Dabar mes tai išsiaiškinsime teigiami ir neigiami skaičiai. Pirmiausia pateiksime apibrėžimus, pristatysime žymėjimą, o tada pateiksime teigiamų ir neigiamų skaičių pavyzdžių. Taip pat apsistosime ties semantine apkrova, kurią neša teigiami ir neigiami skaičiai.
Puslapio naršymas.
Teigiami ir neigiami skaičiai – apibrėžimai ir pavyzdžiai
Duok identifikuoti teigiamus ir neigiamus skaičius mums padės. Patogumui manysime, kad jis yra horizontaliai ir nukreiptas iš kairės į dešinę.
Apibrėžimas.
Vadinami skaičiai, atitinkantys koordinačių linijos taškus, esančius dešinėje nuo pradžios teigiamas.
Apibrėžimas.
Vadinami skaičiai, atitinkantys koordinačių linijos taškus, esančius kairėje nuo pradžios neigiamas.
Skaičius nulis, atitinkantis kilmę, nėra nei teigiamas, nei neigiamas skaičius.
Iš neigiamų ir teigiamų skaičių apibrėžimo matyti, kad visų neigiamų skaičių aibė yra skaičių, priešingų visiems teigiamiems skaičiams, aibė (jei reikia, žr. straipsnį priešingus skaičiams). Todėl neigiami skaičiai visada rašomi su minuso ženklu.
Dabar, žinodami teigiamų ir neigiamų skaičių apibrėžimus, galime lengvai pateikti teigiamų ir neigiamų skaičių pavyzdžiai. Teigiamų skaičių pavyzdžiai yra natūralūs skaičiai 5, 792 ir 101 330, ir iš tikrųjų bet kuris natūralusis skaičius yra teigiamas. Teigiamų racionaliųjų skaičių pavyzdžiai yra skaičiai , 4,67 ir 0,(12)=0,121212... , o neigiami yra skaičiai , −11 , −51,51 ir −3,(3) . Teigiamų neracionaliųjų skaičių pavyzdžiai yra skaičius pi, skaičius e ir begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena 809.030030003..., o neigiamų neracionalių skaičių pavyzdžiai yra skaičiai atėmus pi, atėmus e ir skaičius lygus. Reikėtų pažymėti, kad paskutiniame pavyzdyje visiškai nėra akivaizdu, kad išraiškos reikšmė yra neigiamas skaičius. Norėdami įsitikinti, šios išraiškos reikšmę turite gauti dešimtainės trupmenos pavidalu, o kaip tai padaryti, mes jums pasakysime straipsnyje. realiųjų skaičių palyginimas.
Kartais prieš teigiamus skaičius rašomas pliuso ženklas, kaip prieš neigiamus skaičius yra minuso ženklas. Tokiais atvejais turėtumėte žinoti, kad +5=5, 
ir tt Tai yra +5 ir 5 ir t.t. - tai tas pats numeris, bet pažymėtas kitaip. Be to, galite rasti teigiamų ir neigiamų skaičių apibrėžimų, pagrįstų pliuso arba minuso ženklu.
Apibrėžimas.
Skaičiai su pliuso ženklu vadinami teigiamas ir su minuso ženklu – neigiamas.
Yra dar vienas teigiamų ir neigiamų skaičių apibrėžimas, pagrįstas skaičių palyginimu. Norint pateikti šį apibrėžimą, pakanka tik prisiminti, kad taškas koordinačių tiesėje, atitinkantis didesnį skaičių, yra į dešinę nuo taško, atitinkančio mažesnį skaičių.
Apibrėžimas.
Teigiami skaičiai yra skaičiai, didesni už nulį, ir neigiamus skaičius yra skaičiai mažesni už nulį.
Taigi nulis atskiria teigiamus skaičius nuo neigiamų.
Žinoma, taip pat turėtume pasilikti ties teigiamų ir neigiamų skaičių skaitymo taisyklėmis. Jei skaičius rašomas + arba − ženklu, tada ištarkite ženklo pavadinimą, po kurio tariamas skaičius. Pavyzdžiui, +8 skaitomas kaip plius aštuoni, o - kaip minus vienas taškas du penktadaliai. Ženklų + ir − pavadinimai neatmetami pagal didžiąsias ir mažąsias raides. Taisyklingo tarimo pavyzdys yra frazė „a lygi minus trys“ (ne minus trys).
Teigiamų ir neigiamų skaičių aiškinimas
Jau kurį laiką aprašėme teigiamus ir neigiamus skaičius. Tačiau būtų malonu sužinoti, kokią reikšmę jie turi? Pažvelkime į šį klausimą.
Teigiami skaičiai gali būti interpretuojami kaip atėjimas, kaip padidėjimas, kaip kokios nors reikšmės padidėjimas ir panašiai. Neigiami skaičiai savo ruožtu reiškia visiškai priešingai – išlaidas, trūkumą, skolą, kokios nors vertės sumažėjimą ir pan. Supraskime tai pavyzdžiais.
Galime sakyti, kad turime 3 prekes. Čia teigiamas skaičius 3 rodo mūsų turimų prekių skaičių. Kaip galite interpretuoti neigiamą skaičių −3? Pavyzdžiui, skaičius −3 gali reikšti, kad turime kam nors duoti 3 prekes, kurių net neturime sandėlyje. Panašiai galime pasakyti, kad prie kasos mums buvo duota 3,45 tūkst. Tai yra, skaičius 3,45 yra susijęs su mūsų atvykimu. Savo ruožtu neigiamas skaičius -3,45 rodys pinigų sumažėjimą kasoje, kuri mums išdavė šiuos pinigus. Tai yra –3,45 yra išlaidos. Kitas pavyzdys: temperatūros padidėjimą 17,3 laipsnių galima apibūdinti kaip teigiamą skaičių +17,3, o temperatūros sumažėjimą 2,4 galima apibūdinti naudojant neigiamą skaičių, kaip temperatūros pokytį -2,4 laipsnio.
Teigiami ir neigiami skaičiai dažnai naudojami apibūdinti tam tikrų dydžių reikšmes įvairiose matavimo priemonėse. Labiausiai prieinamas pavyzdys – temperatūrų matavimo prietaisas – termometras – su skale, ant kurios rašomi ir teigiami, ir neigiami skaičiai. Dažnai neigiami skaičiai vaizduojami mėlyna spalva (ji simbolizuoja sniegą, ledą, o esant žemesnei nei 0 laipsnių Celsijaus temperatūrai, vanduo pradeda užšalti), o teigiami skaičiai rašomi raudonai (ugnies spalva, saulė; esant aukštesnei nei nulio laipsnių temperatūrai). , ledas pradeda tirpti). Teigiamų ir neigiamų skaičių rašymas raudonai ir mėlynai naudojamas ir kitais atvejais, kai reikia paryškinti skaičių ženklą.
Nuorodos.
- Vilenkinas N.Ya. ir kiti. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.
Tarkime, Denisas turi daug saldumynų – visą didelę dėžutę. Pirmiausia Denisas suvalgė 3 saldainius. Tada tėtis davė Denisui 5 saldainius. Tada Denisas davė Matvey 9 saldainius. Galiausiai mama padovanojo Denisui 6 saldainius. Klausimas: Ar Denisas gavo daugiau ar mažiau saldainių, nei turėjo iš pradžių? Jei daugiau, tai kiek daugiau? Jei mažiau, kiek mažiau?
Kad nesusipainiotumėte su šia užduotimi, patogu pasinaudoti viena gudrybe. Iš sąlygos išrašykime visus skaičius iš eilės. Tuo pačiu metu prieš skaičius, rodančius, kiek Denisas turi daugiau saldainių, padėsime ženklą „+“, o prieš skaičius, nurodančius, kiek Deniso saldainių sumažėjo. Tada visa sąlyga bus parašyta labai trumpai:
− 3 + 5 − 9 + 6.
