Šiame straipsnyje atskleidžiama tiesės, einančios per du nurodytus taškus stačiakampėje koordinačių sistemoje, esančioje plokštumoje, lygties išvedimas. Išveskime tiesės, einančios per du nurodytus taškus stačiakampėje koordinačių sistemoje, lygtį. Aiškiai parodysime ir išspręsime keletą pavyzdžių, susijusių su nagrinėjama medžiaga.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Prieš gaunant tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį, būtina atkreipti dėmesį į kai kuriuos faktus. Yra aksioma, kuri sako, kad per du besiskiriančius taškus plokštumoje galima nubrėžti tiesią liniją ir tik vieną. Kitaip tariant, du duotieji taškai plokštumoje yra apibrėžti tiesia linija, einančia per šiuos taškus.
Jei plokštuma apibrėžta stačiakampe koordinačių sistema Oxy, tai bet kuri joje pavaizduota tiesė atitiks tiesės lygtį plokštumoje. Taip pat yra ryšys su tiesės nukreipimo vektoriumi. Šių duomenų pakanka tiesės, einančios per du duotus taškus, lygčiai.
Pažvelkime į panašios problemos sprendimo pavyzdį. Būtina sudaryti tiesės a, einančios per du skirtingus taškus M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2), esančius Dekarto koordinačių sistemoje, lygtį.
Kanoninėje plokštumos tiesės, kurios forma x - x 1 a x = y - y 1 a y, lygtyje stačiakampė koordinačių sistema O x y nurodyta tiese, kuri kertasi su ja taške, kurio koordinatės M 1 (x 1, y 1) su kreipiamuoju vektoriumi a → = (a x , a y) .
Būtina sukurti kanoninę tiesės a lygtį, kuri eis per du taškus, kurių koordinatės M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2).
Tiesė a turi krypties vektorių M 1 M 2 → su koordinatėmis (x 2 - x 1, y 2 - y 1), nes ji kerta taškus M 1 ir M 2. Gavome reikiamus duomenis, kad galėtume transformuoti kanoninę lygtį su krypties vektoriaus M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinatėmis ir ant jų esančių taškų M 1 koordinatėmis. (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2) . Gauname x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 arba x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 lygtį.
Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.
Atlikę skaičiavimus, užrašome parametrines lygtis tiesės plokštumoje, kuri eina per du taškus, kurių koordinatės M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2). Gauname x = x 1 + (x 2 - x 1) formos lygtį · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ arba x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
Pažvelkime atidžiau, kaip išspręsti kelis pavyzdžius.
1 pavyzdys
Užrašykite tiesės, einančios per 2 duotus taškus, kurių koordinatės M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6, lygtį.
Sprendimas
Kanoninė tiesės, susikertančios dviejuose taškuose, kurių koordinatės yra x 1, y 1 ir x 2, y 2, lygtis yra x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Pagal uždavinio sąlygas gauname, kad x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Skaitines reikšmes reikia pakeisti lygtyje x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Iš čia gauname, kad kanoninė lygtis yra x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Atsakymas: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Jei jums reikia išspręsti problemą naudodami kitokio tipo lygtį, pirmiausia galite pereiti prie kanoninės, nes iš jos lengviau pereiti prie bet kurios kitos.
2 pavyzdys
Sudarykite bendrąją tiesės, einančios per taškus, kurių koordinatės yra M 1 (1, 1) ir M 2 (4, 2), O x y koordinačių sistemoje, lygtį.
Sprendimas
Pirmiausia turite užsirašyti kanoninę tam tikros linijos, kuri eina per duotus du taškus, lygtį. Gauname x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 formos lygtį.
Perkelkime kanoninę lygtį į norimą formą, tada gausime:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Atsakymas: x - 3 y + 2 = 0 .
