Daugiakampis yra plokštumos dalis, kurią riboja uždara trūkinė linija. Daugiakampio kampai nurodomi daugiakampio viršūnių taškais. Daugiakampio kampų viršūnės ir daugiakampio viršūnės yra sutampantys taškai.

Apibrėžimas. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios.

Lygiagretainio savybės

1. Priešingos pusės yra lygios.
Fig. 11 AB = CD; B.C. = AD.

2. Priešingi kampai yra lygūs (du smailieji ir du bukieji kampai).
Fig. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Įstrižainės (linijos atkarpos, jungiančios dvi priešingas viršūnes) susikerta ir dalijamos per pusę susikirtimo taško.

Fig. 11 segmentų A.O. = O.C.; B.O. = O.D..

Apibrėžimas. Trapecija yra keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi ne.

Lygiagrečios pusės vadinami ja priežasčių ir kitos dvi pusės - pusės.

Trapecijos tipai

1. Trapecija, kurių pusės nėra lygios,
paskambino universalus(12 pav.).

2. Vadinama trapecija, kurios kraštinės lygios lygiašoniai(13 pav.).

3. Vadinama trapecija, kurios viena kraštinė sudaro stačią kampą su pagrindais stačiakampio formos(14 pav.).

Atkarpa, jungianti trapecijos šoninių kraštinių vidurio taškus (15 pav.), vadinama trapecijos vidurio linija ( MN). Trapecijos vidurio linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusinei sumai.

Trapecija gali būti vadinama nupjautu trikampiu (17 pav.), todėl trapecijos pavadinimai yra panašūs į trikampių pavadinimus (trikampiai yra masteliniai, lygiašoniai, stačiakampiai).

Paralelogramos ir trapecijos plotas

Taisyklė. Lygiagretainio plotas lygus jo kraštinės ir į šią pusę nubrėžto aukščio sandaugai.

107. Žinome (102 punktas), kad taškų, vienodu atstumu nutolusių nuo dviejų nurodytų lygiagrečių tiesių, vieta yra vidutinė lygiagreti linija. Jei AB ir CD (114 brėžinys) yra dvi lygiagrečios, o MN yra vidutinė lygiagretė, tai bet kurio šios vidutinės lygiagretės taško E atstumai nuo AB ir CD yra lygūs vienas kitam, t. ⊥ CD, gauname, kad EF = EG.

Aišku, kad sukonstruoti statmenai EF ir EG yra vienas kito tąsa ir sudaro vieną atkarpą FG, statmeną mūsų lygiagrečiai AB ir CD, o ši atkarpa yra padalinta pusiau iš vidurinės lygiagretės (taške E). Taigi, Kiekviena atkarpa, statmena dviem lygiagretėms ir esanti tarp jų, yra padalinta pusiau iš vidurinės lygiagretės.

Dabar kyla klausimas: ar kuri nors atkarpa KL, kuri nėra statmena AB ir CD, taip pat bus padalinta į vidurinę lygiagretę. Tegu KL kertasi su MN taške O. Per tašką O sukonstruosime atkarpą HI, statmeną tiesėms AB ir CD. Tada OH = OI. Kadangi, be to, ∠HOK = ∠IOL, kaip vertikaliai, stačiakampiai trikampiai OHK ir OIL yra lygūs, vadinasi, OK = OL. Taigi paaiškėja, kad bet kuris segmentas, esantis tarp dviejų lygiagrečių, yra padalintas pusiau iš vidurinės lygiagretės.

Tegu AB || CD (115 juodraštis). Tarp jų sukonstravę bet kokių atkarpų EF, GH, KI ir tt seką, pagal ankstesnįjį pamatysime, kad šių atkarpų vidurio taškai yra vidurinėje lygiagretėje MN. Apskritai darome tokią išvadą:

Visų galimų atkarpų, esančių tarp dviejų lygiagrečių, vidurio taškų geometrinis lokusas yra vidurinė lygiagretė.

Dėl to atsiranda galimybė dviem duotoms lygiagrečioms tiesėms sudaryti skirtingas vidutinės lygiagrečios tiesės konstrukcijas: 1) galime sudaryti bet kurią atkarpą EF, uždarą tarp dviejų nurodytų lygiagrečių tiesių AB ir CD, padalinti ją pusiau ir nutiesti tiesę MN || AB || CD yra tiesi linija MN ir turėtų tarnauti kaip lygiagretus vidurkis ir turėtų padalinti visus galimus segmentus (pavyzdžiui, GH, KI ir kt.), esančius tarp AB ir CD. 2) Galime sudaryti dvi atkarpas, pavyzdžiui, EH ir KI, esančias tarp AB ir CD, kiekvieną iš jų padalinti pusiau ir per jų vidurio taškus nutiesti tiesę MN – tai turėtų būti vidurinė lygiagretė.

108. Vidurinės lygiagretės savybes pritaikykime pažįstamoms figūroms ir pirmiausia trikampiui.

Turėkime ∆ABC (116 brėžinys). Čia mes tiesiogiai neturime dviejų lygiagrečių, bet visada galime juos gauti, pavyzdžiui, nutiesdami tiesę EF || per viršūnę A. BC (šios tiesės EF negalima nubrėžti brėžinyje, nes ji nevaidina reikšmingo vaidmens ateityje ir užtenka tik žinoti, kad ji egzistuoja). Tada turime du lygiagrečius segmentus BC ir EF ir du segmentus AB ir AC tarp jų. Padalinę juos pusiau taškuose M ir N (AM = MB ir AN = NC) ir nubrėžę tiesę MN per M ir N, gauname vidutinę lygiagrečią MN, t.y. MN || BC (ir || EF, bet tai mums nėra svarbu). Iš to darome išvadą:

tiesi linija, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus, yra lygiagreti jo trečiajai kraštinei.

Vadinamas atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus trikampio vidurio linija. Taigi, mūsų segmentas MN yra mūsų trikampio vidurio linija.

