Dešimtainės trupmenos konvertavimas į bendrą skaičių. Dešimtainės

Trupmenos konvertavimas į dešimtainę

Tarkime, kad norime paversti trupmeną 11/4 į dešimtainę. Lengviausias būdas tai padaryti yra toks:

Mums pavyko, nes šiuo atveju vardiklio išskaidymas į pirminius veiksnius susideda tik iš dviejų. Šį išplėtimą papildėme dar dviem penketukais, pasinaudojome tuo, kad 10 = 2∙5, ir gavome dešimtainę trupmeną. Akivaizdu, kad tokia procedūra yra įmanoma tada ir tik tada, kai vardiklio skaidymas į pirminius veiksnius apima tik du ir penketus. Jei vardiklio plėtinyje yra bet koks kitas pirminis skaičius, tada tokios trupmenos negalima paversti į dešimtainę. Nepaisant to, mes stengsimės tai padaryti, bet tik kitaip, su kuriuo susipažinsime naudodamiesi tos pačios trupmenos 11/4 pavyzdžiu. Padalinkime 11 iš 4 naudodami „kampą“:

Atsakymo eilutėje gavome visą dalį (2), taip pat turime likusią dalį (3). Anksčiau dalijimą baigėme čia, bet dabar žinome, kad dešinėje dividendo (11) pusėje galime pridėti kablelį ir kelis nulius, ką dabar mintyse padarysime. Po kablelio eina dešimtoji vieta. Nulis, esantis ties dividendu šiame skaitmenyje, bus pridėtas prie gautos liekanos (3):

Dabar padalijimas gali tęstis taip, lyg nieko nebūtų nutikę. Jums tereikia nepamiršti po visos atsakymo dalies dėti kablelį:

Dabar prie likusios dalies (2), esančios šimtojoje dividendo vietoje, pridedame nulį ir užbaigiame padalijimą:

Dėl to, kaip ir anksčiau,

Dabar pabandykime lygiai taip pat apskaičiuoti, kam yra lygi trupmena 27/11:

Atsakymo eilutėje gavome skaičių 2,45, o likusioje eilutėje - 5. Bet su tokiu likučiu jau buvome susidūrę ir anksčiau. Todėl iš karto galime pasakyti, kad jei tęsime skirstymą „kampu“, tada kitas skaičius atsakymo eilutėje bus 4, tada ateis skaičius 5, tada vėl 4 ir vėl 5 ir taip toliau, be galo. :

27 / 11 = 2,454545454545...

Gavome vadinamąjį periodiškai dešimtainė trupmena su tašku 45. Tokioms trupmenoms naudojamas kompaktiškesnis žymėjimas, kuriame taškas rašomas tik vieną kartą, bet jis rašomas skliausteliuose:

2,454545454545... = 2,(45).

Paprastai tariant, jei vieną natūralųjį skaičių padalinsime iš kito su „kampu“, atsakymą rašydami dešimtainės trupmenos pavidalu, galimi tik du rezultatai: (1) anksčiau ar vėliau likusioje eilutėje gausime nulį. , (2) arba ten bus tokia liekana, su kuria jau susidūrėme anksčiau (galimų liekanų aibė ribota, nes visos jos akivaizdžiai mažesnės už daliklį). Pirmuoju atveju padalijimo rezultatas yra baigtinė dešimtainė trupmena, antruoju atveju - periodinė.

Periodinį dešimtainį skaičių konvertuoti į trupmeną

Duokite mums teigiamą periodinę dešimtainę trupmeną su nuline sveikojo skaičiaus dalimi, pavyzdžiui:

a = 0,2(45).

Kaip paversti šią trupmeną atgal į bendrą trupmeną?

Padauginkime jį iš 10 k, Kur k yra skaitmenų skaičius tarp kablelio ir pradžios skliaustas, nurodantis laikotarpio pradžią. Tokiu atveju k= 1 ir 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Padauginkite rezultatą iš 10 n, Kur n- laikotarpio „ilgis“, ty skaitmenų, esančių skliausteliuose, skaičius. Tokiu atveju n= 2 ir 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Dabar apskaičiuokime skirtumą

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Kadangi minuend ir poskyrio trupmeninės dalys yra vienodos, tada trupmeninė skirtumo dalis yra lygi nuliui ir gauname paprastą lygtį a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Ši lygtis išspręsta naudojant šias transformacijas:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

Sąmoningai dar nebaigiame skaičiavimų, kad būtų aiškiai matoma, kaip šį rezultatą galima iš karto užrašyti, praleidžiant tarpinius argumentus. Minuend skaitiklyje (245) yra trupmeninė skaičiaus dalis

a = 0,2(45)

jei ištrinsite jos įrašo skliaustus. Skaitiklio (2) dalis yra neperiodinė skaičiaus dalis A, esantis tarp kablelio ir įžanginio skliausto. Pirmasis vardiklio (10) veiksnys yra vienetas, kuriam priskiriama tiek nulių, kiek yra skaitmenų neperiodinėje dalyje ( k). Antrasis vardiklio veiksnys (99) yra tiek devynių, kiek yra skaitmenų periode ( n).

