Įvadas………………………………………………………………………………3
1. Teorinė dalis………………………………………………………………….4
Pagrindinės sąvokos ir terminai…………………………………………………………………......4
1.1 Sekų tipai…………………………………………………………………6
1.1.1.Ribotos ir neribotos skaičių sekos…..6
1.1.2. Sekų monotoniškumas……………………………………6
1.1.3. Be galo didelės ir be galo mažos sekos…….7
1.1.4.Be galo mažų sekų savybės……………………8
1.1.5.Konvergentinės ir divergentinės sekos bei jų savybės.....9
1.2 Sekos apribojimas…………………………………………………….11
1.2.1.Sekų ribų teoremos………………………………15
1.3. Aritmetinė progresija…………………………………………17
1.3.1. Aritmetinės progresijos savybės……………………………………..17
1.4 Geometrinė progresija……………………………………………………………..19
1.4.1. Geometrinės progresijos savybės……………………………………….19
1.5. Fibonačio skaičiai………………………………………………………………..21
1.5.1 Fibonačio skaičių ryšys su kitomis žinių sritimis…………………….22
1.5.2. Fibonačio skaičių serijos naudojimas gyvajai ir negyvajai gamtai apibūdinti………………………………………………………………………………………………….
2. Nuosavas tyrimas……………………………………………………….28
Išvada…………………………………………………………………………………….30
Literatūros sąrašas………………………………………………………………..31
Įvadas.
Skaičių sekos yra labai įdomi ir edukacinė tema. Ši tema randama padidinto sudėtingumo užduotyse, kurias studentams siūlo didaktinės medžiagos autoriai, matematikos olimpiadų, stojamųjų egzaminų į aukštąsias mokyklas ir vieningo valstybinio egzamino uždaviniuose. Man įdomu sužinoti, kaip matematinės sekos yra susijusios su kitomis žinių sritimis.
Tiriamojo darbo tikslas: Plėsti žinias apie skaičių seką.
1. Apsvarstykite seką;
2. Apsvarstykite jo savybes;
3. Apsvarstykite sekos analitinę užduotį;
4. Parodykite savo vaidmenį plėtojant kitas žinių sritis.
5. Parodykite, kaip naudojama Fibonačio skaičių serija gyvajai ir negyvajai gamtai apibūdinti.
1. Teorinė dalis.
Pagrindinės sąvokos ir terminai.
Apibrėžimas. Skaičių seka yra y = f(x), x О N formos funkcija, kur N yra natūraliųjų skaičių aibė (arba natūraliojo argumento funkcija), žymima y = f(n) arba y1, y2, …, yn,…. Reikšmės y1, y2, y3,... atitinkamai vadinamos pirmuoju, antruoju, trečiuoju,... sekos nariais.
Skaičius a vadinamas sekos x = (x n ) riba, jei savavališkai iš anksto nustatytam savavališkai mažam teigiamam skaičiui ε yra toks natūralusis skaičius N, kad visiems n>N nelygybė |x n - a|< ε.
Jei skaičius a yra sekos x = (x n ) riba, tada jie sako, kad x n linksta į a, ir rašo
.Sakoma, kad seka (yn) didėja, jei kiekvienas narys (išskyrus pirmąjį) yra didesnis nei ankstesnis:
y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….
Seka (yn) vadinama mažėjančia, jei kiekvienas narys (išskyrus pirmąjį) yra mažesnis nei ankstesnis:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .
Didėjančios ir mažėjančios sekos jungiamos pagal bendrą terminą – monotoninės sekos.
Seka vadinama periodine, jei yra natūralusis skaičius T, kuriame, pradedant nuo kurio nors n, galioja lygybė yn = yn+T. Skaičius T vadinamas periodo ilgiu.
Aritmetinė progresija yra seka (an), kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnio nario ir to paties skaičiaus d sumai, vadinama aritmetine progresija, o skaičius d yra aritmetinė progresija.
Taigi aritmetinė progresija yra skaitinė seka (an), kurią nuolat apibrėžia santykiai
a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)
Geometrinė progresija yra seka, kurioje visi nariai skiriasi nuo nulio ir kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, gaunamas iš ankstesnio nario, padauginus iš to paties skaičiaus q.
Taigi geometrinė progresija yra skaitinė seka (bn), nuolat apibrėžiama ryšiais
b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).
1.1 Sekų tipai.
1.1.1 Apribotos ir neribotos sekos.
Sakoma, kad seka (bn) yra apribota aukščiau, jei yra toks skaičius M, kad bet kuriam skaičiui n galioja nelygybė bn≤ M;
Toliau seka (bn) vadinama apribota, jei yra toks skaičius M, kad bet kuriam skaičiui n galioja nelygybė bn≥ M;
Pavyzdžiui:
