagretumo ženklo įrodymas.
- Ugdomasis: ugdyti gebėjimą tiksliai užsirašinėti sąsiuvinyje ir laikytis brėžinių konstravimo taisyklių.
- Lavinamieji uždaviniai: loginio mąstymo, atminties, dėmesio ugdymas.
Pamokos įranga:
- multimedijos projektorius;
- ekranas, pristatymai;
- piešimo įrankiai.
Pamokos eiga
I. Organizacinis momentas.
Pasisveikinimas, pasirengimo pamokai tikrinimas.
II. Pasiruošimas aktyviam UPD.
1 etapas.
Pirmoje geometrijos pamokoje žiūrėjome į santykinę 2 tiesių padėtį plokštumoje.
Klausimas. Kiek bendrų taškų gali turėti dvi linijos?
Atsakymas. Dvi linijos gali turėti vieną bendrą tašką arba neturėti vieno bendro taško.
Klausimas. Kaip 2 tiesės bus išdėstytos viena kitos atžvilgiu, jei jos turi vieną bendrą tašką?
Atsakymas. Jei linijos turi vieną bendrą tašką, tada jos susikerta
Klausimas. Kaip yra 2 linijos viena kitos atžvilgiu, jei jos neturi bendrų taškų?
Atsakymas. Tada šiuo atveju šios linijos nesikerta.
2 etapas.
Paskutinėje pamokoje gavote užduotį sukurti pristatymą, kuriame gyvenime ir gamtoje susiduriame su nesikertančiomis linijomis. Dabar pažvelgsime į šiuos pristatymus ir išrinksime geriausius. (Žiuri buvo studentai, kuriems dėl savo žemo intelekto sunku kurti pristatymus.)
Peržiūrėkite mokinių pateiktus pristatymus: „Lygiagrečios linijos gamtoje ir gyvenime“, išrinkite geriausius.
III. Aktyvus UPD (naujos medžiagos paaiškinimas).
1 etapas.
1 pav
Apibrėžimas. Dvi tiesės plokštumoje, kurios nesikerta, vadinamos lygiagrečiomis.
Šioje lentelėje pateikiami įvairūs 2 lygiagrečių tiesių išdėstymo plokštumoje atvejai.
Panagrinėkime, kurie segmentai bus lygiagretūs.
2 pav
1) Jei tiesė a lygiagreti b, tai atkarpos AB ir CD lygiagrečios.
2) Atkarpa gali būti lygiagreti tiesei. Taigi atkarpa MN lygiagreti tiesei a.
3 pav
3) AB atkarpa lygiagreti spinduliui h. Spindulys h yra lygiagretus spinduliui k.
4) Jei tiesė a yra statmena tiesei c, o tiesė b yra statmena tiesei c, tai tiesės a ir b yra lygiagrečios.
2 etapas.
Kampai, sudaryti iš dviejų lygiagrečių linijų ir skersinės.
4 pav
Dvi lygiagrečios tiesės dviejuose taškuose kerta trečiąją tiesę. Šiuo atveju susidaro aštuoni kampai, kuriuos paveiksle nurodo skaičiai.
Kai kurios šių kampų poros turi specialius pavadinimus (žr. 4 pav.).
Egzistuoja trys dviejų tiesių lygiagretumo ženklai susiję su šiais kampais. Šioje pamokoje apžvelgsime pirmasis ženklas.
3 etapas.
Pakartokime medžiagą, reikalingą šiai savybei įrodyti.
5 pav
Klausimas. Kokie 5 paveiksle pavaizduotų kampų pavadinimai?
Atsakymas. Kampai AOC ir COB vadinami gretimi.
Klausimas. Kokie kampai vadinami gretimi? Pateikite apibrėžimą.
Atsakymas. Du kampai vadinami gretimi, jei jų viena pusė yra bendra, o kiti du yra vienas kito tęsiniai.