Dabar mūsų skaičiavimai gali būti baigti:

Čia skaitiklyje yra laikotarpis, o vardiklyje yra tiek devynių, kiek yra skaitmenų taške. Sumažinus 9, gauta trupmena lygi

Tuo pačiu būdu,

Dešimtainė trupmena susideda iš dviejų dalių, atskirtų kableliais. Pirmoji dalis yra visas vienetas, antroji dalis yra dešimtys (jei yra vienas skaičius po kablelio), šimtai (du skaičiai po kablelio, kaip du nuliai iš šimto), tūkstantosios ir kt. Pažvelkime į dešimtainių trupmenų pavyzdžius: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6,32; 0.5. Tai visos dešimtainės trupmenos. Kaip paversti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną?

Vienas pavyzdys

Mes turime trupmeną, pavyzdžiui, 0,5. Kaip minėta aukščiau, jis susideda iš dviejų dalių. Pirmasis skaičius 0 rodo, kiek sveikųjų vienetų turi trupmena. Mūsų atveju jų nėra. Antrasis skaičius rodo dešimtis. Trupmena netgi skaitoma nuliu tašku penki. Dešimtainis skaičius konvertuoti į trupmeną Dabar nebus sunku, rašome 5/10. Jei matote, kad skaičiai turi bendrą koeficientą, galite sumažinti trupmeną. Turime šį skaičių 5, padalijus abi trupmenos puses iš 5, gauname - 1/2.

Antras pavyzdys

Paimkime sudėtingesnę trupmeną - 2,25. Jis skamba taip: du taškai du ir dvidešimt penkios šimtosios dalys. Atkreipkite dėmesį - šimtosios dalys, nes po kablelio yra du skaičiai. Dabar galite konvertuoti jį į bendrą trupmeną. Užrašome - 2 25/100. Visa dalis yra 2, trupmeninė dalis yra 25/100. Kaip ir pirmame pavyzdyje, šią dalį galima sutrumpinti. Bendras skaičių 25 ir 100 koeficientas yra skaičius 25. Atkreipkite dėmesį, kad mes visada pasirenkame didžiausią bendrą koeficientą. Abi trupmenos puses padaliję iš GCD, gavome 1/4. Taigi 2,25 yra 2 1/4.

Trečias pavyzdys

O norėdami konsoliduoti medžiagą, paimkime dešimtainę trupmeną 4,112 - keturių taškų vienas ir šimtas dvylika tūkstantųjų dalių. Kodėl tūkstantosios, manau, aišku. Dabar užrašome 4 112/1000. Naudodami algoritmą randame skaičių 112 ir 1000 gcd. Mūsų atveju tai yra skaičius 6. Gauname 4 14/125.

Išvada

1. Suskaidome trupmeną į sveiką ir trupmeninę dalis.
2. Pažiūrėkime, kiek skaitmenų yra po kablelio. Jei vienas yra dešimtys, du yra šimtai, trys yra tūkstantosios ir pan.
3. Trupmeną rašome įprasta forma.
4. Sumažinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį.
5. Užrašome gautą trupmeną.
6. Patikriname padalydami viršutinę trupmenos dalį iš apatinės. Jei yra sveikoji dalis, pridėkite ją prie gautos dešimtainės trupmenos. Pradinė versija pasirodė puiki, o tai reiškia, kad viską padarėte teisingai.

Naudodamas pavyzdžius parodžiau, kaip dešimtainę trupmeną galite konvertuoti į paprastąją trupmeną. Kaip matote, tai padaryti labai lengva ir paprasta.

Autorius Youtube: Anastasija Ivanova

ATSISIŲSTI Trupmenų konvertavimas į dešimtaines ir atvirkščiai. Periodinės trupmenos. Vaizdo pamokos kitomis temomis, taip pat pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui ir valstybiniam egzaminui, […]

Šio vaizdo įrašo komentarai:

Naujausi komentarai svetainėje

Cheat for roblox (praeinant PER SIENAS) – Žiūrėti/atsisiųsti
⇒ „Ar tau kas nors pažadėjo, kad čia galite atsisiųsti cheat :)“
Pridėta – Komedijų klubas – Ideali moteris – Žiūrėti/atsisiųsti
⇒ „Man patinka Demiso Karibidio ir Andrejaus Skorokhodo duetas) Šie vaikinai moka jus prajuokinti, man ypač patinka Karibidio akcentas) Aš jau pavargau nuo Pashka Volya ir Kharlamov, bet čia galite pamatyti šviežių, o ne nulaužtų pokštų. Ir apskritai Marina Kravets dega, manau, laikas šiek tiek pakeisti pasirodymo formatą, įvesti keletą naujų elementų.
Pridėta - Londonas, atsisveikink: pabėgę verslininkai nori grįžti į Rusiją - Rusija 24 - Žiūrėti/atsisiųsti
⇒ „Taip, tikėti tokiomis naujienomis mūsų oligarchai, gyvenantys Anglijos pilyse, miršta, kad sugrįžtų į Rusiją, ar kas nors mūsų šalyje tiki tokiomis propagandinėmis naujienomis. Kasdien vis labiau suprantu, kodėl Televizija virsta zombių dėže, kiekvieną dieną mums diktuoja, kuo turėtume tikėti, nepaisant to, ar tai tiesa, nesąmonės, kurios primetamos gyventojams, kad parodytume, kaip čia gera, o pas juos ten absoliutus pragaras “.
Pridėta – Druzhko Show #23 – Žiūrėti/atsisiųsti
⇒ "Tai buvo puikus leidimas. Beveik kaip visada. Vis dėlto jis turi savo stilių ir charizmą, kuri yra labai patraukli."
Pridėta - POLITIKAI SVEIKINA PUTINĄ - Žiūrėti/atsisiųsti
⇒ „Na, gerai, ką aš galiu pasakyti, visi yra tokie gerbiami žmonės, kaip aš tavęs nepasveikinu, aš džiaugiuosi galėdamas prisijungti prie sveikinimų“.
Pridėta -

