Trigonometrinių lygčių 13 užduotis. Vieningo valstybinio egzamino užduočių pavyzdžiai

Vieningas valstybinis egzaminas matematikos profilio lygiu

Darbą sudaro 19 užduočių.
1 dalis:
8 pagrindinio sunkumo lygio trumpų atsakymų užduotys.
2 dalis:
4 trumpų atsakymų užduotys
7 užduotys su išsamiais, aukšto sudėtingumo atsakymais.

Veikimo trukmė – 3 valandos 55 minutės.

Vieningo valstybinio egzamino užduočių pavyzdžiai

Matematikos vieningo valstybinio egzamino uždavinio sprendimas.

Problema su sprendimu:

Taisyklingoje trikampėje piramidėje ABCS, kurios pagrindas ABC, žinomos šios briaunos: AB = 5 šaknys iš 3, SC = 13.
Raskite kampą, kurį sudaro pagrindo plokštuma ir tiesė, einanti per kraštinių AS ir BC vidurį.

Sprendimas:

1. Kadangi SABC yra taisyklingoji piramidė, tai ABC yra lygiakraštis trikampis, o likusios briaunos yra lygiašoniai trikampiai.
Tai reiškia, kad visos pagrindo kraštinės yra lygios 5 sqrt (3), o visi šoniniai kraštai yra lygūs 13.

2. Tegul D yra BC vidurio taškas, E yra AS vidurio taškas, SH yra aukštis, nusileidęs nuo taško S iki piramidės pagrindo, EP aukštis, nusileidęs nuo taško E iki piramidės pagrindo.

3. Raskite AD iš stačiojo trikampio CAD, naudodami Pitagoro teoremą. Pasirodo, 15/2 = 7,5.

4. Kadangi piramidė yra taisyklinga, taškas H yra trikampio ABC aukščių/medianų/pusiauklių susikirtimo taškas, todėl AD dalijasi santykiu 2:1 (AH = 2 AD).

5. Raskite SH iš stačiojo trikampio ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, pagal Pitagoro teoremą SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Trikampiai AEP ir ASH yra stačiakampiai ir turi bendrą kampą A, todėl panašūs. Pagal sąlygą AE = AS/2, o tai reiškia, kad AP = AH/2 ir EP = SH/2.

7. Belieka atsižvelgti į stačiakampį trikampį EDP (mes tiesiog domina kampas EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

kampo liestinė EDP = EP/DP = 6/5,
Kampas EDP = arctan (6/5)

Atsakymas:

Ar žinai ką?

Tarp visų figūrų, turinčių tą patį perimetrą, apskritimas turės didžiausią plotą. Ir atvirkščiai, tarp visų formų, turinčių tą patį plotą, apskritimas turės mažiausią perimetrą.

Leonardo da Vinci išvedė taisyklę, pagal kurią medžio kamieno skersmens kvadratas yra lygus bendrame fiksuotame aukštyje paimtų šakų skersmenų kvadratų sumai. Vėlesni tyrimai tai patvirtino tik vienu skirtumu – laipsnis formulėje nebūtinai lygus 2, o yra nuo 1,8 iki 2,3. Tradiciškai buvo manoma, kad šis modelis paaiškinamas tuo, kad tokios struktūros medis turi optimalų mechanizmą aprūpinti savo šakas maistinėmis medžiagomis. Tačiau 2010 metais amerikiečių fizikas Christophe'as Alloy'us rado paprastesnį mechaninį reiškinio paaiškinimą: jei medį laikysime fraktalu, tai Leonardo dėsnis sumažina šakų lūžimo tikimybę veikiant vėjui.

Laboratoriniai tyrimai parodė, kad bitės sugeba pasirinkti optimalų maršrutą. Lokalizavusi skirtingose ​​vietose padėtus žiedus, bitė skrenda ir grįžta atgal taip, kad galutinis kelias pasirodytų trumpiausias. Taigi šie vabzdžiai efektyviai susidoroja su klasikine informatikos „keliaujančio pardavėjo problema“, kurią spręsti šiuolaikiniai kompiuteriai, priklausomai nuo taškų skaičiaus, gali skirti ne vieną dieną.