1.1.2 Sekų monotoniškumas.
Seka (bn) vadinama nedidėjančia (nemažėjančia), jei bet kurio skaičiaus n nelygybė bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) yra teisinga;
Seka (bn) vadinama mažėjančia (didėjančia), jei bet kuriam skaičiui n nelygybė bn> bn+1 (bn Mažėjančios ir didėjančios sekos vadinamos griežtai monotoninėmis, nedidėjančios – monotoninėmis plačiąja prasme. Sekos, kurios yra apribotos ir viršuje, ir apačioje, vadinamos apribotomis. Visų šių tipų seka vadinama monotoniška. 1.1.3 Be galo didelės ir mažos sekos. Be galo maža seka yra skaitinė funkcija arba seka, linkusi į nulį. Sakoma, kad seka an yra be galo maža, jei Funkcija taško x0 kaimynystėje vadinama be galo maža, jei ℓimx→x0 f(x)=0. Funkcija begalybėje vadinama be galo maža, jei ℓimx→.+∞ f(x)=0 arba ℓimx→-∞ f(x)=0 Taip pat be galo maža yra funkcija, kuri yra skirtumas tarp funkcijos ir jos ribos, tai yra, jei ℓimx→.+∞ f(x)=a, tai f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0. Be galo didelė seka yra skaitinė funkcija arba seka, linkusi į begalybę. Sakoma, kad seka an yra be galo didelė, jei ℓimn→0 an=∞. Sakoma, kad funkcija yra be galo didelė taško x0 kaimynystėje, jei ℓimx→x0 f(x)= ∞. Sakoma, kad funkcija yra be galo didelė begalybėje, jei ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ arba ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Be galo mažų sekų savybės. Dviejų be galo mažų sekų suma taip pat yra be galo maža seka. Dviejų be galo mažų sekų skirtumas taip pat yra be galo maža seka. Bet kurio baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų algebrinė suma taip pat yra be galo maža seka. Apribotos sekos ir be galo mažos sekos sandauga yra be galo maža seka. Bet kurio baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų sandauga yra be galo maža seka. Bet kuri be galo maža seka yra ribojama. Jei stacionari seka yra be galo maža, tai visi jos elementai, pradedant nuo tam tikro taško, yra lygūs nuliui. Jei visa begalinė seka susideda iš identiškų elementų, tai šie elementai yra nuliai. Jei (xn) yra be galo didelė seka, kurioje nėra nulio terminų, tada yra seka (1/xn), kuri yra be galo maža. Tačiau jei (xn) yra nulis elementų, seka (1/xn) vis tiek gali būti apibrėžta pradedant nuo kokio nors skaičiaus n ir vis tiek bus be galo maža. Jei (an) yra be galo maža seka, kurioje nėra nulio terminų, tada yra seka (1/an), kuri yra be galo didelė. Jei (an) vis dėlto yra nulis elementų, seka (1/an) vis tiek gali būti apibrėžta pradedant nuo kokio nors skaičiaus n ir vis tiek bus be galo didelė. 1.1.5 Konvergentinės ir divergentinės sekos ir jų savybės. Konvergentinė seka – tai aibės X elementų seka, kuri šioje aibėje turi ribą. Divergentinė seka yra seka, kuri nėra konvergentiška. Kiekviena be galo maža seka yra konvergentiška. Jo riba yra nulis. Bet kokio baigtinio elementų skaičiaus pašalinimas iš begalinės sekos neturi įtakos nei tos sekos konvergencijai, nei ribai. Bet kuri konvergencinė seka yra ribojama. Tačiau ne kiekviena ribota seka susilieja. Jei seka (xn) suartėja, bet nėra be galo maža, tai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, apibrėžiama seka (1/xn), kuri yra ribojama. Konvergencinių sekų suma taip pat yra konvergentinė seka. Konvergencinių sekų skirtumas taip pat yra konvergentinė seka. Konvergencinių sekų sandauga taip pat yra konvergentinė seka. Dviejų konvergencinių sekų koeficientas apibrėžiamas pradedant nuo kurio nors elemento, nebent antroji seka yra be galo maža. Jei apibrėžiamas dviejų konvergencinių sekų koeficientas, tai yra konvergentinė seka. Jei konvergencinė seka yra apribota žemiau, tada nė vienas jos infimumas neviršija jos ribos. Jei konvergencinė seka yra ribojama aukščiau, tada jos riba neviršija nė vienos viršutinės ribos. Jei kurio nors skaičiaus vienos konvergentinės sekos sąlygos neviršija kitos konvergentinės sekos narių, tai pirmosios sekos riba taip pat neviršija antrosios ribos. Natūralaus argumento n (n=1; 2; 3; 4;...) funkcija a n =f (n) vadinama skaičių seka. Skaičiai a 1; a 2; a 3; a 4 ;…, sudarantys seką, vadinami skaitinės sekos nariais. Taigi a 1 =f (1); a2 =f (2); a3 =f (3); a 4 = f (4);… Taigi sekos nariai žymimi raidėmis, nurodančiomis indeksus – jų narių eilės numerius: a 1 ; a 2; a 3; a 4 ;... todėl a 1 yra pirmasis sekos narys; a 2 yra antrasis sekos narys; a 3 yra trečiasis sekos narys; a 4 yra ketvirtasis sekos narys ir kt. Trumpai skaitinė seka rašoma taip: a n =f (n) arba (a n). Yra šie būdai, kaip nurodyti skaičių seką: 1)