Šį įrašą galima perskaityti, pavyzdžiui, taip: „Pirmasis Denisas gavo minus tris saldainius. Tada plius penki saldainiai. Tada minus devyni saldainiai. Ir galiausiai, plius šeši saldainiai. Žodis „minusas“ pakeičia frazės reikšmę į visiškai priešingą. Kai sakau: „Denisas gavo minus tris saldainius“, tai iš tikrųjų reiškia, kad Denisas prarado tris saldainius. Priešingai, žodis „pliusas“ patvirtina frazės prasmę. „Denisas gavo plius penkis saldainius“ reiškia tą patį, ką tiesiog „Denisas gavo penkis saldainius“.
Taigi, pirmiausia Denisas gavo minus tris saldainius. Tai reiškia, kad Denisas dabar turi minus trimis saldainiais daugiau nei turėjo pradžioje. Dėl trumpumo galime pasakyti: Denisas turi minus tris saldainius.
Tada Denisas gavo plius penkis saldainius. Nesunku suprasti, kad Denisas dabar turi dar du saldainius. Reiškia,
− 3 + 5 = + 2.
Tada Denisas gavo minus devynis saldainius. Ir štai kiek saldainių jis turėjo:
− 3 + 5 − 9 = + 2 − 9 = − 7.
Galiausiai Denisas gavo dar +6 saldainius. Ir bendras saldainių skaičius tapo:
− 3 + 5 − 9 + 6 = + 2 − 9 + 6 = − 7 + 6 = − 1.
Įprasta kalba tai reiškia, kad galiausiai Denisas gavo vienu saldainiu mažiau nei turėjo pradžioje. Problema išspręsta.
Triukas su „+“ arba „–“ ženklais naudojamas labai plačiai. Skaičiai su „+“ ženklu vadinami teigiamas. Skaičiai su „-“ ženklu vadinami neigiamas. Skaičius 0 (nulis) nėra nei teigiamas, nei neigiamas, nes +0 nesiskiria nuo –0. Taigi, mes susiduriame su skaičiais iš serijos
..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...
Tokie skaičiai vadinami sveikieji skaičiai. Ir skambinami tie numeriai, kurie išvis neturi ženklo ir su kuriais iki šiol turėjome reikalų natūraliuosius skaičius(tik nulis netaikomas natūraliems skaičiams).
Sveikieji skaičiai gali būti laikomi laipteliais ant kopėčių. Nulis yra aikštelė, kuri yra gatvės lygyje. Iš čia žingsnis po žingsnio galite pakilti į aukštesnius aukštus arba nusileisti į rūsį. Kol mums nereikia eiti į rūsį, mums užtenka natūralių skaičių ir nulio. Natūralūs skaičiai iš esmės yra tokie patys kaip teigiami sveikieji skaičiai.
Griežtai kalbant, sveikasis skaičius yra ne žingsnio skaičius, o komanda pakilti laiptais. Pavyzdžiui, skaičius +3 reiškia, kad turėtumėte pakilti trimis laipteliais aukštyn, o skaičius –5 reiškia, kad turėtumėte eiti penkiais laipteliais žemyn. Paprasčiausiai komanda imama kaip žingsnio skaičius, kuris perkelia mus į tam tikrą žingsnį, jei pradedame judėti nuo nulinio lygio.
Skaičiavimus su sveikaisiais skaičiais lengva atlikti tiesiog mintyse šokinėjant aukštyn arba žemyn laipteliais – nebent, žinoma, reikia daryti labai didelius šuolius. Tačiau ką daryti, kai reikia peršokti šimtą ar daugiau žingsnių? Juk tokių ilgų laiptų nenupiešime!
Bet kodėl gi ne? Galime nubrėžti ilgus laiptus iš tokio didelio atstumo, kad atskirų žingsnių nebeišsiskiria. Tada mūsų laiptai tiesiog pavirs viena tiesia linija. O kad būtų patogiau įdėti į puslapį, nupieškime nepakreipdami ir atskirai pažymėkime 0 žingsnio padėtį.
Pirmiausia išmokime peršokti tokią tiesią liniją, naudodamiesi išraiškų, kurių reikšmes jau seniai galėjome apskaičiuoti, pavyzdžiu. Tegul reikalaujama surasti
Griežtai kalbant, kadangi turime reikalą su sveikaisiais skaičiais, turėtume rašyti
Tačiau teigiamas skaičius eilutės pradžioje paprastai neturi „+“ ženklo. Šokinėjimas laiptais atrodo maždaug taip:
Vietoj dviejų didelių šuolių, nubrėžtų virš linijos (+42 ir +53), galite atlikti vieną šuolį, nubrėžtą žemiau linijos, o šio šuolio ilgis, žinoma, lygus
Matematine kalba tokie brėžiniai paprastai vadinami diagramomis. Štai kaip atrodo diagrama mūsų įprastame atimties pavyzdyje:
Pirmiausia padarėme didelį šuolį į dešinę, po to mažesnį šuolį į kairę. Dėl to likome nulio dešinėje. Tačiau galima ir kita situacija, kaip, pavyzdžiui, išraiškos atveju
Šį kartą šuolis į dešinę pasirodė trumpesnis nei šuolis į kairę: skridome virš nulio ir atsidūrėme „rūsyje“ - ten, kur yra laipteliai su neigiamais skaičiais. Pažvelkime atidžiau į mūsų šuolį į kairę. Iš viso įkopėme 95 laiptelius. Užlipę 53 laiptelius pasiekėme ženklą 0. Klausimas, kiek laiptelių įkopėme po to? Na, žinoma
Taigi, kai buvome 0 žingsnyje, nusileidome dar 42 laiptelius, o tai reiškia, kad pagaliau pasiekėme žingsnį -42. Taigi,
53 − 95 = −(95 − 53) = −42.
Taip pat tai nesunku nustatyti braižant diagramas
−42 − 53 = −(42 + 53) = −95;
−95 + 53 = −(95 − 53) = −42;
ir galiausiai
−53 + 95 = 95 − 53 = 42.
Tokiu būdu mes išmokome laisvai keliauti per visas sveikųjų skaičių kopėčias.
Dabar panagrinėkime šią problemą. Denisas ir Matvey apsikeičia saldainių popieriukais. Iš pradžių Denisas davė Matvey 3 saldainių popierėlius, o paskui paėmė iš jo 5 saldainių popieriukus. Kiek saldainių popierėlių galiausiai gavo Matvey?
Bet kadangi Denisas gavo 2 saldainių įvyniojimus, tada Matvey gavo -2 saldainių įvyniojimus. Deniso pelnui pridėjome minusą ir gavome Matvey pelną. Mūsų sprendimas gali būti parašytas kaip viena išraiška
−(−3 + 5) = −2.
Čia viskas paprasta. Tačiau šiek tiek pakeiskime problemos teiginį. Tegul Denisas pirmiausia duoda Matvey 5 saldainių popierėlius, o tada paima iš jo 3 saldainių popieriukus. Vėlgi kyla klausimas, kiek saldainių popierėlių galiausiai gavo Matvey?
Vėlgi, pirmiausia apskaičiuokime Deniso „pelną“:
−5 + 3 = −2.
Tai reiškia, kad Matvey gavo 2 saldainių popierėlius. Bet kaip dabar galime užrašyti savo sprendimą kaip vieną išraišką? Ką pridėtumėte prie neigiamo skaičiaus −2, kad gautumėte teigiamą skaičių 2? Pasirodo, šį kartą reikia priskirti minuso ženklą. Matematikai labai mėgsta vienodumą. Jie stengiasi užtikrinti, kad panašių problemų sprendimai būtų parašyti panašių posakių forma. Šiuo atveju sprendimas atrodo taip:
−(−5 + 3) = −(−2) = +2.
