Didėjančios funkcijos apibrėžimas.
Funkcija y=f(x) didėja per intervalą X, jei kam ir 
nelygybė galioja. Kitaip tariant, didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
Mažėjančios funkcijos apibrėžimas.
Funkcija y=f(x) mažėja intervale X, jei kam ir 
nelygybė galioja 
. Kitaip tariant, didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
PASTABA: jei funkcija yra apibrėžta ir tęstinė didėjančio arba mažėjančio intervalo pabaigoje (a;b), tai yra, kada x=a Ir x=b, tada šie taškai įtraukiami į didėjimo arba mažėjimo intervalą. Tai neprieštarauja didėjančios ir mažėjančios intervalo funkcijos apibrėžimams X.
Pavyzdžiui, iš pagrindinių elementariųjų funkcijų savybių tai žinome y = sinx apibrėžtas ir tęstinis visoms tikrosioms argumento reikšmėms. Todėl iš sinusinės funkcijos padidėjimo intervale galime teigti, kad jis didėja intervale.
Ekstremalūs taškai, funkcijos ekstremumai.
Taškas vadinamas maksimalus taškas funkcijas y=f(x), jei visiems x iš jos kaimynystės galioja nelygybė. Iškviečiama funkcijos reikšmė didžiausiame taške maksimali funkcija ir pažymėti .
Taškas vadinamas minimalus taškas funkcijas y=f(x), jei visiems x iš jos kaimynystės galioja nelygybė. Iškviečiama funkcijos reikšmė minimaliame taške minimali funkcija ir pažymėti .
Taško kaimynystė suprantama kaip intervalas 
, kur yra pakankamai mažas teigiamas skaičius.
Vadinami minimalūs ir didžiausi taškai ekstremalūs taškai, ir iškviečiamos funkcijos reikšmės, atitinkančios ekstremumo taškus funkcijos ekstremumai.
Nepainiokite funkcijos ekstremalių su didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmėmis.
Pirmame paveikslėlyje – didžiausia segmento funkcijos reikšmė pasiekiamas maksimaliame taške ir yra lygus funkcijos maksimumui, o antrame paveiksle - taške pasiekiama didžiausia funkcijos reikšmė x=b, kuris nėra maksimalus taškas.
Pakankamos sąlygos funkcijoms didinti ir mažinti.
Remiantis pakankamomis funkcijos didėjimo ir mažėjimo sąlygomis (požymiais), randami funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalai.
Čia pateikiamos didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalo ženklų formuluotės:
jei funkcijos išvestinė y=f(x) teigiamas bet kam x nuo intervalo X, tada funkcija padidėja X;
jei funkcijos išvestinė y=f(x) neigiamas bet kam x nuo intervalo X, tada funkcija sumažėja X.
Taigi, norint nustatyti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, būtina:
Panagrinėkime pavyzdį, kaip rasti didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalus, kad paaiškintume algoritmą.
Pavyzdys.
Raskite didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalus.
Sprendimas.
Pirmas žingsnis yra rasti funkcijos apibrėžimą. Mūsų pavyzdyje išraiška vardiklyje neturėtų eiti į nulį, todėl .
Pereikime prie funkcijos išvestinės paieškos: 
Norėdami nustatyti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus remiantis pakankamu kriterijumi, sprendžiame apibrėžimo srities nelygybes. Naudokime intervalo metodo apibendrinimą. Vienintelė tikroji skaitiklio šaknis yra x = 2, o vardiklis tampa nuliu x=0. Šie taškai padalija apibrėžimo sritį į intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė išlaiko savo ženklą. Pažymėkime šiuos taškus skaičių eilutėje. Mes sutartinai žymime pliusais ir minusais intervalus, kuriais išvestinė yra teigiama arba neigiama. Žemiau esančios rodyklės schematiškai rodo funkcijos padidėjimą arba sumažėjimą atitinkamame intervale. 
Tegul f yra ištisinis intervale ir diferencijuojamas vidiniuose šio intervalo taškuose. Tada iš šios atkarpos yra vidinis taškas, kuriame funkcijos grafiko liestinė, nubrėžta taške su abscisėmis c, yra lygiagreti stygai AB, kur A(a;f(x)) ir B(b; f(x)). Arba: ant lygaus lanko AB visada yra taškas c, kurio liestinė lygiagreti lanko galus jungiančiai stygai.
Tegul f yra ištisinis intervale ir diferencijuojamas vidiniuose šio intervalo taškuose. Tada iš šio segmento yra toks vidinis taškas, kad
1 išvada: jei funkcija f yra ištisinė atkarpoje, o jos išvestinė yra lygi nuliui šiame atkarpoje, tai funkcija f atkarpoje yra pastovi.
2 išvada: jei funkcijos f ir g yra tolydžios intervale ir turi tokias pačias išvestines šiame intervale, tada jos skiriasi pastoviu nariu.
2. Pakankamas didėjančios funkcijos požymis:
Jei f[/](x)>0 kiekviename intervalo I taške, tai funkcija f didėja intervale I.
3. Pakankamas funkcijos mažėjimo požymis:
Jei f[/](x)
Įrodykime šiuos ženklus naudodami Lagranžo formulę:
Paimkime bet kuriuos du skaičius iš intervalo. Tegul būna. Pagal Lagranžo formulę yra toks skaičius, kad.
Skaičius c priklauso intervalui I, nes šiam intervalui priklauso taškai. Jei f[/](x)>0, tada f[/](c) >0, taigi - tai išplaukia iš (1) formulės, nes ->0. Tai įrodo, kad funkcijos f didėja intervale I. Jei f[/](x) 0. Įrodyta, kad funkcija f mažėja intervale I.