Tokių užduočių pavyzdžiai buvo aptariami mokykliniuose vadovėliuose per algebros pamokas. Mokyklos uždaviniai skyrėsi tuo, kad buvo žinoma tiesės su kampo koeficientu lygtis, turinti formą y = k x + b. Jei reikia rasti nuolydžio k reikšmę ir skaičių b, kurio lygtis y = k x + b apibrėžia O x y sistemos liniją, kuri eina per taškus M 1 (x 1, y 1) ir M 2 ( x 2, y 2) , kur x 1 ≠ x 2. Kai x 1 = x 2 , tada kampinis koeficientas įgyja begalybės reikšmę, o tiesė M 1 M 2 apibrėžiama bendra nepilna lygtimi x - x 1 = 0 .
Nes taškai M 1 Ir M 2 yra tiesėje, tada jų koordinatės tenkina lygtį y 1 = k x 1 + b ir y 2 = k x 2 + b. Būtina išspręsti k ir b lygčių sistemą y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b.
Norėdami tai padaryti, randame k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 arba k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Su šiomis k ir b reikšmėmis tiesės, einančios per duotus du taškus, lygtis tampa y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 arba y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Neįmanoma prisiminti tokio didžiulio skaičiaus formulių vienu metu. Norėdami tai padaryti, sprendžiant problemas, būtina padidinti pakartojimų skaičių.
3 pavyzdys
Užrašykite tiesės su kampiniu koeficientu, einančios per taškus, kurių koordinatės M 2 (2, 1) ir y = k x + b, lygtį.
Sprendimas
Norėdami išspręsti problemą, naudojame formulę su nuolydžiu, kurios forma yra y = k x + b. Koeficientai k ir b turi turėti tokią reikšmę, kad ši lygtis atitiktų tiesę, einančią per du taškus, kurių koordinatės M 1 (- 7, - 5) ir M 2 (2, 1).
Taškai M 1 Ir M 2 yra tiesioje linijoje, tada jų koordinatės turi padaryti lygtį y = k x + b tikrąja lygybe. Iš to gauname, kad - 5 = k · (- 7) + b ir 1 = k · 2 + b. Sujungkime lygtį į sistemą - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ir išspręskime.
Pakeitę tai gauname
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Dabar reikšmės k = 2 3 ir b = - 1 3 pakeičiamos į lygtį y = k x + b. Pastebime, kad reikiama lygtis, einanti per duotus taškus, bus y = 2 3 x - 1 3 formos lygtis.
Šis sprendimo būdas nulemia daug laiko švaistymą. Yra būdas, kuriuo užduotis išsprendžiama dviem etapais.
Parašykime kanoninę tiesės, einančios per M 2 (2, 1) ir M 1 (- 7, - 5), lygtį, kurios forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Dabar pereikime prie nuolydžio lygties. Gauname: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Atsakymas: y = 2 3 x - 1 3 .
Jei trimatėje erdvėje yra stačiakampė koordinačių sistema O x y z su dviem nesutampančiais taškais, kurių koordinatės M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tiesė M, einanti per juos 1 M 2 , reikia gauti šios tiesės lygtį.
Turime x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z formos kanonines lygtis ir x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z parametrines lygtis. 1 + a z · λ geba apibrėžti tiesę koordinačių sistemoje O x y z, einančią per taškus, turinčius koordinates (x 1, y 1, z 1), su krypties vektoriumi a → = (a x, a y, a z).
Tiesus M 1 M 2 turi krypties vektorių formos M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), kur tiesė eina per tašką M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2 , y 2 , z 2), taigi kanoninė lygtis gali būti x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 arba x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, savo ruožtu parametrinis x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ arba x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2) - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Apsvarstykite brėžinį, kuriame pavaizduoti 2 duoti erdvės taškai ir tiesės lygtis.
4 pavyzdys
Parašykite tiesės, apibrėžtos trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y z, einančios per duotus du taškus, kurių koordinatės M 1 (2, - 3, 0) ir M 2 (1, - 3, - 5), lygtį.
Sprendimas
Būtina rasti kanoninę lygtį. Kadangi kalbame apie trimatę erdvę, tai reiškia, kad kai tiesė eina per nurodytus taškus, norima kanoninė lygtis bus x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Pagal sąlygą gauname, kad x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Iš to išplaukia, kad reikalingos lygtys bus parašytos taip:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Atsakymas: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.
