Natūralusis skaičius yra kiekybinė vienos nekintančios aibės charakteristika, tačiau praktikoje objektų skaičius nuolat kinta, pavyzdžiui, gyvulių skaičius tam tikrame ūkyje. Be to, skaičiavimo procese iš karto atsiranda pati paprasčiausia, bet ir pati svarbiausia seka - tai natūraliųjų skaičių seka: 1, 2, 3, ....
Jei tam tikros populiacijos objektų skaičiaus pokytis fiksuojamas tam tikros natūraliųjų skaičių (sekos narių) sekos pavidalu, natūraliai iš karto atsiranda kita seka - skaičių seka, pvz.
Šiuo atžvilgiu iškyla sekos narių įvardijimo problema. Paskirti kiekvieną narį specialia raide yra labai nepatogu dėl toliau nurodytų priežasčių. Pirma, sekoje gali būti labai didelis ar net begalinis terminų skaičius. Antra, skirtingos raidės slepia faktą, kad sekos nariai priklauso tai pačiai populiacijai, nors keičiasi elementų skaičius. Galiausiai, tokiu atveju sekos narių numeriai nebus atspindėti.
Šios priežastys verčia sekos narius žymėti viena raide ir atskirti juos pagal indeksą. Pavyzdžiui, seka, susidedanti iš dešimties terminų, gali būti pažymėta raide A: A 1 , A 2 , A 3 , …, A 10. Tai, kad seka yra begalinė, išreiškiama elipse, tarsi pratęsiant šią seką neribotai: A 1 , A 2 , A 3, ... Kartais seka pradedama numeruoti nuo nulio: : A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , …
Kai kurios sekos gali būti suvokiamos kaip atsitiktinės skaičių aibės, nes sekos narių formavimosi dėsnis nežinomas arba jo visai nėra. Tačiau ypatingas dėmesys atkreipiamas į sekas, kurioms toks dėsnis žinomas.
Sekos narių formavimosi dėsniui nurodyti dažniausiai naudojami du metodai. Pirmasis iš jų yra toks. Nurodomas pirmasis terminas, o po to nurodomas metodas, pagal kurį gaunamas kitas, naudojant paskutinį, jau žinomą terminą. Įstatymui parašyti naudojamas sekos narys su nenurodytu skaičiumi, pvz. ir k ir kitas narys ir k +1, po kurios rašoma juos jungianti formulė.
Garsiausi ir svarbiausi pavyzdžiai yra aritmetinė ir geometrinė progresija. Aritmetinė progresija apibrėžiama formule ir k +1 = ir k + r(arba ir k +1 = ir k – r). Aritmetinės progresijos sąlygos tolygiai didėja (kaip kopėčios) arba tolygiai mažėja (taip pat kaip kopėčios). Didumas r vadinamas progresijos skirtumu, nes ir k +1 – ir k = r. Aritmetinės progresijos su natūraliaisiais terminais pavyzdžiai yra
a) natūralieji skaičiai ( a 1 = 1 ;ir k +1 = ir k + 1);
b) begalinė seka 1, 3, 5, 7, … ( a 1 = 1 ;ir k +1 = ir k + 2);
c) galutinė seka 15, 12, 9, 6, 3 ( a 1 = 15 ;ir k +1 = ir k–3 ).
Geometrinė progresija pateikiama pagal formulę b k +1 = b k ∙q. Didumas q vadinamas geometrinės progresijos vardikliu, nes b k +1:b k = q. Geometrinės progresijos su natūraliais terminais ir vardikliu, viršijančiu vieną, auga ir auga greitai, net kaip lavina. Geometrinės progresijos su natūraliais terminais pavyzdžiai yra
a) begalinė seka 1, 2, 4, 8, … ( b 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);
b) begalinė seka 3, 12, 48, 192, 768,… ( b 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).
Antrasis būdas nurodyti sekos terminų nustatymo dėsnį yra nurodyti formulę, leidžiančią apskaičiuoti sekos narį su nenurodytu skaičiumi (bendrasis terminas), pvz. ir k, naudojant numerį k.
Taip pat galima apskaičiuoti aritmetinių ir geometrinių progresijų terminus. Kadangi aritmetinė progresija apibrėžiama formule ir k +1 = ir k + r, nesunku suprasti, kaip išreiškiamas narys ir k naudojant numerį k:
a 1– nustatytas savavališkai;
a 2 = a 1 + r= a 1 + 1∙r;
a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2∙r;
a 4 = a 3 + r = a 1 + 2∙r + r = a 1 + 3∙r;
…………………………………
ir k = a 1 + (k–1)∙r– galutinė formulė.
Geometrinei progresijai bendrojo termino formulė išvesta panašiai: b k = b 1 ∙ q k –1 .
