Ostrogrado Hamiltono principas – kinematiniai triukai. Hamiltono-Ostrogradskio variacinis principas konfigūracijos ir fazių erdvėse

Trajektorijos, apibūdinančios mechaninių sistemų judesius išplėstinėje konfigūracijos ir fazių erdvėse, turi nepaprastą savybę – jos yra tam tikros variacinės problemos kraštutinumai ir veiksmo funkcinei funkcijai suteikia stacionarias vertes.

Panagrinėkime variacinės problemos formulavimą išplėstinėje konfigūracijos erdvėje R"*", kurių taškai yra aibės (q, (). Tegul kreivė y„ = ((q, t): q e Rt e, 5q(/0)= 8q(/,) = 0). Variantas 8q(/) yra savavališka C1 klasės funkcija, kuri išnyksta atkarpos = 0 galuose.

Pirmasis funkcionalumo variantas Sy kai y = y 0 pagal apibrėžimą yra lygus

o po integravimo dalimis įgauna formą

Išraiškoje (2.3) išnyksta išorinis terminas,

nes bq k (t 0) = bq k (t y) = 0, į - 1.....l, o išraiška yra kvadrate

skliausteliuose po integralo ženklu yra lygus nuliui, nes 0 yra reali trajektorija, atitinkanti Lagranžo lygtis (2.1). Todėl variacija 55(y 0) = 0. ?

Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei variacija 65(y*) = 0, kur y* priklauso žiedinių sankryžų trajektorijų klasei, tai y* = y 0 yra reali trajektorija. Šio teiginio pagrįstumas išplaukia iš pirmosios variacijos (2.3) išraiškos ir pagrindinės variacijų skaičiavimo lemos. Šiuo atveju nuo pirmojo varianto lygybės iki nulio

ir variacijų nuo 6 iki - 1 nepriklausomumas, ..., antros rūšies Lagranžo lygčių galiojimas

l, iš to išplaukia, kad tai tiesa

Kada q k = q k *(t), k= 1.....l. Tai reiškia, kad y* yra tikroji mechaninės sistemos trajektorija.

3.1. Nekonservatyvios sistemos atveju neįmanoma nurodyti funkcinio, kurio stacionari vertė buvo pasiekta faktinėje trajektorijoje. Tačiau šiuo atveju šie teiginiai yra lygiaverčiai:

kur q(/) yra tikroji trajektorija. Pirmasis iš aukščiau pateiktų teiginių sudaro Hamiltono-Ostrogradskio variacinio principo turinį nekonservatyvioms sistemoms.

3.2. Galima parodyti, kad stacionari veiksmo funkcionalumo reikšmė yra minimali, jei skirtumas - / 0 yra pakankamai mažas. Ši aplinkybė siejama su kitu aptariamo principo pavadinimu – Hamiltono-Ostrogrado mažiausio veiksmo principu.

Aukščiau aptartą variacinę problemą galima suformuluoti išplėstinėje fazių erdvėje, kuri pasirodo esanti svarbi svarstant Hamiltono kanoninių lygčių integralumo klausimus. Pažymėkime Г = ((р + 6р. q + 8q, aš): p, q, 6p. 6q e R",te[r 0 , /,]. 5q(/ )= 8q(/|) = 0) kreivė išplėstinėje fazių erdvėje ir tegul esant 8p = 8q = 0 kreivė Г 0 yra kanoninių Hamiltono lygčių sistemos sprendimas

Visos laiko funkcijos priklauso C 1 klasei. Taigi buvo apibrėžta žiedinių sankryžų trajektorijų (G) šeima, kuriai priklauso tikroji trajektorija G 0 (46 pav.). Funkcinis veiksmas, atsižvelgiant į ryšį tarp Lagrange ir Hamilton funkcijų, įgauna formą

Čia trumpumui naudojamos raidės p, q vietoj raidžių p + 8p, q + 8q. Apskaičiavę funkcinės S[Г] kitimą realioje trajektorijoje, gauname

Integruodami dalimis, atsižvelgdami į ribines sąlygas, randame

Iš to seka, kad variacija 85|Г 0 1 = 0, jei p(/), q(f) tenkina kanonines Hamiltono lygtis (2.4), ir. priešingai, iš variacijų nepriklausomumo sąlygos 8p(r), pagal pagrindinę variacijų skaičiavimo lemą seka 6q(/) lygtys (2.4).

Taigi įrodytas mažiausio veikimo principo pagrįstumas sistemos fazių erdvėje: funkcinis veiksmas 5[Г], duotas žiedinių trajektorijų erdvėje (Г|. faktinėje trajektorijoje įgauna stacionarią reikšmę, t.y. 85[Г 0 1 = 0.

