Reitingas ir klasės. Skaičiai

Natūralūs skaičiai

Skaičiuojant naudojami skaičiai vadinami natūraliaisiais skaičiais. Pavyzdžiui, 1,2,3 USD ir kt. Natūralūs skaičiai sudaro natūraliųjų skaičių rinkinį, kuris žymimas $N$. Šis pavadinimas kilęs iš lotyniško žodžio naturalis- natūralus.

Priešingi skaičiai

1 apibrėžimas

Jei du skaičiai skiriasi tik ženklais, jie vadinami matematikoje priešingi skaičiai.

Pavyzdžiui, skaičiai $5$ ir $-5$ yra priešingi skaičiai, nes Jie skiriasi tik ženklais.

1 pastaba

Bet kuriam skaičiui yra priešingas skaičius ir tik vienas.

2 pastaba

Skaičius nulis yra priešingas pats sau.

Sveikieji skaičiai

2 apibrėžimas

Visa skaičiai yra natūralieji skaičiai, jų priešingybės ir nulis.

Į sveikųjų skaičių aibę įeina natūraliųjų skaičių ir jų priešingybių aibė.

Pažymėkite sveikuosius skaičius $Z.$

Trupmeniniai skaičiai

Formos $\frac(m)(n)$ skaičiai vadinami trupmenomis arba trupmeniniais skaičiais. Trupmeninius skaičius galima rašyti ir dešimtaine forma, t.y. dešimtainių trupmenų pavidalu.

Pavyzdžiui: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ ir t.t.

Kaip ir sveikieji skaičiai, trupmeniniai skaičiai gali būti teigiami arba neigiami.

Racionalūs skaičiai

3 apibrėžimas

Racionalūs skaičiai yra skaičių rinkinys, kuriame yra sveikųjų skaičių ir trupmenų rinkinys.

Bet koks racionalusis skaičius, tiek sveikasis, tiek trupmeninis skaičius, gali būti pavaizduotas kaip trupmena $\frac(a)(b)$, kur $a$ yra sveikas skaičius, o $b$ yra natūralusis skaičius.

Taigi tą patį racionalųjį skaičių galima užrašyti įvairiais būdais.

Pavyzdžiui,

Tai rodo, kad bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip baigtinę dešimtainę trupmeną arba begalinę dešimtainę periodinę trupmeną.

Racionaliųjų skaičių aibė žymima $Q$.

Atlikus bet kokią aritmetinę operaciją su racionaliaisiais skaičiais, gautas atsakymas bus racionalus skaičius. Tai nesunkiai įrodoma dėl to, kad sudėjus, atimant, dauginant ir dalijant paprastąsias trupmenas, gaunama paprastoji trupmena

Neracionalūs skaičiai

Studijuojant matematikos kursą dažnai tenka susidurti su skaičiais, kurie nėra racionalūs.

Pavyzdžiui, norėdami patikrinti, ar egzistuoja ne racionalieji, o kitų skaičių rinkinys, išspręskime lygtį $x^2=6$. Šios lygties šaknys bus skaičiai $\surd 6$ ir -$\surd 6$. . Šie skaičiai nebus racionalūs.

Taip pat, kai randame kvadrato, kurio kraštinė yra $3$, įstrižainę, taikome Pitagoro teoremą ir nustatome, kad įstrižainė bus lygi $\surd 18$. Šis skaičius taip pat nėra racionalus.

Tokie skaičiai vadinami neracionalus.

Taigi neracionalusis skaičius yra begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena.

Vienas iš dažniausiai pasitaikančių neracionalių skaičių yra skaičius $\pi $

Atliekant aritmetinius veiksmus su neracionaliais skaičiais, gaunamas rezultatas gali būti racionalusis arba neracionalusis skaičius.

Įrodykime tai naudodami iracionaliųjų skaičių sandaugos radimo pavyzdį. Raskime:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Sprendimu

$\\sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Šis pavyzdys rodo, kad rezultatas gali būti racionalus arba neracionalus skaičius.

Jei aritmetinėse operacijose tuo pačiu metu dalyvauja racionalieji ir neracionalieji skaičiai, tada rezultatas bus neracionalus skaičius (žinoma, išskyrus dauginimą iš 0 $).

Realūs skaičiai

Realiųjų skaičių aibė yra aibė, kurioje yra racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibė.

Realiųjų skaičių aibė žymima $R$. Simboliškai realiųjų skaičių aibė gali būti žymima $(-?;+?).$

Anksčiau minėjome, kad neracionalusis skaičius yra begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena, o bet koks racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip baigtinė dešimtainė trupmena arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena, todėl bet kokia baigtinė ir begalinė dešimtainė trupmena bus tikrasis skaičius.

Atliekant algebrinius veiksmus bus laikomasi šių taisyklių

1. Dauginant ir dalijant teigiamus skaičius, gautas skaičius bus teigiamas
2. Dauginant ir dalijant neigiamus skaičius, gautas skaičius bus teigiamas
3. Dauginant ir dalijant neigiamus ir teigiamus skaičius, gautas skaičius bus neigiamas

Tikruosius skaičius taip pat galima palyginti tarpusavyje.

Skaičius yra abstrakcija, naudojama objektams kiekybiškai įvertinti. Primityvioje visuomenėje skaičiai atsirado dėl žmonių poreikio skaičiuoti daiktus. Laikui bėgant, vystantis mokslui, skaičius tapo svarbiausia matematine sąvoka.

Norėdami išspręsti problemas ir įrodyti įvairias teoremas, turite suprasti, kokie yra skaičių tipai. Pagrindiniai skaičių tipai yra: natūralieji skaičiai, sveikieji skaičiai, racionalieji skaičiai, realieji skaičiai.

Natūralūs skaičiai- tai skaičiai, gauti natūraliai skaičiuojant objektus, tiksliau juos sunumeruojant („pirmas“, „antras“, „trečias“...). Natūraliųjų skaičių rinkinys žymimas lotyniška raide N (galima prisiminti pagal anglišką žodį natural). Galima sakyti, kad N ={1,2,3,....}

Sveikieji skaičiai– tai skaičiai iš aibės (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ši aibė susideda iš trijų dalių – natūraliųjų skaičių, neigiamų sveikųjų skaičių (natūraliųjų skaičių priešingybė) ir skaičiaus 0 (nulio). Sveikieji skaičiai žymimi lotyniška raide Z . Galima sakyti, kad Z ={1,2,3,....}.

Racionalūs skaičiai yra skaičiai, pateikiami kaip trupmena, kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius. Lotyniška raidė naudojama racionaliems skaičiams žymėti K . Visi natūralūs skaičiai ir sveikieji skaičiai yra racionalūs.

Realūs skaičiai yra skaičiai, naudojami nuolatiniams dydžiams matuoti. Realiųjų skaičių aibė žymima lotyniška raide R. Realieji skaičiai apima racionalius ir neracionalius skaičius. Iracionalieji skaičiai – tai skaičiai, kurie gaunami atliekant įvairias operacijas su racionaliaisiais skaičiais (pavyzdžiui, imant šaknis, skaičiuojant logaritmus), bet nėra racionalūs.