Per bet kurį tašką galima nubrėžti begalinį skaičių tiesių.
Per bet kuriuos du nesutampančius taškus galima nubrėžti vieną tiesią liniją.
Dvi besiskiriančios plokštumos tiesės arba susikerta viename taške, arba yra
lygiagretus (seka nuo ankstesnio).
Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:
- linijos susikerta;
- linijos lygiagrečios;
- susikerta tiesios linijos.
Tiesiai linija— pirmos eilės algebrinė kreivė: tiesė Dekarto koordinačių sistemoje
plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).
Bendroji tiesės lygtis.
Apibrėžimas. Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi
Ax + Wu + C = 0,
ir pastovus A, B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras
tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B Ir SU Galimi šie ypatingi atvejai:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- per pradžią eina tiesi linija
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi
. B = C = 0, A ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi
. A = C = 0, B ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi
Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją
pradines sąlygas.
Tiesės iš taško ir normalaus vektoriaus lygtis.
Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)
statmena lygties nurodytai tiesei
Ax + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).
Sprendimas. Kai A = 3 ir B = -1, sudarykime tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C
Į gautą išraišką pakeisime duoto taško A koordinates Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl
C = -1. Iš viso: reikalinga lygtis: 3x - y - 1 = 0.
Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.
Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Ir M2 (x 2, y 2, z 2), Tada tiesės lygtis,
einantis per šiuos taškus:
Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Įjungta
plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:
Jeigu x 1 ≠ x 2 Ir x = x 1, Jei x 1 = x 2 .
Frakcija = k paskambino nuolydis tiesioginis.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.
Sprendimas. Taikydami aukščiau parašytą formulę, gauname:
Tiesios linijos lygtis naudojant tašką ir nuolydį.
Jei bendroji tiesės lygtis Ax + Wu + C = 0 veda prie:
ir paskirti 
, tada gauta lygtis vadinama
tiesės su nuolydžiu k lygtis.
Tiesės iš taško ir krypties vektoriaus lygtis.
Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį
tiesė per tašką ir tiesės krypties vektorius.
Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą
Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.
Ax + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.
Sprendimas. Ieškosime norimos eilutės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,
koeficientai turi atitikti šias sąlygas:
1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.
Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.
adresu x = 1, y = 2 gauname C/A = -3, t.y. reikalinga lygtis:
x + y - 3 = 0
Tiesios linijos atkarpose lygtis.
Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С≠0, tada dalijant iš -С gauname:
arba kur
Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė
tiesiai su ašimi O A b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė Oi.
Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normalioji tiesės lygtis.
Jei abi lygties pusės Ax + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus 
kuris vadinamas
normalizuojantis veiksnys, tada gauname
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.
Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ*C< 0.
r- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki tiesės,
A φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.
Pavyzdys. Pateikiama bendroji linijos lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalinga parašyti įvairių tipų lygtis
ši tiesi linija.
Šios tiesės lygtis atkarpomis:
Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)
Linijos lygtis:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,
lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.
Kampas tarp tiesių plokštumoje.
Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų
bus apibrėžtas kaip
Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos
Jeigu k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Tiesioginis Ax + Wu + C = 0 Ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 lygiagrečiai, kai koeficientai yra proporcingi
A 1 = λA, B 1 = λB. Jei taip pat С 1 = λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės
randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.
Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.
Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b
pavaizduota lygtimi:
Atstumas nuo taško iki linijos.
Teorema. Jei skiriamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki tiesės Ax + Wu + C = 0 apibrėžiamas kaip:
Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- iš taško nukritusio statmens pagrindas M už duotą
tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M Ir M 1:
(1)
Koordinatės x 1 Ir 1 val galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:
Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis
duota tiesi linija. Jei transformuosime pirmąją sistemos lygtį į formą:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada išspręsdami gauname:
Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:
Teorema įrodyta.
Pamoka iš serijos „Geometriniai algoritmai“
Sveiki, mielas skaitytojau!