Turėkime ∆ABC (117 brėžinys). Padalinkime kiekvieną jo kraštinę per pusę: tegul M yra AB vidurio taškas (sl. AM = MB), N AC (AN = NC) ir P BC vidurio taškas (BP = PC); Sujungkime taškus M, N ir P su atkarpomis MN, MP ir PN – kiekviena iš šių atkarpų yra mūsų trikampio vidurio linija. Taigi trikampyje yra trys vidurinės linijos.

Pagal ankstesnį, turėsime: MN || BC, MP || AC ir NP || AB. Todėl AMPN, BMNP ir PMNC yra lygiagretainiai. Kadangi lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios, turime: MN = BP (iš lygiagretainio BMNP), bet BP = BC/2 (taškui P yra BC vidurio taškas); todėl MN = BC/2. Taip pat iš lygiagretainio AMPN gauname: MP = AN = AC/2 ir iš lygiagretainio AMPN - PN = AM = AB/2. Iš čia darome išvadą:

kiekviena trikampio, jungiančio jo dviejų kraštinių vidurio taškus, vidurio linija yra lygiagreti trečiajai ir lygi jo pusei.

109. Dabar pereikime prie keturkampių ir pirmiausia sutelkkime dėmesį į tuos keturkampius, kurių dvi kraštinės yra lygiagrečios. Tokius keturkampius įprasta vadinti trapecijomis. Už velnių. 118 pavaizduoti du skirtingi trapecijos tipai: 1) trapecija ABCD, kur BC || AD, bet AB nėra lygiagreti CD - ši trapecija turi plotą (žr. 79 pastraipą) ir 2 trapeciją A"B"C"D", kur A"D" || B"C" - ši trapecija neturi ploto (79 punktas).

Pirmiausia panagrinėkime trapeciją ABCD (brėžinys 118 bis), kurios plotas. Čia BD || A.D. Todėl turime dvi lygiagrečias tieses BC ir AD ir tarp jų atkarpas AB ir CD. Šiuos ruožus padalijus pusiau taškuose M ir N (AM = MB ir CN = ND) ir sujungus tiesia linija MN, gauname BC ir AD vidutinę lygiagrečią MN, t.y. MN || BC || A.D. Šios tiesės atkarpa MN vadinama trapecijos vidurio linija (reikia pridurti: „jungianti nelygiagrečių kraštinių vidurio taškus“, nes trapecijoje, kaip ir bet kuriame keturkampyje, galima laikyti 6 vidurio linijas, kurios atsiranda 110 punktas). Taigi mes gavome tą MN || BC || A.D. Toliau, sukūrę įstrižainę AC, gauname kitą trečią atkarpą AC, įterptą tarp lygiagrečių BC ir AD - jos vidurio taškas (107 punktas) turi būti ant vidurio lygiagrečios, ty taškas P, kuriame MN ir AC susikerta, yra segmentas AC. Todėl MP yra trikampio ABC vidurio linija, o PN yra ∆ACD vidurio linija. Remiantis ankstesniu, turime: MP = BC/2 ir PN = AD/2. Iš čia gauname: MN = MP + PN = BC/2 + AD/2 arba MN = (BC + AD)/2. Taigi,

vidurio linija, jungianti nelygiagrečių trapecijos kraštinių vidurio taškus, kurių plotas yra lygiagreti jos lygiagrečioms kraštinėms ir lygi jų pusinei sumai.

Dabar turime trapeciją ABCD (brėžinys 118 bis), kuri neturi ploto. Čia taip pat BC || AD, taigi M ir N kraštinių AB ir CD vidurio taškai yra lygiagrečiame vidurkyje, ty čia taip pat turime: MN || BC || A.D. Sukūrę įstrižainę AC, gauname atkarpą AC, esančią tarp lygiagrečių BC ir AD, o jos vidurio taškas, taškas P, turi būti vidurinėje lygiagretėje. Todėl PM yra trikampio ABC vidurio linija, todėl PM = BC/2; taip pat PN yra vidurinė linija ∆ABC ir todėl PN = AD/2. Kadangi MN = PN – PM, gauname MN = PN – PM = AD/2 – BC/2 arba MN = (AD – BC) / 2. Taigi,

vidurio linija, jungianti trapecijos, neturinčios ploto, nelygiagrečių kraštinių vidurio taškus, yra lygiagreti jos lygiagrečioms kraštinėms ir lygi jų pusės skirtumui.

110. Turėkime kokį nors keturkampį ABCD (turintį plotą) - (119 brėžinys). Raskime jo kraštinių M, N, P ir Q vidurio taškus ir sujungkime juos poromis. Gauname 6 vidurines keturkampio linijas.

Štai šių vidurinių linijų savybės.

1) Vidurinės linijos, jungiančios viena po kitos einančių keturkampio kraštinių vidurio taškus, sudaro lygiagretainį.

Norėdami išsiaiškinti šią savybę, sukonstruojame įstrižainę AC. Tada iš ∆ABC turime (108 punktas) MN || AC ir iš ∆ACD tuo pačiu pagrindu: PQ || AC, - kitas, MN || P.Q. Sukonstravę kitą įstrižainę BD, jos pagalba nustatome, kad NP || MQ, todėl MNPQ yra lygiagretainis.

2) Keturkampio vidurio linijos, jungiančios priešingų kraštinių vidurio taškus, yra dalijamos per pusę.

Ši savybė dabar akivaizdi, nes MP ir NQ yra lygiagretainio įstrižainės.
Per tiesių MP ir NQ susikirtimo tašką O taip pat eina tiesės, jungiančios įstrižainių AC ir BD vidurio taškus (įstrižainė BD brėžinyje nepateikta). Tai išplaukia iš to, kad AC ir BD yra keturkampio ACBD, neturinčio ploto, kraštinės, kuriai galioja viskas, kas nurodyta šios pastraipos pradžioje.

111. Mes žinojome, kaip (57, 59 paragrafai) padalinti atkarpą per pusę ir, atitinkamai, į 4, į 8 ir apskritai į 2n lygias dalis. Dabar galime padalyti šį segmentą į 3, 5 ir apskritai į bet kokį skaičių lygių dalių.

