Geometrijos problemos dažnai reikalauja apskaičiuoti daugiakampio plotą. Be to, jis gali turėti gana įvairią formą – nuo ​​pažįstamo trikampio iki kokio nors n kampo su neįsivaizduojamu viršūnių skaičiumi. Be to, šie daugiakampiai gali būti išgaubti arba įgaubti. Kiekvienoje konkrečioje situacijoje būtina remtis figūros išvaizda. Tokiu būdu galite pasirinkti optimalų problemos sprendimo būdą. Paveikslas gali pasirodyti teisingas, o tai labai supaprastins problemos sprendimą.

Šiek tiek teorijos apie daugiakampius

Jei nubrėžiate tris ar daugiau susikertančių linijų, jos sudaro tam tikrą figūrą. Tai ji yra daugiakampis. Pagal susikirtimo taškų skaičių tampa aišku, kiek jis turės viršūnių. Jie suteikia pavadinimą gautai figūrai. Tai gali būti:

Tokia figūra tikrai pasižymės dviem pozicijomis:

1. Gretimos pusės nepriklauso tai pačiai tiesei linijai.
2. Negretimi neturi bendrų taškų, tai yra, nesikerta.

Norėdami suprasti, kurios viršūnės yra kaimyninės, turėsite pamatyti, ar jos priklauso tai pačiai pusei. Jei taip, tai kaimyniniai. Priešingu atveju juos galima sujungti segmentu, kuris turi būti vadinamas įstrižainiu. Jie gali būti atliekami tik daugiakampiuose, kuriuose yra daugiau nei trys viršūnės.

Kokie jų tipai egzistuoja?

Daugiakampis su daugiau nei keturiais kampais gali būti išgaubtas arba įgaubtas. Skirtumas tarp pastarųjų yra tas, kad kai kurios jo viršūnės gali būti priešingose ​​tiesės, nubrėžtos per savavališką daugiakampio kraštinę, pusėse. Išgaubtu atveju visos viršūnės visada yra toje pačioje tokios tiesios linijos pusėje.

Mokyklos geometrijos kurse didžioji laiko dalis skiriama išgaubtoms figūroms. Todėl problemos reikalauja rasti išgaubto daugiakampio plotą. Tada yra apibrėžto apskritimo spindulio formulė, leidžianti rasti bet kurios figūros norimą reikšmę. Kitais atvejais nėra aiškaus sprendimo. Trikampio formulė yra viena, o kvadrato ar trapecijos ji yra visiškai kitokia. Tais atvejais, kai figūra yra netaisyklinga arba yra daug viršūnių, įprasta jas skirstyti į paprastas ir pažįstamas.

Ką daryti, jei figūra turi tris ar keturias viršūnes?

Pirmuoju atveju tai bus trikampis ir galite naudoti vieną iš formulių:

• S = 1/2 * a * n, kur a yra kraštinė, n yra aukštis iki jos;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), kur a, b yra trikampio kraštinės, A yra kampas tarp žinomų kraštinių;
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), kur c yra trikampio kraštinė, prie dviejų jau nurodytų, p yra pusiau perimetras, tai yra, visų trijų kraštinių suma padalinta iš dviejų .

Figūra su keturiomis viršūnėmis gali pasirodyti lygiagretainis:

• S = a*n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), kur d 1 ir d 2 yra įstrižainės, α yra kampas tarp jų;
• S = a * in * sin(α).

Trapecijos ploto formulė: S = n * (a + b) / 2, kur a ir b yra pagrindų ilgiai.

Ką daryti su įprastu daugiakampiu, turinčiu daugiau nei keturias viršūnes?

Pirmiausia tokia figūra pasižymi tuo, kad visos pusės yra lygios. Be to, daugiakampis turi vienodus kampus.

Jei aplink tokią figūrą nubraižote apskritimą, jo spindulys sutaps su atkarpa nuo daugiakampio centro iki vienos iš viršūnių. Todėl, norint apskaičiuoti įprasto daugiakampio plotą su savavališku viršūnių skaičiumi, jums reikės šios formulės:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), kur n yra daugiakampio viršūnių skaičius.