Jei padauginsite savo amžių iš 7, tada padauginkite iš 1443, rezultatas bus jūsų amžius, parašytas tris kartus iš eilės.

Mes manome, kad neigiami skaičiai yra natūralūs, tačiau taip buvo ne visada. Pirmą kartą neigiami skaičiai buvo įteisinti Kinijoje III amžiuje, tačiau buvo naudojami tik išskirtiniais atvejais, nes apskritai jie buvo laikomi beprasmiais. Kiek vėliau neigiami skaičiai Indijoje pradėti naudoti skoloms žymėti, tačiau vakaruose jie neįsitvirtino – garsusis Diofantas Aleksandrietis teigė, kad lygtis 4x+20=0 yra absurdiška.

Amerikiečių matematikas George'as Dantzigas, būdamas universiteto magistrantūros studentas, vieną dieną pavėlavo į pamokas ir supainiojo lentoje užrašytas lygtis kaip namų darbus. Jam atrodė sunkiau nei įprastai, bet po kelių dienų jis sugebėjo tai užbaigti. Paaiškėjo, kad jis išsprendė dvi „neišsprendžiamas“ statistikos problemas, su kuriomis susidūrė daugelis mokslininkų.

Rusų matematinėje literatūroje nulis nėra natūralusis skaičius, o Vakarų literatūroje, priešingai, jis priklauso natūraliųjų skaičių aibei.

Mūsų naudojama dešimtainių skaičių sistema atsirado dėl to, kad žmonės turi 10 pirštų. Abstraktaus skaičiavimo gebėjimas žmonėms atsirado ne iš karto, o skaičiuojant pasirodė patogiausia naudoti pirštus. Majų civilizacija ir, nepriklausomai nuo jų, čiukčiai istoriškai naudojo dvidešimties skaitmenų sistemą, naudojo pirštus ne tik ant rankų, bet ir ant kojų pirštų. Senovės Šumere ir Babilone paplitusios dvylikapirštės ir šešiasdešimtinės sistemos taip pat buvo paremtos rankų naudojimu: nykščiu buvo skaičiuojamos kitų delno pirštų falangos, kurių skaičius yra 12.

Viena draugė paprašė Einšteino jai paskambinti, tačiau perspėjo, kad jos telefono numerį labai sunku prisiminti: - 24-361. Ar prisimeni? Pakartokite! Nustebęs Einšteinas atsakė: „Žinoma, prisimenu! Dvi dešimtys ir 19 kvadratų.

Stephenas Hawkingas yra vienas iš pirmaujančių teorinių fizikų ir mokslo populiarintojų. Savo pasakojime apie save Hawkingas paminėjo, kad jis tapo matematikos profesoriumi, negavęs jokio matematikos išsilavinimo nuo vidurinės mokyklos laikų. Kai Hawkingas pradėjo dėstyti matematiką Oksforde, jis vadovėlį perskaitė dviem savaitėmis anksčiau nei savo mokiniai.

Didžiausias skaičius, kurį galima parašyti romėniškais skaitmenimis nepažeidžiant Shvartsmano taisyklių (romėniškų skaitmenų rašymo taisyklių), yra 3999 (MMMCMXCIX) – iš eilės negalima rašyti daugiau nei trijų skaitmenų.

Yra daug palyginimų apie tai, kaip vienas žmogus pakviečia kitą sumokėti jam už kokią nors paslaugą tokiu būdu: į pirmą šachmatų lentos langelį įdės vieną ryžių grūdelį, ant antro – du ir taip toliau: ant kiekvieno kito langelio. dvigubai daugiau nei ankstesniame. Dėl to tas, kuris taip sumokės, tikrai bankrutuos. Tai nenuostabu: manoma, kad bendras ryžių svoris sieks daugiau nei 460 milijardų tonų.

Daugelyje šaltinių, dažnai siekiant paskatinti prastai besimokančius mokinius, yra teiginys, kad Einšteinas mokykloje nepasisekė matematikos arba, be to, apskritai labai prastai mokėsi visų dalykų. Tiesą sakant, viskas buvo ne taip: Albertas anksti pradėjo rodyti matematikos talentą ir žinojo tai toli už mokyklos programos ribų.

Pamokoje aptariamas Vieningo valstybinio informatikos egzamino 13 uždavinio sprendimas.