Matematikai taip sutarė: jei prie teigiamo skaičiaus pridedi minusą, tada jis virsta neigiamu, o jei prie neigiamo skaičiaus pridedi minusą, tada jis virsta teigiamu. Tai labai logiška. Juk leistis žemyn minus du laipteliai yra tas pats, kas lipti aukštyn plius du laipteliai. Taigi,
−(+2) = −2;
−(−2) = +2.
Norėdami užbaigti vaizdą, taip pat atkreipiame dėmesį į tai
+(+2) = +2;
+(−2) = −2.
Tai suteikia mums galimybę naujai pažvelgti į seniai pažįstamus dalykus. Tegul išraiška pateikiama
Šio įrašo prasmę galima įsivaizduoti įvairiai. Galite senamadiškai manyti, kad teigiamas skaičius +3 atimamas iš teigiamo skaičiaus +5:
Tokiu atveju vadinamas +5 sumažinamas, +3 - atskaitoma, ir visa išraiška yra skirtumas. Būtent to jie moko mokykloje. Tačiau žodžiai „sumažinta“ ir „atimta“ niekur nevartojami, išskyrus mokyklą, ir gali būti pamiršti po baigiamojo įskaitos. Apie tą patį įrašą galime pasakyti, kad neigiamas skaičius −3 pridedamas prie teigiamo skaičiaus +5:
Vadinami skaičiai +5 ir –3 terminai, ir visa išraiška yra suma. Šioje sumoje yra tik du terminai, bet apskritai sumą gali sudaryti tiek terminų, kiek norite. Taip pat ir išraiška
lygia teise galima laikyti dviejų teigiamų skaičių suma:
ir kaip skirtumas tarp teigiamų ir neigiamų skaičių:
(+5) − (−3).
Susipažinę su sveikaisiais skaičiais, būtinai turime išsiaiškinti skliaustų atidarymo taisykles. Jei prieš skliaustus yra ženklas „+“, tokius skliaustus galima tiesiog ištrinti, o visi juose esantys skaičiai išsaugo savo ženklus, pavyzdžiui:
+(+2) = +2;
+(−2) = −2;
+(−3 + 5) = −3 + 5;
+(−3 − 5) = −3 − 5;
+(5 − 3) = 5 − 3
ir taip toliau.
Jei prieš skliaustus yra ženklas „−“, tada, ištrindami skliaustą, taip pat turime pakeisti visų jame esančių skaičių ženklus:
−(+2) = −2;
−(−2) = +2;
−(−3 + 5) = +3 − 5 = 3 − 5;
−(−3 − 5) = +3 + 5 = 3 + 5;
−(5 − 3) = −(+5 − 3) = −5 + 3;
ir taip toliau.
Kartu pravartu nepamiršti ir Deniso ir Matvey keitimosi saldainių popieriumi. Pavyzdžiui, paskutinę eilutę galima gauti taip. Manome, kad Denisas pirmiausia iš Matvey paėmė 5 saldainių popierėlius, o paskui dar -3. Iš viso Denisas gavo 5–3 saldainių popierėlius, o Matvey – tiek pat, bet su priešingu ženklu, tai yra – (5–3) saldainių popieriukus. Tačiau tą pačią problemą galima išspręsti kitu būdu, turint omenyje, kad kiekvieną kartą, kai Denisas gauna, Matvey duoda. Tai reiškia, kad iš pradžių Matvey gavo –5 saldainių popierėlius, o paskui dar +3, o tai galiausiai duoda –5 + 3.
Kaip ir natūraliuosius skaičius, sveikuosius skaičius galima palyginti vienas su kitu. Pavyzdžiui, užduokime klausimą: kuris skaičius didesnis: −3 ar −1? Pažiūrėkime į kopėčias su sveikaisiais skaičiais ir iš karto tampa aišku, kad −1 yra didesnis nei −3, taigi −3 yra mažesnis nei −1:
−1 > −3;
−3 < −1.
Dabar išsiaiškinkime: kiek daugiau yra −1 nei −3? Kitaip tariant, kiek laiptelių reikia lipti, kad pereitumėte iš −3 laiptelio į −1? Atsakymas į šį klausimą gali būti parašytas kaip skirtumas tarp skaičių −1 ir −3:
− 1 − (−3) = −1 + 3 = 3 − 1 = 2.
Šokinėjant laipteliais, nesunku įsitikinti, ar taip yra. Kitas įdomus klausimas: kiek skaičius 3 yra didesnis už skaičių 5? Arba, kas yra tas pats: kiek laiptelių turite užlipti, kad pereitumėte iš 5 žingsnio į 3 žingsnį? Dar visai neseniai šis klausimas mus glumino. Bet dabar galime lengvai parašyti atsakymą:
3 − 5 = − 2.
Iš tiesų, jei esame 5 žingsnyje ir einame dar −2 laipteliais aukštyn, baigsime tiksliai 3 žingsnį.
Užduotys
2.3.1. Ką reiškia šios frazės?
Denisas davė tėčiui minus tris saldainius.
Matvey yra dvejais metais vyresnis už Denisą.
Norėdami patekti į mūsų butą, turite nusileisti minus dviem aukštais.
2.3.2. Ar tokios frazės turi prasmę?
Denisas turi minus tris saldainius.
Minus dvi karvės ganosi pievoje.
komentuoti.Ši problema neturi unikalaus sprendimo. Žinoma, nebūtų klaida teigti, kad šie teiginiai yra beprasmiai. Ir tuo pačiu jiems gali būti suteikta labai aiški prasmė. Tarkime, Denisas turi didelę dėžutę, pripildytą iki kraštų saldainių, bet šios dėžutės turinys nesiskaito. Arba, tarkime, dvi karvės iš bandos neišėjo ganytis į pievą, o kažkodėl liko tvarte. Verta nepamiršti, kad net labiausiai žinomos frazės gali būti dviprasmiškos:
Denisas turi tris saldainius.
Šis teiginys neatmeta galimybės, kad Denisas turi kažkur kitur paslėptą didžiulę saldainių dėžutę, tačiau tie saldainiai tiesiog nutyli. Lygiai taip pat, sakydama: „Turiu penkis rublius“, nenoriu pasakyti, kad tai visas mano turtas.
2.3.3. Žiogas pašoka laiptais, pradedant nuo grindų, kur yra Deniso butas. Iš pradžių nušoko 2 laipteliais žemyn, paskui 5 laipteliais aukštyn ir galiausiai 7 laipteliais žemyn. Kiek žingsnių ir kokia kryptimi pajudėjo žiogas?
2.3.4. Raskite posakių reikšmę:
− 6 + 10;
− 28 + 76;
ir tt
− 6 + 10 = 10 − 6 = 4.
2.3.5. Raskite posakių reikšmę:
8 − 20;
34 − 98;
ir tt
8 − 20 = − (20 − 8) = − 12.
2.3.6. Raskite posakių reikšmę:
− 4 − 13;
− 48 − 53;
ir tt
− 4 − 13 = − (4 + 13) = − 17.
2.3.7. Toliau pateiktų išraiškų reikšmes raskite atlikdami skaičiavimus skliausteliuose nurodyta tvarka. Tada atidarykite skliaustus ir įsitikinkite, kad posakių reikšmės išlieka tokios pačios. Sugalvokite problemų dėl saldainių, kurias galima išspręsti tokiu būdu.
25 − (−10 + 4);
25 + (− 4 + 10);
ir tt
25 − (− 10 + 4) = 25 − (−(10 − 4)) = 25 − (−6) = 25 + 6 = 31.
25 − (− 10 + 4) = 25 + 10 − 4 = 35 − 4 = 31.