Pavyzdžiui, atkarpą AB (brėžinys 120) norite padalyti į 5 lygias dalis. Sukurkime savavališką tiesę AC per tašką A (sudarome kampą su AB, kuris skiriasi nuo ištiesinto) ir AC nubraižykime penkias savavališkas, bet lygias atkarpas AE = EF = FG = GH = HO. Pastatykime tiesę OB ir per taškus E, F, G ir H nutiessime tieses EE", FF", GG", HH", lygiagrečias su OB.

Apsvarstykite ∆AFF", nes AE = EF, tada E yra kraštinės AF vidurio taškas, o EE" (tai || FF") yra šio trikampio vidurio linija, todėl AE" = E"F".

Toliau apsvarstykite trapeciją EE"G"G. Kadangi EF = FG, FF" || EE", tada FF" yra trapecijos EE"GG" vidurio linija, todėl E"F" = F"G". Taip pat nustatome, kad GG" yra trapecijos vidurio linija trapecija FF" H"H" ir, atitinkamai, F"G" = G"H" ir tt Sujungus gautas lygybes, randame AE" = E"F" = F"G" = G"H" = H"B “, ty segmentas AB padalintas į 5 lygias dalis.

Iš šios problemos sprendimo galime padaryti tokią išvadą:

Jei vienoje kampo pusėje klosime lygias atkarpas ir per jų galus nutiessime eilę lygiagrečių tiesių, tai kitoje kampo pusėje gausime lygias atkarpas.

Papildymas. Vienoje tiesėje iš eilės klojome vienodus segmentus, pradedant nuo dviejų linijų (120 brėžinio AB ir AC) susikirtimo taško, tačiau tą patį rezultatą galima pasiekti ir kitokiu lygių atkarpų klojimo būdu. 120 bis brėžinyje pateikiami du šios konstrukcijos variantai: tiesėje AD (žr. brėžinį 120 bis kairėje arba dešinėje) nutiesiame du lygius segmentus AB ir CD ir per jų galus statome lygiagrečius AA" || BB " || CC"||DD". Tada paimkite tašką O, atkarpos BC vidurį, ir pastatykite OO" || BB" || CC" || AA" || DD". Tada OO" yra trapecijos BCC"B" vidurio linija; todėl B"O" = O"C (p. 109). Kadangi AB = CD ir BO = OC, tai AO taip pat = OD; todėl OO" yra ir vidurinė trapecijos ADD"A" linija (brėžinyje ant dešinėje ši trapecija PRIDĖTI "A" - neturinti ploto, žr. 109 pastraipą) - ir taip pat A"O" = O"D". Taigi turime A"O" - B"O" = O"D" - O"C" (jei abiejų skirtumų mažumai ir pogrupiai yra vienodi), arba A"B" = C"D". Galimi ir kiti deriniai (pavyzdžiui, dešinės figūros neigiamą CD perkelkite taip, kad taškas C būtų į dešinę nuo tiesių AD ir A susikirtimo taško "D"). Bendra išvada tokia: jei nutiestos dvi tiesios linijos, vienoje iš jų išdėliotos dvi vienodos atkarpos, o per jų galus nutiestos lygiagrečios atkarpos, tai pastarosios taip pat išryškins dvi lygias atkarpas kitoje tiesėje.

112. Pratimai.

Per šio trikampio viršūnes nubrėžiamos tiesės, lygiagrečios jo kraštinėms. Parodykite, kad naujojo trikampio kraštinės yra dvigubai ilgesnės už pateiktojo trikampio kraštines, o pateiktojo trikampio viršūnės yra naujojo trikampio kraštinių vidurio taškai (palyginkite 7 pratimą iš 54 pastraipos).
Sukurkite trikampį, atsižvelgiant į jo trijų kraštinių vidurio taškus.
Sukurkite lygiagretainį, atsižvelgiant į jo trijų kraštinių vidurio taškus.
Yra žinoma (110 punktas), kad keturkampio keturių kraštinių vidurio taškai yra lygiagretainio viršūnės. Kada šis lygiagretainis virsta rombu, kada stačiakampiu, kada kvadratu?
Tiesi linija, jungianti trikampio viršūnę su priešingos kraštinės viduriu (mediana), ir tiesi linija, jungianti kitų dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus, yra tarpusavyje padalintos.
Išplėskime vieną trikampio kraštinę iki atkarpos, lygios šiai kraštinei, o atkarpos galą sujungkime su kitos kraštinės viduriu. Paskutinė jungiamoji linija nupjauna atkarpą, lygią 1/3 šios kraštinės nuo trečiosios trikampio kraštinės. (Sukurkite kitą tiesią liniją, lygiagrečią paskutinei jungiamajai linijai per trikampio viršūnę, esančią priešingoje pusėje, kuri buvo pratęsta).
Jei lygiagretainio ABCD kraštinėje AB išdėstysime atkarpą AM = (1/n)AB (pavyzdžiui, (1/7)AB) ir sujungsime D su M, tai DM taške N susikirs įstrižainę AC taip, kad AN = (1/( n+1))AC (paimtame pavyzdyje (1/8)AC).
Norėdami tai išsiaiškinti, tęsiant AB kraštą, atidėkite BM" = AM ir sujunkite C su M"; tada C"M" || DM, – priimti 111 punktą.

Gomelio mokslinė ir praktinė matematikos, jos pritaikymo ir informacinių technologijų moksleivių konferencija „Paieška“

Mokomasis ir tiriamasis darbas

Centrinės geometrinių figūrų linijos

Morozova Elizaveta

Gomelis 2010 m

Įvadas

1.Vidurinių linijų savybės

2. Trikampis, keturkampis, lygiagretainis

3. Keturkampis, tetraedras. Masės centrai

4. Tetraedras, oktaedras, gretasienis, kubas

Išvada

Naudotos literatūros sąrašas

Taikymas

Įvadas

Geometrija yra neatsiejama bendrosios kultūros dalis, o geometriniai metodai yra pasaulio supratimo įrankis, prisideda prie mokslinių idėjų apie supančią erdvę formavimo, Visatos harmonijos ir tobulumo atradimo. Geometrija prasideda nuo trikampio. Jau du tūkstantmečius trikampis yra geometrijos simbolis, tačiau jis nėra simbolis. Trikampis yra geometrijos atomas. Trikampis yra neišsemiamas – nuolat atrandamos naujos jo savybės. Norėdami kalbėti apie visas žinomas jo savybes, jums reikia apimties, panašios į Didžiosios enciklopedijos tūrį. Norime pakalbėti apie geometrinių figūrų vidurio linijas ir jų savybes.

