Kaip matyti iš Furjė serijos teorijos, ji taikoma dirbant su periodinėmis funkcijomis ir funkcijomis su ribotu nepriklausomų kintamųjų kitimo intervalu (kadangi šis intervalas gali būti pratęstas iki visos ašies, periodiškai išplečiant funkciją). Tačiau praktikoje periodinės funkcijos yra gana retos. Ši situacija reikalauja sukurti bendresnį matematinį aparatą, skirtą neperiodinėms funkcijoms valdyti, būtent Furjė integralą ir jo pagrindu Furjė transformaciją.
Laikykime neperiodinę funkciją f(t) kaip periodinės funkcijos, kurios periodas T=2l, riba l®?.
Periodinė funkcija, kurios periodas yra 2l, gali būti pavaizduota Furjė serijos plėtiniu (naudosime jos sudėtingą formą)
kur koeficientų išraiškos yra tokios formos:
Pateikiame tokį dažnių žymėjimą:
Išplėtimą Furjė eilutėje parašykime vienos formulės forma, (1) pakeisdami koeficientų (2) ir dažnio (3) išraišką:
Diskretusis periodinės funkcijos spektras su periodu 2l
Pažymime minimalų atstumą tarp spektro taškų, lygų pagrindiniam virpesių dažniui, t.y.
ir įveskite šį žymėjimą (4):
Šiuo žymėjimu Furjė eilutė primena funkcijos integralią sumą.
Eikite į ribą ties T=2l®? neperiodinei funkcijai, nustatome, kad dažnių intervalas tampa be galo mažas (žymime jį kaip dw), o spektras tampa tolydis. Matematiniu požiūriu tai atitinka sumavimo per diskrečią aibę pakeitimą integravimu per atitinkamą kintamąjį per begalines ribas.
Ši išraiška yra Furjė integralo formulė.
2.2 Furjė transformacijos formulės.
Furjė integralą patogu pavaizduoti kaip dviejų formulių superpoziciją:
Funkcija F(w), palyginama pagal pirmąją funkcijos f(t) formulę, vadinama jos Furjė transformacija. Savo ruožtu vadinama antroji formulė, leidžianti iš jos paveikslėlio rasti pradinę funkciją atvirkštinė Furjė transformacija. Atkreipkime dėmesį į tiesioginės ir atvirkštinės Furjė transformacijų formulių simetriją iki pastovaus koeficiento 1/2p tikslumo ir ženklo eksponente.
Simboliškai tiesioginės ir atvirkštinės Furjė transformacijos bus pažymėtos kaip f(t)~F(w).
Atlikę analogiją su trigonometrine Furjė eilute, galime padaryti išvadą, kad Furjė vaizdas (6) yra Furjė koeficiento analogas (žr. (2)), o atvirkštinė Furjė transformacija (7) yra plėtimosi analogas. funkcijos į trigonometrinę Furjė eilutę (žr. (1) )).
Atkreipkite dėmesį, kad daugiklis, o ne atvirkštinė transformacija, gali būti priskirtas tiesioginei Furjė transformacijai arba sudaryti simetrinius tiesioginės ir atvirkštinės transformacijos veiksnius. Svarbiausia, kad abi transformacijos kartu sudarytų Furjė integralo formulę (5), t.y. pastovių veiksnių sandauga tiesioginės ir atvirkštinės transformacijos metu turi būti lygi.
Atkreipkite dėmesį, kad taikomiesiems tikslams patogesnis yra ne kampinis dažnis w, o dažnis n, susietas su pirmuoju ryšiu w = 2pn. ir matuojamas hercais (Hz). Kalbant apie šį dažnį, Furjė transformacijos formulės atrodys taip:
Suformuluokime be įrodymų pakankamas Furjė transformacijos egzistavimo sąlygas.
- 1) f(t) – ribojamas ties t?(-?,?);
- 2) f(t) – absoliučiai integruojamas t?(-?,?);
- 3) Funkcijos f(t) pertrūkių taškų skaičius, maksimumas ir minimumas yra baigtinis.
Dar viena pakankama sąlyga yra reikalavimas, kad funkcija būtų kvadratiškai integruojama į savo tikrąją ašį, o tai fiziškai atitinka baigtinės signalo galios reikalavimą.
Taigi, naudodami Furjė transformaciją, turime du būdus signalui pavaizduoti: laiką f(t) ir dažnį F(w).
- 2.3 Furjė transformacijos savybės.
- 1. Tiesiškumas.
Jei f(t)~F(w),g(t)~G(w),
tada аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
Įrodymas pagrįstas integralų tiesinėmis savybėmis.
- 2. Paritetas.
- 2.1 Jei f(t) yra tikroji lyginė funkcija, o f(t)~F(w), tai F(w) taip pat yra tikroji lyginė funkcija.
Įrodymas:
Naudodami apibrėžimą (6), taip pat Eulerio formulę, gauname
- - lygiavertė funkcija.
- 2.2 Jei f(t) yra nelyginė tikroji funkcija, tai F(w) yra nelyginė įsivaizduojama funkcija.
2.3 Jei f(t) yra savavališka realioji funkcija, F(w) turi lyginę realiąją dalį ir nelyginę įsivaizduojamą dalį.
Įrodymas:
2 pariteto savybes galima apibendrinti formulėje:
3. Panašumas
Jei f(t)~F(w), tai f(at)~.
- 4. Šališkumas.
- 4.1 Jei f(t)~F(w), tai f(t-a)~.
Tie. laiko delsa atitinka dauginimą iš kompleksinio eksponento dažnio srityje.
4.2 Jei f(t)~F(w), tai ~.
Tie. dažnio poslinkis atitinka dauginimą iš kompleksinio eksponento laiko srityje.
- 5. Jei f(t)~F(w), tada
- 5,1 f’(t)~iwF(w),~
jei f(t) turi n ištisinių išvestinių.
Įrodymas:
jei F(w) turi n ištisinių išvestinių.
Įrodymas:
- 2.4 Svarbiausi Furjė transformacijos radimo pavyzdžiai.
kur yra stačiakampis impulsas
Tuo pačiu metu mes atsižvelgėme į tai, kad tai yra Puasono integralas.