„Denis turėjo 25 saldainius. Jis davė tėčiui atėmus dešimt saldainių, o Matvey – keturis saldainius. Kiek saldainių jis turėjo?
Teigiami ir neigiami skaičiai
Koordinačių linija
Eikime tiesiai. Pažymėkime jame tašką 0 (nulis) ir šį tašką imkime atskaitos tašku.
Rodyklėmis nurodome judėjimo kryptį tiesia linija į dešinę nuo koordinačių pradžios. Šia kryptimi nuo taško 0 braižysime teigiamus skaičius.
Tai yra, mums jau žinomi skaičiai, išskyrus nulį, vadinami teigiamais.
Kartais teigiami skaičiai rašomi su „+“ ženklu. Pavyzdžiui, „+8“.
Trumpumo dėlei „+“ ženklas prieš teigiamą skaičių paprastai praleidžiamas, o vietoj „+8“ tiesiog rašomas 8.
Todėl „+3“ ir „3“ yra tas pats skaičius, tik žymimas skirtingai.
Pasirinkime kurį nors atkarpą, kurios ilgį imame kaip vieną ir kelis kartus perkelkime į dešinę nuo taško 0. Pirmojo atkarpos pabaigoje rašomas skaičius 1, antrojo – skaičius 2 ir t.t. 
Padėję vieneto segmentą į kairę nuo pradžios, gauname neigiamus skaičius: -1; -2; ir tt
Neigiami skaičiai vartojami įvairiems dydžiams žymėti, tokie kaip: temperatūra (žemiau nulio), srautas – tai yra neigiamos pajamos, gylis – neigiamas aukštis ir kt.
Kaip matyti iš paveikslo, neigiami skaičiai yra mums jau žinomi skaičiai, tik su minuso ženklu: -8; -5.25 ir kt.
- Skaičius 0 nėra nei teigiamas, nei neigiamas.
Skaičių ašis paprastai yra horizontaliai arba vertikaliai.
Jei koordinačių linija yra vertikaliai, tada kryptis aukštyn nuo pradžios paprastai laikoma teigiama, o kryptis žemyn nuo pradžios yra neigiama.
Rodyklė rodo teigiamą kryptį.
Tiesi linija pažymėta:
. kilmė (0 taškas);
. vieneto segmentas;
. rodyklė rodo teigiamą kryptį;
paskambino koordinačių linija
arba skaičių ašis.
Priešingi skaičiai koordinačių tiesėje
Koordinačių tiesėje pažymėkime du taškus A ir B, kurie yra vienodu atstumu nuo taško 0 atitinkamai dešinėje ir kairėje.
Šiuo atveju atkarpų OA ir OB ilgiai yra vienodi.
Tai reiškia, kad taškų A ir B koordinatės skiriasi tik ženklu. 
Taip pat sakoma, kad taškai A ir B yra simetriški kilmės atžvilgiu.
Taško A koordinatė yra teigiama „+2“, taško B koordinatė turi minuso ženklą „-2“.
A (+2), B (-2).
- Skaičiai, kurie skiriasi tik ženklu, vadinami priešingais skaičiais. Atitinkami skaitinės (koordinačių) ašies taškai yra simetriški pradžios atžvilgiu.
Kiekvienas skaičius turi tik vieną priešingą skaičių. Tik skaičius 0 neturi priešingybės, bet galime sakyti, kad jis pats sau priešingas.
Žyma „-a“ reiškia priešingą skaičių „a“. Atminkite, kad raidė gali paslėpti tiek teigiamą, tiek neigiamą skaičių.
Pavyzdys:
-3 yra priešingas skaičius 3.
Rašome kaip išraišką:
-3 = -(+3)
Pavyzdys:
-(-6) yra priešingas skaičius neigiamam skaičiui -6. Taigi -(-6) yra teigiamas skaičius 6.
Rašome kaip išraišką:
-(-6) = 6
Neigiamų skaičių pridėjimas
Teigiamų ir neigiamų skaičių sudėjimą galima analizuoti naudojant skaičių eilutę.
Patogu atlikti mažų modulinių skaičių sudėjimą koordinačių tiesėje, mintyse įsivaizduojant, kaip skaičių žymintis taškas juda išilgai skaičiaus ašies.
Paimkime kokį nors skaičių, pavyzdžiui, 3. Pažymėkime jį skaičių ašyje tašku A.
Prie skaičiaus pridėkime teigiamą skaičių 2 Tai reikš, kad taškas A turi būti perkeltas dviem vienetais teigiama kryptimi, tai yra į dešinę. Dėl to gauname tašką B su koordinate 5.
3 + (+ 2) = 5
Norint pridėti neigiamą skaičių (- 5) prie teigiamo skaičiaus, pavyzdžiui, 3, taškas A turi būti perkeltas 5 ilgio vienetais neigiama kryptimi, tai yra į kairę.
Šiuo atveju taško B koordinatė yra – 2.
Taigi, racionalių skaičių pridėjimo tvarka naudojant skaičių eilutę bus tokia:
. pažymėkite tašką A koordinačių tiesėje koordinate, lygia pirmajam nariui;
. perkelkite jį atstumu, lygiu antrojo nario moduliui ta kryptimi, kuri atitinka ženklą prieš antrąjį skaičių (plius - judėkite į dešinę, minus - į kairę);
. ašyje gautas taškas B turės koordinatę, kuri bus lygi šių skaičių sumai.
Pavyzdys.
- 2 + (- 6) =
Judėdami iš taško - 2 į kairę (kadangi prieš 6 yra minuso ženklas), gauname - 8.
- 2 + (- 6) = - 8
Skaičių su tais pačiais ženklais pridėjimas
Sudėti racionalius skaičius gali būti lengviau, jei naudosite modulio sąvoką.
Turime pridėti skaičius, turinčius tuos pačius ženklus.
Norėdami tai padaryti, atmetame skaičių ženklus ir paimame šių skaičių modulius. Sudėkime modulius ir įdėkime ženklą prieš sumą, kuri buvo bendra šiems skaičiams.
Pavyzdys. 
Neigiamų skaičių pridėjimo pavyzdys.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5
- Norėdami pridėti to paties ženklo skaičius, turite pridėti jų modulius ir prieš sumą įdėti ženklą, kuris buvo prieš terminus.
Skaičių su skirtingais ženklais pridėjimas
Jei skaičiai turi skirtingus ženklus, mes elgiamės kiek kitaip nei sudėdami skaičius su tais pačiais ženklais.
. Išmetame ženklus prieš skaičius, tai yra, paimame jų modulius.
. Iš didesnio modulio atimame mažesnįjį.
. Prieš skirtumą padėjome ženklą, kuris buvo skaičiuje su didesniu moduliu.
Neigiamojo ir teigiamo skaičiaus pridėjimo pavyzdys.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5
Mišrių skaičių pridėjimo pavyzdys.
Norėdami pridėti skirtingų ženklų skaičių, jums reikia:
. atimti mažesnį modulį iš didesnio modulio;
. Prieš gautą skirtumą įdėkite skaičiaus ženklą su didesniu moduliu.
Neigiamų skaičių atėmimas
Kaip žinote, atimtis yra priešinga pridėjimui.
Jei a ir b yra teigiami skaičiai, tai iš skaičiaus a atėmus skaičių b reiškia rasti skaičių c, kurį pridėjus prie skaičiaus b gaunamas skaičius a.
a - b = c arba c + b = a
Atimties apibrėžimas galioja visiems racionaliesiems skaičiams. Tai yra atimant teigiamus ir neigiamus skaičius galima pakeisti papildymu.
- Norėdami iš vieno skaičiaus atimti kitą, turite pridėti priešingą skaičių atimamam.
Arba kitu būdu galime pasakyti, kad skaičiaus b atėmimas yra tas pats, kas sudėjimas, bet priešingas skaičius b.
a - b = a + (- b)
Pavyzdys.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Pavyzdys.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
- Verta prisiminti toliau pateiktas išraiškas.