Mūsų darbas seka teoremų grandinę, apimančią visą geometrijos kursą. Jis prasideda teorema apie trikampio vidurio linijas ir veda prie įdomių tetraedro ir kitų daugiasluoksnių savybių.

Figūros vidurio linija yra atkarpa, jungianti dviejų figūros kraštinių vidurio taškus.

1. Vidurio linijų savybės

Trikampio savybės:

Nubrėžus visas tris vidurines linijas, susidaro 4 vienodi trikampiai, panašūs į pradinį su koeficientu 1/2.

vidurio linija lygiagreti trikampio pagrindui ir lygi jo pusei;

vidurinė linija nupjauna trikampį, panašų į šį, o jo plotas yra ketvirtadalis jo ploto.

Keturkampio savybės:

jei išgaubtame keturkampyje vidurio linija sudaro lygius kampus su keturkampio įstrižainėmis, tai įstrižainės yra lygios.

keturkampio vidurio linijos ilgis yra mažesnis už pusę kitų dviejų kraštinių sumos arba lygus jai, jei šios kraštinės lygiagrečios, ir tik šiuo atveju.

savavališko keturkampio kraštinių vidurio taškai yra lygiagretainio viršūnės.

Jo plotas yra lygus pusei keturkampio ploto, o jo centras yra vidurinių linijų susikirtimo taške. Šis lygiagretainis vadinamas Varinjono lygiagretainiu;

Keturkampio vidurio linijų susikirtimo taškas yra jų bendras vidurio taškas ir dalija atkarpą, jungiančią įstrižainių vidurio taškus. Be to, tai yra keturkampio viršūnių centroidas.

Trapecijos savybės:

vidurio linija lygiagreti trapecijos pagrindams ir lygi jų pusei;

Lygiašonės trapecijos kraštinių vidurio taškai yra rombo viršūnės.

2. Trikampis, keturkampis, lygiagretainis

Prie bet kurio trikampio KLM gali būti pritvirtinti trys vienodi trikampiai AKM, BLK, CLM, kurių kiekvienas kartu su trikampiu KLM sudaro lygiagretainį (1 pav.). Šiuo atveju AK = ML = KB, o viršūnė K yra greta trijų kampų, lygių trims skirtingiems trikampio kampams, iš viso 180°, todėl K yra atkarpos AB vidurys; taip pat L yra atkarpos BC vidurio taškas, o M yra atkarpos CA vidurio taškas. 1 teorema

. Jei sujungsime bet kurio trikampio kraštinių vidurio taškus, gausime keturis vienodus trikampius, kurių vidurinis sudaro lygiagretainį su kiekvienu iš kitų trijų.

Ši formuluotė apima visas tris vidurines trikampio linijas vienu metu. 2 teorema

. Atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus, lygiagreti trečiajai trikampio kraštinei ir lygi jos pusei (žr. 1 pav.).

Būtent ši teorema ir jos priešinga – kad tiesė, lygiagreti pagrindui ir einanti per vienos trikampio kraštinės vidurį, padalija kitą kraštinę pusiau – dažniausiai reikalinga sprendžiant uždavinius.

Iš teoremos apie trikampio vidurio linijas seka trapecijos vidurio linijos savybė (2 pav.), taip pat teoremos apie atkarpas, jungiančias savavališko keturkampio kraštinių vidurio taškus. 3 teorema

. Keturkampio kraštinių vidurio taškai yra lygiagretainio viršūnės. Šio lygiagretainio kraštinės yra lygiagrečios keturkampio įstrižainėms, o jų ilgiai lygūs pusei įstrižainių ilgių.

Iš tikrųjų, jei K ir L yra kraštinių AB ir BC vidurio taškai (3 pav.), tai KL yra trikampio ABC vidurio linija, todėl atkarpa KL lygiagreti įstrižai AC ir lygi jos pusei; jei M ir N yra kraštinių CD ir AD vidurio taškai, tai atkarpa MN taip pat lygiagreti AC ir lygi AC/2. Taigi atkarpos KL ir MN yra lygiagrečios ir lygios viena kitai, vadinasi, keturkampis KLMN yra lygiagretainis.

Dėl 3 teoremos gauname įdomų faktą (4 dalis).. Bet kuriame keturkampyje atkarpos, jungiančios priešingų kraštinių vidurio taškus, yra padalintos per pusę iš susikirtimo taško.

Šiuose atkarpose matomos lygiagretainio įstrižainės (žr. 3 pav.), o lygiagretainyje įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško (šis taškas yra lygiagretainio simetrijos centras).

Matome, kad 3 ir 4 teoremos bei mūsų samprotavimai išlieka teisingi tiek neišgaubtam keturkampiui, tiek savaime besikertančiai keturkampei uždarai laužinei linijai (4 pav.; pastaruoju atveju gali pasirodyti, kad lygiagretainis KLMN yra „išsigimęs“). - taškai K, L, M, N yra toje pačioje tiesėje).

Parodykime, kaip iš 3 ir 4 teoremų galime išvesti pagrindinę teoremą apie trikampio medianas.

Teorema5 . Trikampio medianos susikerta viename taške ir dalijamos iš jo santykiu 2:1 (skaičiuojant nuo viršūnės, iš kurios brėžiama mediana).

Nubrėžkime dvi trikampio ABC medianas AL ir SC. Tegul O yra jų susikirtimo taškas. Neišgaubto keturkampio ABCO kraštinių vidurio taškai yra taškai K, L, M ir N (5 pav.) - lygiagretainio viršūnės, o jo įstrižainių KM ir LN susikirtimo taškas mūsų konfigūracijai bus medianų O susikirtimo taškas. Taigi, AN = NO = OL ir CM = MO = OK, t.y. taškas O padalija kiekvieną medianų AL ir CK santykiu 2:1.

