Patikrinkite, ar vektoriai sudaro pagrindą. Vektoriai

Standartinis apibrėžimas: „vektorius yra nukreiptas segmentas“. Paprastai tai yra absolvento žinių apie vektorius apimtis. Kam reikalingi kažkokie „kryptiniai segmentai“?

Bet iš tikrųjų, kas yra vektoriai ir kam jie skirti?
Orų prognozė. „Šiaurės vakarų vėjas, greitis 18 metrų per sekundę. Sutikite, svarbu ir vėjo kryptis (iš kur jis pučia), ir jo greičio dydis (tai yra absoliuti vertė).

Neturintys krypties kiekiai vadinami skaliariniais. Masė, darbas, elektros krūvis niekur nenukreiptas. Jie apibūdinami tik skaitine verte - „kiek kilogramų“ arba „kiek džaulių“.

Fizikiniai dydžiai, turintys ne tik absoliučią reikšmę, bet ir kryptį, vadinami vektoriniais dydžiais.

Greitis, jėga, pagreitis – vektoriai. Jiems svarbu „kiek“, o „kur“ – svarbu. Pavyzdžiui, pagreitis dėl gravitacijos nukreiptas į Žemės paviršių, o jo vertė yra 9,8 m/s 2. Impulsas, elektrinio lauko stiprumas, magnetinio lauko indukcija taip pat yra vektoriniai dydžiai.

Prisiminkite, kad fiziniai dydžiai žymimi lotyniškomis arba graikiškomis raidėmis. Virš raidės esanti rodyklė rodo, kad dydis yra vektorius:

Štai dar vienas pavyzdys.
Automobilis juda iš A į B. Galutinis rezultatas yra jo judėjimas iš taško A į tašką B, tai yra judėjimas vektoriumi.

Dabar aišku, kodėl vektorius yra nukreiptas segmentas. Atkreipkite dėmesį, kad vektoriaus galas yra ten, kur yra rodyklė. Vektoriaus ilgis vadinamas šio segmento ilgiu. Nurodoma: arba

Iki šiol dirbome su skaliariniais dydžiais, pagal aritmetikos ir elementarios algebros taisykles. Vektoriai yra nauja koncepcija. Tai dar viena matematinių objektų klasė. Jie turi savo taisykles.

Kažkada mes net nieko nežinojome apie skaičius. Mano pažintis su jais prasidėjo dar pradinėje mokykloje. Paaiškėjo, kad skaičius galima palyginti tarpusavyje, sudėti, atimti, dauginti ir dalyti. Sužinojome, kad yra skaičius vienas ir skaičius nulis.
Dabar mes susipažinome su vektoriais.

Sąvokos „daugiau“ ir „mažiau“ vektoriams neegzistuoja - juk jų kryptys gali būti skirtingos. Galima palyginti tik vektorių ilgius.

Tačiau egzistuoja vektorių lygybės samprata.
Lygus vadinami vienodo ilgio ir vienodos krypties vektoriai. Tai reiškia, kad vektorius gali būti perkeltas lygiagrečiai sau į bet kurį plokštumos tašką.
Vienišas yra vektorius, kurio ilgis yra 1. Nulis yra vektorius, kurio ilgis lygus nuliui, tai yra, jo pradžia sutampa su pabaiga.

Patogiausia dirbti su vektoriais stačiakampėje koordinačių sistemoje – toje pačioje, kurioje braižome funkcijų grafikus. Kiekvienas koordinačių sistemos taškas atitinka du skaičius – jo x ir y koordinates, abscisę ir ordinatę.
Vektorius taip pat nurodomas dviem koordinatėmis:

Čia vektoriaus koordinatės rašomos skliausteliuose – x ir y.
Jie randami paprastai: vektoriaus pabaigos koordinatė atėmus jo pradžios koordinatę.

Jei nurodytos vektoriaus koordinatės, jo ilgis randamas pagal formulę

Vektorių papildymas

Yra du vektorių pridėjimo būdai.

1. Lygiagretaus taisyklė. Norėdami pridėti vektorius ir , dedame abiejų ištakas tame pačiame taške. Statome iki lygiagretainio ir iš to paties taško nubrėžiame lygiagretainio įstrižainę. Tai bus vektorių ir .

Prisimenate pasaką apie gulbę, vėžius ir lydekas? Jie labai stengėsi, bet niekada nepajudino vežimėlio. Juk vektorinė jėgų suma, kurią jie taikė vežimėliui, buvo lygi nuliui.

2. Antrasis vektorių pridėjimo būdas yra trikampio taisyklė. Paimkime tuos pačius vektorius ir . Antrojo pradžią pridėsime prie pirmojo vektoriaus pabaigos. Dabar sujungkime pirmojo pradžią ir antrojo pabaigą. Tai vektorių ir suma.

Naudodami tą pačią taisyklę, galite pridėti kelis vektorius. Mes juos išdėstome vieną po kito, o tada sujungiame pirmojo pradžią su paskutinio pabaiga.

Įsivaizduokite, kad einate iš taško A į tašką B, iš B į C, iš C į D, tada į E ir į F. Galutinis šių veiksmų rezultatas yra judėjimas iš A į F.

Pridėjus vektorius gauname:

Vektorinė atimtis

Vektorius nukreiptas priešais vektoriui. Vektorių ir ilgiai yra lygūs.

Dabar aišku, kas yra vektorinė atimtis. Vektorių skirtumas ir yra vektoriaus ir vektoriaus suma.

Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus

Kai vektorius padauginamas iš skaičiaus k, gaunamas vektorius, kurio ilgis k kartų skiriasi nuo ilgio . Jis yra kartu su vektoriumi, jei k yra didesnis už nulį, ir priešingas, jei k yra mažesnis už nulį.

Taškinė vektorių sandauga

Vektorius galima dauginti ne tik iš skaičių, bet ir vienas iš kito.

Vektorių skaliarinė sandauga yra vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandauga.

Atkreipkite dėmesį, kad mes padauginome du vektorius, o rezultatas buvo skaliaras, tai yra skaičius. Pavyzdžiui, fizikoje mechaninis darbas yra lygus dviejų vektorių – jėgos ir poslinkio – skaliarinei sandaugai:

Jei vektoriai yra statmeni, jų skaliarinė sandauga yra lygi nuliui.
Štai kaip skaliarinė sandauga išreiškiama per vektorių koordinates ir:

Iš skaliarinės sandaugos formulės galite rasti kampą tarp vektorių:

Ši formulė ypač patogi stereometrijoje. Pavyzdžiui, profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 14 uždavinyje reikia rasti kampą tarp susikertančių tiesių arba tarp tiesės ir plokštumos. 14 uždavinys dažnai išsprendžiamas kelis kartus greičiau naudojant vektorinį metodą nei naudojant klasikinį metodą.

Mokyklinėje matematikos programoje dėstoma tik vektorių skaliarinė sandauga.
Pasirodo, be skaliarinės sandaugos yra ir vektorinė sandauga, kai dviejų vektorių padauginimo rezultatas yra vektorius. Kiekvienas, kuris laiko vieningą valstybinį fizikos egzaminą, žino, kas yra Lorenco jėga ir Ampero jėga. Šių jėgų nustatymo formulės apima vektorines sandaugas.

Vektoriai yra labai naudingas matematinis įrankis. Tai pamatysite pirmaisiais metais.

8 pavyzdys

Pateikiami vektoriai. Parodykite, kad vektoriai sudaro pagrindą trimatėje erdvėje ir suraskite vektoriaus koordinates šiame pagrinde.

Sprendimas: Pirma, panagrinėkime sąlygą. Pagal sąlygą pateikiami keturi vektoriai ir, kaip matote, jie jau turi koordinates tam tikru pagrindu. Kas yra šis pagrindas, mums neįdomu. Įdomu tai: trys vektoriai gali sudaryti naują pagrindą. Ir pirmasis etapas visiškai sutampa su 6 pavyzdžio sprendimu, reikia patikrinti, ar vektoriai yra tikrai tiesiškai nepriklausomi:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių:

, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

! Svarbu: vektorinės koordinatės Būtinai užsirašyti į kolonas determinantas, o ne eilutėse. Priešingu atveju kils painiavos tolesniame sprendimo algoritme.

Dabar prisiminkime teorinę dalį: jei vektoriai sudaro pagrindą, tai bet kurį vektorių galima unikaliu būdu išplėsti per nurodytą pagrindą: , kur yra vektoriaus koordinatės pagrinde.

Kadangi mūsų vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą (tai jau buvo įrodyta), vektorius gali būti išplėstas unikaliu būdu per šį pagrindą:
, kur yra vektoriaus koordinatės bazėje.

Pagal būklę ir reikia surasti koordinates.

Kad būtų lengviau paaiškinti, pakeisiu dalis: . Norėdami jį rasti, turėtumėte užrašyti šią lygybės koordinatę po koordinatės:

Kuo remiantis nustatomi koeficientai? Visi kairėje pusėje esantys koeficientai tiksliai perkeliami iš determinanto , dešinėje pusėje užrašytos vektoriaus koordinatės.

Rezultatas yra trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistema. Paprastai tai išsprendžiama Cramerio formulės, dažnai net problemos teiginyje yra toks reikalavimas.

Pagrindinis sistemos veiksnys jau buvo nustatytas:
, o tai reiškia, kad sistema turi unikalų sprendimą.

Tai yra technikos reikalas:

Taigi:
– vektoriaus išskaidymas pagal pagrindą.

Atsakymas:

Kaip jau minėjau, problema yra algebrinio pobūdžio. Svarstomi vektoriai nebūtinai yra tie vektoriai, kuriuos galima nubraižyti erdvėje, bet pirmiausia abstraktūs tiesinės algebros eigos vektoriai. Dvimačių vektorių atveju galima suformuluoti ir išspręsti panašią problemą. Tačiau praktikoje niekada nesusidūriau su tokia užduotimi, todėl ankstesniame skyriuje ją praleidau.

Ta pati problema su trimačiais vektoriais nepriklausomam sprendimui:

9 pavyzdys

Pateikiami vektoriai. Parodykite, kad vektoriai sudaro pagrindą, ir suraskite šiame pagrinde vektoriaus koordinates. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Kramerio metodu.

Visas sprendimas ir apytikslis galutinio dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje.

Panašiai galime laikyti keturmatį, penkiamatį ir kt. vektoriaus erdvės, kur vektoriai turi atitinkamai 4, 5 ar daugiau koordinačių. Šioms vektorių erdvėms taip pat yra tiesinės priklausomybės, vektorių linijinės nepriklausomybės samprata, yra pagrindas, įskaitant ortonormalųjį pagrindą, vektoriaus išplėtimas pagal pagrindą. Taip, tokios erdvės negali būti nubrėžtos geometriškai, tačiau jose veikia visos dvimačių ir trijų dimensijų atvejų taisyklės, savybės ir teoremos – gryna algebra. Tiesą sakant, aš jau buvau susigundžiusi straipsnyje kalbėti apie filosofines problemas Trijų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės, kuris pasirodė anksčiau nei ši pamoka.

Meilės vektoriai, ir vektoriai jus mylės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas: padarykime proporciją iš atitinkamų vektorių koordinačių:

Atsakymas: adresu

4 pavyzdys: Įrodymas: Trapecija Keturkampis vadinamas keturkampiu, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nėra lygiagrečios.
1) Patikrinkime priešingų kraštinių lygiagretumą ir .
Raskime vektorius:


, o tai reiškia, kad šie vektoriai nėra kolinearūs, o kraštinės nėra lygiagrečios.
2) Patikrinkime priešingų kraštinių lygiagretumą ir .
Raskime vektorius:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių:
, o tai reiškia, kad šie vektoriai yra kolineariniai ir .
Išvada: Dvi keturkampio kraštinės yra lygiagrečios, bet kitos dvi kraštinės nėra lygiagrečios, o tai reiškia, kad pagal apibrėžimą tai yra trapecija. Q.E.D.

5 pavyzdys: Sprendimas:
b) Patikrinkime, ar yra atitinkamų vektorių koordinačių proporcingumo koeficientas:

Sistema neturi sprendimo, o tai reiškia, kad vektoriai nėra kolineariniai.
Paprastesnis dizainas:
– antroji ir trečioji koordinatės nėra proporcingos, vadinasi, vektoriai nėra kolinearūs.
Atsakymas: vektoriai nėra kolineariniai.
c) Tiriame vektorių kolineariškumą . Sukurkime sistemą:

Atitinkamos vektorių koordinatės yra proporcingos, o tai reiškia
Čia nepavyksta „nepaprasto“ projektavimo metodo.
Atsakymas:

6 pavyzdys: Sprendimas: b) Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių (determinantas atskleidžiamas pirmoje eilutėje):

, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai priklausomi ir nesudaro trimatės erdvės pagrindo.
Atsakymas : šie vektoriai nesudaro pagrindo

9 pavyzdys: Sprendimas: Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių:


Taigi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.
Pavaizduokime vektorių kaip tiesinį bazinių vektorių derinį:

Koordinatės:

Išspręskime sistemą naudodami Cramerio formules:
, o tai reiškia, kad sistema turi unikalų sprendimą.