13 tema – „Informacijos kiekis“ – apibūdinama kaip padidinto sudėtingumo užduotys, atlikimo laikas – apie 3 min., maksimalus balas – 1

dirbant su tekstu

• Naudojant K bitas gali būti užkoduotas Q = 2 K įvairūs simboliai:
• K- abėcėlės galia
• K K simbolių parinktys
• 2 - dvejetainė skaičių sistema (duomenys saugomi dvejetaine forma)

N=2 i

• aš, reikia padauginti simbolių skaičių N pagal bitų skaičių vienam simboliui išsaugoti K:
• aš
• N— pranešimo ilgis (simbolių skaičius),
• K— bitų skaičius vienam simboliui išsaugoti.
• Šios dvi formulės naudojamos tas pats kintamasis:

Q = 2 K I = N * K

Pažvelkime į pavyzdį, naudojant dvi formules vienu metu:

Pavyzdys:
Pranešimo apimtis – 7,5 KB 7680 simbolių. Kokia yra abėcėlės galia?

• Naudokime formulę:

I = N*K;
aš— pranešimo dydis = 7,5 KB;
N— simbolių skaičius = 7680;
K- bitų skaičius vienam simboliui

• Raskime bitų skaičių, reikalingą 1 simboliui išsaugoti (pirmiausia konvertuokite reikšmę į bitus):

\[ K= \frac (7.5 * 2^(13))(7680) = \frac (7.5 * 2^(13))(15 * 2^9) = \frac (7.5 * 16 )(15) = 8 \]

tie. K = 8 bitai vienam simboliui

• Toliau naudojame formulę:

Q = 2 K
K— bitų, iš kurių reikia išsaugoti vieną simbolį, skaičius K simbolių parinktys (= 8)
K— abėcėlės galia, t.y. simbolių parinkčių skaičius

• 8 bitai vienam simboliui leidžia užkoduoti:

2 8 = 256 skirtingi simboliai
256 simboliai – tai galia

Atsakymas: 256

Informacijos kiekio matavimas
dirbant su įvairiomis sistemomis

• Naudojant K bitas gali būti užkoduotas Q = 2 K įvairūs (skaičiai) tam tikros sistemos objektų:
• K- bendras objektų skaičius tam tikroje sistemoje, apie kuriuos duomenys saugomi kompiuteryje arba perduodami pranešimu,
• K— bitų, skirtų vienam objektui saugoti, skaičius iš bendro skaičiaus K,
• 2 — dvejetainė skaičių sistema (duomenys saugomi dvejetaine forma).

* Priimami ir kiti pavadinimai: N=2 i

• Norėdami sužinoti pranešimo informacijos kiekį aš, reikia padauginti žinutėje esančių objektų skaičių - N- pagal bitų skaičių K saugoti vieną objektą:
• aš- pranešimo informacijos apimtis,
• N— žinutėje esančių objektų skaičius
• K— bitų skaičius vienam sistemos objektui saugoti.

Pavyzdys:
Gamyboje veikia automatinė sandėlio informavimo apie poreikį pristatyti tam tikras eksploatacinių medžiagų grupes į cechą sistema. Sistema suprojektuota taip, kad per komunikacijos kanalą į sandėlį perduodamas sąlyginis vartojimo reikmenų skaičius(naudojamas tas pats, bet minimalus galimas bitų skaičius dvejetainiame šio skaičiaus atvaizde). Yra žinoma, kad pristatymo užklausa išsiųsta 9 grupės medžiagos iš 19 naudota gamyboje. Nustatykite išsiųsto pranešimo garsumą (Atsakymą pateikite bitais)

• Naudokime formulę:

K— bitų skaičius vienam medžiagų grupės numeriui išsaugoti
K— bendras įvairių vartojimo reikmenų grupių skaičių skaičius = 19

• Norint išsaugoti vienos grupės numerį, reikia šiek tiek:

I = N*K;
aš— pranešimo apimtis = ? bitas;
N— perduotų grupių numerių skaičius (= 9);
K— bitų skaičius 1 skaičiui (= 5)

Atsakymas: 45

Užduočių sprendimas 13 Vieningas valstybinis informatikos egzaminas

Vieningas valstybinis informatikos egzaminas 2017 13 užduotis FIPI 1 variantas (Krylov S.S., Churkina T.E.):

7 33 - simbolių abėcėlė. Duomenų bazėje priskiriamas toks pat ir mažiausias įmanomas sveikasis skaičius informacijai apie kiekvieną vartotoją saugoti baitas šiek tiek. Be savo slaptažodžio, kiekvienam vartotojui sistemoje saugoma papildoma informacija, kuriai skiriamas sveikasis skaičius baitų; šis skaičius yra vienodas visiems vartotojams.