Paskutinio integralo radimas gali būti paaiškintas taip. Integravimo kontūras C yra tiesė kompleksinėje plokštumoje (t,w), lygiagreti realiajai ašiai (w yra pastovus skaičius). Skaliarinės funkcijos integralas uždarame cikle yra lygus nuliui. Sudarome uždarą kilpą, susidedančią iš tiesės C ir tikrosios ašies t, užsidarančios begalybėje. Nes begalybėje integrando funkcija linkusi į nulį, tada integralai išilgai uždarymo kreivių yra lygūs nuliui. Tai reiškia, kad integralas išilgai tiesės C yra lygus integralui, paimtam išilgai tikrosios ašies, einančios teigiama kryptimi.
2 .5 Signalo laiko ir dažnio atvaizdavimo neapibrėžtumo principas.
Naudodamiesi stačiakampio impulso pavyzdžiu, parodysime galiojimą neapibrėžtumo principas susidedantis iš to, kad neįmanoma vienu metu lokalizuoti impulso laike ir padidinti jo dažnio selektyvumą.
Pagal 5), stačiakampio impulso plotis laiko srityje DT yra lygus 2T. Atstumą tarp gretimų centrinės kupros nulių dažnių srityje laikome kaip stačiakampio impulso Furjė vaizdo plotį. Pirmieji funkcijos nuliai yra ties.
Taip gauname
Taigi, kuo labiau impulsas lokalizuotas laike, tuo labiau ištepamas jo spektras. Ir atvirkščiai, norėdami sumažinti spektrą, esame priversti laiku ištempti impulsą. Šis principas galioja bet kokiai impulso formai ir yra universalus.
2.6 Konvoliucija ir jos savybės.
Konvoliucija yra pagrindinė signalo filtravimo procedūra.
Pavadinkime funkciją h(t) neperiodinių funkcijų f(t) ir h(t) konvoliucija, jei ji apibrėžta kaip šis integralas:
Šį faktą simboliškai pažymėsime kaip.
Konvoliucijos operacija turi šias savybes.
- 1. Komutatyvumas.
Komutatyvumo įrodymą galima gauti pakeitus kintamąjį t-t=t’
- 2. Asociatyvumas
Įrodymas:
- 3. Paskirstymas
Šios savybės įrodymas tiesiogiai išplaukia iš tiesinių integralų savybių.
Signalų apdorojimui Furjė metodu (po Furjė transformacijos formulių) svarbiausia yra konvoliucijos teoremos. Vietoj w naudosime dažnį n, nes konvoliucijos teoremos šiame vaizde bus abipusiai apverčiamos.
2.7 Konvoliucijos teoremos
Pirmoji konvoliucijos teorema.
Tiesioginės funkcijų sandaugos Furjė transformacija yra lygi transformacijų konvoliucijai
Įrodymas:
Tegul tada būna. Naudodami atvirkštinės Furjė transformacijos apibrėžimą ir pakeitę integravimo tvarką, gauname:
Kalbant apie kampinį dažnį w, ši teorema turi mažiau universalią formą
Antroji konvoliucijos teorema.
Funkcijų konvoliucijos Furjė transformacija lygi tiesioginei transformacijų sandaugai.
Įrodymas:
Pavyzdžiui, apsvarstykite stačiakampio impulso konvoliuciją
Pagal sąlygą f(t)=0 ties t<-T и приt>T. Panašiai f(t-t)=0 už
t-t<-T и при t-t>T, t.y. att>t+T ir att prie -2T Sujungus abu atvejus, gauname konvoliucijos išraišką: Taigi, stačiakampio impulso konvoliucija su savimi bus trikampis impulsas (kartais ši funkcija vadinama L funkcija). Naudodamiesi konvoliucijos teorema, galime lengvai gauti L funkcijos Furjė transformaciją Praktiškai fizinės situacijos atitinka funkcijas, lygias nuliui ties t<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. Raskite funkcijų f(t) ir g(t) konvoliuciją nes f(t)=0 att<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>t. Įveskime dviejų funkcijų f(t) ir g(t) tarpusavio koreliacijos sąvoką. kur t yra laiko poslinkis, kuris nuolat kinta intervale (-?,?). Svarbi sąvoka yra funkcijos koreliacija su savimi, kuri vadinama autokoreliacija. Pereikime prie signalo galios ir energijos sąvokos. Šių sąvokų svarba paaiškinama tuo, kad bet koks informacijos perdavimas iš tikrųjų yra energijos perdavimas. Apsvarstykite savavališką kompleksinį signalą f(t). Momentinė signalo galia p(t) nustatoma lygybe Bendra energija lygi momentinės galios integralui per visą signalo egzistavimo laikotarpį: Signalo galia taip pat gali būti laikoma dažnio funkcija. Šiuo atveju momentinė dažnio galia žymima kaip. Bendra signalo energija apskaičiuojama pagal formulę Bendra signalo energija neturėtų priklausyti nuo pasirinkto vaizdo. Bendros energijos vertės, apskaičiuotos pagal laiko ir dažnio parodymus, turi sutapti. Todėl, sulyginę dešiniąsias puses, gauname lygybę: Ši lygybė sudaro Parsevalio teoremos neperiodiniams signalams turinį. Griežtas šios teoremos įrodymas bus pateiktas studijuojant temą „Apibendrintos funkcijos“. Panašiai išreiškę dviejų skirtingų signalų f(t) ir g(t) sąveikos energiją laiko ir dažnio vaizdavimu, gauname: Išsiaiškinkime Parsevalio teoremos matematinę reikšmę. Matematiniu požiūriu integralas yra funkcijų f(t) ir g(t) skaliarinė sandauga, žymima (f,g). Dydis vadinamas funkcijos f(t) norma ir žymimas kaip. Todėl iš Parsevalio teoremos išplaukia, kad skaliarinė sandauga yra nekintama Furjė transformacijos sąlygomis, t.y. Momentinė signalo galia, laikoma dažnio funkcija, t.y. , turi dar vieną visuotinai priimtą pavadinimą – galios spektrą. Galios spektras yra pagrindinis matematinis spektrinės analizės įrankis, leidžiantis nustatyti signalo dažninę sudėtį. Be signalo galios spektro, praktiškai naudojami