Skaičių modulis a yra atstumas nuo pradžios iki taško A(a).

Norėdami suprasti šį apibrėžimą, pakeiskime kintamąjį a bet kurį skaičių, pavyzdžiui, 3, ir pabandykite jį perskaityti dar kartą:

Skaičių modulis 3 yra atstumas nuo pradžios iki taško A(3 ).

Tampa aišku, kad modulis yra ne kas kita, kaip įprastas atstumas. Pabandykime pamatyti atstumą nuo pradžios iki taško A( 3 )

Atstumas nuo pradžios iki taško A( 3 ) yra lygus 3 (trys vienetai arba trys žingsniai).

Skaičiaus modulis žymimas dviem vertikaliomis linijomis, pavyzdžiui:

Skaičiaus 3 modulis žymimas taip: |3|

Skaičiaus 4 modulis žymimas taip: |4|

Skaičiaus 5 modulis žymimas taip: |5|

Ieškojome skaičiaus 3 modulio ir sužinojome, kad jis lygus 3. Taigi užrašome:

Skaito taip: "Skaičiaus trys modulis yra trys"

Dabar pabandykime rasti skaičiaus -3 modulį. Vėl grįžtame prie apibrėžimo ir į jį pakeičiame skaičių -3. Tik vietoj taško A naudoti naują tašką B. Visiškas sustojimas A mes jau naudojome pirmame pavyzdyje.

Skaičiaus modulis - 3 yra atstumas nuo pradžios iki taško B(—3 ).

Atstumas nuo vieno taško iki kito negali būti neigiamas. Todėl bet kurio neigiamo skaičiaus modulis, būdamas atstumas, taip pat nebus neigiamas. Skaičiaus -3 modulis bus skaičius 3. Atstumas nuo pradžios iki taško B(-3) taip pat lygus trims vienetams:

Skaito taip: "Modulis iš minus trijų yra trys."

Skaičiaus 0 modulis lygus 0, kadangi taškas, kurio koordinatė 0, sutampa su pradžia, t.y. atstumas nuo pradžios iki taško O(0) lygus nuliui:

"Nulio modulis yra nulis"

Darome išvadas:

• Skaičiaus modulis negali būti neigiamas;
• Teigiamo skaičiaus ir nulio modulis lygus pačiam skaičiui, o neigiamam skaičiui – priešingas skaičius;
• Priešingi skaičiai turi vienodus modulius.

Priešingi skaičiai

Vadinami skaičiai, kurie skiriasi tik ženklais priešinga. Pavyzdžiui, skaičiai −2 ir 2 yra priešingi. Jie skiriasi tik ženklais. Skaičius −2 turi minuso ženklą, o 2 turi pliuso ženklą, bet mes jo nematome, nes pliusas, kaip minėjome anksčiau, tradiciškai nerašomas.

Daugiau priešingų skaičių pavyzdžių:

Priešingi skaičiai turi vienodus modulius. Pavyzdžiui, suraskime −2 ir 2 modulius

Paveikslėlyje parodytas atstumas nuo pradžios iki taškų A(−2) Ir B(2) lygiai dviems žingsniams.

Ar patiko pamoka?
Prisijunkite prie mūsų naujos VKontakte grupės ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas

Šiame straipsnyje mes išsamiai išanalizuosime skaičiaus modulis. Pateiksime įvairius skaičiaus modulio apibrėžimus, supažindinsime su žymėjimu ir pateiksime grafines iliustracijas. Tuo pačiu pažvelkime į įvairius pavyzdžius, kaip rasti skaičiaus modulį pagal apibrėžimą. Po to išvardysime ir pagrįsime pagrindines modulio savybes. Straipsnio pabaigoje kalbėsime apie tai, kaip nustatomas ir randamas kompleksinio skaičiaus modulis.

Puslapio naršymas.