Verbalinis metodas.Žodžiais apibūdinamas sekos narių išdėstymo modelis arba taisyklė. 1 pavyzdys. Parašykite visų neneigiamų skaičių, kurie yra 5 kartotiniai, seką. Sprendimas. Kadangi visi skaičiai, kurie baigiasi 0 arba 5, dalijasi iš 5, seka bus parašyta taip: 0; 5; 10; 15; 20; 25; ... 2 pavyzdys. Pateikta seka: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Paklausk žodžiu. Sprendimas. Pastebime, kad 1=1 2 ; 4 = 2 2; 9 = 3 2; 16 = 4 2 ; 25=5 2; 36 = 6 2 ; ... Darome išvadą: duota seka, susidedanti iš natūraliųjų skaičių kvadratų. 2)
Analitinis metodas. Seka pateikiama n-ojo nario formule: a n =f (n). Naudodami šią formulę galite rasti bet kurį sekos narį. 3 pavyzdys. Skaičių sekos k-ojo nario išraiška yra žinoma: a k = 3+2·(k+1). Apskaičiuokite pirmuosius keturis šios sekos narius. a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7; a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9; a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11; a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13. 4 pavyzdys. Nustatykite skaitinės sekos sudarymo taisyklę naudojant kelis pirmuosius jos narius ir išreikškite bendrąjį sekos terminą naudodami paprastesnę formulę: 1; 3; 5; 7; 9; ... . Sprendimas. Pastebime, kad mums duota nelyginių skaičių seka. Bet koks nelyginis skaičius gali būti parašytas tokia forma: 2k-1, kur k yra natūralusis skaičius, t.y. k = 1; 2; 3; 4; ... . Atsakymas: a k =2k-1. 3)
Pasikartojantis metodas. Seka taip pat pateikiama formule, bet ne bendrojo termino formule, kuri priklauso tik nuo termino skaičiaus. Nurodoma formulė, pagal kurią kiekvienas kitas terminas randamas per ankstesnius terminus. Pasikartojančio funkcijos nurodymo metodo atveju visada papildomai nurodomas vienas ar keli pirmieji sekos nariai. 5 pavyzdys. Užrašykite pirmuosius keturis sekos narius (a n ), jei a 1 =7; a n+1 = 5+a n . a 2 = 5 + a 1 = 5 + 7 = 12; a 3 = 5 + a 2 = 5 + 12 = 17; a 4 =5+a 3 =5+17=22. Atsakymas: 7; 12; 17; 22; ... . 6 pavyzdys. Užrašykite pirmuosius penkis sekos (b n) narius, jei b1 = -2, b2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 . b3 = 2∙b1 + b2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1; b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2,3 + (-1) = 6 -1 = 5; b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Atsakymas: -2; 3; -1; 5; 3; ... . 4)
Grafinis metodas. Skaičių seka pateikiama diagrama, vaizduojančia izoliuotus taškus. Šių taškų abscisės yra natūralieji skaičiai: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinatės yra sekos narių reikšmės: a 1 ; a 2; a 3; a 4;... 7 pavyzdys. Užrašykite visus penkis grafiškai pateiktos skaitinės sekos narius. Kiekvienas šios koordinačių plokštumos taškas turi koordinates (n; a n). Užrašykime pažymėtų taškų koordinates abscisės n didėjimo tvarka. Gauname: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7). Todėl a 1 = -3; a 2 = 1; a 3 = 4; a 4 = 6; a 5 = 7. Atsakymas: -3; 1; 4; 6; 7. Svarstoma skaitinė seka kaip funkcija (7 pavyzdyje) yra pateikta pirmųjų penkių natūraliųjų skaičių aibėje (n=1; 2; 3; 4; 5), todėl yra baigtinių skaičių seka(sudaryta iš penkių narių). Jei skaičių seka kaip funkcija yra pateikta visoje natūraliųjų skaičių aibėje, tada tokia seka bus begalinė skaičių seka. Skaičių seka vadinama didėja, jei jo nariai didėja (a n+1 >a n) ir mažėja, jei jo nariai mažėja(a n+1
Vadinama didėjanti arba mažėjanti skaičių seka monotoniškas. Pasekmė Pasekmė- Tai rinkinys kai kurių rinkinių elementai: Taigi seka pasirodo kaip rezultatas nuoseklus tam tikro rinkinio elementų pasirinkimas. Ir jei bet kuris elementų rinkinys yra baigtinis, o mes kalbame apie baigtinio tūrio pavyzdį, seka pasirodo kaip begalinio tūrio pavyzdys. Seka pagal savo pobūdį yra atvaizdavimas, todėl jos nereikėtų painioti su rinkiniu, kuris „eina per“ seką. Matematikoje atsižvelgiama į daugybę skirtingų sekų: Visų galimų sekų tyrimo tikslas yra ieškoti šablonų, numatyti būsimas būsenas ir generuoti sekas. Tegul pateikiamas tam tikras savavališko pobūdžio elementų rinkinys. | Iškviečiamas bet koks natūraliųjų skaičių aibės susiejimas su tam tikra aibe seka(rinkinio elementai). Natūralaus skaičiaus, būtent elemento, vaizdas vadinamas - th narys arba