Klausimas. Kokias savybes turi gretimi kampai?
Atsakymas. Gretimi kampai sudaro 180 laipsnių.
AOC + COB = 180°
Klausimas. Kaip vadinami 1 ir 2 kampai?
Atsakymas. 1 ir 2 kampai vadinami vertikaliais.
Klausimas. Kokias savybes turi vertikalūs kampai?
Atsakymas. Vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.
4 etapas.
Pirmojo paralelizmo ženklo įrodymas.
Teorema. Jei, kai dvi tiesės susikerta skersai, kampai yra lygūs, tai linijos yra lygiagrečios.
6 pav
Duota: a ir b yra tiesios linijos
AB – sekantas
1 =
2
Įrodykite: a//b.
1-as atvejis.
7 pav
Jei 1 ir 2 yra tiesės, tai a yra statmena AB, o b yra statmena AB, tada a//b.
2-as atvejis.
8 pav
Panagrinėkime atvejį, kai 1 ir 2 nėra tiesės. Padalinkite atkarpą per pusę iš taško O.
Klausimas. Kokie yra atkarpų AO ir OB ilgiai?
Atsakymas. Segmentai AO ir OB yra vienodo ilgio.
1) Iš taško O brėžiame statmeną tiesei a, OH yra statmena a.
Klausimas. Koks bus kampas 3?
Atsakymas. 3 kampas bus teisingas.
2) Iš taško A tiesėje b kompasu nubrėžiame atkarpą AN 1 = ВН.
3) Nubraižykime atkarpą OH 1.
Klausimas. Kokie trikampiai susidarė įrodinėjant?
Atsakymas. Trikampis ONV ir trikampis OH 1 A.
Įrodykime, kad jie lygūs.
Klausimas. Kurie kampai yra lygūs pagal teoremą?
Atsakymas. 1 kampas lygus 2 kampui.
Klausimas. Kurios pusės yra lygios konstrukcijoje.
Atsakymas. AO = OV ir AN 1 = VN
Klausimas. Kuo remiantis trikampiai sutampa?
Atsakymas. Trikampiai yra lygūs iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų (pirmasis trikampių lygybės ženklas).
Klausimas. Kokią savybę turi sutampantys trikampiai?
Atsakymas. Lygiuose trikampiuose lygūs kampai yra priešais lygias puses.
Klausimas. Kokie kampai bus lygūs?
Atsakymas.
5 =
6,
3 =
4.
Klausimas. Kokie yra 5 ir 6 pavadinimai?
Atsakymas.Šie kampai vadinami vertikaliais.
Iš to išplaukia, kad taškai: H 1, O, H yra toje pačioje tiesėje.
Nes
Klausimas. 3 yra tiesus, o 3 = 4, tada 4 yra tiesus.
Atsakymas. Kaip yra tiesės a ir b tiesės НН 1 atžvilgiu, jei kampai 3 ir 4 yra teisingi?
Klausimas. Tiesės a ir b yra statmenos HH 1.
Atsakymas. Ką galime pasakyti apie du statmenus vienai linijai?
Du statmenai vienai tiesei yra lygiagretūs.
Dabar pakartosiu visą įrodymą nuo pat pradžių, o jūs atidžiai manęs klausysite ir stengsitės viską suprasti bei prisiminti.
IV. Naujos medžiagos konsolidavimas.
Dirbkite grupėse, turinčiose skirtingą intelekto išsivystymo lygį, po to testuokite ekrane ir lentoje. Prie lentos dirba 3 mokiniai (po vieną iš kiekvienos grupės).
№1 (sumažėjusio intelekto išsivystymo lygio mokiniams).
Duota: a ir b yra tiesūs
c – sekantas
1 = 37°
7 = 143°
Įrodykite: a//b.
Sprendimas.
7 = 6 (vertikaliai) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (greta) 4 =180° – 37° = 143°
4 = 6 = 143°, ir jie yra skersai a//b 5 = 48°, 3 ir 5 yra skersiniai kampai, jie lygūs a//b.