Skaičių modulis – apibrėžimas, žymėjimas ir pavyzdžiai

Pirmiausia pristatome skaičiaus modulio žymėjimas. Skaičiaus a modulį rašysime kaip , tai yra į kairę ir į dešinę nuo skaičiaus dėsime vertikalius brūkšnelius, sudarydami modulio ženklą. Pateikime porą pavyzdžių. Pavyzdžiui, modulis −7 gali būti parašytas kaip ; 4.125 modulis parašytas kaip , o modulis turi formos žymėjimą.

Toliau pateiktame modulio apibrėžime nurodomi , taigi ir sveikieji skaičiai, racionalieji ir neracionalieji skaičiai, kaip realiųjų skaičių aibės sudedamosios dalys. Kalbėsime apie kompleksinio skaičiaus modulį in.

Apibrėžimas.

Skaičiaus a modulis– tai yra pats skaičius a, jei a yra teigiamas skaičius, arba skaičius −a, priešingas skaičiui a, jei a yra neigiamas skaičius, arba 0, jei a=0.

Balsinis skaičiaus modulio apibrėžimas dažnai rašomas tokia forma , šis įrašas reiškia, kad jei a>0 , jei a=0 ir jei a<0 .

Įrašas gali būti pateiktas kompaktiškesne forma . Šis žymėjimas reiškia, kad jei (a yra didesnis arba lygus 0), o jei a<0 .

Taip pat yra įrašas . Čia reikėtų atskirai paaiškinti atvejį, kai a=0. Šiuo atveju turime , bet −0=0, nes nulis laikomas skaičiumi, kuris yra priešingas sau pačiam.

Duokim skaičiaus modulio radimo pavyzdžiai naudojant nurodytą apibrėžimą. Pavyzdžiui, suraskime skaičių 15 ir . Pradėkime nuo suradimo. Kadangi skaičius 15 yra teigiamas, jo modulis pagal apibrėžimą yra lygus pačiam šiam skaičiui, ty . Koks yra skaičiaus modulis? Kadangi yra neigiamas skaičius, jo modulis yra lygus skaičiui, priešingam skaičiui, tai yra skaičiui . Taigi,.

Baigdami šį klausimą, pateikiame vieną išvadą, kurią labai patogu naudoti praktikoje ieškant skaičiaus modulio. Iš skaičiaus modulio apibrėžimo išplaukia, kad skaičiaus modulis yra lygus skaičiui po modulio ženklu, neatsižvelgiant į jo ženklą, o iš aukščiau aptartų pavyzdžių tai labai aiškiai matyti. Nurodytas teiginys paaiškina, kodėl taip pat vadinamas skaičiaus modulis absoliuti skaičiaus vertė. Taigi skaičiaus modulis ir skaičiaus absoliuti reikšmė yra vienas ir tas pats.

Skaičiaus modulis kaip atstumas

Geometriškai skaičiaus modulis gali būti interpretuojamas kaip atstumas. Duokim nustatant skaičiaus modulį per atstumą.

Apibrėžimas.

Skaičiaus a modulis– tai atstumas nuo koordinačių linijos pradžios iki taško, atitinkančio skaičių a.

Šis apibrėžimas atitinka pirmoje pastraipoje pateiktą skaičiaus modulio apibrėžimą. Paaiškinkime šį dalyką. Atstumas nuo pradžios iki taško, atitinkančio teigiamą skaičių, yra lygus šiam skaičiui. Nulis atitinka pradinę vietą, todėl atstumas nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė 0 yra lygus nuliui (nereikia atidėti vieno vieneto atkarpos, o ne vienos atkarpos, kuri sudaro bet kurią vieneto atkarpos dalį patekti iš taško O į tašką, kurio koordinatė 0). Atstumas nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė yra neigiama, yra lygus skaičiui, priešingam šio taško koordinatei, nes jis yra lygus atstumui nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė yra priešinga.

Pavyzdžiui, skaičiaus 9 modulis yra lygus 9, nes atstumas nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė 9, yra lygus devyniems. Pateikime kitą pavyzdį. Taškas su koordinate −3,25 yra 3,25 atstumu nuo taško O, taigi .

Nurodytas skaičiaus modulio apibrėžimas yra ypatingas dviejų skaičių skirtumo modulio apibrėžimo atvejis.