Norėdami saugoti informaciją apie 60 reikalingi vartotojai 900 baitas.

Kiek baitų skirta papildomai informacijai apie vieną vartotoją saugoti?
Atsakydami užrašykite tik sveikąjį skaičių – baitų skaičių.

• Pirmiausia nuspręskime dėl slaptažodžio. Pagal formulę Q = M N gauname:

Rezultatas: 9

Žingsnis po žingsnio šios 13-osios Vieningojo valstybinio informatikos egzamino užduoties sprendimas taip pat pateikiamas vaizdo pamokoje:

Vieningo valstybinio egzamino 2017 rinkinys D.M. Ušakova „10 treniruočių variantų...“ 1 variantas:

Kabelinis tinklas apklausia žiūrovus, kurį iš keturių filmų jie norėtų žiūrėti tą vakarą. Jie naudojasi kabeliniu tinklu 2000 Žmogaus. Dalyvavo balsavime 1200 Žmogaus.
Koks yra informacijos kiekis ( baitais) įrašyta automatine balsavimo sistema?

• Kadangi keturi filmo numeriai yra saugomi kompiuterinėje sistemoje, galime rasti bitų skaičių, reikalingą filmo numeriui išsaugoti:

Rezultatas: 300

Vieningo valstybinio egzamino 2017 kolekcija D.M. Ušakova „10 treniruočių variantų...“ 6 variantas:

Registruojantis kompiuterinėje sistemoje kiekvienam vartotojui suteikiamas slaptažodis, kurį sudaro 15 simbolių ir juose yra tik simboliai iš 12 - simbolių rinkinys A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N. Duomenų bazėje priskiriamas toks pat ir mažiausias įmanomas sveikasis skaičius informacijai apie kiekvieną vartotoją saugoti baitas. Šiuo atveju naudojamas slaptažodžių kodavimas po simbolio, visi simboliai užkoduojami tuo pačiu ir mažiausiu įmanomu skaičiumi šiek tiek. Be paties slaptažodžio, kiekvienam vartotojui sistemoje saugoma papildoma informacija, kuriai 12 baitų vienam vartotojui.

Nustatykite atminties kiekį ( baitais), reikalinga informacijai apie 30 vartotojų.
Atsakyme užrašykite tik sveikąjį skaičių – baitų skaičių.

✍ Sprendimas:

Rezultatas: 600

Šios vieningo valstybinio egzamino užduoties sprendimo pavyzdį rasite vaizdo pamokoje:

Vieningo valstybinio egzamino 2017 kolekcija D.M. Ušakova „10 treniruočių variantų...“ 10 variantas:

Laikydamas repeticijos egzaminą mokykloje 105 Žmogaus. Kiekvienam iš jų priskiriamas specialus numeris, kuris jį identifikuoja automatinėje atsakymų tikrinimo sistemoje. Registruojant dalyvį įrašyti jo numerį, sistema naudoja mažiausią galimą skaičių šiek tiek, tas pats kiekvienam dalyviui.

Kiek yra informacijos? bitais, įrašytas įrenginio po registracijos 60 dalyvių?

✍ Sprendimas:

Rezultatas: 420

Šios vieningo valstybinio egzamino užduoties sprendimo pavyzdį rasite vaizdo pamokoje:

13 užduotis. Vieningo valstybinio egzamino 2018 informatikos demonstracinė versija:

10 simbolių. Kaip simboliai vartojamos didžiosios lotyniškos abėcėlės raidės, t.y. 26 įvairių simbolių. Duomenų bazėje kiekvienas slaptažodis saugomas tuo pačiu ir mažiausiu įmanomu sveikuoju skaičiumi baitas. Šiuo atveju naudojamas slaptažodžių kodavimas po simbolio, visi simboliai užkoduojami tuo pačiu ir mažiausiu įmanomu skaičiumi šiek tiek.