Be aritmetinių ir geometrinių progresijų, tokiu pačiu būdu galima nustatyti ir kitas sekas, turinčias ypatingą pokyčio pobūdį. Kaip pavyzdį pateikiame natūraliųjų skaičių kvadratų seką: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…
Yra sudėtingesnių sekų formavimo būdų, pavyzdžiui, viena kuriama naudojant kitą. Aritmetikai ypač svarbi geometrinė progresija, kurią lemia parametrai b 1 = 1, q= 10, tai yra dešimties laipsnių seka: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... Jis naudojamas natūraliems skaičiams pavaizduoti poziciniame skaičiuje sistema. Be to, kiekvienam natūraliam skaičiui n pasirodo seka, susidedanti iš skaičių, su kuriais parašytas nurodytas skaičius: a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Skaičius ir k nurodo, kiek 10 tipo terminų k yra skaičius n.
Sekos samprata veda prie svarbiausių matematikos kiekio ir funkcijos sąvokų. Kiekis yra kintanti skaitinė objekto ar reiškinio charakteristika. Jo kitimas suvokiamas kaip skaičių seka. Ryšio tarp pačių terminų ir jų skaičių egzistavimas, taip pat jo išreiškimas formulėmis glaudžiai veda prie funkcijos sampratos.
10. Dešimtainė skaičių sistema.Svarbiausias matematinis atradimas, kuriuo naudojasi beveik kiekvienas pakankamai išsivysčiusios visuomenės narys, yra pozicinių skaičių sistema. Tai leido išspręsti pagrindinę skaičiavimo problemą, ty galimybę įvardyti vis daugiau naujų skaičių, naudojant užrašus (skaitmenis) tik pirmiesiems skaičiams.
Padėties skaičių sistema tradiciškai siejama su skaičiumi dešimt, tačiau tais pačiais principais gali būti kuriamos ir kitos sistemos, pavyzdžiui, dvejetainės. Kuriant dešimtainę padėties skaičių sistemą, įvedama dešimt arabiškų skaitmenų: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jų pagalba galima parašyti skaičių, kuris išreiškia objektų skaičių bet koks baigtinis rinkinys. Tam naudojamas specialus algoritmas, tai yra aiškiai apibrėžta elementarių veiksmų seka.
Skaičiuojami elementai sujungiami į grupes po dešimt, o tai atitinka padalijimą iš dešimties su likusia dalimi. Dėl to susidaro du rinkiniai – vienetai ir dešimtukai. Dešimtys vėl grupuojamos po dešimtis į šimtus. Aišku, kad dešimčių skaičius (žymime jį a 1) būtinai yra mažesnis nei dešimt, todėl a 1 galima nurodyti skaičiumi. Tada šimtai sugrupuojami į tūkstančius, tūkstančiai į dešimtis tūkstančių ir pan., kol sugrupuojami visi elementai. Skaičiaus konstravimas baigiamas rašant gautus skaičius iš kairės į dešinę nuo didelių indeksų į mažesnius. Skaitmeninis ir k atitinka objektų grupių skaičių po 10 k. Galutinį skaičiaus įrašą sudaro baigtinė skaitmenų seka a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Atitinkamas skaičius yra lygus išraiškai
а n · 10 n + а n – 1 · 10 n – 1 + … + а 2 · 10 2 + а 1 · 10 1 + а 0 · 10 0.
Skaičių sistemos pavadinime esantis žodis „pozicinis“ atsirado dėl to, kad skaičius keičia savo reikšmę priklausomai nuo jo padėties skaičiaus žymėjime. Paskutinis skaitmuo nurodo vienetų skaičių, priešpaskutinis skaitmuo – dešimčių skaičių ir kt.
Atkreipkite dėmesį, kad skaičių įrašo gavimo skaičių sistemoje su bet kuria baze algoritmas N: susideda iš nuoseklaus objektų grupavimo pagal N dalykų. Rašydami skaičius turite naudoti N numeriai
Jei kiekvienas natūralusis skaičius n yra susietas su tikruoju skaičiumi x n, tai sakome, kad duotoji skaičių seka
x 1 , x 2 , … x n , …
Skaičius x 1 vadinamas sekos nariu su numeriu 1 arba pirmasis sekos terminas, numeris x 2 – sekos narys su numeriu 2 arba antrasis sekos narys ir kt. Vadinamas skaičius x n sekos narys su skaičiumi n.
Yra du būdai nurodyti skaičių sekas – su ir su pasikartojanti formulė.
Seka naudojant sekos bendrojo termino formules– tai sekos užduotis
x 1 , x 2 , … x n , …
naudojant formulę, išreiškiančią termino x n priklausomybę nuo jo skaičiaus n.
1 pavyzdys. Skaičių seka
1, 4, 9, … n 2 , …
pateikiami naudojant bendro termino formulę
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Sekos nurodymas naudojant formulę, išreiškiančią sekos narį x n per sekos narius su ankstesniais skaičiais, vadinamas sekos nurodymu naudojant pasikartojanti formulė.
x 1 , x 2 , … x n , …
paskambino didėjančia seka, daugiau ankstesnis narys.