1. Skaičių sistemos.

Skaičių sistema yra skaičių įvardijimo ir rašymo būdas. Priklausomai nuo skaičių vaizdavimo būdo, jie skirstomi į pozicinius – dešimtainius ir nepozicinius – romėniškus.

Kompiuteriai naudoja 2 skaitmenų, 8 skaitmenų ir 16 skaitmenų skaičių sistemas.

Skirtumai: skaičiaus įrašymas 16 skaičių sistemoje yra daug trumpesnis, palyginti su kitu įrašu, t.y. reikalauja mažesnės bitų talpos.

Padėties skaičių sistemoje kiekvienas skaitmuo išlaiko pastovią reikšmę, nepaisant jo padėties skaičiuje. Pozicinėje skaičių sistemoje kiekvienas skaitmuo lemia ne tik jo reikšmę, bet ir priklauso nuo jo užimamos padėties skaičiuje. Kiekviena skaičių sistema apibūdinama baze. Bazė yra skirtingų skaitmenų, naudojamų skaičiams įrašyti tam tikroje skaičių sistemoje, skaičius. Bazė rodo, kiek kartų pasikeičia to paties skaitmens reikšmė perėjus į gretimą padėtį. Kompiuteris naudoja 2 skaičių sistemą. Sistemos pagrindas gali būti bet koks skaičius. Aritmetinės operacijos su skaičiais bet kurioje padėtyje atliekamos pagal taisykles, panašias į 10 skaičių sistemą. Skaičius 2 naudoja dvejetainę aritmetiką, kuri yra įdiegta kompiuteryje aritmetiniams skaičiavimams atlikti.

Dvejetainių skaičių sudėjimas:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10

Atimtis:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1

Daugyba:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1

Kompiuteris plačiai naudoja 8 skaičių ir 16 skaičių sistemas. Jie naudojami dvejetainiams skaičiams sutrumpinti.

2. Aibės samprata.

„Aibės“ sąvoka yra pagrindinė matematikos sąvoka ir neturi jokio apibrėžimo. Bet kurio rinkinio generavimo pobūdis yra įvairus, ypač aplinkiniai objektai, gyvoji gamta ir kt.

1 apibrėžimas: Iškviečiami objektai, iš kurių formuojama aibė šio rinkinio elementai. Aibei žymėti naudojamos lotyniškos abėcėlės didžiosios raidės: pavyzdžiui, X, Y, Z, o jo elementai rašomi mažosiomis raidėmis riestuose skliaustuose, atskirtuose kableliais, pvz.: (x,y,z).

Aibės ir jos elementų žymėjimo pavyzdys:

X = (x 1, x 2,…, x n) – aibė, susidedanti iš n elementų. Jei elementas x priklauso aibei X, tai reikia rašyti: xÎX, kitu atveju elementas x nepriklauso aibei X, kuri rašoma: xÏX. Abstrakčiojo rinkinio elementais gali būti, pavyzdžiui, skaičiai, funkcijos, raidės, formos ir kt. Matematikoje bet kuriame skyriuje vartojama aibės sąvoka. Visų pirma, galime pateikti kai kurias konkrečias realiųjų skaičių rinkines. Realiųjų skaičių x aibė, tenkinanti nelygybes:

· vadinamas a ≤ x ≤ b segmentas ir žymimas ;

a ≤ x< b или а < x ≤ b называется pusės segmento ir žymimas: ;

· A< x < b называется intervalas ir žymimas (a,b).

2 apibrėžimas: Aibė, turinti baigtinį elementų skaičių, vadinama baigtine. Pavyzdys. X = (x 1 , x 2 , x 3 ).

3 apibrėžimas: rinkinys vadinamas begalinis, jei jis susideda iš begalinio skaičiaus elementų. Pavyzdžiui, visų realiųjų skaičių aibė yra begalinė. Įrašo pavyzdys. X = (x 1, x 2, ...).

4 apibrėžimas: Aibė, neturinti vieno elemento, vadinama tuščia aibe ir žymima simboliu Æ.

Aibės charakteristika yra galios samprata. Galia yra jos elementų skaičius. Aibės Y=(y 1 , y 2 ,...) kardinalumas yra toks pat kaip aibės X=(x 1 , x 2 ,...), jei yra vienas su vienu atitikimas y= f(x ) tarp šių aibių elementų. Tokie rinkiniai turi tą patį kardinalumą arba yra vienodo kardinalumo. Tuščias rinkinys turi nulinį kardinalumą.

3. Aibių nustatymo metodai.

Manoma, kad aibę apibrėžia jos elementai, t.y. rinkinys duotas, jei apie kokį nors objektą galime pasakyti: jis priklauso šiai aibei arba nepriklauso. Galite nurodyti rinkinį šiais būdais:

1) Jei aibė yra baigtinė, ją galima apibrėžti išvardijant visus jos elementus. Taigi, jei rinkinys A susideda iš elementų 2, 5, 7, 12 , tada jie rašo A = (2, 5, 7, 12). Rinkinio elementų skaičius A lygus 4 , jie rašo n(A) = 4.

Bet jei aibė yra begalinė, tai jos elementų neįmanoma išvardyti. Sunku apibrėžti aibę išvardijant ir baigtinę aibę su dideliu elementų skaičiumi. Tokiais atvejais naudojamas kitas rinkinio patikslinimo būdas.

2) Aibę galima nurodyti nurodant būdingą jos elementų savybę. Būdinga savybė- Tai savybė, kurią turi kiekvienas rinkiniui priklausantis elementas, o ne vienas jai nepriklausantis elementas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, dviejų skaitmenų skaičių aibę X: kiekvieno šio rinkinio elemento savybė yra „būti dviženkliu skaičiumi“. Ši būdinga savybė leidžia nuspręsti, ar objektas priklauso aibei X, ar nepriklauso. Pavyzdžiui, šiame rinkinyje yra skaičius 45, nes jis yra dviženklis, o skaičius 4 nepriklauso aibei X, nes ji vienareikšmė ir ne dvivertė. Pasitaiko, kad tą pačią aibę galima apibrėžti nurodant skirtingas būdingas jos elementų savybes. Pavyzdžiui, kvadratų rinkinys gali būti apibrėžtas kaip stačiakampių, turinčių lygias kraštines, rinkinys ir kaip rombų aibė su stačiais kampais.

Tais atvejais, kai charakteringą aibės elementų savybę galima pavaizduoti simboline forma, galima atitinkama žyma. Jei rinkinys IN susideda iš visų natūraliųjų skaičių, mažesnių už 10, tada jie rašo B = (x N | x<10}.

Antrasis metodas yra bendresnis ir leidžia nurodyti baigtines ir begalines aibes.