Atsakymas:Vektoriai sudaro pagrindą,

Aukštoji matematika neakivaizdiniams studentams ir daugiau >>>

(Eiti į pagrindinį puslapį)

Kryžminė vektorių sandauga.
Mišrus vektorių sandauga

Šioje pamokoje apžvelgsime dar dvi operacijas su vektoriais: vektorių sandauga Ir mišrus vektorių sandauga. Viskas gerai, kartais nutinka taip, kad dėl visiškos laimės, be to vektorių skaliarinė sandauga, reikia vis daugiau. Tai yra vektorinė priklausomybė. Gali atrodyti, kad patenkame į analitinės geometrijos džiungles. Tai neteisinga. Šioje aukštosios matematikos dalyje paprastai yra mažai medienos, išskyrus galbūt pakankamai Pinokiui. Tiesą sakant, medžiaga yra labai paplitusi ir paprasta - vargu ar sudėtingesnė nei ta pati taškinis produktas, bus dar mažiau tipinių užduočių. Pagrindinis dalykas analitinėje geometrijoje, kaip daugelis įsitikins arba jau įsitikino, yra NEDARYTI SKAIČIAVIMO KLAIDŲ. Kartokite kaip burtažodį ir būsite laimingi =)

Jei vektoriai kibirkščiuoja kažkur toli, kaip žaibas horizonte, tai nesvarbu, pradėkite nuo pamokos Manekenų vektoriai atkurti arba iš naujo įgyti pagrindines žinias apie vektorius. Labiau pasiruošę skaitytojai gali susipažinti su informacija pasirinktinai. Stengiausi surinkti kuo išsamesnį pavyzdžių, dažnai sutinkamų praktiniame darbe, rinkinį

Kas jus iškart pradžiugins? Kai buvau mažas, galėjau žongliruoti dviem ar net trimis kamuoliais. Tai pavyko gerai. Dabar jums visai nereikės žongliruoti, nes mes svarstysime tik erdviniai vektoriai, o plokštieji vektoriai su dviem koordinatėmis bus palikti. Kodėl? Taip gimė šie veiksmai – vektorius ir mišrus vektorių sandauga yra apibrėžti ir veikia trimatėje erdvėje. Tai jau lengviau!

Šiame straipsnyje mes pradėsime aptarti vieną „stebuklingą lazdelę“, kuri leis jums sumažinti daugybę geometrijos problemų iki paprastos aritmetikos. Ši „lazda“ gali labai palengvinti jūsų gyvenimą, ypač kai nesate tikras dėl erdvinių figūrų, pjūvių ir tt konstravimo. Visa tai reikalauja tam tikros vaizduotės ir praktinių įgūdžių. Metodas, kurį mes čia pradėsime svarstyti, leis jums beveik visiškai abstrahuotis nuo visų rūšių geometrinių konstrukcijų ir samprotavimų. Metodas vadinamas "koordinačių metodas". Šiame straipsnyje mes apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Koordinačių plokštuma
2. Taškai ir vektoriai plokštumoje
3. Vektoriaus konstravimas iš dviejų taškų
4. Vektoriaus ilgis (atstumas tarp dviejų taškų).
5. Atkarpos vidurio koordinatės
6. Taškinė vektorių sandauga
7. Kampas tarp dviejų vektorių

Manau, jūs jau atspėjote, kodėl koordinačių metodas taip vadinamas? Teisingai, jis gavo tokį pavadinimą, nes veikia ne su geometriniais objektais, o su jų skaitinėmis charakteristikomis (koordinatėmis). O pati transformacija, leidžianti pereiti nuo geometrijos prie algebros, susideda iš koordinačių sistemos įvedimo. Jei pradinė figūra buvo plokščia, tai koordinatės yra dvimatės, o jei figūra yra trimatė, tada koordinatės yra trimatės. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik dvimatį atvejį. Ir pagrindinis straipsnio tikslas yra išmokyti jus naudoti kai kuriuos pagrindinius koordinačių metodo metodus (jie kartais yra naudingi sprendžiant planimetrijos uždavinius vieningo valstybinio egzamino B dalyje). Kiti du skyriai šia tema yra skirti C2 uždavinių (stereometrijos problemos) sprendimo metodų aptarimui.

Kur būtų logiška pradėti diskutuoti apie koordinačių metodą? Tikriausiai iš koordinačių sistemos sampratos. Prisiminkite, kai pirmą kartą su ja susidūrėte. Man atrodo, kad 7 klasėje, kai sužinojote apie tiesinės funkcijos egzistavimą, pavyzdžiui. Leiskite jums priminti, kad jūs tai sukūrėte taškas po taško. Ar prisimeni? Jūs pasirinkote savavališką skaičių, pakeitėte jį į formulę ir taip jį apskaičiavote. Pavyzdžiui, jei, tada, jei, tada ir tt Ką galiausiai gavote? Ir gavote taškus su koordinatėmis: ir. Toliau nubraižėte „kryželį“ (koordinačių sistemą), pasirinkote jame skalę (kiek langelių turėsite kaip vienetinį segmentą) ir pažymėjote jame gautus taškus, kuriuos sujungėte gauta linija linija yra funkcijos grafikas.

Čia yra keletas punktų, kurie turėtų būti jums paaiškinti šiek tiek išsamiau:

1. Patogumo sumetimais pasirenkate vieną segmentą, kad viskas gražiai ir kompaktiškai tilptų brėžinyje.

2. Priimta, kad ašis eina iš kairės į dešinę, o ašis – iš apačios į viršų

3. Jie susikerta stačiu kampu, o jų susikirtimo taškas vadinamas pradžia. Tai nurodoma laiške.

4. Rašant taško koordinates, pavyzdžiui, kairėje skliausteliuose yra taško koordinatė išilgai ašies, o dešinėje – išilgai ašies. Visų pirma, tai tiesiog reiškia, kad taške

5. Norint nurodyti bet kurį koordinačių ašies tašką, reikia nurodyti jo koordinates (2 skaičiai)

6. Bet kuriam taškui, esančiam ant ašies,

7. Bet kuriame taške, esančiame ant ašies,

8. Ašis vadinama x ašimi

9. Ašis vadinama y ašimi

Dabar imkime kitą žingsnį: pažymėkite du taškus. Sujungkime šiuos du taškus atkarpa. Ir mes įdėsime rodyklę taip, lyg brėžtume atkarpą iš taško į tašką: tai yra, mes padarysime savo segmentą nukreiptą!

Prisiminkite, kaip vadinamas kitas kryptinis segmentas? Teisingai, tai vadinama vektoriumi!

Taigi, jei sujungsime tašką su tašku, ir pradžia bus taškas A, o pabaiga bus taškas B, tada gauname vektorių. Jūs taip pat darėte šią statybą 8 klasėje, pamenate?

Pasirodo, vektoriai, kaip ir taškai, gali būti žymimi dviem skaičiais: šie skaičiai vadinami vektorių koordinatėmis. Klausimas: Ar manote, kad mums pakanka žinoti vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates, kad rastume jo koordinates? Pasirodo, kad taip! Ir tai daroma labai paprastai:

Taigi, kadangi vektoriuje taškas yra pradžia, o taškas yra pabaiga, vektorius turi šias koordinates:

Pavyzdžiui, jei, tada vektoriaus koordinatės

Dabar padarykime priešingai, suraskime vektoriaus koordinates. Ką mes turime pakeisti dėl to? Taip, reikia sukeisti pradžią ir pabaigą: dabar vektoriaus pradžia bus taške, o pabaiga – taške. Tada:

Atidžiai pažiūrėkite, kuo skiriasi vektoriai ir? Vienintelis jų skirtumas – ženklai koordinatėse. Jie yra priešingybės. Šis faktas paprastai rašomas taip:

Kartais, jei konkrečiai nenurodyta, kuris taškas yra vektoriaus pradžia, o kuris pabaiga, tai vektoriai žymimi ne dviem didžiosiomis, o viena mažąja raide, pvz.: , ir t.t.

Dabar šiek tiek praktika save ir suraskite šių vektorių koordinates:

Egzaminas:

Dabar išspręskite šiek tiek sunkesnę problemą:

Vektorius su pradžia taške turi co-or-di-na-you. Raskite abs-cis-su taškus.

Visa tai yra gana proziška: tegul yra taško koordinatės. Tada

Sudariau sistemą pagal apibrėžimą, kas yra vektorių koordinatės. Tada taškas turi koordinates. Mus domina abscisė. Tada

Atsakymas:

Ką dar galite padaryti su vektoriais? Taip, beveik viskas yra taip pat, kaip ir su paprastais skaičiais (išskyrus tai, kad jūs negalite dalytis, bet galite dauginti dviem būdais, iš kurių vieną aptarsime čia šiek tiek vėliau)

1. Vektorius galima pridėti vienas prie kito
2. Vektorius galima atimti vienas iš kito
3. Vektorius galima padauginti (arba padalyti) iš savavališko skaičiaus, kuris nėra nulis
4. Vektorius galima padauginti vienas iš kito

Visos šios operacijos turi labai aiškų geometrinį vaizdą. Pavyzdžiui, trikampio (arba lygiagretainio) sudėties ir atimties taisyklė:

Vektorius išsitempia, susitraukia arba keičia kryptį, kai padauginamas arba dalinamas iš skaičiaus:

Tačiau čia mus domina klausimas, kas atsitiks su koordinatėmis.

1. Sudėjus (atimant) du vektorius, jų koordinates sudedame (atimame) elementas po elemento. Tai yra:

2. Dauginant (dalinant) vektorių iš skaičiaus, visos jo koordinatės dauginamos (dalinamos) iš šio skaičiaus:

Pavyzdžiui:

· Raskite co-or-di-nat amžiaus-to-ra kiekį.

Pirmiausia suraskime kiekvieno vektoriaus koordinates. Jie abu turi tą pačią kilmę – pradinį tašką. Jų galai skiriasi. Tada,. Dabar apskaičiuokime vektoriaus koordinates Tada gauto vektoriaus koordinačių suma yra lygi.

Atsakymas:

Dabar išspręskite šią problemą patys:

· Raskite vektorių koordinačių sumą

Mes tikriname:

Dabar panagrinėkime šią problemą: turime du taškus koordinačių plokštumoje. Kaip rasti atstumą tarp jų? Tegul pirmasis taškas būna, o antrasis. Atstumą tarp jų pažymėkime. Aiškumo dėlei padarykite tokį piešinį:

Ką aš padariau? Pirmiausia sujungiau taškus, taip pat iš taško nubrėžiau ašiai lygiagrečią liniją, o iš taško nubrėžiau ašiai lygiagrečią liniją. Ar jie susikirto taške, sudarydami nuostabią figūrą? Kuo ji tokia ypatinga? Taip, jūs ir aš žinome beveik viską apie dešinįjį trikampį. Na, Pitagoro teorema tikrai. Reikalingas segmentas yra šio trikampio hipotenuzė, o segmentai yra kojos. Kokios taško koordinatės? Taip, juos lengva rasti iš paveikslėlio: Kadangi atkarpos yra lygiagrečios ašims ir, atitinkamai, jų ilgius lengva rasti: jei atkarpų ilgius pažymėsime atitinkamai, tada

Dabar pasinaudokime Pitagoro teorema. Žinome kojų ilgį, rasime hipotenuzą:

Taigi atstumas tarp dviejų taškų yra kvadratinių skirtumų nuo koordinačių sumos šaknis. Arba – atstumas tarp dviejų taškų yra juos jungiančios atkarpos ilgis.

Nesunku pastebėti, kad atstumas tarp taškų nepriklauso nuo krypties. Tada:

Šiek tiek pasitreniruokime apskaičiuodami atstumą tarp dviejų taškų:

Pavyzdžiui, jei, tada atstumas tarp ir yra lygus

Arba eikime kitu keliu: raskite vektoriaus koordinates

Ir raskite vektoriaus ilgį:

Kaip matote, tai tas pats!

Dabar šiek tiek pasitreniruokite patys:

Užduotis: raskite atstumą tarp nurodytų taškų:

Mes tikriname:

Čia yra dar kelios problemos naudojant tą pačią formulę, nors jos skamba šiek tiek kitaip:

1. Raskite akies voko ilgio kvadratą.

2. Raskite akies voko ilgio kvadratą

Manau, kad su jais susitvarkei be vargo? Mes tikriname:

1. Ir tai dėmesingumui) Mes jau anksčiau radome vektorių koordinates: . Tada vektorius turi koordinates. Jo ilgio kvadratas bus lygus:

2. Raskite vektoriaus koordinates

Tada jo ilgio kvadratas yra

Nieko sudėtingo, tiesa? Paprasta aritmetika, nieko daugiau.

Šios problemos negali būti vienareikšmiškai klasifikuojamos.

1. Raskite kampo sinusą kampu nuo pjūvio, jungiančio tašką su abscisių ašimi.

Ir

Kaip mes čia toliau? Turime rasti kampo tarp ir ašies sinusą. Kur galime ieškoti sinuso? Teisingai, stačiakampiame trikampyje. Taigi ką mes turime daryti? Sukurkite šį trikampį!

Kadangi taško koordinatės yra ir, tada atkarpa yra lygi, ir atkarpa. Turime rasti kampo sinusą. Leiskite jums priminti, kad sinusas yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis

Kas mums belieka? Raskite hipotenuzę. Tai galite padaryti dviem būdais: naudodami Pitagoro teoremą (kojos žinomos!) arba naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę (iš tikrųjų tai tas pats, kas ir pirmasis metodas!). Eisiu antru keliu:

Atsakymas:

Kita užduotis jums atrodys dar lengvesnė. Ji yra taško koordinatėse.

