Kampas tarp plokštumų koordinačių pavidalu. Kampas tarp plokštumų

Kampo tarp dviejų skirtingų plokštumų dydį galima nustatyti bet kuriai santykinei plokštumų padėčiai.

Trivialus atvejis, jei plokštumos lygiagrečios. Tada kampas tarp jų laikomas lygiu nuliui.

Nebanalus atvejis, jei plokštumos susikerta. Šis atvejis yra tolesnių diskusijų objektas. Pirmiausia mums reikia dvikampio kampo sąvokos.

9.1 Dvikampis kampas

Dvikampis kampas yra dvi pusiau plokštumos, turinčios bendrą tiesę (kuri vadinama dvikampio kampo briauna). Fig. 50 parodytas dvikampis kampas, sudarytas iš pusplokštumų ir; šio dvikampio kampo briauna yra tiesi linija a, bendra šioms pusplokštumoms.

Ryžiai. 50. Dvikampis kampas

Dvikampis kampas gali būti matuojamas laipsniais arba radianais vienu žodžiu, įveskite dvikampio kampo vertę. Tai daroma taip.

Dvikampio kampo, kurį sudaro pusiau plokštumai ir briauna, paimame savavališką tašką M. Nubrėžkime spindulius MA ir MB, atitinkamai gulinčius šiose pusplokštumose ir statmenus kraštui (51 pav.).

Ryžiai. 51. Tiesinis dvikampis kampas

Gautas kampas AMB yra dvikampio kampo tiesinis kampas. Kampas " = \AMB yra būtent mūsų dvikampio kampo vertė.

Apibrėžimas. Dvikampio kampo kampinis dydis yra tam tikro dvikampio kampo tiesinio kampo dydis.

Visi dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lygūs vienas kitam (juk jie gaunami vienas nuo kito lygiagrečiu poslinkiu). Todėl šis apibrėžimas yra teisingas: reikšmė " nepriklauso nuo konkretaus taško M pasirinkimo dvikampio kampo krašte.

9.2 Kampo tarp plokštumų nustatymas

Kai susikerta dvi plokštumos, gaunami keturi dvikampiai kampai. Jei jie visi yra vienodo dydžio (po 90), tada plokštumos vadinamos statmenomis; Tada kampas tarp plokštumų yra 90 laipsnių.

Jei ne visi dvikampiai kampai yra vienodi (tai yra du smailieji ir du bukieji), tai kampas tarp plokštumų yra smailiojo dvisienio kampo reikšmė (52 pav.).

Ryžiai. 52. Kampas tarp plokštumų

9.3 Problemų sprendimo pavyzdžiai

Pažvelkime į tris problemas. Pirmasis yra paprastas, antrasis ir trečiasis yra maždaug C2 lygio vieningo valstybinio matematikos egzamino.

1 uždavinys. Raskite kampą tarp dviejų taisyklingo tetraedro paviršių.

Sprendimas. Tegul ABCD yra taisyklingas tetraedras. Nubrėžkime atitinkamų paviršių medianas AM ir DM bei tetraedro DH aukštį (53 pav.).

Ryžiai. 53. Į 1 užduotį

Būdami medianos, AM ir DM taip pat yra lygiakraščių trikampių ABC ir DBC aukščiai. Todėl kampas " = \AMD yra dvikampio kampo, sudaryto iš paviršių ABC ir DBC, tiesinis kampas. Randame jį iš trikampio DHM:

Atsakymas: arccos 1 3 .

2 uždavinys. Taisyklingos keturkampės piramidės SABCD (su viršūne S) šoninė briauna lygi pagrindo kraštinei. Taškas K yra krašto SA vidurys. Raskite kampą tarp plokštumų

Sprendimas. Tiesė BC lygiagreti AD, taigi lygiagreti plokštumai ADS. Todėl plokštuma KBC kerta plokštumą ADS išilgai tiesės KL, lygiagrečią BC (54 pav.).

Ryžiai. 54. Į 2 užduotį

Šiuo atveju KL taip pat bus lygiagreti linijai AD; todėl KL yra trikampio ADS vidurio linija, o taškas L yra DS vidurio taškas.

