Klausimas:

Piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui. Bazinis plotas yra 1690 dm2, o skerspjūvio plotas yra 10 dm2. Kokiu santykiu, skaičiuojant nuo viršūnės, pjovimo plokštuma dalija piramidės aukštį?

Atsakymai:

lygiagreti plokštuma kerta piramidę, panašią į šią (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

Panašūs klausimai

• Testas tema: „Prieveiksmių rašyba“ Tikriname prieveiksmių priesagų rašybą, atskirąją ir tęstinę rašybą ne su prieveiksmiais, ištisinę, atskirąją, brūkšninę prieveiksmių rašybą 1 variantas. 1. Atverkite skliaustus. Pažymėkite „trečiąjį ratą“: a) sėdėjo (nejudantis); pamačiau (ne)atsitiktinai; dainavo (ne)garsiai; Pažymėkite eilutę su neigiamais prieveiksmiais: a) nieko; iš niekur; niekur; gana daug;

TREČIAS SKYRIUS

POLYhedra

1. LYGIAUSIA IR PIRAMIDĖ

Lygiagrečių pjūvių piramidėje savybės

74. Teorema. Jei piramidė (83 brėžinys) kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui, tada:

1) šoniniai šonkauliai ir aukštis pagal šią plokštumą dalijami į proporcingas dalis;

2) skerspjūvyje pasirodo daugiakampis (abcde ), panašus į pagrindą;

3) Skerspjūvio plotai ir pagrindai yra susiję kaip jų atstumų nuo viršūnės kvadratai.

1) Tiesiai ab ir AB gali būti laikoma dviejų lygiagrečių plokštumų (pagrindo ir skersinės) susikirtimo su trečiąja plokštuma ASB linija; Štai kodėl ab||AB (§ 16). Dėl tos pačios priežasties bc||BC, CD||CD, ... ir adresu||AM; dėl to

S a / a A = S b / b B = S c / c C=...=S m / m M

2) Iš trikampių panašumo ASB ir a S b, tada BSC ir b S c ir tt išvedame:

AB / ab= BS / bs; B.S. / bs= pr. Kr / bc ,

AB / ab= pr. Kr / bc

B.C. / bc=CS / cs; C.S. / cs= CD / CD iš BC / bc= CD / CD .

Taip pat įrodysime likusių daugiakampių ABCDE ir kraštinių proporcingumą abcde. Be to, kadangi šie daugiakampiai turi vienodus atitinkamus kampus (susidaro lygiagrečios ir vienodai nukreiptos kraštinės), jie yra panašūs.

3) Panašių daugiakampių plotai yra susiję kaip panašių kraštinių kvadratai; Štai kodėl

75. Pasekmė. Taisyklinga nupjauta piramidė turi viršutinį pagrindą, kuris yra taisyklingas daugiakampis, panašus į apatinį pagrindą, o šoniniai paviršiai yra lygūs ir lygiašonės trapecijos(83 brėžinys).

Bet kurios iš šių trapecijų aukštis vadinamas apotemas taisyklinga nupjauta piramidė.

76. Teorema. Jei dvi vienodo aukščio piramidės vienodu atstumu nuo viršaus perpjautos plokštumos, lygiagrečios pagrindams, tai atkarpų plotai yra proporcingi pagrindų plotams.

Tegu (84 pav.) B ir B 1 yra dviejų piramidžių pagrindų plotai, H – kiekvienos iš jų aukštis, b Ir b 1 - pjūvio plotai plokštumose, lygiagrečiomis pagrindams ir pašalintomis iš viršūnių tokiu pat atstumu h.

Pagal ankstesnę teoremą turėsime:

77. Pasekmė. Jei B = B 1, tada b = b 1, t.y. Jei dvi vienodo aukščio piramidės turi vienodus pagrindus, tada atkarpos, vienodai nutolusios nuo viršaus, taip pat yra lygios.

); showPlots(;0 noAxes0 );

Ryžiai. 1.10: Stačiakampis lygiagretusis vamzdis

1.3 Lygiagrečių pjūvių piramidėje savybės

1.3.1 Teoremos apie pjūvius piramidėje

Jei piramidę (1.11) kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui, tada:

1) šoniniai šonkauliai ir aukštis pagal šią plokštumą dalijami į proporcingas dalis;

2) skerspjūvyje gaunamas panašus į pagrindą daugiakampis (abcde);

3) Skerspjūvio plotai ir pagrindai yra susiję kaip jų atstumų nuo viršūnės kvadratai.