Ryžiai. 46

3.3. Konstruodami funkcinę (2.5), naudojome ryšį tarp Lagrange ir Hamilton funkcijų ir Legendre transformacijos p * = V^?. Vėliau kintamieji p ir q buvo laikomi nepriklausomais, o atvirkštinė Legendre transformacija buvo gauta iš veiksmo funkcinio stacionarumo. q = V p H o dinaminė lygtis p = -U Aš esu N.
3.4. Žiedinių sankryžų trajektorijų klasę galima susiaurinti įvedant sąlygas t): p, q, Sp, 6q e R n, 5q(/,)= 6p(/,) = 0, /" = 0, 1). Nesunku patikrinti, ar funkcinio veiksmo 5[Г*| stacionari reikšmė šioje žiedinių trajektorijų su fiksuotais galais erdvėje yra taip pat pasiekiamas dėl faktinio mechaninės sistemos judėjimo Šis teiginys sudaro mažiausio veiksmo principą Puankarė forma.

Stacionaraus veikimo principas – bendrasis integralas klasikinės mechanikos variacinis principas,įdiegė U.

Hamiltonas holoninėms sistemoms, kurias suvaržo idealūs stacionarūs ryšiai, o M. V. Ostrogradskis apibendrino nestacionariai geometrijai, ryšiams. Pasak G. - O.

turi stacionarią reikšmę, lyginant su panašiais kinematiskai įmanomais judesiais, kurių pradinė ir galutinė sistemos padėtis bei judėjimo laikas yra tokie patys kaip ir faktinio judėjimo. Čia T - kinetinis, U- potenciali energija, L-T-U Sistemos Lagrange funkcija. Kai kuriais atvejais tikrasis judėjimas atitinka ne tik nejudantį funkcinio tašką S, bet ir suteikia jam mažiausiai reikšmės. Todėl G. -O. n dažnai vadinamas mažiausio veiksmo principas. Esant nepotencialioms aktyvioms jėgoms F v veiksmo stacionarumo sąlyga d S = 0 pakeičiama sąlyga

Lit.: Hamilton W., Britų mokslo pažangos asociacijos ketvirtojo susirinkimo ataskaita, L., 1835, p. 513-18; Ostrogradsky M., "Mem. de 1" Akad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, t. 8, nr. 3, p. 33-48.

- tas pats, kas kanoninės mechanikos lygtys...
Fizinė enciklopedija
-), būdinga...
Fizinė enciklopedija
- Klasikinio variacijų skaičiavimo ir analitinio...
Matematinė enciklopedija
- nabla operatorius, C-operatorius, Hamiltono, - 1 eilės simbolinis diferencialinis operatorius, naudojamas pagrindinėms vektorinės analizės diferencialinėms operacijoms rašyti...
Matematinė enciklopedija
- kanoninės paprastosios 1 eilės diferencialinės lygtys, apibūdinančios holonominės mechaninės...
Matematinė enciklopedija
– Hamiltono – W. Hamiltono įdiegta funkcija, apibūdinanti mechaninių sistemų judesius...
Matematinė enciklopedija
- L i u v i l l y formulė - ryšys, jungiantis sprendinių sistemos Vronskį ir tiesinės paprastosios diferencialinės lygties koeficientus. Tegu x1, . . ...
Matematinė enciklopedija
- viena iš pagrindinių kvantinės mechanikos nuostatų, pagal kurią identiškos dalelės su pusės sveikojo skaičiaus sukiniu negali vienu metu būti toje pačioje būsenoje...
Šiuolaikinio gamtos mokslo pradžia
- grafikas, kuriame yra ciklas, apimantis visas viršūnes, po vieną, t.y. kurį galima apeiti...
- matematinės fizikos samprata, kvantinis mechaninis operatorius, apibūdinantis sistemos evoliuciją...
Lemo pasaulis – žodynas ir vadovas
- Simptomų, skirtų diferencijuoti depresines sąlygas, sąrašas. Skausmingi požymiai skirstomi į tris grupes: troškimų, nuotaikų ir autonominių sutrikimų patologijos simptomai...
- Asmenybės klausimynas, skirtas konstituciniam nerimui ir situaciniam nerimui nustatyti. Jame yra 14 simptomų grupių, susijusių su psichiniais ir somatiniais nerimo aspektais, sąrašas...
Aiškinamasis psichiatrijos terminų žodynas
- jungia trigubą integralą per tam tikrą tūrį su paviršiniu integralu per paviršių, ribojantį šį tūrį. Pasiūlė M. V. Ostrogradskis...
Gamtos mokslas. Enciklopedinis žodynas
- nabla operatorius, ∇-operatorius, diferencialinis operatorius formos, kur i, j, k yra koordinačių vienetų vektoriai. Pristatė W. R. Hamiltonas...
- metodas, skirtas išskirti neapibrėžto integralo racionaliąją dalį, kur Q yra n laipsnio daugianomas, turintis kelias šaknis, o P yra daugianomas, kurio laipsnis m ≤ n - 1...
Didžioji sovietinė enciklopedija
- formulė, nurodanti integralo, perimto tūrio Q, kurį riboja paviršius S, pavertimą integralu, perimtu per šį paviršių: ...
Didžioji sovietinė enciklopedija