Šiandien pradėsime mokytis su geometrija susijusių algoritmų. Faktas yra tas, kad kompiuterių moksle yra gana daug olimpiadų uždavinių, susijusių su skaičiavimo geometrija, ir tokių problemų sprendimas dažnai sukelia sunkumų.
Per kelias pamokas apsvarstysime keletą elementarių antrinių užduočių, kuriomis grindžiamas daugumos skaičiavimo geometrijos uždavinių sprendimas.
Šioje pamokoje mes sukursime programą, skirtą tiesės lygties radimas, einantis per duotą du taškai. Norint išspręsti geometrines problemas, mums reikia tam tikrų skaičiavimo geometrijos žinių. Dalį pamokos skirsime jų pažinimui.
Įžvalgos iš skaičiavimo geometrijos
Skaičiavimo geometrija – kompiuterių mokslo šaka, tirianti geometrinių uždavinių sprendimo algoritmus.
Pradiniai tokių problemų duomenys gali būti taškų rinkinys plokštumoje, atkarpų rinkinys, daugiakampis (nurodytas, pavyzdžiui, jo viršūnių sąrašu pagal laikrodžio rodyklę) ir kt.
Rezultatas gali būti atsakymas į kokį nors klausimą (pvz., ar taškas priklauso atkarpai, ar du atkarpos susikerta, ...), arba koks nors geometrinis objektas (pavyzdžiui, mažiausias išgaubtas daugiakampis, jungiantis duotus taškus, plotas daugiakampis ir pan.).
Skaičiavimo geometrijos uždavinius nagrinėsime tik plokštumoje ir tik Dekarto koordinačių sistemoje.
Vektoriai ir koordinatės
Norint taikyti skaičiavimo geometrijos metodus, reikia geometrinius vaizdus išversti į skaičių kalbą. Darysime prielaidą, kad plokštumai duota Dekarto koordinačių sistema, kurioje sukimosi kryptis prieš laikrodžio rodyklę vadinama teigiama.
Dabar geometriniai objektai gauna analitinę išraišką. Taigi, norint nurodyti tašką, pakanka nurodyti jo koordinates: skaičių porą (x; y). Atkarpą galima nurodyti nurodant jo galų koordinates. Tiesė gali būti nurodyta nurodant jos taškų poros koordinates.
Tačiau pagrindinis mūsų įrankis problemoms spręsti bus vektoriai. Todėl leiskite man priminti šiek tiek informacijos apie juos.
Segmentas AB, kuris turi prasmę A yra laikoma pradžia (taikymo tašku) ir tašku IN– galas, vadinamas vektoriumi AB ir žymimas, pavyzdžiui, arba paryškinta mažąja raide A .
Norėdami pažymėti vektoriaus ilgį (tai yra atitinkamo segmento ilgį), naudosime modulio simbolį (pavyzdžiui, ).
Savavališkas vektorius turės koordinates, lygias skirtumui tarp atitinkamų jo pabaigos ir pradžios koordinačių:
,
štai taškai A Ir B
turėti koordinates 
atitinkamai.
Skaičiavimams naudosime sąvoką orientuotas kampas, tai yra kampas, kuriame atsižvelgiama į santykinę vektorių padėtį.
Orientuotas kampas tarp vektorių a Ir b teigiamas, jei sukimas vyksta iš vektoriaus a į vektorių b atliekama teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodyklę), o kitu atveju – neigiama. Žr. 1a pav., 1b pav. Taip pat sakoma, kad vektorių pora a Ir b teigiamai (neigiamai) orientuotas.
Taigi, orientuoto kampo reikšmė priklauso nuo vektorių sąrašo eilės ir gali įgauti vertes intervale.
Daugelis skaičiavimo geometrijos problemų naudoja vektorinių (kreipinių arba pseudoskaliarinių) vektorių sandaugų sąvoką.
Vektorių a ir b vektorinė sandauga yra šių vektorių ilgių ir kampo tarp jų sinuso sandauga:
.
Kryžminė vektorių sandauga koordinatėse:
Dešinėje esanti išraiška yra antros eilės determinantas:
Skirtingai nuo apibrėžimo, pateikto analitinėje geometrijoje, tai yra skaliarinis.