Konvertuoti dešimtainę į įprastą

Kiekviena dešimtainė trupmena gali būti pavaizduota kaip įprasta trupmena. Norėdami tai padaryti, tiesiog parašykite naudodami vardiklį.

Pagrindinė dešimtainės dalies konvertavimo į įprastą trupmeną taisyklė yra dešimtainio skaičiaus skaitymas, tačiau dažniausiai tai rašoma. Pavyzdžiui:

2,3 – du taškai iš trijų dešimtukų

Kadangi trupmena baigta, ją galima konvertuoti į mišrią skaičių arba netaisyklingą trupmeną:

Teisingos trupmenos konvertavimas į dešimtainę

Netradicinę trupmeną galima konvertuoti į dešimtainį skaičių, kaip ir įprasto dešimtainio žymėjimo atveju, po vardiklio turi būti vienas ar keli nuliai, pvz., 10, 100, 1000 ir pan.

Kaip konvertuoti bendrą trupmeną į dešimtainę

Jei išplėsime tokį vardiklį su pirminiais veiksniais, gausime tą patį padvigubėjimų skaičių ir penkis:

100 = 10 10 = 2 5 2.5

1000 = 10 10 10 = 2 5 2 5 2 5

Kitų pagrindinių veiksnių nėra, todėl šiuose plėtiniuose nėra, todėl:

Įprasta trupmena gali būti pavaizduota dešimtainiu skaičiumi tik tuo atveju, jei jos vardiklyje nėra kitų veiksnių, išskyrus 2 ir 5.

Dalyvaukime:

Kai vardiklis įtraukiamas į pagrindinius veiksnius, gaunamas sandauga 2 2:

Jei padauginsite jį iš dviejų keturių, skaičių penkis sulyginsite su dviem, gausite vieną iš reikiamų vardiklių – 100.

Kad ištrauka būtų lygi, skaitiklis turi būti padaugintas iš dviejų penkių sandaugos:

Pažvelkime į kitą frakciją:

Kai vardiklis įtraukiamas į pagrindinius veiksnius, sandauga yra 2,7, kurioje yra skaičius 7:

Vardiklyje bus koeficientas 7, padauginus jį arba sveikuosius skaičius, todėl sandauga, kurioje yra tik du ir penki, niekada neatsiras.

Todėl ši trupmena negali būti sumažinta iki bet kurio būtino vardiklio: 10, 100, 1000 ir tt Tai reiškia, kad ji negali būti pateikiama kaip dešimtainis skaičius.

Įprasta nesuderinama trupmena negali būti vaizduojama kaip dešimtainė dalis, jei jos vardiklyje yra bent vienas pagrindinis veiksnys nuo vieno iki dviejų.

Atminkite, kad taisyklė kalba tik apie negrįžtamas trupmenas, nes kai kurios trupmenos gali būti pateikiamos kaip dešimtainės santrumpos.

Pažvelkime į dvi dalis:

Dabar belieka padauginti frazės trupmenas iš 5, kad vardiklis gautų 10, ir jūs galite paversti trupmeną į dešimtainę:

Kaip paversti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną

Atrodytų, kad dešimtainės trupmenos pavertimas įprastąja trupmena yra elementari tema, tačiau daugelis studentų to nesupranta!

Todėl šiandien išsamiai apžvelgsime kelis algoritmus vienu metu, kurių pagalba bet kokias trupmenas suprasite vos per sekundę.

Leiskite jums priminti, kad yra bent dvi tos pačios trupmenos rašymo formos: bendroji ir dešimtainė.

Dešimtainės trupmenos yra visų rūšių konstrukcijos, kurių forma yra 0,75; 1,33; ir net −7,41. Štai paprastųjų trupmenų, išreiškiančių tuos pačius skaičius, pavyzdžiai:

Dabar išsiaiškinkime: kaip pereiti nuo dešimtainio žymėjimo prie įprasto?

Ir svarbiausia: kaip tai padaryti kuo greičiau?

Pagrindinis algoritmas

Tiesą sakant, yra mažiausiai du algoritmai. Ir mes dabar pažvelgsime į abu. Pradėkime nuo pirmojo – paprasčiausio ir suprantamiausio.

Norėdami konvertuoti dešimtainį į trupmeną, turite atlikti tris veiksmus:

1. Perrašykite pradinę trupmeną į naują trupmeną: pradinė dešimtainė trupmena liks skaitiklyje, o į vardiklį reikia įdėti vieną. Tokiu atveju skaitiklyje dedamas ir pradinio skaičiaus ženklas.

