Teorema: Jei dvi lygiagrečias tieses kerta skersinė, tada susikertantys kampai yra lygūs. o A B = 2 s
Įrodymas: A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O Tegul tiesės AB ir CD yra lygiagrečios, MN jų sekantas. Įrodykime, kad skersiniai kampai 1 ir 2 yra lygūs vienas kitam. Tarkime, kad 1 ir 2 nėra lygūs. Per tašką O nubrėžkime tiesę KF. Tada taške O galima konstruoti KON, gulintį skersai ir lygų 2. Bet jei KON = 2, tai tiesė KF bus lygiagreti CD. Mes nustatėme, kad dvi tiesės AB ir KF yra nubrėžtos per tašką O, lygiagrečią tiesei CD. Bet tai negali būti. Mes priėjome prie prieštaravimo, nes manėme, kad 1 ir 2 nėra lygūs. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga ir 1 turi būti lygus 2, ty skersiniai kampai yra lygūs. F
Teorema: Jei dvi lygiagrečios tiesės susikerta skersine, tai atitinkami kampai yra lygūs. ir A B = 2
Teorema: Jei dvi lygiagrečias tieses kerta skersinė, tai vienpusių kampų suma yra 180°. o A B = 180°
Įrodymas: Tegul lygiagrečias tieses a ir b kerta sekantė AB, tada atitinkami 1 ir 2 bus lygūs, 2 ir 3 bus gretimi, todėl = 180°. Iš lygybių 1 = 2 ir = 180° išplaukia, kad = 180°. Teorema įrodyta. 2 a A B 3 1
Sprendimas: 1. Tegu X yra 2, tada 1 = (X+70°), nes kampų 1 ir 2 suma = 180° dėl to, kad jie yra gretimi. Padarykime lygtį: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (2 kampas) 2. Raskite 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, nes jie yra vertikalūs. 3 = 5, nes jie guli skersai. 125° 5 = 7, nes jie yra vertikalūs. 2 = 4, nes jie yra vertikalūs. 4 = 6, nes jie guli skersai. 55° 6 = 8, nes jie yra vertikalūs. 1 uždavinys: A B Sąlyga: Raskite visus kampus, susidariusius, kai dvi lygiagrečios tiesės A ir B susikerta su skersine C, jei vienas iš kampų yra 70° didesnis už kitą.
Sprendimas: 1. 1= 2, nes jie yra vertikalūs, vadinasi, 2= 45° yra greta 2, taigi 3+ 2=180°, ir iš to išplaukia, kad 3= 180° - 45°= 135° = 180°, nes jie yra vienpusiai. 4 = 45°. Atsakymas: 4=45°; 3 = 135°. 3 uždavinys: A B 2 Sąlyga: dvi lygiagrečias tieses A ir B kerta sekantė C. Raskite, kam bus lygūs 4 ir 3, jei 1=45°
§ 1 Priešinė teorema
Šioje pamokoje išsiaiškinsime, kurios teoremos vadinamos atvirkštinėmis, pateiksime atvirkštinių teoremų pavyzdžių, suformuluosime teoremas apie kampus, sudarytus iš dviejų lygiagrečių tiesių ir skersinės, bei susipažinsime su įrodinėjimo prieštaravimu būdu.
Tiriant įvairias geometrines figūras, dažniausiai formuluojami apibrėžimai, įrodomos teoremos, svarstomos išvados iš teoremų. Kiekvieną teoremą sudaro dvi dalys: sąlyga ir išvada.
Teoremos sąlyga yra tai, kas duota, o išvada yra tai, ką reikia įrodyti. Labai dažnai teoremos sąlyga prasideda žodžiu „jei“, o išvada prasideda žodžiu „tada“. Pavyzdžiui, teorema apie lygiašonio trikampio savybes gali būti suformuluota taip: „Jei trikampis yra lygiašonis, tada kampai jo pagrinde yra lygūs“. Pirmoji teoremos dalis „Jei trikampis yra lygiašonis“ yra teoremos sąlyga, antroji teoremos dalis „tada kampai prie jo pagrindo yra lygūs“ yra teoremos išvada.
Teorema, kai sąlyga ir išvada yra sukeisti, vadinama atvirkštine teorema. Atvirkštinė teorema lygiašonio trikampio savybių teoremai skambės taip: „Jei du trikampio kampai yra lygūs, tai toks trikampis yra lygiašonis“.
Trumpai užrašykite kiekvieną iš jų:
Matome, kad sąlyga ir išvada apsikeitė vietomis.
Kiekvienas iš šių teiginių yra teisingas.
Kyla klausimas: ar teiginys, kai sąlyga keičiasi su išvada, visada yra teisingas?
Pažiūrėkime į pavyzdį.
Jei kampai yra vertikalūs, tada jie yra lygūs. Tai tikras teiginys ir turi įrodymų. Suformuluokime atvirkštinį teiginį: jei kampai lygūs, tai jie vertikalūs. Šis teiginys neteisingas, nesunku tai patikrinti pateikiant paneigiantį pavyzdį: paimkime du stačius kampus (žr. pav.), jie yra lygūs, bet nėra vertikalūs.
Taigi atvirkštiniai teiginiai (teoremos) jau įrodytų teiginių (teoremų) atžvilgiu visada reikalauja įrodymų.
§ 2 Teoremos apie kampus, sudarytus iš dviejų lygiagrečių tiesių ir skersinės
Dabar prisiminkime įrodytus teiginius – teoremas, išreiškiančias dviejų tiesių lygiagretumo požymius, suformuluokite jų atvirkštines teoremas ir patikrinkime jų pagrįstumą pateikdami įrodymus.
Pirmasis lygiagrečių linijų ženklas.
Jei, kai dvi tiesės susikerta skersai, kampai yra lygūs, tai linijos yra lygiagrečios.
Atvirkštinė teorema:
Jei dvi lygiagrečios tiesės susikerta skersine, tada susikertantys kampai yra lygūs.
Įrodykime šį teiginį.
Duota: lygiagrečias tieses a ir b kerta sekanti AB.
Įrodykite: sukryžiuoti kampai 1 ir 2 yra lygūs. (žr. paveikslėlį)
Įrodymas:
Tarkime, kad kampai 1 ir 2 nėra lygūs.
Atidėkime kampą CAB nuo spindulio AB, lygų kampui 2, kad kampas CAB ir kampas 2 būtų kryžminiai kampai tiesių CA ir b susikirtimo taške AB.
Pagal konstrukciją šie skersiniai kampai yra lygūs, o tai reiškia, kad tiesė CA yra lygiagreti tiesei b.
Mes nustatėme, kad dvi tiesės a ir CA eina per tašką A, lygiagrečiai tiesei b. Tai prieštarauja lygiagrečių tiesių aksiomai: per tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, eina tik viena tiesė, lygiagreti duotajai.
Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga, kampai 1 ir 2 yra lygūs.
Teorema įrodyta.
§ 3 Įrodinėjimo prieštaravimu būdas
Įrodydami šią teoremą naudojome samprotavimo metodą, vadinamą įrodinėjimo prieštaravimu metodu. Pradėdami įrodinėjimą manėme priešingai nei reikalaujama įrodyti. Laikydami šią prielaidą teisinga, per samprotavimus priėjome prieštaravimą lygiagrečių tiesių aksiomai. Iš to padarėme išvadą, kad mūsų prielaida nėra teisinga, tačiau teoremos teiginys yra teisingas. Šio tipo įrodymai dažnai naudojami matematikoje.
Panagrinėkime įrodytos teoremos pasekmes.
Pasekmė:
Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, ji taip pat yra statmena ir kitai.
Tegul tiesė a lygiagreti tiesei b, tiesė c statmena tiesei a, t.y. kampas 1 = 90º.
Tiesė c kerta tiesę a, tai reiškia, kad tiesė c taip pat kerta tiesę b.
Kai lygiagrečios tiesės susikerta su skersine, skersiniai kampai yra lygūs, o tai reiškia, kad kampas 1 = kampas 2.
Kadangi kampas 1 = 90º, tada kampas 2 = 90º, tai reiškia, kad tiesė c yra statmena tiesei b.
Tyrimas įrodytas.
Antrojo tiesių lygiagretumo kriterijaus atvirkštinė teorema:
Jei dvi lygiagrečios tiesės susikerta skersine, tada atitinkami kampai yra lygūs.
Trečiojo tiesių lygiagretumo kriterijaus atvirkštinė teorema:
Jei dvi lygiagrečios tiesės susikerta skersine, tada vienpusių kampų suma yra 180º.
Taigi, šioje pamokoje išsiaiškinome, kurios teoremos vadinamos atvirkštinėmis, suformulavome ir išnagrinėjome teoremas apie kampus, sudarytus iš dviejų lygiagrečių tiesių ir skersinės, taip pat susipažinome su įrodinėjimo prieštaravimu būdu.
Naudotos literatūros sąrašas:
- Geometrija. 7-9 klasės: vadovėlis. bendrajam lavinimui organizacijos / L.S. Atanasjanas, V.F. Butuzovas, S.B. Kadomtsev ir kt. - M.: Išsilavinimas, 2013. - 383 p.: iliustr.
- Gavrilova N.F. Geometrijos pamokos raida 7 klasė. - M.: “VAKO”, 2004, 288 p. - (Padėti mokyklos mokytojui).
- Belitskaya O.V. Geometrija. 7 klasė. 1 dalis. Testai. – Saratovas: Licėjus, 2014. – 64 p.
Vaizdo pamokoje apie teoremas apie kampus tarp dviejų lygiagrečių tiesių ir jų skersines pateikiama medžiaga, pristatanti teoremos struktūrines ypatybes, atvirkštinių teoremų formavimo ir įrodymo pavyzdžiai bei jų išvados. Šios video pamokos tikslas – pagilinti teoremos sampratą, išskaidant ją į komponentus, atsižvelgiant į atvirkštinės teoremos sampratą, ugdyti gebėjimą konstruoti atvirkštinę teoremą, teoremos pasekmes ir ugdyti gebėjimą įrodyti teiginius.
Vaizdo pamokos forma leidžia sėkmingai akcentuoti demonstruojant medžiagą, lengviau suprasti ir įsiminti medžiagą. Šios video pamokos tema sudėtinga ir svarbi, todėl naudoti vaizdines priemones ne tik patartina, bet ir pageidautina. Tai suteikia galimybę pagerinti mokymosi kokybę. Animuoti efektai pagerina mokomosios medžiagos pateikimą, priartina mokymosi procesą prie tradicinio, o vaizdo naudojimas išlaisvina mokytoją gilintis į individualų darbą.
Vaizdo pamoka prasideda jos temos paskelbimu. Pamokos pradžioje svarstomas teoremos išskaidymas į jos komponentus, siekiant geriau suprasti jos struktūrą ir tolesnio tyrimo galimybes. Ekrane rodoma diagrama, parodanti, kad teoremą sudaro jos sąlygos ir išvados. Sąlygos ir išvados samprata aprašoma lygiagrečių tiesių ženklo pavyzdžiu, pažymint, kad teiginio dalis yra teoremos sąlyga, o išvada – išvada.
Gilinant įgytas žinias apie teoremos struktūrą, studentams pateikiama teoremos, atvirkštinės duotajai, samprata. Jis susidaro dėl pakeitimo – sąlyga tampa išvada, išvada – sąlyga. Siekiant lavinti mokinių gebėjimą konstruoti teoremas, prieštaraujančias duomenims, ir gebėjimą jas įrodyti, nagrinėjamos teoremos, priešingos toms, kurios buvo aptartos 25 pamokoje apie lygiagrečių tiesių ženklus.
Ekrane rodoma teorema, atvirkštinė pirmajai teoremai, kuri apibūdina lygiagrečių tiesių ženklą. Sukeitę sąlygą ir išvadą, gauname teiginį, kad jei kurios nors lygiagrečios tiesės susikerta skersine, tai šiuo atveju susidarę skersiniai kampai bus lygūs. Įrodymas parodytas paveiksle, kuriame pavaizduotos linijos a, b, taip pat skersinis, einantis per šias linijas jų taškuose M ir N. Paveiksle pažymėti skersiniai kampai ∠1 ir ∠2. Būtina įrodyti jų lygybę. Pirma, įrodymas daro prielaidą, kad šie kampai nėra lygūs. Tam per tašką M nubrėžiama tam tikra tiesė P. Konstruojamas kampas `∠PMN, kuris yra skersai kampo ∠2 MN atžvilgiu. Kampai `∠PMN ir ∠2 yra lygūs pagal konstrukciją, todėl MP║b. Išvada – per b nubrėžtos dvi lygiagrečios taškui tiesės. Tačiau tai neįmanoma, nes tai neatitinka lygiagrečių tiesių aksiomos. Padaryta prielaida pasirodo klaidinga, įrodanti pirminio teiginio pagrįstumą. Teorema įrodyta.
Toliau studentų dėmesys atkreipiamas į įrodinėjimo metodą, kuris buvo naudojamas samprotavimo metu. Įrodymas, kuriame įrodomas teiginys laikomas klaidingu, vadinamas įrodinėjimu pagal prieštaravimą geometrijoje. Šis metodas dažnai naudojamas įvairiems geometriniams teiginiams įrodyti. Šiuo atveju, manant kryžminio gulėjimo kampų nelygybę, samprotavimo eigoje išryškėjo prieštaravimas, paneigiantis tokio prieštaravimo pagrįstumą.
Mokiniams primenama, kad panašus metodas buvo naudojamas ir anksčiau. To pavyzdys yra 12 pamokos teoremos įrodymas, kad dvi tiesės, statmenos trečiajai, nesikerta, taip pat 28 pamokos išvadų iš lygiagrečių tiesių aksiomos įrodymas.
Kitas įrodomas rezultatas teigia, kad tiesė yra statmena abiem lygiagrečioms tiesėms, jei ji yra statmena vienai iš jų. Paveiksle pavaizduotos tiesės a ir b bei joms statmena tiesė c. Tiesės c statmena a reiškia, kad su ja suformuotas kampas lygus 90°. A ir b lygiagretumas ir jų susikirtimas su tiese c reiškia, kad tiesė c kerta b. Su tiese b suformuotas kampas ∠2 yra skersai kampui ∠1. O kadangi pagal sąlygą tiesės lygiagrečios, tai šie kampai lygūs. Atitinkamai kampas ∠2 taip pat bus lygus 90°. Tai reiškia, kad tiesė c yra statmena tiesei b. Nagrinėjama teorema įrodyta.
Toliau įrodome teoremą, priešingą antrajam lygiagrečių tiesių kriterijui. Atvirkštinė teorema teigia, kad jei dvi tiesės yra lygiagrečios, susidarę atitinkami kampai bus lygūs. Įrodymas pradedamas konstruojant sekantą c ir lygiagrečias tieses a ir b. Šiuo atveju sukurti kampai pažymėti paveikslėlyje. Yra pora atitinkamų kampų, vadinamų ∠1 ir ∠2, taip pat pažymėtas kampas ∠3, kuris yra skersai kampo ∠1. A ir b lygiagretumas reiškia lygybę ∠3=∠1, esančią skersai. Atsižvelgiant į tai, kad ∠3, ∠2 yra vertikalūs, jie taip pat yra lygūs. Tokių lygybių pasekmė yra teiginys, kad ∠1=∠2. Nagrinėjama teorema įrodyta.
Paskutinė teorema, kurią reikia įrodyti šioje pamokoje, yra atvirkštinė paskutinio testo lygiagrečioms tiesėms. Jo tekstas teigia, kad jei skersinis eina per lygiagrečias linijas, susidariusių vienpusių kampų suma yra lygi 180°. Įrodinėjimo eiga parodyta paveiksle, kuriame pavaizduotos tiesės a ir b, kertančios sekantą c. Reikia įrodyti, kad vienpusių kampų suma bus lygi 180°, tai yra ∠4+∠1 = 180°. Iš tiesių a ir b lygiagretumo išplaukia atitinkamų kampų ∠1 ir ∠2 lygybė. Kampų gretimumas ∠4, ∠2 reiškia, kad jie sumuojasi iki 180°. Šiuo atveju kampai ∠1= ∠2 – tai reiškia, kad ∠1, pridėjus prie kampo ∠4, bus 180°. Teorema įrodyta.
Norint geriau suprasti, kaip formuojamos ir įrodomos atvirkštinės teoremos, atskirai pažymima, kad jei teorema yra įrodyta ir teisinga, tai nereiškia, kad atvirkštinė teorema taip pat bus teisinga. Norėdami tai suprasti, pateikiamas paprastas pavyzdys. Yra teorema, kad visi vertikalūs kampai yra lygūs. Atvirkštinė teorema skamba taip, kad visi lygūs kampai yra vertikalūs, o tai netiesa. Juk galima sukonstruoti du vienodus kampus, kurie nėra vertikalūs. Tai galima pamatyti parodytame paveikslėlyje.
Vaizdo pamoka „Teoremos apie kampus, sudarytus iš dviejų lygiagrečių tiesių ir skersinio“ yra vaizdinė priemonė, kurią mokytojas gali naudoti geometrijos pamokoje, taip pat gali sėkmingai suformuoti atvirkštinių teoremų ir išvadų idėją, taip pat jų įrodymas savarankiškai studijuojant medžiagą ir būti naudingas nuotolinio mokymosi mokymuose.