Vektoriaus sandaugos ženklas nustato vektorių padėtį vienas kito atžvilgiu:
a Ir b pozityviai orientuotas.
Jei reikšmė yra , tada vektorių pora a Ir b neigiamai orientuotas.
Nulinių vektorių kryžminė sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai jie yra kolineariniai ( 
). Tai reiškia, kad jie yra toje pačioje linijoje arba lygiagrečiose linijose.
Pažvelkime į keletą paprastų problemų, kurios būtinos sprendžiant sudėtingesnes.
Iš dviejų taškų koordinačių nustatykime tiesės lygtį.
Tiesės, einančios per du skirtingus taškus, apibrėžtus jų koordinatėmis, lygtis.
Tiesėje pateiksime du nesutampančius taškus: su koordinatėmis (x1; y1) ir su koordinatėmis (x2; y2). Atitinkamai vektorius, kurio pradžia taške ir pabaiga taške, turi koordinates (x2-x1, y2-y1). Jei P(x, y) yra savavališkas taškas mūsų tiesėje, tai vektoriaus koordinatės yra lygios (x-x1, y – y1).
Naudojant vektorių sandaugą, vektorių kolineariškumo sąlygą galima parašyti taip:
Tie. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1) = 0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0
Paskutinę lygtį perrašome taip:
ax + by + c = 0, (1)
c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)
Taigi, tiesią liniją galima nurodyti (1) formos lygtimi.
1 uždavinys. Pateikiamos dviejų taškų koordinatės. Raskite jo atvaizdavimą forma ax + by + c = 0.
Šioje pamokoje sužinojome šiek tiek informacijos apie skaičiavimo geometriją. Išsprendėme tiesės lygties iš dviejų taškų koordinačių radimo uždavinį.
Kitoje pamokoje sukursime programą dviejų tiesių, pateiktų mūsų lygtimis, susikirtimo taškui rasti.
Šiame straipsnyje mes apsvarstysime bendrąją tiesės plokštumoje lygtį. Pateiksime bendrosios tiesės lygties sudarymo pavyzdžius, jei žinomi du šios tiesės taškai arba vienas taškas ir šios tiesės normalusis vektorius. Pateiksime bendrosios formos lygties transformavimo į kanonines ir parametrines formas metodus.
Tegu pateikta savavališka Dekarto stačiakampių koordinačių sistema Oxy. Apsvarstykite pirmojo laipsnio arba tiesinę lygtį:
| Ax+By+C=0, | (1) |
Kur A, B, C− kai kurios konstantos ir bent vienas iš elementų A Ir B skiriasi nuo nulio.
Parodysime, kad tiesinė lygtis plokštumoje apibrėžia tiesę. Įrodykime tokią teoremą.
1 teorema. Savavališkoje Dekarto stačiakampių koordinačių sistemoje plokštumoje kiekviena tiesė gali būti nurodyta tiesine lygtimi. Ir atvirkščiai, kiekviena tiesinė lygtis (1) savavališkoje Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje apibrėžia tiesę.
Įrodymas. Pakanka įrodyti, kad tiesė L yra nustatytas bet kurios Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos tiesine lygtimi, nes tada ji bus nustatyta tiesine lygtimi bet kokiai Dekarto stačiakampių koordinačių sistemai.
Tegul plokštumoje pateikiama tiesi linija L. Parinkime tokią koordinačių sistemą, kad ašis Jautis sutapo su tiesia linija L, ir ašis Oy buvo jai statmenas. Tada linijos lygtis L bus tokia forma:
| y=0. | (2) |
Visi taškai tiesėje L tenkins tiesinę (2) lygtį, o visi už šios linijos esantys taškai netenkins (2) lygties. Pirmoji teoremos dalis įrodyta.
Tegu pateikta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema ir tiesinė lygtis (1), kurioje bent vienas iš elementų A Ir B skiriasi nuo nulio. Raskime geometrinį lokusą taškų, kurių koordinatės tenkina (1) lygtį. Kadangi bent vienas iš koeficientų A Ir B skiriasi nuo nulio, tada (1) lygtis turi bent vieną sprendimą M(x 0 ,y 0). (Pavyzdžiui, kada A≠0, taškas M 0 (−C/A, 0) priklauso nurodytam geometriniam taškų lokusui). Pakeitę šias koordinates į (1), gauname tapatybę
| Ax 0 +Autorius 0 +C=0. | (3) |
Iš (1) atimkime tapatybę (3):
| A(x−x 0)+B(y−y 0)=0. | (4) |
Akivaizdu, kad (4) lygtis yra lygiavertė (1) lygčiai. Todėl pakanka įrodyti, kad (4) apibrėžia tam tikrą tiesę.
Kadangi nagrinėjame Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą, iš lygybės (4) išplaukia, kad vektorius su komponentais ( x−x 0 , y-y 0 ) stačiakampis vektoriui n su koordinatėmis ( A, B}.
Panagrinėkime tiesią liniją L, einantis per tašką M 0 (x 0 , y 0) ir statmenai vektoriui n(1 pav.). Tegul taškas M(x,y) priklauso eilutei L. Tada vektorius su koordinatėmis x−x 0 , y-y 0 statmenai n ir (4) lygtis tenkinama (vektorių skaliarinė sandauga). n ir lygus nuliui). Ir atvirkščiai, jei taškas M(x,y) nėra ant linijos L, tada vektorius su koordinatėmis x−x 0 , y-y 0 nėra stačiakampis vektoriui n ir (4) lygtis netenkinama. Teorema įrodyta.
Įrodymas. Kadangi linijos (5) ir (6) apibrėžia tą pačią tiesę, tada normalieji vektoriai n 1 ={A 1 ,B 1) ir n 2 ={A 2 ,B 2) kolinearinis. Kadangi vektoriai n 1 ≠0, n 2 ≠0, tada yra toks skaičius λ , Ką n 2 =n 1 λ . Iš čia turime: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Įrodykime tai C 2 =C 1 λ . Akivaizdu, kad sutampančios linijos turi bendrą tašką M 0 (x 0 , y 0). Padauginus lygtį (5) iš λ ir iš jos atėmę (6) lygtį, gauname:
Kadangi pirmosios dvi lygybės iš reiškinių (7) yra tenkinamos, tada C 1 λ −C 2 = 0. Tie. C 2 =C 1 λ . Pastaba pasitvirtino.
Atkreipkite dėmesį, kad (4) lygtis apibrėžia tiesės, einančios per tašką, lygtį M 0 (x 0 , y 0) ir turintis normalųjį vektorių n={A, B). Todėl, jei yra žinomas tiesės normalusis vektorius ir jai priklausantis taškas, tai bendrąją tiesės lygtį galima sudaryti naudojant (4) lygtį.
1 pavyzdys. Tiesė eina per tašką M=(4,−1) ir turi normalųjį vektorių n=(3, 5). Sukurkite bendrąją tiesės lygtį.
Sprendimas. Turime: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Norėdami sudaryti bendrąją tiesės lygtį, šias reikšmes pakeičiame (4) lygtimi:
Atsakymas:
Vektorius yra lygiagretus tiesei L ir todėl statmenai normaliajam tiesės vektoriui L. Sukurkime normaliosios linijos vektorių L, atsižvelgiant į tai, kad vektorių skaliarinė sandauga n ir lygus nuliui. Galime rašyti pvz. n={1,−3}.
Norėdami sudaryti bendrąją tiesės lygtį, naudojame formulę (4). Pakeiskime taško koordinates į (4) M 1 (taip pat galime paimti taško koordinates M 2) ir normalusis vektorius n:
Taškų koordinates pakeitimas M 1 ir M 2 (9) galime įsitikinti, kad tiesė, nurodyta (9) lygtyje, eina per šiuos taškus.
Atsakymas:
Iš (1) atimkite (10):
Gavome kanoninę tiesės lygtį. Vektorius q={−B, A) yra linijos (12) krypties vektorius.