   Pavyzdžiui:

2. Gautos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 10, kol iš skaitiklio išnyks kablelis. Leiskite jums priminti: kiekvieną kartą padauginus iš 10 kablelis perkeliamas į dešinę viena vieta. Žinoma, kadangi vardiklis taip pat padauginamas, vietoj skaičiaus 1 atsiras 10, 100 ir kt.
3. Galiausiai gautą trupmeną sumažiname pagal standartinę schemą: skaitiklį ir vardiklį padaliname iš skaičių, kurių kartotiniai. Pavyzdžiui, pirmame pavyzdyje 0,75=75/100, o 75 ir 100 dalijasi iš 25.

   Todėl gauname $0.75=\frac(75)(100)=\frac(3\cdot 25)(4\cdot 25)=\frac(3)(4)$ – tai visas atsakymas :)

Svarbi pastaba apie neigiamus skaičius. Jei pradiniame pavyzdyje prieš dešimtainę trupmeną yra minuso ženklas, tada išvestyje prieš bendrąją trupmeną taip pat turėtų būti minuso ženklas.

Trupmenos konvertavimas į dešimtainę

Štai dar keli pavyzdžiai:

Ypatingą dėmesį norėčiau atkreipti į paskutinį pavyzdį. Kaip matote, trupmenoje 0,0025 yra daug nulių po kablelio. Dėl to jūs turite padauginti skaitiklį ir vardiklį iš 10 net keturis kartus. Ar tokiu atveju galima kaip nors supaprastinti algoritmą?

Žinoma, jūs galite. O dabar pažiūrėsime į alternatyvų algoritmą – jį suprasti kiek sunkiau, bet šiek tiek pasipraktikavus jis veikia daug greičiau nei standartinis.

Greitesnis būdas

Šis algoritmas taip pat turi 3 veiksmus.

Norėdami gauti trupmeną iš dešimtainio skaičiaus, atlikite šiuos veiksmus:

1. Suskaičiuokite, kiek skaitmenų yra po kablelio. Pavyzdžiui, trupmena 1,75 turi du tokius skaitmenis, o 0,0025 – keturis. Šį kiekį pažymėkime raide $n$.
2. Perrašykite pradinį skaičių kaip formos $\frac(a)(((10)^(n)))$ trupmeną, kur $a$ yra visi pradinės trupmenos skaitmenys (be "pradinių" nulių kairėje, jei yra), o $n$ yra toks pat skaitmenų skaičius po kablelio, kurį apskaičiavome pirmame žingsnyje.

   Kitaip tariant, pradinės trupmenos skaitmenis reikia padalyti iš vieneto, po kurio seka $n$ nuliai.

3. Jei įmanoma, sumažinkite gautą dalį.

Tai viskas! Iš pirmo žvilgsnio ši schema yra sudėtingesnė nei ankstesnė. Bet iš tikrųjų tai ir paprasčiau, ir greičiau. Spręskite patys:

Kaip matote, trupmenoje 0,64 po kablelio yra du skaitmenys - 6 ir 4.

Todėl $n=2$. Jei kairėje pašalinsime kablelį ir nulius (šiuo atveju tik vieną nulį), gausime skaičių 64. Pereikime prie antrojo žingsnio: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100 $, todėl vardiklis yra lygiai šimtas. Na, tada belieka sumažinti skaitiklį ir vardiklį :)

Dar vienas pavyzdys:

Čia viskas yra šiek tiek sudėtingiau.

Pirma, po kablelio jau yra 3 skaičiai, t.y. $n=3$, taigi reikia padalyti iš $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Antra, jei iš dešimtainio žymėjimo pašalinsime kablelį, gausime štai ką: 0,004 → 0004. Atminkite, kad kairėje pusėje esantys nuliai turi būti pašalinti, taigi iš tikrųjų turime skaičių 4. Tada viskas paprasta: padalinkite, sumažinkite ir gaukite atsakymas.

Galiausiai paskutinis pavyzdys:

Šios frakcijos ypatumas yra visos dalies buvimas.

Todėl gaunama išvestis yra netinkama 47/25 dalis. Žinoma, galite pabandyti padalyti 47 iš 25 su likusia dalimi ir taip vėl atskirti visą dalį.

Bet kam komplikuoti savo gyvenimą, jei tai galima padaryti transformacijos etape? Na, išsiaiškinkime.

Ką daryti su visa dalimi

Tiesą sakant, viskas yra labai paprasta: jei norime gauti tinkamą trupmeną, tada transformacijos metu turime iš jos pašalinti visą dalį, o tada, kai gauname rezultatą, vėl pridėti dešinėje prieš trupmenos eilutę. .

Pavyzdžiui, apsvarstykite tą patį skaičių: 1,88. Suskaičiuokime balą vienu (visą dalį) ir pažiūrėkime į trupmeną 0,88.

Jį galima lengvai konvertuoti:

Tada prisimename apie „prarastą“ vienetą ir pridedame jį priekyje:

\[\frac(22)(25)\į 1\frac(22)(25)\]

Tai viskas! Atsakymas pasirodė toks pat, kaip ir praėjusį kartą pasirinkus visą dalį. Dar pora pavyzdžių:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\iki 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\iki 13\frac(4)(5).