Vietoj medianos SC galėtume atsižvelgti į medianą, nubrėžtą iš viršūnės B, ir įsitikinti, kad ji padalija medianą AL santykiu 2:1, tai yra, ji eina per tą patį tašką O.

3. Keturkampis ir tetraedras. Masės centrai

3 ir 4 teoremos taip pat galioja bet kuriai erdvinei uždarai laužtinei linijai, susidedančiai iš keturių grandžių AB, BC, CD, DA, kurių keturios viršūnės A, B, C, D nėra toje pačioje plokštumoje.

Tokį erdvinį keturkampį galima gauti iškirpus iš popieriaus keturkampį ABCD ir įstrižai jį sulenkus tam tikru kampu (6 pav., a). Aišku, kad trikampių ABC ir ADC vidurio linijos KL ir MN išlieka jų vidurio linijomis ir bus lygiagrečios atkarpai AC ir lygios AC/2. (Čia mes naudojame faktą, kad pagrindinė lygiagrečių tiesių savybė išlieka teisinga erdvei: jei dvi tiesės KL ir MN yra lygiagrečios trečiajai tiesei AC, tai KL ir MN yra toje pačioje plokštumoje ir yra lygiagrečios viena kitai.)

Taigi taškai K, L, M, N yra lygiagretainio viršūnės; Taigi atkarpos KM ir LN susikerta ir dalijamos per pusę susikirtimo taško. Vietoj keturkampio galime kalbėti apie tetraedrą – trikampę piramidę ABCD: jos briaunų AB, AC, CD ir DA vidurio taškai K, L, M, N visada yra toje pačioje plokštumoje. Pjaudami tetraedrą išilgai šios plokštumos (6 pav., b), gauname lygiagretainį KLMN, kurio dvi kraštinės lygiagrečios kraštinei AC ir lygios

AC/2, o kitos dvi lygiagrečios kraštinei BD ir lygios BD/2.

Tą patį lygiagretainį - tetraedro „vidurinį pjūvį“ - galima sukonstruoti kitoms priešingų briaunų poroms. Kiekvienas iš šių trijų lygiagretainių turi bendrą įstrižainę. Šiuo atveju įstrižainių vidurio taškai sutampa. Taigi gauname įdomią išvadą:

6 teorema. Trys atkarpos, jungiančios priešingų tetraedro briaunų vidurio taškus, susikerta viename taške ir juo dalijamos pusiau (7 pav.).

Šis ir kiti aukščiau aptarti faktai natūraliai paaiškinami mechanikos kalba – naudojant masės centro sąvoką. 5 teorema kalba apie vieną iš puikių trikampio taškų – medianų susikirtimo tašką; 6 teoremoje – apie nuostabų tašką keturioms tetraedro viršūnėms. Šie taškai yra atitinkamai trikampio ir tetraedro masės centrai. Pirmiausia grįžkime prie 5 teoremos dėl medianų.

Trikampio viršūnėse pastatykime tris vienodus svarmenis (8 pav.).

Paimkime kiekvieno masę kaip vieną. Raskime šios apkrovos sistemos masės centrą.

Pirmiausia panagrinėkime dvi apkrovas, esančias viršūnėse A ir B: jų masės centras yra atkarpos AB viduryje, todėl šiuos svorius galima pakeisti viena 2 masės apkrova, esančia atkarpos AB viduryje K ( 8 pav., a). Dabar reikia rasti dviejų apkrovų sistemos masės centrą: vienos masės 1 taške C, o antrosios masės 2 taške K. Pagal svirties taisyklę tokios sistemos masės centras yra ties taške C. taškas O, dalijant atkarpą SC santykiu 2:1 (arčiau apkrovos taške K su didesne mase - 8 pav., b).

Pirmiausia galėtume sujungti apkrovas taškuose B ir C, o tada gautą 2 masės apkrovą atkarpos BC viduryje L su apkrova taške A. Arba pirmiausia sujungti apkrovas A ir C, a. tada pridėkite B. Bet kuriuo atveju turėtume gauti tą patį rezultatą. Taigi masės centras yra taške O, kiekvieną medianą dalijant santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Panašiais samprotavimais būtų galima paaiškinti 4 teoremą – tai, kad atkarpos, jungiančios priešingų keturkampio kraštinių vidurio taškus, dalija viena kitą pusiau (tarnauja kaip lygiagretainio įstrižainės): užtenka keturkampio viršūnėse sudėti vienodus svorius ir sujungti. juos poromis dviem būdais (9 pav.).

Žinoma, keturis vienetinius svorius, esančius plokštumoje arba erdvėje (tetraedro viršūnėse), galima padalyti į dvi poras trimis būdais; masės centras yra viduryje tarp atkarpų, jungiančių šias taškų poras, vidurio taškų (10 pav.) – 6 teoremos paaiškinimas. (Plokščiam keturkampiui gautas rezultatas atrodo taip: dvi atkarpos, jungiančios priešingos kraštinės ir atkarpa, jungianti įstrižainių vidurio taškus, susikerta viename taške Oh ir padalija ją pusiau).

Per tašką O - keturių identiškų apkrovų masės centrą - praeina dar keturi segmentai, jungiantys kiekvieną iš jų su kitų trijų masės centru. Šios keturios atkarpos yra padalintos iš taško O santykiu 3:1. Norėdami paaiškinti šį faktą, pirmiausia turite rasti trijų svarmenų masės centrą ir tada pritvirtinti ketvirtąjį.

4. Tetraedras, oktaedras, gretasienis, kubas

Darbo pradžioje žiūrėjome į trikampį, vidurinėmis linijomis padalintą į keturis vienodus trikampius (žr. 1 pav.). Pabandykime tą pačią konstrukciją padaryti savavališkai trikampei piramidei (tetraedrui). Tetraedrą supjaustykime į gabalus taip: per trijų kraštų, išeinančių iš kiekvienos viršūnės, vidurius padarome plokščią pjūvį (11 pav., a). Tada iš tetraedro bus iškirpti keturi identiški maži tetraedrai. Analogiškai su trikampiu galima manyti, kad viduryje būtų dar vienas panašus tetraedras. Bet taip nėra: iš didžiojo tetraedro likęs, pašalinus keturis mažuosius, daugiakampis turės šešias viršūnes ir aštuonis paviršius – jis vadinamas oktaedru (11.6 pav.). Patogus būdas tai patikrinti yra naudoti tetraedro formos sūrio gabalėlį. Gautas oktaedras turi simetrijos centrą, nes priešingų tetraedro kraštų vidurio taškai susikerta bendrame taške ir yra perkirsti per pusę.

