Pitagoro trynukai ir jų skaičius. Pitagoro skaičių trigubai (mokinio kūrybinis darbas) Pitagoro skaičių trigubas Mokinio kūrybinis darbas

Beskrovny I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

Darbo tikslas – sukurti a2+b2=c2 formos Pitagoro trejetukų skaičiavimo metodus ir algoritmus. Analizės procesas buvo atliktas laikantis sisteminio požiūrio principų. Kartu su matematiniais modeliais buvo naudojami grafiniai modeliai, kuriuose kiekvienas Pitagoro trigubo narys rodomas sudėtinių kvadratų pavidalu, kurių kiekvienas susideda iš vienetinių kvadratų rinkinio. Nustatyta, kad begalinėje Pitagoro trigubų aibėje yra begalinis skaičius poaibių, išsiskiriančių skirtumu tarp reikšmių b–c. Siūlomas Pitagoro trigubų formavimo algoritmas su bet kokia iš anksto nustatyta šio skirtumo verte. Parodyta, kad Pitagoro trigubai egzistuoja bet kuriai reikšmei 3≤a

Pitagoro trigubai

sistemos analizė

matematinis modelis

grafinis modelis

1. Anosovas D.N. Žvilgsnis į matematiką ir kažkas iš jos. – M.: MTsNMO, 2003. – 24 p.: iliustr.

2. Eyerland K., Rosen M. Klasikinis įvadas į šiuolaikinę skaičių teoriją. – M.: Mir, 1987 m.

3. Beskrovny I.M. Sistemų analizė ir informacinės technologijos organizacijose: Vadovėlis. – M.: RUDN, 2012. – 392 p.

4. Simonas Singhas. Paskutinė Ferma teorema.

5. Fermat P. Skaičių teorijos ir diofantinės analizės studijos. – M.: Nauka, 1992 m.

6. Yaptro. Ucoz, prieinama adresu: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Pitagoro trigubai yra trijų sveikųjų skaičių kohorta, atitinkanti Pitagoro santykį x2 + y2 = z2. Paprastai kalbant, tai yra ypatingas diofantinių lygčių atvejis, būtent lygčių sistema, kurioje nežinomųjų skaičius yra didesnis už lygčių skaičių. Jie buvo žinomi ilgą laiką, nuo Babilono laikų, tai yra, gerokai prieš Pitagorą. Ir jie gavo savo vardą po to, kai Pitagoras jais remdamasis įrodė savo garsiąją teoremą. Tačiau, kaip matyti iš daugybės šaltinių, kuriuose Pitagoro trynukų problema vienu ar kitu laipsniu paliesta, analizė, klausimas apie esamas šių trynukų klases ir galimus jų susidarymo būdus dar nėra iki galo atskleistas.

Taigi Simono Singho knygoje sakoma: „Pitagoro mokiniai ir pasekėjai... papasakojo pasauliui paslaptį, kaip surasti vadinamuosius tris Pitagoro raktus“. Tačiau po to skaitome: - „Pitagoriečiai svajojo rasti kitus Pitagoro trynukus, kitus kvadratus, iš kurių būtų galima sulankstyti trečią didelį kvadratą. ...Didėjant skaičiui, Pitagoro trynukai vis rečiau paplitę ir juos rasti vis sunkiau. Pitagoriečiai išrado metodą, kaip rasti tokius trynukus, ir, naudodami jį, įrodė, kad Pitagoro trynukų yra be galo daug.

Aukščiau pateiktoje citatoje paryškinami žodžiai, kurie sukelia painiavą. Kodėl „pitagoriečiai svajojo rasti...“, jei „išrado metodą, kaip surasti tokius trynukus...“, o kodėl dideliems skaičiams „rasti darosi vis sunkiau...“.

Garsaus matematiko D.V. Anosov, atrodo, kad reikiamas atsakymas buvo duotas. - „Yra natūraliųjų (t. y. teigiamų sveikųjų skaičių) x, y, z trejetai, tokie, kad

x2 + y2 = z2. (1)

…ar įmanoma rasti visus lygties x2+y2=z2 sprendinius natūraliaisiais skaičiais? …Taip. Atsakymas yra toks: kiekvienas toks sprendimas gali būti pavaizduotas formoje

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

kur l, m, n yra natūralūs skaičiai su m>n arba panašia forma, kai x ir y yra sukeisti. Galime trumpiau pasakyti, kad x, y, z iš (2) su visais įmanomais natūraliaisiais l ir m > n yra visi galimi (1) sprendiniai iki x ir y permutacijos. Pavyzdžiui, trigubas (3, 4, 5) gaunamas, kai l=1, m=2, n=1. ... Matyt, babiloniečiai žinojo šį atsakymą, bet kaip jie atėjo, nežinoma.

Apskritai žinoma, kad matematikai labai griežtai laikosi savo formuluočių. Tačiau šioje citatoje tokio griežtumo nėra. Taigi, kas tiksliai: rasti ar įsivaizduoti? Akivaizdu, kad tai visiškai skirtingi dalykai. Žemiau yra „šviežiai iškeptų“ trynukų eilutė (gaunama toliau aprašytu būdu):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Neabejotina, kad kiekvienas iš šių trynukų gali būti pavaizduotas santykio (2) forma ir tada galima apskaičiuoti reikšmes l, m, n. Bet tai yra po to, kai buvo rastos visos trigubų vertės. Ką daryti iki to laiko?

Neatmetama galimybė, kad atsakymai į šiuos klausimus jau seniai žinomi. Bet kažkodėl jų dar nepavyko rasti. Taigi šio darbo tikslas – sisteminė žinomų Pitagoro trigubų pavyzdžių rinkinio analizė, sistemas formuojančių ryšių paieška įvairiose trigubų grupėse ir šioms grupėms būdingų sisteminių bruožų nustatymas, o vėliau – sisteminių ypatybių kūrimas. paprasti veiksmingi algoritmai, skirti apskaičiuoti tripletus su iš anksto nustatyta konfigūracija. Pagal konfigūraciją suprantame santykius tarp kiekių, įtrauktų į trigubą.

Naudojami įrankiai bus matematinis aparatas, kurio lygis neperžengia vidurinėje mokykloje dėstomos matematikos ribų, ir sistemos analizė, pagrįsta aprašytais metodais.

Modelio kūrimas

Sisteminės analizės požiūriu bet kuris Pitagoro trigubas yra sistema, sudaryta iš objektų, kuriuos sudaro trys skaičiai ir jų savybės. Jų visuma, kurioje objektai dedami į tam tikrus santykius ir sudaro sistemą, kuri turi naujų savybių, kurios nėra būdingos nei atskiriems objektams, nei jokiai kitai jų visumai, kur objektai dedami į kitus santykius.

(1) lygtyje sistemos objektai yra natūralūs skaičiai, sujungti paprastais algebriniais ryšiais: lygybės ženklo kairėje yra dviejų skaičių suma, pakelta iki 2 laipsnio, dešinėje – trečiasis skaičius, taip pat pakeltas. į laipsnį 2. Atskiri skaičiai, į kairę nuo lygybės, pakelti iki 2 laipsnio, jų sumavimo operacijai neriboja – gaunama suma gali būti bet kokia. Tačiau lygybės ženklas, dedamas po sumavimo operacijos, nustato šios sumos reikšmės sisteminį apribojimą: suma turi būti tokia, kad kvadratinės šaknies ištraukimo operacijos rezultatas būtų natūralusis skaičius. Tačiau ši sąlyga netenkinama jokiems skaičiams, pakeistiems kairėje lygybės pusėje. Taigi lygybės ženklas, esantis tarp dviejų lygties narių ir trečiojo, paverčia tris narius sistema. Nauja šios sistemos savybė yra pradinių skaičių verčių apribojimų įvedimas.

Remiantis žymėjimo forma, Pitagoro trigubas gali būti laikomas geometrinės sistemos, susidedančios iš trijų kvadratų, sujungtų sumavimo ir lygybės santykiais, matematiniu modeliu, kaip parodyta Fig. 1. pav. 1 yra grafinis nagrinėjamos sistemos modelis, o jo žodinis modelis yra teiginys:

Kvadrato, kurio kraštinės ilgis c, plotą be liekanos galima padalyti į du kvadratus, kurių kraštinių ilgis yra a ir b, kad jų plotų suma būtų lygi pradinio kvadrato plotui, ty trys dydžiai a, b ir c yra susiję ryšiu

Grafinis kvadrato skaidymo modelis

Sistemos analizės kanonų rėmuose žinoma, kad jeigu matematinis modelis adekvačiai atspindi tam tikros geometrinės sistemos savybes, tai pačios šios sistemos savybių analizė leidžia išsiaiškinti jos matematinio modelio savybes, juos giliau suprasti, išaiškinti ir, jei reikia, patobulinti. Tai yra kelias, kuriuo eisime.