sekos elementas, o sekos nario eilės skaičius yra jos indeksas. Formos sekos Įprasta rašyti kompaktiškai naudojant skliaustus: Kartais naudojami garbanoti breketai: Suteikdami tam tikrą žodžio laisvę, galime svarstyti ir baigtines formos sekas kurie vaizduoja natūraliųjų skaičių sekos pradinio segmento vaizdą. Wikimedia fondas. Pažiūrėkite, kas yra „seka“ kituose žodynuose: TOLESNĖ. I. V. Kirejevskio straipsnyje „Devynioliktasis amžius“ (1830 m.) skaitome: „Nuo pat Romos imperijos žlugimo iki mūsų laikų Europos nušvitimas pasirodo laipsniškai ir nuolatos“ (t. 1, p. ... ... Žodžių istorija SEQUENCE, sekos, daugiskaita. ne, moteris (knyga). išsiblaškęs daiktavardis į nuoseklų. Įvykių seka. Kintančių potvynių nuoseklumas. Samprotavimo nuoseklumas. Ušakovo aiškinamasis žodynas.... Ušakovo aiškinamasis žodynas Pastovumas, tęstinumas, logika; eilė, progresas, išvada, serija, eilutė, posūkis, grandinė, grandinė, kaskada, estafetės; patvarumas, galiojimas, rinkinys, metodiškumas, išdėstymas, harmonija, atkaklumas, seka, ryšys, eilė,... ... SEKA, skaičiai ar elementai, išdėstyti organizuotai. Sekos gali būti baigtinės (turinčios ribotą elementų skaičių) arba begalinės, pavyzdžiui, visa natūraliųjų skaičių 1, 2, 3, 4 seka ....... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas SEKA, skaičių aibė (matematinės išraiškos ir kt.; sakoma: bet kokios prigimties elementai), sunumeruoti natūraliaisiais skaičiais. Seka rašoma x1, x2,..., xn,... arba trumpai (xi) ... Šiuolaikinė enciklopedija Viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Seka sudaroma iš bet kokios prigimties elementų, sunumeruotų natūraliaisiais skaičiais 1, 2, ..., n, ... ir užrašoma x1, x2, ..., xn, ... arba trumpai (xn) . .. Didysis enciklopedinis žodynas Pasekmė- SEKA, skaičių rinkinys (matematinės išraiškos ir kt.; sakoma: bet kokios prigimties elementai), sunumeruoti natūraliaisiais skaičiais. Seka rašoma x1, x2, ..., xn, ... arba trumpai (xi). ... Iliustruotas enciklopedinis žodynas SEKA, ir, moteriška. 1. Žr. iš eilės. 2. Matematikoje: begalinė sutvarkyta skaičių aibė. Ožegovo aiškinamąjį žodyną. S.I. Ožegovas, N. Yu. Švedova. 1949 1992… Ožegovo aiškinamasis žodynas anglų kalba seka / seka; vokiečių kalba Konsequenz. 1. Eiliškumas vienas po kito. 2. Viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. 3. Taisyklingo loginio mąstymo kokybė, kai samprotavimas yra laisvas nuo vidinių prieštaravimų viename ir kitame... ... Sociologijos enciklopedija Pasekmė- „funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje, kurios reikšmių rinkinį gali sudaryti bet kokio pobūdžio elementai: skaičiai, taškai, funkcijos, vektoriai, aibės, atsitiktiniai dydžiai ir kt., sunumeruoti natūraliaisiais skaičiais. . Ekonominis-matematinis žodynas Paprasčiausias skaičius yra natūralusis skaičius. Jie naudojami kasdieniame gyvenime skaičiuojant objektus, t.y. apskaičiuoti jų skaičių ir tvarką. Kas yra natūralusis skaičius: natūraliuosius skaičiusįvardinkite skaičius, prie kurių esate įpratę skaičiuojant elementus arba nurodyti bet kurios prekės serijos numerį iš visų vienarūšių daiktų. Natūralūs skaičiaiyra skaičiai, prasidedantys nuo vieno. Skaičiuojant jie susidaro natūraliai.Pavyzdžiui, 1,2,3,4,5... -pirmieji natūralieji skaičiai. Mažiausias natūralusis skaičius- vienas. Didžiausio natūraliojo skaičiaus nėra. Skaičiuojant skaičių Nulis nenaudojamas, todėl nulis yra natūralusis skaičius. Natūraliųjų skaičių serija yra visų natūraliųjų skaičių seka. Natūralių skaičių rašymas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
Natūralioje serijoje kiekvienas skaičius yra didesnis nei ankstesnis. Kiek skaičių yra natūraliojoje eilutėje? Natūralioji serija yra begalinė; didžiausias natūralusis skaičius neegzistuoja. Dešimtainė nuo 10 vienetų iš bet kurio skaitmens sudaro 1 didžiausio skaitmens vienetą. Poziciškai taip kaip skaitmens reikšmė priklauso nuo jo vietos skaičiuje, t.y. iš kategorijos, kurioje parašyta. Bet koks natūralusis skaičius gali būti parašytas naudojant 10 arabiškų skaitmenų: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Norint perskaityti natūraliuosius skaičius, jie skirstomi, pradedant iš dešinės, į grupes po 3 skaitmenis. 3 pirmas skaičiai dešinėje yra vienetų klasė, kiti 3 yra tūkstančių klasė, tada milijonų, milijardų irtaip toliau. Kiekvienas klasės skaitmuo vadinamas josiškrovimas.