4. Skaitmeninės aibės.

Skaitinis – aibė, kurios elementai yra skaičiai. Skaičių aibės nurodomos realiųjų skaičių ašyje R. Šioje ašyje pasirenkama skalė ir nurodoma pradžia bei kryptis. Dažniausiai pasitaikantys skaičių rinkiniai:

· - natūraliųjų skaičių aibė;

· - sveikųjų skaičių aibė;

· - racionaliųjų arba trupmeninių skaičių aibė;

· - realiųjų skaičių aibė.

5. Rinkinio galia. Pateikite baigtinių ir begalinių aibių pavyzdžius.

Aibės vadinamos vienodai galingomis, lygiavertėmis, jei tarp jų yra atitikimas vienas su vienu arba vienas prieš vieną, tai yra toks porinis atitikimas. kai kiekvienas vienos aibės elementas yra susietas su vienu kitos aibės elementu ir atvirkščiai, o skirtingi vienos aibės elementai yra susieti su skirtingais kitos aibės elementais.

Pavyzdžiui, paimkime trisdešimties mokinių grupę ir kiekvienam mokiniui duokime po vieną egzamino bilietą iš krūvos, kurioje yra trisdešimt bilietų, toks porinis 30 mokinių ir 30 bilietų susirašinėjimas bus vienas su vienu.

Dvi vienodo kardinalumo rinkiniai su tuo pačiu trečiuoju rinkiniu yra vienodo kardinalumo. Jei aibės M ir N yra vienodo kardinalumo, tai kiekvienos iš šių aibių M ir N visų poaibių aibės taip pat yra vienodo kardinalumo.

Tam tikros aibės poaibis yra toks aibė, kad kiekvienas jos elementas yra nurodytos aibės elementas. Taigi lengvųjų automobilių rinkinys ir sunkvežimių rinkinys bus automobilių rinkinio pogrupiai.

Realiųjų skaičių aibės galia vadinama kontinuumo galia ir žymima raide „alef“. א . Mažiausia begalinė sritis yra natūraliųjų skaičių aibės kardinalumas. Visų natūraliųjų skaičių aibės kardinalumas paprastai žymimas (alef-nulis).

Galios dažnai vadinamos kardinaliais skaičiais. Šią sąvoką pristatė vokiečių matematikas G. Cantoras. Jei aibės žymimos simbolinėmis raidėmis M, N, tai kardinalieji skaičiai žymimi m, n. G. Kantoras įrodė, kad duotosios aibės M visų poaibių aibės kardinalumas yra didesnis nei pati aibė M.

Aibė, lygi visų natūraliųjų skaičių aibei, vadinama skaičiuojama aibe.

6. Nurodytos aibės poaibiai.

Jei pasirinksime kelis elementus iš savo rinkinio ir sugrupuosime juos atskirai, tai bus mūsų rinkinio poaibis. Yra daug kombinacijų, iš kurių galima gauti poaibį, derinių skaičius priklauso tik nuo elementų skaičiaus pradiniame rinkinyje.

Turėkime dvi aibes A ir B. Jei kiekvienas aibės B elementas yra aibės A elementas, tai aibė B vadinama A poaibiu. Žymima: B ⊂ A. Pavyzdys.

Kiek yra aibės A=1;2;3 poaibių?

Sprendimas. Poaibiai, susidedantys iš mūsų aibės elementų. Tada turime 4 poaibyje esančių elementų skaičiaus parinktis:

Poaibį gali sudaryti 1 elementas, 2, 3 elementai ir jis gali būti tuščias. Užrašykime savo elementus paeiliui.

1 elemento poaibis: 1,2,3

2 elementų poaibis: 1,2,1,3,2,3.

3 elementų poaibis: 1;2;3

Nepamirškime, kad tuščias rinkinys taip pat yra mūsų rinkinio poaibis. Tada matome, kad turime 3+3+1+1=8 poaibius.

7. Veiksmai rinkiniuose.

Tam tikros operacijos gali būti atliekamos su aibėmis, kai kuriais atžvilgiais panašios į operacijas su realiaisiais skaičiais algebroje. Todėl galime kalbėti apie aibinę algebrą.

asociacija rinkinių (jungimas). A Ir IN yra aibė (simboliškai ji žymima ), susidedanti iš visų tų elementų, kurie priklauso bent vienai iš aibių A arba IN. Formoje nuo X aibių sąjunga rašoma taip

Įraše rašoma: „susivienijimas A Ir IN"arba" A, kartu su IN».

Aibės operacijos vizualiai vaizduojamos grafiškai naudojant Eilerio apskritimus (kartais vartojamas terminas „Veno-Eulerio diagramos“). Jei visi aibės elementai A bus sutelkta rato viduje A, ir rinkinio elementai IN- apskritimo viduje IN, suvienodinimo operacija naudojant Eulerio apskritimus gali būti pavaizduota tokia forma

1 pavyzdys. Daugelio sąjunga A= (0, 2, 4, 6, 8) lyginiai skaitmenys ir aibės IN= (1, 3, 5, 7, 9) nelyginiai skaitmenys yra visų dešimtainių skaičių sistemos skaitmenų rinkinys = =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

8. Grafinis aibių vaizdavimas. Eulerio-Venno diagramos.

Eulerio-Venno diagramos yra geometriniai aibių atvaizdai. Diagramos konstrukcija susideda iš didelio stačiakampio, vaizduojančio universalų rinkinį, piešimo U, o jo viduje – apskritimai (ar kai kurios kitos uždaros figūros), vaizduojančios aibes. Formos turi susikirsti pačiu bendriausiu būdu, kurio reikalauja problema, ir turi būti atitinkamai paženklintos. Taškai, esantys skirtingose ​​diagramos srityse, gali būti laikomi atitinkamų aibių elementais. Sukūrę diagramą, galite užtemdyti tam tikras sritis, kad nurodytumėte naujai suformuotus rinkinius.

Aibės operacijos laikomos siekiant gauti naujų rinkinių iš esamų.

Apibrėžimas. asociacija aibės A ir B yra aibė, susidedanti iš visų tų elementų, kurie priklauso bent vienai iš aibių A, B (1 pav.):

Apibrėžimas. Kertant aibės A ir B yra aibė, susidedanti iš visų tų ir tik tų elementų, kurie vienu metu priklauso ir aibei A, ir aibei B (2 pav.):

Apibrėžimas. Pagal skirtumą aibės A ir B yra visų tų ir tik tų A elementų rinkinys, kurių nėra B (3 pav.):

Apibrėžimas. Simetrinis skirtumas rinkiniai A ir B yra šių aibių elementų rinkinys, priklausantis tik aibei A arba tik aibei B (4 pav.):

Dekartinis (arba tiesioginis) aibių sandaugaA Ir B toks gautas formos porų rinkinys ( x,y) sukonstruotas taip, kad pirmasis elementas iš aibės A, o antrasis poros elementas yra iš aibės B. Bendras žymėjimas:

A× B={(x,y)|x∈A,y∈B}

Trijų ar daugiau komplektų gaminiai gali būti pagaminti taip:

A× B× C={(x,y,z)|x∈A,y∈B,z∈C}

Formos gaminiai A× A,A× A× A,A× A× A× A ir tt Įprasta tai rašyti kaip laipsnį: A 2 ,A 3 ,A 4 (laipsnio pagrindas yra daugiklių rinkinys, eksponentas yra sandaugų skaičius). Jie perskaitė tokį įrašą kaip „Dekarto kvadratas“ (kubas ir kt.). Yra ir kitų pagrindinių rinkinių rodmenų. Pavyzdžiui, R nĮprasta skaityti kaip „er nnoe“.