Paaiškinkime, kad pagal sistemos analizės principus sudėjimo ir atimties operacijos gali būti atliekamos tik su sudėtiniais objektais, ty objektais, sudarytais iš elementariųjų objektų rinkinio. Todėl bet kurį kvadratą suvoksime kaip figūrą, sudarytą iš elementarių arba vienetinių kvadratų. Tada sąlyga gauti sprendinį natūraliaisiais skaičiais yra lygiavertė sąlygai, kad vienetinis kvadratas yra nedalomas, priėmimui.

Vienetinis kvadratas yra kvadratas, kurio kiekvienos kraštinės ilgis yra lygus vienetui. Tai yra, kai kvadrato vieneto plotas nustatomas pagal šią išraišką.

Kiekybinis kvadrato parametras yra jo plotas, nustatomas pagal vienetinių kvadratų skaičių, kurį galima įdėti į tam tikrą plotą. Kvadratui, kurio reikšmė x savavališka, išraiška x2 nustato kvadrato plotą, kurį sudaro segmentai, kurių ilgis x vieneto segmentai. Šio kvadrato plote gali tilpti x2 vienetiniai kvadratai.

Pirmiau pateikti apibrėžimai gali būti suvokiami kaip nereikšmingi ir akivaizdūs, tačiau taip nėra. D.N. Anosovas ploto sąvoką apibrėžia skirtingai: - „... figūros plotas lygus jos dalių plotų sumai. Kodėl esame tikri, kad taip yra? ...Įsivaizduojame figūrą iš kokios nors vienalytės medžiagos, tada jos plotas proporcingas joje esančios medžiagos kiekiui – jos masei. Toliau suprantama, kad padalijus kūną į kelias dalis, jų masių suma yra lygi pradinio kūno masei. Tai suprantama, nes viskas susideda iš atomų ir molekulių, o kadangi jų skaičius nepasikeitė, tai ir bendra masė nepasikeitė... Juk iš tikrųjų vienalytės medžiagos gabalo masė yra proporcinga jos tūriui; Tai reiškia, kad turite žinoti, kad tam tikros figūros formos „lapo“ tūris yra proporcingas jo plotui. Žodžiu, ...kad figūros plotas lygus jos dalių plotų sumai, tai turi būti įrodyta geometrijoje. ... Kiselevo vadovėlyje vietovės, turinčios tą pačią savybę, apie kurią dabar diskutuojame, egzistavimas buvo nuoširdžiai postuluojamas kaip tam tikra prielaida, ir buvo sakoma, kad tai iš tikrųjų buvo tiesa, bet mes to neįrodysime. Taigi Pitagoro teorema, jei bus įrodyta plotais, grynai logine prasme liks ne iki galo įrodyta.

Mums atrodo, kad aukščiau pateikti vieneto kvadrato apibrėžimai pašalina nurodytą D.N. Anosovo netikrumas. Galų gale, jei kvadrato ir stačiakampio plotas nustatomas pagal juos užpildančių kvadratų vienetų sumą, tada, kai stačiakampis yra padalintas į savavališkas dalis, esančias viena šalia kitos, stačiakampio plotas yra natūraliai lygus visų jo dalių sumai.

Be to, pateikti apibrėžimai pašalina neapibrėžtumą dėl sąvokų „padalyti“ ir „pridėti“ abstrakčių geometrinių figūrų atžvilgiu. Iš tiesų, ką reiškia padalinti stačiakampį ar bet kurią kitą plokščią figūrą į dalis? Jei tai yra popieriaus lapas, tada jį galima kirpti žirklėmis. Jei tai žemės sklypas, pastatykite tvorą. Kambarys - pastatykite pertvarą. O jei tai nupieštas kvadratas? Nubrėžkite skiriamąją liniją ir paskelbkite, kad kvadratas padalintas? Bet juk kalbėjo D.I. Mendelejevas: „...Galite deklaruoti viską, bet eikite ir demonstruokite!

O naudojant siūlomus apibrėžimus, „Padalinti figūrą“ reiškia padalinti vienetinių kvadratų, užpildančių šią figūrą, skaičių į dvi (ar daugiau) dalių. Vienetinių kvadratų skaičius kiekvienoje iš šių dalių lemia jos plotą. Šioms dalims galima suteikti bet kokią konfigūraciją, tačiau jų plotų suma visada bus lygi pradinės figūros plotui. Galbūt matematikai šiuos argumentus laikys neteisingais, tada priimsime juos kaip prielaidą. Jeigu Kiseliovo vadovėlyje tokios prielaidos yra priimtinos, tai mums būtų nuodėmė nenaudoti panašios technikos.

Pirmasis sistemos analizės etapas yra probleminės situacijos nustatymas. Šio etapo pradžioje buvo peržiūrėti keli šimtai įvairiuose šaltiniuose rastų Pitagoro trigubų. Kartu atkreiptas dėmesys į tai, kad visą publikacijose minimą Pitagoro trynukų rinkinį galima suskirstyti į kelias grupes, kurios skiriasi konfigūracija. Konkrečios konfigūracijos ženklu laikysime pradinio ir atimto kvadrato kraštinių ilgių skirtumą, tai yra reikšmę c-b. Pavyzdžiui, publikacijose gana dažnai kaip pavyzdžiai rodomi tripletai, atitinkantys sąlygą c-b=1. Darykime prielaidą, kad visa tokių Pitagoro trigubų kolekcija sudaro aibę, kurią pavadinsime „C-1 klase“, ir analizuosime šios klasės savybes.

Apsvarstykite tris paveikslėlyje pavaizduotus kvadratus, kur c yra sumažinamo kvadrato kraštinės ilgis, b yra atimto kvadrato kraštinės ilgis, o a yra kvadrato, sudaryto iš jų skirtumo, kraštinės ilgis. Fig. 1 matyti, kad iš sumažinto kvadrato ploto atėmus atimto kvadrato plotą, liekana lieka dvi vienetinių kvadratų juostos:

Kad iš šios liekanos būtų suformuotas kvadratas, turi būti įvykdyta sąlyga

Šie ryšiai leidžia nustatyti visų trigubo narių reikšmes naudojant vieną nurodytą skaičių c. Mažiausias skaičius c, kuris tenkina santykį (6), yra skaičius c = 5. Taigi buvo nustatyti visų trijų kvadratų, tenkinančių (1) santykį, kraštinių ilgiai. Prisiminkite, kad vidutinio kvadrato kraštinės reikšmė b

buvo pasirinktas, kai nusprendėme suformuoti vidurinį kvadratą sumažindami pradinio kvadrato kraštinę vienu. Tada iš santykių (5), (6). (7) gauname tokį ryšį:

iš to išplaukia, kad pasirinkta reikšmė c = 5 vienareikšmiškai nustato reikšmes b = 4, a = 3.

Dėl to buvo gauti ryšiai, leidžiantys mums pavaizduoti bet kurį Pitagoro klasės „c - 1“ trigubą tokia forma, kai visų trijų terminų reikšmes lemia vienas nurodytas parametras - c reikšmė:

Pridurkime, kad skaičius 5 aukščiau pateiktame pavyzdyje pasirodė kaip mažiausias iš visų galimų c reikšmių, kurių (6) lygtis turi sprendinį natūraliaisiais skaičiais. Kitas skaičius su ta pačia savybe yra 13, tada 25, tada 41, 61, 85 ir tt Kaip matote, šioje skaičių serijoje intervalai tarp gretimų skaičių sparčiai didėja. Taigi, pavyzdžiui, po galiojančios reikšmės kita tinkama reikšmė yra , o po , kita galiojanti reikšmė yra , tai yra, galiojanti reikšmė nuo ankstesnės nutolusi daugiau nei penkiasdešimt milijonų!

Dabar aišku, iš kur knygoje atsirado ši frazė: „Didėjant skaičiui, Pitagoro trynukų pasitaiko vis rečiau, o juos rasti darosi vis sunkiau...“. Tačiau šis teiginys nėra tiesa. Tereikia pažvelgti į Pitagoro trigubus, atitinkančius aukščiau minėtas gretimų c reikšmių poras, ir viena ypatybė iškart krenta į akis - abiejose porose, kuriose c reikšmės yra atskirtos tokiais dideliais intervalais, a reikšmės pasirodo esantys gretimi nelyginiai skaičiai. Iš tiesų, pirmajai porai, kurią turime

ir antrai porai

Taigi ne patys trynukai „vis mažiau paplitę“, o intervalai tarp gretimų c reikšmių didėja. Patys Pitagoro trigubai, kaip bus parodyta toliau, egzistuoja bet kuriam natūraliajam skaičiui.