- 0 - a = - a
- a - 0 = a
- a - a = 0
Neigiamų skaičių atėmimo taisyklės
Kaip matyti iš aukščiau pateiktų pavyzdžių, skaičiaus b atėmimas yra pridėjimas su skaičiumi, priešingu b.
Ši taisyklė galioja ne tik atimant mažesnį skaičių iš didesnio skaičiaus, bet ir leidžia iš mažesnio skaičiaus atimti didesnį skaičių, tai yra, visada galima rasti dviejų skaičių skirtumą.
Skirtumas gali būti teigiamas skaičius, neigiamas skaičius arba nulis.
Neigiamų ir teigiamų skaičių atėmimo pavyzdžiai.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Patogu atsiminti ženklų taisyklę, kuri leidžia sumažinti skliaustų skaičių.
Pliuso ženklas nekeičia skaičiaus ženklo, todėl jei prieš skliaustą yra pliusas, skliaustuose esantis ženklas nesikeičia.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Minuso ženklas prieš skliaustus pakeičia skaičiaus ženklą skliausteliuose.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Iš lygybių aišku, kad jei skliausteliuose ir viduje yra vienodi ženklai, tada gauname „+“, o jei ženklai skiriasi, tai gauname „-“.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Ženklo taisyklė taip pat galioja, jei skliausteliuose yra ne tik vienas skaičius, o algebrinė skaičių suma.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Atkreipkite dėmesį, kad jei skliausteliuose yra keli skaičiai ir prieš skliaustus yra minuso ženklas, tai ženklai prieš visus skaičius šiuose skliausteliuose turi keistis.
Norėdami prisiminti ženklų taisyklę, galite sukurti skaičių ženklų nustatymo lentelę.
Skaičių ženklų taisyklė
Arba išmokite paprastą taisyklę.
- Du neigiami dalykai daro teigiamą,
- Plius kartus minus lygus minusui.
Neigiamų skaičių dauginimas
Naudodamiesi skaičiaus modulio sąvoka, suformuluojame teigiamų ir neigiamų skaičių dauginimo taisykles.
Skaičių dauginimas su tais pačiais ženklais
Pirmas atvejis, su kuriuo galite susidurti, yra skaičių su tais pačiais ženklais dauginimas.
Norėdami padauginti du skaičius su tais pačiais ženklais:
. padauginti skaičių modulius;
. prieš gautą produktą uždėkite „+“ ženklą (rašant atsakymą „pliuso“ ženklo prieš pirmąjį skaičių kairėje galima praleisti).
Neigiamųjų ir teigiamų skaičių dauginimo pavyzdžiai.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6
Skaičių dauginimas su skirtingais ženklais
Antras galimas atvejis – skaičių su skirtingais ženklais dauginimas.
Norėdami padauginti du skaičius su skirtingais ženklais, turite:
. padauginti skaičių modulius;
. Padėkite „-“ ženklą prieš gautą darbą.
Neigiamųjų ir teigiamų skaičių dauginimo pavyzdžiai.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4
Daugybos ženklų taisyklės
Prisiminti daugybos ženklų taisyklę labai paprasta. Ši taisyklė sutampa su skliaustų atidarymo taisykle.
- Du neigiami dalykai daro teigiamą,
- Plius kartus minus lygus minusui.
„Ilguose“ pavyzdžiuose, kuriuose yra tik daugybos veiksmas, sandaugos ženklą galima nustatyti pagal neigiamų veiksnių skaičių.
At net neigiamų veiksnių skaičius, rezultatas bus teigiamas, ir su nelyginis kiekis – neigiamas.
Pavyzdys.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =
Pavyzdyje yra penki neigiami veiksniai. Tai reiškia, kad rezultato ženklas bus „minusas“.
Dabar apskaičiuokime modulio sandaugą, nekreipdami dėmesio į ženklus.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728
Galutinis pradinių skaičių padauginimo rezultatas bus:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728
Padauginus iš nulio ir vieneto
Jei tarp veiksnių yra skaičius nulis arba teigiamas, tada daugyba atliekama pagal žinomas taisykles.
. 0 . a = 0
. a. 0 = 0
. a. 1 = a
Pavyzdžiai:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Neigiama vienybė (- 1) vaidina ypatingą vaidmenį dauginant racionalius skaičius.
- Padauginus iš (-1), skaičius apverčiamas atvirkščiai.
Tiesiogine išraiška ši savybė gali būti parašyta:
a. (- 1) = (- 1) . a = - a
Sudedant, atimant ir dauginant racionalius skaičius, išlaikoma teigiamiems skaičiams ir nuliui nustatyta operacijų tvarka.
Neigiamų ir teigiamų skaičių dauginimo pavyzdys.
Neigiamų skaičių dalijimas
Nesunku suprasti, kaip padalyti neigiamus skaičius, prisiminus, kad padalijimas yra atvirkštinis daugybos būdas.
Jei a ir b yra teigiami skaičiai, tada skaičių a padalijus iš skaičiaus b reiškia rasti skaičių c, kurį padauginus iš b gaunamas skaičius a.
Šis padalijimo apibrėžimas taikomas bet kokiems racionaliesiems skaičiams, kol dalikliai nėra nulis.
Todėl, pavyzdžiui, padalijus skaičių (- 15) iš skaičiaus 5 reiškia rasti skaičių, kurį padauginus iš skaičiaus 5, gaunamas skaičius (- 15). Šis skaičius bus (- 3), nes
(- 3) . 5 = - 15
Reiškia
(- 15) : 5 = - 3
Racionaliųjų skaičių dalybos pavyzdžiai.
1. 10: 5 = 2, nes 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, nes 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, nes (- 6) . 3 = -18
4. 12: (- 4) = - 3, nes (- 3) . (- 4) = 12
Iš pavyzdžių matyti, kad dviejų skaičių, turinčių vienodus ženklus, koeficientas yra teigiamas skaičius (pavyzdžiai 1, 2), o dviejų skaičių su skirtingais ženklais – neigiamas skaičius (pavyzdžiai 3, 4).
Neigiamų skaičių padalijimo taisyklės
Norint rasti dalinio modulį, reikia padalyti dividendo modulį iš daliklio modulio.
Taigi, norėdami padalyti du skaičius su tais pačiais ženklais, turite:
. Padėkite „+“ ženklą prieš rezultatą.
Skaičių dalijimo tais pačiais ženklais pavyzdžiai:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2
Norėdami padalyti du skaičius su skirtingais ženklais, turite:
. padalinti dividendo modulį iš daliklio modulio;
. Padėkite „-“ ženklą prieš rezultatą.
Skaičių dalijimo skirtingais ženklais pavyzdžiai:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Taip pat galite naudoti šią lentelę, kad nustatytumėte koeficiento ženklą.
Padalijimo ženklų taisyklė
Skaičiuojant „ilgas“ išraiškas, kuriose atsiranda tik daugyba ir dalyba, labai patogu naudoti ženklų taisyklę. Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti trupmeną
Atkreipkite dėmesį, kad skaitiklis turi 2 minuso ženklus, kuriuos padauginus gausite pliusą. Taip pat vardiklyje yra trys minuso ženklai, kuriuos padauginus bus gautas minuso ženklas. Todėl galų gale rezultatas pasirodys su minuso ženklu.
Trupmenos sumažinimas (tolimesni veiksmai su skaičių moduliais) atliekami taip pat, kaip ir anksčiau:
- Nulio dalinys, padalytas iš kito skaičiaus nei nulis, yra lygus nuliui.
- 0: a = 0, a ≠ 0
- NEGALIMA dalyti iš nulio!