„HAMILTONAS – OSTROGRADO PRINCIPAS“ knygose

11. (NP4) Ketvirtasis NP principas yra žmogaus (žmogaus visatos) principas arba visų galimybių principas

autorius Artamonovas Denisas

11. (NP4) Ketvirtasis NP principas – žmogaus (žmogaus visatos) principas arba visagalybės principas Ketvirtasis NP principas yra vienas svarbiausių šios knygos principų, nulemiančių mūsų santykį su savimi labiausiai. naudingas būdas. Principo atsiradimo poreikis

12. (NP5) Penktasis NP principas yra tobulėjimo arba visatos principas

Iš knygos „Kelionė į save“ (0,73) autorius Artamonovas Denisas

12. (NP5) Penktasis NP principas yra tobulėjimo arba visatos principas Penktasis principas yra loginis tęsinys – ketvirtojo principo papildymas. Jos pagalba norėčiau nubrėžti tam tikrą paralelę tarp tikslo, pačios Visatos prasmės ir mūsų veiklos

HAMILTONO VAIDMUO KURIANT VARIACINIUS MECHANIKOS PRINCIPUS IR KETVARTINIŲ TEORIJĄ

autorius Grigorjanas Ašotas Tigranovičius

HAMILTONO VAIDMUO KURIANT KINTAMOSIUS MECHANIKOS PRINCIPUS IR KETVARTINIŲ TEORIJĄ Viljamas Rovanas Hamiltonas (1805–1865) buvo vienas ryškiausių savo laikų žmonių. Jau ankstyvaisiais metais jis stebino aplinkinius savo išskirtiniais, įvairiais gebėjimais. Per ketverius metus

OSTROGRADSKY DARBAI APIE MECHANIKĄ

Iš knygos „Mechanika nuo senovės iki šių dienų“. autorius Grigorjanas Ašotas Tigranovičius

OSTROGRADSKIO DARBAI APIE MECHANIKĄ Per beveik keturiasdešimt savo mokslinės veiklos metų Michailas Vasiljevičius Ostrogradskis (1801-1861) sukūrė nemažai vertingų darbų apie pagrindines mechanikos problemas. Jis atsakingas už aukščiausios klasės lygčių integravimo metodų tyrimus

Čerčilio Vinstono dienoraščiai ir laiškai C Chirchill Winston S Iano Hamiltono žygis

Iš Iano Hamiltono knygos Žygiavimas autorius Churchillis Winstonas Spenceris

Čerčilio Vinstono dienoraščiai ir laiškai S Chirchill Winston S Iano Hamiltono maršas Anglų leidyklos pratarmė Šiame tome yra pirmosios keturios sero Winstono Churchillio parašytos knygos. Jas teko šiek tiek patrumpinti, kad tilptų į vieną tomą, bet tikimės, kad taip

56. A. HAMILTONO POLITINĖS IR TEISINĖS PAŽIŪROS

Iš knygos „Cheat sheet“ apie politinių ir teisinių doktrinų istoriją autorius Chalinas Konstantinas Jevgenievičius

56. A. HAMILTONO POLITINĖS IR TEISINĖS PAŽIŪROS Pripažintas federalistų lyderis Aleksandras Hamiltonas (1757–1804) buvo išskirtinis plataus masto ir pasaulėžiūros valstybės veikėjas, gilių konstitucinės teorijos ir praktikos galios raidų autorius ir energingas gynėjas

§ 4. A. Hamiltono ir federalistų požiūris į valstybę ir teisę

Iš knygos Politinių ir teisės doktrinų istorija. Vadovėlis / Red. Teisės mokslų daktaras, profesorius O. E. Leist. autorius Autorių komanda

§ 4. A. Hamiltono ir federalistų pažiūros į valstybę ir teisę Aleksandras Hamiltonas (1757-1804) buvo viena ryškiausių JAV kūrimosi politinių veikėjų, kurios teorinės pažiūros ir praktinė veikla turėjo lemiamos įtakos

165. Hamiltono skalikas (Hamiltonstevare)

Iš knygos „Šuns enciklopedija“. Medžiokliniai šunys Pugnetti Gino

165. HAMILTONO SKALYKAS (Hamiltonstevare) Kilmė. Veislė pavadinta ją išvedusio asmens vardu. Šunų veisėjui A. P. Hamiltonui pavyko sukurti šią veislę sukryžminus fokshaundą su Hanoverio, Holšteino ir Kuršų skalikais. Tvirtas, stiprus, geras

Hamiltono operatorius

Iš autoriaus knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (GA). TSB

Ostrogradskio metodas

TSB

Ostrogradskio formulė

Iš autoriaus knygos Didžioji sovietinė enciklopedija (OS). TSB

Emma HAMILTON (1761?-1815), britų diplomato Williamo Hamiltono žmona, admirolo Horatio Nelsono meilužė

Iš knygos Išskirtinių moterų mintys, aforizmai ir anekdotai autorius Dušenko Konstantinas Vasiljevičius

Emma HAMILTON (1761?-1815), britų diplomato Williamo Hamiltono žmona, Admirolo Horatio Nelsono meilužė Žvilgsnis iš išorės Ji nebando užkariauti širdžių – jos jau visos. Apžvalga iš šiuolaikinio vokiečio Jei nebuvai vedęs ir radau tave po krūmu, aš

83. A. Hamiltono požiūris į valstybę ir teisę

Iš knygos Politinių ir teisės doktrinų istorija. Apgaulės lapeliai autorius Knyazeva Svetlana Aleksandrovna

83. A. Hamiltono pažiūros į valstybę ir teisę Aleksandras Hamiltonas (1757–1804) buvo viena ryškiausių politinių veikėjų JAV įkūrimo metu. Jo teorinės pažiūros ir praktinė veikla turėjo didelės įtakos JAV Konstitucijos turiniui

Viktoro M. Hamiltono byla

Iš knygos Slaptas įsiskverbimas. Sovietinės žvalgybos paslaptys autorius Pavlovas Vitalijus Grigorjevičius

Viktoro M. Hamiltono atvejis Trumpai, buvusio NSA darbuotojo V. Hamiltono įdarbinimas, kaip tapo žinoma pasaulio bendruomenei, susiveda į šiuos faktus 1963 m. viduryje Maskvoje pasirodė buvęs NSA kriptoanalitikas laikraščio Izvestija puslapius

Hamiltono skalikas

Iš knygos Hounds autorius Maskajeva Julija Vladimirovna

Hamiltono skalikas Veislė turi kitą pavadinimą - "Hamilton Stevare". Iškeltas XIX a. Švedijoje Earl Hamilton, Švedijos veislyno klubo įkūrėjas, sukryžminus anglų fokshaundą ir vokiečių skalikus. Hamiltono skalikas nurodo

Jie jam paklūsta, todėl šis principas yra viena iš pagrindinių šiuolaikinės fizikos nuostatų. Jo pagalba gautos judesio lygtys vadinamos Eulerio-Lagranžo lygtimis.

Pirmąją principo formuluotę metais pateikė P. Maupertuis, iš karto nurodydamas jo universalumą, laikydamas jį taikytinu optikai ir mechanikai. Iš šio principo jis išvedė šviesos atspindžio ir lūžio dėsnius.

Istorija

Maupertuis priėjo prie šio principo iš jausmo, kad Visatos tobulumas reikalauja tam tikros gamtos ekonomijos ir prieštarauja bet kokioms nenaudingoms energijos sąnaudoms. Natūralus judėjimas turi būti toks, kad tam tikras kiekis būtų minimalus. Jam tereikėjo surasti šią vertę, ką jis ir toliau darė. Tai buvo judėjimo sistemoje trukmės (laiko) sandauga dvigubai didesne už vertę, kurią dabar vadiname sistemos kinetine energija.

Euleris (in „Réflexions sur quelques loix générales de la nature“, 1748) taiko mažiausio veiksmo principą, veiksmą vadindamas „pastangomis“. Jo išraiška statikoje atitinka tai, ką dabar vadiname potencialia energija, todėl jos teiginys apie mažiausią poveikį statikoje yra lygiavertis pusiausvyros konfigūracijos minimaliai potencialiai energijai.

Klasikinėje mechanikoje

Mažiausio veiksmo principas yra pagrindinis ir standartinis Lagrango ir Hamiltono mechanikos formuluočių pagrindas.

Pirmiausia pažvelkime į konstrukciją taip: Lagranžo mechanika. Naudodamiesi fizinės sistemos su vienu laisvės laipsniu pavyzdžiu, prisiminkite, kad veiksmas yra funkcinis (apibendrintų) koordinačių atžvilgiu (vieno laisvės laipsnio atveju - viena koordinatė), tai yra, jis išreiškiamas taip, kad kiekviena įsivaizduojama funkcijos versija yra susieta su tam tikru skaičiumi – veiksmu (šia prasme galime sakyti, kad veiksmas kaip funkcinis yra taisyklė, leidžianti bet kuriai funkcijai apskaičiuoti tiksliai apibrėžtą skaičių – dar vadinamą veiksmas). Veiksmas atrodo taip:

kur yra sistemos Lagranžo, priklausomai nuo apibendrintos koordinatės, jos pirmoji išvestinė laiko atžvilgiu ir, galbūt, aiškiai laiko atžvilgiu. Jei sistema turi didesnį laisvės laipsnių skaičių, tai Lagranžo priklauso nuo didesnio skaičiaus apibendrintų koordinačių ir jų pirmųjų išvestinių laiko atžvilgiu. Taigi veiksmas yra skaliarinis funkcinis, priklausantis nuo kūno trajektorijos.

Tai, kad veiksmas yra skaliarinis, leidžia lengvai jį įrašyti bet kokiomis apibendrintomis koordinatėmis, svarbiausia, kad sistemos padėtis (konfigūracija) būtų vienareikšmiškai apibūdinta jomis (pavyzdžiui, vietoj Dekarto koordinačių jos gali būti polinės koordinates, atstumus tarp sistemos taškų, kampus ar jų funkcijas ir kt. .d.).

Veiksmą galima apskaičiuoti visiškai savavališkai trajektorijai, kad ir kokia ji būtų „laukinė“ ir „nenatūrali“. Tačiau klasikinėje mechanikoje tarp visų galimų trajektorijų rinkinio yra tik viena, kuria kūnas iš tikrųjų eis. Stacionaraus veikimo principas tiksliai atsako į klausimą, kaip kūnas iš tikrųjų judės:

Tai reiškia, kad jei yra pateiktas sistemos Lagranžo, tada naudodamiesi variacijų skaičiavimu galime tiksliai nustatyti, kaip kūnas judės, pirmiausia gaudami judėjimo lygtis - Eulerio-Lagranžo lygtis, o tada jas išspręsdami. Tai leidžia ne tik rimtai apibendrinti mechanikos formuluotę, bet ir parinkti kiekvienam konkrečiam uždaviniui patogiausias koordinates, neapsiribojant Dekartinėmis, kurios gali labai praversti gaunant paprasčiausias ir lengviausiai išsprendžiamas lygtis.

kur yra šios sistemos Hamiltono funkcija; - (apibendrintos) koordinatės, - konjuguoti (apibendrinti) impulsai, kurie kartu apibūdina dinaminę sistemos būseną kiekvienu konkrečiu laiko momentu ir kiekviena yra laiko funkcija, taip charakterizuojanti sistemos evoliuciją (judesį). Šiuo atveju, norint gauti sistemos judėjimo lygtis Hamiltono kanoninių lygčių pavidalu, reikia taip parašytą veiksmą varijuoti nepriklausomai visiems ir .

Pažymėtina, kad jei iš problemos sąlygų iš esmės įmanoma rasti judėjimo dėsnį, tai automatiškai Ne reiškia, kad galima sukurti funkcinę funkciją, kuri tikrojo judėjimo metu įgauna stacionarią vertę. Pavyzdys – bendras elektros krūvių ir monopolių – magnetinių krūvių – judėjimas elektromagnetiniame lauke. Jų judėjimo lygčių negalima išvesti iš stacionaraus veikimo principo. Taip pat kai kurios Hamiltono sistemos turi judėjimo lygtis, kurių negalima išvesti iš šio principo.

Pavyzdžiai

Trivialūs pavyzdžiai padeda įvertinti veikimo principo panaudojimą per Eulerio-Lagranžo lygtis. Laisvoji dalelė (masė m ir greitis v) Euklido erdvėje juda tiesia linija. Naudojant Eulerio-Lagrange lygtis, tai galima parodyti polinėmis koordinatėmis taip. Nesant potencialo, Lagranžo funkcija tiesiog lygi kinetinei energijai

stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Poliarinėse koordinatėse tampa kinetinė energija, taigi ir Lagranžo funkcija

Radialinis ir kampinis lygčių komponentai tampa atitinkamai:

Šių dviejų lygčių sprendimas

Čia yra sąlyginis žymėjimas be galo daugybei funkcinių integracijų per visas trajektorijas x(t) ir yra Plancko konstanta. Pabrėžiame, kad iš principo veiksmas eksponente pasirodo (arba gali pasirodyti) pats tiriant kvantinės mechanikos evoliucijos operatorių, tačiau sistemoms, kurios turi tikslų klasikinį (nekvantinį) analogą, jis yra tiksliai lygus įprastam. klasikinis veiksmas.

