Kiekvienas žmogus, spręsdamas matematikos uždavinius, dažnai susiduria su trupmenomis. Jų yra daug, todėl apžvelgsime skirtingus šių pagrindinių problemų sprendimo variantus.
Kas yra trupmenos
Viršutinis bet kurios trupmenos skaičius vadinamas skaitikliu, o apatinis skaičius yra vardiklis. Paprastoji trupmena yra dviejų skaičių dalinys, vienas iš šių skaičių yra trupmenos skaitiklyje, antrasis yra trupmenos vardiklyje. Šių bendrųjų trupmenų tipai bus nustatyti lyginant trupmenos vardiklį ir skaitiklį.
Jei trupmenos vardiklis (natūralus skaičius) yra didesnis už trupmenos skaitiklį (natūralusis skaičius), tada trupmena vadinama tinkama. Štai keletas pavyzdžių: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.
Jei trupmenos (natūralaus skaičiaus) vardiklis yra mažesnis arba lygus trupmenos skaitikliui (natūralusis skaičius), tada trupmena vadinama netinkama. Štai keletas pavyzdžių: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.
Kaip konvertuoti neteisingą trupmeną
Norėdami paversti mišrią trupmeną į netinkamą trupmeną, turite padauginti visą trupmenos dalį iš trupmeninėje dalyje esančio vardiklio ir prie šio sandaugos pridėti skaitiklį. Tada paimkite sumą kaip skaitiklį, rašydami tą patį vardiklį, kaip ir anksčiau. Štai keletas pavyzdžių:
- 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
- 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.
Norėdami konvertuoti neteisingą trupmeną į tinkamą trupmeną, turite padalyti netinkamos trupmenos skaitiklį iš vardiklio. Paimkite gautą sveikąjį skaičių kaip sveikąją trupmenos dalį, o likusią dalį (žinoma, jei tokia yra) kaip tinkamos trupmenos trupmeninės dalies skaitiklį, užrašydami tą patį vardiklį, kaip ir anksčiau. Štai keletas pavyzdžių:
- 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
- 156/12 = (13x12)/12 = 13.
Norint konvertuoti neteisingą trupmeną į dešimtainę, reikia išsiaiškinti, ar yra toks koeficientas, kuris leistų netinkamosios trupmenos trupmeninės dalies vardiklį sumažinti iki skaičiaus, lygaus dešimčiai (arba dešimties, kad yra padidintas iki bet kokio laipsnio (10, 100, 1000 ir daugiau), tada reikia padauginti netinkamos trupmenos skaitiklį ir vardiklį, kad jį patikrintumėte kableliu į sveikąją netinkamos trupmenos dalį Štai pavyzdžiai:
- Daugiklis „5“ – 8/20 = (8x5)/(20x5) = 40/100 = 0,4.
- Daugiklis „4“ – 14/25 = (14x4)/(25x4) = 56/100 = 0,56.
- Daugiklis "25" – 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.
Jei tokio koeficiento nėra, tai reiškia, kad ši netinkama trupmena dešimtainėje formoje neturi aiškaus atitikmens. Tai reiškia, kad ne kiekviena netinkama trupmena gali būti konvertuojama į dešimtainį skaičių. Tokiu atveju reikia rasti apytikslę trupmenos vertę su reikiamu tikslumo laipsniu. Tokią trupmeną galite apskaičiuoti skaičiuotuvu, galvoje arba stulpelyje. Štai pavyzdžiai: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (suapvalinta iki dešimtųjų), = 5,86 (suapvalinta iki šimtųjų dalių), = 5,857 (suapvalinta iki tūkstantųjų); 3/7, 7/6, 1/3 ir kt. Jie taip pat nėra aiškiai išversti ir apskaičiuojami skaičiuotuvu, galvoje arba stulpelyje.
Dabar jūs žinote, kaip neteisingą trupmeną konvertuoti į tinkamą arba dešimtainę trupmeną!
Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie mišrūs skaičiai. Pirmiausia apibrėžkime mišrius skaičius ir pateikime pavyzdžių. Toliau pažvelkime į ryšį tarp mišrių skaičių ir netinkamų trupmenų. Po to parodysime, kaip mišrų skaičių konvertuoti į netinkamą trupmeną. Galiausiai išnagrinėkime atvirkštinį procesą, kuris vadinamas visos dalies atskyrimu nuo netinkamos trupmenos.
Puslapio naršymas.
Mišrūs skaičiai, apibrėžimas, pavyzdžiai
Matematikai sutarė, kad sumą n+a/b, kur n yra natūralusis skaičius, a/b – taisyklingoji trupmena, formoje galima užrašyti be sudėjimo ženklo. Pavyzdžiui, sumą 28+5/7 galima trumpai parašyti kaip . Toks įrašas buvo vadinamas mišriu, o skaičius, kuris atitinka šį mišrųjį įrašą, buvo vadinamas mišriu skaičiumi.
Taip pasiekiame mišraus skaičiaus apibrėžimą.
Apibrėžimas.
Mišrus skaičius yra skaičius, lygus natūraliojo skaičiaus n ir normaliosios trupmenos a/b sumai, parašytas forma . Šiuo atveju vadinamas skaičius n visa skaičiaus dalis, ir iškviečiamas numeris a/b trupmeninė skaičiaus dalis.
Pagal apibrėžimą mišrus skaičius yra lygus jo sveikųjų ir trupmeninių dalių sumai, tai yra, galioja lygybė, kurią galima parašyti taip: .
Duokim mišrių skaičių pavyzdžiai. Skaičius yra mišrus skaičius, natūralusis skaičius 5 yra sveikoji skaičiaus dalis ir trupmeninė skaičiaus dalis. Kiti mišrių skaičių pavyzdžiai yra 
.
Kartais galite rasti skaičius mišriu užrašu, tačiau, pavyzdžiui, trupmena yra netinkama trupmena arba. Šie skaičiai suprantami kaip jų sveikųjų skaičių ir trupmeninių dalių suma, pavyzdžiui, 
Ir 
. Tačiau tokie skaičiai neatitinka mišraus skaičiaus apibrėžimo, nes mišrių skaičių trupmeninė dalis turi būti tinkama trupmena.
Skaičius taip pat nėra mišrus skaičius, nes 0 nėra natūralusis skaičius.
Ryšys tarp mišrių skaičių ir netinkamųjų trupmenų
Sekite ryšys tarp mišrių skaičių ir netinkamų trupmenų geriausia su pavyzdžiais.
Tegul ant padėklo būna pyragas ir dar 3/4 to paties pyrago. Tai yra, pagal papildymo reikšmę ant padėklo yra 1+3/4 pyragaičių. Paskutinę sumą užrašę mišriu skaičiumi konstatuojame, kad ant padėklo yra tortas. Dabar visą pyragą supjaustykite į 4 lygias dalis. Dėl to ant padėklo bus 7/4 torto. Aišku, kad torto „kiekis“ nepasikeitė, todėl .
Iš nagrinėjamo pavyzdžio aiškiai matomas toks ryšys: Bet koks mišrus skaičius gali būti pateikiamas kaip netinkama trupmena.
Dabar tegul ant padėklo būna 7/4 torto. Išlanksčius visą pyragą iš keturių dalių, ant padėklo bus 1 + 3/4, tai yra tortas. Iš to aišku, kad.
Iš šio pavyzdžio aišku, kad Netinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip mišrus skaičius. (Ypatingu atveju, kai netinkamosios trupmenos skaitiklis padalytas po lygiai iš vardiklio, netinkamoji trupmena gali būti pavaizduota kaip natūralusis skaičius, pavyzdžiui, nes 8:4 = 2).