1) Tiesės ab ir AB gali būti laikomos dviejų lygiagrečių plokštumų (pagrindo ir sekantinės) susikirtimo su trečiąja plokštuma ASB tiesėmis; todėl abkAB. Dėl tos pačios priežasties bckBC, cdkCD.... ir amkAM; dėl to

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) Iš trikampių ASB ir aSb, tada BSC ir bSc ir tt panašumo gauname:

AB ab = BS bS ; BS bS = BC bc ;

AB ab = BC bc:

BC bc = CS cS ; CS cS = CD CD;

BC bc = CD kompaktinis diskas

Taip pat įrodysime likusių daugiakampių ABCDE ir abcde kraštinių proporcingumą. Kadangi, be to, šie daugiakampiai turi vienodus atitinkamus kampus (kaip sudaryti iš lygiagrečių ir vienodai nukreiptų kraštinių), tai jie yra panašūs. Panašių daugiakampių plotai yra susiję kaip panašių kraštinių kvadratai; Štai kodėl

AB ab = AS as = M msS ;

[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 D 0; 0 E 0; 0 ir 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 d 0; 0 M 0; 0 m 0; 0 S 0];

); showPlots(;0 noAxes0 );

1.3.2 Pasekmė

Taisyklinga nupjauta piramidė turi viršutinį pagrindą, kuris yra taisyklingas daugiakampis, panašus į apatinį pagrindą, o šoniniai paviršiai yra lygūs ir lygiašoniai trapecijos (1.11).

Bet kurios iš šių trapecijų aukštis vadinamas taisyklingos nupjautos piramidės apotema.

1.3.3 Lygiagrečios pjūvio teorema piramidėje

Jei dvi vienodo aukščio piramidės vienodu atstumu nuo viršaus perpjautos plokštumos, lygiagrečios pagrindams, tai atkarpų plotai yra proporcingi pagrindų plotams.

Tegul (1.12) B ir B1 yra dviejų piramidžių pagrindų plotai, H – kiekvienos iš jų aukštis, b ir b1 – pjūvių plotai plokštumose, lygiagrečiomis su pagrindais ir pašalintomis iš viršūnių tokiu pat atstumu h.

Pagal ankstesnę teoremą turėsime:

Kaip galite pastatyti piramidę? Lėktuve r Sukurkime daugiakampį, pavyzdžiui, penkiakampį ABCDE. Iš lėktuvo r Paimkime tašką S. Atkarpomis sujungę tašką S su visais daugiakampio taškais, gauname SABCDE piramidę (pav.).

Taškas S vadinamas viršuje, o daugiakampis ABCDE yra pagrinduši piramidė. Taigi piramidė su viršūne S ir pagrindu ABCDE yra visų atkarpų, kur M ∈ ABCDE, sąjunga.

Vadinami trikampiai SAB, SBC, SCD, SDE, SEA šoniniai veidai piramidės, bendros šoninių paviršių pusės SA, SB, SC, SD, SE - šoniniai šonkauliai.

Piramidės vadinamos trikampis, keturkampis, p-kampinis priklausomai nuo pagrindo kraštų skaičiaus. Fig. Pateikiami trikampių, keturkampių ir šešiakampių piramidžių vaizdai.

Plokštuma, einanti per piramidės viršūnę ir pagrindo įstrižainę, vadinama įstrižainės, o gautas skyrius yra įstrižainės. Fig. 186 viena iš įstrižinių šešiakampės piramidės atkarpų yra užtamsinta.

Statmena atkarpa, nubrėžta per piramidės viršūnę iki jos pagrindo plokštumos, vadinama piramidės aukščiu (šios atkarpos galai yra piramidės viršūnė ir statmens pagrindas).

Piramidė vadinama teisinga, jei piramidės pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama jos centre.

Visi taisyklingos piramidės šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Taisyklingoje piramidėje visi šoniniai kraštai yra vienodi.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, ištrauktas iš jos viršūnės, vadinamas apotemas piramidės. Visi taisyklingosios piramidės apotemai sutampa.

Jei pagrindo pusę pažymėsime kaip A, o apotemą per h, tada vieno piramidės šoninio paviršiaus plotas yra 1/2 ai.

Visų piramidės šoninių paviršių plotų suma vadinama šoninio paviršiaus plotas piramidė ir žymima S puse.

Kadangi taisyklingosios piramidės šoninis paviršius susideda iš n tada sutampantys veidai

S pusė = 1/2 ahn= P h / 2 ,

kur P yra piramidės pagrindo perimetras. Vadinasi,

S pusė = P h / 2

t.y. Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusei pagrindo ir apotemos perimetro sandaugos.

Bendras piramidės paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal formulę

S = S ocn. + S pusė. .

Piramidės tūris yra lygus trečdaliui jos pagrindo ploto sandaugos Socn. iki H aukščio:

V = 1 / 3 S pagrindinis. N.

Šios ir kai kurių kitų formulių išvedimas bus pateiktas viename iš tolesnių skyrių.

Dabar statykime piramidę kitaip. Tegu pateikiamas daugiakampis kampas, pavyzdžiui, penkiakampis, kurio viršūnė S (pav.).

Nubraižykime plokštumą r kad jis kirstų visas tam tikro daugiakampio kampo briaunas skirtinguose taškuose A, B, C, D, E (pav.). Tada SABCDE piramidė gali būti laikoma daugiakampio kampo ir puserdvės sankirta su riba r, kurioje yra viršūnė S.

Akivaizdu, kad visų piramidės paviršių skaičius gali būti savavališkas, bet ne mažesnis kaip keturi. Kai trikampis kampas susikerta su plokštuma, gaunama trikampė piramidė, kuri turi keturias kraštines. Bet kokia trikampė piramidė kartais vadinama tetraedras, o tai reiškia tetraedrą.

Nupjauta piramidė galima gauti, jei piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindo plokštumai.

Fig. Pateiktas keturkampės nupjautinės piramidės vaizdas.

Taip pat vadinamos nupjautos piramidės trikampis, keturkampis, n-kampis priklausomai nuo pagrindo kraštų skaičiaus. Iš nupjautos piramidės konstrukcijos matyti, kad ji turi du pagrindus: viršutinę ir apatinę. Nupjautinės piramidės pagrindai yra du daugiakampiai, kurių kraštinės yra lygiagrečios poromis. Nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos.

Aukštis nupjauta piramidė yra statmena atkarpa, nubrėžta iš bet kurio viršutinio pagrindo taško į apatinio pagrindo plokštumą.

Taisyklinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalimi, uždaryta tarp pagrindo ir pjūvio plokštumos, lygiagrečios pagrindui. Taisyklingos nupjautinės piramidės (trapecijos) šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas.

Galima įrodyti, kad taisyklingos nupjautinės piramidės šoninės briaunos sutampa, visi šoniniai paviršiai sutampa, o apotemos yra sutampančios.

Jei teisingai sutrumpinta n- anglies piramidė kiaurai A Ir b n nurodyti viršutinio ir apatinio pagrindo šonų ilgius ir per h yra apotemos ilgis, tada kiekvieno piramidės šoninio paviršiaus plotas yra lygus

1 / 2 (A + b n) h

Visų piramidės šoninių paviršių plotų suma vadinama jos šoninio paviršiaus plotu ir žymima S puse. . Akivaizdu, kad teisingas sutrumpintas n- anglies piramidė

S pusė = n 1 / 2 (A + b n) h.

Nes pa= P ir nb n= P 1 - nupjautinės piramidės pagrindų perimetrai, tada

S pusė = 1/2 (P + P 1) h,

tai yra, taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei jos pagrindų ir apotemos perimetrų sumos sandaugos.

Atkarpa lygiagreti piramidės pagrindui

1) šoniniai šonkauliai ir aukštis bus padalinti į proporcingas dalis;

2) skerspjūvyje gausite daugiakampį, panašų į pagrindą;

3) skerspjūvio plotai ir pagrindai yra susiję kaip jų atstumų nuo viršaus kvadratai.

Pakanka įrodyti trikampės piramidės teoremą.

Kadangi lygiagrečias plokštumas išilgai lygiagrečių tiesių kerta trečioji plokštuma, tai (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (pav.).

Lygiagrečios tiesės supjausto kampo kraštines į proporcingas dalis, taigi

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Todėl ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 ir

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\right|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 ir

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Taigi,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_) (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Atitinkami trikampių ABC ir A 1 B 1 C 1 kampai yra kongruentiški, kaip kampai su lygiagrečiomis ir identiškomis kraštinėmis. Štai kodėl

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Panašių trikampių plotai yra susieti kaip atitinkamų kraštinių kvadratai:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1) )\right|) $$

Vadinasi,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Teorema. Jei dvi vienodo aukščio piramidės vienodu atstumu nuo viršaus perpjautos plokštumos, lygiagrečios pagrindams, tai atkarpų plotai yra proporcingi pagrindų plotams.

Tegu (84 pav.) B ir B 1 yra dviejų piramidžių pagrindų plotai, H – kiekvienos iš jų aukštis, b Ir b 1 - pjūvio plotai plokštumose, lygiagrečiomis pagrindams ir pašalintomis iš viršūnių tokiu pat atstumu h.

Pagal ankstesnę teoremą turėsime:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: ir \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
kur
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: arba \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Pasekmė. Jei B = B 1, tada b = b 1, t.y. Jei dvi vienodo aukščio piramidės turi vienodus pagrindus, tada atkarpos, vienodai nutolusios nuo viršaus, taip pat yra lygios.