Raskime piramidės aukštį SO. Tegul N yra DO vidurys. Tada LN yra vidurinė trikampio DOS linija, taigi LN k SO. Tai reiškia, kad LN yra statmena plokštumai ABC.

Nuo taško N statmeną NM nuleidžiame iki tiesės BC. Tiesi linija NM bus pasvirusios LM projekcija į ABC plokštumą. Iš trijų statmenų teoremos išplaukia, kad LM taip pat yra statmena BC.

Taigi kampas " = \LMN yra dvikampio kampo, sudaryto iš pusplokštumų KBC ir ABC, tiesinis kampas. Šio kampo ieškosime iš stačiojo trikampio LMN.

Tegul piramidės kraštinė lygi a. Pirmiausia randame piramidės aukštį:

Sprendimas. Tegu L yra tiesių A1 K ir AB susikirtimo taškas. Tada plokštuma A1 KC kerta plokštumą ABC išilgai tiesės CL (55 pav.).

A C

Ryžiai. 55. Prie 3 uždavinio

Trikampiai A1 B1 K ir KBL yra lygūs kojos ir smailiu kampu. Todėl kitos kojos yra lygios: A1 B1 = BL.

Apsvarstykite trikampį ACL. Jame BA = BC = BL. Kampas CBL yra 120; todėl \BCL = 30 . Be to, \BCA = 60 . Todėl \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Taigi, LC? AC. Bet linija AC tarnauja kaip linijos A1 C projekcija į plokštumą ABC. Pagal trijų statmenų teoremą darome išvadą, kad LC ? A1 C.

Taigi kampas A1 CA yra dvikampio kampo, sudaryto iš pusplokštumų A1 KC ir ABC, tiesinis kampas. Tai yra norimas kampas. Iš lygiašonio stačiojo trikampio A1 AC matome, kad jis lygus 45.

Šis straipsnis yra apie kampą tarp plokštumų ir kaip jį rasti. Pirma, pateikiamas kampo tarp dviejų plokštumų apibrėžimas ir pateikiama grafinė iliustracija. Po to analizuojamas kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymo koordinačių metodu principas ir gaunama formulė, leidžianti apskaičiuoti kampą tarp susikertančių plokštumų naudojant žinomas šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates. Pabaigoje pateikiami išsamūs tipinių problemų sprendimai.

Puslapio naršymas.

Kampas tarp plokštumų – apibrėžimas.

Pateiksime argumentus, kurie leis palaipsniui priartėti prie kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymo.

Leiskite mums pateikti dvi susikertančias plokštumas ir . Šios plokštumos susikerta išilgai tiesės, kurią žymime raide c. Sukonstruokime plokštumą, einančią per tiesės c tašką M ir statmeną tiesei c. Tokiu atveju plokštuma susikirs su plokštumais ir. Tiesę, išilgai kurios plokštumos susikerta, pažymėkime kaip a, o tiesę, išilgai kurios plokštumos susikerta, kaip b. Akivaizdu, kad tiesės a ir b susikerta taške M.

Nesunku parodyti, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b nepriklauso nuo taško M vietos tiesėje c, per kurią eina plokštuma.

Sukonstruokime plokštumą, statmeną tiesei c ir skirtingą nuo plokštumos. Plokštumą kerta plokštumos ir išilgai tiesių linijų, kurias atitinkamai žymime kaip a 1 ir b 1.

Iš plokštumų konstravimo metodo išplaukia, kad tiesės a ir b yra statmenos tiesei c, o tiesės a 1 ir b 1 yra statmenos tiesei c. Kadangi tiesės a ir a 1 yra toje pačioje plokštumoje ir yra statmenos tiesei c, tada jos yra lygiagrečios. Panašiai tiesės b ir b 1 yra toje pačioje plokštumoje ir yra statmenos tiesei c, todėl yra lygiagrečios. Taigi galima atlikti lygiagretų plokštumos perkėlimą į plokštumą, kurioje tiesė a 1 sutampa su tiese a, o tiesė b su tiese b 1. Todėl kampas tarp dviejų susikertančių tiesių a 1 ir b 1 yra lygus kampui tarp susikertančių tiesių a ir b.

Tai įrodo, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b, esančių susikertančiose plokštumose, nepriklauso nuo taško M, per kurį eina plokštuma, pasirinkimo. Todėl logiška šį kampą laikyti kampu tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Dabar galite išreikšti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų ir.