amplitudės ir fazės spektrai, atitinkamai apibrėžiami taip: Signalo galios spektro tankis f(t) lygus autokoreliacijos funkcijos Furjė transformacijai Kryžminių spektrinių signalų f(t) ir g(t) tankis lygus koreliacijos funkcijos Furjė transformacijai. Abu teiginiai gali būti sujungti į vieną: Spektro tankis lygus koreliacijos funkcijos Furjė transformacijai. Įrodymas bus pateiktas vėliau, pristačius apibendrintos funkcijos sampratą. Furjė transformacija yra transformacija, susiejanti funkcijas su tam tikru realiu kintamuoju. Ši operacija atliekama kiekvieną kartą, kai suvokiame skirtingus garsus. Ausis atlieka automatinį „skaičiavimą“, kurį mūsų sąmonė gali atlikti tik išstudijavusi atitinkamą aukštosios matematikos skyrių. Žmogaus klausos organas sukuria transformaciją, dėl kurios garsas (sąlyginių dalelių svyruojantis judėjimas elastingoje terpėje, kurios bangos pavidalu sklinda kietoje, skystoje ar dujinėje terpėje) pateikiamas nuoseklių garsumo lygių spektro pavidalu. įvairaus aukščio tonų. Po to smegenys šią informaciją paverčia pažįstamu garsu. Garso bangų ar kitų virpesių procesų transformacija (nuo šviesos spinduliuotės ir vandenyno potvynių iki žvaigždžių ar saulės aktyvumo ciklų) taip pat gali būti atliekama naudojant matematinius metodus. Taigi, naudojant šiuos metodus, galima išplėsti funkcijas, vaizduojant svyravimo procesus kaip sinusoidinių komponentų rinkinį, ty banguotas kreives, kurios juda nuo minimumo iki maksimumo, tada atgal į minimumą, kaip jūros banga. Furjė transformacija yra transformacija, kurios funkcija apibūdina kiekvienos sinusoidės fazę arba amplitudę, atitinkančią tam tikrą dažnį. Fazė žymi kreivės pradžios tašką, o amplitudė – jos aukštį. Furjė transformacija (pavyzdžiai pateikti nuotraukoje) yra labai galingas įrankis, naudojamas įvairiose mokslo srityse. Kai kuriais atvejais jis naudojamas kaip gana sudėtingų lygčių, apibūdinančių dinaminius procesus, atsirandančius veikiant šviesai, šiluminei ar elektros energijai, sprendimo priemonė. Kitais atvejais tai leidžia nustatyti reguliarius komponentus sudėtinguose vibraciniuose signaluose, kurių dėka galite teisingai interpretuoti įvairius eksperimentinius chemijos, medicinos ir astronomijos stebėjimus. Pirmasis asmuo, kuris panaudojo šį metodą, buvo prancūzų matematikas Jeanas Baptiste'as Furjė. Vėliau jo vardu pavadinta transformacija iš pradžių buvo naudojama šilumos laidumo mechanizmui apibūdinti. Fourier visą savo suaugusiojo gyvenimą tyrinėjo šilumos savybes. Jis padarė didžiulį indėlį į matematinę algebrinių lygčių šaknų nustatymo teoriją. Fourier buvo Politechnikos mokyklos analizės profesorius, Egiptologijos instituto sekretorius ir tarnavo imperatoriškoje tarnyboje, kurioje pasižymėjo tiesiant kelią į Turiną (jo vadovaujamas daugiau nei 80 tūkst. kvadratinių kilometrų maliarinės pelkės buvo nusausintos). Tačiau visa ši energinga veikla nesutrukdė mokslininkui užsiimti matematine analize. 1802 m. jis išvedė lygtį, apibūdinančią šilumos sklidimą kietose medžiagose. 1807 m. mokslininkas atrado šios lygties sprendimo metodą, kuris buvo vadinamas „Furjė transformacija“. Mokslininkas matematiniu metodu apibūdino šilumos laidumo mechanizmą. Patogus pavyzdys, kuriame nėra sunkumų apskaičiuojant, yra šiluminės energijos sklidimas išilgai geležies žiedo, viena dalis panardinta į ugnį. Norėdamas atlikti eksperimentus, Furjė dalį šio žiedo įkaitino iki raudonumo ir įkasė į smulkų smėlį. Po to jis matavo temperatūrą priešingoje jo dalyje. Iš pradžių šilumos pasiskirstymas yra netolygus: dalis žiedo yra šalta, o kita - karšta, tarp šių zonų galima stebėti staigų temperatūros gradientą. Tačiau šilumai pasklidus per visą metalo paviršių, jis tampa vienodesnis. Taigi, netrukus šis procesas įgauna sinusoidės formą. Pirma, grafikas sklandžiai didėja ir lygiai taip pat sklandžiai mažėja, tiksliai pagal kosinuso arba sinuso funkcijos kitimo dėsnius. Banga palaipsniui išsilygina ir dėl to temperatūra tampa vienoda visame žiedo paviršiuje. Šio metodo autorius pasiūlė, kad pradinis netaisyklingas pasiskirstymas gali būti visiškai suskaidytas į keletą elementariųjų sinusoidų. Kiekvienas iš jų turės savo fazę (pradinę padėtį) ir savo temperatūros maksimumą. Be to, kiekvienas toks komponentas keičiasi nuo mažiausio iki didžiausio ir grįžta atgal visą žiedą sveikuoju skaičiumi. Komponentas, turintis vieną periodą, buvo vadinamas pagrindine harmonika, o reikšmė su dviem ar daugiau periodų buvo vadinama antruoju ir pan. Taigi matematinė funkcija, apibūdinanti temperatūros maksimumą, fazę arba padėtį, vadinama pasiskirstymo funkcijos Furjė transformacija. Mokslininkas vieną komponentą, kurį sunku apibūdinti matematiškai, sumažino iki lengvai naudojamo įrankio – kosinuso ir sinuso eilučių, kurios kartu suteikia pradinį skirstinį. Taikydamas šią analizę šilumos sklidimo per kietą objektą, turintį žiedo formą, transformacijai, matematikas samprotavo, kad padidinus sinusinio komponento