2 užduotis. Nuo taško per-pen-di-ku-lyar nuleidžiamas ant ab-ciss ašies. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Padarykime piešinį:

Statmens pagrindas yra taškas, kuriame jis kerta x ašį (ašį), man tai yra taškas. Paveikslėlyje parodyta, kad jis turi koordinates: . Mus domina abscisė - tai yra „x“ komponentas. Ji lygi.

Atsakymas: .

3 užduotis. Ankstesnio uždavinio sąlygomis raskite atstumų nuo taško iki koordinačių ašių sumą.

Užduotis paprastai yra elementari, jei žinote, koks yra atstumas nuo taško iki ašių. Žinai? Tikiuosi, bet vis tiek priminsiu:

Taigi, ar aš jau nubrėžiau vieną tokį statmeną aukščiau esančiame piešinyje? Ant kurios ašies jis yra? Į ašį. Ir koks tada jo ilgis? Ji lygi. Dabar patys nubrėžkite statmeną ašiai ir suraskite jo ilgį. Bus lygus, tiesa? Tada jų suma yra lygi.

Atsakymas: .

4 užduotis. 2 užduoties sąlygomis suraskite taško, kuris yra simetriškas taškui abscisių ašies atžvilgiu, ordinates.

Manau, kad jums intuityviai aišku, kas yra simetrija? Jį turi daugelis objektų: daug pastatų, stalų, lėktuvų, daugybė geometrinių formų: rutulys, cilindras, kvadratas, rombas ir t.t.. Grubiai tariant, simetriją galima suprasti taip: figūra susideda iš dviejų (ar daugiau) vienodų pusių. Ši simetrija vadinama ašine simetrija. Kas tada yra ašis? Tai yra būtent ta linija, išilgai kurios, santykinai tariant, figūrą galima „perpjauti“ į lygias puses (šioje nuotraukoje simetrijos ašis yra tiesi):

Dabar grįžkime prie savo užduoties. Žinome, kad ieškome taško, kuris būtų simetriškas ašies atžvilgiu. Tada ši ašis yra simetrijos ašis. Tai reiškia, kad turime pažymėti tašką taip, kad ašis supjaustytų segmentą į dvi lygias dalis. Pabandykite patys pažymėti tokį tašką. Dabar palyginkite su mano sprendimu:

Ar jums tai pavyko taip pat? gerai! Mus domina rasto taško ordinatė. Tai lygu

Atsakymas:

Dabar pasakykite man, keletą sekundžių pagalvojus, kokia bus taško abscisė, simetriška taškui A ordinatės atžvilgiu? Koks tavo atsakymas? Teisingas atsakymas:.

Apskritai taisyklę galima parašyti taip:

Taškas, simetriškas taškui abscisių ašies atžvilgiu, turi koordinates:

Taškas, simetriškas taškui ordinačių ašies atžvilgiu, turi koordinates:

Na, dabar visiškai baisu užduotis: suraskite taško koordinates, simetriškas taškui, atsižvelgiant į pradinę padėtį. Pirmiausia pagalvok pats, o tada pažiūrėk į mano piešinį!

Atsakymas:

Dabar lygiagretainio problema:

5 užduotis: taškai pasirodo ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Raskite arba-di-tą tašką.

Šią problemą galite išspręsti dviem būdais: logika ir koordinačių metodu. Pirmiausia naudosiu koordinačių metodą, o tada pasakysiu, kaip galite tai išspręsti kitaip.

Visiškai aišku, kad taško abscisė lygi. (jis guli ant statmens, nubrėžto nuo taško iki abscisių ašies). Turime rasti ordinates. Pasinaudokime tuo, kad mūsų figūra yra lygiagretainis, tai reiškia. Raskime atkarpos ilgį naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Nuleidžiame statmeną, jungiantį tašką su ašimi. Sankirtos tašką pažymėsiu raide.

Atkarpos ilgis lygus. (pats suraskite problemą ten, kur aptarėme šį punktą), tada atkarpos ilgį rasime naudodami Pitagoro teoremą:

Atkarpos ilgis tiksliai sutampa su jo ordinatėmis.

Atsakymas: .

Kitas sprendimas (aš tiesiog pateiksiu jį iliustruojančią nuotrauką)

Sprendimo eiga:

1. Elgesys

2. Raskite taško ir ilgio koordinates

3. Įrodykite tai.

Dar vienas segmento ilgio problema:

Taškai atsiranda trikampių viršuje. Raskite jo vidurio linijos ilgį lygiagrečiai.

Ar prisimeni, kas yra trikampio vidurio linija? Tada ši užduotis jums elementari. Jei neprisimenate, priminsiu: trikampio vidurio linija yra linija, jungianti priešingų kraštinių vidurio taškus. Jis lygiagretus pagrindui ir lygus jo pusei.

Pagrindas yra segmentas. Jo ilgio teko ieškoti anksčiau, jis lygus. Tada vidurinės linijos ilgis yra perpus didesnis ir lygus.

Atsakymas: .

Komentaras: šią problemą galima išspręsti ir kitu būdu, į kurį kreipsimės šiek tiek vėliau.

Tuo tarpu čia yra keletas problemų, praktikuokite jas, jos labai paprastos, bet padeda geriau naudotis koordinačių metodu!

1. Taškai yra tra-pijų viršūnės. Raskite jo vidurio linijos ilgį.

2. Taškai ir pasirodymai ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Raskite arba-di-tą tašką.

3. Raskite ilgį nuo pjūvio, sujungdami tašką ir

4. Koordinačių plokštumoje raskite plotą už spalvotos figūros.

5. Per tašką eina apskritimas, kurio centras yra na-cha-le ko-or-di-nat. Surask jos radiją.

6. Rasti-di-te ra-di-us apskritimo, apibūdinti-san-noy apie stačiakampį-ne-ka, ko nors viršūnės turi co-ar -di-na-tu esi toks-atsakingas

Sprendimai:

1. Žinoma, kad trapecijos vidurio linija lygi pusei jos bazių sumos. Pagrindas yra lygus, o pagrindas. Tada

Atsakymas:

2. Lengviausias būdas išspręsti šią problemą – tai pažymėti (lygiagretainės taisyklės). Apskaičiuoti vektorių koordinates nesunku: . Pridedant vektorius, pridedamos koordinatės. Tada turi koordinates. Taškas taip pat turi šias koordinates, nes vektoriaus pradžia yra taškas su koordinatėmis. Mus domina ordinatės. Ji lygi.

Atsakymas:

3. Iš karto veikiame pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Atsakymas:

4. Pažvelkite į paveikslėlį ir pasakykite man, tarp kurių dviejų figūrų yra užtemdyta sritis? Jis yra tarp dviejų kvadratų. Tada norimos figūros plotas lygus didelio kvadrato plotui atėmus mažojo plotą. Mažo kvadrato kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o jos ilgis yra

Tada mažo kvadrato plotas yra

Tą patį darome su dideliu kvadratu: jo kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o ilgis -

Tada didelės aikštės plotas yra

Norimos figūros plotą randame pagal formulę:

Atsakymas:

5. Jei apskritimo centras yra pradžios taškas ir jis eina per tašką, tada jo spindulys bus tiksliai lygus atkarpos ilgiui (padarykite brėžinį ir suprasite, kodėl tai akivaizdu). Raskime šio segmento ilgį:

Atsakymas:

6. Yra žinoma, kad apie stačiakampį apibrėžto apskritimo spindulys yra lygus pusei jo įstrižainės. Raskime bet kurios iš dviejų įstrižainių ilgį (juk stačiakampyje jos yra lygios!)

Atsakymas:

Na, ar susitvarkei su viskuo? Nebuvo labai sunku tai suprasti, ar ne? Čia galioja tik viena taisyklė - sugebėti padaryti vaizdinį vaizdą ir tiesiog „perskaityti“ iš jo visus duomenis.

Mums liko labai nedaug. Yra dar du dalykai, kuriuos norėčiau aptarti.

Pabandykime išspręsti šią paprastą problemą. Tegul du taškai ir yra duoti. Raskite atkarpos vidurio taško koordinates. Šios problemos sprendimas yra toks: tegul taškas yra norimas vidurys, tada jis turi koordinates:

Tai yra: atkarpos vidurio koordinatės = atitinkamų atkarpos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Ši taisyklė labai paprasta ir dažniausiai nesukelia mokiniams sunkumų. Pažiūrėkime, kokiose problemose ir kaip jis naudojamas:

1. Surask-di-te arba-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point ir

2. Atrodo, kad taškai yra pasaulio viršūnės. Rasti-di-te arba-di-na-tu taškų per-re-se-che-niya jo dia-go-na-ley.

3. Suraskite-di-te abs-cis-su apskritimo centrą, apibūdinkite-san-noy apie stačiakampį-no-ka, kažko viršūnės turi co-or-di-na-you taip-atsakingai-bet.

Sprendimai:

1. Pirmoji problema yra tiesiog klasika. Mes nedelsdami nustatome segmento vidurį. Turi koordinates. Ordinata yra lygi.

Atsakymas:

2. Nesunku pastebėti, kad šis keturkampis yra lygiagretainis (netgi rombas!). Tai galite įrodyti patys, apskaičiavę kraštinių ilgius ir palyginę juos tarpusavyje. Ką aš žinau apie lygiagrečius? Jo įstrižainės dalijamos per pusę pagal susikirtimo tašką! Taip! Taigi, koks yra įstrižainių susikirtimo taškas? Tai bet kurios įstrižainės vidurys! Aš pasirinksiu ypač įstrižainę. Tada taškas turi koordinates Taško ordinatė yra lygi.

Atsakymas:

3. Su kuo sutampa apie stačiakampį apibrėžto apskritimo centras? Jis sutampa su jo įstrižainių susikirtimo tašku. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines? Jie yra lygūs ir susikirtimo taškas padalija juos per pusę. Užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės. Paimkime, pavyzdžiui, įstrižainę. Tada, jei yra apskritimo centras, tai yra vidurio taškas. Ieškau koordinačių: abscisė lygi.

Atsakymas:

Dabar šiek tiek pasipraktikuokite patys, tiesiog pateiksiu atsakymus į kiekvieną problemą, kad galėtumėte išbandyti save.

1. Rasti-di-te ra-di-us apskritimo, apibūdinti-san-noy apie trikampį-no-ka, kažko viršūnės turi co-or-di -on-you

2. Surask-di-te arba-di-tame apskritimo centre, apibūdink-san-noy apie trikampį-no-ka, kurio viršūnės turi koordinates

3. Koks ra-di-u-sa turi būti apskritimas, kurio centras taške liestų ab-ciss ašį?

4. Suraskite tuos arba-di-tame ašies ir iškirpimo taške, sujunkite tašką ir

Atsakymai:

Ar viskas pavyko? Labai tikiuosi! Dabar – paskutinis postūmis. Dabar būkite ypač atsargūs. Medžiaga, kurią dabar paaiškinsiu, yra tiesiogiai susijusi ne tik su paprastomis koordinačių metodo problemomis iš B dalies, bet ir yra visur C2 uždavinyje.

Kurio iš savo pažadų dar neištesėjau? Prisiminkite, kokias vektorių operacijas žadėjau įdiegti ir kurias galiausiai įvedžiau? Ar esi tikras, kad nieko nepamiršau? Pamiršau! Pamiršau paaiškinti, ką reiškia vektorinis dauginimas.

Yra du būdai, kaip vektorių padauginti iš vektoriaus. Priklausomai nuo pasirinkto metodo, gausime skirtingos prigimties objektus:

Kryžminis gaminys padarytas gana sumaniai. Kaip tai padaryti ir kodėl to reikia, aptarsime kitame straipsnyje. O šioje mes sutelksime dėmesį į skaliarinį sandaugą.

Yra du būdai, kurie leidžia mums jį apskaičiuoti:

Kaip atspėjote, rezultatas turėtų būti toks pat! Taigi pirmiausia pažvelkime į pirmąjį metodą:

Taškas produktas per koordinates

Raskite: - visuotinai priimtą skaliarinės sandaugos žymėjimą

Skaičiavimo formulė yra tokia:

Tai yra, skaliarinė sandauga = vektorių koordinačių sandaugų suma!

Pavyzdys:

Surask-di-te

Sprendimas:

Raskime kiekvieno vektoriaus koordinates:

Skaliarinį sandaugą apskaičiuojame pagal formulę:

Atsakymas:

Žiūrėkite, visiškai nieko sudėtingo!

Na, o dabar pabandykite patys:

· Raskite šimtmečių skaliarinį pro-iz-ve-de-nie ir

Ar susitvarkei? Galbūt pastebėjote mažą laimikį? Patikrinkime:

Vektorinės koordinatės, kaip ir ankstesniame uždavinyje! Atsakymas:.

Be koordinatės, yra ir kitas būdas apskaičiuoti skaliarinę sandaugą, būtent pagal vektorių ilgius ir kampo tarp jų kosinusą:

Žymi kampą tarp vektorių ir.

Tai yra, skaliarinė sandauga yra lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

Kam mums reikalinga ši antroji formulė, jei turime pirmąją, kuri yra daug paprastesnė, joje bent jau nėra kosinusų. Ir jis reikalingas tam, kad iš pirmos ir antros formulių jūs ir aš galėtume nuspręsti, kaip rasti kampą tarp vektorių!

Leiskite Tada prisiminkite vektoriaus ilgio formulę!