Apibrėžimas.

Kampas tarp dviejų plokštumų, susikertančių tiesia linija ir- tai kampas tarp dviejų susikertančių tiesių a ir b, išilgai kurių plokštumos ir susikerta su plokštuma, statmena tiesei c.

Kampo tarp dviejų plokštumų apibrėžimas gali būti pateiktas šiek tiek kitaip. Jei tiesėje c, išilgai kurios plokštumos ir susikerta, pažymėkite tašką M ir per jį nubrėžkite tieses a ir b, statmenas tiesei c ir gulinčias atitinkamai plokštumose, tada kampas tarp tiesių a ir b yra kampas tarp plokštumų ir. Dažniausiai praktikoje atliekamos būtent tokios konstrukcijos, kad būtų gautas kampas tarp plokštumų.

Kadangi kampas tarp susikertančių tiesių neviršija , iš pateikto apibrėžimo matyti, kad kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų laipsnio matas išreiškiamas realiuoju skaičiumi iš intervalo. Šiuo atveju vadinamos susikertančios plokštumos statmenai, jei kampas tarp jų yra devyniasdešimt laipsnių. Kampas tarp lygiagrečių plokštumų arba visai nenustatomas, arba laikomas lygiu nuliui.

Kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymas.

Dažniausiai, ieškant kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų, pirmiausia reikia atlikti papildomas konstrukcijas, kad pamatytumėte susikertančias tieses, kurių kampas lygus norimam kampui, o po to šį kampą susieti su pirminiais duomenimis naudojant lygybės testus, panašumą. testai, kosinuso teorema arba kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimai. Vidurinės mokyklos geometrijos kursuose iškyla panašių problemų.

Kaip pavyzdį pateikiame 2012 m. Vieningo valstybinio matematikos egzamino C2 uždavinio sprendimą (sąlyga buvo tyčia pakeista, bet tai neturi įtakos sprendimo principui). Jame tereikėjo rasti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Pavyzdys.

Sprendimas.

Pirma, padarykime piešinį.

Atlikime papildomas konstrukcijas, kad „pamatytų“ kampas tarp plokštumų.

Pirmiausia apibrėžkime tiesę, išilgai kurios susikerta plokštumos ABC ir BED 1. Taškas B yra vienas iš jų bendrų taškų. Raskime antrą bendrą šių plokštumų tašką. Tiesės DA ir D 1 E yra toje pačioje plokštumoje ADD 1 ir nėra lygiagrečios, todėl susikerta. Kita vertus, tiesė DA yra plokštumoje ABC, o tiesė D 1 E yra plokštumoje BED 1, todėl tiesių DA ir D 1 E susikirtimo taškas bus bendras plokštumų ABC ir BED 1 taškas. Taigi, tęskime eilutes DA ir D 1 E iki jų sankirtos, pažymėdami jų susikirtimo tašką su raide F. Tada BF yra tiesi linija, išilgai kurios susikerta plokštumos ABC ir BED 1.

Belieka sukonstruoti dvi tieses, esančias atitinkamai plokštumose ABC ir BED 1, einančias per vieną tašką tiesėje BF ir statmenas tiesei BF - kampas tarp šių linijų pagal apibrėžimą bus lygus norimam kampui tarp lėktuvai ABC ir BED 1. Padarykime tai.

Taškas A yra taško E projekcija į plokštumą ABC. Nubrėžkime tiesę, kertančią tiesę BF stačiu kampu taške M. Tada tiesė AM yra tiesės EM projekcija į plokštumą ABC ir pagal trijų statmenų teoremą.

Taigi reikalingas kampas tarp plokštumų ABC ir BED 1 lygus .

Šio kampo (taigi ir paties kampo) sinusą, kosinusą arba liestinę galime nustatyti iš stačiojo trikampio AEM, jei žinome jo dviejų kraštinių ilgius. Iš sąlygos nesunku rasti ilgį AE: kadangi taškas E dalija kraštinę AA 1 santykiu 4 su 3, skaičiuojant nuo taško A, o kraštinės AA 1 ilgis yra 7, tai AE = 4. Raskime ilgį AM.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačią trikampį ABF su stačiu kampu A, kur AM yra aukštis. Pagal sąlygą AB = 2. Kraštinės AF ilgį galime rasti pagal stačiųjų trikampių DD 1 F ir AEF panašumą:

Naudodami Pitagoro teoremą randame iš trikampio ABF. Ilgį AM randame per trikampio ABF plotą: vienoje pusėje trikampio ABF plotas lygus , kitoje pusėje , kur .