periodus, jis greitai susilpnėtų. Tai aiškiai matyti pagrindinėje ir antrojoje harmonikoje. Pastarajame temperatūra maksimalią ir mažiausią reikšmes pasiekia du kartus per vieną praėjimą, o pirmajame - tik vieną kartą. Pasirodo, šilumos įveiktas atstumas antrojoje harmonikoje bus perpus mažesnis nei pagrindinėje. Be to, antrosios nuolydis taip pat bus dvigubai statesnis nei pirmojo. Vadinasi, kadangi intensyvesnis šilumos srautas nukeliauja dvigubai trumpesnį atstumą, ši harmonika, priklausomai nuo laiko, nyks keturis kartus greičiau nei pagrindinė. Vėlesniuose šis procesas vyks dar greičiau. Matematikas manė, kad šis metodas leidžia apskaičiuoti pradinės temperatūros pasiskirstymo laikui bėgant procesą. Furjė transformacijos algoritmas metė iššūkį to meto matematikos teoriniams pagrindams. Devynioliktojo amžiaus pradžioje žymiausi mokslininkai, įskaitant Lagrandžą, Laplasą, Puasoną, Legendrą ir Biotą, nepriėmė jo teiginio, kad pradinis temperatūros pasiskirstymas yra suskaidytas į komponentus pagrindinės harmonikos ir aukštesnių dažnių pavidalu. Tačiau Mokslų akademija negalėjo ignoruoti matematiko gautų rezultatų ir skyrė jam premiją už šilumos laidumo dėsnių teoriją, taip pat jos palyginimą su fizikiniais eksperimentais. Furjė metodu pagrindinis prieštaravimas kilo dėl to, kad nepertraukiamoji funkcija yra vaizduojama kelių tolydių sinusoidinių funkcijų suma. Juk jie apibūdina tiesių ir lenktų linijų laužymą. Mokslininko amžininkai niekada nebuvo susidūrę su panašia situacija, kai nenutrūkstamosios funkcijos buvo apibūdinamos ištisinių, tokių kaip kvadratinė, tiesinė, sinusinė ar eksponentinė, deriniu. Jei matematikas buvo teisus savo teiginiuose, tai begalinės trigonometrinės funkcijos serijos suma turėtų būti sumažinta iki tikslios žingsninės funkcijos. Tuo metu toks pareiškimas atrodė absurdiškas. Tačiau, nepaisant abejonių, kai kurie tyrinėtojai (pavyzdžiui, Claude'as Navieras, Sophie Germain) išplėtė savo tyrimų apimtį ir peržengė šiluminės energijos pasiskirstymo analizę. Tuo tarpu matematikus ir toliau kankino klausimas, ar kelių sinusoidinių funkcijų suma gali būti sumažinta iki tikslaus nenuoseklios funkcijos. Ši teorija vystėsi per du šimtmečius ir šiandien pagaliau susiformavo. Jo pagalba erdvinės arba laiko funkcijos skirstomos į sinusoidinius komponentus, kurie turi savo dažnį, fazę ir amplitudę. Ši transformacija gaunama dviem skirtingais matematiniais metodais. Pirmasis iš jų naudojamas tuo atveju, kai pradinė funkcija yra ištisinė, o antrasis, kai ją reprezentuoja daug atskirų individualių pakeitimų. Jei išraiška gaunama iš reikšmių, kurios apibrėžiamos atskirais intervalais, tada ją galima suskirstyti į keletą sinusoidinių išraiškų su diskrečiu dažniu - nuo žemiausio, o po to du, tris kartus ir tt virš pagrindinio. Ši suma paprastai vadinama Furjė eilute. Jei pradinei išraiškai suteikiama kiekvieno realaus skaičiaus reikšmė, tada ją galima išskaidyti į keletą visų galimų dažnių sinusoidų. Paprastai jis vadinamas Furjė integralu, o sprendimas reiškia integralines funkcijos transformacijas. Nepriklausomai nuo to, kaip gaunamas konvertavimas, kiekvienam dažniui turi būti nurodyti du skaičiai: amplitudė ir dažnis. Šios reikšmės išreiškiamos kaip viena sudėtingų kintamųjų išraiškų teorija kartu su Furjė transformacija leido atlikti skaičiavimus projektuojant įvairias elektros grandines, analizuojant mechaninius virpesius, tiriant bangų sklidimo mechanizmą ir kt. Šiais laikais šio proceso tyrimas daugiausia susijęs su veiksmingų metodų, kaip pereiti nuo funkcijos prie jos transformuotos formos ir atgal, paieška. Šis sprendimas vadinamas tiesiogine ir atvirkštine Furjė transformacija. Ką tai reiškia? Norėdami atlikti tiesioginę Furjė transformaciją, galite naudoti matematinius metodus, taip pat galite naudoti analitinius. Nepaisant to, kad naudojant juos praktiškai kyla tam tikrų sunkumų, dauguma integralų jau buvo rasti ir įtraukti į matematinius žinynus. Naudodami skaitmeninius metodus galite apskaičiuoti išraiškas, kurių forma pagrįsta eksperimentiniais duomenimis, arba funkcijas, kurių integralų lentelėse trūksta ir kurias sunku pateikti analitine forma. Prieš atsirandant kompiuterinėms technologijoms, tokių transformacijų skaičiavimai buvo labai varginantys, todėl reikėjo atlikti daugybę aritmetinių operacijų, kurios priklausė nuo bangos funkciją apibūdinančių taškų skaičiaus. Kad būtų lengviau atlikti skaičiavimus, šiandien yra specialių programų, kurios leidžia įdiegti naujas. Taigi 1965 m. James Cooley ir John Tukey sukūrė programinę įrangą, kuri tapo žinoma kaip „greitasis Furjė transformavimas“. Tai leidžia sutaupyti skaičiavimo laiką sumažinant daugybos skaičių analizuojant kreivę. Greitasis Furjė transformacijos metodas pagrįstas kreivės padalijimu į daugybę vienodų imties verčių. Atitinkamai, padauginimų skaičius sumažinamas perpus, tuo pačiu sumažinant taškų skaičių. Šis procesas taikomas įvairiose mokslo srityse: fizikoje, signalų apdorojime, kombinatorikoje, tikimybių teorijoje, kriptografijoje, statistikoje, okeanologijoje, optikoje, akustikoje, geometrijoje ir kt. Turtingos jo taikymo galimybės yra pagrįstos daugybe naudingų savybių, kurios vadinamos „Furjė transformacijos savybėmis“. Pažiūrėkime į juos. 1. Funkcijos transformacija yra tiesinis operatorius ir, tinkamai normalizavus, yra vienetinis. Ši savybė yra žinoma kaip Parsevalio teorema arba apskritai Plancherelio teorema arba Pontriagino dualizmas. 