Mišraus skaičiaus pavertimas netinkamąja trupmena
Norint atlikti įvairias operacijas su mišriais skaičiais, praverčia įgūdis mišrius skaičius pavaizduoti netinkamomis trupmenomis. Ankstesnėje pastraipoje išsiaiškinome, kad bet koks mišrus skaičius gali būti paverstas netinkama trupmena. Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip toks vertimas atliekamas.
Parašykime algoritmą, rodantį kaip mišrų skaičių paversti netinkamąja trupmena:
Pažvelkime į mišraus skaičiaus konvertavimo į netinkamą trupmeną pavyzdį.
Pavyzdys.
Išreikškite mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną.
Sprendimas.
Atlikime visus reikiamus algoritmo veiksmus.
Mišrus skaičius lygus jo sveikųjų ir trupmeninių dalių sumai: .
Užrašius skaičių 5 kaip 5/1, paskutinė suma bus forma .
Norėdami baigti pradinį mišrų skaičių konvertuoti į netinkamą trupmeną, belieka pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais: 
.
Trumpa viso sprendimo santrauka yra tokia: 
.
Atsakymas:
Taigi, norėdami paversti mišrų skaičių į netinkamą trupmeną, turite atlikti šią veiksmų grandinę: . Pagaliau gavo 
, kurį naudosime toliau.
Pavyzdys.
Sumaišytą skaičių parašykite kaip netinkamą trupmeną.
Sprendimas.
Naudokime formulę, kad paverstume mišrų skaičių į netinkamą trupmeną. Šiame pavyzdyje n=15, a=2, b=5. Taigi, 
.
Atsakymas:
Visos dalies atskyrimas nuo netinkamos trupmenos
Atsakyme nėra įprasta rašyti netinkamą trupmeną. Netinkama trupmena pirmiausia pakeičiama arba lygiu natūraliuoju skaičiumi (kai skaitiklis dalijasi iš vardiklio), arba atliekamas vadinamasis visos dalies atskyrimas nuo netinkamosios trupmenos (kai skaitiklis nesidalija iš vardiklio ).
Apibrėžimas.
Visos dalies atskyrimas nuo netinkamos trupmenos- Tai trupmenos pakeitimas lygiu mišriu skaičiumi.
Belieka išsiaiškinti, kaip galite atskirti visą dalį nuo netinkamos frakcijos.
Tai labai paprasta: neteisinga trupmena a/b yra lygi mišriam formos skaičiui, kur q yra dalinis koeficientas, o r yra dalinio dalinio dalis, padalyta iš b. Tai yra, sveikoji dalis yra lygi nepilnam a dalijimo iš b daliniui, o likusioji dalis yra lygi trupmeninės dalies skaitikliui.
Įrodykime šį teiginį.
Norėdami tai padaryti, pakanka parodyti, kad . Paverskime mišriąją trupmeną netinkamąja trupmena, kaip darėme ankstesnėje pastraipoje: . Kadangi q yra nepilnas koeficientas, o r yra a dalybos iš b liekana, tai lygybė a=b·q+r yra teisinga (jei reikia, žr.
Greičiausiai pasimiršta paprastos matematinės taisyklės ir technikos, jei jos nenaudojamos nuolat. Terminai dingsta iš atminties dar greičiau.
Vienas iš šių paprastų veiksmų yra netinkamos trupmenos pavertimas tinkama arba, kitaip tariant, mišriąja trupmena.
Netinkama trupmena
Netinkama trupmena yra tokia, kurios skaitiklis (skaičius virš eilutės) yra didesnis arba lygus vardikliui (skaičius po linija). Ši trupmena gaunama sudėjus trupmenas arba padauginus trupmeną iš sveikojo skaičiaus. Pagal matematikos taisykles tokia trupmena turi būti paversta tinkama.