Taigi iš dešiniojo trikampio AEM turime .

Tada reikalingas kampas tarp plokštumų ABC ir BED 1 yra lygus (atkreipkite dėmesį, kad ).

Atsakymas:

Kai kuriais atvejais norint rasti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų, patogu nustatyti Oxyz ir naudoti koordinačių metodą. Sustokime čia.

Iškelkime užduotį: raskite kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų ir . Norimą kampą pažymėkime kaip .

Darysime prielaidą, kad duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz žinome susikertančių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates ir arba turime galimybę jas rasti. Leiskite yra normalusis plokštumos vektorius, ir yra normalusis plokštumos vektorius. Parodysime, kaip rasti kampą tarp susikertančių plokštumų ir per šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates.

Tiesią liniją, išilgai kurios plokštumos ir susikerta, pažymėkime kaip c. Per tašką M tiesėje c nubrėžiame tiesei c statmeną plokštumą. Plokštuma kerta plokštumas ir išilgai tiesių a ir b atitinkamai tiesės a ir b susikerta taške M. Pagal apibrėžimą kampas tarp susikertančių plokštumų ir yra lygus kampui tarp susikertančių tiesių a ir b.

Nubraižykime normaliuosius vektorius ir plokštumas bei nuo taško M plokštumoje. Šiuo atveju vektorius yra ant tiesės, kuri yra statmena tiesei a, o vektorius yra ant tiesės, kuri yra statmena tiesei b. Taigi plokštumoje vektorius yra normalusis tiesės a vektorius, yra tiesės b normalusis vektorius.

Straipsnyje apie kampą tarp susikertančių tiesių gavome formulę, kuri leidžia apskaičiuoti kampo tarp susikertančių tiesių kosinusą naudojant normaliųjų vektorių koordinates. Taigi kampo tarp tiesių a ir b kosinusas ir, atitinkamai, kampo tarp susikertančių plokštumų kosinusas ir randama pagal formulę, kur Ir yra plokštumų ir atitinkamai normalieji vektoriai. Tada jis apskaičiuojamas kaip .

Išspręskime ankstesnį pavyzdį naudodami koordinačių metodą.

Pavyzdys.

Duotas stačiakampis gretasienis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kuriame AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ir taškas E dalija kraštinę AA 1 santykiu nuo 4 iki 3, skaičiuojant nuo taško A. Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir BED 1.

Sprendimas.

Kadangi stačiakampio gretasienio kraštinės vienoje viršūnėje yra statmenos poromis, stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz patogu įvesti taip: pradžią sulygiuokite su viršūne C, o koordinačių ašis Ox, Oy ir Oz nukreipkite išilgai CD kraštinių. , CB ir CC 1 atitinkamai.

Kampą tarp ABC ir BED 1 plokštumų galima rasti per šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates, naudojant formulę , kur ir yra atitinkamai ABC ir BED 1 plokštumų normalieji vektoriai. Nustatykime normaliųjų vektorių koordinates.

Straipsnyje kalbama apie kampo tarp plokštumų nustatymą. Pateikę apibrėžimą, pateiksime grafinę iliustraciją ir apsvarstysime išsamų koordinačių radimo metodą. Gauname susikertančių plokštumų formulę, kuri apima normaliųjų vektorių koordinates.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Medžiagoje bus naudojami duomenys ir sąvokos, kurios anksčiau buvo tiriamos straipsniuose apie plokštumą ir liniją erdvėje. Pirma, būtina pereiti prie samprotavimo, kuris leidžia mums turėti tam tikrą požiūrį į kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymą.