11 pav
V. Pamokos santrauka.
Pamoka apibendrinta naudojant 1-8 pav.
Vertinama mokinių veikla pamokoje (kiekvienas mokinys gauna atitinkamą jaustuką).
Namų darbai: mokyti – 52-53 p.; išspręsti Nr.186 (b, c).
Šis straipsnis yra apie lygiagrečias linijas ir lygiagrečias linijas. Pirmiausia pateikiamas lygiagrečių tiesių plokštumoje ir erdvėje apibrėžimas, supažindinama su žymėjimu, pateikiami lygiagrečių tiesių pavyzdžiai ir grafinės iliustracijos. Toliau aptariami tiesių lygiagretumo ženklai ir sąlygos. Pabaigoje pateikiami tipinių tiesių lygiagretumo įrodinėjimo uždavinių sprendimai, kuriuos pateikia tam tikros tiesės lygtys stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje ir trimatėje erdvėje.
Puslapio naršymas.
Lygiagrečios linijos – pagrindinė informacija.
Apibrėžimas.
Vadinamos dvi tiesės plokštumoje lygiagrečiai, jei jie neturi bendrų taškų.
Apibrėžimas.
Dvi linijos trimatėje erdvėje vadinamos lygiagrečiai, jei jie yra toje pačioje plokštumoje ir neturi bendrų taškų.
Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga „jei jos yra toje pačioje plokštumoje“ lygiagrečių linijų apibrėžime erdvėje yra labai svarbios. Išsiaiškinkime šį tašką: dvi tiesės trimatėje erdvėje, kurios neturi bendrų taškų ir yra ne vienoje plokštumoje, yra ne lygiagrečios, o susikertančios.
Štai keletas lygiagrečių linijų pavyzdžių. Priešingi bloknoto lapo kraštai yra lygiagrečiose linijose. Tiesios linijos, išilgai kurių namo sienos plokštuma kerta lubų ir grindų plokštumas, yra lygiagrečios. Lygioje vietoje esantys geležinkelio bėgiai taip pat gali būti laikomi lygiagrečiomis linijomis.
Norėdami pažymėti lygiagrečias linijas, naudokite simbolį „“. Tai yra, jei tiesės a ir b yra lygiagrečios, tai galime trumpai parašyti a b.
Atkreipkite dėmesį: jei tiesės a ir b yra lygiagrečios, galime sakyti, kad tiesė a yra lygiagreti tiesei b, o tiesė b lygiagreti tiesei a.
Ištarkime teiginį, kuris vaidina svarbų vaidmenį tiriant lygiagrečias tieses plokštumoje: per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, eina vienintelė tiesė, lygiagreti duotajai. Šis teiginys priimamas kaip faktas (jo negalima įrodyti remiantis žinomomis planimetrijos aksiomomis), ir jis vadinamas lygiagrečių tiesių aksioma.
Erdvės atveju galioja teorema: per bet kurį erdvės tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, eina viena tiesė, lygiagreti duotajai. Ši teorema nesunkiai įrodoma naudojant aukščiau pateiktą lygiagrečių tiesių aksiomą (jos įrodymą rasite 10-11 klasių geometrijos vadovėlyje, kuris yra nurodytas straipsnio pabaigoje literatūros sąraše).
Erdvės atveju galioja teorema: per bet kurį erdvės tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, eina viena tiesė, lygiagreti duotajai. Šią teoremą galima lengvai įrodyti naudojant aukščiau pateiktą lygiagrečios tiesės aksiomą.
Tiesių lygiagretumas – lygiagretumo ženklai ir sąlygos.
Tiesių lygiagretumo ženklas yra pakankama sąlyga, kad tiesės būtų lygiagrečios, tai yra sąlyga, kurios įvykdymas garantuoja tiesių lygiagrečias. Kitaip tariant, šios sąlygos įvykdymo pakanka nustatyti tiesių lygiagrečiai faktą.