Kitaip tariant, visiems n
x n + 1 >x n
3 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių seka
1, 2, 3, … n, …
yra didėjančia seka.
Apibrėžimas 2. Skaičių seka
x 1 , x 2 , … x n , …
paskambino mažėjančia seka jei kiekvienas šios sekos narys mažiau ankstesnis narys.
Kitaip tariant, visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama
x n + 1 < x n
4 pavyzdys. Pasekmė
pateikta pagal formulę
yra mažėjančia seka.
5 pavyzdys. Skaičių seka
1, - 1, 1, - 1, …
pateikta pagal formulę
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
nėra nei didėja, nei mažėja seka.
Apibrėžimas 3. Vadinamos didėjančios ir mažėjančios skaičių sekos monotoniškos sekos.
Apribotos ir neribotos sekos
Apibrėžimas 4. Skaičių seka
x 1 , x 2 , … x n , …
paskambino apribotas iš viršaus, jei yra toks skaičius M, kad kiekvienas šios sekos narys mažiau skaičiai M.
Kitaip tariant, visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama
Apibrėžimas 5. Skaičių seka
x 1 , x 2 , … x n , …
paskambino apribota žemiau, jei yra toks skaičius m, kad kiekvienas šios sekos narys daugiau skaičiai m.
Kitaip tariant, visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama
Apibrėžimas 6. Skaičių seka
x 1 , x 2 , … x n , …
vadinamas ribotu, jei jis ribotas tiek viršuje, tiek apačioje.
Kitaip tariant, yra skaičiai M ir m tokie, kad visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama
m< x n < M
Apibrėžimas 7. Skaitinės sekos, kurios nėra ribojami, paskambino neribotos sekos.
6 pavyzdys. Skaičių seka
1, 4, 9, … n 2 , …
pateikta pagal formulę
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
apribota žemiau, pavyzdžiui, skaičius 0. Tačiau ši seka neribotas iš viršaus.
7 pavyzdys. Pasekmė
pateikta pagal formulę
yra ribota seka, nes visiems n= 1, 2, 3, … nelygybė tenkinama
Mūsų svetainėje taip pat galite susipažinti su mokymo centro „Resolventa“ mokytojų parengta mokomoji medžiaga, skirta pasiruošti vieningam valstybiniam matematikos egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui.
Moksleiviams, norintiems gerai pasiruošti ir išlaikyti Vieningas valstybinis matematikos arba rusų kalbos egzaminas už aukštą balą veda mokymo centras „Resolventa“.
| parengiamieji kursai 10 ir 11 klasių moksleiviams |
Įvadas………………………………………………………………………………3
1. Teorinė dalis………………………………………………………………….4
Pagrindinės sąvokos ir terminai…………………………………………………………………......
1.1 Sekų tipai…………………………………………………………………6
1.1.1.Ribotos ir neribotos skaičių sekos…..6
1.1.2. Sekų monotoniškumas……………………………………6
1.1.3. Be galo didelės ir be galo mažos sekos…….7
1.1.4.Be galo mažų sekų savybės……………………8
1.1.5.Konvergentinės ir divergentinės sekos bei jų savybės.....9
1.2 Sekos apribojimas…………………………………………………….11
1.2.1.Sekų ribų teoremos………………………………15
1.3 Aritmetinė progresija…………………………………………………………
1.3.1. Aritmetinės progresijos savybės……………………………………..17
1.4 Geometrinė progresija……………………………………………………………..19
1.4.1. Geometrinės progresijos savybės……………………………………….19
1.5. Fibonačio skaičiai………………………………………………………………..21
1.5.1 Fibonačio skaičių ryšys su kitomis žinių sritimis…………………….22
1.5.2. Fibonačio skaičių serijos naudojimas gyvajai ir negyvajai gamtai apibūdinti………………………………………………………………………………………………….
2. Nuosavas tyrimas……………………………………………………….28
Išvada…………………………………………………………………………………….30
Literatūros sąrašas………………………………………………………………..31
Įvadas.
Skaičių sekos yra labai įdomi ir edukacinė tema. Ši tema randama padidinto sudėtingumo užduotyse, kurias studentams siūlo didaktinės medžiagos autoriai, matematikos olimpiadų, stojamųjų egzaminų į aukštąsias mokyklas ir vieningo valstybinio egzamino uždaviniuose. Man įdomu sužinoti, kaip matematinės sekos yra susijusios su kitomis žinių sritimis.
Tiriamojo darbo tikslas: Plėsti žinias apie skaičių seką.