Matematinė šios išraiškos analizė klasikinėje riboje - esant pakankamai dideliems , tai yra labai greitiems įsivaizduojamo eksponento svyravimams - rodo, kad didžioji dauguma visų galimų šio integralo trajektorijų panaikina viena kitą riboje (formaliai ). Beveik bet kuriame kelyje yra kelias, kuriame fazių poslinkis bus visiškai priešingas, o jų įnašas bus lygus nuliui. Tik tos trajektorijos, kurių veiksmas artimas kraštutinei vertei (daugumai sistemų – iki minimumo), nesumažėja. Tai yra grynai matematinis faktas iš sudėtingo kintamojo funkcijų teorijos; Pavyzdžiui, juo remiasi stacionarios fazės metodas.

Dėl to dalelė, visiškai suderindama su kvantinės mechanikos dėsniais, vienu metu juda visomis trajektorijomis, tačiau normaliomis sąlygomis prie stebimų verčių prisideda tik trajektorijos, artimos stacionariai (tai yra klasikinei). Kadangi kvantinė mechanika virsta klasikine mechanika didelių energijų ribose, galime manyti, kad tai yra klasikinio veikimo stacionarumo principo kvantinis mechaninis darinys.

Kvantinio lauko teorijoje

Kvantinio lauko teorijoje sėkmingai taikomas ir stacionaraus veikimo principas. Lagrango tankis čia apima atitinkamų kvantinių laukų operatorius. Nors čia teisingiau iš esmės (išskyrus klasikinę ribą ir iš dalies kvaziklasiką) kalbėti ne apie veiksmo stacionarumo principą, o apie Feynmano integraciją pagal trajektorijas šių laukų konfigūracijos ar fazių erdvėje - naudojant ką tik minėtas Lagranžo tankis.

Tolimesni apibendrinimai

Žvelgiant plačiau, veiksmas suprantamas kaip funkcinis, apibrėžiantis konfigūracijos erdvės atvaizdavimą realiųjų skaičių aibėje ir apskritai jis nebūtinai turi būti integralas, nes nelokalūs veiksmai iš principo galimi, bent jau. teoriškai. Be to, konfigūracijos erdvė nebūtinai yra funkcijų erdvė, nes ji gali turėti nekomutacinę geometriją.

Idėja, kuria grindžiami visi integraliniai ir kai kurie diferencialiniai principai, yra nuostata, kad tikrasis mechaninės sistemos judėjimas tam tikram fiziniam dydžiui suteikia kraštutinumą. Norint matematiškai suformuluoti šią poziciją, būtina, kaip ir anksčiau, kartu su realiu judesiu atsižvelgti į įsivaizduojamų judesių rinkinį, pajungiant juos tiksliai apibrėžtiems reikalavimams.

Integralų principų formulavimas atliekamas konfigūracijos erdvėje. Prisiminkite, kad sistemos su laisvės laipsniais apibendrintos koordinatės
, apibrėžiantis sistemos konfigūraciją tam tikru momentu , yra laikomos Dekarto koordinatėmis atitinkamoje -dimensinė erdvė, kuri yra konfigūracijos erdvė. Laikui bėgant mechaninės sistemos būsena kinta ir šią sistemą vaizduojantis taškas apibūdina tam tikrą kreivę. Sistemos judėjimą patogu laikyti reprezentuojančio taško judėjimu šia kreive. Laikas su šiuo aspektu yra parametras, ir kiekvienas trajektorijos taškas atitiks vieną ar daugiau reikšmių .

Jei mus domina sistemos padėtis konfigūracijos trajektorijoje kiekvieną akimirką , tada reikia pridėti kitą ašį
. Tada gausime nagrinėjamos sistemos judėjimo „daugiamatį grafiką“. Taip pat galima tirti daugiamačio grafiko projekcijas tam tikrose plokštumose, tarkime (2.7 pav.). Nuotraukoje A, B yra reprezentuojančio taško projekcijos momentais Ir Atitinkamai, ištisinė linija vaizduoja tikrąjį, punktyrinė – vieną iš įsivaizduojamų judesių.

Integralinis principas yra teiginys apie tai, kaip realus sistemos judėjimas vyksta per ribotą (ne be galo mažą!) laikotarpį.
. Kas buvo su sistema iki to laiko , mums neįdomu. Tačiau kol yra fiksuoti pradiniai ir galutiniai laiko momentai, manoma, kad mechaninė sistema su visais įmanomais judesiais laiko momentu eina per tašką A, šiuo metu - IN; šie taškai atitinka pradinę ir galutinę sistemos padėtis jos realiame judėjime.

Bendriausia pozicijos dėl mechaninių sistemų judėjimo formuluotė yra vadinamame mažiausio veiksmo principu (jis taip pat vadinamas Hamiltono-Ostrogradskio principu):

Realus mechaninės sistemos judėjimas laiko intervalu nuoįtaip, kad integralas, vadinamas veiksmo funkcija ir lygus

, (60.7)

Kur
-- tam tikros mechaninės sistemos Lagrandženas turi ekstremumą (minimumą). Kintamasis tai nesiskiria.

Kitaip tariant, realaus judėjimo metu veiksmo kitimas turėtų būti lygus nuliui

(61.7)

su sąlyga, kad visos konfigūracijos trajektorijos kartais Ir pereiti per tikrojo judėjimo pradžios ir pabaigos taškus, t.y.

Šis principas, priešingai nei D'Alemberto diferencialinis principas, yra vientisas ta prasme, kad jame yra teiginys apie visos sistemos judėjimą per ribotą laikotarpį.
. Tiesą sakant, iš jo išplaukia Lagranžo lygtys, taigi iš mažiausio veiksmo principo, galima sakyti, gaunama visa mechaninės sistemos dinamika.

Tegul funkcijos
, apibūdinti tikrą judėjimą, t.y.
– tas funkcijas, kurioms turi minimumą. Panagrinėkime funkcijų rinkinį
Kur
- funkcijų variacijos
, kurios laikomos mažomis, palyginti su
per visą laiko intervalą nuo į . Be to, viskas
patenkinti santykius (62,7). Apskaičiuokime vadinamąjį pirmąjį variantą , turint omenyje, kad Lagrange funkcija gali priklausyti nuo apibendrintų koordinačių , apibendrintas greitis
, ir laikas :

Nes
, antra kadencija m
galima integruoti dalimis ir gauti

Dėl sąlygų (62,7), suma

išnyksta, o likęs integralas bus lygus nuliui savavališkoms reikšmėms
tik tada, kai kiekvienas integrando sumos narys eina į nulį. Taigi gauname 2-osios rūšies Lagranžo lygtis

. (63.7)

Pravartu prisiminti, kad išsprendus funkcijos ekstremumo uždavinį, gaunama baigtinių lygčių sistema, iš kurios randamas taškas, kuriame funkcija pasiekia ekstremaliąją reikšmę. Šiuo atveju mes susiduriame su funkcine, ekstremumo uždavinio sprendimu, kurį pateikia 2 eilės diferencialinių lygčių sistema. Iš šių lygčių konfigūracijos erdvėje randama eilutė, apibrėžta funkcijomis
, kai funkcionalumas pasiekia minimumą. Ši linija vadinama ekstremalia.

Kadangi konkretaus mechaninio modelio konstravimo uždavinys yra sudaryti judėjimo lygtis, matome, kad iš tikrųjų sistemos dinamiką lemia viena funkcija - Lagranžo, nes būtent ši funkcija išsprendžia problemą. Taigi sistemos Lagranžas yra įdomus fizinis objektas, kurio tyrimas yra būtinas sprendžiant dinamikos problemas. Visų pirma iš mažiausio veiksmo principo aišku, kad funkcija apibrėžiamas tik nepridedant visos savavališkos koordinačių ir laiko funkcijos išvestinės. Tai turi būti suprantama taip: sistema, apibrėžta jos judėjimo lygtimis, atitinka daugiau nei vieną Lagrange funkciją . Tikrai, tegul būna
susiję su santykis

(64.7)

Bet, kadangi
,

ir todėl Lagranžo lygtys, gautos naudojant funkcijas Ir
, yra vienodi. Formos (64.7) Lagranžo funkcijos apibrėžimo dviprasmiškumas neturi įtakos judėjimo lygtims, tačiau kiekviena
iš klasės (64.7) išsprendžia sistemos dinamikos konstravimo unikaliai problemą.

Svarbi Lagranžo lygčių sistemos savybė yra jų kovariacija. Tai reiškia, kad Lagranžo lygtys išlaiko savo formą atliekant taškines apibendrintų koordinačių transformacijas 4

y. naudojant apibendrintas koordinates Lagranžo lygtys bus tokios pačios formos:

kaip ir naudojant apibendrintas koordinates :

Tiesiogiai įrodykime, kad Lagranžo lygtys yra kovariantinės transformuojant (65.7). Pastatykime
:

ir dariniai

HAMILTONAS – OSTROGRADO PRINCIPAS

Stacionaraus veikimo principas – bendrasis integralas klasikinės mechanikos variacinis principas,įdiegė U.