Taip pat yra būtinos ir pakankamos sąlygos tiesių lygiagretumui plokštumoje ir trimatėje erdvėje.
Paaiškinkime frazės „būtina ir pakankama lygiagrečių linijų sąlyga“ reikšmę.
Mes jau nagrinėjome pakankamą lygiagrečių linijų sąlygą. Kas yra „būtina lygiagrečių linijų sąlyga“? Iš pavadinimo „būtina“ aišku, kad lygiagrečioms linijoms ši sąlyga yra būtina. Kitaip tariant, jei neįvykdoma būtina sąlyga, kad tiesės būtų lygiagrečios, tai linijos nėra lygiagrečios. Taigi, būtina ir pakankama lygiagrečių linijų sąlyga yra sąlyga, kurios įvykdymas yra būtinas ir pakankamas lygiagrečioms tiesėms. Tai yra, viena vertus, tai yra linijų lygiagretumo ženklas, kita vertus, tai yra lygiagrečių linijų savybė.
Prieš formuluojant būtiną ir pakankamą tiesių lygiagretumo sąlygą, patartina prisiminti keletą pagalbinių apibrėžimų.
Sekanti linija yra tiesė, kuri kerta kiekvieną iš dviejų nurodytų nesutampančių tiesių.
Kai dvi tiesės susikerta su skersine, susidaro aštuonios neišsivysčiusios. Formuluojant būtinąją ir pakankamą tiesių lygiagretumo sąlygą, vadinamasis guli skersai, atitinka Ir vienpusiai kampai. Parodykime juos brėžinyje.
Teorema.
Jei dvi tieses plokštumoje kerta skersinis, tai kad jos būtų lygiagrečios, būtina ir pakanka, kad susikertantys kampai būtų lygūs arba atitinkami kampai būtų lygūs, arba vienpusių kampų suma lygi 180 laipsnių.
Parodykime šios būtinos ir pakankamos tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlygos grafinę iliustraciją.
Šių tiesių lygiagretumo sąlygų įrodymus rasite 7-9 klasių geometrijos vadovėliuose.
Atkreipkite dėmesį, kad šias sąlygas galima naudoti ir trimatėje erdvėje – svarbiausia, kad dvi tiesios linijos ir sekantas būtų toje pačioje plokštumoje.
Štai dar kelios teoremos, kurios dažnai naudojamos tiesių lygiagretumui įrodyti.
Teorema.
Jei dvi tiesės plokštumoje yra lygiagrečios trečiajai tiesei, tada jos yra lygiagrečios. Šio kriterijaus įrodymas išplaukia iš lygiagrečių tiesių aksiomos.
Panaši sąlyga yra lygiagrečioms linijoms trimatėje erdvėje.
Teorema.
Jei dvi tiesės erdvėje lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios. Šio kriterijaus įrodymas aptariamas geometrijos pamokose 10 klasėje.
Iliustruojame nurodytas teoremas.
Pateiksime dar vieną teoremą, leidžiančią įrodyti tiesių lygiagretumą plokštumoje.
Teorema.
Jei dvi tiesės plokštumoje yra statmenos trečiajai tiesei, tada jos yra lygiagrečios.
Yra panaši teorema tiesėms erdvėje.
Teorema.
Jei dvi tiesės trimatėje erdvėje yra statmenos tai pačiai plokštumai, tada jos yra lygiagrečios.
Nubraižykime paveikslėlius, atitinkančius šias teoremas.