Racionaliųjų skaičių aibei galioja ir visos anksčiau žinomos dalybos iš vieneto taisyklės.
. a: 1 = a
. a: (- 1) = - a
. a: a = 1
, kur a yra bet koks racionalusis skaičius.
Sąryšiai tarp daugybos ir dalybos rezultatų, žinomų kaip teigiami skaičiai, išlieka tokie patys visiems racionaliesiems skaičiams (išskyrus nulį):
. jei a. b = c; a = c: b; b = c: a;
. jei a: b = c; a = c. b; b = a: c
Šios priklausomybės naudojamos ieškant nežinomo koeficiento, dividendo ir daliklio (sprendžiant lygtis), taip pat tikrinant daugybos ir dalybos rezultatus.
Nežinomo radimo pavyzdys.
x. (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2
Minuso ženklo trupmenomis
Padalinkite skaičių (-5) iš 6, o skaičių 5 - iš (-6).
Primename, kad eilutė paprastosios trupmenos žymėjime yra tas pats padalijimo ženklas, o kiekvieno iš šių veiksmų koeficientą rašome neigiamos trupmenos forma.
Taigi minuso ženklas trupmenoje gali būti:
. prieš trupmeną;
. skaitiklyje;
. vardiklyje. 
- Rašant neigiamas trupmenas minuso ženklą galima dėti prieš trupmeną, iš skaitiklio perkelti į vardiklį arba iš vardiklio į skaitiklį.
Tai dažnai naudojama dirbant su trupmenomis, todėl skaičiavimai yra lengvesni.
Pavyzdys. Atkreipkite dėmesį, kad prieš skliaustą padėję minuso ženklą, iš didesnio modulio atimame mažesnįjį pagal skaičių su skirtingais ženklais sudėjimo taisykles. 
Naudodami aprašytą ženklų perkėlimo trupmenomis savybę, galite veikti nesužinoję, kuri iš pateiktų trupmenų turi didesnį modulį.
Iš ankstesnių Assembler kalbos pamokų žinome, kad procesorius dirba su dvejetainiais skaičiais, šie skaičiai gali būti teigiami arba neigiami. Ir šiandien aš jums išsamiai papasakosiu, kas yra teigiami (nežymėti) ir neigiami (pažymėti) skaičiai.
Teigiami skaičiai
Jei skaičius yra teigiamas, tai tiesiog reiškia dešimtainio skaičiaus konvertavimo į dvejetainį rezultatą. Teigiamiems skaičiams pavaizduoti naudojamas specialus kodavimas. Reikšmingiausias bitas šiuo atveju nurodo skaičiaus ženklą. Jei ženklo bitas yra nulis, tada skaičius yra teigiamas, o kitu atveju jis yra neigiamas.
„Intel“ procesorių šeimoje pagrindinis visų tipų duomenų saugojimo vienetas yra baitas. Baitas susideda iš aštuonių bitų. Žemiau esančioje lentelėje pateikiami galimų teigiamų sveikųjų skaičių, su kuriais procesorius gali dirbti, verčių diapazonai:
Dirbdami su skaičiais nepamirškite, kad skaičius, kurio reikšmė ne didesnė kaip 255, gali būti įrašytas į baitą, skaičius, kurio reikšmė ne didesnė kaip 65 535, gali būti įrašytas į žodį ir pan. Pavyzdžiui, jei dirbdami su baitu atliekate sudėjimo operaciją 255 + 1, tada rezultatas turi būti skaičius 256. Tačiau jei rezultatą įrašysite į baitą, rezultatas bus ne 256, o 0 Ši situacija atsiranda „perpildymo“ atvejais.
Perpildymas yra tada, kai operacijos rezultatas netelpa į tam rezultatui skirtą registrą. Be to, jei yra perpildymas, rezultatas gali būti ne nulis, o kitas skaičius.
Neigiami skaičiai
Neigiamų skaičių vaizdavimas kompiuteriuose susiduria su tam tikrais sunkumais. Neigiamas skaičius neturi skaitinės reikšmės, o simbolizuoja būsimą veiksmą – tai, kad ateityje iš vėl pasirodančių objektų turime atimti dar kelis.
Neigiami skaičiai yra skaičiai su minuso ženklu.
Galimų neigiamų skaičių reikšmių diapazonai:
Norint nurodyti skaičiaus ženklą, pakanka vieno skaitmens (bito). Paprastai ženklo bitas užima reikšmingiausią skaičiaus bitą. Jei reikšmingiausias skaičiaus bitas yra 0, tada skaičius laikomas teigiamu. Jei reikšmingiausias skaičiaus skaitmuo yra 1, tada skaičius laikomas neigiamu.
Programuojant asamblėjos kalba, reikia atsižvelgti į vieną svarbų dalyką: „Skaičių vaizdavimo diapazono ribojimas“.
Pavyzdžiui, jei teigiamo kintamojo dydis yra 1 baitas, tada iš viso gali būti 256 skirtingos reikšmės. Tai reiškia, kad negalime jo naudoti norėdami nurodyti skaičių, didesnį nei 255 (111111112). Tam pačiam neigiamam kintamajam didžiausia vertė bus 127 (011111112), o mažiausia –128 (100000002). Diapazonas apibrėžiamas panašiai 2 ir 4 baitų kintamiesiems.
Neigiamų skaičių istorija
Yra žinoma, kad natūralūs skaičiai atsirado skaičiuojant objektus. Žmogaus poreikis matuoti kiekius ir tai, kad matavimo rezultatas ne visada išreiškiamas sveikuoju skaičiumi, lėmė natūraliųjų skaičių aibės išplėtimą. Buvo įvesti nuliniai ir trupmeniniai skaičiai.
Skaičiaus sampratos istorinės raidos procesas tuo nesibaigė. Tačiau pirmasis postūmis plėsti skaičiaus sampratą ne visada buvo grynai praktiniai žmonių poreikiai. Atsitiko ir taip, kad pačios matematikos uždaviniai reikalavo išplėsti skaičiaus sampratą. Būtent taip atsitiko, kai atsirado neigiami skaičiai. Sprendžiant daugelį problemų, ypač susijusių su lygtimis, reikėjo atimti didesnį skaičių iš mažesnio skaičiaus. Tam reikėjo įvesti naujus numerius.
Neigiami skaičiai pirmą kartą pasirodė senovės Kinijoje maždaug prieš 2100 metų. Taip pat mokėjo sudėti ir atimti teigiamus ir neigiamus skaičius, nebuvo taikomos daugybos ir dalybos taisyklės.
II amžiuje. pr. Kr e. Kinų mokslininkas Zhang Can parašė knygą Aritmetika devyniuose skyriuose. Iš knygos turinio aišku, kad tai nėra visiškai savarankiškas kūrinys, o kitų knygų, parašytų gerokai anksčiau nei Zhang Can, perdirbimas. Šioje knygoje pirmą kartą moksle susiduriama su neigiamais dydžiais. Jie suprantami kitaip nei mes juos suprantame ir taikome. Jis visiškai ir aiškiai nesuvokia neigiamų dydžių prigimties ir veikimo su jais taisyklių. Kiekvieną neigiamą skaičių jis suprato kaip skolą, o kiekvieną teigiamą skaičių kaip nuosavybę. Jis atliko operacijas su neigiamais skaičiais ne taip, kaip mes, o samprotavimuose apie skolą. Pavyzdžiui, jei prie vienos skolos pridedate kitą skolą, tai rezultatas yra skola, o ne turtas (t. y. pagal mūsų (- x) + (- x) = - 2x. Minuso ženklas tada nebuvo žinomas, todėl m. Siekdamas atskirti skaičius, išreiškiančius skolą, Zhan Can parašė juos kitu rašalu nei skaičiai, išreiškiantys savybę (teigiami).