Iš jo nesunku gauti tą, kuris būtų naudingas ypatingais atvejais:

1. trikampis: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. kvadratas: S = 2 * R2;
3. šešiakampis: S = (3√3)/2 * R 2.

Situacija su netinkama figūra

Sprendimas, kaip sužinoti daugiakampio plotą, jei jis nėra taisyklingas ir negali būti priskirtas nė vienai iš anksčiau žinomų figūrų, yra algoritmas:

• suskaidykite jį į paprastas formas, pavyzdžiui, trikampius, kad jos nesikirstų;
• apskaičiuokite jų plotus pagal bet kurią formulę;
• sudėkite visus rezultatus.

Ką daryti, jei uždavinys pateikia daugiakampio viršūnių koordinates?

Tai yra, kiekvienam taškui žinoma skaičių porų rinkinys, ribojantis figūros puses. Paprastai jie rašomi kaip (x 1 ; y 1) pirmajam, (x 2 ; y 2) antrajam, o n-oji viršūnė turi tokias reikšmes (x n ; y n). Tada daugiakampio plotas nustatomas kaip n narių suma. Kiekvienas iš jų atrodo taip: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). Šioje išraiškoje i kinta nuo vieno iki n.

Verta paminėti, kad rezultato ženklas priklausys nuo figūros perėjimo. Naudojant nurodytą formulę ir judant pagal laikrodžio rodyklę, atsakymas bus neigiamas.

Pavyzdinė užduotis

Būklė. Viršūnių koordinatės nurodomos šiomis reikšmėmis (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Turite apskaičiuoti daugiakampio plotą.

Sprendimas. Pagal aukščiau pateiktą formulę pirmasis narys bus lygus (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1). Čia tereikia paimti Y ir X reikšmes iš antrojo ir pirmojo taško. Paprastas skaičiavimas duos 1.8 rezultatą.

Antrasis narys gaunamas panašiai: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Spręsdami tokias problemas, nebijokite neigiamų kiekių. Viskas vyksta taip, kaip turėtų. Tai planuojama.

Trečiojo (0,29), ketvirtojo (-6,365) ir penkto (2,96) narių reikšmės gaunamos panašiu būdu. Tada galutinis plotas yra: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Patarimas sprendžiant uždavinį, kai ant languoto popieriaus nubraižytas daugiakampis

Dažniausiai glumina tai, kad duomenyse yra tik ląstelės dydis. Bet pasirodo, kad daugiau informacijos nereikia. Rekomendacija, kaip išspręsti šią problemą, yra padalinti figūrą į daugybę trikampių ir stačiakampių. Jų plotus gana lengva apskaičiuoti pagal šonų ilgius, kuriuos vėliau galima lengvai susumuoti.

Tačiau dažnai yra paprastesnis būdas. Jį sudaro figūros nubrėžimas į stačiakampį ir jo ploto apskaičiavimas. Tada apskaičiuokite tų elementų plotus, kurie pasirodė nereikalingi. Atimkite juos iš bendros vertės. Ši parinktis kartais apima šiek tiek mažesnį veiksmų skaičių.

Gebėjimas nustatyti įvairių figūrų plotą vaidina svarbų vaidmenį kiekvieno žmogaus gyvenime. Anksčiau ar vėliau jūs turite susidoroti su šiomis žiniomis. Pavyzdžiui, atnaujinant patalpą, norint nustatyti reikiamą tapetų, linoleumo, parketo, plytelių ritinėlių skaičių vonios kambariui ar virtuvei, reikia mokėti apskaičiuoti reikiamą plotą.

Žinios geometrijos srityje buvo naudojamos senovės Babilone ir kitose šalyse. Pirmaisiais žingsniais kultūros link visada reikėjo išmatuoti plotą, atstumą. Statant pirmuosius reikšmingus statinius reikėjo mokėti išlaikyti vertikalumą ir suprojektuoti planą.

Didelę reikšmę turėjo ir žmonių estetiniai poreikiai. Namų dekoravimas, apranga, tapyba prisidėjo prie geometrijos srities informacijos formavimo ir kaupimo proceso, kurį to meto žmonės gaudavo eksperimentiškai, po truputį ir perduodavo iš kartos į kartą.