1 pavyzdys. Raskite didėjančios ir mažėjančios funkcijos intervalus
2. Raskite funkcijos ir jos kritinių taškų išvestinę: arba
3. Skaičių ašyje pažymėkite ekstremalių taškus ir suraskite funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus.
Atsakymas: - funkcija padidėja
Funkcija mažėja
2 pavyzdys. Išnagrinėkite didėjimo (mažėjimo) funkciją:
2. Raskite funkcijos išvestinius ir kraštutinumus:
3. Skaičių ašyje pažymėkite kritinį tašką ir raskite funkcijos didėjimo (mažėjimo) intervalus:
Atsakymas: - funkcija mažėja
Funkcija didėja
II. Kritiniai taškai. Funkcijos maksimumo ir minimumo radimo požymiai.
1. Kritiniai taškai
Apibrėžimas: funkcijos kritiniai taškai yra vidiniai funkcijos apibrėžimo srities taškai, kuriuose jos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
Nr. 1. Raskite funkcijos f kritinius taškus: a) g(x) =
Atsakymas: , kur; , kur b) g(x) =
2. Funkcijos maksimumo ir minimumo radimo ženklai.
Maksimalių funkcijų ženklas:
Jei funkcija f yra ištisinė taške x0, o f[/](x)>0 intervale (a;x0) ir f[/](x)
Arba: jei taške x0 išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai x0 yra maksimalus taškas.
Įrodymas:
Išvestinė f[/](x)>0 intervale (a;x0), o funkcija yra ištisinė taške x0, todėl funkcija f didėja intervale (a;x0], todėl f(x)
Intervale [x0;c) funkcija mažėja, todėl f(x)
Minimalios funkcijos požymiai:
Jei funkcija f yra ištisinė taške x0, o f[/](x) 0 intervale (x0;b), tai taškas x0 yra mažiausias funkcijos f taškas.
Arba: jei taške x0 išvestinė pakeičia ženklą iš minuso į pliusą, tai x0 yra mažiausias taškas.
Įrodymas:
Išvestinė f[/](x) f (x0) visiems x iš intervalo (a; x0).
Intervale [x0;b) funkcija f didėja, todėl f(x) >f (x0) visiems iš intervalo (a;b), tai yra, x0 yra mažiausias f taškas.
III. Antrasis darinys. Išgaubimo ir įdubimo požymiai.
Tegul taške būna antra išvestinė. Tada, jei, tada taškas yra mažiausias taškas, o jei, tada taškas yra maksimalus funkcijos taškas.
Jei, tada išsipūtimas nukreiptas žemyn. Jei, tada iškilimas nukreiptas į viršų.
IV. Įstrižai asimptotai
Apibrėžimas: Tiesi linija yra pasvirusi funkcijos grafiko asimptotė, kur ir
Įstrižinė asimptotės lygtis
Įstrižinės asimptotės vertikaliųjų asimptotų lygtis
V. Funkcijų tyrimo projektavimas
1. Raskime funkcijos apibrėžimo sritį.
2. Ištirkite funkciją lygumui (keistumui).
3. Raskite grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis ir nustatykite funkcijos pastovaus ženklo intervalus.
4. Raskite išvestinę.
5. Raskite funkcijos ekstremalinius taškus ir funkcijos didėjimo bei mažėjimo intervalus.
6. Padarykite lentelę.
7. Raskite antrąją išvestinę.
8. Raskite funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatykite šio grafiko išgaubimo ir įgaubimo intervalus.
9. Jei reikia, raskite funkcijos grafiko asimptotes.
10. Sukurkite šios funkcijos grafiko eskizą.
11. Raskite funkcijų reikšmių aibę.
VI. Funkcijos tyrimo pavyzdžiai
2). Neįmanoma kalbėti apie funkcijos paritetą.
5) Raskite funkcijos ekstremalius taškus ir funkcijos didėjimo bei mažėjimo intervalus:
Funkcija didėja
Funkcija mažėja
6) Padarykime lentelę x
7) Raskite antrąją išvestinę
8) Raskite vingio taškus: arba
Išsipūsti
Išsipūsti žemyn
9) Išsiaiškinkime, kad įstrižiniai asimptotai neegzistuoja. nėra įstrižų asimptotų.
10) Tvarkaraštis
; x=2 – vertikali asimptotė
2). Neįmanoma kalbėti apie funkcijos paritetą
3) Raskite grafiko susikirtimo taškus su OX ašimi.
Raskime grafiko susikirtimo taškus su OU ašimi.
4) Raskite funkcijos išvestinę:
5) Raskite funkcijos ekstremalinius taškus ir funkcijos didėjimo bei mažėjimo taškus:
Funkcija didėja
Funkcija mažėja
6) Padarykime lentelę x
7) Raskite antrąją išvestinę:
8) Raskite vingio taškus: vingio taškų nėra
Išsipūsti žemyn
Išsipūsti
Įstrižinė asimptotės lygtis
10) Tvarkaraštis
Vertikali asimptotė
2) negalime kalbėti apie funkcijos paritetą
Susikirtimo su OX ašimi taškų nėra.
Neegzistuoja. Tokių taškų nėra.
4) Raskite išvestinę:
Funkcija mažėja
Funkcija didėja
6) Padarykime lentelę:
7) Nubraižykime funkciją:
Vertikali asimptotė
2) - negalime kalbėti apie funkcijos paritetą
3) Raskite grafiko susikirtimo taškus su OX ašimi.
Raskime grafiko susikirtimo taškus su OY ašimi.
4) Raskite išvestinę:
5) Raskite funkcijos ekstremalinius taškus ir funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus.
Kritinių taškų nėra.
Nėra maksimalaus ir minimalaus taškų.
6) Padarykime lentelę:
↘ 7) Raskite antrą išvestinę:
8) Raskite funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatykite išgaubimo ir įgaubimo intervalus:
Posūkio taškų nėra.