Tai yra matematikos grožis: nesvarbu, į kurią pusę eitumėte, jei visi skaičiavimai bus atlikti teisingai, atsakymas visada bus toks pat :)

Baigdamas norėčiau apsvarstyti dar vieną techniką, kuri padeda daugeliui.

Transformacijos „iš ausies“

Pagalvokime, kas yra net dešimtainis skaičius.

Tiksliau, kaip mes jį skaitome. Pavyzdžiui, skaičius 0,64 – mes jį skaitome kaip „nulis taško 64 šimtosios dalys“, tiesa? Na, arba tiesiog „64 šimtosios dalys“. Pagrindinis žodis čia yra „šimtosios“, t.y. numeris 100.

O kaip 0,004? Tai yra „nulis 4 tūkstantosios dalys“ arba tiesiog „keturios tūkstantosios dalys“.

Vienaip ar kitaip raktinis žodis yra „tūkstantinės“, t.y. 1000.

Taigi, kas per didelis? Ir faktas yra tas, kad būtent šie skaičiai galiausiai „iššoka“ vardikliuose antrajame algoritmo etape. Tie. 0,004 yra „keturios tūkstantosios dalys“ arba „4 padalintas iš 1000“:

Pabandykite praktikuoti patys – tai labai paprasta. Svarbiausia teisingai perskaityti pradinę trupmeną. Pavyzdžiui, 2,5 yra „2 sveiki, 5 dešimtosios“, taigi

Ir kai kurie 1,125 yra „1 visa, 125 tūkstantosios dalys“, taigi

Žinoma, paskutiniame pavyzdyje kažkas paprieštaraus, kad ne kiekvienam studentui akivaizdu, kad 1000 dalijasi iš 125.

Bet čia reikia atsiminti, kad 1000 = 103 ir 10 = 2 ∙ 5, taigi

\/ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end (lygiuoti)\]

Taigi bet kurią dešimties laipsnį galima išskaidyti tik į 2 ir 5 veiksnius – būtent šių faktorių reikia ieškoti skaitiklyje, kad galiausiai viskas būtų sumažinta.

Tuo pamoka baigiama.

Pereikime prie sudėtingesnės atvirkštinės operacijos – žr. „Perėjimas nuo paprastosios trupmenos prie dešimtainės dalies“.

Jau pradinėje mokykloje mokiniai susiduria su trupmenomis. Ir tada jie pasirodo kiekvienoje temoje. Negalite pamiršti veiksmų su šiais skaičiais. Todėl jūs turite žinoti visą informaciją apie paprastas ir dešimtaines trupmenas. Šios sąvokos nėra sudėtingos, svarbiausia viską suprasti iš eilės.

Kodėl reikalingos trupmenos?

Mus supantis pasaulis susideda iš ištisų objektų. Todėl akcijų nereikia. Tačiau kasdienybė nuolat verčia žmones dirbti su daiktų dalimis ir daiktais.

Pavyzdžiui, šokoladas susideda iš kelių gabalėlių. Apsvarstykite situaciją, kai jo plytelę sudaro dvylika stačiakampių. Jei padalinsite į dvi dalis, gausite 6 dalis. Jį galima nesunkiai suskirstyti į tris. Tačiau penkiems žmonėms viso šokolado gabalėlių skaičiaus duoti nepavyks.

Beje, šie griežinėliai jau yra trupmenos. Ir tolesnis jų padalijimas lemia sudėtingesnių skaičių atsiradimą.

Kas yra "frakcija"?

Tai skaičius, sudarytas iš vieneto dalių. Išoriškai tai atrodo kaip du skaičiai, atskirti horizontaliu arba pasviruoju brūkšniu. Ši savybė vadinama trupmeniniu. Skaičius, parašytas viršuje (kairėje), vadinamas skaitikliu. Tai, kas yra apačioje (dešinėje), yra vardiklis.

Iš esmės pasvirasis brūkšnys yra padalijimo ženklas. Tai yra, skaitiklis gali būti vadinamas dividendu, o vardiklis gali būti vadinamas dalikliu.

Kokios ten trupmenos?

Matematikoje yra tik dviejų tipų: paprastosios ir dešimtainės trupmenos. Su pirmaisiais moksleiviai susipažįsta pradinėje mokykloje, vadindami juos tiesiog „trupelėmis“. Pastarųjų bus mokomasi 5 klasėje. Tada ir pasirodo šie vardai.

Paprastosios trupmenos yra visos tos, kurios parašytos kaip du skaičiai, atskirti linija. Pavyzdžiui, 4/7. Dešimtainė dalis yra skaičius, kurio trupmeninė dalis turi padėties žymėjimą ir yra atskirta nuo sveikojo skaičiaus kableliu. Pavyzdžiui, 4.7. Mokiniai turi aiškiai suprasti, kad pateikti du pavyzdžiai yra visiškai skirtingi skaičiai.

Kiekvieną paprastą trupmeną galima parašyti kaip dešimtainį skaičių. Šis teiginys beveik visada teisingas atvirkščiai. Yra taisyklių, leidžiančių parašyti dešimtainę trupmeną kaip bendrąją trupmeną.

Kokius potipius turi šių tipų trupmenos?

Geriau pradėti chronologine tvarka, nes jie yra tiriami. Paprastosios trupmenos yra pirmiausia. Tarp jų galima išskirti 5 porūšius.