2. Transformacija yra grįžtama. Be to, atvirkštinis rezultatas turi beveik tokią pačią formą kaip ir tiesioginis sprendimas. 3. Sinusoidinės pagrindinės išraiškos yra jų pačių diferencijuotos funkcijos. Tai reiškia, kad toks vaizdavimas su pastoviu koeficientu keičiasi į įprastus algebrinius. 4. Pagal konvoliucijos teoremą, šis procesas sudėtingą veiksmą paverčia elementariuoju daugyba. 5. Diskrečiąją Furjė transformaciją galima greitai apskaičiuoti kompiuteryje naudojant „greitąjį“ metodą. 1. Dažniausiai šis terminas vartojamas apibūdinti nenutrūkstamą transformaciją, kuri suteikia bet kokią kvadratinę integruojamą išraišką kaip sudėtingų eksponentinių išraiškų su specifiniais kampiniais dažniais ir amplitudėmis sumą. Šis tipas turi keletą skirtingų formų, kurios gali skirtis pastoviais koeficientais. Tęstinis metodas apima konvertavimo lentelę, kurią galima rasti matematinėse žinynuose. Apibendrintas atvejis yra trupmeninė transformacija, per kurią tam tikras procesas gali būti padidintas iki reikiamos realiosios galios. 2. Tęstinis metodas yra ankstesnės Furjė eilučių technikos apibendrinimas, apibrėžtas įvairioms periodinėms funkcijoms arba išraiškoms, kurios egzistuoja ribotame regione ir pateikiamos kaip sinusoidų serijos. 3. Diskretinė Furjė transformacija. Šis metodas naudojamas kompiuterinėse technologijose moksliniams skaičiavimams ir skaitmeniniam signalų apdorojimui. Norint atlikti tokio tipo skaičiavimus, vietoj ištisinių Furjė integralų reikia turėti funkcijas, kurios apibrėžia atskirus taškus, periodines arba ribojamas sritis diskrečioje aibėje. Signalo transformacija šiuo atveju vaizduojama kaip sinusoidų suma. Tuo pačiu metu „greito“ metodo naudojimas leidžia naudoti atskirus bet kokių praktinių problemų sprendimus. 4. Langinė Furjė transformacija yra apibendrinta klasikinio metodo forma. Skirtingai nuo standartinio sprendimo, kai jis naudojamas visame tam tikro kintamojo egzistavimo diapazone, čia ypač domina tik vietinis dažnio pasiskirstymas, jei išsaugomas pradinis kintamasis (laikas). 5. Dvimatė Furjė transformacija. Šis metodas naudojamas dirbant su dvimačiais duomenų masyvais. Tokiu atveju transformacija pirmiausia atliekama viena kryptimi, o paskui kita. Šiandien Furjė metodas yra tvirtai įsitvirtinęs įvairiose mokslo srityse. Pavyzdžiui, 1962 m. DNR dvigubos spiralės forma buvo atrasta naudojant Furjė analizę kartu su pastarąja, sutelkiant dėmesį į DNR skaidulų kristalus, dėl to vaizdas, gautas difrakcuojant spinduliuotę, buvo užfiksuotas juostoje. Šiame paveikslėlyje buvo pateikta informacija apie amplitudės reikšmę naudojant Furjė transformaciją į tam tikrą kristalų struktūrą. Fazės duomenys buvo gauti lyginant DNR difrakcijos žemėlapį su žemėlapiais, gautais analizuojant panašias chemines struktūras. Dėl to biologai atkūrė kristalinę struktūrą – pirminę funkciją. Furjė transformacijos vaidina didžiulį vaidmenį tiriant kosmosą, puslaidininkių ir plazmos fiziką, mikrobangų akustiką, okeanografiją, radarą, seismologiją ir medicininius tyrimus. Manau, kad visi žino, kad egzistuoja toks nuostabus matematinis įrankis kaip Furjė transformacija. Tačiau universitetuose kažkodėl taip prastai dėstoma, kad palyginti mažai žmonių supranta, kaip ši transformacija veikia ir kaip ją reikia teisingai panaudoti. Tuo tarpu šios transformacijos matematika yra stebėtinai graži, paprasta ir elegantiška. Kviečiu visus sužinoti šiek tiek daugiau apie Furjė transformaciją ir su ja susijusią temą, kaip analoginius signalus galima efektyviai konvertuoti į skaitmeninius signalus skaičiavimo apdorojimui. Nenaudodamas sudėtingų formulių ir Matlab, pabandysiu atsakyti į šiuos klausimus: Remsiuosi prielaida, kad skaitytojas supranta, kas yra integralas, kompleksinis skaičius (taip pat jo modulis ir argumentas), funkcijų konvoliucija ir bent jau „praktinis“ supratimas apie tai, kas yra Dirako delta funkcija. yra. Jei nežinote, ne problema, perskaitykite aukščiau pateiktas nuorodas. Visame šiame tekste sakydamas „funkcijų sandauga“ turiu omenyje „taškinį dauginimą“. Turbūt turėtume pradėti nuo to, kad įprasta Furjė transformacija yra kažkoks dalykas, kuris, kaip galima atspėti iš pavadinimo, paverčia vieną funkciją kita, tai yra, kiekvieną tikrojo kintamojo x(t) funkciją susieja su jo spektras arba Furjė vaizdas y (w): Jei pateikiame analogijas, tai panašaus reikšme transformacijos pavyzdys gali būti, pavyzdžiui, diferenciacija, funkcijos pavertimas jos išvestiniu. Tai