Kinų matematikoje teigiami dydžiai buvo vadinami "chen" ir buvo vaizduojami raudonai, o neigiami dydžiai buvo vadinami "fu" ir buvo vaizduojami juodai. Toks vaizdavimo būdas Kinijoje buvo naudojamas iki XII amžiaus vidurio, kol Li Ye pasiūlė patogesnį neigiamų skaičių žymėjimą – skaičiai, vaizduojantys neigiamus skaičius, buvo perbraukti linija įstrižai iš dešinės į kairę. Nors Kinijos mokslininkai neigiamus dydžius aiškino kaip skolą, o teigiamus – kaip nuosavybę, jie vis tiek vengė jų plačiai naudoti, nes šie skaičiai atrodė nesuprantami, o veiksmai su jais buvo neaiškūs. Jei problema lėmė neigiamą sprendimą, jie bandė pakeisti sąlygą (kaip graikai), kad galiausiai būtų gautas teigiamas sprendimas.
V-VI amžiuje Indijos matematikoje atsirado ir labai paplito neigiami skaičiai. Skaičiavimams to meto matematikai naudojo skaičiavimo lentą, ant kurios skaičiavimo pagaliukais buvo vaizduojami skaičiai. Kadangi tuo metu nebuvo ženklų + ir –, teigiami skaičiai buvo vaizduojami raudonomis lazdelėmis, o neigiami – juodomis lazdelėmis ir buvo vadinami „skola“ ir „trūkumu“. Teigiami skaičiai buvo interpretuojami kaip „nuosavybė“. Skirtingai nei Kinijoje, Indijoje jau buvo žinomos daugybos ir dalybos taisyklės. Indijoje neigiami skaičiai buvo sistemingai naudojami, kaip ir dabar. Jau iškilaus Indijos matematiko ir astronomo Brahmaguptos (598 - apie 660) darbe skaitome: „nuosavybė ir nuosavybė yra nuosavybė, dviejų skolų suma yra skola; turto ir nulio suma yra nuosavybė; dviejų nulių suma lygi nuliui... Skola, kuri atimama iš nulio, tampa nuosavybe, o turtas – skola. Jei reikia atimti turtą iš skolos, o skolą iš turto, tada jie pasiima savo sumą.
Indijos matematikai spręsdami lygtis naudojo neigiamus skaičius, o atimtį pakeitė sudėjimas su lygiai priešingu skaičiumi.
Kartu su neigiamais skaičiais Indijos matematikai pristatė nulio sąvoką, kuri leido jiems sukurti dešimtainę skaičių sistemą. Tačiau ilgą laiką nulis nebuvo pripažintas skaičiumi „nullus“ lotyniškai reiškia ne, skaičiaus nebuvimą. Ir tik po 10 amžių, XVII amžiuje, įvedus koordinačių sistemą, nulis tapo skaičiumi.
Graikai taip pat iš pradžių nenaudojo ženklų. Senovės graikų mokslininkas Diofantas iš viso nepripažino neigiamų skaičių ir, jei sprendžiant lygtį buvo gauta neigiama šaknis, jis ją atmetė kaip „nepasiekiamą“. Ir Diofantas bandė formuluoti problemas ir sudaryti lygtis taip, kad būtų išvengta neigiamų šaknų, tačiau netrukus Diofantas Aleksandrietis pradėjo žymėti atimtį ženklu .
Nepaisant to, kad neigiami skaičiai vartojami jau seniai, su jais buvo elgiamasi šiek tiek nepatikliai, laikant juos ne visai tikrais, jų aiškinimas kaip turtas-skola sukėlė sumišimą: kaip galima „pridėti“ ir „atimti“ turtą ir skolas?
Europoje pripažinimas atėjo po tūkstančio metų. Neigiamojo dydžio idėja XIII amžiaus pradžioje buvo gana artima Leonardo iš Pizos (Fibonacci), kuris taip pat pristatė jį finansinėms skolų problemoms spręsti ir priėjo prie minties, kad neigiamus kiekius reikia imti priešingai. prasmę į teigiamus. Tais metais buvo kuriamos vadinamosios matematinės dvikovos. Problemų sprendimo konkurse su Frydricho II teismo matematikais Leonardo iš Pizos (Fibonačio) buvo paprašytas išspręsti problemą: reikėjo rasti kelių asmenų sostinę. Fibonacci gavo neigiamą vertę. „Šis atvejis, – sakė Fibonačis, – neįmanomas, nebent manytume, kad žmogus turėjo ne kapitalą, o skolą.
1202 m. jis pirmą kartą panaudojo neigiamus skaičius savo nuostoliams apskaičiuoti. Tačiau neigiamus skaičius 15 amžiaus pabaigoje pirmą kartą aiškiai panaudojo prancūzų matematikas Chuquet.
Nepaisant to, iki XVII amžiaus neigiami skaičiai buvo „sudėtyje“ ir ilgą laiką buvo vadinami „klaidingais“, „įsivaizduojamais“ ar „absurdiškais“. Ir net XVII amžiuje garsus matematikas Blaise'as Pascalis teigė, kad 0–4 = 0, nes nėra skaičiaus, kuris galėtų būti mažesnis už nieko, ir iki XIX amžiaus matematikai savo skaičiavimuose dažnai atsisakydavo neigiamų skaičių, laikydami juos beprasmiais. .
Bombelli ir Girard, priešingai, neigiamus skaičius laikė gana priimtinais ir naudingais, ypač nurodant kažko trūkumą. Tų laikų aidas yra tai, kad šiuolaikinėje aritmetikoje atimties veiksmas ir neigiamų skaičių ženklas žymimi tuo pačiu simboliu (minusu), nors algebriškai tai yra visiškai skirtingos sąvokos.
Italijoje pinigų skolintojai skolindami pinigus prieš skolininko vardą, kaip mūsų minusą, įrašo skolos sumą ir eilutę, o kai skolininkas grąžino pinigus, jį nubraukė, tai atrodė kaip mūsų pliusas. Pliusą galite laikyti perbrauktu minusu!
Šiuolaikinis teigiamų ir neigiamų skaičių su ženklais žymėjimas
„+“ ir „-“ naudojo vokiečių matematikas Widmannas.
Vokiečių matematikas Michaelas Stiefelis savo knygoje „Visiška aritmetika“ (1544 m.) pirmą kartą pristatė neigiamų skaičių sąvoką kaip skaičius, mažesnius už nulį (mažiau nei nieko). Tai buvo labai didelis žingsnis į priekį pateisinant neigiamus skaičius. Jis leido į neigiamus skaičius žiūrėti ne kaip į skolą, o visiškai kitaip, naujai. Tačiau Stiefelis neigiamus skaičius pavadino absurdiškais; Veiksmai su jais, jo žodžiais, „taip pat vyksta absurdiškai, įkyriai“.
Po Stiefelio mokslininkai ėmė drąsiau atlikti operacijas su neigiamais skaičiais.
Neigiami problemų sprendimai buvo vis labiau išlaikomi ir interpretuojami.
XVII amžiuje Didysis prancūzų matematikas Rene Descartes'as pasiūlė neigiamus skaičius skaičių eilutėje, esančioje kairėje nuo nulio. Dabar mums viskas atrodo taip paprasta ir suprantama, tačiau iki šios idėjos prireikė aštuoniolikos šimtmečių mokslinės minties darbo nuo kinų mokslininko Zhang Can iki Dekarto.