1. Apsvarstykite seką;
2. Apsvarstykite jo savybes;
3. Apsvarstykite sekos analitinę užduotį;
4. Parodykite savo vaidmenį plėtojant kitas žinių sritis.
5. Parodykite, kaip naudojama Fibonačio skaičių serija gyvajai ir negyvajai gamtai apibūdinti.
1. Teorinė dalis.
Pagrindinės sąvokos ir terminai.
Apibrėžimas. Skaičių seka yra y = f(x), x О N formos funkcija, kur N yra natūraliųjų skaičių aibė (arba natūraliojo argumento funkcija), žymima y = f(n) arba y1, y2, …, yn,…. Reikšmės y1, y2, y3,... atitinkamai vadinamos pirmuoju, antruoju, trečiuoju,... sekos nariais.
Skaičius a vadinamas sekos x = (x n ) riba, jei savavališkai iš anksto nustatytam savavališkai mažam teigiamam skaičiui ε yra toks natūralusis skaičius N, kad visiems n>N nelygybė |x n - a|< ε.
Jei skaičius a yra sekos x = (x n ) riba, tada jie sako, kad x n linksta į a, ir rašo
.Sakoma, kad seka (yn) didėja, jei kiekvienas narys (išskyrus pirmąjį) yra didesnis nei ankstesnis:
y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….
Seka (yn) vadinama mažėjančia, jei kiekvienas narys (išskyrus pirmąjį) yra mažesnis nei ankstesnis:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .
Didėjančios ir mažėjančios sekos jungiamos pagal bendrą terminą – monotoninės sekos.
Seka vadinama periodine, jei yra natūralusis skaičius T, kuriame, pradedant nuo kurio nors n, galioja lygybė yn = yn+T. Skaičius T vadinamas periodo ilgiu.
Aritmetinė progresija yra seka (an), kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnio nario ir to paties skaičiaus d sumai, vadinama aritmetine progresija, o skaičius d yra aritmetinė progresija.
Taigi aritmetinė progresija yra skaitinė seka (an), kurią nuolat apibrėžia santykiai
a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)
Geometrinė progresija yra seka, kurios visi nariai skiriasi nuo nulio ir kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, gaunamas iš ankstesnio nario, padauginus iš to paties skaičiaus q.
Taigi, geometrinė progresija yra skaitinė seka (bn), nuolat apibrėžiama ryšiais
b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).
1.1 Sekų tipai.
1.1.1 Apribotos ir neribotos sekos.
Sakoma, kad seka (bn) yra apribota aukščiau, jei yra toks skaičius M, kad bet kuriam skaičiui n galioja nelygybė bn≤ M;
Toliau seka (bn) vadinama apribota, jei yra toks skaičius M, kad bet kuriam skaičiui n galioja nelygybė bn≥ M;
Pavyzdžiui:
1.1.2 Sekų monotoniškumas.
Seka (bn) vadinama nedidėjančia (nemažėjančia), jei bet kurio skaičiaus n nelygybė bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) yra teisinga;
Seka (bn) vadinama mažėjančia (didėjančia), jei bet kuriam skaičiui n nelygybė bn> bn+1 (bn Mažėjančios ir didėjančios sekos vadinamos griežtai monotoninėmis, nedidėjančios – monotoninėmis plačiąja prasme. Sekos, kurios yra apribotos ir viršuje, ir apačioje, vadinamos apribotomis. Visų šių tipų seka vadinama monotoniška. 1.1.3 Be galo didelės ir mažos sekos. Be galo maža seka yra skaitinė funkcija arba seka, linkusi į nulį. Sakoma, kad seka an yra be galo maža, jei Funkcija taško x0 kaimynystėje vadinama be galo maža, jei ℓimx→x0 f(x)=0. Funkcija begalybėje vadinama be galo maža, jei ℓimx→.+∞ f(x)=0 arba ℓimx→-∞ f(x)=0 Taip pat be galo maža yra funkcija, vaizduojanti skirtumą tarp funkcijos ir jos ribos, tai yra, jei ℓimx→.+∞ f(x)=a, tai f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0. Be galo didelė seka yra skaitinė funkcija arba seka, linkusi į begalybę. Sakoma, kad seka an yra be galo didelė, jei ℓimn→0 an=∞. Sakoma, kad funkcija yra be galo didelė taško x0 kaimynystėje, jei ℓimx→x0 f(x)= ∞. Sakoma, kad funkcija yra be galo didelė begalybėje, jei ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ arba ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Be galo mažų sekų savybės. Dviejų be galo mažų sekų suma taip pat yra be galo maža seka. Dviejų be galo mažų sekų skirtumas taip pat yra be galo maža seka. Bet kurio baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų algebrinė suma taip pat yra be galo