Išsipūsti
Išsipūsti žemyn
9) Raskite pasvirusius asimptotus:
Horizontalios asimptotės lygtis, nes k = 0.
10) Nubraižykime funkciją:
;
- vertikalios asimptotės
3) Raskite grafiko susikirtimo taškus su OX ašimi.
Raskime grafiko susikirtimo taškus su OY ašimi.
4) Raskite išvestinę:
2) - funkcija nelyginė, nes. Grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu.
5) Raskite funkcijos ekstremumo taškus ir didėjimo bei mažėjimo intervalus:
Funkcija mažėja
Funkcija didėja
6) Padarykime lentelę:
Sprendimo nėra.
↘ Ne daiktavardis.
↗ 7) Raskite pasvirusius asimptotus:
Įstrižų asimptotų nėra.
8) Raskite antrąją išvestinę:
Išsipūsti žemyn
Išsipūsti
9) Raskite vingio taškus: arba arba
10) Sukurkime grafiką
VII. Istorinė informacija.
Jo protėviai kilę iš Lenkijos ir nešiojo Lubenitzo pavardę. Persikėlus į Leipcigą, jų pavardė pradėta tarti vokiškai. Įdomu pastebėti, kad pats šio miesto pavadinimas taip pat yra slaviškas, tai reiškia > Leibnicas gimė universiteto filosofijos profesoriaus šeimoje Leipcigo Jis anksti neteko tėvų: būdamas 6 metų liko be tėvo, o būdamas 17 metų – be motinos. Mokyklos metais Leibnicas nustebino savo mokytojus gebėjimu kurti poeziją lotynų ir graikų kalbomis. aistra filosofijai ir matematikai, jis buvo labai smalsus, daug dalykų mokėsi savarankiškai, prieš susipažindamas su jais, jo atmintis buvo netolygi: lengvai įsiminė sudėtingus dalykus, o dar blogiau – nesugebėjo atlikti skaičiavimų ilgą laiką, bet jis traukė apibendrinimų ir abstrakcijų link. Tokią atmintį ir mąstymą Leibnicas išlaikė visą gyvenimą.
Būdamas 15 metų Leibnicas studijavo Leipcigo universiteto Filosofijos fakultete. Šis fakultetas buvo paruošiamas teisės ir teologijos studijoms. Puikiai baigęs Filosofijos, o vėliau ir Teisės fakultetą, 20-metis Leibnicas negalėjo gauti norimų pareigų gimtajame mieste. Konservatyvios taisyklės universitete sukūrė materialines kliūtis gauti daktaro laipsnį. Jis išvyksta į Niurnbergą ir ten esančiame universitete su precedento neturinčia sėkme apgina teisės daktaro disertaciją. Buvo pastebėtas nepaprastas jauno mokslininko talentas. Į diplomatinę tarnybą jį kviečia Mainco miesto kurfiurstas (princas, turintis teisę rinktis karalių), vėliau – Hanoverio kunigaikštis.
Būdamas Paryžiuje kurfiursto reikalais, Leibnicas susitiko su daugybe garsių mokslininkų. Įvairių problemų aptarimas pažadina jo susidomėjimą matematika. Vėliau laiške I. Bernuliui jis prisiminė: >. Baigęs universitetą (1666), Leibnicas paskelbė filosofinį ir matematinį veikalą, todėl kalbėdamas apie savo > turėjo omenyje naujausių matematikos pasiekimų nežinojimą. Norėdamas susipažinti su naujais rezultatais ir idėjomis, kurios tuo metu kilo matematikoje, jis kreipėsi pagalbos į Huygensą. Jis pataria atidžiai išstudijuoti daugybę kūrinių, o Leibnicas su pavydėtinu užsidegimu imasi verslo: studijuoja Sent Vincento ir Voliso, Dekarto ir Paskalio kūrinius bei užsiima savo tyrinėjimais.
Tačiau kai jis atvyksta į Londoną diplomatiniais reikalais ir praneša apie savo rezultatus anglų matematikams, jis nustemba sužinojęs, kad daugelis šių rezultatų jiems jau žinomi iš Niutono rankraščio, saugomo Karališkojoje draugijoje. Leibnicas per šios draugijos sekretorių Oldenburgą (1615 - 1677) rašo Niutonui apie savo darbą. Tame pačiame laiške jis prašo Niutono pranešti apie savo rezultatus. Atsakydamas jis gauna (vėl per Oldenburgą) du laiškus, kuriuose Niutonas paaiškina diferenciacijos ir integravimo operacijas naudodamas serijas.
Leibnicas neskubėjo skelbti savo rezultatų naujų skaičiavimų srityje, galbūt laukdamas Niutono publikacijų. Tačiau 1683 m. Tschirnhauz paskelbė straipsnį apie algebrinių kreivių kvadratūrą. Jame Leibnizo vardas neminimas, nors Tschirnhauzas jam buvo daug skolingas sprendžiant šiuos klausimus. Norėdami išlaikyti palmę šioje srityje, Leibnicas kitais metais publikuoja straipsnį, o po metų - >. Pirmajame iš jų buvo diferencialinio skaičiavimo pagrindai, antrajame – integralo.
Naująjį mokslą jis grindė diferencialo samprata. Dabar funkcijos y=f(x) diferencialas df(x0) taške x0 pateikiamas formule df(xo) = f"(xo)dx, kur f"(xb) yra taške apskaičiuota išvestinė xo, jų yra argumento padidėjimas. Leibnicas diferencialą apibrėžia kaip vieną iš būdingojo trikampio, kuris buvo aptartas ankstesniame skyriuje (9 skyrius), kraštų. Iš 46 paveikslo matyti, kad šie apibrėžimai yra lygiaverčiai.