reiškia, kad Furjė transformacija iš esmės yra ta pati operacija, kaip ir išvestinė, ir ji dažnai žymima panašiai, nubrėžiant trikampę „dangtelį“ virš funkcijos. Tik priešingai nei diferencijavimas, kuris taip pat gali būti apibrėžtas tikriesiems skaičiams, Furjė transformacija visada „veikia“ su bendresniais kompleksiniais skaičiais. Dėl šios priežasties nuolat kyla problemų atvaizduojant šios transformacijos rezultatus, nes kompleksiniai skaičiai nustatomi ne viena, o dviem koordinatėmis grafike, veikiančiame su realiaisiais skaičiais. Patogiausia, kaip taisyklė, kompleksinius skaičius pavaizduoti modulio ir argumento pavidalu ir nubrėžti juos atskirai kaip du atskirus grafikus: Kompleksinės reikšmės argumento grafikas šiuo atveju dažnai vadinamas „fazės spektru“, o modulio grafikas dažnai vadinamas „amplitudės spektru“. Amplitudės spektras paprastai yra daug didesnis, todėl dažnai praleidžiama "fazinė" spektro dalis. Šiame straipsnyje mes taip pat sutelksime dėmesį į „amplitudės“ dalykus, tačiau neturėtume pamiršti apie trūkstamos grafiko fazės dalies egzistavimą. Be to, vietoj įprasto kompleksinės reikšmės modulio dažnai brėžiamas jo dešimtainis logaritmas, padaugintas iš 10. Rezultatas yra logaritminis grafikas, kurio reikšmės rodomos decibelais (dB). Atkreipkite dėmesį, kad ne itin neigiami skaičiai logaritminėje diagramoje (-20 dB arba mažiau) atitinka beveik nulį „normalios“ grafiko skaičiai. Todėl ilgos ir plačios įvairių spektrų „uodegos“ tokiuose grafikuose, rodomos „įprastomis“ koordinatėmis, kaip taisyklė, praktiškai išnyksta. Tokio iš pirmo žvilgsnio keisto vaizdavimo patogumas kyla dėl to, kad įvairių funkcijų Furjė vaizdinius dažnai reikia padauginti tarpusavyje. Taip taškiškai dauginant kompleksinės vertės Furjė vaizdus, pridedami jų fazių spektrai, o jų amplitudės spektrai padauginami. Pirmasis yra lengvas, o antrasis yra gana sunkus. Tačiau amplitudės logaritmai sumuojasi dauginant amplitudes, todėl logaritminės amplitudės grafikus, kaip ir fazių grafikus, galima tiesiog pridėti taškiškai. Be to, sprendžiant praktines problemas, dažnai patogiau veikti ne signalo „amplitude“, o jo „galia“ (amplitudės kvadratu). Logaritminėje skalėje abu grafikai (amplitudė ir galia) atrodo identiški ir skiriasi tik koeficientu – visos galios grafiko reikšmės yra lygiai dvigubai didesnės nei amplitudės skalėje. Atitinkamai, norėdami nubraižyti galios pasiskirstymą pagal dažnį (decibelais), negalite nieko kvadratuoti, o apskaičiuoti dešimtainį logaritmą ir padauginti jį iš 20. Ar tau nuobodu? Palaukite dar šiek tiek, netrukus baigsime nuobodžią straipsnio dalį, paaiškinančią, kaip interpretuoti grafikus :). Tačiau prieš tai reikia suprasti vieną nepaprastai svarbų dalyką: nors visi aukščiau pateikti spektro grafikai buvo sudaryti tam tikriems ribotiems reikšmių diapazonams (ypač teigiamiems skaičiams), visi šie grafikai iš tikrųjų tęsiasi iki begalybės pliuso ir minuso. Grafikai tiesiog vaizduoja kokią nors „prasmingiausią“ grafiko dalį, kuri paprastai atspindima neigiamoms parametro reikšmėms ir dažnai kartojama periodiškai su tam tikru žingsniu, kai žiūrima didesniu mastu. Nusprendę, kas nupiešta grafikuose, grįžkime prie pačios Furjė transformacijos ir jos savybių. Yra keletas skirtingų būdų, kaip apibrėžti šią transformaciją, kurios skiriasi mažomis detalėmis (skirtingi normalizavimai). Pavyzdžiui, mūsų universitetuose kažkodėl dažnai naudojamas Furjė transformacijos normalizavimas, kuris apibrėžia spektrą kampiniu dažniu (radianais per sekundę). Naudosiu patogesnę vakarietišką formulę, kuri apibrėžia spektrą įprastu dažniu (hercais). Tiesioginės ir atvirkštinės Furjė transformacijos šiuo atveju nustatomos pagal formules kairėje, o kai kurios šios transformacijos savybės, kurių mums prireiks, nustatomos septynių taškų sąrašu dešinėje: Pirmoji iš šių savybių yra tiesiškumas. Jei imsime tam tikrą tiesinį funkcijų derinį, tai šios kombinacijos Furjė transformacija bus tokia pati tiesinė šių funkcijų Furjė vaizdų kombinacija. Ši savybė leidžia sudėtingas funkcijas ir jų Furjė vaizdus sumažinti iki paprastesnių. Pavyzdžiui, sinusinės funkcijos Furjė transformacija, kurios dažnis f ir amplitudė a yra dviejų delta funkcijų, esančių taškuose f ir -f ir su koeficientu a/2, derinys: Jei imsime funkciją, susidedančią iš skirtingų dažnių sinusoidų aibės sumos, tai pagal tiesiškumo savybę šios funkcijos Furjė transformaciją sudarys atitinkamas delta funkcijų rinkinys. Tai leidžia pateikti naivią, bet vaizdingą spektro interpretaciją pagal principą „jei funkcijos spektre dažnis f atitinka amplitudę a, tai pradinė funkcija gali būti pavaizduota kaip sinusoidų suma, iš kurių viena bus sinusoidė, kurios dažnis f ir amplitudė 2a. Griežtai tariant, toks aiškinimas yra neteisingas, nes delta funkcija ir taškas grafike yra visiškai skirtingi dalykai, tačiau, kaip matysime vėliau, diskrečioms Furjė transformacijoms tai nebus taip toli nuo tiesos. Antroji Furjė transformacijos savybė yra amplitudės spektro nepriklausomumas nuo signalo laiko poslinkio. Jei funkciją perkelsime į kairę arba dešinę išilgai x ašies, pasikeis tik jos fazių spektras. Trečioji savybė yra ta, kad pradinės funkcijos ištempimas (suspaudimas) išilgai laiko ašies (x) proporcingai suspaudžia (ištempia) jos Furjė vaizdą išilgai dažnio skalės (w). Visų pirma, baigtinės trukmės signalo spektras visada yra be galo platus ir, atvirkščiai, baigtinio pločio spektras visada atitinka neribotos trukmės signalą. Ketvirtoji ir penktoji savybės yra bene naudingiausios iš visų. Jie leidžia sumažinti funkcijų konvoliuciją iki taškinio Furjė vaizdų dauginimo ir atvirkščiai - taškinio funkcijų dauginimo iki Furjė vaizdų konvoliucijos. Šiek tiek toliau parodysiu, kaip tai patogu. Šeštoji savybė kalba apie Furjė vaizdų simetriją. Konkrečiai, iš šios savybės išplaukia, kad tikrosios vertės funkcijos Furjė transformacijoje (t. y. bet kokio „tikrojo“ signalo) amplitudės spektras visada yra lyginė funkcija, o fazių spektras (jei jis nukreipiamas į diapazoną -pi). ...pi) yra nelyginis . Būtent dėl šios priežasties neigiama spektro dalis beveik niekada nebraižoma spektro grafikuose – realios vertės signalams ji nesuteikia jokios naujos informacijos (bet, kartoju, ji irgi nėra nulis). Galiausiai, paskutinė, septintoji savybė, sako, kad Furjė transformacija išsaugo signalo „energiją“. Tai reikšminga tik baigtinės trukmės signalams, kurių energija yra baigtinė, ir leidžia manyti, kad tokių signalų spektras begalybėje greitai artėja prie nulio. Būtent dėl šios savybės spektro grafikai dažniausiai vaizduoja tik „pagrindinę“ signalo dalį, kuri neša liūto dalį energijos - likusi grafiko dalis tiesiog linkusi į nulį (bet vėlgi, nėra nulis). Apsiginklavę šiomis 7 savybėmis, pažvelkime į signalo „skaitmenizavimo“ matematiką, leidžiančią ištisinį signalą paversti skaičių seka. Norėdami tai padaryti, turime naudoti funkciją, žinomą kaip „Dirac šukos“: „Dirac“ šukos yra tiesiog periodinė delta funkcijų seka su vienybės koeficientu, pradedant nuo nulio ir tęsiant žingsniu T. Signalų skaitmeninimui T pasirenkamas kuo mažesnis skaičius, T.<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: Vietoj tolydžios funkcijos po tokio dauginimo gaunama tam tikro aukščio delta impulsų seka. Be to, pagal Furjė transformacijos savybę 5, gauto diskretiško signalo spektras yra pradinio spektro su atitinkamomis Dirako šukomis konvoliucija. Nesunku suprasti, kad, remiantis konvoliucijos savybėmis, pradinio signalo spektras yra tarsi „nukopijuojamas“ begalinį skaičių kartų išilgai dažnio ašies žingsniu 1/T, o tada sumuojamas. Atkreipkite dėmesį, kad jei pradinio spektro plotis buvo baigtinis, o mes naudojome pakankamai aukštą diskretizavimo dažnį, tada pradinio spektro kopijos nepersidengs, taigi ir nesusidės. Nesunku suprasti, kad iš tokio „sugriuvusio“ spektro bus nesunku atkurti originalų - pakaks tiesiog paimti spektro komponentą nulio srityje, „nupjovus“ papildomas kopijas, eisiančias į begalybę. Paprasčiausias būdas tai padaryti yra padauginti spektrą iš stačiakampės funkcijos, lygios T diapazone -1/2T...1/2T ir nuliui už šio diapazono ribų. Tokia Furjė transformacija atitinka funkciją sinc(Tx) ir pagal 4 savybę toks dauginimas yra lygiavertis pradinės delta funkcijų sekos konvoliucijai su funkcija sinc(Tx) Tai reiškia, kad naudojant Furjė transformaciją, mes turime būdą lengvai atkurti pradinį signalą iš laiko atrankos signalo, veikiantį su sąlyga, kad naudojame mažiausiai du kartus (dėl neigiamų dažnių spektre) diskretizavimo dažnį. didesnis nei didžiausias pradiniame signale esantis dažnis. Šis rezultatas yra plačiai žinomas ir vadinamas „Kotelnikovo / Shannon-Nyquist teorema“. Tačiau, kaip nesunku pastebėti dabar (suprantant įrodymą), šis rezultatas, priešingai nei plačiai paplitusi klaidinga nuomonė, lemia pakankamai, bet ne būtina pradinio signalo atkūrimo sąlyga. Viskas, ko mums reikia, yra užtikrinti, kad mus dominanti spektro dalis po signalo atrinkimo nepersidengtų viena su kita, o jei signalas yra pakankamai siauras (turi mažą ne nulinės spektro dalies „plotį“), tada šis rezultatas dažnai gali būti pasiektas, kai diskretizavimo dažnis yra daug mažesnis nei dvigubai didesnis už maksimalų signalo dažnį. Ši technika vadinama „nepaprastu diskretizavimu“ (subsampling, bandpass atranka) ir yra gana plačiai naudojama apdorojant visų rūšių radijo signalus. Pavyzdžiui, jei paimsime FM radiją, veikiančią dažnių juostoje nuo 88 iki 108 MHz, tada norėdami jį suskaitmeninti, galime naudoti ADC, kurio dažnis yra tik 43,5 MHz, o ne 216 MHz, numatyto Kotelnikovo teoremoje. Tačiau šiuo atveju jums reikės aukštos kokybės ADC ir gero filtro. Leiskite pažymėti, kad aukštų dažnių „dubliavimas“ žemesnės eilės dažniais (aliasing) yra tiesioginė signalo atrankos savybė, kuri negrįžtamai „sugadina“ rezultatą. Todėl, jei signale iš esmės gali būti aukšto laipsnio dažniai (ty beveik visada), priešais ADC dedamas