Savybės

Panagrinėkime keletą Dekarto gaminio savybių:

1. Jeigu A,B tada yra baigtinės aibės A× B- galutinis. Ir atvirkščiai, jei viena iš faktorių aibių yra begalinė, tai jų sandaugos rezultatas yra begalinė aibė.

2. Elementų skaičius Dekarto sandaugoje yra lygus faktorių aibių elementų skaičiaus sandaugai (jei jie baigtiniai, žinoma): | A× B|=|A|⋅|B| .

3. A np ≠(A n) p- pirmuoju atveju Dekarto sandaugos rezultatą patartina laikyti 1× matmenų matrica n.p., antroje - kaip dydžių matrica n× p .

4. Komutacinė teisė netenkinama, nes užsakomos Dekarto gaminio rezultato elementų poros: A× B≠B× A .

5. Nevykdomas asociacijos įstatymas: ( A× B)× C≠A×( B× C) .

6. Yra pasiskirstymas pagrindinių aibių operacijų atžvilgiu: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

10. Ištarimo samprata. Elementarieji ir sudėtiniai teiginiai.

pareiškimas yra teiginys arba deklaratyvus sakinys, apie kurį galima sakyti teisingą (I-1) arba klaidingą (F-0), bet ne abu.

Pavyzdžiui, „Šiandien lyja“, „Ivanovas baigė laboratorinį darbą Nr. 2 fizikoje“.

Jei turime kelis pradinius teiginius, tai iš jų, naudojant loginės sąjungos arba dalelių galime sudaryti naujus teiginius, kurių tiesos reikšmė priklauso tik nuo pirminių teiginių tiesos reikšmių ir nuo konkrečių jungtukų bei dalelių, kurios dalyvauja kuriant naująjį teiginį. Žodžiai ir posakiai „ir“, „arba“, „ne“, „jei..., tada“, „todėl“, „tada ir tik tada“ yra tokių jungtukų pavyzdžiai. Originalūs teiginiai vadinami paprastas , ir iš jų tam tikrų loginių jungtukų pagalba sukurti nauji teiginiai - sudėtinis . Žinoma, žodis „paprastas“ neturi nieko bendra su pradinių teiginių esme ar struktūra, kurie patys gali būti gana sudėtingi. Šiame kontekste žodis „paprastas“ yra žodžio „originalas“ sinonimas. Svarbu, kad paprastų teiginių tiesos reikšmės būtų žinomos arba pateiktos; bet kokiu atveju jie niekaip neaptariami.

Nors toks teiginys kaip „Šiandien ne ketvirtadienis“ nėra sudarytas iš dviejų skirtingų paprastų teiginių, dėl konstrukcijos vienodumo jis taip pat laikomas junginiu, nes jo tiesą lemia kito teiginio „Šiandien yra ketvirtadienis“ tiesos vertė. “

2 pavyzdys.Šie teiginiai laikomi junginiais:

Skaičiau „Moskovskij komsomolec“ ir „Komersant“.

Jeigu jis tai pasakė, vadinasi, tai tiesa.

Saulė nėra žvaigždė.

Jei saulėta ir temperatūra viršija 25 0, atvyksiu traukiniu arba automobiliu

Paprasti teiginiai, įtraukti į junginius, gali būti visiškai savavališki. Visų pirma, jie patys gali būti sudėtiniai. Toliau aprašyti pagrindiniai sudėtinių teiginių tipai yra apibrėžti nepriklausomai nuo juos sudarančių paprastų teiginių.

11. Operacijos su pareiškimais.

1. Neigimo operacija.

Paneigiant teiginį A ( parašyta „ne A“, „Tai netiesa A“), o tai tiesa, kai A klaidinga ir klaidinga, kai A– tiesa.

Teiginiai, kurie neigia vienas kitą A Ir yra vadinami priešinga.

2. Sujungimo operacija.

Jungtis pareiškimus A Ir IN vadinamas teiginiu, pažymėtu A B(skaito " A Ir IN“), kurių tikrosios reikšmės nustatomos tada ir tik tada, kai abu teiginiai A Ir IN yra tiesa.

Teiginių jungtis vadinama loginiu produktu ir dažnai žymima AB.

Tebūnie pareiškimas A- „Kovo mėnesį oro temperatūra nuo 0 C prie + 7 C“ ir sakydamas IN- „Vitebske lyja“. Tada A B bus tokia: „kovo mėnesį oro temperatūra nuo 0 C prie + 7 C o Vitebske lyja“. Šis jungtukas bus teisingas, jei yra teiginių A Ir IN tiesa. Jei paaiškėja, kad temperatūra buvo mažesnė 0 C arba Vitebske tada nebuvo lietaus A B bus netikra.

3 . Atskyrimo operacija.

Disjunkcija pareiškimus A Ir IN vadinamas pareiškimu A B (A arba IN), kuri yra teisinga tada ir tik tada, kai bent vienas iš teiginių yra teisingas ir klaidingas – kai abu teiginiai yra klaidingi.

Teiginių disjunkcija dar vadinama logine suma A+B.

Pareiškimas " 4<5 arba 4=5 “ yra tiesa. Nuo pareiškimo " 4<5 "tiesa, o teiginys" 4=5 » – vadinasi, klaidinga A B atspindi tikrą teiginį " 4 5 ».

4 . Implikacijos operacija.

Netiesiogiai pareiškimus A Ir IN vadinamas pareiškimu A B(„Jei A, Tai IN“, „iš A turėtų IN“), kurio vertė yra klaidinga tada ir tik tada A tiesa, bet IN klaidinga.

Netiesiogiai A B pareiškimas A paskambino pagrindu, arba prielaida, ir teiginys IN – pasekmė, arba išvada.

12. Teiginių teisingumo lentelės.

Tiesos lentelė yra lentelė, kuri nustato visų galimų loginių kintamųjų rinkinių, įtrauktų į loginę funkciją, ir funkcijos reikšmių atitikimą.

Tiesos lentelės naudojamos:

Sudėtingų teiginių teisingumo skaičiavimas;

Teiginių lygiavertiškumo nustatymas;

Tautologijų apibrėžimai.

Šis straipsnis skirtas temai „Tikri skaičiai“. Straipsnyje pateikiamas realiųjų skaičių apibrėžimas, iliustruojama jų padėtis koordinačių tiesėje ir aptariami būdai, kaip nurodyti realiuosius skaičius naudojant skaitines išraiškas.