Apibrėžimas.

Dviejų skaičių skirtumo modulis a ir b lygus atstumui tarp koordinačių linijos taškų su koordinatėmis a ir b.

Tai yra, jei yra pateikti taškai koordinačių tiesėje A(a) ir B(b), tai atstumas nuo taško A iki taško B yra lygus skaičių a ir b skirtumo moduliui. Jei tašką B laikysime tašku O (kilmė), tada gausime skaičiaus modulio apibrėžimą, pateiktą šios pastraipos pradžioje.

Skaičiaus modulio nustatymas naudojant aritmetinę kvadratinę šaknį

Retkarčiais pasitaiko modulio nustatymas per aritmetinę kvadratinę šaknį.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime skaičių modulius −30 ir remdamiesi šiuo apibrėžimu. Turime. Panašiai apskaičiuojame dviejų trečdalių modulį: .

Skaičiaus modulio apibrėžimas per aritmetinę kvadratinę šaknį taip pat atitinka apibrėžimą, pateiktą šio straipsnio pirmoje pastraipoje. Parodykime. Tegu a yra teigiamas skaičius, o −a – neigiamas skaičius. Tada Ir , jei a = 0 , tada .

Modulio savybės

Modulis turi keletą būdingų rezultatų - modulio savybės. Dabar pateiksime pagrindinius ir dažniausiai naudojamus iš jų. Pagrįsdami šias savybes, remsimės skaičiaus modulio apibrėžimu pagal atstumą.

Pradėkime nuo akivaizdžiausios modulio savybės - Skaičiaus modulis negali būti neigiamas skaičius. Pažodine forma ši savybė turi bet kurio skaičiaus a formą. Šią savybę labai lengva pagrįsti: skaičiaus modulis yra atstumas, o atstumas negali būti išreikštas neigiamu skaičiumi.

Pereikime prie kitos modulio nuosavybės. Skaičiaus modulis lygus nuliui tada ir tik tada, kai šis skaičius lygus nuliui. Nulio modulis pagal apibrėžimą yra lygus nuliui. Nulis atitinka pradinę vietą; joks kitas koordinačių linijos taškas neatitinka nulio, nes kiekvienas realusis skaičius yra susietas su vienu koordinačių linijos tašku. Dėl tos pačios priežasties bet koks skaičius, išskyrus nulį, atitinka tašką, kuris skiriasi nuo pradžios. Ir atstumas nuo pradžios iki bet kurio taško, išskyrus tašką O, nėra lygus nuliui, nes atstumas tarp dviejų taškų yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai šie taškai sutampa. Aukščiau pateiktas samprotavimas įrodo, kad tik nulio modulis yra lygus nuliui.

Eikime toliau. Priešingi skaičiai turi vienodus modulius, ty bet kuriam skaičiui a. Iš tiesų, du koordinačių linijos taškai, kurių koordinatės yra priešingi skaičiai, yra vienodu atstumu nuo pradžios, o tai reiškia, kad priešingų skaičių moduliai yra lygūs.

Ši modulio savybė yra: Dviejų skaičių sandaugos modulis yra lygus šių skaičių modulių sandaugai, tai yra,. Pagal apibrėžimą skaičių a ir b sandaugos modulis yra lygus arba a·b, jei , arba −(a·b), jei . Iš realiųjų skaičių daugybos taisyklių išplaukia, kad skaičių a ir b modulių sandauga yra lygi arba a·b, , arba −(a·b), jei , kas įrodo nagrinėjamą savybę.

Dalyvio a dalinys, padalytas iš b, yra lygus skaičiaus modulio daliniui, padalytam iš modulio b, tai yra,. Pagrįskime šią modulio savybę. Kadangi koeficientas yra lygus sandaugai, tada. Dėl ankstesnės nuosavybės turime . Belieka tik naudoti lygybę, kuri galioja pagal skaičiaus modulio apibrėžimą.