Nustatykite atminties kiekį ( baitais), reikalingas duomenims apie 50 vartotojų.
Atsakyme užrašykite tik sveikąjį skaičių – baitų skaičių.

• Pagrindinė šios problemos sprendimo formulė yra tokia:

Kur K— simbolių variantų, kuriuos galima užkoduoti naudojant, skaičius Nšiek tiek.

• Norėdami sužinoti bitų skaičių, reikalingą vienam slaptažodžiui išsaugoti, pirmiausia turite rasti bitų skaičių, reikalingą slaptažodžio 1 simboliui išsaugoti. Naudodami formulę gauname:

Rezultatas: 350

Norėdami sužinoti išsamų 2018 m. vieningo valstybinio egzamino demonstracinės versijos 13 užduoties sprendimą, žiūrėkite vaizdo įrašą:

Vieningo valstybinio egzamino informatikos uždavinio 13 sprendimas (egzamino darbo diagnostinė versija, Vieningo valstybinio egzamino simuliatorius 2018, S.S. Krylovas, D.M. Ušakovas):

Kai kuriose šalyse valstybinį numerį sudaro 7 simboliai. Kiekvienas veikėjas gali būti vienas iš 18 įvairios raidės arba dešimtainės numerį.

Kiekvienas toks skaičius kompiuterinėje programoje rašomas kaip mažiausias galimas ir toks pat sveikasis skaičius baitas, šiuo atveju naudojama koduotė po simbolio ir kiekvienas simbolis užkoduojamas tuo pačiu ir mažiausiu įmanomu skaičiumi šiek tiek.

Nustatykite atminties kiekį baitų, kurią ši programa skyrė įrašymui 50 numeriai.

• Kadangi skaičius gali naudoti bet kurią raidę nuo 18 , arba vienas skaitmuo nuo 10 , tada gali būti naudojamas tik vienas skaičiaus simbolis 28 simboliai:

Rezultatas: 250

Vaizdo įrašo analizė:

Vieningo valstybinio egzamino informatikos uždavinio 13 sprendimas (egzamino darbo kontrolinė versija Nr. 1, Simuliatorius 2018, S.S. Krylovas, D.M. Ušakovas):

Išlaikyti repeticijos egzaminą 9 teka pro šalį 100 žmogus kiekviename. Kiekvienam iš jų priskiriamas specialus kodas, susidedantis iš gijos numerio ir skaičiaus sraute. Koduojant šiuos dalyvių numerius, tikrinimo sistema naudoja mažiausią įmanomą skaičių šiek tiek, tas pats kiekvienam dalyviui, atskirai gijos numeriui ir numeriui sraute. Šiuo atveju kodui parašyti naudojamas mažiausias įmanomas ir identiškas sveikasis skaičius baitų.
Kiek informacijos baitais įrašo įrenginys po registracijos 80 dalyvių?
Atsakyme nurodykite tik numerį.

• Kodas susideda iš dviejų komponentų: 1. srauto numerio (bitais) ir 2. eilės numerio (bitais). Raskime bitų skaičių, reikalingą jiems išsaugoti:

Rezultatas: 160

Užduoties vaizdo analizė:

Vieningo valstybinio egzamino informatikos užduoties 13 sprendimas (K. Polyakovas, t. 4):

Pranešimo apimtis – 7,5 KB. Yra žinoma, kad šiame pranešime yra 7680 simbolių. Kokia yra abėcėlės galia?

• Naudokime formulę:

I = 7,5 KB = 7,5 * 2 13 bitų

\[ K = \frac (7,5 * 2^ (13)) (7680) = \frac (7,5 * 2^ (13)) (15 * 2^9) = \frac (7,5 * 16 ) (15) = 8 \]

2 8 = 256 įvairūs personažai
(pagal formulę Q = 2 N)

Rezultatas: 256

Po kitos užduoties pateikiama užduoties vaizdo analizė.