Realiųjų skaičių apibrėžimas

Sveiki skaičiai ir trupmenos kartu sudaro racionalius skaičius. Savo ruožtu racionalūs ir neracionalūs skaičiai sudaro realius skaičius. Kaip nustatyti, kas yra tikrieji skaičiai?

1 apibrėžimas

Realūs skaičiai- tai yra racionalūs ir neracionalūs skaičiai. Realiųjų skaičių aibė žymima R.

Šis apibrėžimas gali būti parašytas skirtingai, atsižvelgiant į šiuos dalykus:

1. Racionalieji skaičiai gali būti pateikiami kaip baigtinis dešimtainis arba begalinis periodinis dešimtainis skaičius.
2. Iracionalieji skaičiai yra begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.

Realūs skaičiai- skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip baigtinę arba begalinę (periodinę arba neperiodinę) dešimtainę trupmeną.

Realieji skaičiai yra bet kokie racionalūs ir neracionalūs skaičiai. Štai tokių skaičių pavyzdžiai: 0 ; 6; 458; 1863 m.; 0 578; - 3 8; 26 5; 0, 145 (3); žurnalas 5 12 .

Nulis taip pat yra tikrasis skaičius. Pagal apibrėžimą yra ir teigiamų, ir neigiamų realiųjų skaičių. Nulis yra vienintelis tikrasis skaičius, kuris nėra nei teigiamas, nei neigiamas.

Kitas realiųjų skaičių pavadinimas yra realieji skaičiai. Šie skaičiai leidžia apibūdinti nuolat kintančio dydžio vertę neįvedant šio dydžio etaloninės (vieneto) vertės.

Koordinačių linija ir realieji skaičiai

Kiekvienas nekoordinačių linijos taškas atitinka konkretų ir unikalų realųjį skaičių. Kitaip tariant, realieji skaičiai užima visą koordinačių liniją, o tarp kreivės taškų ir skaičių yra vienas su vienu atitikimas.

Realių skaičių atvaizdavimas

Realiųjų skaičių apibrėžimas apima:

1. Natūralūs skaičiai.
2. Sveiki skaičiai.
3. Dešimtainės trupmenos.
4. Paprastosios trupmenos.
5. Mišrūs skaičiai.

Be to, tikrieji skaičiai dažnai pateikiami kaip išraiškos su galiomis, šaknimis ir logaritmais. Realiųjų skaičių suma, skirtumas, sandauga ir koeficientas taip pat yra tikrieji skaičiai.

Bet kurios išraiškos, sudarytos iš realių skaičių, reikšmė taip pat bus tikrasis skaičius.

Pavyzdžiui, išraiškų sin 2 3 π · e - 2 8 5 · 10 log 3 2 ir t g 6 7 6 693 - 8 π 3 2 reikšmės yra realūs skaičiai.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Realaus skaičiaus samprata: realus skaičius- (tikrasis skaičius), bet koks neneigiamas arba neigiamas skaičius arba nulis. Realieji skaičiai naudojami kiekvieno fizinio dydžio matavimams išreikšti.

Tikras, arba realus skaičius atsirado dėl poreikio išmatuoti geometrinius ir fizikinius pasaulio dydžius. Be to, šaknų ištraukimo operacijoms atlikti, logaritmams skaičiuoti, algebrinėms lygtims spręsti ir kt.

Natūralūs skaičiai susidarė tobulėjant skaičiavimui, o racionalieji skaičiai su poreikiu valdyti visumos dalis, tada realieji skaičiai (realieji) naudojami nuolatiniams dydžiams matuoti. Taigi, išplečiant svarstomų skaičių atsargą, susidaro realiųjų skaičių aibė, kurią, be racionalių skaičių, sudaro kiti elementai, vadinami neracionalūs skaičiai.

Realiųjų skaičių rinkinys(žymimas R) yra racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių rinkiniai, surinkti kartu.

Realieji skaičiai padalyti išracionalus Ir neracionalus.

Realiųjų skaičių aibė žymima ir dažnai vadinama tikras arba skaičių eilutė. Tikrieji skaičiai susideda iš paprastų objektų: visa Ir racionalūs skaičiai.

Skaičius, kurį galima parašyti kaip santykį, kurm yra sveikasis skaičius ir n- natūralusis skaičius, yraracionalus skaičius.

Bet kurį racionalųjį skaičių galima lengvai pavaizduoti kaip baigtinę trupmeną arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Pavyzdys,

Begalinis dešimtainis, yra dešimtainė trupmena, turinti begalinį skaičių skaitmenų po kablelio.

Skaičiai, kurių negalima pateikti formoje, yra neracionalūs skaičiai.

Pavyzdys:

Bet koks neracionalus skaičius gali būti lengvai pavaizduotas kaip begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena.

Pavyzdys,

Racionalieji ir iracionalieji skaičiai sukuria realiųjų skaičių rinkinys. Visi realieji skaičiai atitinka vieną tašką koordinačių tiesėje, kuri vadinama skaičių eilutė.

Skaičių rinkiniams naudojamas toks žymėjimas:

• N- natūraliųjų skaičių aibė;
• Z- sveikųjų skaičių aibė;
• K- racionaliųjų skaičių aibė;
• R- realiųjų skaičių rinkinys.

Begalinių dešimtainių trupmenų teorija.

Realusis skaičius apibrėžiamas kaip begalinis dešimtainis t.y.:

±a 0,a 1 a 2 …a n …

kur ± yra vienas iš simbolių + arba –, skaičiaus ženklas,

a 0 yra teigiamas sveikasis skaičius,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… yra skaitmenų po kablelio seka, t.y. skaitinės aibės elementai {0,1,…9}.

Begalinė dešimtainė trupmena gali būti paaiškinta kaip skaičius, esantis tarp racionalių skaičių eilutės taškų, pavyzdžiui:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n Ir ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) visiems n = 0,1,2,…

Realieji skaičiai lyginami su begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis pagal vietą. Pavyzdžiui, tarkime, kad mums yra duoti 2 teigiami skaičiai:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Jeigu a 0 0, Tai α<β ; Jeigu a 0 > b 0 Tai α>β . Kada a 0 = b 0 Pereikime prie kitos kategorijos palyginimo. ir kt. Kada α≠β , o tai reiškia, kad po baigtinio žingsnių skaičiaus bus aptiktas pirmasis skaitmuo n, toks a n ≠b n. Jeigu a n n, Tai α<β ; Jeigu a n > b n Tai α>β .

Tačiau nuobodu atkreipti dėmesį į tai, kad skaičius a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Todėl, jei vieno iš lyginamų skaičių įrašas, prasidedantis nuo tam tikro skaitmens, yra periodinė dešimtainė trupmena su 9 periode, tada jis turi būti pakeistas lygiaverčiu įrašu su nuliu periode.