Duotos dvi susikertančios plokštumos γ 1 ir γ 2. Jų sankryža bus žymima c. χ plokštumos konstrukcija yra susijusi su šių plokštumų susikirtimu. Plokštuma χ eina per tašką M kaip tiesė c. Plokštumų γ 1 ir γ 2 susikirtimas bus atliktas naudojant plokštumą χ. Tiesės, kertančios γ 1 ir χ, žymėjimą laikome tiese a, o tiesę, kertančią γ 2 ir χ – tiese b. Pastebime, kad tiesių a ir b sankirta suteikia tašką M.

Taško M vieta neturi įtakos kampui tarp susikertančių tiesių a ir b, o taškas M yra tiesėje c, per kurią eina plokštuma χ.

Būtina sukonstruoti plokštumą χ 1, statmeną tiesei c ir skirtingą nuo plokštumos χ. Plokštumų γ 1 ir γ 2 sankirta naudojant χ 1 įgaus tiesių a 1 ir b 1 žymėjimą.

Matyti, kad statant χ ir χ 1 tiesės a ir b yra statmenos tiesei c, tada a 1, b 1 yra statmenos tiesei c. Radus tieses a ir a 1 plokštumoje γ 1 su statmena tiesei c, tada jas galima laikyti lygiagrečiomis. Lygiai taip pat b ir b 1 vieta γ 2 plokštumoje, statmena tiesei c, rodo jų lygiagretumą. Tai reiškia, kad reikia lygiagrečiai perkelti plokštumą χ 1 į χ, kur gauname dvi sutampančios tiesės a ir a 1, b ir b 1. Pastebime, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b 1 yra lygus susikertančių tiesių a ir b kampui.

Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Šį teiginį įrodo tai, kad tarp susikertančių tiesių a ir b yra kampas, kuris nepriklauso nuo taško M vietos, tai yra, susikirtimo taško. Šios linijos yra plokštumose γ 1 ir γ 2. Tiesą sakant, gautas kampas gali būti laikomas kampu tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Pereikime prie kampo tarp esamų susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 nustatymo.

1 apibrėžimas

Kampas tarp dviejų susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 vadinamas kampas, sudarytas tiesių a ir b susikirtimo, kur plokštumos γ 1 ir γ 2 turi sankirtą su plokštuma χ, statmena tiesei c.

Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Sprendimas gali būti pateiktas ir kita forma. Kai plokštumos γ 1 ir γ 2 susikerta, kur c yra tiesė, kurioje jos susikirto, pažymėkite tašką M, per kurį nubrėžkite tieses a ir b, statmenas tiesei c ir gulinčias plokštumose γ 1 ir γ 2, tada kampas tarp tiesės a ir b bus kampas tarp plokštumų. Praktiškai tai taikoma kuriant kampą tarp plokštumų.

Susikertant susidaro kampas, kurio vertė yra mažesnė nei 90 laipsnių, tai yra, kampo laipsnio matas galioja tokio tipo intervale (0, 90]. Kartu šios plokštumos vadinamos statmenomis, jei sankirtoje susidaro stačiakampis Kampas tarp lygiagrečių plokštumų laikomas lygiu nuliui.

Įprastas būdas rasti kampą tarp susikertančių plokštumų – atlikti papildomas konstrukcijas. Tai padeda tiksliai nustatyti, o tai galima padaryti naudojant trikampio lygybės ar panašumo ženklus, kampo sinusus ir kosinusus.

Apsvarstykite, kaip išspręsti problemas naudojant pavyzdį iš Vieningo valstybinio egzamino uždavinių bloko C 2.

1 pavyzdys

Duotas stačiakampis gretasienis A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, kur kraštinė A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, taškas E dalija kraštinę A A 1 santykiu 4:3. Raskite kampą tarp plokštumų A B C ir B E D 1.

Sprendimas

Aiškumo dėlei būtina padaryti piešinį. Mes tai gauname

Vaizdinis vaizdas būtinas, kad būtų patogiau dirbti su kampu tarp plokštumų.

Nustatome tiesę, išilgai kurios įvyksta plokštumų A B C ir B E D 1 susikirtimas. Taškas B yra bendras taškas. Reikėtų rasti kitą bendrą susikirtimo tašką. Panagrinėkime tieses D A ir D 1 E, kurios yra toje pačioje plokštumoje A D D 1. Jų vieta nerodo lygiagretumo, tai reiškia, kad jie turi bendrą susikirtimo tašką.