Visos aukščiau suformuluotos teoremos, kriterijai ir būtinos bei pakankamos sąlygos puikiai tinka tiesių lygiagretumui įrodyti geometrijos metodais. Tai yra, norėdami įrodyti dviejų nurodytų tiesių lygiagretumą, turite parodyti, kad jos yra lygiagrečios trečiajai linijai, arba parodyti kryžminių gulėjimo kampų lygybę ir pan. Daug panašių problemų išsprendžiama geometrijos pamokose vidurinėje mokykloje. Tačiau reikia pažymėti, kad daugeliu atvejų yra patogu naudoti koordinačių metodą tiesių lygiagretumui įrodyti plokštumoje arba trimatėje erdvėje. Suformuluokime būtinas ir pakankamas sąlygas tiesių, kurios nurodytos stačiakampėje koordinačių sistemoje, lygiagretumui.
Tiesių lygiagretumas stačiakampėje koordinačių sistemoje.
Šioje straipsnio pastraipoje suformuluosime būtinos ir pakankamos sąlygos lygiagrečioms linijoms stačiakampėje koordinačių sistemoje, priklausomai nuo lygčių, apibrėžiančių šias tieses, tipo, taip pat pateiksime išsamius charakteringų uždavinių sprendimus.
Pradėkime nuo dviejų tiesių lygiagretumo stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy plokštumoje. Jo įrodymas remiasi tiesės krypties vektoriaus apibrėžimu ir tiesės normaliojo vektoriaus plokštumoje apibrėžimu.
Teorema.
Kad dvi nesutampančios tiesės būtų lygiagrečios plokštumoje, būtina ir pakanka, kad šių tiesių krypties vektoriai būtų kolineriniai, arba šių tiesių normaliosios vektoriai būtų kolinerinės, arba vienos tiesės krypties vektorius būtų statmenas normaliajai antrosios eilutės vektorius.
Akivaizdu, kad dviejų tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga sumažinama iki (tiesių krypties vektoriai arba tiesių normalieji vektoriai) arba iki (vienos tiesės krypties vektorius ir antrosios tiesės normalusis vektorius). Taigi, jei ir yra tiesių a ir b krypties vektoriai, ir 
Ir 
yra normalūs tiesių a ir b vektoriai, tada būtina ir pakankama tiesių a ir b lygiagretumo sąlyga bus parašyta kaip 
, arba 
, arba , kur t yra tikrasis skaičius. Savo ruožtu tiesių a ir b kreiptuvų ir (ar) normaliųjų vektorių koordinatės randamos naudojant žinomas tiesių lygtis.
Visų pirma, jei tiesė a stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy plokštumoje apibrėžia bendrąją formos tiesės lygtį 
, ir tiesi linija b - 
, tada šių eilučių normalieji vektoriai turi atitinkamai koordinates ir, o tiesių a ir b lygiagretumo sąlyga bus parašyta kaip .
Jei tiesė a atitinka formos kampo koeficiento tiesės lygtį, o tiesė b -, tai šių tiesių normaliųjų vektorių koordinates ir , o šių tiesių lygiagretumo sąlyga įgauna formą 
. Vadinasi, jei tiesės plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje yra lygiagrečios ir jas galima nurodyti tiesių su kampiniais koeficientais lygtimis, tai tiesių kampiniai koeficientai bus lygūs. Ir atvirkščiai: jei stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje nesutampančios tiesės gali būti nurodytos tiesės su vienodais kampiniais koeficientais lygtimis, tai tokios tiesės yra lygiagrečios.
Jei tiesė a ir tiesė b stačiakampėje koordinačių sistemoje nustatomos kanoninėmis tiesės lygtimis formos plokštumoje 
Ir 
, arba formos plokštumos tiesės parametrines lygtis 
Ir 
atitinkamai šių tiesių krypties vektoriai turi koordinates ir , o tiesių a ir b lygiagretumo sąlyga parašyta kaip .
Pažvelkime į kelių pavyzdžių sprendimus.
Pavyzdys.
Ar linijos lygiagrečios? 
Ir ?
Sprendimas.