Aritmetiniai veiksmai su begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis yra atitinkamų veiksmų su racionaliais skaičiais tęsinys. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių suma α Ir β yra tikrasis skaičius α+β , kuris atitinka šias sąlygas:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a")∧ (b'⩽ β ⩽ b")⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a"+b")

Panašiai apibrėžiama ir begalinių dešimtainių trupmenų dauginimo operacija.

Skaičiai skirstomi į klases. Teigiami sveikieji skaičiai – N = (1, 2, 3, ...) – sudaro natūraliųjų skaičių aibę. Dažnai 0 laikomas natūraliuoju skaičiumi.

Sveikųjų skaičių Z aibė apima visus natūraliuosius skaičius, skaičių 0 ir visus natūraliuosius skaičius, paimtus su minuso ženklu: Z = (0, 1, -1, 2, -2, ...).

Kiekvienas racionalusis skaičius x gali būti nurodytas kaip sveikųjų skaičių pora (m, n), kur m – skaitiklis, n – skaičiaus vardiklis: x = m/n. Lygiavertis racionalaus skaičiaus vaizdavimas yra išreikšti jį kaip skaičių, užrašytą padėties dešimtainiu žymėjimu, kur trupmeninė skaičiaus dalis gali būti baigtinė arba begalinė periodinė trupmena. Pavyzdžiui, skaičius x = 1/3 = 0,(3) pavaizduotas begaline periodine trupmena.

Vadinami skaičiai, apibrėžti begalinėmis neperiodinėmis trupmenomis neracionalūs skaičiai. Tai, pavyzdžiui, visi vp formos skaičiai, kur p yra pirminis skaičius. Visiems žinomi skaičiai ir e yra neracionalūs.

Sveikųjų skaičių, racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibių sąjunga sudaro realiųjų skaičių aibę. Realiųjų skaičių aibės geometrinis vaizdas yra tiesi linija – tikroji ašis, kur kiekvienas ašies taškas atitinka tam tikrą realųjį skaičių, kad realieji skaičiai tankiai ir nuolat užpildytų visą realiąją ašį.

Plokštuma vaizduoja geometrinį kompleksinių skaičių rinkinio vaizdą, kuriame įvedamos dvi ašys – tikroji ir įsivaizduojama. Kiekvienas kompleksinis skaičius, apibrėžtas realiųjų skaičių pora, yra pavaizduotas tokia forma: x = a+b*i, kur a ir b yra realieji skaičiai, kurie gali būti laikomi skaičiaus plokštumoje Dekarto koordinatėmis.

Dalikliai ir daugikliai

Dabar panagrinėkime klasifikaciją, kuri padalija natūraliųjų skaičių aibę į du poaibius – pirminius ir sudėtinius skaičius. Ši klasifikacija pagrįsta natūraliųjų skaičių dalijimosi samprata. Jei n dalijasi iš d, tai sakome, kad d "dalina" n, ir rašome tokia forma: . Atkreipkite dėmesį, kad šis apibrėžimas gali neatitikti intuityvaus supratimo: d „padalija“ n, jei n dalijasi iš d, o ne atvirkščiai. Skaičius d vadinamas n dalikliu. Kiekvienas skaičius n turi du trivialius veiksnius – 1 ir n. Dalikliai, išskyrus trivialius, vadinami n faktoriais. Skaičius n vadinamas pirminiu, jei jis neturi kitų daliklių, išskyrus trivialius. Pirminiai skaičiai dalijasi tik iš 1 ir savęs. Skaičiai, turintys veiksnius, vadinami sudėtiniais skaičiais. Skaičius 1 yra ypatingas skaičius, nes jis nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius. Neigiami skaičiai taip pat nepriklauso nei pirminiams, nei sudėtiniams skaičiams, tačiau visada galite atsižvelgti į skaičiaus modulį ir klasifikuoti jį kaip pirminį arba sudėtinį skaičių.

Bet kurį sudėtinį skaičių N galima pavaizduoti kaip jo veiksnių sandaugą: . Šis vaizdas nėra unikalus, pavyzdžiui, 96 = 8*12 = 2*3*16. Tačiau kiekvienam sudėtiniam skaičiui N yra unikali pirminių skaičių galių sandaugos forma: , kur yra pirminiai skaičiai ir . Šis vaizdavimas vadinamas skaičiaus N faktorinizavimu į pirminius veiksnius. Pavyzdžiui .

Jei ir , tai d yra bendras skaičių m ir n daliklis. Tarp visų bendrų daliklių galime išskirti didžiausią bendrą daliklį, žymimą kaip gcd(m,n). Jei gcd(m,n) = 1, tai skaičiai m ir n vadinami koprime. Pirminiai skaičiai yra pirminiai skaičiai, todėl gcd(q,p) =1, jei q ir p yra pirminiai skaičiai.

Jei ir , tai A yra bendras m ir n kartotinis. Tarp visų bendrųjų kartotinių galime išskirti mažiausią bendrąjį kartotinį, žymimą kaip LCM(m,n). Jei LCM(m,n) = m*n, tai skaičiai m ir n yra santykinai pirminiai. LCM(q, p) =q*p, jei q ir p yra pirminiai skaičiai.

Jei visų pirminių skaičių m ir n aibes pažymėsime ir, tada

Jei gaunamas skaičių m ir n išskaidymas į pirminius veiksnius, tai naudojant duotus ryšius, nesunku apskaičiuoti GCD(m,n) ir LCM(m,n). Taip pat yra efektyvesnių algoritmų, kuriems nereikia faktoringo skaičiaus.

Euklido algoritmas

Efektyvų GCD(m,n) skaičiavimo algoritmą pasiūlė Euklidas. Jis pagrįstas šiomis GCD(m,n) savybėmis, kurių įrodymas paliekamas skaitytojui:

Jei , tai pagal trečiąją savybę jis gali būti sumažintas reikšme n. Jei, pagal antrąją savybę, argumentus galima sukeisti ir vėl pereiti prie anksčiau svarstyto atvejo. Kai dėl šių transformacijų argumentų reikšmės taps vienodos, sprendimas bus rastas. Todėl galime pasiūlyti tokią schemą:

while(m != n) ( if(m< n) swap(m,n); m = m - n; } return(m);

Čia apsikeitimo procedūra keičiasi argumentų reikšmėmis.

Jei šiek tiek pagalvosite, tampa aišku, kad keistis reikšmėmis visai nebūtina - kiekviename ciklo žingsnyje pakanka pakeisti argumentą maksimalia verte. Kaip rezultatas, mes pasiekiame diagramą:

while(m != n) ( if(m > n) m = m - n; else n = n - m; ) return(m);

Jei pagalvosite šiek tiek daugiau, galite patobulinti šią schemą, pereidami prie ciklo su identiškai teisinga sąlyga:

while(true) (jei (m > n) m = m - n; else if (n > m) n = n - m; kitu atveju grąžinama (m); )

Paskutinė diagrama yra gera, nes ji aiškiai parodo, kad reikia įrodyti šio ciklo užbaigtumą. Naudojant kilpos varianto sąvoką, nėra sunku įrodyti kilpos užbaigtumą. Šios kilpos parinktis gali būti sveikojo skaičiaus funkcija - max(m,n) , kuri mažėja kiekviename žingsnyje ir visada lieka teigiama.