Leibnicas pateikia sumos, skirtumo, sandaugos, koeficiento, laipsnio diferencialo apskaičiavimo taisykles ir išsprendžia diferencialines lygtis. Integralą jis apibrėžia kaip diferenciacijų sumą, pabrėždamas diferencijavimo ir integravimo operacijų abipusį atvirkštinį pobūdį: >. Iš kur atsiranda integralų savybės ir jų skaičiavimo metodai? Vėlesniuose straipsniuose Leibnicas sukūrė naują analizę. Jis įrodė, kad bet kuri integruojama funkcija yra ribota (būtina integralumo sąlyga), ir sukūrė tam tikrų tipų integralų skaičiavimo algoritmą, ypač racionalių funkcijų integravimo metodą. Šio metodo svarbos negalima pervertinti, nes naudojant įvairius racionaliųjų funkcijų integralus pakeitus galima sumažinti daugybę integralų. Pažvelkime į šį metodą išsamiau.
Norėdami grafiškai išspręsti savavališkų funkcijų integravimo problemą, Leibnicas išrado (1693) mechaninį įrenginį – integratorių. Jei vieną šio įrenginio kaištį perkeliate išilgai funkcijos grafiko, kitas nubraižo antidarinės grafiką.
Mes vis dar naudojame Leibnizo sukurtus algoritmus ir žymėjimus, taip pat daugumą jo įvestų matematinių terminų: funkcija, kintamasis, konstanta, koordinatės, abscisė, algoritmas, diferencialas ir tt Daugelis šių terminų buvo naudojami anksčiau, bet neturėjo konkrečią reikšmę, kurią jiems suteikė Leibnicas.
Kito šimtmečio pradžioje užvirė karštos diskusijos dėl analizės išradimo prioriteto. To priežastis buvo Leibnizo apžvalga (1704 m.) apie Niutono kūrybą, kurioje jis atkreipė dėmesį į ideologinį Niutono ir Fabry begalinio mažumo aiškinimo bendrumą. Toks didžiojo anglo palyginimas su mažai žinomu prancūzų matematiku O n o -re Fabry (1607 - 1688) sukėlė anglų mokslininkų pasipiktinimą. (Ir Leibnicas neturėjo jokių slaptų motyvų; Fabry knyga buvo tiesiog viena iš nedaugelio, padėjusių jam atsikratyti > Paryžiaus laikotarpiu.) Jie įžvelgė Niutono nuopelnų menkinimą, ir taip viskas prasidėjo. Šiame ginče Niutono teises gynė anglų mokslininkai, o Leibnizo – žemynų. Daugumos žemyno matematikų pritarimas Leibnizui buvo paaiškintas tuo, kad jo užrašai pasirodė tokie tobuli, o pats mokymas toks prieinamas, kad iš karto rado šalininkų tarp daugelio Europos mokslininkų, o tai yra labai reta, kai atsiranda teorija.
Matyt, kaip tik šį ginčą turėjo omenyje nuostabus rusų poetas Valerijus Bryusovas, rašydamas šias eilutes:
O Leibnicai, o išminčius, pranašiškų knygų kūrėja! Jūs buvote aukščiau už pasaulį, kaip senovės pranašai. Tavo amžius, stebėdamasis tavimi, nepasiekė pranašysčių Ir sumaišė beprotiškus priekaištus su meilikavimu.
Tiesą sakant, abiejų pusių teiginiai buvo nepagrįsti. Abu mokslininkai savarankiškai priėjo prie diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kūrimo, o jų požiūriai buvo visiškai skirtingi. Niutonas naudojo galios eilučių aparatą, o Leibnicas – diferencialo sąvoką. Karštas ginčas lėmė tai, kad anglų matematikai ignoravo viską, kas atėjo iš Leibnizo ir jo mokyklos, o žemynų matematikai ignoravo anglų darbą. Kadangi žemynas rėmėsi Leibnizo simbolika, kuri buvo pažangesnė nei Niutono, o mokslininkus vienijo bendros, publikuotos ir visiems prieinamos idėjos, kontinentiniai matematikai poniutono laikotarpiu žengė toli į priekį, palyginti su anglais.
Tačiau Leibnizo likime lemtingą vaidmenį suvaidino anglų ir žemyno matematikų priešiškumas. Kunigaikštis, kuriam dirbo bibliotekininku, istoriku ir biografu, tapęs Anglijos karaliumi (1714 m.), išvyko į Londoną. Leibnicas negalėjo jo sekti dėl pažeistų santykių su anglų matematikais. Be to, kunigaikštis buvo nepatenkintas savo istoriografu, manydamas, kad jis per mažai dėmesio skiria savo tiesioginėms tarnybinėms pareigoms. Leibnicui teko likti ir dirbti kunigaikščio bibliotekoje. Naujai karūnuoto Anglijos karaliaus nemalonė lėmė tai, kad mokslininko ratas labai išretėjo. Po dvejų metų jis mirė, į paskutinę kelionę lydimas tik sekretoriaus ir kapų. Įžeidžianti likimo neteisybė didžiojo mokslininko, kuris daug nuveikė, atžvilgiu.
Nepaisant didžiulio užimtumo rengiant kunigaikščių rūmų istoriją, kuri virto Vakarų Europos istorija, ir kitų pareigų, atitraukiančių jį nuo mokslo, Leibnicas paliko daug matematikos, filosofijos, biologijos, žinių teorijos, politikos, teisės ir kitų darbų. lingvistika. Puikiai išmanantis mokslininkas įnešė neįkainojamą indėlį į kiekvieną iš šių sričių. Idėjos iš jo liejosi tarsi iš gausybės rago: kiekviename laiške, kiekviename užraše ar straipsnyje buvo kažkas iš esmės naujo nagrinėjamoje mokslo srityje, kartais nulemsiančio tolimesnę jos raidą. Daug nuveikta su jo tiesioginiu dalyvavimu. Berlyne suorganizavo mokslinę draugiją, kuri vėliau buvo pertvarkyta į Berlyno mokslų akademiją, ir tapo pirmuoju jos prezidentu. Jis buvo pirmasis Paryžiaus mokslų akademijos užsienio narys. Leibnicas Berlyne ne kartą susitiko su Petru I, kuriam parengė nemažai projektų, skirtų švietimo ir valdžios plėtrai Rusijoje, taip pat Sankt Peterburgo mokslų akademijos kūrimui.