Šiandien geometrijos žinios būtinos pjaustytojams, statybininkams, architektams ir kiekvienam paprastam žmogui kasdieniame gyvenime.

Todėl jūs turite išmokti apskaičiuoti įvairių figūrų plotą ir prisiminti, kad kiekviena formulė gali būti naudinga vėliau praktikoje, įskaitant įprasto šešiakampio formulę. Šešiakampis yra daugiakampė figūra, kurios bendras kampų skaičius yra šeši.

Taisyklingo šešiakampio plotas

Taisyklingas šešiakampis yra šešiakampė figūra, turinti lygias puses. Taisyklingo šešiakampio kampai taip pat lygūs vienas kitam.

Kasdieniame gyvenime dažnai galime susidurti su objektais, kurie turi taisyklingo šešiakampio formą. Tai metalinė veržlė, korio ląstelės ir snaigės struktūra. Šešiakampės formos puikiai užpildo plokštumas. Taigi, pavyzdžiui, klodami grindinio plokštes, galime stebėti, kaip plytelės klojamos viena šalia kitos, nepaliekant tuščių tarpų.

Taisyklingo šešiakampio savybės

• Taisyklingas šešiakampis visada turės vienodus kampus, kurių kiekvienas yra 120˚.
• Figūros kraštinė lygi apibrėžto apskritimo spinduliui.
• Visos taisyklingo šešiakampio kraštinės yra lygios.
• Taisyklingas šešiakampis sandariai užpildo plokštumą.

Įprasto šešiakampio plotą galima apskaičiuoti padalijus jį į šešis trikampius, kurių kiekvienas turės lygias kraštines.

Norėdami apskaičiuoti įprasto trikampio plotą, naudokite šią formulę:

Žinodami vieno iš trikampių plotą, galite lengvai apskaičiuoti šešiakampio plotą. Jo apskaičiavimo formulė yra paprasta: kadangi taisyklingas šešiakampis yra šeši vienodi trikampiai, mūsų trikampio plotas turi būti padaugintas iš 6.

Nubrėžę statmeną iš figūros centro į bet kurią jos kraštinę, gausime atkarpą, vadinamą apotema. Pažiūrėkime, kaip rasti šešiakampio plotą su žinomu apotemu:

1. Plotas = 1/2 * perimetras * apotema.
2. Tarkime, kad mūsų apotemas yra 5√3 cm.

1. Naudojant apotemą, randame perimetrą: Kadangi apotemas yra statmenai šešiakampio kraštinei, trikampio, sukurto naudojant apotemą, kampai bus 30˚-60˚-90˚. Kiekviena gauto trikampio kraštinė atitiks: x-x√3-2x, kur trumpoji kraštinė, esanti priešais 30˚ kampą, yra x, ilgoji kraštinė, esanti priešinga 60˚ kampui, yra x√3, o hipotenuzė yra 2x .
2. Kadangi apotemas pavaizduotas kaip x√3, galime jį pakeisti formule a = x√3 ir išspręsti. Jei, pavyzdžiui, apotemas = 5√3, tai šią reikšmę pakeičiame formulėje ir gauname: 5√3 cm = x√3 arba x = 5 cm.
3. Taigi, trumpoji trikampio kraštinė yra 5 cm. Kadangi ši vertė yra pusė šešiakampio kraštinės ilgio, padauginame 5 iš 2 ir gauname 10 cm, tai yra kraštinės ilgis.
4. Žinodami kraštinės ilgį, padauginkite jį iš 6 ir gaukite šešiakampio perimetrą: 10 cm x 6 = 60 cm
5. Pakeiskime gautus rezultatus į mūsų formulę:

Plotas = 1/2 * perimetras * apotema

Plotas = ½*60cm*5√3

Dabar belieka supaprastinti atsakymą, kad atsikratytumėte kvadratinių šaknų, ir nurodykite gautą rezultatą kvadratiniais centimetrais:

½ * 60 cm * 5√3 cm =30 * 5√3 cm = 150 √3 cm = 259,8 cm²

Vaizdo įrašas apie tai, kaip rasti įprasto šešiakampio plotą

Netaisyklingo šešiakampio plotas

Yra keletas variantų, kaip nustatyti netaisyklingo šešiakampio plotą:

• Trapecijos metodas.
• Metodas, skirtas apskaičiuoti netaisyklingų daugiakampių plotą naudojant koordinačių ašį.
• Metodas šešiakampiui suskaidyti į kitas formas.