Dabar pažvelkime į kitos klasės - „C-2 klasės“ - trynukus. Kaip matyti iš fig. 1, atimant iš kvadrato su kraštine c kvadratą su kraštine (c - 2), liekana susidaro dviejų vienetinių juostelių sumos pavidalu. Šios sumos vertė nustatoma pagal lygtį:

Iš (10) lygties gauname ryšius, kurie apibrėžia bet kurią iš begalinės „c-2“ klasės trijulių aibės:

(11) lygties sprendinio natūraliaisiais skaičiais egzistavimo sąlyga yra bet kuri c reikšmė, kuriai a yra natūralusis skaičius. Mažiausia c reikšmė, kuriai yra sprendinys, yra c = 5. Tada šios trigubų klasės „pradinis“ trigubas nustatomas pagal aibę a = 4, b = 3, c = 5. Tai vėlgi, klasikinis susidaro trigubas 3, 4, 5, tik dabar atimto kvadrato plotas yra mažesnis už likučio plotą.

Galiausiai išanalizuosime „s-8“ klasės trynukus. Šios trigubų klasės atveju, atėmę kvadrato plotą iš pradinio kvadrato ploto c2, gauname:

Tada iš (12) lygties seka:

Mažiausia c reikšmė, kuriai esant yra sprendinys, yra c = 13. Pitagoro trigubas, esant šiai reikšmei, yra 12, 5, 13. Šiuo atveju atimto kvadrato plotas yra mažesnis už plotą likusią dalį. Ir pertvarkydami žymėjimus, gauname trigubą 5, 12, 13, kuris savo konfigūracija priklauso klasei „c - 1“. Panašu, kad tolimesnė kitų galimų konfigūracijų analizė nieko iš esmės naujo neatskleis.

Apskaičiuotų santykių išvestis

Ankstesnėje dalyje analizės logika plėtota pagal sistemos analizės reikalavimus keturiais iš penkių pagrindinių jos etapų: probleminės situacijos analizė, tikslų formavimas, funkcijų formavimas ir struktūros formavimas. Dabar atėjo laikas pereiti prie paskutinio, penktojo etapo - patikrinti įgyvendinamumą, tai yra, patikrinti, kiek tikslai buvo pasiekti. .

Lentelė parodyta žemiau. 1, kuriame parodytos Pitagoro trigubų, priklausančių klasei „c - 1“, reikšmės. Dauguma trigubų randami įvairiuose leidiniuose, tačiau trigubų, kurių reikšmės lygus 999, 1001, žinomuose leidiniuose nerasta.

1 lentelė

Pitagoro „c-1“ klasės trigubai

Galima patikrinti, ar visi trynukai tenkina ryšį (3). Taigi vienas iš užsibrėžtų tikslų buvo pasiektas. Ankstesniame skyriuje gauti ryšiai (9), (11), (13) leidžia sudaryti begalinę tripletų aibę, nurodant vieną parametrą c – redukuojamą kvadrato kraštinę. Tai, žinoma, yra konstruktyvesnis variantas nei santykis (2), kurį naudojant reikia savavališkai nurodyti tris skaičius l, m, n, turinčius bet kokią reikšmę, tada ieškoti sprendimo, žinant tik tai, kad galiausiai Pitagoro trigubas tikrai bus gautas, o kuris iš anksto nežinomas. Mūsų atveju formuojamo trigubo konfigūracija yra žinoma iš anksto ir tereikia nurodyti vieną parametrą. Tačiau, deja, nėra kiekvienos šio parametro vertės sprendimo. Ir jūs turite iš anksto žinoti jo leistinas vertes. Taigi gautas rezultatas geras, bet toli gražu ne idealus. Pageidautina gauti tokį sprendimą, kad bet kuriam savavališkai duotam natūraliajam skaičiui būtų galima apskaičiuoti Pitagoro trigubus. Tuo tikslu grįšime į ketvirtąjį etapą – gautų matematinių ryšių struktūros formavimą.

Kadangi c pasirinkimas kaip bazinis parametras likusiems trigubo nariams nustatyti pasirodė nepatogus, reikėtų išbandyti kitą variantą. Kaip matyti iš lentelės. 1, parametrą a pasirinkti kaip pagrindinį atrodo geriau, nes šio parametro reikšmės yra iš eilės nelyginių natūraliųjų skaičių serijoje. Po paprastų transformacijų mes perkeliame santykius (9) į konstruktyvesnę formą:

Santykiai (14) leidžia mums rasti Pitagoro trigubą bet kuriai nelyginei a reikšmei. Be to, b raiškos paprastumas leidžia atlikti skaičiavimus net be skaičiuotuvo. Iš tiesų, pasirinkę, pavyzdžiui, skaičių 13, gauname:

O už skaičių 99 atitinkamai gauname:

Ryšiai (15) leidžia mums gauti visų trijų Pitagoro eilutės narių reikšmes bet kuriam n, pradedant nuo n = 1.

Dabar apsvarstykite Pitagoro „c - 2“ klasės trigubus. Lentelėje 2 kaip pavyzdys parodyta dešimt tokių trynukų. Be to, žinomuose leidiniuose aptiktos tik trys trynukų poros – 8, 15, 23; 12, 35, 36; ir 16, 63, 65. To pakako, kad būtų galima nustatyti modelius, pagal kuriuos jie susidaro. Likę septyni buvo rasti iš anksčiau išvestų santykių (11). Skaičiavimo patogumui šie santykiai buvo transformuoti taip, kad visi parametrai būtų išreikšti reikšme a. Iš (11) akivaizdžiai išplaukia, kad visi „c - 2“ klasės tripletai atitinka šiuos santykius:

2 lentelė

Pitagoro „c-2“ klasės trigubai

Kaip matyti iš lentelės. 2, visą begalinį „c - 2“ klasės trynukų rinkinį galima suskirstyti į du poklasius. Trijų, kurių vertė a dalijasi iš 4 be liekanos, reikšmės b ir c yra nelyginės. Tokie trigubai, kuriems GCD = 1, vadinami primityviais. Trijų, kurių reikšmės a nesidalija iš 4 sveikaisiais skaičiais, visi trys trigubų nariai a, b, c yra lyginiai.

Dabar pereikime prie trečiosios iš nustatytų klasių - „c - 8“ klasės - analizės rezultatų. Apskaičiuoti šios klasės santykiai, gauti iš (13), yra tokios formos:

Santykiai (20), (21) iš esmės yra identiški. Vienintelis skirtumas yra veiksmų sekos pasirinkimas. Arba pagal (20) parenkama norima a reikšmė (šiuo atveju šią reikšmę reikia padalyti iš 4), tada nustatomos b ir c reikšmės. Arba pasirenkamas savavališkas skaičius, o tada iš santykių (21) nustatomi visi trys Pitagoro trigubo nariai. Lentelėje 3 paveiksle parodytas skaičius Pitagoro trigubų, apskaičiuotų tokiu būdu. Tačiau Pitagoro trigubų verčių apskaičiavimas gali būti dar paprastesnis. Jei žinoma bent viena reikšmė, tada visos paskesnės reikšmės labai paprastai nustatomos šiais ryšiais:

3 lentelė

Santykio (22) galiojimas visiems gali būti patikrintas naudojant lentelės trejetus. 2, ir pagal kitus šaltinius. Pavyzdžiui, lentelėje. 4 kursyvu yra trejetai iš didelės Pitagoro trijulių lentelės (10 000 trigubų), apskaičiuotų remiantis kompiuterine programa naudojant ryšį (2), o paryškinti trynukai, apskaičiuoti naudojant ryšį (20). Šios vertės nurodytoje lentelėje nebuvo.

4 lentelė

Pitagoro trynukai iš klasės "c-8"

Atitinkamai, formos trigubams gali būti naudojami šie santykiai:

Ir tokio tipo trynukams<>, mes turime ryšį:

Reikia pabrėžti, kad aukščiau aptartos trynukų klasės „c - 1“, „c - 2“, „c - 8“ sudaro daugiau nei 90% pirmųjų tūkstančio trynukų iš pateiktos lentelės. Tai suteikia pagrindo šias klases suvokti kaip pagrindines. Pridurkime, kad išvesdami ryšius (22), (23), (24), nenaudojome jokių specialių skaičių teorijoje tirtų skaičių savybių (pirminio, kopirminio ir kt.). Atskleistus Pitagoro trynukų formavimosi dėsningumus lemia tik šių trijulių – kvadratų, susidedančių iš vienetinių kvadratų rinkinio, aprašytų geometrinių figūrų sisteminės savybės.