Tačiau didžiausias jo indėlis buvo matematika. Įėjęs į jį, jis sugebėjo ją visiškai pakeisti. Po jo ir artimiausių bendradarbių darbų atsirado ne tik matematinė analizė, bet ir visa matematika įžengė į naują erą.
1°. Yra žinoma, kad pastovi funkcija kiekviename atkarpos taške turi išvestinę, lygią nuliui. Visuose analizės kursuose įrodyta priešingai, kad funkcija f(x) yra pastovi intervale [a, b], jei kiekviename intervalo taške jos išvestinė f "(x) yra lygi nuliui.
Mes tai iliustruojame geometriškai. Jeigu f" (x) = 0 kiekviename atkarpos taške [a, b], tada funkcijos grafiko liestinė y=f(x) in kiekvienas iš punktų x (a ≤ x ≤ b) lygiagrečiai ašiai Oi. Pereinant X nuo vienos vertės iki vėlesnių verčių taško M. funkcijos grafikas, kuris yra liestinės sąlyčio taškas, pasislenka į dešinę, bet išlieka taške nubrėžtos liestinės kryptimi M, kadangi šio perėjimo metu liestinė nekeičia savo krypties. Dėl to segmente [a, b]
funkcijos grafikas y=f(x) eina tiesiai MN, lygiagrečiai ašiai O o funkcijos reikšmė lygi f(a), lieka nepakitęs.
2°. Jei tarp a
teigiamas vertes. Dėl to jo riba yra išvestinė f "(x) - teigiamas arba lygus nuliui
f "(x) ≥ 0
Jei tarp A<х funkcija y=f(x) mažėja, paskui didėja X kiekviena paskesnė funkcijos reikšmė yra mažesnė už ankstesnę. Todėl bet kuriai nurodytai x reikšmei prieaugis Δx teigiamas, prieaugis Δy neigiamas, požiūris Δy/Δx ima tik neigiamas reikšmes ir kai rūpinasi Δx iki nulio turi savo ribą neigiamą skaičių arba nulį, t.y.
f "(x) ≤ 0.
Kadangi išvestinės vertės f "(x) lygus funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui y = f(x):
f "(x) = tanφ,
ir dėl didėjančios funkcijos f "(x) = tanφ ≥ 0, tada didėjančios funkcijos grafiko liestinė susidaro su ašimi Oi smailus kampas arba lygiagreti ašiai Oi(106 brėžinys). Mažėjančioje funkcijoje f "(x) = tanφ ≤ 0, grafiko liestinė susidaro su ašimi Oi bukas kampas arba lygiagreti ašiai Oi(šūdas.).
Tarpais a
Didėjančios (arba mažėjančios) funkcijos diagramos taškai, kurių liestinė lygiagreti ašiai jautis, yra atskiri taškai ta prasme, kad jų abscisės nesudaro segmento. Po velnių. ir po velnių. tokie taškai yra R Ir R 1.
3°. Visuose analizės kursuose įrodomi šie pakankami funkcijų didėjimo ir mažėjimo požymiai:
funkcija f(x) didėja (arba mažėja) intervale a
1) išvestinė f "(x) nėra neigiama (arba ne teigiama) intervale a<х
f "(x) ≥ 0 (arba f "(x) ≤ 0)
2) šiame intervale nėra atkarpos a 1 ≤ x ≤ b 1 (a<а 1 .
4°. Pavyzdys. Nustatykite funkcijos didėjimo ir mažinimo intervalus: y = x 3 - x 2 - 8x + 2.
Sprendimas. Didėjančios ir mažėjančios funkcijos požymiams pritaikyti randame šios funkcijos išvestinę ir nustatome reikšmes X, kurioje jis teigiamas arba neigiamas:
y" = 3x 2 - 2x - 8.
Antrojo laipsnio trinarį suskaidykime faktoriais, nes daug lengviau įvertinti sandaugos ženklą pagal veiksnių ženklus, nei apie sumos ženklą pagal terminų ženklus.
Trinario šaknys:
|
y" =3 (x+4/3) (x-2).
Daugiklis x + 4/3 neigiamas, kai X< - 4/3 и положителен при X> - 4/3. veiksnys X - 2 yra neigiamas X< 2 и положителен при X> 2. Prekės ženklas bus vienoks ar kitoks priklausomai nuo taško vietos X ant ašies Oi palyginti su taškais -4/3 ir 2.
Taškai -4/3 ir 2 padalija visą ašį į tris tarpus;
1) - ∞
Norėdami nustatyti išvestinės ženklą kiekviename intervale, sudarome lentelę:
| Tarpas Nr. | Tarpo charakteristikos | Pasirašyti x+4/3 | Pasirašyti x-2 | Pasirašyti f'(x) | Ši funkcija |
| - ∞ < x< - 4/3 | - | - | + | didėja | |
| -4/3 < x < 2 | + | - | - | mažėja | |
| 2 < х < + ∞ | + | + | + | didėja |
Todėl ši funkcija intervalais didėja
- ∞
Šios funkcijos grafikas parodytas fig.
5°.Funkcija y = x 3(įrenginys) turi išvestinę y = 3 x 2, kuri yra teigiama bet kuriai vertei X, skiriasi nuo nulio. At x = 0 išvestinė y" = 0. Funkcija y = x 3 didėja intervalas - ∞
Maksimalios ir minimalios funkcijos
Didžiausių ir mažiausių kiekių reikšmių radimo problemos yra svarbios technologijoje ir, kaip matyti iš pavyzdžių, susiveda iki funkcijos maksimumo ir minimumo.