Perrašykime linijos lygtį atkarpomis bendrosios linijos lygties forma: 
. Dabar matome, kad tai yra normalus linijos vektorius , a yra normalusis linijos vektorius. Šie vektoriai nėra kolineariniai, nes nėra tikrojo skaičiaus t, kuriam lygybė ( 
). Vadinasi, būtina ir pakankama tiesių lygiagretumo plokštumoje sąlyga netenkinama, todėl duotosios tiesės nėra lygiagrečios.
Atsakymas:
Ne, linijos nėra lygiagrečios.
Pavyzdys.
Ar tiesios linijos ir lygiagrečios?
Sprendimas.
Sumažinkime kanoninę tiesės lygtį į tiesės su kampiniu koeficientu lygtį: . Akivaizdu, kad tiesių ir lygtys nėra vienodos (šiuo atveju pateiktos tiesės būtų vienodos) ir linijų kampiniai koeficientai yra lygūs, todėl pradinės tiesės yra lygiagrečios.
Antras sprendimas.
Pirmiausia parodome, kad pradinės tiesės nesutampa: paimkite bet kurį tiesės tašką, pavyzdžiui, (0, 1), šio taško koordinatės netenkina tiesės lygties, todėl tiesės nesutampa. Dabar patikrinkime šių eilučių lygiagretumo sąlygos įvykdymą. Normalusis linijos vektorius yra vektorius , o linijos krypties vektorius yra vektorius . Paskaičiuokime ir: 
. Vadinasi, vektoriai ir yra statmeni, o tai reiškia, kad tenkinama būtina ir pakankama duotųjų tiesių lygiagretumo sąlyga. Taigi, linijos yra lygiagrečios.
Atsakymas:
Pateiktos linijos yra lygiagrečios.
Norėdami įrodyti linijų lygiagretumą stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje, naudokite šią būtiną ir pakankamą sąlygą.
Teorema.
Divergentinių tiesių lygiagretumui trimatėje erdvėje būtina ir pakanka, kad jų krypties vektoriai būtų kolinearūs.
Taigi, jei žinomos tiesių lygtys stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje ir reikia atsakyti į klausimą, ar šios tiesės lygiagrečios, ar ne, tuomet reikia rasti šių tiesių krypties vektorių koordinates ir patikrinti krypties vektorių kolineariškumo sąlygos įvykdymą. Kitaip tariant, jei 
Ir 
- tiesių linijų krypties vektoriai nurodytos tiesės turi koordinates ir . Nes 
, Tai. Taigi tenkinama būtina ir pakankama dviejų tiesių lygiagretumo erdvėje sąlyga. Tai įrodo tiesių lygiagretumą 
Ir 
.
Nuorodos.
- Atanasyanas L.S., Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7 – 9 klasės: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.
- Atanasjanas L.S., Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Vadovėlis 10-11 vidurinės mokyklos klasėms.
- Pogorelovas A.V., Geometrija. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 7-11 klasėms.
- Bugrovas Ya.S., Nikolsky S.M. Aukštoji matematika. Pirmas tomas: tiesinės algebros ir analitinės geometrijos elementai.
- Iljinas V.A., Poznyak E.G. Analitinė geometrija.
Pirmiausia pažvelkime į skirtumą tarp ženklo, nuosavybės ir aksiomos sąvokų.
1 apibrėžimas
Pasirašyti jie vadina tam tikrą faktą, pagal kurį galima nustatyti sprendimo apie dominantį objektą teisingumą.
1 pavyzdys
Linijos yra lygiagrečios, jei jų skersinės formos sudaro lygius skersinius kampus.
2 apibrėžimas
Turtas yra suformuluotas tuo atveju, kai pasitikima teismo sprendimo teisingumu.
2 pavyzdys
Kai lygiagrečios linijos yra lygiagrečios, jų skersinės sudaro vienodus skersinius kampus.
3 apibrėžimas
Aksioma jie vadina teiginį, kuris nereikalauja įrodymų ir be jo priimamas kaip tiesa.