Žiūrėkite atvirkštinį konvertavimą.
3 pavyzdys. Tiesė plokštumoje pavaizduota tokia bendra lygtimi:
Perkelkime antrąjį narį į dešinę ir padalykime abi lygties puses iš 2·5.
Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.
Per bet kurį tašką galima nubrėžti begalinį skaičių tiesių.
Per bet kuriuos du nesutampančius taškus galima nubrėžti vieną tiesią liniją.
Dvi besiskiriančios plokštumos tiesės arba susikerta viename taške, arba yra
lygiagretus (seka nuo ankstesnio).
Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:
- linijos susikerta;
- linijos lygiagrečios;
- susikerta tiesios linijos.
Tiesiai linija— pirmos eilės algebrinė kreivė: tiesė Dekarto koordinačių sistemoje
plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).
Bendroji tiesės lygtis.
Apibrėžimas. Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi
Ax + Wu + C = 0,
ir pastovus A, B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras
tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B Ir SU Galimi šie ypatingi atvejai:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- per pradžią eina tiesi linija
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi
. B = C = 0, A ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi
. A = C = 0, B ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi
Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją
pradines sąlygas.
Tiesės iš taško ir normalaus vektoriaus lygtis.
Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)
statmena lygties nurodytai tiesei
Ax + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).
Sprendimas. Kai A = 3 ir B = -1, sudarykime tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C
Į gautą išraišką pakeisime duoto taško A koordinates Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl
C = -1. Iš viso: reikalinga lygtis: 3x - y - 1 = 0.
Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.
Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Ir M2 (x 2, y 2, z 2), Tada tiesės lygtis,
einantis per šiuos taškus:
Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Įjungta
plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:
Jeigu x 1 ≠ x 2 Ir x = x 1, Jei x 1 = x 2 .
Frakcija = k paskambino nuolydis tiesioginis.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.
Sprendimas. Taikydami aukščiau parašytą formulę, gauname:
Tiesios linijos lygtis naudojant tašką ir nuolydį.
Jei bendroji tiesės lygtis Ax + Wu + C = 0 veda prie:
ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama
tiesės su nuolydžiu k lygtis.
Tiesės iš taško ir krypties vektoriaus lygtis.
Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį
tiesė per tašką ir tiesės krypties vektorius.
Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą
Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.
Ax + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.
Sprendimas. Ieškosime norimos eilutės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,
koeficientai turi atitikti šias sąlygas:
1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.
Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.
adresu x = 1, y = 2 gauname C/A = -3, t.y. reikalinga lygtis:
x + y - 3 = 0
Tiesios linijos atkarpose lygtis.
Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С≠0, tada dalijant iš -С gauname:
arba kur
Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė
tiesiai su ašimi O A b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė Oi.
Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normalioji tiesės lygtis.
Jei abi lygties pusės Ax + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus kuris vadinamas
normalizuojantis veiksnys, tada gauname
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.
Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ*C< 0.
r- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki tiesės,
A φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.
Pavyzdys. Pateikiama bendroji linijos lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalinga parašyti įvairių tipų lygtis
ši tiesi linija.
Šios tiesės lygtis atkarpomis:
Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)
Linijos lygtis:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,
lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.
Kampas tarp tiesių plokštumoje.
Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų
bus apibrėžtas kaip
Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos
Jeigu k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Tiesioginis Ax + Wu + C = 0 Ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 lygiagrečiai, kai koeficientai yra proporcingi
A 1 = λA, B 1 = λB. Jei taip pat С 1 = λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės
randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.
Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.
Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b
pavaizduota lygtimi:
Atstumas nuo taško iki linijos.
Teorema. Jei skiriamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki tiesės Ax + Wu + C = 0 apibrėžiamas kaip:
Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- iš taško nukritusio statmens pagrindas M už duotą
tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M Ir M 1:
(1)
Koordinatės x 1 Ir 1 val galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:
Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis
duota tiesi linija. Jei transformuosime pirmąją sistemos lygtį į formą:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada išspręsdami gauname:
Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:
Teorema įrodyta.