analoginis filtras, „atjungiantis“ viską, kas nereikalinga tiesiai pradiniame signale (kadangi po jo atrinkimo). bus per vėlu tai padaryti). Šių filtrų, kaip analoginių įrenginių, charakteristikos nėra idealios, todėl tam tikra signalo „žala“ vis tiek atsiranda, o praktiškai iš to išplaukia, kad aukščiausi dažniai spektre, kaip taisyklė, yra nepatikimi. Siekiant sumažinti šią problemą, signalas dažnai yra perkomponuojamas, nustatant įvesties analoginį filtrą į mažesnį dažnių juostos plotį ir naudojant tik apatinę teoriškai prieinamo ADC dažnių diapazono dalį. Kitas dažnas klaidingas supratimas, beje, kai signalas DAC išvestyje traukiamas „žingsniais“. „Žingsniai“ atitinka atrinktos signalų sekos konvoliuciją su stačiakampe pločio T ir aukščio 1 funkcija: Signalo spektras su šia transformacija padauginamas iš šios stačiakampės funkcijos Furjė vaizdo, o panašiai stačiakampei funkcijai jis vėl sinc(w), kuo daugiau „ištempiamas“, tuo mažesnis atitinkamo stačiakampio plotis. Atrinkto signalo su tokiu „DAC“ spektras taškas po taško dauginamas iš šio spektro. Tokiu atveju nereikalingi aukšti dažniai su „papildomomis spektro kopijomis“ nėra visiškai nupjaunami, tačiau viršutinė „naudingos“ spektro dalies dalis, priešingai, yra susilpnėjusi. Žinoma, praktiškai niekas to nedaro. Yra daug skirtingų DAC konstravimo būdų, tačiau net ir pagal reikšmę svertinio tipo DAC, stačiakampiai impulsai DAC, priešingai, parenkami taip, kad būtų kuo trumpesni (artėjant prie tikrosios delta sekos). funkcijos), kad būtų išvengta nereikalingo naudingosios spektro dalies slopinimo. Gauto plačiajuosčio ryšio signalo „pertekliniai“ dažniai beveik visada panaikinami perduodant signalą per analoginį žemųjų dažnių filtrą, kad nebūtų „skaitmeninių žingsnių“ nei keitiklio „viduje“, nei ypač jo išvestyje. Tačiau grįžkime prie Furjė transformacijos. Aukščiau aprašyta Furjė transformacija, taikoma iš anksto atrinktai signalų sekai, vadinama diskrečiąja laiko Furjė transformacija (DTFT). Spektras, gautas atliekant tokią transformaciją, visada yra 1/T periodinis, todėl DTFT spektrą visiškai lemia jo reikšmės segmente dt = = (1/2p)s(t)H(w") exp(-j(w-w")t) dw"dt = (1/2p)H(w") dw"s(t) exp(-j(w-w")t) dt = = (1/2p)H(w") S(w-w") dw" = (1/2p) H(w) * S(w). (4,29) Taigi, funkcijų sandauga koordinačių pavidalu rodoma dažnio vaizde pagal šių funkcijų Furjė vaizdų konvoliuciją, su normalizavimo koeficientu (1/2p), atsižvelgiant į funkcijų s(t) ir h(t) tiesioginės ir atvirkštinės Furjė transformacijų asimetriją, kai naudojami kampiniai dažniai .
9. Konvoliucijos išvestinė dvi funkcijos s"(t) = d/dt. Naudojant išraiškas (4.26) ir (4.28), gauname: s"(t) = jw = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w). s"(t) = x"(t) * y(t) = x(t) * y"(t). Ši išraiška leidžia apskaičiuoti signalo išvestinę, tuo pat metu išlyginant jį naudojant svorio funkciją, kuri yra išlyginimo funkcijos išvestinė (pavyzdžiui, Gauso).
10. Galios spektrai.
Signalo galios laiko funkcija bendra forma nustatoma pagal išraišką: w(t) = s(t) s * (t) = |s(t)| 2. Atitinkamai, spektrinės galios tankis yra lygus Furjė sandaugos s(t) s * (t) transformacijai, kuri spektriniame atvaizde bus rodoma šių funkcijų Furjė vaizdų konvoliucijos būdu: W(f) = S(f) * S * (f) =S(f) S * (f-v) dv. (4.30) Tačiau visoms dabartinėms dažnio f vertėms šios išraiškos dešinėje esantis integralas yra lygus sandaugai S(f)·S * (f), nes visoms poslinkio vertėms v ≠ 0 harmonikų S(f) ir S * (f-v) ortogonalumui, jų sandaugų reikšmės yra lygios nuliui. Iš čia: W(f) = S(f) * S * (f) = |S(f)| 2. (4.31) Galios spektras yra reali, neneigiama lygi funkcija, kuri dažnai vadinama energijos spektru. Galios spektras, kaip signalo spektro modulio kvadratas, neturi fazės informacijos apie dažnio komponentus, todėl signalo atkūrimas iš galios spektro yra neįmanomas. Tai taip pat reiškia, kad skirtingų fazių charakteristikų signalai gali turėti tuos pačius galios spektrus. Visų pirma, signalo poslinkis neturi įtakos jo galios spektrui. Signalo sąveikos galios funkcijoms dažnių srityje atitinkamai turime signalo sąveikos galios dažnio spektrus: W xy (f) = X (f) Y* (f), W yx (f) = Y (f) X* (f), W xy (f) = W* yx (f). Signalų sąveikos galios funkcijos yra sudėtingos, net jei abi funkcijos x(t) ir y(t) yra tikros, o Re yra lyginė, o Im – nelyginė. Vadinasi, bendrą signalo sąveikos energiją integruojant sąveikos galios funkcijas lemia tik tikroji spektro dalis: X(f) Y*(f) df. Iš Parseval lygybės matyti, kad skaliarinė signalų ir normos sandauga Furjė transformacijos atžvilgiu yra nekintama: áx(t),y(t)ñ = áX(f),Y(f)ñ, ||x(t)|| 2 = ||X(f)|| 2. Neturėtume pamiršti, kad vaizduojant spektrus apskritimo dažniais (w), duotųjų lygčių dešinėje turi būti koeficientas 1/2p.
Matematinė Furjė transformacija
Istorinis fonas
Šilumos laidumo analizė
Analizės esmė
Iššūkis amžininkams
200 metų istorija
Furjė transformacija šiandien
Furjė transformacijos taikymas
Furjė transformacijos atmainos
Išvada