Viena įdomi konstrukcija siejama su trikampiu, padalytu vidurinėmis linijomis į keturis trikampius: šią figūrą galime laikyti tam tikro tetraedro raida.

Įsivaizduokime iš popieriaus iškirptą aštrų trikampį. Išlenkus jį išilgai vidurinių linijų taip, kad viršūnės susilietų viename taške, o popieriaus kraštus suklijuojant šioje vietoje susiliejančius, gauname tetraedrą, kuriame visi keturi paviršiai yra lygūs trikampiai; priešingos jo briaunos lygios (12 pav.). Toks tetraedras vadinamas pusiau taisyklingu. Kiekviena iš trijų šio tetraedro „vidurinių atkarpų“ – lygiagretainių, kurių kraštinės lygiagrečios priešingoms briaunoms ir lygios jų pusėms – bus rombas.

Todėl šių lygiagretainių įstrižainės – trys atkarpos, jungiančios priešingų briaunų vidurio taškus – yra statmenos viena kitai. Tarp daugybės pusiau taisyklingo tetraedro savybių atkreipiame dėmesį į tai: kampų, susiliejančių kiekvienoje jo viršūnėje, suma yra lygi 180° (šie kampai atitinkamai lygūs pradinio trikampio kampams). Visų pirma, jei pradedame nuo lygiakraščio trikampio, gauname taisyklingą tetraedrą su

Darbo pradžioje matėme, kad kiekvienas trikampis gali būti laikomas trikampiu, sudarytu iš didesnio trikampio vidurio linijų. Tokiai konstrukcijai tiesioginės analogijos erdvėje nėra. Bet pasirodo, kad bet kuris tetraedras gali būti laikomas gretasienio „šerdimi“, kuriame visos šešios tetraedro briaunos tarnauja kaip veidų įstrižainės. Norėdami tai padaryti, turite atlikti tokią konstrukciją erdvėje. Per kiekvieną tetraedro kraštą nubrėžiame plokštumą, lygiagrečią priešingam kraštui. Plokštumos, nubrėžtos per priešingas tetraedro briaunas, bus lygiagrečios viena kitai (jos yra lygiagrečios „vidurinės pjūvio“ plokštumai - lygiagrečiai, kurių viršūnės yra kitų keturių tetraedro kraštų viduryje). Taip gaunamos trys lygiagrečių plokštumų poros, kurių susikirtimo metu susidaro norimas gretasienis (dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečioji išilgai lygiagrečių tiesių). Tetraedro viršūnės tarnauja kaip keturios negretimos sukonstruoto gretasienio viršūnės (13 pav.). Priešingai, bet kuriame gretasienyje galite pasirinkti keturias ne gretimas viršūnes ir iš jo nupjauti kampinius tetraedrus, kurių plokštumos eina per kiekvieną iš jų. Po to liks „šerdis“ - tetraedras, kurio kraštai yra gretasienio veidų įstrižainės.

Jei pradinis tetraedras yra pusiau taisyklingas, tai kiekvienas sukonstruoto gretasienio paviršius bus lygiagretainis su lygiomis įstrižainėmis, t.y. stačiakampis.

Taip pat yra priešingai: stačiakampio gretasienio „šerdis“ yra pusiau taisyklingas tetraedras. Trys rombai – tokio tetraedro vidurinės dalys – yra trijose viena kitai statmenose plokštumose. Jie tarnauja kaip oktaedro simetrijos plokštumos, gautos iš tokio tetraedro nupjaunant kampus.

Taisyklingo tetraedro atveju aplink jį aprašytas gretasienis bus kubas (14 pav.), o šio kubo paviršių centrai – tetraedro briaunų viduriai – bus taisyklingo oktaedro viršūnės, visos kurių veidai yra taisyklingi trikampiai. (Trys oktaedro simetrijos plokštumos kerta tetraedrą kvadratais.)

Taigi 14 paveiksle iš karto matome tris iš penkių platoniškų kietųjų kūnų (taisyklingųjų daugiakampių) – kubą, tetraedrą ir oktaedrą.

Išvada

Remiantis atliktu darbu, galima padaryti tokias išvadas:

Vidurinės linijos turi įvairių naudingų savybių geometrinėse figūrose.

Vieną teoremą galima įrodyti naudojant figūrų vidurio liniją, taip pat paaiškinti mechanikos kalba - naudojant masės centro sąvoką.

Naudodami vidurio linijas galite konstruoti įvairias planimetrines (lygiagretainis, rombas, kvadratas) ir stereometrines figūras (kubą, oktaedrą, tetraedrą ir kt.).

Vidurio linijų savybės padeda racionaliai išspręsti bet kokio lygio problemas.

Naudotų šaltinių ir literatūros sąrašas

Mėnesinis SSRS mokslų akademijos ir Pedagogikos mokslų akademijos literatūros fizikos ir matematikos populiarinimo žurnalas. „Kvantas Nr.6 1989 p. 46.

S. Aksimova. Linksma matematika. – Sankt Peterburgas, „Trigonas“, 1997 p. 526.

V.V.

Šlykovas, L.E. Zezetko. Praktinės geometrijos pamokos, 10 klasė: vadovas mokytojams - Mn.: TetraSystems, 2004 p.

68,76, 78.

Taikymas

Kodėl trapecijos vidurinė linija negali eiti per įstrižainių susikirtimo tašką?

ABCA 1 B 1 C 1 – taisyklinga trikampė prizmė, kurios visos briaunos yra lygios viena kitai. Taškas O yra briaunos CC 1 vidurys, o taškas F yra briaunoje BB] taip, kad BF: FB X =1:3.

Sukurkite tašką K, kuriame tiesė l, einanti per tašką F, lygiagrečią tiesei AO, kerta plokštumą ABC.