Ši modulio savybė parašyta kaip nelygybė: , a , b ir c yra savavališki realieji skaičiai. Rašytinė nelygybė yra ne kas kita trikampio nelygybė. Kad tai būtų aišku, paimkime koordinačių linijos taškus A(a), B(b), C(c) ir apsvarstykime išsigimusią trikampį ABC, kurio viršūnės yra toje pačioje tiesėje. Pagal apibrėžimą skirtumo modulis yra lygus atkarpos AB ilgiui, - atkarpos AC ilgiui ir - atkarpos CB ilgiui. Kadangi bet kurios trikampio kraštinės ilgis neviršija kitų dviejų kraštinių ilgių sumos, tai nelygybė yra teisinga , todėl nelygybė taip pat teisinga.

Ką tik įrodyta nelygybė yra daug dažnesnė formoje . Parašyta nelygybė paprastai laikoma atskira modulio savybe su formuluote: „ Dviejų skaičių sumos modulis neviršija šių skaičių modulių sumos“ Bet nelygybė tiesiogiai išplaukia iš nelygybės, jei vietoj b dedame −b ir imsime c=0.

Kompleksinio skaičiaus modulis

Duokim kompleksinio skaičiaus modulio apibrėžimas. Tegul tai mums duota kompleksinis skaičius, parašytas algebrine forma, kur x ir y yra kai kurie realieji skaičiai, atitinkamai reiškiantys tikrosią ir įsivaizduojamą tam tikro kompleksinio skaičiaus z dalis ir yra įsivaizduojamas vienetas.

Lygčių ir nelygybių sprendimas moduliu dažnai sukelia sunkumų. Tačiau, jei gerai suprantate, kas tai yra skaičiaus modulis, Ir kaip teisingai išplėsti išraiškas, kuriose yra modulio ženklas, tada buvimas lygtyje išraiška po modulio ženklu, nustoja būti kliūtimi jos sprendimui.

Šiek tiek teorijos. Kiekvienas skaičius turi dvi charakteristikas: absoliučią skaičiaus reikšmę ir jo ženklą.

Pavyzdžiui, skaičius +5 arba tiesiog 5 turi „+“ ženklą ir absoliučią reikšmę 5.

Skaičius -5 turi "-" ženklą ir absoliučią reikšmę 5.

Skaičių 5 ir -5 absoliučios reikšmės yra 5.

Absoliuti skaičiaus x reikšmė vadinama skaičiaus moduliu ir žymima |x|.

Kaip matome, skaičiaus modulis yra lygus pačiam skaičiui, jei šis skaičius yra didesnis arba lygus nuliui, ir šiam skaičiui su priešingu ženklu, jei šis skaičius yra neigiamas.

Tas pats pasakytina apie visas išraiškas, rodomas po modulio ženklu.

Modulio išplėtimo taisyklė atrodo taip:

|f(x)|= f(x), jei f(x) ≥ 0, ir

|f(x)|= - f(x), jei f(x)< 0

Pavyzdžiui |x-3|=x-3, jei x-3≥0 ir |x-3|=-(x-3)=3-x, jei x-3<0.

Norėdami išspręsti lygtį, kurioje yra išraiška po modulio ženklu, pirmiausia turite išplėsti modulį pagal modulio išplėtimo taisyklę.

Tada mūsų lygtis arba nelygybė tampa į dvi skirtingas lygtis, egzistuojančias dviejuose skirtinguose skaitiniuose intervaluose.

Viena lygtis egzistuoja skaitiniame intervale, kuriame išraiška po modulio ženklu yra neneigiama.

Ir antroji lygtis egzistuoja intervale, kuriame išraiška po modulio ženklu yra neigiama.

Pažiūrėkime į paprastą pavyzdį.

Išspręskime lygtį:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Atidarykime modulį.

|x-3|=x-3, jei x-3≥0, t.y. jei x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, jei x-3<0, т.е. если х<3

2. Gavome du skaitinius intervalus: x≥3 ir x<3.

Panagrinėkime, į kokias lygtis kiekviename intervale transformuojama pradinė lygtis:

A) Jei x≥3 |x-3|=x-3, mūsų sužeidimas turi tokią formą:

Dėmesio! Ši lygtis egzistuoja tik intervale x≥3!