maža seka. Apribotos sekos ir be galo mažos sekos sandauga yra be galo maža seka. Bet kurio baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų sandauga yra be galo maža seka. Bet kuri be galo maža seka yra ribojama. Jei stacionari seka yra be galo maža, tai visi jos elementai, pradedant nuo tam tikro taško, yra lygūs nuliui. Jei visa begalinė seka susideda iš identiškų elementų, tai šie elementai yra nuliai. Jei (xn) yra be galo didelė seka, kurioje nėra nulio terminų, tada yra seka (1/xn), kuri yra be galo maža. Tačiau jei (xn) yra nulis elementų, seka (1/xn) vis tiek gali būti apibrėžta pradedant nuo kokio nors skaičiaus n ir vis tiek bus be galo maža. Jei (an) yra be galo maža seka, kurioje nėra nulio terminų, tada yra seka (1/an), kuri yra be galo didelė. Jei (an) vis dėlto yra nulis elementų, seka (1/an) vis tiek gali būti apibrėžta pradedant nuo kokio nors skaičiaus n ir vis tiek bus be galo didelė. 1.1.5 Konvergentinės ir divergentinės sekos ir jų savybės. Konvergencinė seka – tai aibės X elementų seka, kuri šioje aibėje turi ribą. Divergentinė seka yra seka, kuri nėra konvergentiška. Kiekviena be galo maža seka yra konvergentiška. Jo riba yra nulis. Bet kokio baigtinio elementų skaičiaus pašalinimas iš begalinės sekos neturi įtakos nei tos sekos konvergencijai, nei ribai. Bet kuri konvergencinė seka yra ribojama. Tačiau ne kiekviena ribota seka susilieja. Jei seka (xn) suartėja, bet nėra be galo maža, tai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, apibrėžiama seka (1/xn), kuri yra ribojama. Konvergencinių sekų suma taip pat yra konvergentinė seka. Konvergencinių sekų skirtumas taip pat yra konvergentinė seka. Konvergencinių sekų sandauga taip pat yra konvergentinė seka. Dviejų konvergencinių sekų koeficientas apibrėžiamas pradedant nuo kurio nors elemento, nebent antroji seka yra be galo maža. Jei apibrėžiamas dviejų konvergencinių sekų koeficientas, tai yra konvergentinė seka. Jei konvergencinė seka yra apribota žemiau, tada nė vienas jos infimumas neviršija jos ribos. Jei konvergencinė seka yra ribojama aukščiau, tada jos riba neviršija nė vienos viršutinės ribos. Jei kurio nors skaičiaus vienos konvergentinės sekos sąlygos neviršija kitos konvergentinės sekos narių, tai pirmosios sekos riba taip pat neviršija antrosios ribos. Apsvarstykite natūraliųjų skaičių seką: 1, 2, 3, , n
– 1, n,
. Jei pakeisime kiekvieną natūraliąjį skaičių nšioje serijoje tam tikru skaičiumi a n, vadovaudamiesi tam tikru dėsniu, gauname naują skaičių seką: a 1 ,
a 2 ,
a 3, , a n –1 ,
a n ,
, trumpai paskyrė ir paskambino skaitinė seka. Didumas a n vadinamas bendruoju skaičių sekos nariu. Dažniausiai skaičių seka pateikiama kokia nors formule a n
= f(n) leidžia rasti bet kurį sekos narį pagal jo numerį n; ši formulė vadinama bendrojo termino formule. Atkreipkite dėmesį, kad ne visada įmanoma apibrėžti skaitinę seką naudojant bendrojo termino formulę; kartais seka nurodoma aprašant jos narius. Pagal apibrėžimą seka visada turi begalinį elementų skaičių: bet kurie du skirtingi elementai skiriasi bent jau skaičiumi, kurių yra be galo daug. Skaičių seka yra ypatingas funkcijos atvejis. Seka yra funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje ir paimanti reikšmes realiųjų skaičių aibėje, t.y. formos funkcija f
: N
R. Pasekmė Kartais patogu skaičiais naudoti ne visus natūraliuosius skaičius, o tik kai kuriuos iš jų (pavyzdžiui, natūraliuosius skaičius, prasidedančius nuo kokio nors natūraliojo skaičiaus n 0). Numeravimui taip pat galima naudoti ne tik natūraliuosius skaičius, bet ir kitus skaičius, pvz. n= 0, 1, 2, (čia nulis pridedamas kaip kitas skaičius prie natūraliųjų skaičių aibės). Tokiais atvejais, nurodydami seką, nurodykite, kokias reikšmes turi skaičiai n. Jei tam tikra seka bet kuriai n N
1 pavyzdys
.
Skaičių seka 1, 2, 3, 4, 5, ... yra natūraliųjų skaičių serija ir turi bendrą terminą a n
= n. 2 pavyzdys
.
Skaičių seka 2, 4, 6, 8, 10, ... yra lyginių skaičių serija ir turi bendrą terminą a n
= 2n. 3 pavyzdys
.