Apskaičiuokite bendrą prizmės paviršiaus plotą, jei KF = 1 cm. figūra Anksčiau. 2. Tai geometrinis Anksčiau. 2. Tai figūra . Tai yra suformuotas uždaro linija. Yra išgaubtų ir neišgaubtų. U figūros yra pusės..., sektorius, rutulys, atkarpa, sinusas, vidurys, vidutinis

linija , santykis, savybė, laipsnis, stereometrija, sekant....

Vadinamas keturkampis, kurio tik dvi kraštinės lygiagrečios priežasčių trapecijos formos pusės Lygiagrečios trapecijos kraštinės vadinamos jos

, ir vadinamos tos kraštinės, kurios nėra lygiagrečios

. Jei kraštinės lygios, tai tokia trapecija yra lygiašonė. Atstumas tarp pagrindų vadinamas trapecijos aukščiu.

Vidurinės linijos trapecija

Vidurinė linija yra atkarpa, jungianti trapecijos kraštinių vidurio taškus. Trapecijos vidurio linija lygiagreti jos pagrindams.

Vidurinės linijos trapecija

Teorema:

Jei tiesė, kertanti vienos kraštinės vidurį, yra lygiagreti trapecijos pagrindams, tai ji dalija antrąją trapecijos kraštinę.
Vidurinės linijos ilgis lygus jos pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui

MN || AB || DC

AM = MD; BN = NC

Vidurinės linijos trapecija

MN vidurio linija, AB ir CD - bazės, AD ir BC - šoninės pusės

MN = (AB + DC)/2 Trapecijos vidurio linijos ilgis lygus jos pagrindų ilgių aritmetiniam vidurkiui.

Pagrindinė užduotis

: Įrodykite, kad trapecijos vidurio linija dalija atkarpą, kurios galai yra trapecijos pagrindų viduryje.
Teorema Vidurinė trikampio linija

Atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus, vadinama trikampio vidurio linija. Jis yra lygiagretus trečiajai pusei, o jo ilgis yra lygus pusei trečiosios kraštinės ilgio.

: Jei tiesė, kertanti vienos trikampio kraštinės vidurio tašką, yra lygiagreti kitai trikampio kraštinei, tada ji dalija trečiąją kraštinę.

AM = MC ir BN = NC =>
Trikampio ir trapecijos vidurio linijos savybių taikymas
Segmento padalijimas į tam tikrą skaičių lygių dalių.
Užduotis: atkarpą AB padalinkite į 5 lygias dalis.
Sujungiame A 5 su B ir per A 4, A 3, A 2 ir A 1 nubrėžiame tokias linijas, kurios yra lygiagrečios A 5 B. Jos kerta AB atitinkamai taškuose B 4, B 3, B 2 ir B 1. Šie taškai padalija atkarpą AB į 5 lygias dalis. Iš tiesų, iš trapecijos BB 3 A 3 A 5 matome, kad BB 4 = B 4 B 3. Lygiai taip pat iš trapecijos B 4 B 2 A 2 A 4 gauname B 4 B 3 = B 3 B 2

Nors iš trapecijos B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Tada iš B 2 AA 2 išeina, kad B 2 B 1 = B 1 A. Apibendrinant gauname:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Aišku, kad atkarpą AB padalyti į kitą lygių dalių skaičių, reikia tiek pat vienodų atkarpų projektuoti į spindulį p. Ir tada tęskite aukščiau aprašytu būdu.

Įvadas

Mūsų darbas seka teoremų grandinę, apimančią visą geometrijos kursą. Jis prasideda teorema apie trikampio vidurio linijas ir veda prie įdomių tetraedro ir kitų daugiasluoksnių savybių.

Figūros vidurio linija yra atkarpa, jungianti dviejų figūros kraštinių vidurio taškus.

Vidurio linijų savybės

Trikampio savybės:

· nubrėžus visas tris vidurines linijas, susidaro 4 vienodi trikampiai, panašūs į pradinį su koeficientu 1/2.

· vidurio linija lygiagreti trikampio pagrindui ir lygi jo pusei;

· vidurinė linija nupjauna į šį panašų trikampį, kurio plotas lygus ketvirtadaliui jo ploto.

Keturkampio savybės:

· jei išgaubtame keturkampyje vidurio linija sudaro lygius kampus su keturkampio įstrižainėmis, tai įstrižainės yra lygios.

· keturkampio vidurio linijos ilgis yra mažesnis už pusę kitų dviejų kraštinių sumos arba lygus jai, jei šios kraštinės lygiagrečios, ir tik šiuo atveju.

· savavališko keturkampio kraštinių vidurio taškai yra lygiagretainio viršūnės. Jo plotas yra lygus pusei keturkampio ploto, o jo centras yra vidurio linijų susikirtimo taške. Šis lygiagretainis vadinamas Varinjono lygiagretainiu;

· Keturkampio vidurio linijų susikirtimo taškas yra jų bendras vidurio taškas ir dalija atkarpą, jungiančią įstrižainių vidurio taškus. Be to, tai yra keturkampio viršūnių centroidas.

Trapecijos savybės:

· vidurio linija lygiagreti trapecijos pagrindams ir lygi jų pusei;

Lygiašonės trapecijos kraštinių vidurio taškai yra rombo viršūnės.

Trikampis, keturkampis, lygiagretainis

1 teorema. Jei sujungsime bet kurio trikampio kraštinių vidurio taškus, gausime keturis vienodus trikampius, kurių vidurinis sudaro lygiagretainį su kiekvienu iš kitų trijų.

Ši formuluotė apima visas tris vidurines trikampio linijas vienu metu.

2 teorema. Atkarpa, jungianti dviejų trikampio kraštinių vidurio taškus, lygiagreti trečiajai trikampio kraštinei ir lygi jos pusei (žr. 1 pav.).

Iš teoremos apie trikampio vidurio linijas seka trapecijos vidurio linijos savybė (2 pav.), taip pat teoremos apie atkarpas, jungiančias savavališko keturkampio kraštinių vidurio taškus.