Tinkama trupmena
Logiška manyti, kad visos kitos trupmenos vadinamos tinkamomis. Griežtas apibrėžimas yra tas, kad trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už jos vardiklį, vadinama tinkama. Trupmena, turinti sveikąją dalį, kartais vadinama mišria trupmena.
Netinkamos trupmenos pavertimas tinkama trupmena
- Pirmasis atvejis: skaitiklis ir vardiklis yra lygūs vienas kitam. Bet kurios tokios trupmenos konvertavimo rezultatas yra vienas. Nesvarbu, ar tai trys trečdaliai, ar šimtas dvidešimt penki šimtas dvidešimt penktadaliai. Iš esmės tokia trupmena reiškia skaičiaus padalijimą iš savęs.
- Antrasis atvejis: skaitiklis didesnis už vardiklį. Čia reikia prisiminti skaičių padalijimo su liekana metodą.
Norėdami tai padaryti, turite rasti skaičių, artimiausią skaitiklio reikšmei, kuris dalijasi iš vardiklio be liekanos. Pavyzdžiui, jūs turite devyniolika trečdalių trupmeną. Artimiausias skaičius, kurį galima padalyti iš trijų, yra aštuoniolika. Tai šeši. Dabar atimkite gautą skaičių iš skaitiklio. Mes gauname vieną. Tai yra likusi dalis. Užrašykite konvertavimo rezultatą: šešis sveikus ir vieną trečdalį.
Tačiau prieš sumažindami dalį iki teisingos formos, turite patikrinti, ar ją galima sumažinti.
Galite sumažinti trupmeną, jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrą koeficientą. Tai yra skaičius, iš kurio abu dalijasi be liekanos. Jei tokių daliklių yra keletas, reikia rasti didžiausią.
Pavyzdžiui, visi lyginiai skaičiai turi tokį bendrą daliklį – du. O trupmena šešiolika dvyliktosios turi dar vieną bendrą daliklį – keturis. Tai yra didžiausias daliklis. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš keturių. Sumažinimo rezultatas: keturi trečdaliai. Dabar, kaip praktika, konvertuokite šią trupmeną į tinkamą.
Netinkamą trupmeną galite paversti tinkama trupmena, padalydami tokios trupmenos skaitiklį iš vardiklio – taip gauname tinkamą trupmeną. Arba netinkama trupmena gali būti parašyta kaip paprastas dešimtainis skaičius.
Netinkama trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Tinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Netinkamos trupmenos negalima paversti tinkama trupmena, tačiau ją galima pavaizduoti kaip mišrų skaičių, susidedantį iš dviejų dalių (viena dalis bus sveikasis skaičius, o kita – tinkama trupmena).
pvz 5/2=2+1/2 (tik trupmena paprastai rašoma iškart po sveiko skaičiaus be pliuso ženklo)
Čia reikia padalyti netinkamos trupmenos skaitiklį iš vardiklio. Užrašome sveikąją dalybos dalį (mūsų atveju 2). tada dalybos likutį (ty 1) įrašome kaip trupmenos skaitiklį, kurį rašome šalia dviejų.
Žinome iš mokyklinio matematikos kurso. kad neteisinga trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis didesnis už vardiklį. Norėdami konvertuoti ją į tinkamą trupmeną, tokios trupmenos skaitiklį turite padalyti iš vardiklio. Viskas labai paprasta, todėl tai taps teisinga arba po kablelio trupmena.
Netinkama trupmena, pvz.: 9/5, pasirinkime visą jos dalį, bus: 1 4/5 dabar atrodo kaip teisinga, tik visa dalis yra viena.
Galite paversti jį dešimtaine trupmena, mūsų atveju tai bus 1,8
Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia turite patys aiškiai suprasti, kas yra tinkama trupmena ir kas yra netinkama trupmena.
Pradėkime nuo to, kad pareiškimas
Tai netinka visiems skaičių eilutėje esantiems skaičiams.
skaitiklis yra (-10), vardiklis yra (-4)
panašus teiginys
irgi ne visada tiesa
skaitiklis yra 2, vardiklis yra (-3)
Neteisinga trupmena gali būti parašyta naudojant sveikojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos (mišriosios trupmenos) sumą, o tam reikia:
skaitiklį padalinti iš vardiklio, gautą sveikąjį skaičių įrašyti į sveikąją dalį, likusią dalį į skaitiklį, vardiklį palikti nepakeistą
skaitiklyje (-15), vardiklyje 2 paimkite minusą už trupmenos ribų - (15/2), padalinkite 15 iš 2, įdėkite sveikąjį skaičių 7 į visą trupmenos dalį, parašykite dalybos likutį 1 skaitiklyje, o vardiklį 2 palikite be pakeitimų.
Norėdami konvertuoti netinkamą trupmeną į tinkamą trupmeną, pirmiausia turite pasakyti:
Netinkamos trupmenos skaitiklis (viršutinis trupmenos skaičius) yra didesnis už vardiklį arba jam lygus;
Tinkamai trupmenai yra atvirkščiai.
Išanalizuokime konversijos procesą naudodami trupmenos 260/7 pavyzdį:
1) Pirmiausia padalykite 260 iš 7, gausime skaičių 37,14.
2) Skaičius 37 atsiras prieš trupmeną kaip sveikasis skaičius
3) Dabar 37 * 7 = 259
4) Iš skaitiklio atimame gautą skaičių 260 – 259 = 1 – šis skaičius bus mūsų tinkamos trupmenos skaitiklyje.
5) Rašant naują trupmeną, vardiklis lieka nepakitęs. Šiuo atveju tai yra 7. Tinkama trupmena atrodytų taip:
Konvertuotos trupmenos tikrinimas:
Sveikąjį skaičių padauginame iš vardiklio ir pridedame skaitiklį 37 * 7 + 1 = 260.
Tinkama trupmena yra trupmena, kurios vardiklis yra didesnis už skaitiklį. Tai rodo, kad ši trupmena rodo tam tikrą visumos dalį. Pavyzdžiui, frakcija 1/2 reiškia, kad turime, pavyzdžiui, pusę arbūzo, o frakcija 7/9 reiškia, kad mums liko septyni arbūzo gabaliukai, supjaustyti į 9 dalis. Kažkas suvalgė dvi dalis.
Jei trupmena neteisinga, tai yra, skaitiklis didesnis už vardiklį, tada visiškai neaišku, kokią viso, bet supjaustyto arbūzo dalį turime ir kiek dar yra sveikų arbūzų. Todėl mes turime paversti netinkamą trupmeną į tinkamą. šiuo atveju gausime kažkokį sveikąjį skaičių, o likusią dalį – tiksliai tinkamą trupmeną.
Norėdami konvertuoti, padalinkite skaitiklį iš vardiklio stulpelyje. Pavyzdys: 7/4. Septynis kartus keturi duoda vieną, o likusi dalis yra 3/4. Taigi trupmeną pavertėme teisinga – atsakymas yra 1 ir 3/4.
Netinkama trupmena vadinti trupmeną tokia skaitiklis yra didesnis nei vardiklis. Tai reiškia, kad tinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Norėdami neteisingą trupmeną paversti tinkama trupmena, galite ją pateikti kaip dešimtainį skaičių. Pavyzdžiui, 17/8 gali būti parašytas taip: 2.125. Arba parašykite taip: 2 1/8.
Tinkama trupmena laikoma ta, kurios vardiklis yra didesnis už skaitiklį. Norint neteisingą trupmeną paversti tinkama trupmena, reikia padalyti netinkamos trupmenos skaitiklį iš vardiklio, rezultatas bus skaičius su likusia dalimi.