Išvada

Dabar, kaip Andrew Wilesas pasakė 1993 m.: „Manau, kad turėčiau sustoti. Iškeltas tikslas pilnai pasiektas. Parodyta, kad matematinių modelių, kurių struktūra siejama su geometrinėmis figūromis, savybių analizė gerokai supaprastėja, jei analizės procese kartu su grynai matematiniais skaičiavimais yra įvertinamos ir tiriamų modelių geometrinės savybės. atsižvelgta. Supaprastinimas pasiekiamas visų pirma dėl to, kad tyrėjas „mato“ norimus rezultatus neatlikęs matematinių transformacijų.

Pavyzdžiui, lygybė

tampa akivaizdu be transformacijų kairėje pusėje, tiesiog pažiūrėkite į pav. 1, kur parodytas grafinis šios lygybės modelis.

Kaip rezultatas, remiantis analize, parodyta, kad bet kuriam kvadratui su kraštine galima rasti kvadratų su kraštinėmis b ir c, kad jiems galiotų lygybė ir gauti santykiai, užtikrinantys rezultatų gavimą su minimaliu skaičiavimų kiekiu:

nelyginėms a reikšmėms,

ir – lygioms vertybėms.

Bibliografinė nuoroda

Toliau apžvelgsime žinomus efektyvių Pitagoro trigubų generavimo metodus. Pitagoro mokiniai pirmieji išrado paprastą Pitagoro trigubų generavimo būdą, naudodami formulę, kurios dalys reiškia Pitagoro trigubą:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Kur m- nesuporuotas, m>2. tikrai,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Panašią formulę pasiūlė senovės graikų filosofas Platonas:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Kur m- bet koks skaičius. Už m= 2,3,4,5 generuojami šie trigubai:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Kaip matome, šios formulės negali pateikti visų įmanomų primityvių trynukų.

Apsvarstykite šį daugianarį, kurį galima išplėsti į daugianarių sumą:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Taigi primityviųjų trigubų gavimo formulės yra šios:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Šios formulės generuoja trejetus, kurių vidutinis skaičius nuo didžiausio skaičiaus skiriasi tiksliai vienu, tai yra, generuojami ir ne visi galimi trynukai. Čia pirmieji trejetukai lygūs: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Norint nustatyti, kaip generuoti visus primityvius trynukus, reikėtų išnagrinėti jų savybes. Pirma, jei ( a,b,c) yra primityvus trigubas a Ir b, b Ir c, A Ir c- turi būti gana paprasta. Leiskite a Ir b yra skirstomi į d. Tada a 2 + b 2 – taip pat dalijasi iš d. Atitinkamai, c 2 ir c turi būti padalintas iš d. Tai yra, tai nėra primityvus trejetas.

Antra, tarp skaičių a, b vienas turi būti suporuotas, o kitas neporuotas. Tikrai, jei a Ir b- tada suporuotas Su bus suporuoti, o skaičiai gali būti padalyti bent iš 2. Jei jie abu nesuporuoti, jie gali būti pavaizduoti kaip 2 k+1 ir 2 l+1, kur k,l- kai kurie skaičiai. Tada a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, tai yra Su 2, patinka a 2 + b 2, padalijus iš 4, lieka 2.

Leiskite Su- bet koks skaičius, tai yra Su = 4k+i (i=0,…,3). Tada Su 2 = (4k+i) 2 liekana yra 0 arba 1 ir negali turėti likučio 2. Taigi, a Ir b negali būti atjungtas, tai yra a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 ir likusią padalijimo dalį Su 2 x 4 turi būti 1, o tai reiškia Su turi būti nesuporuotas.

Tokius Pitagoro trigubo elementų reikalavimus tenkina šie skaičiai:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Kur m Ir n— santykinai puikus su skirtingomis poromis. Šios priklausomybės pirmą kartą tapo žinomos iš Euklido, gyvenusio 2300 m., darbų. atgal.

Įrodykime priklausomybių (2) pagrįstumą. Leiskite A- tada suporuotas b Ir c– nesuporuotas. Tada c + b i c − b- suporuotas. Jie gali būti pavaizduoti kaip c + b = 2u Ir c − b = 2v, Kur u,v- kai kurie sveikieji skaičiai. Štai kodėl

a 2 = Su 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u·2 v = 4uv

Ir todėl ( a/2) 2 = uv.

Tai gali būti įrodyta prieštaravimu u Ir v- abipusiai paprasta. Leiskite u Ir v- padalintas į d. Tada ( c + b) Ir ( c − b) skirstomi į d. Ir taip c Ir b turi būti padalintas iš d, ir tai prieštarauja Pitagoro trigubo sąlygai.

Nes uv = (a/2) 2 ir u Ir v yra palyginti geriausi, nesunku tai įrodyti u Ir v turi būti kai kurių skaičių kvadratai.

Taigi yra teigiami sveikieji skaičiai m Ir n, toks u = m 2 ir v = n 2. Tada

A 2 = 4uv = 4m 2 n 2 taip
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Nes b> 0, tada m > n.

Belieka tai parodyti m Ir n turi skirtingas poras. Jeigu m Ir n- tada suporuotas u Ir v turi būti suporuoti, bet tai neįmanoma, nes jie yra palyginti pagrindiniai. Jeigu m Ir n- tada nesuporuotas b = m 2 − n 2 ir c = m 2 + n 2 būtų suporuoti, o tai neįmanoma, nes c Ir b- abipusiai paprasta.

Taigi bet koks primityvus Pitagoro trigubas turi atitikti sąlygas (2). Tuo pačiu ir skaičiai m Ir n yra vadinami generuojant skaičius primityvūs trynukai. Pavyzdžiui, turėkime primityvų Pitagoro trigubą (120 119 169). Šiuo atveju

A= 120 = 2,12,5, b= 119 = 144 − 25 ir c = 144+25=169,

Kur m = 12, n= 5 — generuojantys skaičius, 12 > 5; 12 ir 5 yra tarpusavyje pirminiai ir skirtingų porų.

Galite įrodyti priešingai, kad skaičiai m, n naudojant formules (2) jie duoda primityvų Pitagoro trigubą (a,b,c). tikrai,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

tai yra ( a,b,c) yra Pitagoro trigubas. Įrodykime tai šiuo atveju a,b,c yra tarpusavyje pirminiai skaičiai pagal prieštaravimą. Tegul šie skaičiai dalijasi iš p> 1. Nuo m Ir n tada turi skirtingas poras b Ir c- nesuporuotas, tai yra p≠ 2. Nuo to laiko r dalijasi b Ir c, Tai r reikia padalinti 2 m 2 ir 2 n 2 , bet tai neįmanoma, nes p≠ 2. Todėl m, n- abipusiai pirminis ir a,b,c- taip pat yra gana paprasti.

1 lentelėje rodomi visi primityvūs Pitagoro trigubai, sukurti naudojant (2) formules m≤10.

1 lentelė. Primityvūs Pitagoro trigubai už m≤10

Šios lentelės analizė rodo, kad yra šių modelių serijų:

• arba a, arba b dalijasi iš 3;
• vienas iš skaičių a,b,c dalijasi iš 5;
• numerį A dalijasi iš 4;
• dirbti a· b dalijasi iš 12.

1971 m. amerikiečių matematikai Teiganas ir Hedwinas pasiūlė tokius mažai žinomus stačiakampio trikampio parametrus, kaip jo aukštis, kad sukurtų trynukus. h = c− b ir perteklius (sėkmė) e = a + b − c. 1 pav. šie dydžiai rodomi tam tikrame stačiakampyje.

1 pav. Statusis trikampis ir jo augimas bei perteklius

Pavadinimas „perteklius“ kilęs iš to, kad tai yra papildomas atstumas, kurį reikia įveikti išilgai trikampio kraštų nuo vienos viršūnės iki priešingos, jei ne išilgai jo įstrižainės.

Per Pitagoro trikampio kraštinių perteklių ir augimą galima išreikšti taip:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Ne visi deriniai h Ir e gali atitikti Pitagoro trikampius. Dėl duoto h galimas vertes e yra tam tikro skaičiaus produktai d. Šis skaičius d turi augimo pavadinimą ir nurodo h taip: d yra mažiausias teigiamas sveikasis skaičius, kurio kvadratas dalijasi iš 2 h. Nes e daugkartinis d, tada jis rašomas kaip e = kd, Kur k yra teigiamas sveikasis skaičius.

Naudojant poras ( k,h) galite sugeneruoti visus Pitagoro trikampius, įskaitant neprimityviuosius ir apibendrintus, taip:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Be to, trigubas yra primityvus, jei k Ir h yra santykinai pirmieji ir jei h =± q 2 val q– nesuporuotas.
Be to, tai bus būtent Pitagoro trigubas, jei k> √2· h/d Ir h > 0.