Tada, jei pakeisiu šiuos duomenis į skaliarinės produkto formulę, gaunu:

Bet iš kitos pusės:

Taigi ką jūs ir aš gavome? Dabar turime formulę, leidžiančią apskaičiuoti kampą tarp dviejų vektorių! Kartais dėl trumpumo taip pat parašyta:

Tai yra, kampo tarp vektorių skaičiavimo algoritmas yra toks:

1. Apskaičiuokite skaliarinę sandaugą per koordinates
2. Raskite vektorių ilgius ir padauginkite juos
3. 1 punkto rezultatą padalinkite iš 2 punkto rezultato

Praktikuokime su pavyzdžiais:

1. Raskite kampą tarp vokų ir. Pateikite atsakymą grad-du-sah.

2. Ankstesnio uždavinio sąlygomis raskite kosinusą tarp vektorių

Padarykime taip: aš padėsiu jums išspręsti pirmąją problemą, o antrąją pabandykite padaryti patys! Sutinku? Tada pradėkime!

1. Šie vektoriai yra mūsų seni draugai. Mes jau apskaičiavome jų skaliarinį sandaugą ir jis buvo lygus. Jų koordinatės yra: , . Tada randame jų ilgius:

Tada ieškome kosinuso tarp vektorių:

Koks yra kampo kosinusas? Tai yra kampas.

Atsakymas:

Na, dabar išspręskite antrąją problemą patys, o tada palyginkite! Pateiksiu tik labai trumpą sprendimą:

2. turi koordinates, turi koordinates.

Leisti būti kampas tarp vektorių ir, tada

Atsakymas:

Pažymėtina, kad uždaviniai tiesiai ant vektorių ir koordinačių metodo egzamino darbo B dalyje yra gana reti. Tačiau didžiąją dalį C2 problemų galima nesunkiai išspręsti įdiegus koordinačių sistemą. Taigi šį straipsnį galite laikyti pagrindu, kurio pagrindu sukursime gana protingas konstrukcijas, kurių mums prireiks sprendžiant sudėtingas problemas.

KOORDINATES IR VEKTORIAI. VIDUTINIS LYGIS

Jūs ir aš toliau studijuojame koordinačių metodą. Paskutinėje dalyje išvedėme keletą svarbių formulių, kurios leidžia:

1. Raskite vektorių koordinates
2. Raskite vektoriaus ilgį (arba atstumą tarp dviejų taškų)
3. Sudėkite ir atimkite vektorius. Padauginkite juos iš tikrojo skaičiaus
4. Raskite atkarpos vidurio tašką
5. Apskaičiuokite vektorių taškinę sandaugą
6. Raskite kampą tarp vektorių

Žinoma, visas koordinačių metodas netelpa į šiuos 6 taškus. Juo grindžiamas toks mokslas kaip analitinė geometrija, su kuriuo susipažinsite universitete. Aš tiesiog noriu sukurti pagrindą, kuris leistų jums išspręsti problemas vienoje valstybėje. egzaminas. Mes atlikome B dalies užduotis. Dabar laikas pereiti į visiškai naują lygį! Šis straipsnis bus skirtas tų C2 uždavinių, kuriuose būtų tikslinga pereiti prie koordinačių metodo, sprendimo būdui. Šį pagrįstumą lemia tai, ką reikia rasti užduotyje ir koks skaičius pateikiamas. Taigi, aš naudočiau koordinačių metodą, jei klausimai yra tokie:

1. Raskite kampą tarp dviejų plokštumų
2. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos
3. Raskite kampą tarp dviejų tiesių
4. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos
5. Raskite atstumą nuo taško iki linijos
6. Raskite atstumą nuo tiesės iki plokštumos
7. Raskite atstumą tarp dviejų eilučių

Jei uždavinio teiginyje pateikta figūra yra besisukantis kūnas (rutulys, cilindras, kūgis...)

Tinkami skaičiai koordinačių metodui yra:

1. Stačiakampis gretasienis
2. Piramidė (trikampė, keturkampė, šešiakampė)

Taip pat iš savo patirties netikslinga naudoti koordinačių metodą:

1. Skerspjūvio plotų radimas
2. Kūnų tūrių skaičiavimas

Tačiau iš karto reikia pažymėti, kad trys „nepalankios“ situacijos koordinačių metodui praktikoje yra gana retos. Daugumoje užduočių jis gali tapti jūsų gelbėtoju, ypač jei jums nelabai sekasi trimatės konstrukcijos (kurios kartais gali būti gana sudėtingos).

Kokie yra visi aukščiau išvardyti skaičiai? Jie nebėra plokšti, kaip, pavyzdžiui, kvadratas, trikampis, apskritimas, o tūriniai! Atitinkamai, turime atsižvelgti į ne dvimatę, o trimatę koordinačių sistemą. Jį sukonstruoti gana paprasta: tik be abscisių ir ordinačių ašių pristatysime dar vieną ašį – taikomąją ašį. Paveiksle schematiškai parodyta jų santykinė padėtis:

Visos jos yra viena kitai statmenos ir susikerta viename taške, kurį vadinsime koordinačių pradžia. Kaip ir anksčiau, žymėsime abscisių ašį, ordinačių ašį - ir įvestą taikomąją ašį - .

Jei anksčiau kiekvienas plokštumos taškas buvo apibūdintas dviem skaičiais – abscisėmis ir ordinatėmis, tai kiekvienas erdvės taškas jau apibūdinamas trimis skaičiais – abscise, ordinate ir aplikacija. Pavyzdžiui:

Atitinkamai, taško abscisė yra lygi, ordinatės yra Ir taikyti yra .

Kartais taško abscisė taip pat vadinama taško projekcija į abscisių ašį, ordinate - taško projekcija į ordinačių ašį, o aplikacija - taško projekcija į taikomąją ašį. Atitinkamai, jei duotas taškas, tada taškas su koordinatėmis:

vadinama taško projekcija į plokštumą

vadinama taško projekcija į plokštumą

Kyla natūralus klausimas: ar visos dvimačio atvejo formulės galioja erdvėje? Atsakymas yra taip, jie yra teisingi ir turi tą pačią išvaizdą. Dėl mažos detalės. Manau, jūs jau atspėjote, kuris iš jų yra. Visose formulėse turėsime pridėti dar vieną terminą, atsakingą už taikomąją ašį. Būtent.

1. Jei duoti du taškai: , tada:

• Vektorinės koordinatės:
• Atstumas tarp dviejų taškų (arba vektoriaus ilgis)
• Atkarpos vidurio taškas turi koordinates

2. Jei pateikti du vektoriai: ir, tada:

• Jų skaliarinė sandauga yra lygi:
• Kampo tarp vektorių kosinusas yra lygus:

Tačiau erdvė nėra taip paprasta. Kaip suprantate, pridėjus dar vieną koordinatę, šioje erdvėje „gyvenančių“ figūrų spektras įveda didelę įvairovę. O tolimesniam pasakojimui reikės įvesti šiek tiek, grubiai tariant, tiesios linijos „apibendrinimą“. Šis „apibendrinimas“ bus lėktuvas. Ką tu žinai apie lėktuvą? Pabandykite atsakyti į klausimą, kas yra lėktuvas? Labai sunku pasakyti. Tačiau mes visi intuityviai įsivaizduojame, kaip tai atrodo:

Grubiai tariant, tai savotiškas begalinis „lapas“, įstrigęs erdvėje. „Begalybė“ turėtų būti suprantama taip, kad plokštuma tęsiasi visomis kryptimis, tai yra, jos plotas yra lygus begalybei. Tačiau šis „praktiškas“ paaiškinimas neduoda nė menkiausio supratimo apie lėktuvo struktūrą. Ir būtent ji mumis susidomės.

Prisiminkime vieną iš pagrindinių geometrijos aksiomų:

• tiesi linija eina per du skirtingus plokštumos taškus ir tik vieną:

Arba jo analogas erdvėje:

Žinoma, jūs prisimenate, kaip iš dviejų nurodytų taškų išvesti tiesės lygtį: jei pirmasis taškas turi koordinates: o antrasis, tada tiesės lygtis bus tokia:

Jūs mokėjote tai 7 klasėje. Erdvėje tiesės lygtis atrodo taip: duokime du taškus su koordinatėmis: , tada per juos einančios tiesės lygtis turi tokią formą:

Pavyzdžiui, linija eina per taškus:

Kaip tai reikėtų suprasti? Tai turėtų būti suprantama taip: taškas yra tiesėje, jei jo koordinatės atitinka šią sistemą:

Tiesės lygtis mums nelabai bus įdomi, bet reikia atkreipti dėmesį į labai svarbią tiesės krypties vektoriaus sampratą. - bet koks nulinis vektorius, esantis tam tikroje tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Pavyzdžiui, abu vektoriai yra tiesės krypties vektoriai. Leisti būti tašku, esančiu ant linijos, ir tegul būti jo krypties vektoriumi. Tada linijos lygtį galima parašyti tokia forma:

Dar kartą man nebus labai įdomi tiesės lygtis, bet man tikrai reikia, kad atsimintumėte, kas yra krypties vektorius! Dar kartą: tai BET koks nulinis vektorius, esantis tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Atsitraukti plokštumos lygtis, pagrįsta trimis taškais nebėra toks nereikšmingas, o vidurinės mokyklos kursuose šis klausimas paprastai nesprendžiamas. Bet veltui! Ši technika yra gyvybiškai svarbi, kai pasitelkiame koordinačių metodą sudėtingoms problemoms spręsti. Tačiau manau, kad trokštate išmokti ko nors naujo? Be to, universitete galėsite sužavėti savo dėstytoją, kai paaiškės, kad jau mokate naudotis technika, kuri paprastai mokoma analitinės geometrijos kurse. Taigi pradėkime.

Plokštumos lygtis per daug nesiskiria nuo tiesės plokštumoje lygties, būtent, ji turi tokią formą:

kai kurie skaičiai (ne visi lygūs nuliui), bet kintamieji, pvz.: etc. Kaip matote, plokštumos lygtis nelabai skiriasi nuo tiesės (tiesinės funkcijos) lygties. Tačiau pamenate, dėl ko jūs ir aš ginčijosi? Sakėme, kad jei turime tris taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, tai iš jų galima vienareikšmiškai atkurti plokštumos lygtį. Bet kaip? Pabandysiu tau tai paaiškinti.

Kadangi plokštumos lygtis yra:

Ir taškai priklauso šiai plokštumai, tada pakeisdami kiekvieno taško koordinates į plokštumos lygtį, turėtume gauti teisingą tapatybę:

Taigi, reikia išspręsti tris lygtis su nežinomaisiais! Dilema! Tačiau visada galite manyti, kad (norėdami tai padaryti, turite padalyti iš). Taigi gauname tris lygtis su trimis nežinomaisiais:

Tačiau mes tokios sistemos neišspręsime, o išrašysime iš jos išplaukiančią paslaptingą išraišką:

Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis

\[\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(masyvas)) \right| = 0\]

Sustok! Kas tai yra? Kažkoks labai neįprastas modulis! Tačiau objektas, kurį matote priešais save, neturi nieko bendra su moduliu. Šis objektas vadinamas trečios eilės determinantu. Nuo šiol, kai sprendžiate koordinačių metodą plokštumoje, labai dažnai susidursite su tais pačiais determinantais. Kas yra trečiosios eilės determinantas? Kaip bebūtų keista, tai tik skaičius. Belieka suprasti, kokį konkretų skaičių lyginsime su determinantu.

Pirmiausia parašykime trečiosios eilės determinantą bendresne forma:

Kur yra keletas skaičių. Be to, pirmuoju indeksu turime omenyje eilutės numerį, o indeksu - stulpelio numerį. Pavyzdžiui, tai reiškia, kad šis skaičius yra antrosios eilutės ir trečiojo stulpelio sankirtoje. Užduokime tokį klausimą: kaip tiksliai apskaičiuosime tokį determinantą? Tai yra, su kokiu konkrečiu skaičiumi lyginsime? Trečiosios eilės determinantui yra euristinio (vaizdinio) trikampio taisyklė, ji atrodo taip:

1. Pagrindinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį) pirmąjį trikampį sudarančių elementų sandauga „statmenai“ pagrindinei įstrižai, elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ sandauga pagrindinė įstrižainė
2. Antrinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinio dešiniojo kampo į apatinį kairįjį) pirmąjį trikampį sudarančių elementų sandauga „statmenai“ antrinei įstrižai, elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ sandauga. antrinė įstrižainė
3. Tada determinantas yra lygus skirtumui tarp verčių, gautų žingsnyje ir

Jei visa tai užrašysime skaičiais, gautume tokią išraišką:

Tačiau jums nereikia atsiminti skaičiavimo metodo šioje formoje, pakanka tik turėti galvoje trikampius ir pačią idėją, kas iš ko susideda ir kas iš ko atimama).