Dekarto darbuose neigiami skaičiai gavo, kaip sakoma, tikrą interpretaciją. Dekartas ir jo pasekėjai juos pripažino vienodai su teigiamaisiais. Tačiau operacijose su neigiamais skaičiais ne viskas buvo aišku (pavyzdžiui, daugyba iš jų), todėl daugelis mokslininkų nenorėjo neigiamų skaičių pripažinti realiaisiais skaičiais. Didelis ir ilgas ginčas tarp mokslininkų kilo dėl neigiamų skaičių esmės ir pripažinti neigiamus skaičius realiais skaičiais, ar ne. Šis ginčas po Dekarto truko apie 200 metų. Per šį laikotarpį matematika kaip mokslas labai išsivystė, o su neigiamais skaičiais buvo susiduriama kiekviename žingsnyje. Matematika tapo neįsivaizduojama, neįmanoma be neigiamų skaičių. Vis daugiau mokslininkų tapo aišku, kad neigiami skaičiai yra realūs skaičiai, tokie pat realūs, iš tikrųjų egzistuojantys skaičiai, kaip ir teigiami skaičiai.
Neigiami skaičiai vargu ar laimėjo savo vietą matematikoje. Kad ir kaip mokslininkai stengtųsi jų išvengti. Tačiau jiems tai ne visada pavykdavo. Gyvenimas mokslui pateikdavo vis naujų ir naujų uždavinių, o šios užduotys vis dažniau atvesdavo prie neigiamų sprendimų Kinijoje, Indijoje, Europoje. Tik XIX amžiaus pradžioje. neigiamų skaičių teorija baigė kurti, o „absurdiški skaičiai“ sulaukė visuotinio pripažinimo.
Kiekvienas fizikas nuolat užsiima skaičiais: vis matuoja, skaičiuoja, ką nors skaičiuoja. Visur jo dokumentuose yra skaičiai, skaičiai ir skaičiai. Jei atidžiai pažvelgsite į fiziko pastabas, pamatysite, kad rašydamas skaičius jis dažnai naudoja ženklus „+“ ir „-“.
Kaip fizikoje atsiranda teigiami, o ypač neigiami skaičiai?
Fizikas nagrinėja įvairius fizikinius dydžius, apibūdinančius įvairias mus supančių objektų ir reiškinių savybes. Pastato aukštis, atstumas nuo mokyklos iki namų, žmogaus kūno masė ir temperatūra, automobilio greitis, skardinės tūris, elektros srovės stiprumas, vandens lūžio rodiklis, galia branduolinis sprogimas, įtampa tarp elektrodų, pamokos ar pertraukos trukmė, metalinio rutulio elektros krūvis – visa tai yra fiziniai dydžiai. Galima išmatuoti fizinį dydį.
Nereikia manyti, kad bet kokia objekto ar gamtos reiškinio savybė gali būti išmatuota ir todėl yra fizikinis dydis. Tai visai netiesa. Pavyzdžiui, sakome: „Kokie gražūs kalnai aplinkui! O koks ten gražus ežeras, apačioje! O kokia graži eglė ant tos uolos! Tačiau negalime išmatuoti kalnų, ežero ar šios vienišos eglės grožio! Tai reiškia, kad tokia savybė kaip grožis nėra fizinis dydis.
Fizinių dydžių matavimai atliekami naudojant matavimo priemones, tokias kaip liniuote, laikrodis, svarstyklės ir kt.
Taigi, skaičiai fizikoje atsiranda matuojant fizikinius dydžius, o matavimo metu gauto fizikinio dydžio skaitinė reikšmė priklauso: nuo to, kaip šis fizikinis dydis apibrėžiamas; nuo naudojamų matavimo vienetų.
Pažiūrėkime į įprasto gatvės termometro skalę.
Jo forma parodyta skalėje 1. Ant jo atspausdinti tik teigiami skaičiai, todėl, nurodant skaitinę temperatūros reikšmę, reikia papildomai paaiškinti 20 laipsnių Celsijaus (virš nulio). Fizikams tai nepatogu - juk negalite sudėti žodžių į formulę! Todėl fizikoje naudojama skalė su neigiamais skaičiais.
Pažvelkime į fizinį pasaulio žemėlapį. Ant jo esantys žemės plotai nudažyti įvairiais žalios ir rudos spalvos atspalviais, o jūros ir vandenynai – mėlyna ir mėlyna. Kiekviena spalva turi savo aukštį (sausumai) arba gylį (jūroms ir vandenynams). Žemėlapyje nubraižyta gylių ir aukščių skalė, kuri parodo, kokį aukštį (gylį) reiškia tam tikra spalva,
Naudojant tokią skalę, užtenka nurodyti skaičių be jokių papildomų žodžių: teigiami skaičiai atitinka įvairias sausumos vietas, esančias virš jūros paviršiaus; neigiami skaičiai atitinka taškus žemiau jūros paviršiaus.
Aukščio skalėje, kurią svarstėme, vandens paviršiaus aukštis Pasaulio vandenyne laikomas nuliu. Ši skalė naudojama geodezijoje ir kartografijoje.
Priešingai, kasdieniame gyvenime žemės paviršiaus aukštį (toje vietoje, kur esame) paprastai laikome nuliniu aukščiu.
3.1 Kaip senovėje buvo skaičiuojami metai?
Skirtingose šalyse yra kitaip. Pavyzdžiui, Senovės Egipte kiekvieną kartą, kai pradėjo valdyti naujas karalius, metai buvo pradėti skaičiuoti iš naujo. Pirmaisiais karaliaus valdymo metais buvo laikomi pirmieji, antraisiais – antraisiais ir pan. Kai šis karalius mirė ir į valdžią atėjo naujas, vėl prasidėjo pirmieji metai, paskui – antrieji, treti. Vieno seniausių pasaulio miestų – Romos – gyventojų metų skaičiavimas buvo kitoks. Romėnai miesto įkūrimo metus laikė pirmaisiais, kitus – antraisiais ir pan.
Metų skaičiavimas, kurį naudojame, atsirado seniai ir yra susijęs su Jėzaus Kristaus, krikščionių religijos pradininko, garbinimu. Įvairiose šalyse pamažu pradėta skaičiuoti metus nuo Jėzaus Kristaus gimimo. Mūsų šalyje jį prieš tris šimtus metų pristatė caras Petras Didysis. Nuo Kristaus Gimimo skaičiuojamą laiką vadiname MŪSŲ ERA (ir rašome sutrumpintai N.E.). Mūsų era tęsiasi du tūkstančius metų.
Išvada
Daugelis žmonių žino neigiamus skaičius, tačiau yra tokių, kurių neigiami skaičiai pateikiami neteisingai.
Neigiami skaičiai dažniausiai pasitaiko tiksliuosiuose moksluose, matematikoje ir fizikoje.
Fizikoje neigiami skaičiai atsiranda dėl matavimų ir fizikinių dydžių skaičiavimų. Neigiamas skaičius – parodo elektros krūvio kiekį. Kituose moksluose, pavyzdžiui, geografijoje ir istorijoje, neigiamą skaičių galima pakeisti žodžiais, pavyzdžiui, žemiau jūros lygio, o istorijoje – 157 m. e.
Literatūra
1. Didžioji mokslinė enciklopedija, 2005 m.
2. Vigasinas A. A., „Senojo pasaulio istorija“, 5 klasės vadovėlis, 2001 m.
3. Vygovskaja V.V. „Matematikos pamokos raida: 6 klasė“ - M.: VAKO, 2008 m.
4. „Teigiami ir neigiami skaičiai“, matematikos vadovėlis 6 klasei, 2001 m.
5. Vaikų enciklopedija „Pažįstu pasaulį“, Maskva, „Švietimas“, 1995 m.
6.. „Studijuoju matematiką“, mokomasis leidinys, 1994 m.
7. „Istorizmo elementai mokant matematikos vidurinėje mokykloje“, Maskva, „Prosveščenie“, 1982 m.
8. Nurk E.R., Telgmaa A.E. „Matematika 6 kl.“, Maskva, „Švietimas“, 1989 m.
9. „Matematikos istorija mokykloje“, Maskva, „Prosveščenie“, 1981 m.