Pranešimo (teksto) kodavimas:

Vieningo valstybinio egzamino informatikos užduoties 13 sprendimas (K. Polyakovas, t. 6):

Abėcėlės galia yra 256 . Kiek KB atminties reikės norint išsaugoti 160 puslapių teksto, kurių sudėtyje yra vidutiniškai 192 simboliai kiekviename puslapyje?

• Raskime bendrą simbolių skaičių visuose puslapiuose (patogumui naudosime dviejų galias):

\[ I = (15 * 2^(11)) * 2^3 bitai = \frac (15 * 2^(14))(2^(13)) KB = 30 KB \]

aš = 30 KB

Rezultatas: 30

Žiūrėkite išsamią teksto kodavimo užduočių analizę: nuo 1 iki 2100, mėnesio numerį (dieną nuo 1 iki 12) ir mėnesio dienos skaičius (diena nuo 1 iki 31). Kiekvienas laukas rašomas atskirai nuo kitų laukų, naudojant mažiausią įmanomą bitų skaičių.
Nustatykite mažiausią bitų skaičių, reikalingą vienam įrašui užkoduoti.

• Reikalinga formulė Q = 2n.
• Apskaičiuokime reikiamą bitų skaičių kiekvienam viso įrašo elementui išsaugoti:

Vieningo valstybinio egzamino informatikos užduoties 13 sprendimas (K. Polyakovas, t. 33):

Valstybinį numerį sudaro kelios raidės (raidių skaičius visuose numeriuose yra vienodas), po kurių seka trys skaitmenys. Šiuo atveju jie naudojami 10 skaitmenų ir tik 5 raides: N, O, M, E Ir R. Turite turėti bent 100 tūkst skirtingi skaičiai.
Koks yra mažiausias raidžių skaičius, kuris turėtų būti valstybinio numerio numeryje?

• Reikalinga formulė Q = m n.

Rezultatas: 3

Kviečiame pažiūrėti užduoties vaizdo analizę:

Vieningo valstybinio egzamino informatikos užduoties 13 sprendimas (K. Polyakovas, t. 58):

Registruojantis kompiuterinėje sistemoje kiekvienam vartotojui suteikiamas slaptažodis, kurį sudaro 9 simboliai. Simboliai naudojami didžiosios ir mažosios raidės lotyniškos abėcėlės raidės (joje 26 simboliai), taip pat dešimtainiai skaitmenys. Duomenų bazė skiria tokį patį ir minimalų įmanomą sveikų skaičių baitų informacijai apie kiekvieną vartotoją saugoti. Šiuo atveju naudojamas slaptažodžių kodavimas po ženklą, visi simboliai koduojami vienodu ir mažiausiu įmanomu bitų skaičiumi. Be paties slaptažodžio, kiekvienam vartotojui sistemoje yra saugoma papildoma informacija, kuriai skirta 18 baitų vienam vartotojui. Kompiuterinėje sistemoje jis yra paskirstytas 1 KB saugoti informaciją apie vartotojus.

Koks didžiausias vartotojų skaičius gali būti saugomas sistemoje? Atsakyme įrašykite tik sveikąjį skaičių – vartotojų skaičių.

• Kadangi naudojamos ir didžiosios, ir mažosios raidės, gauname iš viso kodavimo simbolių parinkčių:

Rezultatas: 40

Žiūrėkite vaizdo įrašą su užduoties sprendimu:

Vieningo valstybinio matematikos egzamino profilio lygio 13 užduotyje būtina išspręsti lygtį, tačiau padidinto sudėtingumo, nes ankstesnio C lygio užduotys prasideda nuo 13 užduoties, o ši užduotis gali būti vadinama C1. . Pereikime prie tipinių užduočių pavyzdžių.

Vieningojo valstybinio matematikos egzamino profilio lygio užduočių Nr. 13 tipinių variantų analizė

Pirmoji užduoties versija (2018 m. demonstracinė versija)

a) Išspręskite lygtį cos2x = 1-cos(n/2-x)

b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui [-5n/2;-n].

Sprendimo algoritmas:

1. t
2. Atliekame atvirkštinį pakaitalą ir išsprendžiame paprasčiausias trigonometrines lygtis.

1. Mes statome skaičių ašį.
2. Jai pritaikome šaknis.
3. Pažymėkite segmento galus.
4. Mes pasirenkame tas vertes, kurios yra intervale.
5. Užrašome atsakymą.