Iliustruojame trikampio metodą pavyzdžiu:

1. Apskaičiuokite determinantą:

Išsiaiškinkime, ką pridedame ir ką atimame:

Sąlygos su pliusu:

Tai yra pagrindinė įstrižainė: elementų sandauga yra lygi

Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra lygi

Antrasis trikampis, "statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra lygi

Sudėkite tris skaičius:

Sąlygos su minusu

Tai šoninė įstrižainė: elementų sandauga lygi

Pirmasis trikampis, „statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga lygi

Antrasis trikampis, „statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga lygi

Sudėkite tris skaičius:

Viskas, ką reikia padaryti, tai atimti „pliuso“ terminų sumą iš „minuso“ terminų sumos:

Taigi,

Kaip matote, skaičiuojant trečiosios eilės determinantus nėra nieko sudėtingo ar antgamtiško. Tiesiog svarbu atsiminti apie trikampius ir nedaryti aritmetinių klaidų. Dabar pabandykite tai apskaičiuoti patys:

Mes tikriname:

1. Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
2. Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
3. Terminų suma su pliusu:
4. Pirmasis trikampis, statmenas antrinei įstrižai:
5. Antrasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
6. Terminų suma su minusu:
7. Terminų su pliusu suma atėmus terminų su minusu sumą:

Štai dar pora determinantų, patys apskaičiuokite jų vertes ir palyginkite su atsakymais:

Atsakymai:

Na, ar viskas sutapo? Puiku, tada galite judėti toliau! Jei kyla sunkumų, mano patarimas yra toks: internete yra daug programų, skirtų determinantui apskaičiuoti internete. Tereikia sugalvoti savo determinantą, pačiam jį apskaičiuoti ir tada palyginti su tuo, ką apskaičiuoja programa. Ir taip toliau, kol rezultatai pradės sutapti. Esu tikras, kad ši akimirka neužtruks!

Dabar grįžkime prie determinanto, kurį parašiau, kai kalbėjau apie plokštumos, kertančios tris duotus taškus, lygtį:

Viskas, ko jums reikia, yra tiesiogiai apskaičiuoti jo vertę (naudojant trikampio metodą) ir nustatyti rezultatą į nulį. Žinoma, kadangi tai yra kintamieji, gausite tam tikrą išraišką, kuri priklauso nuo jų. Būtent ši išraiška bus lygtis plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje!

Iliustruojame tai paprastu pavyzdžiu:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Mes sudarome šių trijų taškų determinantą:

Supaprastinkime:

Dabar apskaičiuojame tiesiogiai naudodami trikampio taisyklę:

\[(\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(masyvas)) \ dešinė|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Taigi plokštumos, einančios per taškus, lygtis yra tokia:

Dabar pabandykite patys išspręsti vieną problemą, tada mes ją aptarsime:

2. Raskite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Na, dabar aptarkime sprendimą:

Sukurkime determinantą:

Ir apskaičiuokite jo vertę:

Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba sumažinus, gauname:

Dabar dvi savikontrolės užduotys:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per tris taškus, lygtį:

Atsakymai:

Ar viskas sutapo? Vėlgi, jei yra tam tikrų sunkumų, mano patarimas yra toks: paimkite tris taškus iš galvos (su didele tikimybe, kad jie nebus toje pačioje tiesėje), pagal juos sukurkite plokštumą. Ir tada jūs patikrinate save internete. Pavyzdžiui, svetainėje:

Tačiau determinantų pagalba sukonstruosime ne tik plokštumos lygtį. Prisiminkite, sakiau, kad vektoriams apibrėžiamas ne tik taškinis produktas. Taip pat yra vektorinis produktas, taip pat mišrus produktas. Ir jei dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius, tai dviejų vektorių vektorinė sandauga bus vektorius, o šis vektorius bus statmenas duotiesiems:

Be to, jo modulis bus lygus lygiagretainio, pastatyto ant vektorių ir, plotui. Mums reikės šio vektoriaus, kad galėtume apskaičiuoti atstumą nuo taško iki linijos. Kaip galime apskaičiuoti vektorių sandaugą ir, jei pateiktos jų koordinatės? Trečios eilės determinantas vėl ateina mums į pagalbą. Tačiau prieš pereinant prie vektorinės sandaugos skaičiavimo algoritmo, turiu padaryti nedidelį nukrypimą.

Šis nukrypimas susijęs su baziniais vektoriais.

Jie schematiškai parodyti paveikslėlyje:

Kodėl manote, kad jie vadinami pagrindiniais? Esmė ta, kad:

Arba nuotraukoje:

Šios formulės pagrįstumas yra akivaizdus, ​​nes:

Vektorinis meno kūrinys

Dabar galiu pradėti pristatyti kryžminį produktą:

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, kuris apskaičiuojamas pagal šią taisyklę:

Dabar pateiksime keletą kryžminio sandaugų skaičiavimo pavyzdžių:

1 pavyzdys: Raskite vektorių kryžminę sandaugą:

Sprendimas: Sudarau determinantą:

Ir aš paskaičiuoju:

Dabar, rašydamas bazinius vektorius, grįšiu prie įprasto vektorinio žymėjimo:

Taigi:

Dabar pabandykite.

Pasiruošę? Mes tikriname:

Ir tradiciškai du kontrolės užduotys:

1. Raskite šių vektorių vektorinę sandaugą:
2. Raskite šių vektorių vektorinę sandaugą:

Atsakymai:

Mišrus trijų vektorių sandauga

Paskutinė konstrukcija, kurios man prireiks, yra trijų vektorių mišrus sandauga. Tai, kaip ir skaliaras, yra skaičius. Yra du būdai jį apskaičiuoti. - per determinantą, - per mišrų produktą.

Būtent, duokite mums tris vektorius:

Tada trijų vektorių, žymimų mišrią sandaugą, galima apskaičiuoti taip:

1. – tai yra, mišrus sandauga yra vektoriaus skaliarinė sandauga ir dviejų kitų vektorių vektorinė sandauga

Pavyzdžiui, trijų vektorių mišrus sandauga yra:

Pabandykite patys apskaičiuoti naudodami vektorinę sandaugą ir įsitikinkite, kad rezultatai sutampa!

Ir vėl du nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai:

Atsakymai:

Koordinačių sistemos pasirinkimas

Na, o dabar turime visas reikalingas žinias, kad galėtume išspręsti sudėtingas stereometrinės geometrijos problemas. Tačiau prieš pereinant tiesiai prie pavyzdžių ir jų sprendimo algoritmų, manau, bus naudinga pasilikti prie šio klausimo: kaip tiksliai pasirinkti tam tikros figūros koordinačių sistemą. Juk nuo koordinačių sistemos ir figūros santykinės padėties erdvėje pasirinkimas galiausiai lems, kiek sudėtingi bus skaičiavimai.

Leiskite jums priminti, kad šiame skyriuje nagrinėjame šiuos skaičius:

1. Stačiakampis gretasienis
2. Tiesi prizmė (trikampė, šešiakampė...)
3. Piramidė (trikampė, keturkampė)
4. Tetraedras (tas pats kaip trikampė piramidė)

Stačiakampiui gretasieniui arba kubui rekomenduoju tokią konstrukciją:

Tai yra, aš pastatysiu figūrą „kampe“. Kubas ir gretasienis yra labai geros figūros. Jiems visada nesunkiai galite rasti jo viršūnių koordinates. Pavyzdžiui, jei (kaip parodyta paveikslėlyje)

tada viršūnių koordinatės yra tokios:

Žinoma, jums to nereikia atsiminti, tačiau patartina atsiminti, kaip geriausiai išdėstyti kubą ar stačiakampį gretasienį.

Tiesi prizmė

Prizmė yra žalingesnė figūra. Jis gali būti išdėstytas erdvėje įvairiais būdais. Tačiau man priimtiniausias atrodo toks variantas:

Trikampė prizmė:

Tai reiškia, kad vieną iš trikampio kraštinių visiškai pastatome ant ašies, o viena iš viršūnių sutampa su koordinačių pradžia.

Šešiakampė prizmė:

Tai yra, viena iš viršūnių sutampa su pradžia, o viena iš kraštinių yra ant ašies.

Keturkampė ir šešiakampė piramidė:

Situacija panaši į kubą: dvi pagrindo puses sulygiuojame su koordinačių ašimis, o vieną iš viršūnių sulyginame su koordinačių pradžia. Vienintelis nedidelis sunkumas bus apskaičiuoti taško koordinates.

Šešiakampei piramidei – tas pats, kas šešiakampei prizmei. Pagrindinis uždavinys vėl bus surasti viršūnės koordinates.

Tetraedras (trikampė piramidė)

Situacija labai panaši į tą, kurią pateikiau trikampei prizmei: viena viršūnė sutampa su pradžia, viena pusė guli koordinačių ašyje.

Na, dabar jūs ir aš pagaliau esame netoli nuo to, kad pradėtume spręsti problemas. Iš to, ką sakiau pačioje straipsnio pradžioje, galite padaryti tokią išvadą: dauguma C2 problemų yra suskirstytos į 2 kategorijas: kampo problemos ir atstumo problemos. Pirmiausia panagrinėsime kampo paieškos problemas. Jie savo ruožtu skirstomi į šias kategorijas (dėl jų sudėtingumo):

Problemos ieškant kampų

1. Kampo tarp dviejų tiesių nustatymas
2. Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas

Pažvelkime į šias problemas nuosekliai: pradėkime nuo kampo tarp dviejų tiesių. Na, atsiminkite, ar mes su jumis anksčiau nesprendėme panašių pavyzdžių? Ar pamenate, mes jau turėjome kažką panašaus... Ieškojome kampo tarp dviejų vektorių. Leiskite jums priminti, jei pateikti du vektoriai: ir, tada kampas tarp jų randamas iš santykio:

Dabar mūsų tikslas yra rasti kampą tarp dviejų tiesių. Pažvelkime į „plokštų paveikslėlį“:

Kiek kampų gavome, kai susikerta dvi tiesės? Tik keli dalykai. Tiesa, tik dvi iš jų yra nelygios, o kitos yra joms vertikalios (taigi su jais sutampa). Taigi, kurį kampą turėtume laikyti kampu tarp dviejų tiesių: ar? Čia yra taisyklė: kampas tarp dviejų tiesių visada yra ne didesnis kaip laipsniai. Tai yra, iš dviejų kampų mes visada rinksimės kampą su mažiausiu laipsniu. Tai yra, šiame paveikslėlyje kampas tarp dviejų tiesių yra lygus. Kad nereikėtų kiekvieną kartą vargti ieškant mažiausio iš dviejų kampų, gudrūs matematikai pasiūlė naudoti modulį. Taigi kampas tarp dviejų tiesių nustatomas pagal formulę:

Jums, kaip dėmesingam skaitytojui, turėjo kilti klausimas: iš kur tiksliai gauname tuos skaičius, kurių reikia kampo kosinusui apskaičiuoti? Atsakymas: mes juos paimsime iš linijų krypties vektorių! Taigi kampo tarp dviejų tiesių nustatymo algoritmas yra toks:

1. Taikome 1 formulę.

Arba išsamiau:

1. Ieškome pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
2. Ieškome antrosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
3. Apskaičiuojame jų skaliarinės sandaugos modulį
4. Mes ieškome pirmojo vektoriaus ilgio
5. Mes ieškome antrojo vektoriaus ilgio
6. 4 punkto rezultatus padauginkite iš 5 punkto rezultatų
7. 3 taško rezultatą padalijame iš 6 taško rezultato. Gauname kampo tarp tiesių kosinusą
8. Jei šis rezultatas leidžia tiksliai apskaičiuoti kampą, mes jo ieškome
9. Kitu atveju rašome per lanko kosinusą

Na, o dabar laikas pereiti prie problemų: pirmųjų dviejų sprendimą pademonstruosiu išsamiai, kitos trumpai pateiksiu sprendimą, o į paskutines dvi problemas pateiksiu tik atsakymus, kuriuos turite neštis visus jų skaičiavimus atlikite patys.

Užduotys:

1. Dešinėje tet-ra-ed-re raskite kampą tarp tet-ra-ed-ra aukščio ir vidurinės pusės.

2. Dešiniajame šešių kampų pi-ra-mi-de šimtas os-no-va-niyų yra lygūs, o šoninės briaunos lygios, raskite kampą tarp linijų ir.

3. Dešiniosios keturių anglių pi-ra-mi-dy visų kraštinių ilgiai lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesių ir jei nuo pjūvio - esate su duotu pi-ra-mi-dy, taškas yra se-re-di-ant jo bo-co- antrojo šonkaulių

4. Kubo krašte yra taškas, kad Raskite kampą tarp tiesių ir

5. Taškas – kubo kraštuose Raskite kampą tarp tiesių ir.

Neatsitiktinai užduotis išdėliojau tokia tvarka. Kol dar nepradėjote naršyti koordinačių metodu, aš pats analizuosiu „problemiškiausias“ figūras ir paliksiu jums spręsti paprasčiausią kubą! Palaipsniui teks išmokti dirbti su visomis figūromis, didinsiu užduočių sudėtingumą nuo temos iki temos.

Pradėkime spręsti problemas:

1. Nubraižykite tetraedrą, įdėkite jį į koordinačių sistemą, kaip siūliau anksčiau. Kadangi tetraedras yra taisyklingas, visi jo paviršiai (įskaitant pagrindą) yra taisyklingi trikampiai. Kadangi mums nenurodytas kraštinės ilgis, galiu priimti jį kaip lygų. Manau, jūs suprantate, kad kampas iš tikrųjų nepriklausys nuo to, kiek mūsų tetraedras yra „ištemptas“? Taip pat nubrėžiu aukštį ir medianą tetraedre. Pakeliui nupiešiu jo pagrindą (mums irgi pravers).

Turiu rasti kampą tarp ir. Ką mes žinome? Žinome tik taško koordinates. Tai reiškia, kad turime rasti taškų koordinates. Dabar galvojame: taškas yra trikampio aukščių (arba pusiausvyrų arba medianų) susikirtimo taškas. O taškas yra iškilęs taškas. Taškas yra segmento vidurys. Tada pagaliau reikia rasti: taškų koordinates: .

Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko: taško koordinačių. Pažvelkite į paveikslą: Aišku, kad taško aplikacija yra lygi nuliui (taškas yra plokštumoje). Jo ordinatė yra lygi (nes ji yra mediana). Sunkiau rasti jo abscisę. Tačiau tai nesunku padaryti remiantis Pitagoro teorema: Apsvarstykite trikampį. Jo hipotenuzė yra lygi, o viena iš jo kojų lygi Tada:

Pagaliau turime:.

Dabar suraskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo taikymas vėl lygus nuliui, o jo ordinatė yra tokia pati kaip taško, tai yra. Raskime jo abscisę. Tai daroma gana trivialiai, jei tai prisimenate lygiakraščio trikampio aukščiai pagal susikirtimo tašką dalijami proporcingai, skaičiuojant nuo viršaus. Kadangi: , tai taško reikiamoji abscisė, lygi atkarpos ilgiui, yra lygi: . Taigi taško koordinatės yra šios:

Raskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Ir aplikacija yra lygi segmento ilgiui. - tai viena iš trikampio kojų. Trikampio hipotenuzė yra atkarpa – koja. Jo ieškoma dėl priežasčių, kurias paryškinau paryškintu šriftu:

Taškas yra segmento vidurys. Tada turime prisiminti atkarpos vidurio taško koordinačių formulę:

Tai viskas, dabar galime ieškoti krypties vektorių koordinačių:

Na, viskas paruošta: visus duomenis pakeičiame į formulę:

Taigi,

Atsakymas:

Neturėtumėte išsigąsti tokių „baisių“ atsakymų: C2 problemų atveju tai yra įprasta praktika. Mane labiau nustebins „gražus“ atsakymas šioje dalyje. Be to, kaip pastebėjote, aš praktiškai nesinaudojau niekuo kitu, išskyrus Pitagoro teoremą ir lygiakraščio trikampio aukščių savybę. Tai yra, norėdamas išspręsti stereometrinę problemą, aš panaudojau minimalų stereometrijos kiekį. Šio pelno padidėjimas iš dalies „užgesinamas“ gana sudėtingais skaičiavimais. Bet jie yra gana algoritmiški!

2. Pavaizduokime taisyklingą šešiakampę piramidę kartu su koordinačių sistema ir jos pagrindu:

Turime rasti kampą tarp linijų ir. Taigi mūsų užduotis yra rasti taškų koordinates: . Paskutiniųjų trijų koordinates rasime naudodami nedidelį piešinį, o viršūnės koordinates – per taško koordinatę. Darbo yra daug, bet mes turime pradėti!

a) Koordinatė: aišku, kad jos aplikacija ir ordinatė yra lygios nuliui. Raskime abscisę. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį. Deja, mes žinome tik hipotenuzą, kuri yra lygi. Bandysime surasti koją (nes aišku, kad dvigubai ilgesnis kojos ilgis suteiks taško abscisę). Kaip mes galime jo ieškoti? Prisiminkime, kokią figūrą turime piramidės pagrinde? Tai įprastas šešiakampis. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs. Turime rasti vieną tokį kampą. Turite idėjų? Idėjų yra daug, bet yra formulė:

Taisyklingo n kampo kampų suma yra .

Taigi taisyklingo šešiakampio kampų suma lygi laipsniams. Tada kiekvienas kampas yra lygus:

Dar kartą pažiūrėkime į paveikslėlį. Akivaizdu, kad atkarpa yra kampo pusiausvyra. Tada kampas lygus laipsniams. Tada:

Tada iš kur.

Taigi, turi koordinates

b) Dabar galime lengvai rasti taško koordinatę: .

c) Raskite taško koordinates. Kadangi jos abscisė sutampa su atkarpos ilgiu, ji yra lygi. Surasti ordinates taip pat nėra labai sunku: jei sujungsime taškus ir tiesės susikirtimo tašką nurodysime, tarkime, . (pasidaryk pats paprasta konstrukcija). Tada Taigi taško B ordinatė yra lygi atkarpų ilgių sumai. Dar kartą pažvelkime į trikampį. Tada

Tada nuo Tada taškas turi koordinates

d) Dabar suraskime taško koordinates. Apsvarstykite stačiakampį ir įrodykite, kad Taigi taško koordinatės yra:

e) Belieka rasti viršūnės koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Raskime taikymą. Nuo tada. Apsvarstykite statųjį trikampį. Pagal problemos sąlygas šoninis kraštas. Tai mano trikampio hipotenuzė. Tada piramidės aukštis yra koja.

Tada taškas turi koordinates:

Na, tiek, turiu visų mane dominančių taškų koordinates. Ieškau tiesių krypties vektorių koordinačių:

Mes ieškome kampo tarp šių vektorių:

Atsakymas:

Vėlgi, spręsdamas šią problemą, nenaudojau jokių sudėtingų metodų, išskyrus taisyklingo n kampo kampų sumos formulę, taip pat stačiojo trikampio kosinuso ir sinuso apibrėžimą.

3. Kadangi mums vėlgi nėra pateikti piramidės briaunų ilgiai, aš juos laikysiu lygiais vienetui. Taigi, kadangi VISOS briaunos, o ne tik šoninės, yra lygios viena kitai, tai piramidės pagrindu ir aš yra kvadratas, o šoniniai paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Nubraižykime tokią piramidę, taip pat jos pagrindą plokštumoje, atkreipdami dėmesį į visus uždavinio tekste pateiktus duomenis:

Mes ieškome kampo tarp ir. Labai trumpai paskaičiuosiu, kai ieškosiu taškų koordinačių. Turėsite juos „iššifruoti“:

b) - atkarpos vidurys. Jo koordinatės:

c) Atkarpos ilgį surasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Galiu jį rasti naudodamas Pitagoro teoremą trikampyje.

Koordinatės:

d) - atkarpos vidurys. Jo koordinatės yra

e) Vektorių koordinatės

f) Vektorių koordinatės

g) Ieškau kampo:

Kubas yra paprasčiausia figūra. Esu tikras, kad tai išsiaiškinsi pats. Atsakymai į 4 ir 5 uždavinius yra tokie:

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas

Na, paprastų galvosūkių laikas baigėsi! Dabar pavyzdžiai bus dar sudėtingesni. Norėdami rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos, atliksime šiuos veiksmus:

1. Naudodami tris taškus sudarome plokštumos lygtį
   ,
   naudojant trečiosios eilės determinantą.
2. Naudodami du taškus ieškome tiesės krypties vektoriaus koordinačių:
3. Kampui tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuoti taikome formulę:

Kaip matote, ši formulė yra labai panaši į tą, kurią naudojome norėdami rasti kampus tarp dviejų tiesių. Dešinėje pusėje struktūra tiesiog tokia pati, o kairėje dabar ieškome sinuso, o ne kosinuso, kaip anksčiau. Na, buvo pridėtas vienas bjaurus veiksmas – plokštumos lygties paieška.

Neatidėliokime sprendimų pavyzdžiai:

1. Pagrindinė-bet-va-ni-em tiesioginė prizmė-mes lygūs-vargšų-ren-trikampio-slapyvardis tu-ir ta prizmė-mes lygūs. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos

2. Stačiakampėje par-ral-le-le-pi-pe-de iš vakarų Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos

3. Dešiniojoje šešiakampėje prizmėje visos briaunos lygios. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos.

4. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su žinomų briaunų os-no-va-ni-em Raskite kampą, ob-ra-zo-van -plokščias pagrindo ir tiesus, einantis per pilką. šonkauliai ir

5. Stačiojo keturkampio pi-ra-mi-dy su viršūne visų kraštinių ilgiai lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos, jei taškas yra pi-ra-mi-dy briaunos viduryje.

Vėlgi, pirmąsias dvi problemas išspręsiu išsamiai, trečiąją – trumpai, o paskutines dvi paliksiu spręsti patiems. Be to, jau teko susidurti su trikampėmis ir keturkampėmis piramidėmis, bet dar ne su prizmėmis.

Sprendimai:

1. Pavaizduokime prizmę, taip pat jos pagrindą. Sujungkime ją su koordinačių sistema ir pažymime visus problemos teiginyje pateiktus duomenis:

Atsiprašau už proporcijų nesilaikymą, bet problemos sprendimui tai iš tikrųjų nėra taip svarbu. Lėktuvas yra tiesiog mano prizmės „galinė siena“. Pakanka tiesiog atspėti, kad tokios plokštumos lygtis turi tokią formą:

Tačiau tai gali būti parodyta tiesiogiai:

Parinkime savavališkus tris šios plokštumos taškus: pavyzdžiui, .

Sukurkime plokštumos lygtį:

Pratimas jums: apskaičiuokite šį determinantą patys. Ar pavyko? Tada plokštumos lygtis atrodo taip:

Arba tiesiog

Taigi,

Norėdami išspręsti pavyzdį, turiu rasti tiesės krypties vektoriaus koordinates. Kadangi taškas sutampa su koordinačių pradžia, vektoriaus koordinatės tiesiog sutaps su taško koordinatėmis.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį. Nubrėžkime aukštį (taip pat žinomą kaip mediana ir pusiausvyra) iš viršūnės. Kadangi taško ordinatė yra lygi. Norėdami rasti šio taško abscisę, turime apskaičiuoti atkarpos ilgį. Pagal Pitagoro teoremą turime:

Tada taškas turi koordinates:

Taškas yra „pakeltas“ taškas:

Tada vektoriaus koordinatės yra:

Atsakymas:

Kaip matote, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Tiesą sakant, procesą šiek tiek supaprastina tokios figūros, kaip prizmė, „tiesumas“. Dabar pereikime prie kito pavyzdžio:

2. Nubrėžkite gretasienį, nubrėžkite jame plokštumą ir tiesią liniją, taip pat atskirai nubrėžkite jos apatinį pagrindą:

Pirmiausia randame plokštumos lygtį: Trijų joje esančių taškų koordinatės:

(pirmosios dvi koordinatės gaunamos akivaizdžiai, o paskutinę koordinatę galite lengvai rasti paveikslėlyje nuo taško). Tada sudarome plokštumos lygtį:

Skaičiuojame:

Mes ieškome kreipiamojo vektoriaus koordinačių: aišku, kad jo koordinatės sutampa su taško koordinatėmis, ar ne? Kaip rasti koordinates? Tai yra taško koordinatės, pakeltos išilgai taikymo ašies vienu! . Tada ieškome norimo kampo:

Atsakymas:

3. Nubrėžkite taisyklingą šešiakampę piramidę, tada nubrėžkite plokštumą ir tiesią liniją.

Čia net problematiška nubrėžti plokštumą, jau nekalbant apie šios problemos sprendimą, tačiau koordinačių metodas nerūpi! Jo universalumas yra pagrindinis privalumas!

Lėktuvas kerta tris taškus: . Ieškome jų koordinačių:

1) . Paskutinių dviejų taškų koordinates sužinokite patys. Tam jums reikės išspręsti šešiakampės piramidės problemą!

2) Sudarome plokštumos lygtį:

Ieškome vektoriaus koordinačių: . (Dar kartą žiūrėkite trikampės piramidės problemą!)

3) Ieškau kampo:

Atsakymas:

Kaip matote, šiose užduotyse nėra nieko antgamtiškai sudėtingo. Tik reikia labai atsargiai elgtis su šaknimis. Pateiksiu atsakymus tik į paskutines dvi problemas:

Kaip matote, uždavinių sprendimo technika visur yra vienoda: pagrindinė užduotis yra surasti viršūnių koordinates ir jas pakeisti tam tikromis formulėmis. Dar turime apsvarstyti dar vieną kampų skaičiavimo problemų klasę, būtent:

Kampų tarp dviejų plokštumų skaičiavimas

Sprendimo algoritmas bus toks:

1. Naudodami tris taškus ieškome pirmosios plokštumos lygties:
2. Naudodami kitus tris taškus ieškome antrosios plokštumos lygties:
3. Taikome formulę:

Kaip matote, formulė labai panaši į dvi ankstesnes, kurių pagalba ieškojome kampų tarp tiesių ir tarp tiesės ir plokštumos. Taigi jums nebus sunku tai prisiminti. Pereikime prie užduočių analizės:

1. Dešiniosios trikampės prizmės pagrindo kraštinė lygi, o šoninio paviršiaus įstrižainė lygi. Raskite kampą tarp plokštumos ir prizmės ašies plokštumos.

2. Dešiniajame keturių kampų pi-ra-mi-de, kurio visos briaunos lygios, raskite kampo tarp plokštumos ir plokštumos kaulo sinusą, einantį per tašką per-pen-di-ku- melas-bet tiesus.

3. Įprastoje keturių kampų prizmėje pagrindo kraštinės yra lygios, o šoninės briaunos yra lygios. Yra taškas ant krašto nuo-me-che-on, kad. Raskite kampą tarp plokštumų ir

4. Stačiojoje keturkampėje prizmėje pagrindo kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Kraštinėje nuo taško yra taškas, kad Raskite kampą tarp plokštumų ir.

5. Kube raskite kampo tarp plokštumų ir ko-siusą

Problemos sprendimai:

1. Nupiešiu taisyklingą (lygiakraščio trikampio prie pagrindo) trikampę prizmę ir pažymiu joje plokštumas, kurios atsiranda uždavinio teiginyje:

Turime rasti dviejų plokštumų lygtis: Pagrindo lygtis yra triviali: galite sudaryti atitinkamą determinantą naudodami tris taškus, bet aš sudarysiu lygtį iš karto:

Dabar suraskime lygtį Taškas turi koordinates Taškas – kadangi yra trikampio mediana ir aukštis, ją nesunku rasti trikampyje naudojant Pitagoro teoremą. Tada taškas turi koordinates: Raskime taško aplikaciją

Tada gauname tokias koordinates: Sudarome plokštumos lygtį.