Norėdami rasti k Ir h nuo ( a,b,c), atlikite šiuos veiksmus:

• h = c − b;
• užsirašyti h Kaip h = pq 2 kur p> 0 ir toks, kuris nėra kvadratas;
• d = 2pq Jeigu p- nesuporuotas ir d = pq, jei p yra suporuotas;
• k = (a − h)/d.

Pavyzdžiui, mes turime trigubą (8,15,17). h= 17−15 = 2 1, taigi p= 2 ir q = 1, d= 2 ir k= (8 − 2)/2 = 3. Taigi šis trigubas gaunamas iš ( k,h) = (3,2).

Trigubui (459 1260 1341) turime h= 1341 − 1260 = 81, taigi p = 1, q= 9 ir d= 18, iš čia k= (459 − 81)/18 = 21, taigi šio trigubo kodas yra ( k,h) = (21, 81).

Trijų nustatymas naudojant h Ir k turi daug įdomių savybių. Parametras k lygus

k = 4S/(dP), (5)

Kur S = ab/2 yra trikampio plotas ir P = a + b + c- jo perimetras. Tai išplaukia iš lygybės eP = 4S, kuris išplaukia iš Pitagoro teoremos.

Stačiajam trikampiui e lygus į trikampį įrašyto apskritimo skersmeniui. Tai išplaukia iš to, kad hipotenuzė Su = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Kur r- apskritimo spindulys. Iš čia h = c − b = A − 2r Ir e = a − h = 2r.

Už h> 0 ir k > 0, k yra eilės trynukų skaičius a-b-c Pitagoro trikampių sekoje su didėjančia h. Iš 2 lentelės, kurioje pateikiamos kelios porų generuojamų trynukų parinktys h, k, aišku, kad didėjant k didėja trikampio kraštinių dydžiai. Taigi, skirtingai nei klasikinė numeracija, numeracija poromis h, k turi didesnę tvarką tripletų sekose.

2 lentelė. Pitagoro trigubai, sukurti poromis h, k.

Už h > 0, d tenkina nelygybę 2√ h ≤ d ≤ 2h, kuriame apatinė riba pasiekiama ties p= 1, o viršutinė - ties q= 1. Todėl reikšmė d palyginti su 2√ h yra skaičiaus matas h nutolę nuo tam tikro skaičiaus kvadrato.

Savybės

Kadangi Eq. x 2 + y 2 = z 2 vienalytis, dauginant x , y Ir z už tą patį skaičių gausite dar vieną Pitagoro trigubą. Pitagoro trigubas vadinamas primityvus, jei jo negalima gauti tokiu būdu, tai yra kopirminiai skaičiai.

Pavyzdžiai

Kai kurie Pitagoro trigubai (surūšiuoti didėjimo tvarka pagal maksimalų skaičių, primityvūs paryškinti):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Remiantis Fibonačio skaičių savybėmis, iš jų galima sudaryti, pavyzdžiui, šiuos Pitagoro trynukus:

Istorija

Pitagoro trynukai žinomi labai seniai. Senovės Mesopotamijos antkapių architektūroje randamas lygiašonis trikampis, sudarytas iš dviejų stačiakampių, kurių kraštinės yra 9, 12 ir 15 uolekčių. Faraono Snofru (XXVII a. pr. Kr.) piramidės buvo pastatytos naudojant trikampius, kurių kraštinės yra 20, 21 ir 29, taip pat 18, 24 ir 30 dešimčių egiptietiškų uolekčių.

Taip pat žr

Nuorodos

• E. A. Gorinas Pirminių skaičių laipsniai Pitagoro trigubai // Matematinis išsilavinimas. - 2008. - V. 12. - P. 105-125.

Wikimedia fondas.

2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „Pitagoro skaičiai“ kituose žodynuose: Natūraliųjų skaičių trigubai tokie, kad trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, būtų stačiakampis, pvz. skaičių trigubas: 3, 4, 5...

Didysis enciklopedinis žodynas Natūraliųjų skaičių trigubai, tokie, kad trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, būtų stačiakampis, pavyzdžiui, skaičių trigubas: 3, 4, 5. * * * PITAGORO SKAIČIAI PITAGORO SKAIČIAI, natūraliųjų skaičių trigubai, pvz. kad... ...

Enciklopedinis žodynas

Natūraliųjų skaičių trigubai, kad trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, būtų stačiakampis. Pagal teoremą, priešingą Pitagoro teoremai (žr. Pitagoro teoremą), tam pakanka, kad jie... ... Teigiamų sveikųjų skaičių x, y, z trigubai, tenkinantys lygtį x2+y 2=z2. Visi šios lygties sprendiniai, taigi ir visi daliniai skaičiai, išreiškiami formulėmis x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, kur a ir b yra savavališki teigiami sveikieji skaičiai (a>b). P.h...

Matematinė enciklopedija Natūralių skaičių trigubai, pavyzdžiui, trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, yra stačiakampis. skaičių trigubas: 3, 4, 5...

Gamtos mokslas. Enciklopedinis žodynas

Matematikoje Pitagoro skaičiai (Pitagoro trigubas) yra trijų sveikųjų skaičių eilė, atitinkanti Pitagoro santykį: x2 + y2 = z2. Turinys 1 Savybės 2 Pavyzdžiai ... Vikipedija

Figūriniai skaičiai yra bendras skaičių, susijusių su konkrečia geometrine figūra, pavadinimas. Ši istorinė samprata kilo iš pitagoriečių. Skiriami šie figūrinių skaičių tipai: Tiesiniai skaičiai – tai skaičiai, kurių negalima koeficientuoti, tai yra jų... ... Vikipedija

- „Pi paradoksas“ yra pokštas matematikos tema, kuris buvo paplitęs tarp studentų iki 80-ųjų (tiesą sakant, prieš mikroskaičiuotuvų masės pasiskirstymą) ir buvo susijęs su ribotu trigonometrinių funkcijų skaičiavimo tikslumu ir .. ... Vikipedija

- (graikų aritmetika, iš aritmys number) skaičių mokslas, pirmiausia apie natūraliuosius (teigiamus sveikuosius) skaičius ir (racionaliąsias) trupmenas bei operacijas su jais. Turėti pakankamai išvystytą natūraliųjų skaičių sampratą ir gebėjimą... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Knygos

• Archimedo vasara, arba Jaunųjų matematikų sandraugos istorija. Dvejetainė skaičių sistema, Bobrovas Sergejus Pavlovičius. Dvejetainė skaičių sistema, Hanojaus bokštas, riterio judėjimas, stebuklingi kvadratai, aritmetinis trikampis, figūriniai skaičiai, deriniai, tikimybės samprata, Mobius juostelė ir Kleino butelis.…

Svarbų Diofanto lygties pavyzdį pateikia Pitagoro teorema, susiejanti stačiojo trikampio kojų ilgius x ir y su jo hipotenuzės ilgiu z:

Jūs, žinoma, susidūrėte su vienu iš nuostabių šios lygties sprendimų natūraliaisiais skaičiais, būtent Pitagoro skaičių trigubu x = 3, y = 4, z = 5. Ar yra dar tokių trynukų?

Pasirodo, Pitagoro trigubų yra be galo daug ir visi jie buvo rasti seniai. Juos galima gauti naudojant gerai žinomas formules, apie kurias sužinosite iš šios pastraipos.

Jei pirmojo ir antrojo laipsnio diofantinės lygtys jau buvo išspręstos, tai aukštesnių laipsnių lygčių sprendimo klausimas vis dar lieka atviras, nepaisant didžiausių matematikų pastangų. Pavyzdžiui, šiuo metu garsusis Fermat spėjimas, kad bet kuriai sveikojo skaičiaus vertei dar nėra galutinai įrodytas ar paneigtas. n2 lygtis

neturi sveikųjų skaičių sprendinių.

Kai kurių tipų diofantinių lygčių sprendimui, vadinamasis kompleksiniai skaičiai. kas tai? Tegul raidė i žymi tam tikrą objektą, kuris tenkina sąlygą i 2 = -1(akivaizdu, kad nei vienas realusis skaičius netenkina šios sąlygos). Apsvarstykite formos išraiškas α + iβ, kur α ir β yra tikrieji skaičiai. Tokias išraiškas vadinsime kompleksiniais skaičiais, apibrėžę sudėjimo ir daugybos operacijas su jais, taip pat ir dvinariais, tačiau su vieninteliu skirtumu, kad išraiška aš 2 Visur pakeisime skaičių -1:

7.1. Vienas trys yra per daug

Įrodykite, kad jei x 0, y 0, z 0- Pitagoro trigubas, paskui trigubas y 0, x 0, z 0 Ir x 0 k, y 0 k, z 0 k bet kuriai natūralaus parametro k reikšmei taip pat yra Pitagoro.

7.2. Ypatingos formulės

Patikrinkite, ar nėra gamtos vertybių m>n trise natūra

yra pitagorietis. Bet koks Pitagoro trigubas x, y, z ar ji gali būti pavaizduota tokia forma, jei leidžiame sukeisti skaičius x ir y triguboje?

7.3. Neredukuojami trynukai

Pitagoro skaičių trigubas, neturintis didesnio nei 1 bendro daliklio, bus vadinamas neredukuojamu. Įrodykite, kad Pitagoro trigubas yra neredukuojamas tik tuo atveju, jei bet kurie du iš trigubo skaičių yra pirminiai.

7.4. Neredukuojamų trigubų savybė

Įrodykite, kad bet kuriame neredukuojamajame Pitagoro trigubyje x, y, z skaičius z ir tiksliai vienas iš skaičių x arba y yra nelyginis.

7.5. Visi nepataisomi trynukai

Įrodykite, kad skaičių x, y, z trigubas yra neredukuojamas Pitagoro trigubas tada ir tik tada, kai jis sutampa su trigubu iki pirmųjų dviejų skaičių eilės. 2 min., m 2 - n 2, m 2 + n 2, Kur m>n- skirtingų paritetų pirminiai natūralieji skaičiai.

7.6. Bendrosios formulės

Įrodykite, kad visi lygties sprendiniai

natūraliuose skaičiuose formulėmis pateikiami iki nežinomųjų x ir y eilės

kur m>n ir k yra natūralūs parametrai (norint pašalinti bet kokių tripletų dubliavimą, pakanka pasirinkti koprime tipo ir, be to, skirtingų paritetų skaičius).

7.7. Pirmieji 10 trigubų

Raskite visus Pitagoro trigubus x, y, z, tenkinantis sąlygą x

7.8. Pitagoro trigubų savybės

Įrodykite tai bet kuriam Pitagoro trigubui x, y, z teisingi šie teiginiai:

a) bent vienas iš skaičių x arba y yra 3 kartotinis;

b) bent vienas iš skaičių x arba y yra 4 kartotinis;

c) bent vienas iš skaičių x, y arba z yra 5 kartotinis.

7.9. Kompleksinių skaičių taikymas

Kompleksinio skaičiaus modulis α + iβ vadinamas neneigiamu skaičiumi

Patikrinkite, ar nėra sudėtingų skaičių α + iβ Ir γ + iδ turtas patenkintas

Naudodamiesi kompleksinių skaičių ir jų modulių savybėmis, įrodykite, kad bet kurie du sveikieji skaičiai m ir n tenkina lygybę

y., jie nurodo lygties sprendimą

sveikieji skaičiai (palyginti su 7.5 užduotimi).

7.10. Ne Pitagoro trigubai

Naudodamiesi kompleksinių skaičių ir jų modulių savybėmis (žr. 7.9 uždavinį), raskite bet kokių sveikųjų lygties sprendinių formules:

a) x 2 + y 2 = z 3; b) x 2 + y 2 = z 4.

Sprendimai

7.1. Jeigu x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , Tai y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, ir bet kuriai natūraliai k vertei, kurią turime

Q.E.D.

7.2. Iš lygybių

darome išvadą, kad uždavinyje nurodytas trigubas tenkina lygtį x 2 + y 2 = z 2 natūraliais skaičiais. Tačiau ne kiekvienas Pitagoro trigubas x, y, z gali būti pavaizduotas šia forma; pavyzdžiui, trigubas 9, 12, 15 yra Pitagoro, bet skaičius 15 negali būti pavaizduotas kaip bet kurių dviejų natūraliųjų skaičių m ir n kvadratų suma.

7.3. Jei bet kurie du skaičiai iš Pitagoro trigubo x, y, z turi bendrą daliklį d, tada jis bus trečiojo skaičiaus daliklis (taigi, tuo atveju x = x 1 d., y = y 1 d mes turime z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2) d 2, iš kur z 2 dalijasi iš d 2, o z dalijasi iš d). Todėl, kad Pitagoro trigubas būtų neredukuojamas, būtina, kad bet kurie du trigubo skaičiai būtų pirminiai,

7.4. Atkreipkite dėmesį, kad vienas iš skaičių x arba y, tarkime x, neredukuojamo Pitagoro trigubo x, y, z yra nelyginis, nes priešingu atveju skaičiai x ir y nebūtų santykinai pirminiai (žr. 7.3 uždavinį). Jei kitas skaičius y taip pat nelyginis, tai abu skaičiai

palieka 1 likutį padalijus iš 4 ir skaičių z 2 = x 2 + y 2 duoda 2 likutį, kai dalijamas iš 4, ty dalijasi iš 2, bet nesidalija iš 4, o tai negali būti. Taigi skaičius y turi būti lyginis, o skaičius z turi būti nelyginis.

7.5. Tegul pitagorietis patrigubėja x, y, z yra neredukuojamas ir, siekiant apibrėžtumo, skaičius x yra lyginis, o skaičiai y, z yra nelyginiai (žr. 7.4 uždavinį). Tada

kur skaičiai yra sveiki. Įrodykime, kad skaičiai a ir b yra kopirminiai. Tiesą sakant, jei jų bendras daliklis būtų didesnis nei 1, tada skaičiai turėtų tą patį daliklį z = a + b, y = a - b, tai yra, trigubas nebūtų neredukuojamas (žr. 7.3 uždavinį). Dabar, išplėtę skaičius a ir b į pirminių faktorių sandaugas, pastebime, kad į sandaugą turi būti įtrauktas bet koks pirminis veiksnys 4ab = x 2 tik lygiu laipsniu, o jei jis įtrauktas į skaičiaus a išplėtimą, tai jis neįtraukiamas į skaičiaus b plėtimą ir atvirkščiai. Todėl bet koks pirminis koeficientas į skaičių a arba b atskirai įeina tik lyginiu laipsniu, o tai reiškia, kad patys šie skaičiai yra sveikųjų skaičių kvadratai. Padėkime tada gauname lygybes

Be to, natūralūs parametrai m>n yra pirminiai (dėl skaičių a ir b bendrumo) ir turi skirtingus paritetus (dėl skaičiaus keistumo). z = m 2 + n 2).

Dabar tegul skirtingų paritetų natūralieji skaičiai m>n yra kopirminiai. Tada trys x = 2 min., y = m 2 - n 2, z = m 2 + n 2, pagal 7.2 uždavinio teiginį, yra pitagoriškas. Įrodykime, kad jis neredukuojamas. Tam pakanka patikrinti, ar skaičiai y ir z neturi bendrų daliklių (žr. 7.3 uždavinį). Tiesą sakant, abu šie skaičiai yra nelyginiai, nes tipų skaičiai turi skirtingus paritetus. Jei skaičiai y ir z turi kokį nors paprastą bendrą daliklį (tada jis turi būti nelyginis), tai kiekvienas iš skaičių ir su jais kiekvienas skaičius m ir n turi tą patį daliklį, o tai prieštarauja jų tarpusavio paprastumui.

7.6. Pagal teiginius, suformuluotus 7.1, 7.2 uždaviniuose, šios formulės apibrėžia tik Pitagoro trigubus. Kita vertus, bet koks Pitagoro trigubas x, y, z ją sumažinus didžiausiu bendruoju dalikliu k, skaičių poros x ir y tampa neredukuojamos (žr. 7.3 uždavinį) ir todėl iki skaičių x ir y eilės gali būti pavaizduotos 7.5 užduotyje aprašyta forma. . Todėl bet kuris Pitagoro trigubas pateikiamas nurodytomis formulėmis tam tikroms parametrų reikšmėms.

7.7. Nuo nelygybės z ir 7.6 uždavinio formules gauname įvertį m 2 t.y. m≤5. Tikėdamas m = 2, n = 1 Ir k = 1, 2, 3, 4, 5, gauname trise 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Tikėdamas m = 3, n = 2 Ir k = 1, 2, gauname trise 5, 12, 13; 10, 24, 26. Tikėdamas m = 4, n = 1, 3 Ir k = 1, gauname trise 8, 15, 17; 7, 24, 25. Pagaliau tikėjimas m = 5, n = 2 Ir k = 1, gauname trejetą 20, 21, 29.

» Vorviko universiteto matematikos profesoriaus emerito, žinomo mokslo populiarintojo Iano Stewarto, skirto skaičių vaidmeniui žmonijos istorijoje ir jų tyrimo aktualumui mūsų laikais.