Apibrėžimas. 1. Funkcija f(x) turi maksimumą ties x=c, jei jos reikšmė ties x=c yra didesnė už bet kurią kitą x reikšmę, paimtą kurioje nors taško x=c kaimynystėje.
2. Funkcija f(x) turi minimumą ties x=c, jei jos reikšmė ties x=c yra mažesnė už bet kurią kitą x reikšmę, paimtą kurioje nors taško x=c kaimynystėje.
Sąvokos „maksimalus“ ir „minimalus“ yra sujungtos į vieną bendrą terminą „ekstremumas“.
Iškviečiama argumento reikšmė, kuri suteikia funkcijos maksimumą (arba minimumą). maksimalus (minimalus) taškas arba ekstremumo taškas.
Funkcija gali turėti tik maksimumą, pavyzdžiui, funkcija y = 60x - 2x 2(111 pav.), arba tik minimumą, pavyzdžiui, funkciją y = 2x+72/x(112 pav.), arba turi
maksimalus ir minimumas, pvz., funkcija y = x 3 - - x 2 - 8x+2(108 brėžinys). Funkcija gali turėti keletą maksimumų ir minimumų (113 pav.), o šiuo atveju maksimumai ir minimumai pakaitomis. Funkcija negali turėti nei maksimumo, nei minimumo. Pavyzdžiui, funkcijos y = x 3, y = ctgx, y = a x neturi nei maksimumo, nei minimumo, nes didėjant X nuo -∞ iki +∞ pirmoji ir trečioji funkcijos didėja, o antroji tik mažėja.
Funkcijos maksimumas (minimalus) gali būti ne didžiausia (mažiausia) jos reikšmė. Taigi, pavaizduotas velniu. 113 funkcija yra taške Su. vertė didesnė už maksimalią su 1 M1 Ir su 3 M2, ir taške nuo 0 vertė mažesnė už minimalią c 2 m 1, Ir c 4 m 2, minimumas c 4 m 2 daugiau nei maksimali su 1 M1. Maksimali (minimali) funkcija tam tikrame taške paprastai yra didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė, palyginti su jos reikšmėmis taškuose, esančiuose kairėje ir dešinėje nuo ekstremalaus taško tik pakankamai arti jo.
Norint nustatyti funkcijos pobūdį ir kalbėti apie jos elgesį, reikia rasti didėjimo ir mažėjimo intervalus. Šis procesas vadinamas funkcijų tyrimu ir grafikais. Ekstremalumo taškas naudojamas ieškant didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės, nes jose funkcija didėja arba mažėja nuo intervalo.
Šiame straipsnyje atskleidžiami apibrėžimai, suformuluotas pakankamas intervalo padidėjimo ir sumažėjimo požymis bei ekstremumo egzistavimo sąlyga. Tai taikoma sprendžiant pavyzdžius ir problemas. Skyrius apie funkcijų diferencijavimą turėtų būti kartojamas, nes sprendimui reikės naudoti išvestinės radimą.
Yandex.RTB R-A-339285-1 1 apibrėžimas
Funkcija y = f (x) padidės intervale x, kai bet kurių x 1 ∈ X ir x 2 ∈ X, x 2 > x 1, nelygybė f (x 2) > f (x 1) yra tenkinama. Kitaip tariant, didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
2 apibrėžimas
Laikoma, kad funkcija y = f (x) mažėja intervale x, kai bet kurio x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 lygybė f (x 2) > f (x 1) laikoma tiesa. Kitaip tariant, didesnė funkcijos reikšmė atitinka mažesnę argumento reikšmę. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.
komentaras: Kai funkcija yra apibrėžta ir tolydi didėjimo ir mažėjimo intervalo galuose, tai yra (a; b), kur x = a, x = b, taškai įtraukiami į didėjimo ir mažėjimo intervalą. Tai neprieštarauja apibrėžimui, tai reiškia, kad tai vyksta intervale x.
Pagrindinės y = sin x tipo elementariųjų funkcijų savybės yra tikrumas ir tęstinumas tikrosioms argumentų reikšmėms. Iš čia gauname, kad sinusas didėja per intervalą - π 2; π 2, tada atkarpos padidėjimas turi formą - π 2; π 2.
3 apibrėžimasTaškas x 0 vadinamas maksimalus taškas funkcijai y = f (x), kai visoms x reikšmėms galioja nelygybė f (x 0) ≥ f (x). Maksimali funkcija yra funkcijos reikšmė taške ir žymima y m a x .
Taškas x 0 vadinamas minimaliu funkcijos y = f (x) tašku, kai visoms x reikšmėms galioja nelygybė f (x 0) ≤ f (x). Minimalios funkcijos yra funkcijos reikšmė taške ir turi y m i n formos pavadinimą.
Nagrinėjamos taško x 0 apylinkės ekstremalūs taškai, ir funkcijos reikšmė, atitinkanti ekstremumo taškus. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.
Didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę turinčios funkcijos ekstremumai. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.
Pirmas paveikslas sako, kad reikia rasti didžiausią funkcijos reikšmę iš segmento [a; b ]. Jis randamas naudojant maksimalius taškus ir yra lygus didžiausiai funkcijos reikšmei, o antrasis skaičius labiau panašus į maksimalaus taško radimą ties x = b.
Pakankamos sąlygos funkcijai didėti ir mažėti
Norint rasti funkcijos maksimumus ir minimumus, būtina taikyti ekstremumo požymius tuo atveju, kai funkcija tenkina šias sąlygas. Pirmasis ženklas laikomas dažniausiai naudojamu.
Pirmoji pakankama ekstremumo sąlyga
4 apibrėžimasTegu duota funkcija y = f (x), kuri yra diferencijuojama taško x 0 kaimynystėje ε ir turi tęstinumą duotame taške x 0. Iš čia mes tai gauname
- kai f " (x) > 0 su x ∈ (x 0 - ε ; x 0) ir f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- kai f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), tada x 0 yra mažiausias taškas.
Kitaip tariant, gauname jų ženklo nustatymo sąlygas:
- kai funkcija yra ištisinė taške x 0, tada ji turi išvestinę su kintančiu ženklu, tai yra nuo + iki -, o tai reiškia, kad taškas vadinamas maksimumu;
- kai funkcija yra ištisinė taške x 0, tada ji turi išvestinę su kintančiu ženklu nuo - iki +, o tai reiškia, kad taškas vadinamas minimumu.
Norėdami teisingai nustatyti didžiausius ir mažiausius funkcijos taškus, turite vadovautis jų paieškos algoritmu:
- rasti apibrėžimo sritį;
- suraskite funkcijos išvestinę šioje srityje;
- nustatyti nulius ir taškus, kuriuose funkcijos nėra;
- išvestinės ženklo nustatymas intervalais;
- pasirinkite taškus, kuriuose funkcija keičia ženklą.
Panagrinėkime algoritmą išspręsdami keletą funkcijos ekstremalių radimo pavyzdžių.
1 pavyzdys
Raskite duotosios funkcijos y = 2 (x + 1) 2 x - 2 didžiausius ir mažiausius taškus.
Sprendimas
Šios funkcijos apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai, išskyrus x = 2. Pirmiausia suraskime funkcijos išvestinę ir gaukime:
y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2
Iš čia matome, kad funkcijos nuliai yra x = - 1, x = 5, x = 2, tai yra, kiekvienas skliaustas turi būti prilygintas nuliui. Pažymėkime jį skaičių ašyje ir gaukime:
Dabar iš kiekvieno intervalo nustatome išvestinės požymius. Būtina pasirinkti tašką, įtrauktą į intervalą, ir pakeisti jį į išraišką. Pavyzdžiui, taškai x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.
Mes tai gauname
y" (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, tai reiškia, kad intervalas - ∞ - 1 turi teigiamą išvestinę.
y" (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
Kadangi antrasis intervalas pasirodė mažesnis už nulį, tai reiškia, kad intervalo išvestinė bus neigiama. Trečias su minusu, ketvirtas su pliusu. Norint nustatyti tęstinumą, reikia atkreipti dėmesį į išvestinės ženklą, jei jis keičiasi, tai yra kraštutinis taškas.
Pastebime, kad taške x = - 1 funkcija bus tolydi, o tai reiškia, kad išvestinė pakeis ženklą iš + į -. Pagal pirmąjį ženklą turime, kad x = - 1 yra maksimalus taškas, o tai reiškia, kad gauname
y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
Taškas x = 5 rodo, kad funkcija yra ištisinė, o išvestinė pakeis ženklą iš – į +. Tai reiškia, kad x = -1 yra mažiausias taškas, o jo nustatymas turi formą
y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24
Grafinis vaizdas
Atsakymas: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.
Verta atkreipti dėmesį į tai, kad naudojant pirmąjį pakankamą ekstremumo kriterijų nereikia, kad funkcija būtų diferencijuojama taške x 0, o tai supaprastina skaičiavimą.
2 pavyzdys
Raskite funkcijos y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 didžiausius ir mažiausius taškus.
Sprendimas.
Funkcijos sritis yra visi realieji skaičiai. Tai galima parašyti kaip tokios formos lygčių sistemą:
1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
Tada reikia rasti išvestinę:
y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
Taškas x = 0 neturi išvestinės, nes vienpusių ribų reikšmės skiriasi. Mes tai gauname:
lim y " x → 0 - 0 = rib y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = rib y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
Iš to seka, kad funkcija yra tolydi taške x = 0, tada apskaičiuojame
lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8
Būtina atlikti skaičiavimus, norint rasti argumento reikšmę, kai išvestinė tampa nuliu:
1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0
Visi gauti taškai turi būti pažymėti tiesia linija, kad būtų galima nustatyti kiekvieno intervalo ženklą. Todėl būtina apskaičiuoti išvestinę kiekvieno intervalo savavališkais taškais. Pavyzdžiui, galime paimti taškus, kurių reikšmės yra x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Mes tai gauname
y" (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 m " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
Vaizdas tiesioje linijoje atrodo taip
Tai reiškia, kad mes darome išvadą, kad būtina griebtis pirmojo ekstremumo ženklo. Paskaičiuokime ir surasime
x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , tada iš čia didžiausi taškai turi reikšmes x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3
Pereikime prie minimumų skaičiavimo:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3
Apskaičiuokime funkcijos maksimumus. Mes tai gauname
m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Grafinis vaizdas
Atsakymas:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 m 2 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Jei duota funkcija f " (x 0) = 0, tada jei f "" (x 0) > 0, gauname, kad x 0 yra mažiausias taškas, jei f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
3 pavyzdys
Raskite funkcijos y = 8 x x + 1 maksimumus ir minimumus.
Sprendimas
Pirmiausia randame apibrėžimo sritį. Mes tai gauname
D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
Būtina diferencijuoti funkciją, po kurios gauname
y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x
Esant x = 1, išvestinė tampa lygi nuliu, o tai reiškia, kad taškas yra galimas ekstremumas. Norėdami paaiškinti, reikia rasti antrąją išvestinę ir apskaičiuoti reikšmę, kai x = 1. Mes gauname:
y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 "x + (x + 1) 2 x" (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0
Tai reiškia, kad naudojant 2 pakankamą ekstremumo sąlygą, gauname, kad x = 1 yra didžiausias taškas. Kitu atveju įrašas atrodo taip: y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.
Grafinis vaizdas
Atsakymas: y m a x = y (1) = 4 ..
5 apibrėžimasFunkcija y = f (x) turi savo išvestinę iki n-osios eilės tam tikro taško x 0 kaimynystėje ε, o jos išvestinę iki n + 1 eilės taške x 0 . Tada f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .
Iš to išplaukia, kad kai n yra lyginis skaičius, tai x 0 laikomas vingio tašku, kai n yra nelyginis skaičius, tai x 0 yra ekstremumo taškas, o f (n + 1) (x 0) > 0, tada x 0 yra mažiausias taškas, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
4 pavyzdys
Raskite funkcijos y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 didžiausius ir mažiausius taškus.
Sprendimas
Pradinė funkcija yra racionali visa funkcija, o tai reiškia, kad apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai. Būtina atskirti funkciją. Mes tai gauname
y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)
Ši išvestinė bus lygi nuliui, kai x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Tai yra, taškai gali būti galimi ekstremalūs taškai. Būtina taikyti trečią pakankamą ekstremumo sąlygą. Antrosios išvestinės radimas leidžia tiksliai nustatyti funkcijos maksimumo ir minimumo buvimą. Antroji išvestinė apskaičiuojama jos galimo ekstremumo taškuose. Mes tai gauname
y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0
Tai reiškia, kad x 2 = 5 7 yra didžiausias taškas. Taikant 3-ią pakankamą kriterijų, gauname, kad n = 1 ir f (n + 1) 5 7< 0 .
Būtina nustatyti taškų pobūdį x 1 = - 1, x 3 = 3. Norėdami tai padaryti, turite rasti trečią išvestinę ir apskaičiuoti šių taškų reikšmes. Mes tai gauname
y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0
Tai reiškia, kad x 1 = - 1 yra funkcijos vingio taškas, nes n = 2 ir f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Būtina ištirti tašką x 3 = 3. Norėdami tai padaryti, randame 4 išvestinę ir atliekame skaičiavimus šioje vietoje:
y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0
Iš to, kas buvo nuspręsta aukščiau, darome išvadą, kad x 3 = 3 yra mažiausias funkcijos taškas.
Grafinis vaizdas
Atsakymas: x 2 = 5 7 – maksimalus taškas, x 3 = 3 – mažiausias duotosios funkcijos taškas.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Vietinio funkcijos padidėjimo ir sumažėjimo požymiai.
Vienas iš pagrindinių funkcijos tyrimo uždavinių – surasti jos didėjimo ir mažėjimo intervalus. Tokį tyrimą galima lengvai atlikti naudojant išvestinę medžiagą. Suformuluokime atitinkamus teiginius.
Pakankamas didėjančios funkcijos požymis.
Jei f’(x) > 0 kiekviename intervalo I taške, tai funkcija f padidėja I.
Pakankamas funkcijos mažėjimo požymis.
Jei f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Šių ženklų įrodymas atliekamas pagal Lagranžo formulę (žr. 19 punktą). Paimkite bet kokius du skaičius x 1 ir x 2 nuo intervalo. Leiskite x 1
(1)
Skaičius c priklauso intervalui I, nes taškai x 1 ir x 2 priklauso I. Jei f"(x)>0, jei x∈I, tada f’(c)>0, taigi ir F(x) 1 )
Vizualinė ženklų prasmė aiški iš fizinio samprotavimo (apibrėžtumui panagrinėkime padidėjimo ženklą).
Tegul taškas, judantis išilgai ordinačių ašies momentu t, turi ordinatę y = f(t). Tada šio taško greitis momentu t yra lygus f"(t) (žr. Momentinis greitis ). Jei f’ (t)>0 kiekvienu laiko momentu iš intervalo t, tai taškas juda teigiama ordinačių ašies kryptimi, t.y., jei t 1
1 pastaba.
Jei funkcija f yra ištisinė bet kuriame didėjančio (mažėjančio) intervalo gale, tai šis taškas pridedamas prie šio intervalo.
2 pastaba.
Norėdami išspręsti nelygybes f" (x)>0 ir f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.
Būtinos ir pakankamos sąlygos funkcijos ekstremumui taške egzistuoti.
Būtina sąlyga ekstremumui
Funkcija g(x) taške turi ekstremumą (maksimumą arba minimumą), jei funkcija apibrėžta dvipusėje taško kaimynystėje ir visuose tam tikros srities taškuose x: , atitinkamai tenkinama nelygybė
(maksimalaus atveju) arba (mažiausio atveju).
Funkcijos ekstremumą galima rasti iš sąlygos: jeigu išvestinė egzistuoja, t.y. pirmąją funkcijos išvestinę prilyginame nuliui.
Pakankama sąlyga ekstremumui
1) Pirma pakankama sąlyga:
a) f(x) yra ištisinė funkcija ir yra apibrėžta tam tikroje taško kaimynystėje taip, kad pirmoji išvestinė šiame taške yra lygi nuliui arba neegzistuoja.
b) f(x) turi baigtinę išvestinę, esančią šalia funkcijos specifikacijos ir tęstinumo
c) išvestinė išlaiko tam tikrą ženklą taško dešinėje ir to paties taško kairėje, tada tašką galima apibūdinti taip
Ši sąlyga nėra labai patogi, nes reikia patikrinti daugybę sąlygų ir įsiminti lentelę, bet jei nieko nepasakoma apie aukštesnės eilės išvestines, tai vienintelis būdas rasti funkcijos ekstremumą.
2) Antra pakankama sąlyga
Jei funkcija g(x) turi antrą išvestinę ir tam tikru momentu pirmoji išvestinė yra lygi nuliui, o antroji išvestinė skiriasi nuo nulio. Tada nurodykite funkcijos ekstremumas g(x), o jei , tai taškas yra didžiausias; jei , tada taškas yra minimumas.