Apskaičiuojame kampą tarp plokštumų:

Atsakymas:

2. Piešinio sudarymas:

Sunkiausia suprasti, kas yra ši paslaptinga plokštuma, einanti statmenai per tašką. Na, svarbiausia, kas tai yra? Svarbiausia - dėmesingumas! Tiesą sakant, linija yra statmena. Tiesi linija taip pat yra statmena. Tada plokštuma, einanti per šias dvi tieses, bus statmena tiesei ir, beje, eis per tašką. Ši plokštuma taip pat eina per piramidės viršūnę. Tada norimas lėktuvas – Ir lėktuvas mums jau atiduotas. Ieškome taškų koordinačių.

Per tašką randame taško koordinatę. Iš mažo paveiksliuko nesunku numanyti, kad taško koordinatės bus tokios: Ką dabar belieka rasti, norint rasti piramidės viršūnės koordinates? Taip pat reikia apskaičiuoti jo aukštį. Tai daroma naudojant tą pačią Pitagoro teoremą: pirmiausia įrodykite tai (trivialiai iš mažų trikampių, sudarančių kvadratą prie pagrindo). Kadangi pagal sąlygas turime:

Dabar viskas paruošta: viršūnių koordinatės:

Sudarome plokštumos lygtį:

Jūs jau esate determinantų skaičiavimo ekspertas. Be sunkumų gausite:

Arba kitaip (jei abi puses padauginsime iš dviejų šaknies)

Dabar raskime plokštumos lygtį:

(Jūs nepamiršote, kaip gauname plokštumos lygtį, tiesa? Jei nesuprantate, iš kur atsirado šis minusas, grįžkite prie plokštumos lygties apibrėžimo! Tiesiog visada paaiškėjo prieš tai mano lėktuvas priklausė koordinačių pradžiai!)

Apskaičiuojame determinantą:

(Galite pastebėti, kad plokštumos lygtis sutampa su linijos, einančios per taškus, lygtimi ir! Pagalvokite, kodėl!)

Dabar apskaičiuokime kampą:

Turime rasti sinusą:

Atsakymas:

3. Sudėtingas klausimas: kas, jūsų nuomone, yra stačiakampė prizmė? Tai tik gretasienis, kurį gerai žinote! Nedelsdami nupieškime! Jums net nereikia vaizduoti pagrindo, tai čia mažai naudinga:

Plokštuma, kaip minėjome anksčiau, parašyta lygties forma:

Dabar sukurkime plokštumą

Iš karto sukuriame plokštumos lygtį:

Ieškau kampo:

Dabar atsakymai į paskutines dvi problemas:

Na, dabar pats laikas šiek tiek pailsėti, nes jūs ir aš esame puikūs ir padarėme puikų darbą!

Koordinatės ir vektoriai. Pažengęs lygis

Šiame straipsnyje aptarsime su jumis dar vieną problemų, kurias galima išspręsti koordinačių metodu, klasę: atstumo skaičiavimo uždavinius. Būtent, mes nagrinėsime šiuos atvejus:

1. Atstumo tarp susikertančių tiesių apskaičiavimas.

Užsakiau šias užduotis vis sudėtingesnio tvarka. Pasirodo, tai lengviausia rasti atstumas nuo taško iki plokštumos, o sunkiausia rasti atstumas tarp susikertančių linijų. Nors, žinoma, nieko nėra neįmanomo! Neatidėliokime ir iškart pradėkime svarstyti pirmąją problemų klasę:

Atstumo nuo taško iki plokštumos apskaičiavimas

Ko mums reikia norint išspręsti šią problemą?

1. Taško koordinatės

Taigi, kai tik gauname visus reikiamus duomenis, taikome formulę:

Jau turėtumėte žinoti, kaip sudarome plokštumos lygtį iš ankstesnių problemų, kurias aptariau paskutinėje dalyje. Pereikime tiesiai prie užduočių. Schema yra tokia: 1, 2 - aš padedu apsispręsti, o kiek detaliau, 3, 4 - tik atsakymas, sprendimą atliekate pats ir palyginate. Pradėkime!

Užduotys:

1. Duotas kubas. Kubo krašto ilgis lygus. Raskite atstumą nuo se-re-di-na nuo pjūvio iki plokštumos

2. Atsižvelgiant į dešinę keturių anglių pi-ra-mi-taip, šono pusė yra lygi pagrindui. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos, kur - se-re-di-ant briaunų.

3. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-no-va-ni-em šoninis kraštas yra lygus, o šimtas-ro-ant os-no-vania yra lygus. Raskite atstumą nuo viršaus iki plokštumos.

4. Dešiniojoje šešiakampėje prizmėje visos briaunos lygios. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos.

Sprendimai:

1. Nubraižykite kubą su viena briauna, sukonstruokite atkarpą ir plokštumą, atkarpos vidurį pažymėkite raide

.

Pirmiausia pradėkime nuo lengvo: raskite taško koordinates. Nuo tada (atminkite atkarpos vidurio koordinates!)

Dabar mes sudarome plokštumos lygtį naudodami tris taškus

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(masyvas)) \right| = 0\]

Dabar galiu pradėti ieškoti atstumo:

2. Vėl pradedame nuo piešinio, ant kurio pažymime visus duomenis!

Piramidei būtų naudinga atskirai nubraižyti jos pagrindą.

Net ir tai, kad piešiu kaip višta su letenėle, nesutrukdys mums lengvai išspręsti šios problemos!

Dabar lengva rasti taško koordinates

Kadangi taško koordinatės, tada

2. Kadangi taško a koordinatės yra atkarpos vidurys, tai

Be jokių problemų galime rasti dar dviejų plokštumos taškų koordinates. Sudarome plokštumos lygtį ir ją supaprastiname:

\[\left| (\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(masyvas)) \right|) \right| = 0\]

Kadangi taškas turi koordinates: , apskaičiuojame atstumą:

Atsakymas (labai retai!):

Na, ar sugalvojai? Man atrodo, kad čia viskas taip pat techniška, kaip ir pavyzdžiuose, kuriuos žiūrėjome ankstesnėje dalyje. Taigi esu tikras, kad jei tą medžiagą įvaldysite, tuomet jums nebus sunku išspręsti likusias dvi problemas. Aš tik pateiksiu jums atsakymus:

Atstumo nuo tiesės iki plokštumos apskaičiavimas

Tiesą sakant, čia nieko naujo. Kaip tiesė ir plokštuma gali būti išdėstytos viena kitos atžvilgiu? Jie turi tik vieną galimybę: susikirsti arba tiesė yra lygiagreti plokštumai. Koks, jūsų nuomone, yra atstumas nuo tiesės iki plokštumos, su kuria ši tiesė kertasi? Man atrodo, kad čia aišku, kad toks atstumas lygus nuliui. Neįdomus atvejis.

Antrasis atvejis yra keblus: čia atstumas jau nėra nulis. Tačiau kadangi linija yra lygiagreti plokštumai, kiekvienas linijos taškas yra vienodu atstumu nuo šios plokštumos:

Taigi:

Tai reiškia, kad mano užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės: mes ieškome bet kurio tiesės taško koordinačių, ieškome plokštumos lygties ir apskaičiuojame atstumą nuo taško iki plokštumos. Tiesą sakant, tokios užduotys vieningame valstybiniame egzamine yra labai retos. Man pavyko rasti tik vieną problemą, o joje esantys duomenys buvo tokie, kad koordinačių metodas jai nelabai tinka!

Dabar pereikime prie kitos, daug svarbesnės problemų klasės:

Taško atstumo iki tiesės apskaičiavimas

ko mums reikia?

1. Taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinatės:

2. Bet kurio taško, esančio tiesėje, koordinatės

3. Tiesės krypties vektoriaus koordinatės

Kokią formulę naudojame?

Jums turėtų būti aišku, ką reiškia šios trupmenos vardiklis: tai yra tiesės krypties vektoriaus ilgis. Tai labai sudėtingas skaitiklis! Išraiška reiškia vektorių vektorinės sandaugos modulį (ilgį) ir Kaip apskaičiuoti vektorinę sandaugą, nagrinėjome ankstesnėje darbo dalyje. Atnaujinkite savo žinias, dabar mums jų labai prireiks!

Taigi problemų sprendimo algoritmas bus toks:

1. Ieškome taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinačių:

2. Ieškome bet kurio tiesės taško, iki kurio ieškome atstumo, koordinačių:

3. Sukurkite vektorių

4. Sukurkite tiesės nukreipimo vektorių

5. Apskaičiuokite vektorinę sandaugą

6. Ieškome gauto vektoriaus ilgio:

7. Apskaičiuokite atstumą:

Turime daug nuveikti, o pavyzdžiai bus gana sudėtingi! Taigi dabar sutelkite visą savo dėmesį!

1. Duota stačiakampė pi-ra-mi-da su viršūne. Šimtas-ro, remiantis pi-ra-mi-dy, yra lygus, jūs esate lygūs. Raskite atstumą nuo pilko krašto iki tiesios linijos, kur taškai ir yra pilki kraštai ir nuo veterinarijos.

2. Kraštinių ilgiai ir tiesiojo kampo-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da yra atitinkamai lygūs ir Raskite atstumą nuo viršaus iki tiesės

3. Dešiniojoje šešiakampėje prizmėje visos briaunos lygios, raskite atstumą nuo taško iki tiesės

Sprendimai:

1. Padarome tvarkingą piešinį, kuriame pažymime visus duomenis:

Turime daug darbo! Pirmiausia norėčiau žodžiais apibūdinti, ko ieškosime ir kokia tvarka:

1. Taškų koordinatės ir

2. Taško koordinatės

3. Taškų koordinatės ir

4. Vektorių koordinatės ir

5. Jų kryžminis produktas

6. Vektoriaus ilgis

7. Vektorinės sandaugos ilgis

8. Atstumas nuo iki

Na, mūsų laukia daug darbo! Pradėkime tai pasiraitoję rankoves!

1. Norėdami rasti piramidės aukščio koordinates, turime žinoti taško koordinates, kuri yra lygi nuliui, o jo ordinatė yra lygi atkarpos ilgiui lygiakraščio trikampio aukštis, jis dalijamas santykiu, skaičiuojant nuo viršūnės, iš čia. Galiausiai gavome koordinates:

Taško koordinatės

2. - segmento vidurys

3. - segmento vidurys

Atkarpos vidurio taškas

4.Koordinatės

Vektorinės koordinatės

5. Apskaičiuokite vektorinę sandaugą:

6. Vektoriaus ilgis: lengviausias būdas pakeisti atkarpą yra trikampio vidurio linija, o tai reiškia, kad ji yra lygi pusei pagrindo. Taigi.

7. Apskaičiuokite vektorinės sandaugos ilgį:

8. Galiausiai randame atstumą:

Uh, viskas! Pasakysiu nuoširdžiai: šią problemą išspręsti naudojant tradicinius metodus (statant) būtų daug greičiau. Bet čia aš viską sumažinau iki paruošto algoritmo! Manau, jums aiškus sprendimo algoritmas? Todėl paprašysiu likusias dvi problemas išspręsti patiems. Palyginkime atsakymus?

Dar kartą kartoju: šias problemas lengviau (greičiau) išspręsti per konstrukcijas, o ne griebtis koordinačių metodo. Šį sprendimo būdą pademonstravau tik norėdamas parodyti jums universalų metodą, leidžiantį „nieko nebaigti statyti“.

Galiausiai apsvarstykite paskutinę problemų klasę:

Atstumo tarp susikertančių tiesių apskaičiavimas

Čia problemų sprendimo algoritmas bus panašus į ankstesnį. Ką mes turime:

3. Bet koks vektorius, jungiantis pirmosios ir antrosios linijos taškus:

Kaip rasti atstumą tarp eilučių?

Formulė yra tokia:

Skaitiklis yra mišraus sandaugos modulis (jį pristatėme ankstesnėje dalyje), o vardiklis yra, kaip ir ankstesnėje formulėje (tiesių krypties vektorių vektorinės sandaugos modulis, atstumas tarp kurių mes ieško).

Aš jums tai priminsiu

Tada atstumo formulę galima perrašyti kaip:

Tai determinantas, padalintas iš determinanto! Nors, tiesą pasakius, aš čia neturiu laiko juokauti! Ši formulė iš tikrųjų yra labai sudėtinga ir leidžia atlikti gana sudėtingus skaičiavimus. Jei aš būčiau tavo vietoje, tai griebčiausi tik kaip paskutinė išeitis!

Pabandykime išspręsti keletą problemų naudodami aukščiau pateiktą metodą:

1. Stačiojoje trikampėje prizmėje, kurios visos briaunos lygios, raskite atstumą tarp tiesių ir.

2. Atsižvelgiant į stačią trikampę prizmę, visos pagrindo briaunos yra lygios pjūviui, einančiam per kūno briauną, o se-re-di-well briaunelės yra kvadratas. Raskite atstumą tarp tiesių ir

Aš sprendžiu pirmąjį, o pagal jį jūs nuspręsite antrą!