Pitagoro hipotenuzė

Pitagoro trikampiai turi stačiuosius kampus ir sveikąsias kraštines. Paprasčiausias iš jų turi ilgiausią kraštinę, kurios ilgis yra 5, kitų - 3 ir 4. Taisyklingųjų daugiakampių iš viso yra 5. Penktojo laipsnio lygtis negali būti išspręsta naudojant penktąsias šaknis ar kitas šaknis. Grotelės plokštumoje ir trimatėje erdvėje neturi penkių skilčių sukimosi simetrijos, todėl kristaluose tokios simetrijos nėra. Tačiau juos galima rasti grotelėse keturių matmenų erdvėje ir įdomiose struktūrose, vadinamose kvazikristalais.

Mažiausio Pitagoro trigubo hipotenūza

Pitagoro teorema teigia, kad ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė (garsioji hipotenuzė) yra labai paprastai ir gražiai susieta su kitomis dviem šio trikampio kraštinėmis: hipotenuzės kvadratas yra lygus trikampio kvadratų sumai. kitos dvi pusės.

Tradiciškai šią teoremą vadiname Pitagoro vardu, tačiau iš tikrųjų jos istorija gana miglota. Molio lentelės leidžia manyti, kad senovės babiloniečiai Pitagoro teoremą žinojo gerokai anksčiau nei pats Pitagoras; Atradėjo šlovę jam atnešė matematinis pitagoriečių kultas, kurio šalininkai tikėjo, kad Visata pagrįsta skaitmeniniais dėsniais. Senovės autoriai pitagoriečiams – taigi ir Pitagorui – priskirdavo įvairias matematines teoremas, tačiau iš tikrųjų neįsivaizduojame, su kokia matematika užsiėmė pats Pitagoras. Mes net nežinome, ar pitagoriečiai galėjo įrodyti Pitagoro teoremą, ar jie tiesiog patikėjo, kad tai tiesa. Arba, greičiausiai, jie turėjo įtikinamų jos tiesos įrodymų, kurių vis dėlto nepakaktų tam, ką šiandien laikome įrodymu.

Pitagoro įrodymai

Pirmasis žinomas Pitagoro teoremos įrodymas yra Euklido elementuose. Tai gana sudėtingas įrodymas, naudojant piešinį, kurį Viktorijos laikų moksleiviai iškart atpažintų kaip „Pitagoro kelnes“; Piešinys tikrai primena ant linijos džiūstančias apatines kelnaites. Yra šimtai kitų įrodymų, kurių dauguma daro teiginį akivaizdesnį.

// Ryžiai. 33. Pitagorietiškos kelnės

Vienas iš paprasčiausių įrodymų yra savotiškas matematinis galvosūkis. Paimkite bet kurį stačiakampį trikampį, padarykite keturias jo kopijas ir sudėkite juos aikštės viduje. Viename išdėstyme matome kvadratą ant hipotenuzės; su kita - kvadratai kitose dviejose trikampio kraštinėse. Akivaizdu, kad plotai abiem atvejais yra vienodi.

// Ryžiai. 34. Kairėje: kvadratas ant hipotenuzos (plius keturi trikampiai). Dešinėje: kitų dviejų kraštinių kvadratų suma (plius tie patys keturi trikampiai). Dabar pašalinkite trikampius

Perigalo skrodimas yra dar vienas galvosūkio įrodymas.

// Ryžiai. 35. Perigalo skrodimas

Taip pat yra teoremos įrodymas, naudojant kvadratų išdėstymą plokštumoje. Galbūt taip šią teoremą atrado pitagoriečiai ar nežinomi jų pirmtakai. Jei pažvelgsite į tai, kaip pasviręs kvadratas sutampa su dviem kitais kvadratais, galite pamatyti, kaip supjaustyti didelį kvadratą į dalis ir sudėti į du mažesnius kvadratus. Taip pat galite pamatyti stačiuosius trikampius, kurių kraštinės nurodo trijų susijusių kvadratų matmenis.

// Ryžiai. 36. Įrodymas trinkelėmis

Yra įdomių įrodymų, naudojant panašius trikampius trigonometrijoje. Yra žinoma mažiausiai penkiasdešimt skirtingų įrodymų.

Pitagoro trigubai

Skaičių teorijoje Pitagoro teorema tapo vaisingos idėjos šaltiniu: ieškoti algebrinių lygčių sveikųjų skaičių sprendimų. Pitagoro trigubas yra sveikųjų skaičių a, b ir c rinkinys, kad

Geometriškai toks trigubas apibrėžia stačiakampį trikampį su sveikosiomis kraštinėmis.

Mažiausia Pitagoro trigubo hipotenuzė yra 5.

Kitos dvi šio trikampio kraštinės yra 3 ir 4. Čia

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Kita pagal dydį hipotenuzė yra 10, nes

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Tačiau tai iš esmės yra tas pats trikampis su dvigubomis kraštinėmis. Kita pagal dydį ir tikrai skirtinga hipotenuzė yra 13, kuriai

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euklidas žinojo, kad yra be galo daug skirtingų Pitagoro trynukų variacijų, ir pateikė tai, ką būtų galima pavadinti formule, kaip juos visus rasti. Vėliau Diofantas Aleksandrietis pasiūlė paprastą receptą, iš esmės identišką Euklido receptui.

Paimkite bet kuriuos du natūraliuosius skaičius ir apskaičiuokite:

jų dvigubas produktas;

jų kvadratų skirtumas;

jų kvadratų suma.

Trys gauti skaičiai bus Pitagoro trikampio kraštinės.

Paimkime, pavyzdžiui, skaičius 2 ir 1. Apskaičiuokime:

dvigubas produktas: 2 × 2 × 1 = 4;

kvadratų skirtumas: 22 - 12 = 3;

kvadratų suma: 22 + 12 = 5,

ir gavome garsųjį trikampį 3-4-5. Jei vietoj to imsime skaičius 3 ir 2, gausime:

dvigubas produktas: 2 × 3 × 2 = 12;

kvadratų skirtumas: 32 - 22 = 5;

kvadratų suma: 32 + 22 = 13,

ir gauname kitą garsiausią trikampį 5 - 12 - 13. Pabandykime paimti skaičius 42 ir 23 ir gauti:

dvigubas produktas: 2 × 42 × 23 = 1932;

kvadratų skirtumas: 422 - 232 = 1235;

kvadratų suma: 422 + 232 = 2293,

niekas niekada negirdėjo apie trikampį 1235–1932–2293.

Tačiau šie skaičiai taip pat veikia:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Yra dar vienas Diofanto taisyklės bruožas, apie kurį jau buvo užsiminta: duoti trys skaičiai, galime paimti kitą savavališką skaičių ir visus iš jo padauginti. Taigi, trikampis 3–4–5 gali būti paverstas trikampiu 6–8–10, padauginus visas kraštines iš 2, arba į 15–20–25 trikampį, padauginus visus iš 5.

Jei pereisime prie algebros kalbos, taisyklė įgauna tokią formą: u, v ir k yra natūralieji skaičiai. Tada stačiakampis trikampis su kraštinėmis

2kuv ir k (u2 - v2) turi hipotenuzę

Yra ir kitų būdų, kaip pateikti pagrindinę idėją, tačiau jie visi susiveda į aukščiau aprašytą. Šis metodas leidžia gauti visus Pitagoro trigubus.

Įprastas daugiakampis

Taisyklingos daugiakampės yra lygiai penkios. Taisyklingas daugiakampis (arba daugiakampis) yra trimatė figūra, turinti baigtinį plokščių paviršių skaičių. Veidai susitinka vienas su kitu linijomis, vadinamomis briaunomis; briaunos susikerta taškuose, vadinamuose viršūnėmis.

Euklido principo kulminacija yra įrodymas, kad gali būti tik penki taisyklingi daugiakampiai, tai yra daugiakampiai, kurių kiekvienas paviršius yra taisyklingas daugiakampis (lygios kraštinės, vienodi kampai), visi paviršiai yra identiški, o visas viršūnes supa vienodas vienodai išdėstytų veidų skaičius. Štai penki įprasti daugiakampiai:

tetraedras su keturiais trikampiais paviršiais, keturiomis viršūnėmis ir šešiomis briaunomis;

kubas arba šešiaedras, turintis 6 kvadratinius paviršius, 8 viršūnes ir 12 briaunų;

oktaedras su 8 trikampiais paviršiais, 6 viršūnėmis ir 12 briaunų;

dodekaedras su 12 penkiakampių paviršių, 20 viršūnių ir 30 briaunų;

Ikozaedras su 20 trikampių paviršių, 12 viršūnių ir 30 briaunų.