Sprendimas:

1. Transformuokite dešinę lygybės pusę naudodami redukcijos formulę cos( π/ 2−x)=nuodėmė x. Turime:

сos2x = 1 – nuodėmė x.

Transformuokime kairę lygties pusę naudodami dvigubo argumento kosinuso formulę naudodami sinusą:

cos(2x)=1–2sin 2 x

Gauname tokią lygtį: 1−sin 2 x=1− nuodėmė x

Dabar lygtyje yra tik viena trigonometrinė funkcija sin x.

2. Įveskite pakaitalą: t= nuodėmė x. Išsprendžiame gautą kvadratinę lygtį:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 arba -2t + 1 = 0,

t 1 = 0 t 2 = 1/2.

3. Atliekame atvirkštinį pakeitimą:

nuodėmė x= 0 arba nuodėmė x = ½

Išspręskime šias lygtis:

nuodėmė x =0↔x=πn, nЄZ

nuodėmė ( x)=1/2↔x= (-1) n ∙( π/6)+πn, nЄZ.

Todėl gauname dvi sprendimų šeimas.

1. Ankstesnėje pastraipoje gautos dvi šeimos, kurių kiekviena turi be galo daug sprendinių. Būtina išsiaiškinti, kurie iš jų yra tam tikrame intervale. Norėdami tai padaryti, sukuriame skaičių eilutę.

2. Jai pritaikome abiejų šeimų šaknis, pažymėdami žalia (pirma) ir mėlyna (antra) spalvomis.

3. Raudonai pažymėkite tarpo galus.

4. Nurodytame intervale yra trys šaknys, kurios yra trys šaknys: −2 π ;−11π/ 6 ir -7 π/ 6.

A) πn, nЄZ;(-1) n ∙( π/6)+πn, nЄZ

b) −2 π ;−11π 6;−7π 6

Antroji užduoties versija (iš Jaščenkos, Nr. 1)

a) Išspręskite lygtį.

Sprendimo algoritmas:

1. Šią funkciją pakeičiame kintamuoju t ir išspręskite gautą kvadratinę lygtį.
2. Atliekame atvirkštinį pakeitimą ir išsprendžiame paprasčiausias eksponenlines, tada trigonometrines lygtis.

1. Sukonstruojame koordinačių plokštumą ir joje vienetinio spindulio apskritimą.
2. Pažymime taškus, kurie yra atkarpos galai.
3. Mes pasirenkame tas vertes, kurios yra segmento viduje.
4. Užrašome atsakymą.

Sprendimas:

1. Įvedame pakaitalą t = 4 cos x. tada lygtis bus tokia:

Kvadratinę lygtį išsprendžiame naudodami diskriminantinės ir šaknies formules:

D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,

t 1 = (9–7)/8= ¼, t 2 = (9+7)/8=2.

1. Sukonstruokite koordinačių plokštumą ir joje vienetinio spindulio apskritimą.

2. Pažymėkite taškus, kurie yra atkarpos galai.

3. Pasirinkite segmento viduje esančias reikšmes.

Tai yra šaknys. Jų yra dvi.

A)

Trečia užduoties versija (iš Jaščenkos, Nr. 6)

a) Išspręskite lygtį .

b) Raskite visas atkarpai priklausančias šios lygties šaknis.

Sprendimo algoritmas:

1. Naudodami trigonometrines formules, lygtį sumažiname iki formos, kurioje yra tik viena trigonometrinė funkcija.
2. Šią funkciją pakeičiame kintamuoju t ir išspręskite gautą kvadratinę lygtį.
3. Atliekame atvirkštinį pakaitalą ir išsprendžiame paprasčiausias eksponenlines, o paskui trigonometrines lygtis.

1. Nelygybes sprendžiame kiekvienu atveju.
2. Užrašome atsakymą.

Sprendimas:

1. Redukcijos formulių naudojimas .

2. Tada ši lygtis bus tokia:

3. Pristatome pakeitimą. Mes gauname:

Įprastą kvadratinę lygtį išsprendžiame naudodami diskriminantinės ir šaknies formules:

Abi šaknys yra teigiamos.

3. Grįžti į kintamąjį x: