Kuriame išnagrinėjome paprasčiausias išvestis, taip pat susipažinome su diferencijavimo taisyklėmis ir kai kuriomis techninėmis išvestinių radimo technikomis. Taigi, jei nesate labai gerai susipažinę su funkcijų išvestiniais arba kai kurie šio straipsnio punktai nėra visiškai aiškūs, pirmiausia perskaitykite aukščiau pateiktą pamoką. Prašau nusiteikti rimtai – medžiaga nėra paprasta, bet vis tiek stengsiuosi ją pateikti paprastai ir aiškiai.
Praktikoje su kompleksinės funkcijos išvestine tenka susidurti labai dažnai, net sakyčiau, beveik visada, kai duodama užduotis surasti išvestines.
Mes žiūrime į lentelę su sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisykle (Nr. 5):
Išsiaiškinkime. Visų pirma, atkreipkime dėmesį į įrašą. Čia turime dvi funkcijas – ir , o funkcija, vaizdžiai tariant, yra įdėta į funkciją . Šio tipo funkcija (kai viena funkcija įdėta į kitą) vadinama sudėtinga funkcija.
Paskambinsiu funkcijai išorinė funkcija, ir funkcija – vidinė (arba įdėta) funkcija.
! Šie apibrėžimai nėra teoriniai ir neturėtų būti įtraukti į galutinį užduočių planą. Aš naudoju neformalius posakius „išorinė funkcija“, „vidinė“ funkcija tik tam, kad jums būtų lengviau suprasti medžiagą.
Norėdami išsiaiškinti situaciją, apsvarstykite:
1 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Po sinusu turime ne tik raidę „X“, bet ir visą išraišką, todėl išvestinę iš karto rasti nepavyks. Taip pat pastebime, kad čia neįmanoma taikyti pirmųjų keturių taisyklių, atrodo, kad yra skirtumas, tačiau faktas yra tas, kad sinuso negalima „suplėšyti į gabalus“:
Šiame pavyzdyje iš mano paaiškinimų jau intuityviai aišku, kad funkcija yra sudėtinga funkcija, o daugianomas yra vidinė funkcija (įterpimas) ir išorinė funkcija.
Pirmas žingsnis ką reikia padaryti ieškant sudėtingos funkcijos išvestinės suprasti, kuri funkcija yra vidinė, o kuri išorinė.
Paprastų pavyzdžių atveju atrodo aišku, kad polinomas yra įterptas po sinusu. Bet ką daryti, jei viskas nėra akivaizdu? Kaip tiksliai nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė? Norėdami tai padaryti, siūlau naudoti šią techniką, kurią galima atlikti mintyse arba juodraštyje.
Įsivaizduokime, kad reiškinio reikšmei apskaičiuoti reikia naudoti skaičiuotuvą (vietoj vieneto gali būti bet koks skaičius).
Ką pirmiausia skaičiuosime? Visų pirma turėsite atlikti šį veiksmą: , todėl daugianomas bus vidinė funkcija: 
Antra reikės rasti, taigi sinusas – bus išorinė funkcija: 
Po mūsų IŠPARDUOTA naudojant vidines ir išorines funkcijas, laikas taikyti sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę 
.
Pradėkime spręsti. Iš pamokos Kaip rasti išvestinę priemonę? prisimename, kad bet kurios išvestinės sprendinio kūrimas visada prasideda taip – išraišką įdedame skliausteliuose, o viršuje dešinėje darome brūkšnį:
Iš pradžių randame išorinės funkcijos išvestinę (sinusą), pažiūrime į elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę ir pastebime, kad . Visos lentelės formulės taip pat taikomos, jei „x“ pakeičiamas sudėtinga išraiška, šiuo atveju:
Atkreipkite dėmesį, kad vidinė funkcija nepasikeitė, mes jo neliečiame.
Na, tai gana akivaizdu
Formulės taikymo rezultatas 
galutine forma jis atrodo taip:
Pastovus koeficientas paprastai dedamas išraiškos pradžioje:
Jei kyla nesusipratimų, užrašykite sprendimą ant popieriaus ir dar kartą perskaitykite paaiškinimus.
2 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
3 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Kaip visada, užrašome: 
Išsiaiškinkime, kur turime išorinę funkciją, o kur – vidinę. Norėdami tai padaryti, bandome (protiškai arba juodraštyje) apskaičiuoti išraiškos reikšmę . Ką daryti pirmiausia? Visų pirma, reikia apskaičiuoti, kam lygi bazė: todėl daugianomas yra vidinė funkcija: 
Ir tik tada atliekamas eksponentas, todėl galios funkcija yra išorinė funkcija: 
Pagal formulę 
, pirmiausia reikia rasti išorinės funkcijos išvestinę, šiuo atveju laipsnį. Lentelėje ieškome reikiamos formulės: . Dar kartą kartojame: bet kuri lentelės formulė galioja ne tik „X“, bet ir sudėtingai išraiškai. Taigi sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės taikymo rezultatas 
kitas:
Dar kartą pabrėžiu, kad imant išorinės funkcijos išvestinę, mūsų vidinė funkcija nesikeičia: 
Dabar belieka rasti labai paprastą vidinės funkcijos išvestinį ir šiek tiek pakoreguoti rezultatą:
4 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).
Norėdami sustiprinti supratimą apie sudėtingos funkcijos išvestinę, pateiksiu pavyzdį be komentarų, pabandykite tai išsiaiškinti patys, pamąstykite, kur yra išorinė, o kur vidinė funkcija, kodėl užduotys sprendžiamos taip?
5 pavyzdys
a) Raskite funkcijos išvestinę
b) Raskite funkcijos išvestinę
6 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę 
Čia mes turime šaknį, o norint atskirti šaknį, ji turi būti vaizduojama kaip galia. Taigi pirmiausia pateikiame funkciją į diferencijavimui tinkamą formą:
Analizuodami funkciją, darome išvadą, kad trijų narių suma yra vidinė funkcija, o pakėlimas į laipsnį yra išorinė funkcija. Taikome sudėtingų funkcijų diferenciacijos taisyklę 
:
Laipsnį vėl pavaizduojame kaip radikalą (šaknį), o vidinės funkcijos išvestinei taikome paprastą sumos diferencijavimo taisyklę:
Paruošta. Taip pat galite sumažinti išraišką iki bendro vardiklio skliausteliuose ir užrašyti viską kaip vieną trupmeną. Žinoma, gražu, bet kai gaunate gremėzdiškus ilgus darinius, geriau to nedaryti (lengva susipainioti, padaryti nereikalingą klaidą ir mokytojui bus nepatogu patikrinti).
7 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).
Įdomu pastebėti, kad kartais vietoj sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės galite naudoti koeficiento diferencijavimo taisyklę 
, tačiau toks sprendimas atrodys kaip neįprastas iškrypimas. Štai tipiškas pavyzdys:
8 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Čia galite naudoti koeficiento diferenciacijos taisyklę 
, tačiau daug pelningiau išvestinę rasti taikant sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:
Paruošiame funkciją diferencijuoti - iš išvestinio ženklo iškeliame minusą, o kosinusą keliame į skaitiklį:
Kosinusas yra vidinė funkcija, eksponencija yra išorinė funkcija.
Pasinaudokime savo taisykle 
:
Randame vidinės funkcijos išvestinę ir iš naujo nustatome kosinusą žemyn:
Paruošta. Nagrinėtame pavyzdyje svarbu nesupainioti ženkluose. Beje, pabandykite tai išspręsti naudodami taisyklę 
, atsakymai turi sutapti.
9 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).
Iki šiol nagrinėjome atvejus, kai sudėtingoje funkcijoje turėjome tik vieną lizdą. Praktinėse užduotyse dažnai galima rasti išvestinių, kur, kaip ir lėlės, viena kitos viduje, vienu metu įdėtos 3 ar net 4-5 funkcijos.
10 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Supraskime šios funkcijos priedus. Pabandykime apskaičiuoti išraišką naudodami eksperimentinę reikšmę. Kaip suskaičiuotume skaičiuotuvą?
Pirmiausia turite rasti , o tai reiškia, kad arcsinusas yra giliausias įterpimas:
Tada šis vieno arcsinusas turėtų būti padalytas kvadratu:
Ir galiausiai septynis padidiname iki galios: 
Tai reiškia, kad šiame pavyzdyje turime tris skirtingas funkcijas ir du įterpimus, o vidinė funkcija yra arcsinė, o tolimiausia funkcija yra eksponentinė funkcija.
Pradėkime spręsti
Pagal taisyklę 
Pirmiausia reikia paimti išorinės funkcijos išvestinę. Žiūrime į išvestinių lentelę ir randame eksponentinės funkcijos išvestinę: Vienintelis skirtumas yra tas, kad vietoj „x“ turime sudėtingą išraišką, kuri nepaneigia šios formulės galiojimo. Taigi, sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės taikymo rezultatas 
kitas.
Laipsninės funkcijos (x iki a laipsnio) išvestinės formulės išvedimas. Nagrinėjamos išvestinės iš x šaknų. Aukštesnės eilės galios funkcijos išvestinės formulė. Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo pavyzdžiai.
x išvestinė iš laipsnio a lygi iš karto x iš laipsnio minus vienas:
(1)
.
x n-osios šaknies išvestinė iš m-osios laipsnio yra:
(2)
.
Laipsninės funkcijos išvestinės formulės išvedimas
Atvejis x > 0
Apsvarstykite kintamojo x laipsnio funkciją su eksponentu a:
(3)
.
Čia a yra savavališkas realusis skaičius. Pirmiausia panagrinėkime atvejį.
Norėdami rasti funkcijos (3) išvestinę, naudojame galios funkcijos savybės ir paverskite jį tokia forma:
.
Dabar randame išvestį naudodami:
;
.
čia .
Formulė (1) buvo įrodyta.
X laipsnio n laipsnio šaknies išvestinės iki m laipsnio formulės išvedimas
Dabar apsvarstykite funkciją, kuri yra šios formos šaknis:
(4)
.
Norėdami rasti išvestinę, transformuojame šaknį į galios funkciją:
.
Lyginant su (3) formule matome, kad
.
Tada
.
Naudodami (1) formulę randame išvestinę:
(1)
;
;
(2)
.
Praktiškai nereikia įsiminti formulės (2). Daug patogiau iš pradžių šaknis transformuoti į laipsniškas funkcijas, o tada pagal (1) formulę rasti jų išvestinius (žr. pavyzdžius puslapio pabaigoje).
Atvejis x = 0
Jei , tai galios funkcija yra apibrėžta kintamojo x = reikšmei 0
. 0
Raskime funkcijos (3) išvestinę ties x =
.
. 0
:
.
Norėdami tai padaryti, naudojame darinio apibrėžimą:
Pakeiskime x =
.
Šiuo atveju išvestine turime omenyje dešinės pusės ribą, kuriai .
Taigi mes radome:
Taigi mes radome:
Iš to aišku, kad , .
(1)
.
adresu , . 0
.
Šis rezultatas taip pat gaunamas iš (1) formulės:< 0
Todėl formulė (1) galioja ir x =
(3)
.
Atvejis x
,
Dar kartą apsvarstykite funkciją (3):
Jei n yra nelyginis, tada galios funkcija taip pat apibrėžiama neigiamoms kintamojo x reikšmėms. 3
Pavyzdžiui, kai n = 1
ir m =
.
turime x kubinę šaknį:
Jis taip pat apibrėžiamas neigiamoms kintamojo x reikšmėms.
.
Raskime galios funkcijos (3) išvestinę konstantos a, kuriai ji apibrėžta, racionalioms reikšmėms. Norėdami tai padaryti, pavaizduokime x tokia forma:
.
Tada, Išvestinę randame paėmę konstantą už išvestinės ženklo ribų ir naudodami :
.
sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklė
.
čia . Bet
.
Tada
.
Nuo tada
(1)
.
Tai yra, formulė (1) taip pat galioja:
Aukštesnės eilės išvestinės priemonės
(3)
.
Dabar suraskime aukštesnės eilės galios funkcijos išvestines
.
Mes jau radome pirmos eilės išvestinį:
.
Paėmę konstantą a už išvestinės ženklo ribų, randame antros eilės išvestinę:
;
.
Panašiai randame trečios ir ketvirtos eilės išvestinius: Iš to aišku, kad savavališkos n-osios eilės išvestinė
.
turi tokią formą: Atkreipkite dėmesį, kad jei a yra natūralusis skaičius
.
, tada n-oji išvestinė yra pastovi:
,
Tada visos paskesnės išvestinės yra lygios nuliui:
adresu .
Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo pavyzdžiai
Pavyzdys
.
Raskite funkcijos išvestinę:
Sprendimas
;
.
Paverskime šaknis į galias:
.
Tada pradinė funkcija įgauna tokią formą:
;
.
Galių išvestinių radimas:
.
Konstantos išvestinė lygi nuliui:
Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.
Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, išvestinę apibrėžiant kaip argumento prieaugio santykio ribą, atsirado išvestinių lentelė ir tiksliai apibrėžtos diferenciacijos taisyklės. . Pirmieji darinių paieškos srityje pradėjo dirbti Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).
Todėl mūsų laikais, norint rasti bet kurios funkcijos išvestinę, nereikia skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tik pasinaudoti lentele dariniai ir diferenciacijos taisyklės. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas. Norėdami rasti išvestinę , jums reikia išraiškos po pirminiu ženklu suskaidyti paprastas funkcijas į komponentus ir nustatyti kokius veiksmus(produktas, suma, koeficientas) šios funkcijos yra susijusios. Toliau elementariųjų funkcijų išvestinius randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formules - diferenciacijos taisyklėse.
Išvestinių lentelė ir diferenciacijos taisyklės pateikiamos po pirmųjų dviejų pavyzdžių. 1 pavyzdys.
Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.
Iš išvestinių lentelės sužinome, kad „x“ išvestinė lygi vienetui, o sinuso – kosinusui. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių suma ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:
2 pavyzdys. 1 pavyzdys.