// Ryžiai. 37. Penkios taisyklingos daugiabriaunės

Gamtoje taip pat galima rasti įprastų daugiakampių. 1904 m. Ernstas Haeckelis paskelbė mažyčių organizmų, žinomų kaip radiolariai, brėžinius; daugelis iš jų yra tų pačių penkių taisyklingų daugiasluoksnių formų. Galbūt, tačiau jis šiek tiek pakoregavo gamtą, o piešiniai nevisiškai atspindi konkrečių gyvų būtybių formą. Pirmosios trys struktūros taip pat stebimos kristaluose. Kristaluose nerasite dodekaedrų ir ikosaedrų, nors kartais ten aptinkami netaisyklingi dodekaedrai ir ikosaedrai. Tikrieji dodekaedrai gali atsirasti kaip kvazikristalai, kurie visais atžvilgiais yra panašūs į kristalus, išskyrus tai, kad jų atomai nesudaro periodinės gardelės.

// Ryžiai. 38. Haeckel’io piešiniai: radiolariai taisyklingų daugiakampių pavidalu

// Ryžiai. 39. Taisyklingųjų daugiakampių raidos

Gali būti įdomu iš popieriaus pagaminti įprastų daugiakampių modelius, pirmiausia išpjaunant tarpusavyje sujungtų paviršių rinkinį – tai vadinama daugiakampio vystymu; plėtinys užlenkiamas išilgai kraštų ir atitinkami kraštai suklijuojami. Naudinga prie kiekvienos tokios poros briaunų pridėti papildomą klijų pagalvėlę, kaip parodyta Fig. 39. Jei tokios zonos nėra, galite naudoti lipnią juostą.

Penktojo laipsnio lygtis

5 laipsnio lygtims išspręsti nėra algebrinės formulės.

Apskritai penktojo laipsnio lygtis atrodo taip:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Problema yra rasti tokios lygties sprendinių formulę (ji gali turėti iki penkių sprendinių). Kvadratinių ir kubinių lygčių, taip pat ketvirtojo laipsnio lygčių patirtis rodo, kad tokia formulė turėtų egzistuoti ir penktojo laipsnio lygtims, o teoriškai joje turėtų atsirasti penktojo, trečiojo ir antrojo laipsnio šaknys. Vėlgi, galime drąsiai manyti, kad tokia formulė, jei ji egzistuoja, bus labai, labai sudėtinga.

Ši prielaida galiausiai pasirodė klaidinga. Tiesą sakant, tokios formulės nėra; bent jau nėra formulės, susidedančios iš koeficientų a, b, c, d, e ir f, sudarytų sudėjus, atimant, dauginant ir dalijant bei imant šaknis. Taigi skaičius 5 yra kažkas labai ypatingo. Tokio neįprasto penketuko elgesio priežastys yra labai gilios, ir prireikė daug laiko jas suprasti.

Pirmasis bėdos požymis buvo tai, kad kad ir kaip matematikai stengėsi rasti tokią formulę, kad ir kokie protingi jie būtų, jiems visada nepavykdavo. Kurį laiką visi tikėjo, kad priežastys slypi neįtikėtiname formulės sudėtingime. Buvo tikima, kad niekas tiesiog negali tinkamai suprasti šios algebros. Tačiau laikui bėgant kai kurie matematikai ėmė abejoti, ar tokia formulė išvis egzistuoja, ir 1823 metais Nielsas Hendrikas Abelis sugebėjo įrodyti priešingai. Tokios formulės nėra. Netrukus po to Évariste Galois rado būdą, kaip nustatyti, ar vieno ar kito laipsnio lygtis – 5, 6, 7, bet kokios rūšies – gali būti išspręsta naudojant tokią formulę.

Išvada iš viso to paprasta: skaičius 5 yra ypatingas. Galite išspręsti algebrines lygtis (naudodami n-ąsias šaknis įvairioms n reikšmėms) 1, 2, 3 ir 4 laipsniams, bet ne 5 laipsniams. Čia akivaizdus modelis baigiasi.

Niekas nesistebi, kad didesnės nei 5 laipsnių lygtys elgiasi dar blogiau; visų pirma su jais susijęs tas pats sunkumas: nėra bendrų formulių jiems išspręsti. Tai nereiškia, kad lygtys neturi sprendinių; Tai taip pat nereiškia, kad neįmanoma rasti labai tikslių šių sprendimų skaitinių verčių. Tai viskas apie tradicinių algebros įrankių apribojimus. Tai primena, kad kampo trisekcija naudojant liniuotę ir kompasą neįmanoma. Atsakymas yra, tačiau išvardyti metodai yra nepakankami ir neleidžia mums nustatyti, kas tai yra.

Kristalografinis apribojimas

Dviejų ir trijų dimensijų kristalai neturi 5 spindulių sukimosi simetrijos.

Atomai kristale sudaro gardelę, tai yra struktūrą, kuri periodiškai kartojasi keliomis nepriklausomomis kryptimis. Pavyzdžiui, raštas ant tapetų kartojasi per visą ritinio ilgį; be to, tai dažniausiai kartojama horizontalia kryptimi, kartais pereinant nuo vieno tapeto prie kito. Iš esmės tapetai yra dvimatis kristalas.

Plokštumoje yra 17 tapetų raštų atmainų (žr. 17 skyrių). Jie skiriasi simetrijos rūšimis, ty būdais, kaip standžiai perkelti raštą, kad jis būtų tiksliai ant savęs pradinėje padėtyje. Simetrijos tipai visų pirma apima įvairius sukimosi simetrijos variantus, kai raštas turi būti pasuktas tam tikru kampu aplink tam tikrą tašką - simetrijos centrą.

Sukimosi simetrijos tvarka – tai, kiek kartų kūnas gali būti pasuktas visu ratu, kad visos modelio detalės grįžtų į pradines padėtis. Pavyzdžiui, 90° pasukimas yra 4 eilės sukimosi simetrija*. Galimų sukimosi simetrijos tipų kristalinėje gardelėje sąrašas vėl rodo skaičiaus 5 neįprastumą: jo nėra. Yra variantų su 2, 3, 4 ir 6 eilės sukimosi simetrija, tačiau nė vienas tapetų dizainas neturi 5 eilės sukimosi simetrijos. Didesnės nei 6 eilės sukimosi simetrijos kristaluose taip pat nėra, tačiau pirmasis sekos pažeidimas vis tiek įvyksta ties skaičiumi 5.

Tas pats atsitinka su kristalografinėmis sistemomis trimatėje erdvėje. Čia gardelė kartojasi trimis nepriklausomomis kryptimis. Yra 219 skirtingų simetrijos tipų arba 230, jei veidrodinį dizaino vaizdą skaičiuosime kaip atskirą variantą – nepaisant to, kad šiuo atveju veidrodinės simetrijos nėra. Vėlgi, stebimos 2, 3, 4 ir 6 eilės sukimosi simetrijos, bet ne 5. Šis faktas vadinamas kristalografiniu uždarumu.

Keturmatėje erdvėje egzistuoja 5-osios eilės simetrijos gardelės; Apskritai, pakankamai didelių matmenų grotelėms galima bet kokia iš anksto nustatyta sukimosi simetrijos tvarka.

// Ryžiai. 40. Valgomosios druskos kristalinė gardelė. Tamsūs rutuliukai žymi natrio atomus, šviesūs – chloro atomus

Kvazikristalai

Nors 5-osios eilės sukimosi simetrija neįmanoma 2D ar 3D grotelėse, ji gali egzistuoti šiek tiek mažiau taisyklingose ​​struktūrose, vadinamose kvazikristalais. Naudodamas Keplerio eskizus, Rogeris Penrose'as atrado plokščias sistemas, turinčias bendresnį penkių kartų simetrijos tipą. Jie vadinami kvazikristalais.

Kvazikristalai egzistuoja gamtoje. 1984 m. Danielis Shechtmanas atrado, kad aliuminio ir mangano lydinys gali sudaryti kvazikristalus; Iš pradžių kristalografai jo pranešimą sutiko kiek skeptiškai, tačiau vėliau atradimas pasitvirtino, o 2011-aisiais Shechtmanas buvo apdovanotas Nobelio chemijos premija. 2009 metais mokslininkų grupė, vadovaujama Luca Bindi, atrado kvazikristalus minerale iš Rusijos Korjako aukštumų – aliuminio, vario ir geležies junginio. Šiandien šis mineralas vadinamas ikosahedritu. Masės spektrometru išmatavę skirtingų deguonies izotopų kiekį minerale, mokslininkai parodė, kad šis mineralas atsirado ne Žemėje. Jis susiformavo maždaug prieš 4,5 milijardo metų, tuo metu, kai Saulės sistema tik prasidėjo, ir didžiąją laiko dalį praleido asteroidų juostoje, skriedama aplink Saulę, kol kažkoks trikdymas pakeitė jos orbitą ir galiausiai atnešė ją į Žemę.

// Ryžiai. 41. Kairėje: viena iš dviejų kvazikristalinių gardelių su tikslia penkiakartine simetrija. Dešinėje: ikosaedrinio aliuminio-paladžio-mangano kvazikristalo atominis modelis