Atidarykime skliaustus ir pateiksime panašius terminus:

ir išspręskite šią lygtį.

Ši lygtis turi šaknis:

x 1 = 0, x 2 = 3

Dėmesio! kadangi lygtis x-3=-x 2 +4x-3 egzistuoja tik intervale x≥3, mus domina tik tos šaknys, kurios priklauso šiam intervalui. Šią sąlygą tenkina tik x 2 =3.

B) ties x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Dėmesio! Ši lygtis egzistuoja tik intervale x<3!

Atidarykime skliaustus ir pateikime panašius terminus. Gauname lygtį:

x 1 = 2, x 2 = 3

Dėmesio! kadangi lygtis 3-x=-x 2 +4x-3 egzistuoja tik intervale x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Taigi: iš pirmojo intervalo imame tik šaknį x=3, iš antrojo - šaknį x=2.

Ši internetinė matematikos skaičiuoklė jums padės išspręskite lygtį arba nelygybę su moduliais. Programa skirta sprendžiant lygtis ir nelygybes moduliais ne tik duoda atsakymą į problemą, bet ir veda išsamus sprendimas su paaiškinimais

, t.y. rodomas rezultato gavimo procesas.

Ši programa gali praversti bendrojo lavinimo mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakils.

Įveskite lygtį arba nelygybę su moduliais
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Išspręskite lygtį arba nelygybę

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palaukite sek...

Jeigu jūs sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Lygtys ir nelygybės su moduliais

Pagrindinės mokyklos algebros kurse galite susidurti su paprasčiausiomis lygtimis ir nelygybėmis su moduliais. Norėdami juos išspręsti, galite naudoti geometrinį metodą, pagrįstą tuo, kad \(|x-a| \) yra atstumas skaičių tiesėje tarp taškų x ir a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Pavyzdžiui, norint išspręsti lygtį \(|x-3|=2\), skaičių tiesėje reikia rasti taškus, kurie yra nutolę nuo taško 3 2 atstumu. Tokie taškai yra du: \(x_1=1 \) ir \(x_2=5\) .

Nelygybės sprendimas \(|2x+7|

Tačiau pagrindinis būdas išspręsti lygtis ir nelygybes su moduliais yra susijęs su vadinamuoju „modulio atskleidimu pagal apibrėžimą“:
jei \(a \geq 0 \), tada \(|a|=a \);
if \(a Paprastai lygtis (nelygybė) su moduliais redukuojama į lygčių (nelygybių), kuriose nėra modulio ženklo, rinkinį.

Be pirmiau pateikto apibrėžimo, naudojami šie teiginiai:
1) Jei \(c > 0\), tada lygtis \(|f(x)|=c \) yra lygiavertė lygčių rinkiniui: \(\left[\begin(masyvas)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(masyvas)\right.
2) Jei \(c > 0 \), tai nelygybė \(|f(x)| 3) Jei \(c \geq 0 \), tada nelygybė \(|f(x)| > c \) yra lygiavertis nelygybių rinkiniui: \(\left[\begin(masyvas)(l) f(x) c \end(masyvas)\right. \)
4) Jei abi nelygybės pusės \(f(x) PAVYZDYS 1. Išspręskite lygtį \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Jei \(x-1 \geq 0\), tada \(|x-1| = x-1\) ir duota lygtis įgauna formą
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rodyklė dešinėn x^2 +2x -8 = 0 \).
Jei \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \rodyklė dešinėn x^2 -2x -4 = 0 \).
Taigi, pateikta lygtis turėtų būti nagrinėjama atskirai kiekvienu iš dviejų nurodytų atvejų.
1) Tegu \(x-1 \geq 0 \), t.y. \(x\geq 1\). Iš lygties \(x^2 +2x -8 = 0\) randame \(x_1=2, \; x_2=-4\).
Sąlygą \(x \geq 1 \) tenkina tik reikšmė \(x_1=2\).