Sprendimas. Diferencijuojame kaip sumos, kurioje antrasis narys turi pastovų koeficientą, išvestinę, ją galima paimti iš išvestinės ženklo:
Jei vis tiek kyla klausimų, iš kur kažkas atsiranda, jie dažniausiai išsiaiškinami susipažinus su išvestinių išvestinių dalių lentele ir paprasčiausiomis diferenciacijos taisyklėmis. Šiuo metu pereiname prie jų.
Paprastų funkcijų išvestinių lentelė
| 1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200...), kuris yra funkcijos išraiškoje. Visada lygus nuliui. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai | |
| 2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai „X“. Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti ilgą laiką | |
| 3. Laipsnio išvestinė. Sprendžiant uždavinius, reikia konvertuoti ne kvadratines šaknis į galias. | |
| 4. Kintamojo išvestinė į laipsnį -1 | |
| 5. Kvadratinės šaknies vedinys | |
| 6. Sinuso išvestinė | |
| 7. Kosinuso vedinys |  |
| 8. Tangento išvestinė |  |
| 9. Kotangento išvestinė |  |
| 10. Arsinuso vedinys |  |
| 11. Lanko kosinuso išvestinė |  |
| 12. Arktangento vedinys |  |
| 13. Lanko kotangento išvestinė |  |
| 14. Natūralaus logaritmo išvestinė | |
| 15. Logaritminės funkcijos išvestinė |  |
| 16. Rodiklio išvestinė | |
| 17. Eksponentinės funkcijos išvestinė |
Diferencijavimo taisyklės
| 1. Sumos arba skirtumo išvestinė |  |
| 2. Produkto darinys |  |
| 2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė | |
| 3. Dalinio išvestinė |  |
| 4. Sudėtinės funkcijos išvestinė |  |
1 taisyklė.Jei funkcijos
yra diferencijuojami tam tikru tašku, tada funkcijos skiriasi tame pačiame taške
ir
tie. algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.
Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų išvestinės yra lygios, t.y.
2 taisyklė.Jei funkcijos
yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada jų produktas skiriasi tame pačiame taške
ir
tie. Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų ir kitos išvestinei sumai.
1 išvada. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo:
2 išvada. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno veiksnio ir visų kitų išvestinės sandaugų sumai.
Pavyzdžiui, trims daugintuvams:
3 taisyklė.Jei funkcijos
tam tikru momentu skiriasi Ir , tada šioje vietoje jų koeficientas taip pat yra diferencijuotasu/v , ir
tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra kvadratas buvęs skaitiklis.
Kur ieškoti dalykų kituose puslapiuose
Realiose problemose ieškant sandaugos išvestinės ir koeficiento, visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl straipsnyje yra daugiau šių išvestinių pavyzdžių."Produkto išvestinė ir funkcijų dalis".
komentuoti. Neturėtumėte painioti konstantos (ty skaičiaus) kaip sumos termino ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipiška klaida, atsirandanti pradiniame išvestinių studijų etape, tačiau vidutinis studentas išsprendžia kelis vienos ir dviejų dalių pavyzdžius, šios klaidos nebedaro.
Ir jei diferencijuodami produktą ar koeficientą turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (šis atvejis aptartas 10 pavyzdyje).
Kita dažnai pasitaikanti klaida yra mechaniškai sudėtingos funkcijos išvestinė sprendžiama kaip paprastos funkcijos išvestinė. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirtas atskiras straipsnis. Bet pirmiausia išmoksime rasti paprastų funkcijų išvestinius.
Pakeliui neapsieisite be posakių transformavimo. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti vadovą naujuose languose. Veiksmai su galiomis ir šaknimis Ir Operacijos su trupmenomis .
Jei ieškote sprendimų dėl trupmenų išvestinių su laipsniais ir šaknimis, tai yra, kai funkcija atrodo taip 
, tada sekite pamoką „Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė“.
Jei turite tokią užduotį kaip 
, tada lankysi pamoką „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.
Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę
3 pavyzdys. 1 pavyzdys.
Sprendimas. Apibrėžiame funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reiškia sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus veiksnys. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės:
Toliau taikome sumų diferenciacijos taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis narys turi minuso ženklą. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi, „X“ virsta vienu, o minus 5 virsta nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto kaip ir „x“ išvestinė. Gauname šias išvestinių priemonių vertes:
Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:
4 pavyzdys. 1 pavyzdys.
Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra skirtumas tarp vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės bei išvestinės vardiklis, o vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:
Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Taip pat nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:
Jei ieškote sprendimų problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir galių krūva, pvz., 
, tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis darinys" .
Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kitų trigonometrinių funkcijų išvestis, tai yra, kai funkcija atrodo kaip , tada pamoka jums "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .
5 pavyzdys. 1 pavyzdys.
Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Naudodami sandaugos diferencijavimo taisyklę ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę, gauname:
6 pavyzdys. 1 pavyzdys.
Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Naudodami koeficientų diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės reikšmę lentelėje, gauname:
Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš .