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – skaitinė apytikslių reikšmių seka, kurios tikslumas didėja. Paskutiniame pavyzdyje neįmanoma pateikti bendros sekos termino formulės. 4 pavyzdys
.
Parašykite pirmuosius 5 skaičių sekos narius naudodami bendrąjį terminą 6 testas
.
Bendras sekos 1, 2, 6, 24, 120, narys yra: 1)
2)
3)
4)
7 testas
.
1)
2)
3)
4)
8 testas
.
Bendras sekos narys 1)
2)
3)
4)
Apsvarstykite skaičių seką, kurios bendras terminas artėja prie kažkokio skaičiaus A kai didėja serijos numeris n. Šiuo atveju sakoma, kad skaičių seka turi ribą. Ši sąvoka turi griežtesnį apibrėžimą. Skaičius A vadinama skaičių sekos riba jei bet kuriam > 0 yra toks skaičius n 0
= n 0 (), priklausomai nuo , kuris Šis apibrėžimas reiškia A yra skaičių sekos riba, jei jos bendras terminas artėja be apribojimų A didėjant n. Geometriškai tai reiškia, kad bet kuriam > 0 galima rasti tokį skaičių n 0 , kuris, pradedant nuo n
> n 0 , visi sekos nariai yra intervalo ( A
– ,
A+ ). Vadinama seka, turinti ribą susiliejantis; kitaip - skiriasi. Skaičių seka gali turėti tik vieną tam tikro ženklo ribą (baigtinę arba begalinę). 5 pavyzdys
.
Harmoninė seka 6 pavyzdys
.
Seka 2, 5, 2, 5, yra divergentinė. Iš tiesų, jokiame intervale, kurio ilgis yra mažesnis už, pavyzdžiui, vieną, negali būti visi sekos nariai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus. Seka vadinama ribotas, jei toks skaičius yra M, Ką 7 pavyzdys
.
Pasekmė Skaičius e paskambino Eulerio numeris ir apytiksliai lygus 2,718 28. 9 testas
.
1, 4, 9, 16, seka yra tokia: 1) konvergentinis; 2) divergentinis; 3) ribotas; 10 testas
.
Pasekmė 1) konvergentinis; 2) divergentinis; 3) ribotas; 4) aritmetinė progresija; 5) geometrinė progresija. 11 testas
.
Pasekmė 1) konvergentinis; 2) divergentinis; 3) ribotas; 4) harmoninė. Testas
12
.
Sekos riba, kurią suteikia bendrasis terminas 1
Apibrėžimas 2
Pavyzdžiai 3
Operacijos su sekomis 4
Pasekmės 4.1
Pavyzdžiai 4.2
Savybės 5
Sekos ribinis taškas 6
Sekos riba 7
Kai kurios sekos rūšys 7.1
Apribotos ir neribotos sekos 7.1.1
Skaitmeninės sekos ribotumo kriterijus 7.1.2
Apribotų sekų savybės 7.2
Be galo didelės ir be galo mažos sekos 7.2.1
Be galo mažų sekų savybės 7.3
Konvergencinės ir divergentinės sekos 7.3.1
Konvergencinių sekų savybės 7.4
Monotoniškos sekos 7.5
Pagrindinės sekos Skaičių seka- Tai seka skaičių erdvės elementai. Skaičių sekos yra vienas iš pagrindinių svarstymo objektų matematinė analizė. Tegul rinkinys X yra realiųjų skaičių rinkinys arba kompleksinių skaičių rinkinys. Tada aibės elementų seka X paskambino skaitinė seka. Įjungta daug visos aibės elementų sekos X galima nustatyti aritmetika ir kiti operacijos, jei jie apibrėžti rinkinyje X. Tokios operacijos paprastai apibrėžiamos natūraliu būdu, tai yra, elementas po elemento. Leisk į filmavimo aikštelę X pasiryžusi N-arinė operacija f: Tada dėl elementų Pavyzdžiui, taip apibrėžiamos skaičių sekų aritmetinės operacijos. Suma
x n) Ir ( y nz n) toks z n = x n
+ y n . Pagal skirtumą
skaičių sekos ( x n) Ir ( y n) vadinama skaičių seka ( z n) toks z n = x n
− y n . Darbas
skaičių sekos x n Ir y n vadinama skaičių seka ( z n) toks, kad . Privatus
skaičių seka x n ir skaičių seka y n, kurio visi elementai skiriasi nuo nulis, vadinama skaičių seka Žinoma, aritmetines operacijas galima apibrėžti ne tik su skaitinių sekų rinkiniu, bet ir su bet kokiomis aibių elementų sekų grupėmis, kuriose apibrėžiamos aritmetinės operacijos, nesvarbu, ar tai laukus ar net žiedai. Pasekmė
sekos ( x n) yra seka, kur ( k n) yra didėjanti natūraliųjų skaičių aibės elementų seka. Kitaip tariant, poseka gaunama iš sekos pašalinus baigtinį arba suskaičiuojamą elementų skaičių. Pasekmė pirminiai skaičiai yra natūraliųjų skaičių sekos poseka. Natūraliųjų skaičių seka, kartotiniai 12