1. Nupiešiu prizmę ir pažymiu tiesias linijas ir

Taško C koordinatės: tada

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Vektorinės koordinatės

\[\left((B,\rodyklė ant dešinės (A(A_1)) \ir dešinė (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(masyvas)(*(20)(c))0&1&0\end(masyvas))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(masyvas))\\(\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(masyvas))\end(masyvas)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Apskaičiuojame vektorių sandaugą tarp vektorių ir

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(masyvas)(l)\begin(masyvas)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(masyvas)\\\begin(masyvas) )(*(20)(c))0&0&1\end(masyvas)\\\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(masyvas)\end(masyvas) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Dabar apskaičiuojame jo ilgį:

Atsakymas:

Dabar pabandykite atidžiai atlikti antrąją užduotį. Atsakymas į jį bus toks:.

Koordinatės ir vektoriai. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Vektorius yra nukreiptas segmentas. - vektoriaus pradžia, - vektoriaus pabaiga.
Vektorius žymimas arba.

Absoliuti vertė vektorius – vektorių atvaizduojančios atkarpos ilgis. Žymima kaip.

Vektorinės koordinatės:

,
kur yra vektoriaus \displaystyle a galai.

Vektorių suma: .

Vektorių sandauga:

Taškinė vektorių sandauga:

Vektorių skaliarinė sandauga yra lygi jų absoliučių verčių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui:

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Jūs jau esate geresnis už didžiąją daugumą jūsų bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Už ką?

Už sėkmingai išlaikiusį vieningą valstybinį egzaminą, už įstojimą į kolegiją neviršijant biudžeto ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje - 299 rubliai.
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - 499 rubliai.

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Ir pabaigai...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Vektorius galima grafiškai pavaizduoti nukreiptais segmentais. Ilgis parenkamas pagal konkrečią skalę vektoriaus dydis , o segmento kryptis reiškia vektoriaus kryptis . Pavyzdžiui, jei darysime prielaidą, kad 1 cm reiškia 5 km/h, tai šiaurės rytų vėjas, kurio greitis yra 15 km/h, bus vaizduojamas 3 cm ilgio krypties atkarpa, kaip parodyta paveikslėlyje.

Vektorius plokštumoje tai yra nukreipta atkarpa. Du vektoriai lygus jei jie turi tą patį dydis Ir kryptimi.

Apsvarstykite vektorių, nubrėžtą iš taško A į tašką B. Taškas vadinamas pradžios taškas vektorius, o taškas B vadinamas pabaigos taškas. Simbolinis šio vektoriaus žymėjimas yra (skaityti kaip „vektorius AB“). Vektoriai taip pat žymimi paryškintomis raidėmis, tokiomis kaip U, V ir W. Kairėje esančiame paveiksle esančių keturių vektorių ilgis ir kryptis yra vienodi. Todėl jie atstovauja lygus vėjai; tai yra

Vektorių kontekste naudojame = norėdami nurodyti, kad jie yra lygūs.

Ilgis arba dydžio išreiškiamas kaip ||. Norėdami nustatyti, ar vektoriai yra lygūs, randame jų dydžius ir kryptis.

1 pavyzdys Vektoriai u, , w pateikti paveikslėlyje žemiau. Įrodykite, kad u = = w.

Sprendimas Pirmiausia randame kiekvieno vektoriaus ilgį naudodami atstumo formulę:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Iš čia
|u| = | = |w|.
Vektoriai u, , ir w, kaip matyti iš paveikslo, lyg ir turi tą pačią kryptį, bet mes patikrinsime jų nuolydį. Jei linijos, kuriose jie yra, turi tuos pačius nuolydžius, tada vektoriai turi tą pačią kryptį. Apskaičiuojame nuolydžius:
Kadangi u, , ir w yra vienodi dydžiai ir ta pati kryptis,
u = = w.

Atminkite, kad vienodiems vektoriams reikalingas tik toks pat dydis ir ta pati kryptis, o ne ta pati vieta. Viršutiniame paveikslėlyje parodytas vektorių lygybės pavyzdys.

Tarkime, žmogus žengia 4 žingsnius į rytus ir 3 žingsnius į šiaurę. Tada asmuo bus 5 žingsniai nuo pradžios taško kairėje parodyta kryptimi. 4 vienetų ilgio vektorius su kryptimi į dešinę reiškia 4 žingsnius į rytus, o 3 vienetų ilgio vektorius su kryptimi aukštyn – 3 žingsnius į šiaurę. Suma iš šių dviejų vektorių yra 5 žingsnių dydžio vektorius ir parodyta kryptimi. Suma taip pat vadinama atsirandantis du vektoriai.

Paprastai du nulinius vektorius u ir v galima pridėti geometriškai, pastatant vektoriaus v pradžios tašką į vektoriaus u pabaigos tašką, o tada surandant vektorių, kurio pradžios taškas yra toks pat kaip ir vektorius u ir ta pati pabaiga. taškas kaip vektorius v, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.

Suma yra vektorius, pavaizduotas nukreipta atkarpa nuo vektoriaus u taško A iki vektoriaus v pabaigos taško C. Taigi, jei u = ir v = , tada
u + v = + =

Taip pat vektorių pridėjimą galime apibūdinti kaip vektorių pradžios taškų sudėjimą, lygiagretainio konstravimą ir lygiagretainio įstrižainės radimą. (Paveikslėlyje žemiau.) Šis papildymas kartais vadinamas lygiagretainio taisyklė vektorių pridėjimas. Vektoriaus pridėjimas yra keičiamas. Kaip parodyta paveikslėlyje, abu vektoriai u + v ir v + u pavaizduoti ta pačia krypties atkarpa.

Jei dvi jėgos F 1 ir F 2 veikia vieną objektą, atsirandantis jėga yra šių dviejų atskirų jėgų F 1 + F 2 suma.

Pavyzdys Dvi 15 niutonų ir 25 niutonų jėgos veikia vieną objektą statmenai viena kitai. Raskite jų sumą arba gautą jėgą ir kampą, kurį ji sudaro didesne jėga.

Sprendimas Nubraižykime problemos sąlygą, šiuo atveju stačiakampį, naudodami v arba rezultatui pavaizduoti. Norėdami sužinoti jo vertę, naudojame Pitagoro teoremą:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Čia |v| žymi v ilgį arba dydį.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29,2.
Norėdami rasti kryptį, atkreipkite dėmesį, kad kadangi OAB yra stačiakampis,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Naudodami skaičiuotuvą randame θ, kampą, kurį didesnė jėga sudaro grynąja jėga:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Rezultato dydis yra 29,2, o kampas – 31° su didesne jėga.

Pilotai gali reguliuoti skrydžio kryptį, jei pučia šoninis vėjas. Lėktuvo vėjas ir greitis gali būti pavaizduoti kaip vėjai.

3 pavyzdys. Lėktuvo greitis ir kryptis. Lėktuvas juda 100° azimutu 190 km/h greičiu, o vėjo greitis siekia 48 km/h, o azimutas 220°. Raskite absoliutų lėktuvo greitį ir jo judėjimo kryptį, atsižvelgdami į vėją.

Sprendimas Pirmiausia padarykime piešinį. Pavaizduotas vėjas, o orlaivio greičio vektorius yra . Gautas greičio vektorius yra v, dviejų vektorių suma. Kampas θ tarp v ir vadinamas dreifo kampas .


Atminkite, kad COA vertė = 100° – 40° = 60°. Tada CBA reikšmė taip pat lygi 60° (lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs). Kadangi visų lygiagretainio kampų suma yra 360°, o COB ir OAB yra vienodo dydžio, kiekvienas turi būti 120°. Autorius kosinuso taisyklė OAB, mes turime
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Tada |v| lygus 218 km/val. Pagal sinusų taisyklė , tame pačiame trikampyje,
48 /sinθ = 218 /nuodėmė 120°,
arba
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Tada θ = 11° iki artimiausio sveikojo skaičiaus kampo. Absoliutus greitis 218 km/h, o jo judėjimo kryptis atsižvelgiant į vėją: 100° - 11° arba 89°.

Pateikus vektorių w, galime rasti kitus du vektorius u ir v, kurių suma yra w. Vektoriai u ir v vadinami komponentai w ir jų radimo procesas vadinamas skilimas , arba vektoriaus atvaizdavimas jo vektoriniais komponentais.

Kai išplečiame vektorių, dažniausiai ieškome statmenų komponentų. Tačiau labai dažnai vienas komponentas bus lygiagretus x ašiai, o kitas – lygiagretus y ašiai. Todėl jie dažnai vadinami horizontaliai Ir vertikaliai vektoriaus komponentai. Žemiau esančiame paveikslėlyje vektorius w = išskaidomas kaip u = ir v = suma.

W horizontalusis komponentas yra u, o vertikalusis komponentas yra v.

4 pavyzdys Vektoriaus w dydis yra 130, o nuolydis horizontalės atžvilgiu yra 40°. Išskaidykite vektorių į horizontalius ir vertikalius komponentus.

Sprendimas Pirmiausia nubraižysime paveikslėlį su horizontaliais ir vertikaliais vektoriais u ir v, kurių suma yra w.

Iš ABC randame |u| ir |v|, naudojant kosinuso ir sinuso apibrėžimus:
cos40° = |u|/130 arba |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130 arba |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Tada w horizontalusis komponentas yra 100 į dešinę, o vertikalusis komponentas yra 84 aukštyn.

Erdvės pagrindas jie vadina tokią vektorių sistemą, kurioje visi kiti erdvėje esantys vektoriai gali būti pavaizduoti kaip tiesinis vektorių, įtrauktų į bazę, derinys.
Praktiškai visa tai įgyvendinama gana paprastai. Pagrindas, kaip taisyklė, tikrinamas plokštumoje arba erdvėje, ir tam reikia rasti antros, trečios eilės matricos, sudarytos iš vektorių koordinačių, determinantą. Žemiau yra schematiškai parašyta sąlygos, kuriomis vektoriai sudaro pagrindą

Į Išplėskite vektorių b į bazinius vektorius
e,e...,e[n] reikia rasti koeficientus x, ..., x[n], kuriems vektorių e,e...,e[n] tiesinė kombinacija yra lygi vektorius b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Norėdami tai padaryti, vektorinę lygtį reikia konvertuoti į tiesinių lygčių sistemą ir rasti sprendinius. Tai taip pat gana paprasta įgyvendinti.
Iškviečiami rasti koeficientai x, ..., x[n] vektoriaus b koordinates baze e, e..., e[n].
Pereikime prie praktinės temos pusės.

Vektoriaus skaidymas į bazinius vektorius

1 užduotis. Patikrinkite, ar vektoriai a1, a2 sudaro pagrindą plokštumoje

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Sprendimas: Iš vektorių koordinačių sudarome determinantą ir jį apskaičiuojame

Determinantas nėra nulis, vadinasi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, o tai reiškia, kad jie sudaro pagrindą.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Sprendimas: apskaičiuojame determinantą, sudarytą iš vektorių

Determinantas lygus 13 (nelygus nuliui) – iš to išplaukia, kad vektoriai a1, a2 yra pagrindas plokštumoje.

---=================---

Pažvelkime į tipinius pavyzdžius iš MAUP programos disciplinoje „Aukštoji matematika“.

2 užduotis. Parodykite, kad vektoriai a1, a2, a3 sudaro trimatės vektorinės erdvės pagrindą, ir pagal šį pagrindą išplėskite vektorių b (sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemą naudokite Cramerio metodą).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (–3; 1; 2).
Sprendimas: Pirmiausia apsvarstykite vektorių a1, a2, a3 sistemą ir patikrinkite matricos A determinantą

pastatytas ant nulinių vektorių. Matricoje yra vienas nulinis elementas, todėl determinantą tikslingiau skaičiuoti kaip tvarkaraštį pirmame stulpelyje arba trečioje eilutėje.

Atlikę skaičiavimus nustatėme, kad determinantas skiriasi nuo nulio vektoriai a1, a2, a3 yra tiesiškai nepriklausomi.
Pagal apibrėžimą vektoriai sudaro R3 pagrindą. Remdamiesi užrašykime vektoriaus b grafiką

Vektoriai yra lygūs, kai jų atitinkamos koordinatės yra lygios.
Todėl iš vektorinės lygties gauname tiesinių lygčių sistemą

Išspręskime SLAE Cramerio metodas. Norėdami tai padaryti, rašome lygčių sistemą formoje

Pagrindinis SLAE determinantas visada yra lygus determinantui, sudarytam iš bazinių vektorių

Todėl praktikoje jis neskaičiuojamas du kartus. Norėdami rasti pagalbinius determinantus, vietoje kiekvieno pagrindinio determinanto stulpelio įdedame laisvųjų terminų stulpelį. Determinantai apskaičiuojami naudojant trikampio taisyklę



Pakeiskime rastus determinantus į Cramerio formulę



Taigi vektoriaus b išplėtimas pagal pagrindą yra b=-4a1+3a2-a3. Vektoriaus b koordinatės pagrindu a1, a2, a3 bus (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Sprendimas: patikriname vektorių bazę – iš vektorių koordinačių sudarome determinantą ir jį apskaičiuojame

Todėl determinantas nėra lygus nuliui vektoriai sudaro pagrindą erdvėje. Belieka per šį pagrindą rasti vektoriaus b grafiką. Norėdami tai padaryti, parašome vektorinę lygtį

ir transformuoti į tiesinių lygčių sistemą

Rašome matricos lygtį

Toliau Cramerio formulėms randame pagalbinius determinantus



Taikome Cramerio formules



Taigi duotas vektorius b turi grafiką per du bazinius vektorius b=-2a1+5a3, o jo koordinatės bazėje lygios b(-2,0, 5).