Iš 2 natūraliųjų skaičių mažesnis yra tas skaičius, kuris skaičiuojant vadinamas anksčiau. Pavyzdžiui, numeris 7
mažiau 11
(rašyk taip:7 < 11
). Kai vienas skaičius didesnis už antrą, rašoma taip:386 > 99
.
1 klasės vienetas 1-as vieneto skaitmuo 2-ojo skaitmens dešimtukai 3 vieta šimtukas 2 klasės tūkst 1-as tūkstančių vieneto skaitmuo 2-as skaitmuo dešimtys tūkstančių 3 kategorija šimtai tūkstančių 3 klasės milijonai 1-as milijonų vieneto skaitmuo 2 kategorija dešimtys milijonų 3 kategorija šimtai milijonų 4 klasės milijardai 1 milijardų vieneto skaitmuo 2 kategorija dešimtys milijardų 3 kategorija šimtai milijardų Skaičiai nuo 5 klasės ir vyresni laikomi dideliais skaičiais. 5 klasės vienetai yra trilijonai, 6-oji klasė - kvadrilijonai, 7 klasė - kvintilijonai, 8 klasė - sekstilijonai, 9 klasė - epitilijonai. Pagrindinės natūraliųjų skaičių savybės. Veiksmai su natūraliaisiais skaičiais. 4. Natūraliųjų skaičių dalyba yra atvirkštinė daugybos operacija. Jeigu b ∙ c = a, Tai Padalijimo formulės: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Skaitinės išraiškos ir skaitinės lygybės. Žymėjimas, kai skaičiai yra sujungti veiksmo ženklais, yra skaitinė išraiška. Pavyzdžiui, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Įrašai, kuriuose 2 skaitinės išraiškos sujungiamos su lygybės ženklu, yra skaitines lygybes. Lygybė turi kairę ir dešinę puses. Aritmetinių operacijų atlikimo tvarka. Skaičių sudėjimas ir atėmimas yra pirmojo laipsnio operacijos, o daugyba ir dalyba yra antrojo laipsnio operacijos. Kai skaitinė išraiška susideda iš tik vieno laipsnio veiksmų, jie atliekami nuosekliai iš kairės į dešinę. Kai išraiškos susideda tik iš pirmojo ir antrojo laipsnio veiksmų, tada veiksmai atliekami pirmiausia antrojo laipsnio, o paskui – pirmojo laipsnio veiksmus. Kai išraiškoje yra skliaustų, pirmiausia atliekami skliausteliuose esantys veiksmai. Pavyzdžiui, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. Matematika yra mokslas, kuris kuria pasaulį. Ir mokslininkas, ir paprastas žmogus – be to neapsieina niekas. Pirma, maži vaikai mokomi skaičiuoti, tada sudėti, atimti, dauginti ir dalyti pagal vidurinę mokyklą, atsiranda raidžių simboliai, o vidurinėje mokykloje jų nebegalima išvengti. Tačiau šiandien kalbėsime apie tai, kuo remiasi visa žinoma matematika. Apie skaičių bendruomenę, vadinamą „sekos ribomis“. Žodžio „seka“ reikšmę suprasti nėra sunku. Tai yra dalykų išdėstymas, kai kažkas ar kažkas yra tam tikroje eilėje ar eilėje. Pavyzdžiui, bilietų į zoologijos sodą eilė yra seka. Ir gali būti tik vienas! Jei, pavyzdžiui, žiūrite į eilę parduotuvėje, tai yra viena seka. Ir jei vienas žmogus iš šios eilės staiga išeina, tai yra kita eilė, kita tvarka. Žodis „riba“ taip pat lengvai interpretuojamas – tai kažko pabaiga. Tačiau matematikoje sekų ribos yra tos skaičių eilutės reikšmės, į kurias linksta skaičių seka. Kodėl jis siekia ir nesibaigia? Tai paprasta, skaičių eilutė neturi pabaigos, o dauguma sekų, kaip ir spinduliai, turi tik pradžią ir atrodo taip: x 1, x 2, x 3,...x n... Taigi sekos apibrėžimas yra natūralaus argumento funkcija. Paprasčiau tariant, tai yra tam tikro rinkinio narių serija. Paprastas skaičių sekos pavyzdys gali atrodyti taip: 1, 2, 3, 4, …n… Daugeliu atvejų praktiniais tikslais sekos sudaromos iš skaičių, o kiekvienas kitas serijos narys, pažymėkime jį X, turi savo pavadinimą. Pavyzdžiui: x 1 yra pirmasis sekos narys; x 2 yra antrasis sekos narys; x 3 yra trečiasis narys; x n yra n-tasis narys. Praktiniuose metoduose seka pateikiama bendra formule, kurioje yra tam tikras kintamasis. Pavyzdžiui: X n =3n, tada pati skaičių serija atrodys taip: Verta prisiminti, kad rašant sekas apskritai galima naudoti bet kokias lotyniškas raides, ne tik X. Pavyzdžiui: y, z, k ir t.t. Prieš ieškant sekų ribų, patartina pasinerti į pačią tokios skaičių serijos sampratą, su kuria kiekvienas susidūrė mokydamasis vidurinėje mokykloje. Aritmetinė progresija yra skaičių serija, kurioje skirtumas tarp gretimų terminų yra pastovus. Užduotis: „Tegul a 1 = 15, o skaičių serijos progreso žingsnis d = 4. Sukurkite pirmuosius 4 šios serijos terminus" Sprendimas: a 1 = 15 (pagal sąlygą) yra pirmasis progresijos narys (skaičių serija). ir 2 = 15+4=19 yra antrasis progresijos narys. ir 3 =19+4=23 yra trečiasis narys. ir 4 =23+4=27 yra ketvirtasis narys. Tačiau naudojant šį metodą sunku pasiekti dideles vertes, pavyzdžiui, iki 125. . Ypač tokiems atvejams buvo išvesta praktikai patogi formulė: a n =a 1 +d(n-1). Šiuo atveju 125 = 15 + 4 (125-1) = 511. Dauguma sekų yra begalinės, verta prisiminti visą likusį gyvenimą. Yra du įdomūs skaičių serijų tipai. Pirmasis pateikiamas formule a n =(-1) n. Matematikai šią seką dažnai vadina blyksniu. Kodėl? Patikrinkime jo skaičių seriją. 1, 1, -1, 1, -1, 1 ir tt Iš tokio pavyzdžio tampa aišku, kad skaičiai sekose gali būti lengvai kartojami. Faktorinė seka. Tai lengva atspėti – seką apibrėžiančioje formulėje yra faktorialas. Pavyzdžiui: a n = (n+1)! Tada seka atrodys taip: a 2 = 1x2x3 = 6; ir 3 = 1x2x3x4 = 24 ir kt. Aritmetine progresija apibrėžta seka vadinama be galo mažėjančia, jei nelygybė -1 tenkinama visoms jos sąlygoms ir 3 = - 1/8 ir kt. Yra net seka, susidedanti iš to paties skaičiaus. Taigi, n = 6 susideda iš begalinio skaičiaus šešių. Sekos ribos matematikoje egzistuoja jau seniai. Žinoma, jie nusipelno savo kompetentingo dizaino. Taigi laikas išmokti sekos ribų apibrėžimą. Pirmiausia išsamiai pažvelkime į tiesinės funkcijos ribą: Nesunku suprasti, kad sekos ribos apibrėžimą galima suformuluoti taip: tai yra tam tikras skaičius, prie kurio be galo artėja visi sekos nariai. Paprastas pavyzdys: a x = 4x+1. Tada pati seka atrodys taip. 5, 9, 13, 17, 21…x… Taigi ši seka didės neribotai, o tai reiškia, kad jos riba yra lygi begalybei kaip x→∞, ir ji turėtų būti parašyta taip: Jei imsime panašią seką, bet x linkęs į 1, gausime: O skaičių serija bus tokia: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 ir tt Kiekvieną kartą reikia pakeisti skaičių arčiau vieneto (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Iš šios serijos aišku, kad funkcijos riba yra penki. Iš šios dalies verta prisiminti, kokia yra skaitinės sekos riba, apibrėžimas ir paprastų uždavinių sprendimo būdas. Išnagrinėję skaičių sekos ribą, jos apibrėžimą ir pavyzdžius, galite pereiti prie sudėtingesnės temos. Absoliučiai visas sekų ribas galima suformuluoti viena formule, kuri dažniausiai analizuojama pirmame semestre. Taigi, ką reiškia šis raidžių, modulių ir nelygybės ženklų rinkinys? ∀ yra universalus kvantorius, pakeičiantis frazes „visiems“, „viskam“ ir kt. ∃ yra egzistencinis kvantorius, šiuo atveju tai reiškia, kad natūraliųjų skaičių aibei yra kokia nors reikšmė N. Ilga vertikali lazdelė po N reiškia, kad duotoji aibė N yra „tokia“. Praktiškai tai gali reikšti „toks“, „toks“ ir pan. Norėdami sustiprinti medžiagą, garsiai perskaitykite formulę. Aukščiau aptartas sekų ribos nustatymo metodas, nors ir paprastas naudoti, praktiškai nėra toks racionalus. Pabandykite rasti šios funkcijos ribą: Jei pakeisime skirtingas „x“ reikšmes (kiekvieną kartą didėjant: 10, 100, 1000 ir tt), tada skaitiklyje gauname ∞, bet vardiklyje ir ∞. Dėl to susidaro gana keista trupmena: Bet ar tikrai taip? Apskaičiuoti skaičių sekos ribą šiuo atveju atrodo gana paprasta. Galima būtų viską palikti taip, kaip yra, nes atsakymas yra paruoštas, o ir gautas protingomis sąlygomis, bet yra ir kitas būdas specialiai tokiems atvejams. Pirma, suraskime didžiausią trupmenos skaitiklio laipsnį - tai yra 1, nes x gali būti pavaizduotas kaip x 1. Dabar suraskime aukščiausią vardiklio laipsnį. Taip pat 1. Tiek skaitiklį, tiek vardiklį padalinkime iš kintamojo iki didžiausio laipsnio. Šiuo atveju trupmeną padalinkite iš x 1. Toliau išsiaiškinsime, kokią reikšmę turi kiekvienas terminas, turintis kintamąjį. Šiuo atveju atsižvelgiama į trupmenas. Kaip x→∞, kiekvienos trupmenos reikšmė linkusi į nulį. Pateikdami savo darbą raštu, turėtumėte padaryti šias išnašas: Dėl to gaunama tokia išraiška: Žinoma, trupmenos, kuriose yra x, netapo nuliais! Tačiau jų vertė yra tokia maža, kad visiškai leistina į tai neatsižvelgti atliekant skaičiavimus. Tiesą sakant, šiuo atveju x niekada nebus lygus 0, nes negalima dalyti iš nulio. Tarkime, kad profesorius turi sudėtingą seką, kurią, be abejo, pateikia tokia pat sudėtinga formulė. Profesorius rado atsakymą, bet ar jis teisingas? Juk visi žmonės klysta. Auguste'as Cauchy kartą sugalvojo puikų būdą įrodyti sekų ribas. Jo metodas buvo vadinamas kaimynystės manipuliacija. Tarkime, kad yra tam tikras taškas a, jo kaimynystė abiem kryptimis skaičių tiesėje yra lygi ε („epsilon“). Kadangi paskutinis kintamasis yra atstumas, jo reikšmė visada yra teigiama. Dabar apibrėžkime kokią nors seką x n ir tarkime, kad dešimtasis sekos narys (x 10) yra įtrauktas į a kaimynystę. Kaip mes galime parašyti šį faktą matematine kalba? Tarkime, kad x 10 yra taško a dešinėje, tada atstumas x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Dabar atėjo laikas praktiškai paaiškinti aukščiau aptartą formulę. Tikslinga tam tikrą skaičių a vadinti sekos pabaigos tašku, jei bet kuriai iš jos ribų galioja nelygybė ε>0, o visa kaimynystė turi savo natūraliąjį skaičių N, todėl visi sekos nariai, turintys didesnius skaičius būti sekoje |x n - a|< ε. Turint tokias žinias, nesunku išspręsti sekos ribas ir įrodyti arba paneigti jau paruoštą atsakymą. Teoremos apie sekų ribas yra svarbi teorijos dalis, be kurios neįmanoma praktika. Yra tik keturios pagrindinės teoremos, kurias prisiminus sprendimas ar įrodymas gali būti daug lengvesnis: Kartais reikia išspręsti atvirkštinę problemą, įrodyti tam tikrą skaičių sekos ribą. Pažiūrėkime į pavyzdį. Įrodykite, kad formulės nurodytos sekos riba lygi nuliui. Pagal aukščiau aptartą taisyklę bet kuriai sekai nelygybė |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Išreikškime n per „epsilon“, kad parodytume tam tikro skaičiaus egzistavimą ir įrodytume sekos ribos buvimą. Šiuo metu svarbu atsiminti, kad „epsilon“ ir „en“ yra teigiami skaičiai ir nėra lygūs nuliui. Dabar galima tęsti tolimesnes transformacijas pasinaudojant vidurinėje mokykloje įgytomis žiniomis apie nelygybę. Kaip išeina, kad n > -3 + 1/ε. Kadangi verta prisiminti, kad kalbame apie natūraliuosius skaičius, rezultatą galima suapvalinti įdėjus jį laužtiniuose skliaustuose. Taigi buvo įrodyta, kad bet kuriai taško a = 0 „epsilono“ kaimynystės reikšmei buvo rasta tokia reikšmė, kuri tenkina pradinę nelygybę. Iš čia galime drąsiai teigti, kad skaičius a yra tam tikros sekos riba. Q.E.D. Šis patogus metodas gali būti naudojamas norint įrodyti skaitinės sekos ribą, kad ir kokia sudėtinga ji būtų iš pirmo žvilgsnio. Svarbiausia nepanikuoti matant užduotį. Konsistencijos ribos egzistavimas praktiškai nėra būtinas. Galite lengvai susidurti su skaičių serijomis, kurios iš tikrųjų neturi pabaigos. Pavyzdžiui, ta pati „mirksi lemputė“ x n = (-1) n. akivaizdu, kad seka, susidedanti tik iš dviejų skaitmenų, kartojama cikliškai, negali turėti ribos. Ta pati istorija kartojama su sekomis, susidedančiomis iš vieno skaičiaus, trupmeninių, turinčių bet kokios eilės neapibrėžtį skaičiuojant (0/0, ∞/∞, ∞/0 ir kt.). Tačiau reikia atsiminti, kad pasitaiko ir neteisingų skaičiavimų. Kartais dar kartą patikrinę savo sprendimą padėsite rasti sekos ribą. Keli sekų pavyzdžiai ir jų sprendimo būdai buvo aptarti aukščiau, o dabar pabandykime paimti konkretesnį atvejį ir pavadinti jį „monotonine seka“. Apibrėžimas: bet kurią seką galima teisingai vadinti monotoniškai didėjančia, jei jai galioja griežta nelygybė x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Kartu su šiomis dviem sąlygomis egzistuoja ir panašios negriežtos nelygybės. Atitinkamai, x n ≤ x n +1 (nemažėjanti seka) ir x n ≥ x n +1 (nedidėjanti seka). Bet tai lengviau suprasti naudojant pavyzdžius. Seka, pateikta formule x n = 2+n, sudaro tokią skaičių seką: 4, 5, 6 ir tt Tai monotoniškai didėjanti seka. Ir jei imsime x n =1/n, gausime seką: 1/3, ¼, 1/5 ir tt Tai monotoniškai mažėjanti seka. Apribota seka yra seka, kuri turi ribą. Konvergentinė seka yra skaičių serija, turinti be galo mažą ribą. Taigi apribotos sekos riba yra bet koks realusis arba kompleksinis skaičius. Atminkite, kad gali būti tik viena riba. Konvergencinės sekos riba yra be galo mažas (tikrasis arba kompleksinis) dydis. Jei nubraižote sekos diagramą, tam tikru momentu ji atrodys suartėjusi, linkusi virsti tam tikra verte. Iš čia ir kilo pavadinimas – konvergentinė seka. Tokia seka gali būti ribojama arba ne. Pirma, naudinga suprasti, kada ji egzistuoja, nuo čia galite pradėti įrodydami, kad nėra ribos. Tarp monotoninių sekų išskiriamos konvergentinės ir divergentinės. Konvergentinė yra seka, sudaryta iš aibės x ir turinti realią arba kompleksinę ribą šioje aibėje. Skirtinga yra seka, kurios aibėje nėra ribų (nei tikroji, nei sudėtinga). Be to, seka susilieja, jei geometrinėje vaizde jos viršutinė ir apatinė ribos susilieja. Konvergencinės sekos riba daugeliu atvejų gali būti lygi nuliui, nes bet kuri be galo maža seka turi žinomą ribą (nulis). Kad ir kokią konvergencinę seką imtumėte, jos visos yra ribotos, bet ne visos apribotos sekos susilieja. Dviejų konvergencinių sekų suma, skirtumas, sandauga taip pat yra konvergentinė seka. Tačiau koeficientas taip pat gali būti konvergentinis, jei jis yra apibrėžtas! Sekos ribos yra tokios pat reikšmingos (dažniausiai) kaip skaitmenys ir skaičiai: 1, 2, 15, 24, 362 ir tt Pasirodo, kai kurias operacijas galima atlikti ir su ribomis. Pirma, kaip ir skaičiai ir skaičiai, bet kurios sekos ribas galima sudėti ir atimti. Remiantis trečiąja teorema apie sekų ribas, galioja tokia lygybė: sekų sumos riba lygi jų ribų sumai. Antra, remiantis ketvirtąja teorema apie sekų ribas, yra teisinga tokia lygybė: n-ojo sekų skaičiaus sandaugos riba yra lygi jų ribų sandaugai. Tas pats pasakytina ir apie padalijimą: dviejų sekų dalinio riba yra lygi jų ribų daliniui, jei riba nėra nulis. Juk jei sekų riba lygi nuliui, tai bus dalijimas iš nulio, o tai neįmanoma. Atrodytų, kad skaitinės sekos riba jau buvo gana išsamiai aptarta, tačiau tokios frazės kaip „be galo maži“ ir „be galo dideli“ skaičiai minimos ne kartą. Akivaizdu, kad jei yra seka 1/x, kur x→∞, tai tokia trupmena yra be galo maža, o jei ta pati seka, bet riba linkusi į nulį (x→0), tai trupmena tampa be galo didele reikšme. Ir tokie kiekiai turi savo ypatybes. Sekos, turinčios mažas ar dideles reikšmes, ribos savybės yra šios: Tiesą sakant, sekos ribos apskaičiavimas nėra tokia sudėtinga užduotis, jei žinote paprastą algoritmą. Tačiau nuoseklumo ribos – tema, reikalaujanti maksimalaus dėmesio ir užsispyrimo. Žinoma, pakanka tiesiog suvokti tokių posakių sprendimo esmę. Pradėję nuo mažo, laikui bėgant galite pasiekti didelių aukštumų.
Apibrėžimas
Susiję apibrėžimai
komentarai
Pavadinimai
Taip pat žr
Sinonimai
Knygos
Natūraliųjų skaičių klasės.
Natūraliųjų skaičių palyginimas.
Skaičių ir skaičių klasių lentelė.
Kas yra sekos ir kur yra jų riba?
Kaip sudaroma skaičių seka?
Aritmetinė progresija kaip sekų dalis
Sekų tipai
Sekos ribos nustatymas
Bendras sekų ribos žymėjimas
Neapibrėžtumas ir ribos tikrumas
Kas yra kaimynystė?
Teoremos
Sekų įrodymas
O gal jo nėra?
Monotoniška seka
Konvergencinės ir apribotos sekos riba
Monotoninės sekos riba
Įvairūs veiksmai su apribojimais
Sekos dydžių savybės