, yra sekos poseka net natūraliuosius skaičius. Kiekviena seka yra sava poseka. Konvergencinės sekos poseka susilieja į tą pačią ribą kaip ir pradinė seka. Jei visos pradinės sekos posekos susilieja, tai jų ribos yra lygios. Bet kuri be galo didelės sekos poseka taip pat yra be galo didelė. Iš bet kurios neribotos skaičių sekos galima pasirinkti be galo didelę poseką, kurios visi elementai turi tam tikrą ženklą. Iš bet kurios skaitinės sekos galima pasirinkti arba konvergencinę, arba be galo didelę poseką, kurios visi elementai turi tam tikrą ženklą. Pagrindinis straipsnis: Ribinis taškas
Sekos ribinis taškas
yra taškas bet kurioje kaimynystėje, kurio yra be galo daug šios sekos elementų. Konvergencinėms skaičių sekoms ribinis taškas sutampa su riba. Pagrindinis straipsnis: Sekos riba
Sekos riba
- tai objektas, prie kurio, skaičiui didėjant, artėja sekos nariai. Taigi nemokamai topologinė erdvė sekos riba yra elementas bet kurioje kaimynystėje kuriame yra visi sekos terminai, pradedant nuo kai kurių. Visų pirma, skaičių sekoms riba yra skaičius, esantis bet kurioje kaimynystėje, kurio visi sekos nariai, prasidedantys nuo tam tikro taško, yra. Dalinės sekos riba
yra vienos iš jos posekių riba. Konvergencinėms skaičių sekoms ji visada sutampa su įprasta riba. Viršutinė sekos riba
yra didžiausias šios sekos ribinis taškas. Apatinė sekos riba
yra mažiausias šios sekos ribinis taškas. Stacionari seka
yra seka, kurios visi nariai, pradedant tam tikru tašku, yra lygūs. (x n) stacionarus Darant prielaidą linijinė tvarka rinkiniai X sekos elementus, galime įvesti ribotinių ir neribotų sekų sąvokas. Viršutinė ribojama seka
X, kurio visi nariai neviršija kurio nors elemento iš šios aibės. Šis elementas vadinamas viršutinis kraštas
šią seką. (x n) apribota aukščiau Seka apribota žemiau
yra aibės elementų seka X, kuriai šiame rinkinyje yra elementas, kuris neviršija visų jo narių. Šis elementas vadinamas apatinis kraštas
šią seką. (x n) apribota žemiau Ribota seka
(seka apribota iš abiejų pusių
) yra seka, apribota ir viršuje, ir apačioje. (x n) ribotas Neribota seka
yra neribota seka. (x n) neribotas Skaičių seka yra apribota tada ir tik tada, kai yra toks skaičius, kad moduliai visų sekos narių jo neviršija. (x n) ribotas Be galo maža seka
yra seka riba kuri yra lygi nulis. Be galo didelė seka
yra seka, kurios riba yra begalybė. Be galo mažos sekos išsiskiria daugybe nuostabių savybių, kurios yra aktyviai naudojamos matematinė analizė, taip pat susijusiose ir bendresnėse disciplinose. Dviejų be galo mažų sekų suma taip pat yra be galo maža seka. Dviejų be galo mažų sekų skirtumas taip pat yra be galo maža seka. Bet kurio baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų algebrinė suma taip pat yra be galo maža seka. Apribotos sekos ir be galo mažos sekos sandauga yra be galo maža seka. Bet kurio baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų sandauga yra be galo maža seka. Bet kuri be galo maža seka yra ribojama. Jei stacionari seka yra be galo maža, tai visi jos elementai, pradedant nuo tam tikro taško, yra lygūs nuliui. Jei visa begalinė seka susideda iš identiškų elementų, tai šie elementai yra nuliai. Jei ( x n) yra be galo didelė seka, kurioje nėra nulio terminų, tada yra seka (1 / x n), kuris yra be galo mažas. x n Jei ( x n n) vis dar yra nulis elementų, tada seka (1 / , ir vis tiek bus be galo maža. n Jei (α n) yra be galo maža seka, kurioje nėra nulio narių, tada yra seka (1 / α n), kuris yra be galo didelis. n Jei (α n) vis dar yra nulis elementų, tada seka (1 / α Konvergentinė seka
yra aibės elementų seka X, turintys ribašioje gausybėje. Skirtinga seka
yra seka, kuri nėra konverguojanti. Kiekviena be galo maža seka yra konvergentiška. Jo riba yra nulis. Bet kokio baigtinio elementų skaičiaus pašalinimas iš begalinės sekos neturi įtakos nei tos sekos konvergencijai, nei ribai. Bet kokia konvergentinė elementų seka Hausdorff erdvė turi tik vieną ribą. Bet kuri konvergencinė seka yra ribojama. Tačiau ne kiekviena ribota seka susilieja. Seka susilieja tada ir tik tada, kai ji yra ribojama, taip pat viršutinės ir apatinės ribos rungtynės. Jei seka ( x n) suartėja, bet nėra be galo maža, tada, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, seka (1 / x n), kuris yra ribotas. Konvergencinių sekų suma taip pat yra konvergentinė seka. Konvergencinių sekų skirtumas taip pat yra konvergentinė seka. Konvergencinių sekų sandauga taip pat yra konvergentinė seka. Dviejų konvergencinių sekų koeficientas apibrėžiamas pradedant nuo kurio nors elemento, nebent antroji seka yra be galo maža. Jei apibrėžiamas dviejų konvergencinių sekų koeficientas, tai yra konvergentinė seka. Jei konvergencinė seka yra apribota žemiau, tada nė vienas jos infimumas neviršija jos ribos. Jei konvergencinė seka yra ribojama aukščiau, tada jos riba neviršija nė vienos viršutinės ribos. Jei kurio nors skaičiaus vienos konvergentinės sekos sąlygos neviršija kitos konvergentinės sekos narių, tai pirmosios sekos riba taip pat neviršija antrosios ribos. Jei visi tam tikros sekos elementai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, yra atkarpoje tarp dviejų kitų sekų atitinkamų elementų, konverguojančių į tą pačią ribą, tai ši seka taip pat konverguoja į tą pačią ribą. Bet kuri konvergentinė seka ( x n) gali būti pavaizduotas kaip ( x n)
= (a + α n), kur a- sekos riba ( x n), ir α n- kažkokia be galo maža seka. Kiekviena konvergencinė seka yra esminis. Pagrindinis straipsnis:
Monotoniškos sekos
Monotoniška seka yra nedidėjanti arba nemažėjanti seka. Šiuo atveju daroma prielaida, kad aibėje, iš kurios paimti sekos elementai,. Pagrindinis straipsnis:
Pagrindinės sekos
(Fundamentali seka
,
konvergentinė seka
Cauchy seka ) yra elementų seka metrinė erdvė , kuriame bet kuriam iš anksto nustatytam atstumui yra toks elementas, kad atstumas, nuo kurio iki bet kurio iš po jo einančių elementų, neviršija nurodyto. Skaičių sekoms pagrindinės ir konvergentinės sekos sąvokos yra lygiavertės, tačiau apskritai taip nėra. Sekos numerių serija Santrauka >> Matematika Va konvergentinė serija Skaitmeninis seka eilė – begalė seka skaičiai sujungti ženklu... įvykių srautas įvykių srautas- atsitiktiniai įvykiai... -va: 1. F(x) apibrėžiamas visame skaitinis
paskambino didėja(mažėja), jei yra n N
Tokios sekos vadinamos griežtai monotoniškas.
tada seka vadinama nemažėjantis(nedidėjantis). Tokios sekos vadinamos monotoniškas.
. Norėdami apskaičiuoti a 1 reikalingas bendrojo termino formulėje a n vietoj n skaičiuoti pakeiskite 1 a 2 − 2 ir tt Tada turime: 
yra:
yra:
Skaičių sekos riba
:
(1)
adresu n
> n 0 .
turi ribinį skaičių 0. Iš tiesų, bet kuriam intervalui (–; +) kaip skaičius N 0 gali būti bet koks sveikasis skaičius, didesnis už . Tada visiems n
> n 0 > turime 
visiems n. Kiekviena konverguojanti seka yra ribojama. Kiekviena monotoniška ir ribota seka turi ribą. Kiekviena konvergentinė seka turi unikalią ribą.
didėja ir ribota. Ji turi ribą 
=e.
yra:
nėra:
lygus.Apibrėžimas
Pavyzdžiai
Operacijos su sekomis
,
,
…,
visų aibės elementų sekų aibė X operacija f bus nustatyta taip:
. Jei iš eilės y n padėtis vis dar turi nulinį elementą, tada padalijimo iš tokios sekos rezultatas vis tiek gali būti apibrėžtas kaip seka 
.Pasekmės
Pavyzdžiai
Savybės
Sekos ribinis taškas
Sekos riba
Kai kurios sekos rūšys
Apribotos ir neribotos sekos
Skaitmeninės sekos ribotumo kriterijus
Apribotų sekų savybės
Be galo didelės ir be galo mažos sekos
Be galo mažų sekų savybės
Konvergencinės ir divergentinės sekos
Konvergencinių sekų savybės
Šiuo atveju pagrindinė skaičių seka visada suartėja (kaip ir bet kuri pagrindinė visos erdvės elementų seka).
užsakymo santykis