Pavyzdžiui, 4 sveikos ir trys vienuoliktosios, 4 padauginame iš 11 ir +3, tada dalijame iš 11, gauname 44 +3 ir padalijame iš 11, ir gauname trupmeną 47/11. Netinkama trupmena yra tada, kai yra sveikasis skaičius, pavyzdžiui, 5,10, tai yra, penki sveikieji skaičiai ir 10/100, penkis padauginame iš 100 ir +10, pasirodo 10/500. Be to, jei pvz 6,6, tai čia lengviau, 6 padauginame iš 6 ir +6 gaunasi 12/6, sumažiname dviem, gauname šešis trečdalius, šešis trečdalius sumažiname trimis, gauname pirmus du, dalijame du iš vieno gauname du. Tai yra, 6,6 = 2.
Trupmena yra skaičius, sudarytas iš vieno ar daugiau vienetų. Matematikoje yra trijų tipų trupmenos: bendroji, mišrioji ir dešimtainė.
Paprastosios trupmenos
Paprastoji trupmena rašoma kaip santykis, kuriame skaitiklis parodo, kiek dalių paimta iš skaičiaus, o vardiklis – į kiek dalių padalintas vienetas. Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, mes turime tinkamą trupmeną, pavyzdžiui: ½, 3/5, 8/9.
Jei skaitiklis yra lygus vardikliui arba didesnis už jį, tai reiškia, kad kalbame apie netinkamą trupmeną. Pavyzdžiui: 5/5, 9/4, 5/2 Padalijus skaitiklį gali būti baigtinis skaičius. Pavyzdžiui, 40/8 = 5. Todėl bet kurį sveikąjį skaičių galima užrašyti kaip paprastąją netinkamąją trupmeną arba tokių trupmenų seriją. Panagrinėkime to paties skaičiaus įrašus kelių skirtingų pavidalu.
- Mišrios frakcijos
Paprastai mišrią trupmeną galima pavaizduoti pagal formulę: 
Taigi mišri trupmena rašoma kaip sveikasis skaičius ir įprastinė tikroji trupmena, o toks žymėjimas suprantamas kaip visumos ir jos trupmeninės dalies suma.
- Dešimtainės
Dešimtainė yra speciali trupmenos rūšis, kurios vardiklis gali būti pavaizduotas kaip 10 laipsnis. Yra begaliniai ir baigtiniai dešimtainiai skaitmenys. Rašant tokio tipo trupmenas pirmiausia nurodoma visa dalis, po to per skyriklį (tašką arba kablelį) įrašoma trupmeninė dalis.
Trupmeninės dalies žymėjimas visada nustatomas pagal jos matmenis. Dešimtainė žyma atrodo taip: 
Įvairių tipų trupmenų konvertavimo taisyklės
- Mišrios trupmenos pavertimas bendrąja trupmena
Mišrią trupmeną galima paversti tik netinkama trupmena. Norint išversti, reikia visą dalį suvesti į tą patį vardiklį kaip ir trupmeninę dalį. Apskritai tai atrodys taip: 
Pažvelkime į šios taisyklės naudojimą naudodami konkrečius pavyzdžius:
- Paprastosios trupmenos pavertimas mišriąja trupmena
Netinkama trupmena gali būti paversta mišriąja trupmena paprastu padalijimu, todėl gaunama visa dalis ir likusi dalis (trupmeninė dalis).
Pavyzdžiui, paverskime trupmeną 439/31 į mišrią: 
- Trupmenų konvertavimas
Kai kuriais atvejais trupmeną konvertuoti į dešimtainį skaičių yra gana paprasta. Šiuo atveju taikoma pagrindinė trupmenos savybė: skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus, kad daliklis būtų laipsnis 10.
Pavyzdžiui:
Kai kuriais atvejais jums gali tekti rasti koeficientą dalijant iš kampų arba naudojant skaičiuotuvą. Ir kai kurių trupmenų negalima sumažinti iki paskutinio kablelio. Pavyzdžiui, dalijama trupmena 1/3 niekada neduos galutinio rezultato.