2) Tegul \(x-1 Atsakymas: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

2 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). Pirmas būdas
(modulio išplėtimas pagal apibrėžimą).

1) Jei \(x^2-6x+7 \geq 0 \), tada \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ir duota lygtis įgauna formą \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rodyklė dešinėn 3x^2-23x+30=0 \). Išsprendę šią kvadratinę lygtį, gauname: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Išsiaiškinkime, ar reikšmė \(x_1=6\) atitinka sąlygą \(x^2-6x+7 \geq 0\). Norėdami tai padaryti, nurodytą reikšmę pakeiskite kvadratine nelygybe. Gauname: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), t.y. \(7 \geq 0 \) yra tikroji nelygybė.
Tai reiškia, kad \(x_1=6\) yra pateiktos lygties šaknis.

Išsiaiškinkime, ar reikšmė \(x_2=\frac(5)(3) \) atitinka sąlygą \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Norėdami tai padaryti, nurodytą reikšmę pakeiskite kvadratine nelygybe. Gauname: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), t.y. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) yra neteisinga nelygybė. Tai reiškia, kad \(x_2=\frac(5)(3)\) nėra pateiktos lygties šaknis.

2) Jei \(x^2-6x+7 reikšmė \(x_3=3\) atitinka sąlygą \(x^2-6x+7 reikšmė \(x_4=\frac(4)(3) \) netenkina sąlyga \ (x^2-6x+7 Taigi duotoji lygtis turi dvi šaknis: \(x=6, \; x=3 \). Antras būdas.
Jei lygtis pateikta \(|f(x)| = h(x) \), tada su \(h(x) \(\left[\begin(masyvas)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end (masyvas)\right \)

Abi šios lygtys buvo išspręstos aukščiau (naudojant pirmąjį pateiktos lygties sprendimo būdą), jų šaknys yra tokios: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Šių keturių reikšmių sąlygą \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) tenkina tik dvi: 6 ir 3. Tai reiškia, kad duota lygtis turi dvi šaknis: \(x=6 , \; x=3 \ ). Trečias būdas
(grafinis).
1) Sukurkime funkcijos \(y = |x^2-6x+7| \) grafiką. Pirmiausia sukurkime parabolę \(y = x^2-6x+7\).
Turime \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Funkcijos \(y = (x-3)^2-2\) grafiką galima gauti iš funkcijos \(y = x^2\) grafiko, perkeliant jį 3 mastelio vienetais į dešinę (išilgai x ašyje) ir 2 mastelio vienetais žemyn ( išilgai y ašies).

Svarbu, kad tiesės ir abscisių ašies susikirtimo taškas x = 1,8 būtų dešinėje nuo kairiojo parabolės susikirtimo su abscisių ašimi taško – tai taškas \(x=3-\ sqrt(2) \) (nuo \(3-\sqrt(2 ) 3) Sprendžiant iš brėžinio, grafikai susikerta dviejuose taškuose - A(3; 2) ir B(6; 7). Pakeičiant šių abscises taškai x = 3 ir x = 6 į pateiktą lygtį, esame įsitikinę, kad abiem atvejais gaunama teisinga skaitinė lygybė Tai reiškia, kad mūsų hipotezė pasitvirtino – lygtis turi dvi šaknis: x = 3 ir x = 6. Atsakymas: 3;

komentuoti. Grafinis metodas, nepaisant visų savo elegancijos, nėra labai patikimas. Nagrinėjamame pavyzdyje tai veikė tik todėl, kad lygties šaknys yra sveikieji skaičiai.

3 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

2 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Išraiška 2x–4 tampa 0 taške x = 2, o išraiška x + 3 – 0 taške x = –3. Šie du taškai padalija skaičių eilutę į tris intervalus: \(x

Apsvarstykite pirmąjį intervalą: \((-\infty; \; -3) \).
Jei x Apsvarstykite antrąjį intervalą: \([-3; \; 2) \).
Jei \(-3 \leq x Apsvarstykite trečiąjį intervalą: \()