Teisingai. Jo skaitiklis visada yra mažesnis už vardiklį.

Neteisingai. Jo skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.

Sumažinamas / nesumažinamas. Gali pasirodyti, kad tai teisinga arba neteisinga. Kitas svarbus dalykas – ar skaitiklis ir vardiklis turi bendrų veiksnių. Jei yra, tuomet reikia iš jų padalyti abi trupmenos dalis, tai yra sumažinti.

Mišrus. Sveikasis skaičius priskiriamas įprastai taisyklingai (netaisyklingai) trupmeninei daliai. Be to, jis visada yra kairėje.

Sudėtinis. Jis sudarytas iš dviejų frakcijų, padalintų viena į kitą. Tai reiškia, kad jame vienu metu yra trys trupmeninės eilutės.

Dešimtainės trupmenos turi tik du potipius:

baigtinis, tai yra toks, kurio trupmeninė dalis yra ribota (turi pabaigą);

begalinis – skaičius, kurio skaitmenys po kablelio nesibaigia (juos galima rašyti be galo).

Kaip paversti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną?

Jei tai baigtinis skaičius, tai asociacija taikoma remiantis taisykle – kaip girdžiu, taip ir rašau. Tai reiškia, kad reikia teisingai perskaityti ir užsirašyti, bet be kablelio, bet su trupmenine juostele.

Kaip užuomina apie reikalingą vardiklį, turite atsiminti, kad tai visada yra vienas ir keli nuliai. Pastarųjų reikia parašyti tiek, kiek skaitmenų yra aptariamo skaičiaus trupmeninėje dalyje.

Kaip dešimtaines trupmenas paversti paprastosiomis trupmenomis, jei trūksta jų sveikosios dalies, tai yra lygi nuliui? Pavyzdžiui, 0,9 arba 0,05. Pritaikius nurodytą taisyklę, paaiškėja, kad reikia parašyti nulį sveikųjų skaičių. Bet tai nenurodyta. Belieka užsirašyti trupmenines dalis. Pirmojo skaičiaus vardiklis bus 10, antrojo – 100. Tai yra, pateiktuose pavyzdžiuose kaip atsakymai bus tokie skaičiai: 9/10, 5/100. Be to, paaiškėja, kad pastarąjį galima sumažinti 5. Todėl jo rezultatą reikia parašyti kaip 1/20.

Kaip galite paversti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną, jei jos sveikoji dalis skiriasi nuo nulio? Pavyzdžiui, 5.23 arba 13.00108. Abiejuose pavyzdžiuose skaitoma visa dalis ir užrašoma jos reikšmė. Pirmuoju atveju jis yra 5, antruoju - 13. Tada reikia pereiti prie trupmeninės dalies. Su jais turėtų būti atliekama ta pati operacija. Pirmasis skaičius rodomas 23/100, antrasis - 108/100000. Antrąją vertę reikia dar kartą sumažinti. Atsakyme pateikiamos tokios mišrios trupmenos: 5 23/100 ir 13 27/25000.

Kaip paversti begalinę dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną?

Jei ji neperiodinė, tai tokia operacija nebus įmanoma. Taip yra dėl to, kad kiekviena dešimtainė trupmena visada konvertuojama į baigtinę arba periodinę trupmeną.

Vienintelis dalykas, kurį galite padaryti su tokia frakcija, yra apvalinti. Bet tada dešimtainis skaičius bus maždaug lygus tai begalinei. Jį jau galima paversti įprastu. Tačiau atvirkštinis procesas: konvertuojant į dešimtainę, pradinės vertės niekada nebus. Tai yra, begalinės neperiodinės trupmenos nėra paverčiamos paprastosiomis trupmenomis. Tai reikia atsiminti.

Kaip parašyti begalinę periodinę trupmeną kaip paprastąją trupmeną?

Šiuose skaičiuose po kablelio visada yra vienas ar keli skaitmenys, kurie kartojasi. Jie vadinami periodu. Pavyzdžiui, 0,3 (3). Čia "3" yra laikotarpis. Jos priskiriamos racionaliosioms, nes jas galima paversti paprastosiomis trupmenomis.

Tie, kurie susidūrė su periodinėmis trupmenomis, žino, kad jos gali būti grynos arba mišrios. Pirmuoju atveju taškas prasideda iš karto nuo kablelio. Antroje trupmeninė dalis prasideda kai kuriais skaičiais, o tada prasideda kartojimas.

Taisyklė, pagal kurią reikia rašyti begalinį dešimtainį skaičių kaip bendrąją trupmeną, skirsis dviem nurodytiems skaičių tipams. Gana lengva grynąsias periodines trupmenas užrašyti kaip paprastąsias trupmenas. Kaip ir baigtinius, juos reikia konvertuoti: skaitiklyje užrašyti tašką, o vardiklis bus skaičius 9, kartojamas tiek kartų, kiek taške yra skaitmenų.

Pavyzdžiui, 0, (5). Skaičius neturi sveikosios dalies, todėl reikia nedelsiant pradėti nuo trupmeninės dalies. Parašykite 5 kaip skaitiklį ir 9 kaip vardiklį. Tai yra, atsakymas bus trupmena 5/9.

Taisyklė, kaip rašyti įprastą periodinę dešimtainę trupmeną, kuri sumaišoma.