Atsižvelgiant į jums žinomus pradinius duomenis, pasirenkamas tinkamas metodas.

Trapecijos metodas

Savavališkos (netaisyklingos) formos šešiakampio plotas apskaičiuojamas trapecijos metodu, kurio esmė yra padalinti šešiakampį į atskiras trapecijas ir tada apskaičiuoti kiekvieno iš jų plotą.

Metodas su koordinačių ašimis

Be to, netaisyklingo šešiakampio plotą galima apskaičiuoti naudojant netaisyklingų daugiakampių ploto apskaičiavimo metodą. Pažvelkime į tai naudodami šį pavyzdį:

Skaičiavimą atliksime naudodami daugiakampio viršūnių koordinačių metodą:

1. Šiame etape turėtumėte sudaryti lentelę ir užsirašyti viršūnių x ir y koordinates. Viršūnes parenkame eilės tvarka prieš laikrodžio rodyklę, sąrašo pabaigą baigiame iš naujo įrašydami pirmosios viršūnės koordinates:

1. Dabar turėtumėte padauginti 1-osios viršūnės x koordinačių reikšmes iš 2-osios viršūnės y koordinačių ir taip tęsti dauginimą toliau. Tada reikia susumuoti rezultatus. Mūsų atveju tai buvo 82:

1. Iš eilės padauginame y1-osios viršūnės koordinačių reikšmes iš 2-osios viršūnės x koordinačių verčių. Apibendrinkime gautus rezultatus. Mūsų atveju tai buvo 38:

1. Iš sumos, kurią gavome trečiajame etape, atimame sumą, kurią gavome ketvirtame etape: 82 – (-38) = 120

1. Dabar turime padalyti rezultatą, gautą ankstesniame etape, ir rasti mūsų figūros plotą: S = 120/2 = 60 cm²

Šešiakampio suskaidymo į kitas formas metodas

Kiekvienas daugiakampis gali būti suskirstytas į keletą kitų formų. Tai gali būti trikampiai, trapecijos, stačiakampiai. Remiantis žinomais duomenimis, naudojant išvardintų figūrų plotų nustatymo formules, nuosekliai apskaičiuojami jų plotai ir sumuojami.

Kai kurie netaisyklingi šešiakampiai susideda iš dviejų lygiagretainių. Norėdami nustatyti lygiagretainio plotą, padauginkite jo ilgį iš pločio ir pridėkite dvi jau žinomas sritis.

Vaizdo įrašas, kaip rasti daugiakampio plotą

Lygiakraščio šešiakampio plotas

Lygiakraštis šešiakampis turi šešias lygias puses ir yra taisyklingas šešiakampis.

Lygiakraščio šešiakampio plotas yra lygus 6 trikampių sritims, į kurias padalinta taisyklinga šešiakampė figūra.

Visi taisyklingos formos šešiakampio trikampiai yra lygūs, todėl norint rasti tokio šešiakampio plotą, pakaks žinoti bent vieno trikampio plotą.

Norėdami rasti lygiakraščio šešiakampio plotą, žinoma, naudojame taisyklingo šešiakampio ploto formulę, aprašytą aukščiau.

Ar žinojote, kaip rasti šešiakampio plotą? Kaip manote, kur šios žinios jums pravers gyvenime? Pasidalinkite savo nuomone apie

Kiekvienas, kuris mokykloje mokėsi matematikos ir geometrijos, šiuos mokslus išmano bent paviršutiniškai. Tačiau laikui bėgant, jei jų nepraktikuosite, žinios pasimiršta. Daugelis netgi mano, kad jie tiesiog praleido laiką studijuodami geometrinius skaičiavimus. Tačiau jie klysta. Techniniai darbuotojai atlieka kasdienius darbus, susijusius su geometriniais skaičiavimais. Kalbant apie daugiakampio ploto apskaičiavimą, šios žinios taip pat pritaikomos gyvenime. Jų prireiks bent jau žemės plotui apskaičiuoti. Taigi išmokime rasti daugiakampio plotą.

Daugiakampio apibrėžimas

Pirma, apibrėžkime, kas yra daugiakampis. Tai plokščia geometrinė figūra, kuri susidaro susikirtus trims ar daugiau tiesių linijų. Kitas paprastas apibrėžimas: daugiakampis yra uždara polilinija. Natūralu, kad tiesėms susikertant susidaro susikirtimo taškai, kurių skaičius lygus tiesių, sudarančių daugiakampį, skaičiui. Susikirtimo taškai vadinami viršūnėmis, o atkarpos, suformuotos iš tiesių, vadinamos daugiakampio kraštinėmis. Gretimos daugiakampio atkarpos nėra toje pačioje tiesioje linijoje. Negretimos linijos segmentai yra tie, kurie nekerta bendrų taškų.

Trikampių plotų suma

Kaip rasti daugiakampio plotą? Daugiakampio plotas yra plokštumos vidus, kurį sudaro daugiakampio atkarpų arba kraštinių susikirtimas. Kadangi daugiakampis yra figūrų, tokių kaip trikampis, rombas, kvadratas, trapecija, derinys, universalios formulės jo plotui apskaičiuoti tiesiog nėra. Praktiškai universaliausias yra daugiakampio padalijimo į paprastesnes figūras metodas, kurio plotą nesunku rasti. Sudėjus šių paprastų figūrų plotų sumas, gaunamas daugiakampio plotas.

Per apskritimo plotą

Daugeliu atvejų daugiakampis yra taisyklingos formos ir sudaro figūrą su lygiomis kraštinėmis ir kampais tarp jų. Šiuo atveju plotą labai paprasta apskaičiuoti naudojant įbrėžtą arba apibrėžtą apskritimą. Jei apskritimo plotas žinomas, tada jį reikia padauginti iš daugiakampio perimetro, o tada gautą sandaugą padalyti iš 2. Rezultatas yra tokio daugiakampio ploto apskaičiavimo formulė: S = ½∙P∙r., kur P yra apskritimo plotas, o r yra daugiakampio perimetras.

Daugiakampio padalijimo į „patogias“ formas metodas yra populiariausias geometrijoje, leidžiantis greitai ir teisingai rasti daugiakampio plotą. Vidurinės mokyklos 4 klasė dažniausiai mokosi tokių metodų.

Daugiakampis yra plokščia arba išgaubta figūra, susidedanti iš susikertančių tiesių (daugiau nei 3) ir sudaranti daugybę linijų susikirtimo taškų. Kitas daugiakampis gali būti apibrėžtas kaip laužyta linija, kuri užsidaro. Kitu būdu susikirtimo taškai gali būti vadinami figūros viršūnėmis. Priklausomai nuo viršūnių skaičiaus, figūra gali būti vadinama penkiakampiu, šešiakampiu ir pan. Daugiakampio kampas yra kampas, sudarytas vienoje viršūnėje susikertančių kraštinių. Kampas yra daugiakampio viduje. Be to, kampai gali būti skirtingi, iki 180 laipsnių. Taip pat yra išorinių kampų, kurie dažniausiai yra greta vidinio.

Tiesios linijos, kurios vėliau susikerta, vadinamos daugiakampio kraštinėmis. Jie gali būti gretimi, gretimi arba negretimi. Labai svarbi pateiktos geometrinės figūros savybė yra ta, kad jos negretimos kraštinės nesikerta, todėl neturi bendrų taškų. Gretimos figūros pusės negali būti toje pačioje tiesioje linijoje.

Tos figūros viršūnės, kurios priklauso tai pačiai linijai, gali būti vadinamos gretimomis. Jei nubrėžiate liniją tarp dviejų viršūnių, kurios nėra greta, gausite daugiakampio įstrižainę. Kalbant apie figūros plotą, tai yra vidinė geometrinės figūros su daugybe viršūnių plokštumos dalis, kurią sukuria ją dalijantys daugiakampiai.

Pateiktos geometrinės figūros plotui nustatyti nėra vieno sprendimo, nes figūros variantų gali būti be galo daug ir kiekvienam variantui yra savas sprendimas. Tačiau vis dar reikia apsvarstyti kai kuriuos dažniausiai pasitaikančius figūros ploto paieškos variantus (jie dažniausiai naudojami praktikoje ir netgi įtraukiami į mokyklos programą).

Pirmiausia panagrinėkime taisyklingąjį daugiakampį, tai yra figūrą, kurioje visi lygių kraštinių suformuoti kampai taip pat yra lygūs. Taigi, kaip konkrečiame pavyzdyje rasti daugiakampio plotą? Šiuo atveju daugiakampės figūros plotą galima rasti, jei pateikiamas į figūrą įbrėžto arba aplink jį apibrėžiamo apskritimo spindulys. Norėdami tai padaryti, galite naudoti šią formulę:

S = ½∙P∙r, kur r yra apskritimo spindulys (įbrėžtas arba apibrėžtas), o P yra geometrinės daugiakampės figūros perimetras, kurį galima rasti padauginus figūros kraštinių skaičių iš jų ilgio.

Kaip rasti daugiakampio plotą

Norint atsakyti į klausimą, kaip rasti daugiakampio plotą, pakanka vadovautis šia įdomia daugiakampio figūros savybe, kurią kadaise atrado garsus austrų matematikas Georgas Pieckas. Pavyzdžiui, naudodamiesi formule S = N + M/2 -1, galite rasti daugiakampio plotą, kurio viršūnės yra kvadratinio tinklelio mazguose. Šiuo atveju S yra atitinkamai plotas; N – kvadratinių tinklelio mazgų, esančių daug kampų turinčios figūros viduje, skaičius; M yra tų kvadratinio tinklelio mazgų, esančių daugiakampio viršūnėse ir šonuose, skaičius. Tačiau, nepaisant savo grožio, Pick formulė praktiškai nenaudojama praktinėje geometrijoje.

Paprasčiausias ir žinomiausias ploto nustatymo metodas, kuris mokomas mokykloje, yra daugiakampės geometrinės figūros padalijimas į paprastesnes dalis (trapecijas, stačiakampius, trikampius). Rasti šių figūrų plotą nėra sunku. Šiuo atveju daugiakampio plotas nustatomas paprastai: reikia rasti visų tų figūrų, į kurias padalintas daugiakampis, plotus.

Iš esmės daugiakampio ploto apibrėžimas nustatomas mechanikoje (dalių matmenys).

1.1 Plotų skaičiavimas senovėje

1.2 Skirtingi požiūriai tiriant sąvokas „plotas“, „daugiakampis“, „daugiakampio plotas“

1.2.1 Ploto samprata. Ploto ypatybės

1.2.2 Daugiakampio samprata

1.2.3 Daugiakampio ploto samprata. Aprašomasis apibrėžimas

1.3 Įvairios daugiakampių plotų formulės

1.4 Daugiakampių plotų formulių išvedimas

1.4.1 Trikampio plotas. Garnio formulė

1.4.2 Stačiakampio plotas

1.4.3 Trapecijos plotas

1.4.4 Keturkampio plotas

1.4.5 Universali formulė

1.4.6 n kampo plotas

1.4.7 Daugiakampio ploto apskaičiavimas iš jo viršūnių koordinačių

1.4.8 Pasirinkimo formulė

1.5 Pitagoro teorema apie kvadratų, pastatytų ant stačiojo trikampio kojelių, plotų sumos

1.6 Vienodas trikampių išdėstymas. Bolyay-Gerwin teorema

1.7 Panašių trikampių plotų santykis

1.8 Didžiausio ploto figūros

1.8.1 Trapecija arba stačiakampis

1.8.2 Puiki aikštės savybė

1.8.3 Kitų formų profiliai

1.8.4 Didžiausio ploto trikampis

2 skyrius. Daugiakampių plotų tyrimo metodiniai ypatumai matematikos pamokose

2.1 Teminis planavimas ir mokymo ypatumai klasėse, kuriose gilinamasi į matematiką

2.2 Pamokų vedimo metodika

2.3 Eksperimentinio darbo rezultatai

Išvada

Literatūra

Įvadas

Tema „Daugiakampių plotas“ yra neatsiejama mokyklos matematikos kurso dalis, o tai yra gana natūralu. Juk istoriškai pats geometrijos atsiradimas siejamas su poreikiu lyginti vienos ar kitos formos žemės sklypus. Kartu pažymėtina, kad edukacinės galimybės aptarti šią temą vidurinėje mokykloje dar toli gražu nėra išnaudojamos.

Pagrindinis matematikos mokymo mokykloje uždavinys – užtikrinti, kad mokiniai tvirtai ir sąmoningai įsisavintų kasdieniame gyvenime ir darbe kiekvienam šiuolaikinės visuomenės nariui reikalingų matematinių žinių ir įgūdžių sistemą, pakankamą gretutinių disciplinų studijoms ir tęstiniam mokymuisi.

Kartu su pagrindinės problemos sprendimu, giluminis matematikos mokymasis apima tvaraus domėjimosi dalyku formavimą studentams, jų matematinių gebėjimų nustatymą ir ugdymą, orientaciją į profesijas, reikšmingai susijusias su matematika, pasirengimą studijuoti universitete. .

Kvalifikacinis darbas apima bendrojo lavinimo mokyklinio matematikos kurso turinį ir keletą papildomų klausimų, tiesiogiai greta šio kurso ir gilinančių jį pagal pagrindines ideologines linijas.

Papildomų klausimų įtraukimas turi du tarpusavyje susijusius tikslus. Viena vertus, kartu su pagrindinėmis kurso dalimis sukuriamas pagrindas tenkinti matematikos polinkių studentų pomėgius ir ugdyti jų gebėjimus, kita vertus, tai įgyvendinimas. pagrindinio kurso turinio spragas, suteikiant giluminio studijų turiniui reikiamo vientisumo.

Kvalifikacinį darbą sudaro įvadas, du skyriai, išvados ir cituojama literatūra. Pirmame skyriuje aptariami teoriniai daugiakampių plotų tyrimo pagrindai, o antrajame tiesiogiai nagrinėjami plotų tyrimo metodologiniai ypatumai.

1 skyrius. Daugiakampių plotų tyrimo teoriniai pagrindai

1.1Plotų skaičiavimas senovėje

Geometrinių žinių, susijusių su plotų matavimu, užuomazgos pasimeta tūkstančių metų gelmėse.

Dar prieš 4–5 tūkstančius metų babiloniečiai sugebėjo kvadratiniais vienetais nustatyti stačiakampio ir trapecijos plotą. Kvadratas ilgą laiką tarnavo kaip plotų matavimo standartas dėl daugybės puikių savybių: lygių kraštinių, vienodų ir stačių kampų, simetrijos ir bendro formos tobulumo. Kvadratus lengva konstruoti arba galite užpildyti plokštumą be tarpų.

Senovės Kinijoje ploto matas buvo stačiakampis. Kai mūrininkai nustatė stačiakampės namo sienos plotą, jie padaugino sienos aukštį ir plotį. Tai yra geometrijoje priimtas apibrėžimas: stačiakampio plotas yra lygus gretimų jo kraštinių sandaugai. Abi šios pusės turi būti išreikštos tais pačiais tiesiniais vienetais. Jų produktas bus stačiakampio plotas, išreikštas atitinkamais kvadratiniais vienetais. Tarkime, jei sienos aukštis ir plotis matuojami decimetrais, tai abiejų matavimų sandauga bus išreikšta kvadratiniais decimetrais. Ir jei kiekvieno plausto plotas yra kvadratinis decimetras, gautame gaminyje bus nurodytas plytelių, reikalingų apdailai, skaičius. Tai išplaukia iš teiginio, kuriuo grindžiamas plotų matavimas: figūros, sudarytos iš nesikertančių figūrų, plotas yra lygus jų plotų sumai.

Senovės egiptiečiai prieš 4000 metų naudojo beveik tuos pačius metodus, kaip ir mes, matuodami stačiakampio, trikampio ir trapecijos plotą: trikampio pagrindas buvo padalintas per pusę ir padaugintas iš aukščio; trapecijai lygiagrečių kraštinių suma buvo padalinta per pusę ir padauginta iš aukščio ir kt. Norėdami apskaičiuoti plotą

tie. Priešingų pusių pusės sumos buvo padaugintos.

Ši formulė yra aiškiai neteisinga bet kuriam keturkampiui, tai visų pirma reiškia, kad visų rombų plotai yra vienodi. Tuo tarpu akivaizdu, kad tokių rombų plotai priklauso nuo kampų dydžio viršūnėse. Ši formulė galioja tik stačiakampiui. Su jo pagalba galite apytiksliai apskaičiuoti keturkampių, kurių kampai yra artimi stačiakampiams, plotą.

Norėdami nustatyti plotą

Tačiau jau senovės graikai žinojo, kaip teisingai rasti daugiakampių plotus. Savo elementuose Euklidas nevartoja žodžio „sritis“, nes pačiu žodžiu „figūra“ jis supranta plokštumos dalį, kurią riboja viena ar kita uždara linija. Euklidas ploto matavimo rezultato neišreiškia skaičiumi, o lygina skirtingų figūrų plotus tarpusavyje.

Kaip ir kiti senovės mokslininkai, Euklidas nagrinėja kai kurių figūrų pavertimą kitomis tokio pat dydžio figūromis. Sudėtinės figūros plotas nepasikeis, jei jos dalys bus išdėstytos skirtingai, bet nesusikerta. Todėl, pavyzdžiui, remiantis stačiakampio ploto formulėmis, galima rasti formules kitų figūrų plotams. Taigi trikampis yra padalintas į dalis, iš kurių vėliau galima suformuoti vienodo dydžio stačiakampį. Iš šios konstrukcijos matyti, kad trikampio plotas yra lygus pusei jo pagrindo ir aukščio sandaugos. Naudodami tokį iškirpimą, jie nustato, kad lygiagretainio plotas yra lygus pagrindo ir aukščio sandaugai, o trapecijos plotas yra pusės pagrindų ir aukščio sandauga. .

Kai mūrininkai turi klijuoti sudėtingos konfigūracijos sieną, jie gali nustatyti sienos plotą skaičiuodami apkalimui naudojamų plytelių skaičių. Kai kurias plyteles, žinoma, teks nusmulkinti, kad dangos kraštai sutaptų su sienos kraštu. Visų darbe panaudotų plytelių skaičius įvertina sienų plotą su pertekliumi, nesulūžusių plytelių skaičius – su trūkumu. Mažėjant celių dydžiui, mažėja atliekų kiekis, o sienų plotas, nustatomas pagal plytelių skaičių, apskaičiuojamas vis tiksliau.

Vienas iš vėlesnių graikų matematikų ir enciklopedistų, kurio darbai daugiausia buvo taikomojo pobūdžio, buvo Aleksandrijos Heronas, gyvenęs I a. n. e. Būdamas puikus inžinierius, jis taip pat buvo vadinamas „Mechaniku garnys“. Savo darbe „Dioptrics“ Heronas aprašo įvairias mašinas ir praktinius matavimo prietaisus.

Viena iš Herono knygų vadinosi „Geometrija“ ir yra savotiškas formulių ir atitinkamų problemų rinkinys. Jame yra kvadratų, stačiakampių ir trikampių plotų skaičiavimo pavyzdžių. Apie trikampio ploto radimą pagal jo kraštines Heronas rašo: „Tegul, pavyzdžiui, vienos trikampio kraštinės ilgis yra 13 matavimo virvelių, antroji – 14, o trečioji – 15. Norėdami rasti plotą, tęskite taip. Pridėkite 13, 14 ir 15; tai bus 42. Pusė to bus 21. Iš to atimkite tris kraštines po vieną; pirmiausia atimkite 13 - jums lieka 8, tada 14 - jums lieka 7, o galiausiai 15 - lieka 6. Dabar padauginkite juos: 21 kartas 8 - tai 168, paimkite tai 7 kartus - gausite 1176 ir paimkite tai dar 6 kartus - gausite 7056. Iš čia kvadratinė šaknis bus 84. Tiek matavimo virvelių bus trikampio srityje.