Šios Euklido algoritmo versijos pranašumas yra tas, kad kiekviename žingsnyje naudojama elementari ir greita operacija su sveikaisiais skaičiais – atimtis. Jei leisite likučio apskaičiavimo operaciją dalinant iš sveikojo skaičiaus, kilpos žingsnių skaičius gali būti žymiai sumažintas. Ši savybė yra teisinga:

Dėl to susidaro tokia diagrama:

int temp; jei(n>m) temp = m; m = n; n = temp; //sukeisti(m,n) while(m != n) (temp = m; m = n; n = temp%n; )

Šiek tiek pagalvojus tampa aišku, kad prieš pradedant ciklą visai nebūtina atlikti patikrinimo. Tai veda prie paprastesnės GCD skaičiavimo schemos, paprastai naudojamos praktikoje:

int temp; while(m != n) (temp = m; m = n; n = temp%n; )

Norėdami apskaičiuoti LCM(m, n), galite naudoti šį ryšį:

Ar galima apskaičiuoti LCM(m, n) nenaudojant daugybos ir dalybos operacijų? Pasirodo, vienu metu galite apskaičiuoti LCM(m,n) skaičiuodami GCD(m,n). Čia yra atitinkama diagrama:

int x = v = m, y = u = n,; while(x != y) ( if(x > y)( x = x - y; v = v + u;) else (y = y - x; u = u + v;) ) GCD = (x + y )/2; LCM = (u+v)/2;

Įrodymas, kad ši schema teisingai apskaičiuoja GCD, išplaukia iš anksčiau pateiktų GCD savybių. LCM skaičiavimo teisingumas nėra toks akivaizdus. Norėdami tai įrodyti, atkreipkite dėmesį, kad kilpos invariantas yra tokia išraiška:

Šis ryšys patenkinamas po to, kai kintamieji inicijuojami prieš pradedant vykdyti kilpą. Ciklo pabaigoje, kai x ir y tampa lygūs gcd, schemos teisingumas išplaukia iš invarianto tiesos. Nesunku patikrinti, ar ciklo korpuso teiginiai palieka teiginį teisingi. Įrodinėjimo detalės paliekamos skaitytojams.

GCD ir LCM sąvoką galima išplėsti apibrėžiant juos visiems sveikiesiems skaičiams. Galioja šie santykiai:

Išplėstinis Euklido algoritmas

Kartais naudinga pateikti gcd(m,n) kaip tiesinį m ir n derinį:

Visų pirma, koeficientų a ir b skaičiavimas yra būtinas RSA algoritme - viešojo rakto šifravimas. Pateiksiu algoritminę diagramą, kuri leidžia apskaičiuoti trigubą – d, a, b – didžiausią bendrą daliklį ir plėtimosi koeficientus. Algoritmą galima patogiai įgyvendinti kaip rekursinę procedūrą

Išplėstinis Euklidas (m int, n, ref int d, ref int a, ref int b),

kuris, atsižvelgiant į įvesties argumentus m ir n, apskaičiuoja argumentų d, a, b reikšmes. Šios procedūros nerekursyvinė šaka atitinka atvejį n = 0, grąžindama reikšmes: d = m, a = 1, b = 0. Rekursyvinė šaka kviečia

IšplėstinisEuklidas(n, m % n, nuorod. d, nuorod. a, nuorod. b)

ir tada pakeičia gautas a ir b reikšmes taip:

Sukonstruoti šio algoritmo teisingumo įrodymą nėra sunku. Nerekursinės šakos teisingumas yra akivaizdus, ​​o rekursinei šakai nesunku parodyti, kad iš rekursinio skambučio grąžinto rezultato teisingumo išplaukia, kad tai teisinga įvesties argumentams perskaičiavus reikšmes ​iš a ir b.

Kaip ši procedūra veikia? Pirma, vyksta rekursinis nusileidimas, kol n tampa nuliu.

Šiuo metu pirmą kartą bus apskaičiuojama d reikšmė ir parametrų a ir b reikšmės. Po to prasidės kilimas ir parametrai a ir b bus perskaičiuoti.

Užduotys

• 49. Duoti m ir n yra natūralieji skaičiai. Apskaičiuokite gcd(m, n). Skaičiuodami nenaudokite daugybos ir dalybos operacijų.
• 50. Duoti m ir n yra natūralieji skaičiai. Apskaičiuokite LCM(m, n).
• 51. Duoti m ir n yra natūralieji skaičiai. Apskaičiuokite LCM(m, n). Skaičiuodami nenaudokite daugybos ir dalybos operacijų.
• 52. Duoti m ir n yra sveikieji skaičiai. Apskaičiuokite gcd(m, n). Skaičiuodami nenaudokite daugybos ir dalybos operacijų.
• 53. Duoti m ir n yra sveikieji skaičiai. Apskaičiuokite LCM(m, n). Skaičiuodami nenaudokite daugybos ir dalybos operacijų.
• 54. Duoti m ir n yra sveikieji skaičiai. Apskaičiuokite gcd(m, n). Atliekant skaičiavimus, naudokite operaciją, kai imamas dalybos iš sveikojo skaičiaus likutis.
• 55. Duoti m ir n yra sveikieji skaičiai. Apskaičiuokite LCM(m, n). Atliekant skaičiavimus, naudokite operaciją, kai imamas dalybos iš sveikojo skaičiaus likutis.
• 56. Duoti m ir n yra sveikieji skaičiai. Apskaičiuokite skaičių trigubą - (d, a, b) naudodami išplėstinį Euklido algoritmą.
• 57. Duoti m ir n yra natūralieji skaičiai. Pagalvokite apie GCD(m, n) kaip tiesinį m ir n derinį.
• 58. Duoti m ir n yra sveikieji skaičiai. Pagalvokite apie GCD(m, n) kaip tiesinį m ir n derinį.
• 59. Duoti m ir n yra sveikieji skaičiai. Patikrinkite, ar skaičiai m ir n yra pirminiai.

Pirminiai skaičiai

Tarp lyginių skaičių yra tik vienas pirminis skaičius – tai yra 2. Pirminių nelyginių skaičių yra tiek, kiek norite. Nesunku įrodyti, kad skaičius , kur yra pirminiai skaičiai iš eilės, yra pirminis. Taigi, jei pirminiai skaičiai buvo sukurti, tada galime sukurti kitą pirminį skaičių, didesnį už . Iš to išplaukia, kad pirminių skaičių aibė yra neribota. Pavyzdys: skaičius N = 2*3*5*7 + 1 = 211 yra pirminis skaičius.

Eratosteno sietelis

Kaip nustatyti, kad N yra pirminis skaičius? Jei galioja operacija N % m, dalijant N iš skaičiaus m likutį, tai paprasčiausias algoritmas yra patikrinti, ar liekana nėra lygi nuliui dalijant N iš visų skaičių m, mažesnių už N. Akivaizdus to patobulinimas algoritmas yra sumažinti bandymo diapazoną - pakanka atsižvelgti į skaičius m diapazone .

Dar III amžiuje prieš Kristų. Graikų matematikas Eratostenas pasiūlė algoritmą pirminiams skaičiams surasti diapazone, kuriam nereikia dalybos operacijų. Šis algoritmas vadinamas „Eratosteno sietu“. Kompiuterinėje versijoje šio algoritmo idėją galima apibūdinti taip. Sukurkime masyvą Skaičiai, kurių elementuose yra nuoseklūs nelyginiai skaičiai, pradedant nuo 3. Iš pradžių visi skaičiai šiame masyve laikomi neperbrauktais. Pirmąjį nesukryžiuotą skaičių iš šio masyvo įdėkime į SimpleNumbers masyvą – ir tai bus pirmasis nelyginis pirminis skaičius (3). Tada atliksime sijojimą, eidami per skaičių masyvą žingsniu, lygiu rastam pirminiam skaičiui, perbraukdami visus skaičius, kurie pasitaiko šio praėjimo metu. Pirmuoju važiavimu skaičius 3 ir visi skaičiai, kurie yra 3 kartotiniai, bus perbraukti. Kitas pirminis skaičius 5 bus įrašytas į pirminių skaičių lentelę, o skaičiai, kurie yra 5 kartotiniai, bus perbraukti. perbrauktas iš masyvo Skaičiai Procesas kartojamas tol, kol visi masyvo skaičiai bus perbraukti. Dėl to SimpleNumbers masyve bus lentelė su pirminiais skaičiais, mažesniais už N.

Šis algoritmas tinka palyginti mažiems pirminiams skaičiams rasti. Bet jei jums reikia rasti pirminį skaičių su dvidešimt reikšmingų skaitmenų, tada kompiuterio atminties nebeužteks atitinkamiems masyvams saugoti. Atminkite, kad šiuolaikiniai šifravimo algoritmai naudoja pirminius skaičius, susidedančius iš kelių šimtų skaitmenų.

Pirminis tankis

Mes parodėme, kad pirminių skaičių skaičius neribojamas. Aišku, kad jų yra mažiau nei nelyginių, bet kiek mažiau? Koks pirminių skaičių tankis? Leisti būti funkcija, kuri grąžina pirminių skaičių, mažesnių už n. Šios funkcijos tiksliai nurodyti neįmanoma, bet yra geras jos įvertinimas. Ši teorema yra teisinga:

Funkcija asimptotiškai artėja prie savo ribos iš viršaus, todėl įvertis pateikia šiek tiek neįvertintas vertes. Šis įvertinimas gali būti naudojamas Eratosteno sieto algoritme norint pasirinkti SimpleNumbers masyvo matmenį, kai pateikiamas skaičių masyvo matmuo, ir, atvirkščiai, atsižvelgiant į pirminių skaitmenų lentelės matmenį, galima pasirinkti tinkamą masyvo matmenį. Skaičių masyvas.

Lentelinis algoritmas skaičių pirmumui nustatyti

Jei laikote pirminių skaičių lentelę SimpleSkaičiai, kurioje didžiausias pirminis skaičius yra M, galite tiesiog nustatyti, ar skaičius N mažesnis nei yra pirminis. Jei N yra mažesnis už M, tai pakanka patikrinti, ar skaičius N yra SimpleNumbers lentelėje. Jei N didesnis už M, tai pakanka patikrinti, ar skaičius N dalijasi iš SimpleSkaičių lentelės skaičių, kurie neviršija vN reikšmės. Aišku, kad jei skaičius N neturi pirminių faktorių, mažesnių už vN, tai skaičius N yra pirminis.

Norint naudoti pirminių skaičių lentelę, reikia pakankamai kompiuterio atminties, todėl ribojamos algoritmo galimybės, neleidžiant jo naudoti ieškant didelių pirminių skaičių.

Trivialus algoritmas

Jei N yra nelyginis skaičius, galite patikrinti, ar jis yra pirminis, remiantis skaičiaus pirmumo apibrėžimu. Šiuo atveju, norint išsaugoti skaičių lenteles, atminties nereikia – bet, kaip visada, laimėdami atmintį, pralaimime laiku. Iš tiesų, pakanka patikrinti, ar skaičius N dalijasi iš nuoseklių nelyginių skaičių diapazone . Jei skaičius N turi bent vieną koeficientą, tada jis yra sudėtinis, kitu atveju jis yra pirminis.

Visi aptarti algoritmai nustoja veikti efektyviai, kai skaičiai peržengia kompiuterio bitų tinklelį, skirtą skaičiams vaizduoti, taigi, jei reikia dirbti su sveikaisiais skaičiais, esančiais už System.Int64 diapazono, tokio skaičiaus pirmumo nustatymo užduotis tampa toli gražu ne tokia. paprastas. Yra keletas receptų, kaip nustatyti, ar skaičius yra sudėtinis. Prisiminkime bent iš mokyklos laikų žinomus algoritmus. Jei paskutinis skaičiaus skaitmuo dalijasi iš 2, tai skaičius dalijasi iš 2. Jei paskutiniai du skaičiaus skaitmenys dalijasi iš 4, tai skaičius dalijasi iš 4. Jei skaitmenų suma dalijasi iš 3 (iš 9), tada skaičius dalijasi iš 3 (iš 9). Jei paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5, tai skaičius dalijasi iš 5. Matematikai įdėjo daug pastangų įrodydami, kad skaičius yra (arba nėra) pirminis skaičius. Dabar yra specialių metodų, leidžiančių įrodyti, kad tam tikro tipo skaičiai yra pirminiai.

Užduotys

Tinkamiausi pirminiai skaičiai yra formos skaičiai, kur p yra pirminis skaičius. Pavyzdžiui, įrodyta, kad skaičius, turintis daugiau nei 6000 skaitmenų, yra pirminis, tačiau negalima pasakyti, kurie pirminiai skaičiai yra artimiausi to skaičiaus kaimynai.

• Projektai
• 68. Sukurkite „Atstumo“ klasę, kuri leidžia naudoti skirtingas matavimo sistemas. Sukurkite „Windows“ projektą, kuris palaiko sąsają darbui su klase.
• 69. Sukurkite klasę „Pirminiai skaičiai“. Sukurkite „Windows“ projektą, kuris palaiko sąsają darbui su klase.
• 70. Sukurkite klasę „Skaičių sistemos“. Sukurkite Windows skaičiuotuvą, kuris palaiko skaičiavimus tam tikroje skaičių sistemoje.
• 71. Sukonstruok klasę „Racionalieji skaičiai“. Sukurkite Windows skaičiuotuvą, kuris palaiko skaičiavimus su šiais skaičiais.
• 72. Sukonstruok klasę „Sudėtiniai skaičiai“. Sukurkite Windows skaičiuotuvą, kuris palaiko skaičiavimus su šiais skaičiais.