Pažiūrėkite į laikotarpio trukmę. Tiek 9s turės vardiklis.

Užrašykite vardiklį: pirmieji devyni, paskui nuliai.

Norėdami nustatyti skaitiklį, turite užrašyti dviejų skaičių skirtumą. Visi skaičiai po kablelio bus sumažinti kartu su tašku. Išskaita – tai be laikotarpio.

Pavyzdžiui, 0,5(8) – periodinę dešimtainę trupmeną parašykite kaip bendrąją trupmeną. Trupmeninėje dalyje prieš tašką yra vienas skaitmuo. Taigi bus vienas nulis. Laikotarpyje taip pat yra tik vienas skaičius – 8. Tai yra tik vienas devynetas. Tai yra, vardiklyje reikia įrašyti 90.

Norint nustatyti skaitiklį, iš 58 reikia atimti 5. Pasirodo, 53. Pavyzdžiui, atsakymą tektų parašyti kaip 53/90.

Kaip trupmenos konvertuojamos į dešimtaines?

Paprasčiausias variantas yra skaičius, kurio vardiklis yra skaičius 10, 100 ir kt. Tada vardiklis tiesiog atmetamas, o tarp trupmeninės ir sveikosios dalies dedamas kablelis.

Būna situacijų, kai vardiklis lengvai virsta 10, 100 ir tt Pavyzdžiui, skaičiai 5, 20, 25. Pakanka juos padauginti atitinkamai iš 2, 5 ir 4. Tereikia iš to paties skaičiaus padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį.

Visais kitais atvejais naudinga paprasta taisyklė: skaitiklį padalinkite iš vardiklio. Tokiu atveju galite gauti du galimus atsakymus: baigtinę arba periodinę dešimtainę trupmeną.

Operacijos su paprastosiomis trupmenomis

Sudėjimas ir atėmimas

Mokiniai su jais susipažįsta anksčiau nei kiti. Be to, iš pradžių trupmenos turi tuos pačius vardiklius, o vėliau – skirtingus. Bendrosios taisyklės gali būti sumažintos iki šio plano.

Raskite mažiausią bendrą vardiklių kartotinį.

Parašykite papildomų koeficientų visoms paprastosioms trupmenoms.

Padauginkite skaitiklius ir vardiklius iš jiems nurodytų koeficientų.

Sudėkite (atimkite) trupmenų skaitiklius ir palikite bendrą vardiklį nepakeistą.

Jei minuendo skaitiklis yra mažesnis už potraukį, turime išsiaiškinti, ar turime mišrų skaičių, ar tinkamą trupmeną.

Pirmuoju atveju reikia pasiskolinti vieną iš visos dalies. Pridėkite vardiklį prie trupmenos skaitiklio. Ir tada atlikite atimtį.

Antruoju atveju reikia taikyti taisyklę iš mažesnio skaičiaus atimti didesnį skaičių. Tai yra, iš subtrahend modulio atimkite minuend modulį ir atsakydami įdėkite ženklą „-“.

Atidžiai pažiūrėkite į sudėjimo (atimties) rezultatą. Jei gausite netinkamą trupmeną, turite pasirinkti visą dalį. Tai yra, padalinkite skaitiklį iš vardiklio.

Daugyba ir dalyba

Norint juos atlikti, trupmenų nereikia redukuoti iki bendro vardiklio. Taip lengviau atlikti veiksmus. Tačiau jie vis tiek reikalauja laikytis taisyklių.

Dauginant trupmenas reikia žiūrėti į skaičius skaitikliuose ir vardikliuose. Jei kuris nors skaitiklis ir vardiklis turi bendrą koeficientą, tada juos galima sumažinti.

Padauginkite skaitiklius.

Padauginkite vardiklius.

Jei rezultatas yra sumažinama trupmena, tada ją reikia dar kartą supaprastinti.

Dalindami pirmiausia turite pakeisti dalybą daugyba, o daliklį (antrąją trupmeną) - atsakomąją trupmeną (sukeisti skaitiklį ir vardiklį).

Tada atlikite daugybos veiksmus (pradedant nuo 1 punkto).

Užduotyse, kuriose reikia padauginti (padalyti) iš sveikojo skaičiaus, pastarasis turėtų būti rašomas kaip netinkamoji trupmena. Tai yra, kai vardiklis yra 1. Tada elkitės taip, kaip aprašyta aukščiau.



Veiksmai su dešimtainėmis dalimis

Sudėjimas ir atėmimas

Žinoma, jūs visada galite konvertuoti dešimtainį skaičių į trupmeną. Ir elkitės pagal jau aprašytą planą. Tačiau kartais patogiau veikti be šio vertimo. Tada jų pridėjimo ir atėmimo taisyklės bus lygiai tokios pačios.

Išlyginkite skaitmenų skaičių trupmeninėje skaičiaus dalyje, ty po kablelio. Pridėkite trūkstamą nulių skaičių.

Parašykite trupmenas taip, kad kablelis būtų žemiau kablelio.

Sudėkite (atimkite) kaip natūraliuosius skaičius.

Pašalinkite kablelį.

Daugyba ir dalyba

Svarbu, kad čia nereikėtų pridėti nulių. Trupmenos turėtų būti paliktos tokios, kokios pateiktos pavyzdyje. Ir tada eik pagal planą.

Norėdami padauginti, turite rašyti trupmenas vieną po kitos, nekreipdami dėmesio į kablelius.

Padauginkite kaip natūraliuosius skaičius.

Atsakyme padėkite kablelį, nuo dešiniojo atsakymo galo skaičiuodami tiek skaitmenų, kiek jų yra abiejų faktorių trupmeninėse dalyse.

Norėdami padalyti, pirmiausia turite transformuoti daliklį: padaryti jį natūraliu skaičiumi. Tai yra, padauginkite jį iš 10, 100 ir tt, priklausomai nuo to, kiek skaitmenų yra daliklio trupmeninėje dalyje.

Padauginkite dividendą iš to paties skaičiaus.

Padalinkite dešimtainę trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.

Kai baigiasi visos dalies padalijimas, atsakyme dėkite kablelį.



Ką daryti, jei viename pavyzdyje yra abiejų tipų trupmenos?

Taip, matematikoje dažnai yra pavyzdžių, kai reikia atlikti operacijas su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis. Tokiose užduotyse galimi du sprendimai. Reikia objektyviai pasverti skaičius ir pasirinkti optimaliausią.

Pirmasis būdas: pavaizduokite įprastus dešimtainius

Jis tinkamas, jei padalijus arba išvertus gaunamos baigtinės trupmenos. Jei bent vienas skaičius suteikia periodinę dalį, tada ši technika yra draudžiama. Todėl, net jei jums nepatinka dirbti su paprastosiomis trupmenomis, turėsite jas skaičiuoti.

Antrasis būdas: dešimtaines trupmenas rašykite kaip įprastą

Ši technika yra patogi, jei dalyje po kablelio yra 1–2 skaitmenys. Jei jų yra daugiau, galite gauti labai didelę bendrąją trupmeną, o dešimtainis žymėjimas padės greičiau ir lengviau apskaičiuoti užduotį. Todėl visada reikia blaiviai įvertinti užduotį ir pasirinkti paprasčiausią sprendimo būdą.

Trupmena yra skaičius, sudarytas iš vieno ar daugiau vienetų. Matematikoje yra trijų tipų trupmenos: bendroji, mišrioji ir dešimtainė.

• 
  Paprastosios trupmenos

Paprastoji trupmena rašoma kaip santykis, kuriame skaitiklis parodo, kiek dalių paimta iš skaičiaus, o vardiklis – į kiek dalių padalintas vienetas. Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, mes turime tinkamą trupmeną, pavyzdžiui: ½, 3/5, 8/9.

Jei skaitiklis yra lygus vardikliui arba didesnis už jį, tai yra netinkama trupmena. Pavyzdžiui: 5/5, 9/4, 5/2 Padalijus skaitiklį, gali būti baigtinis skaičius. Pavyzdžiui, 40/8 = 5. Todėl bet kurį sveikąjį skaičių galima užrašyti kaip paprastąją netinkamąją trupmeną arba tokių trupmenų seriją. Panagrinėkime to paties skaičiaus įrašus kelių skirtingų pavidalu.

• Mišrios frakcijos

Apskritai mišrią trupmeną galima pavaizduoti pagal formulę:

Taigi mišri trupmena rašoma kaip sveikasis skaičius ir įprastinė tikroji trupmena, o toks žymėjimas suprantamas kaip visumos ir jos trupmeninės dalies suma.

• Dešimtainės

Dešimtainė yra speciali trupmenos rūšis, kurios vardiklis gali būti pavaizduotas kaip 10 laipsnis. Yra begaliniai ir baigtiniai dešimtainiai skaitmenys. Rašant tokio tipo trupmenas pirmiausia nurodoma visa dalis, po to per skyriklį (tašką arba kablelį) įrašoma trupmeninė dalis.

Trupmeninės dalies žymėjimas visada nustatomas pagal jos matmenis. Dešimtainė žyma atrodo taip:

Įvairių tipų trupmenų konvertavimo taisyklės

• Mišrios trupmenos pavertimas bendrąja trupmena

Mišrią trupmeną galima paversti tik netinkama trupmena. Norint išversti, reikia visą dalį suvesti į tą patį vardiklį kaip ir trupmeninę dalį. Apskritai tai atrodys taip:
Pažvelkime į šios taisyklės naudojimą naudodami konkrečius pavyzdžius:

• Paprastosios trupmenos pavertimas mišriąja trupmena

Netinkama trupmena gali būti paversta mišriąja trupmena paprastu padalijimu, todėl gaunama visa dalis ir likusi dalis (trupmeninė dalis).

Pavyzdžiui, paverskime trupmeną 439/31 į mišrią:
​​

• Trupmenų konvertavimas

Kai kuriais atvejais trupmeną konvertuoti į dešimtainį skaičių yra gana paprasta. Šiuo atveju taikoma pagrindinė trupmenos savybė: skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus, kad daliklis būtų laipsnis 10.

Pavyzdžiui:

Kai kuriais atvejais jums gali tekti rasti koeficientą dalijant iš kampų arba naudojant skaičiuotuvą. Ir kai kurių trupmenų negalima sumažinti iki paskutinio kablelio. Pavyzdžiui, dalijama trupmena 1/3 niekada neduos galutinio rezultato.