Hamiltonas holoninėms sistemoms, kurias suvaržo idealūs stacionarūs ryšiai, o M. V. Ostrogradskis apibendrino nestacionarioms jungtims. Pasak G. - O.

turi stacionarią reikšmę, lyginant su panašiais kinematiskai įmanomais judesiais, kurių pradinė ir galutinė sistemos padėtis bei judėjimo laikas yra tokie patys kaip ir faktinio judėjimo. Čia T - kinetinis, U- potenciali energija, L-T-U Sistemos Lagrange funkcija. Kai kuriais atvejais tiesa atitinka ne tik stacionarų funkcinį tašką S, bet ir suteikia jam mažiausiai reikšmės. Todėl G. -O. n dažnai vadinamas mažiausio veiksmo principas. Esant nepotencialioms aktyvioms jėgoms F v veiksmo stacionarumo sąlyga d S = 0 pakeičiama sąlyga

V. V. Rumjantsevas.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija.

I. M. Vinogradovas.

1977–1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra "HAMILTON - OSTROGRAD PRINCIPAS" kituose žodynuose:

Fišerio principas yra evoliucinis modelis, paaiškinantis, kodėl gamtoje vyraujantis gyvų organizmų rūšių lyčių santykis yra maždaug 1:1; kuriame genai, skirti gaminti daugiau abiejų lyčių individų ... ... Vikipedija

Hamiltonas (taip pat tiesiog Hamiltono principas), tiksliau veiksmo stacionarumo principas, būdas gauti fizikinės sistemos judėjimo lygtis, ieškant stacionarios (dažnai kraštutinės, dažniausiai susijusios su nusistovėjusia tradicija... ..). Vikipedija

Bangos refrakcija pagal Huygensą ... Vikipedija Mokslo metodologijoje teigiama, kad bet kuri nauja mokslinė teorija, esant senai, gerai patikrintai teorijai, jai visiškai neprieštarauja, bet suteikia tokias pačias pasekmes tam tikru kraštutiniu aproksimavimu (ypatingu atveju). Pavyzdžiui, įstatymas... ... Vikipedija

Pontryagin diskretiškas maksimalus principas, skirtas laiko diskretiškiems valdymo procesams. Tokiam procesui baigtinio skirtumo operatorius gali neveikti, nors jo tęstiniam analogui, gautam baigtinio skirtumo operatorių pakeitus diferencialiniu... ... Matematinė enciklopedija

Arba Hamiltono principas mechanikoje ir matematinėje fizikoje padeda gauti diferencialines judesio lygtis. Šis principas galioja visoms materialioms sistemoms, kad ir kokioms jėgoms jos būtų veikiamos; Pirmiausia tai išreikšime tuo... Enciklopedinis žodynas F.A. Brockhausas ir I.A. Efronas

Kvantinis postulatas. mechanika, reikalaujanti jos fizinio sutapimo. pasekmės ribojančiu didelių kvantinių skaičių atveju su klasikinės rezultatais. teorijos. S. p. atskleidžiamas faktas, kad kvantinis. poveikis reikšmingas tik kalbant apie mikroobjektus, kai... ... Fizinė enciklopedija

Hamiltono variacijos principas - Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Hamiltono variacijos principas vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. Hamiltono variacinis principas, m pranc. principe variationnel d’Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas

- (bangų mechanika), teorija, nustatanti mikrodalelių (elementų, atomų, molekulių, atomų branduolių) ir jų sistemų (pavyzdžiui, kristalų) aprašymo metodą ir judėjimo dėsnius, taip pat santykį tarp dalelių charakterizuojančių dydžių ir sistemos, su fizinėmis dydžiai...... Enciklopedinis žodynas F.A. Brockhausas ir I.A. Efronas

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Veiksmas (fizika). Veiksmo dimensija L2MT−1 Veiksmas fizikoje yra skaliarinis fizikinis dydis, kuris yra ... Wikipedia

Knygos

Ekonominės sistemos judėjimo principai. Monografija, Kusneris Jurijus Semenovičius, Tsarevas Igoris Genadjevičius. Analitine forma pateikiamos pagrindinės ekonominės sistemos judėjimo lygtys ir išspręsta adekvačių jos judėjimo valdymo metodų radimo problema. Matematinis aparatas buvo naudojamas...