3 teorema. Keturkampio kraštinių vidurio taškai yra lygiagretainio viršūnės. Šio lygiagretainio kraštinės yra lygiagrečios keturkampio įstrižainėms, o jų ilgiai lygūs pusei įstrižainių ilgių.

Dėl 3 teoremos gauname įdomų faktą (4 dalis).

4 teorema. Bet kuriame keturkampyje atkarpos, jungiančios priešingų kraštinių vidurio taškus, yra padalintos per pusę iš susikirtimo taško.

Šiuose atkarpose matomos lygiagretainio įstrižainės (žr. 3 pav.), o lygiagretainyje įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško (šis taškas yra lygiagretainio simetrijos centras).

Parodykime, kaip iš 3 ir 4 teoremų galime išvesti pagrindinę teoremą apie trikampio medianas.

5 teorema. Trikampio medianos susikerta viename taške ir dalijamos iš jo santykiu 2:1 (skaičiuojant nuo viršūnės, iš kurios brėžiama mediana).

Vietoj medianos SC galėtume atsižvelgti į medianą, nubrėžtą iš viršūnės B, ir įsitikinti, kad ji padalija medianą AL santykiu 2:1, tai yra, ji eina per tą patį tašką O.

3. Keturkampis ir tetraedras. Masės centrai

AC/2, o kitos dvi lygiagrečios kraštinei BD ir lygios BD/2.

6 teorema. Trys atkarpos, jungiančios priešingų tetraedro briaunų vidurio taškus, susikerta viename taške ir juo dalijamos pusiau (7 pav.).

Trikampio viršūnėse pastatykime tris vienodus svarmenis (8 pav.).

Paimkime kiekvieno masę kaip vieną. Raskime šios apkrovos sistemos masės centrą.

Pirmiausia panagrinėkime dvi apkrovas, esančias viršūnėse A ir B: jų masės centras yra atkarpos AB viduryje, todėl šiuos svorius galima pakeisti viena 2 masės apkrova, esančia atkarpos AB viduryje K ( 8 pav., a). Dabar reikia rasti dviejų apkrovų sistemos masės centrą: vienos masės 1 taške C, o antrosios masės 2 taške K. Pagal svirties taisyklę tokios sistemos masės centras yra ties taške C. taškas O, dalijant atkarpą CK santykiu 2:1 (arčiau apkrovos taške K su didesne mase - 8 pav., b).

Pirmiausia galėtume sujungti apkrovas taškuose B ir C, o tada gautą 2 masės apkrovą atkarpos BC viduryje L su apkrova taške A. Arba pirmiausia sujungti apkrovas A ir C, a. tada pridėkite B. Bet kuriuo atveju turėtume gauti tą patį rezultatą. Taigi masės centras yra taške O, kiekvieną medianą dalijant santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Panašiais samprotavimais būtų galima paaiškinti 4 teoremą – tai, kad atkarpos, jungiančios priešingų keturkampio kraštinių vidurio taškus, dalija viena kitą pusiau (jos tarnauja kaip lygiagretainio įstrižainės): užtenka keturkampio viršūnėse sudėti vienodus svarmenis ir sujunkite juos poromis dviem būdais (9 pav.).

4. Tetraedras, oktaedras, gretasienis, kubas

Darbo pradžioje žiūrėjome į trikampį, vidurinėmis linijomis padalintą į keturis vienodus trikampius (žr. 1 pav.). Pabandykime tą pačią konstrukciją padaryti savavališkai trikampei piramidei (tetraedrui). Tetraedrą supjaustykime į gabalus taip: per trijų kraštų, išeinančių iš kiekvienos viršūnės, vidurius padarome plokščią pjūvį (11 pav., a). Tada iš tetraedro bus iškirpti keturi identiški maži tetraedrai. Pagal analogiją su trikampiu galima manyti, kad viduryje būtų dar vienas panašus tetraedras. Bet taip nėra: iš didžiojo tetraedro likęs, pašalinus keturis mažuosius, daugiakampis turės šešias viršūnes ir aštuonis paviršius – jis vadinamas oktaedru (11.6 pav.). Patogus būdas tai patikrinti yra naudoti tetraedro formos sūrio gabalėlį. Gautas oktaedras turi simetrijos centrą, nes priešingų tetraedro kraštų vidurio taškai susikerta bendrame taške ir yra perkirsti per pusę.

Viena įdomi konstrukcija siejama su trikampiu, padalytu vidurinėmis linijomis į keturis trikampius: šią figūrą galime laikyti tam tikro tetraedro raida.

Darbo pradžioje matėme, kad kiekvienas trikampis gali būti laikomas trikampiu, sudarytu iš didesnio trikampio vidurio linijų. Tokiai konstrukcijai tiesioginės analogijos erdvėje nėra. Bet pasirodo, kad bet kuris tetraedras gali būti laikomas gretasienio „šerdimi“, kuriame visos šešios tetraedro briaunos tarnauja kaip veidų įstrižainės. Norėdami tai padaryti, turite atlikti tokią konstrukciją erdvėje. Per kiekvieną tetraedro kraštą nubrėžiame plokštumą, lygiagrečią priešingam kraštui. Plokštumos, nubrėžtos per priešingas tetraedro briaunas, bus lygiagrečios viena kitai (jos yra lygiagrečios „vidurinės pjūvio“ plokštumai - lygiagrečiai, kurių viršūnės yra kitų keturių tetraedro kraštų viduryje). Taip gaunamos trys lygiagrečių plokštumų poros, kurių susikirtimo metu susidaro norimas gretasienis (dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečioji išilgai lygiagrečių tiesių). Tetraedro viršūnės tarnauja kaip keturios negretimos sukonstruoto gretasienio viršūnės (13 pav.). Priešingai, bet kuriame gretasienyje galite pasirinkti keturias ne gretimas viršūnes ir iš jo nupjauti kampinius tetraedrus, kurių plokštumos eina per kiekvieną iš jų. Po to lieka „šerdis“ - tetraedras, kurio kraštai yra gretasienio veidų įstrižainės.

Jei pradinis tetraedras yra pusiau taisyklingas, tai kiekvienas sukonstruoto gretasienio paviršius bus lygiagretainis su lygiomis įstrižainėmis, t.y. stačiakampis.