Kiekvienas mokslas turi aksiomas, kuriomis grindžiami tolesni sprendimai ir jų įrodymai.
Lygiagrečių tiesių aksioma
Kartais lygiagrečių tiesių aksioma priimama kaip viena iš lygiagrečių tiesių savybių, tačiau tuo pačiu jos pagrįstumu grindžiami kiti geometriniai įrodymai.
1 teorema
Per tašką, kuris nėra tam tikroje tiesėje, plokštumoje gali būti nubrėžta tik viena tiesė, kuri bus lygiagreti duotajai.
Aksioma nereikalauja įrodymų.
Lygiagrečių tiesių savybės
2 teorema
Turtas1. Lygiagrečių linijų tranzityvumo savybė:
Kai viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra lygiagreti trečiajai, tada antroji linija bus lygiagreti jai.
Savybės reikalauja įrodymų.
Įrodymas:
Tegul yra dvi lygiagrečios tiesės $a$ ir $b$. Linija $c$ lygiagreti linijai $a$. Patikrinkime, ar šiuo atveju tiesė $c$ taip pat bus lygiagreti tiesei $b$.
Norėdami tai įrodyti, naudosime priešingą teiginį:
Įsivaizduokime, kad tiesė $c$ yra lygiagreti vienai iš tiesių, pavyzdžiui, tiesei $a$, ir kerta kitą tiesę, tiesę $b$, tam tikru tašku $K$.
Prieštaravimą gauname pagal lygiagrečių tiesių aksiomą. Taip susidaro situacija, kai dvi tiesės susikerta viename taške, be to, lygiagrečios tai pačiai tiesei $a$. Ši situacija neįmanoma, todėl linijos $b$ ir $c$ negali susikirsti.
Taigi buvo įrodyta, kad jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra lygiagreti trečiajai tiesei, tai antroji tiesė yra lygiagreti trečiajai tiesei.
3 teorema
2 nuosavybė.
Jei vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių kerta trečioji, tada antroji linija taip pat bus kertasi su ja.
Įrodymas:
Tegul yra dvi lygiagrečios tiesės $a$ ir $b$. Taip pat tegul yra tiesė $c$, kuri kerta vieną iš lygiagrečių tiesių, pavyzdžiui, tiesė $a$. Būtina parodyti, kad tiesė $c$ kerta ir antrąją tiesę $b$.
Sukurkime įrodymą pagal prieštaravimą.
Įsivaizduokime, kad tiesė $c$ nesikerta su linija $b$. Tada per tašką $K$ eina dvi tiesės $a$ ir $c$, kurios nesikerta su tiese $b$, t.y. yra jai lygiagrečios. Tačiau ši situacija prieštarauja lygiagrečių tiesių aksiomai. Tai reiškia, kad prielaida buvo neteisinga ir eilutė $c$ susikirs su linija $b$.
Teorema įrodyta.
Kampų savybės, kurios sudaro dvi lygiagrečias linijas ir sekantą: priešingi kampai yra lygūs, atitinkami kampai lygūs, * vienpusių kampų suma yra $180^(\circ)$.
3 pavyzdys
Duotos dvi lygiagrečios tiesės ir trečia tiesė, statmena vienai iš jų. Įrodykite, kad ši tiesė yra statmena kitai lygiagrečiai tiesei.
Įrodymas.
Turėkime tieses $a \parallel b$ ir $c \perp a$.
Kadangi tiesė $c$ kerta tiesę $a$, tai pagal lygiagrečių tiesių savybę ji taip pat susikirs tiese $b$.
Sekantas $c$, kertantis lygiagrečias tieses $a$ ir $b$, sudaro vienodus vidinius kampus, esančius su jomis skersai.
Nes $c \perp a$, tada kampai bus $90^(\circ)$.
Todėl $c \perp b$.
Įrodymas baigtas.