Tačiau tiesė D A yra plokštumoje A B C, o D 1 E – B E D 1. Iš to gauname, kad tiesios linijos D A Ir D 1 E turi bendrą susikirtimo tašką, kuris yra bendras plokštumoms A B C ir B E D 1. Nurodo linijų susikirtimo tašką D A ir D1E raidė F. Iš to gauname, kad B F yra tiesi linija, išilgai kurios susikerta plokštumos A B C ir B E D 1.

Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Norint gauti atsakymą, reikia sukonstruoti tieses, esančias plokštumose A B C ir B E D 1, einančias per tašką, esantį tiesėje B F ir jai statmeną. Tada gautas kampas tarp šių tiesių laikomas norimu kampu tarp plokštumų A B C ir B E D 1.

Iš to matome, kad taškas A yra taško E projekcija į plokštumą A B C. Reikia nubrėžti tiesę, kertančią tiesę B F stačiu kampu taške M. Matyti, kad tiesė A M yra projekcija tiesės E M į plokštumą A B C, remiantis teorema apie tuos statmenis A M ⊥ B F . Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

∠ A M E – norimas kampas, suformuotas plokštumų A B C ir B E D 1. Iš gauto trikampio A E M galime rasti kampo sinusą, kosinusą arba liestinę, o tada ir patį kampą, tik jei žinomos dvi jo kraštinės. Pagal sąlygą gauname, kad ilgis A E randamas tokiu būdu: tiesė A A 1 padalinta iš taško E santykiu 4:3, tai reiškia, kad bendras tiesės ilgis yra 7 dalys, tada A E = 4 dalys. Mes randame A M.

Būtina atsižvelgti į statųjį trikampį A B F. Turime statųjį kampą A, kurio aukštis A M. Iš sąlygos A B = 2, tada ilgį A F galime rasti pagal trikampių D D 1 F ir A E F panašumą. Gauname, kad A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Naudojant Pitagoro teoremą reikia rasti trikampio A B F kraštinės B F ilgį. Gauname, kad B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Kraštinės A M ilgis randamas per trikampio A B F plotą. Turime, kad plotas gali būti lygus ir S A B C = 1 2 · A B · A F ir S A B C = 1 2 · B F · A M .

Gauname, kad A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Tada galime rasti trikampio A E M kampo liestinės reikšmę. Gauname:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Norimas kampas, gautas susikirtus plokštumų A B C ir B E D 1, lygus a r c t g 5, tada supaprastinus gauname a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

Atsakymas: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Kai kurie kampo tarp susikertančių tiesių radimo atvejai nurodomi naudojant koordinačių plokštumą O x y z ir koordinačių metodą. Pažiūrėkime atidžiau.

Jei jums pateikiama užduotis, kurioje reikia rasti kampą tarp susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2, norimą kampą pažymime kaip α.

Tada duotoji koordinačių sistema parodo, kad turime susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 normaliųjų vektorių koordinates. Tada pažymime, kad n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z yra normalusis plokštumos γ 1 vektorius, o n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) – plokštuma γ 2. Panagrinėkime detalų kampo, esančio tarp šių plokštumų, nustatymą pagal vektorių koordinates.

Būtina nurodyti tiesę, išilgai kurios plokštumos γ 1 ir γ 2 susikerta su raide c. Tiesėje c turime tašką M, per kurį nubrėžiame c statmeną plokštumą χ. Plokštuma χ išilgai tiesių a ir b taške M kerta plokštumas γ 1 ir γ 2. iš apibrėžimo seka, kad kampas tarp susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 yra lygus atitinkamai šioms plokštumoms priklausančių susikertančių tiesių a ir b kampui.

χ plokštumoje nubrėžiame normaliuosius vektorius iš taško M ir pažymime juos n 1 → ir n 2 → . Vektorius n 1 → yra tiesėje, statmenoje tiesei a, o vektorius n 2 → yra tiesėje, statmenoje tiesei b. Iš to gauname, kad duotoje plokštumoje χ yra normalusis tiesės a vektorius, lygus n 1 → ir tiesei b lygus n 2 →. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Iš čia gauname formulę, pagal kurią, naudodami vektorių koordinates, galime apskaičiuoti susikertančių tiesių kampo sinusą. Mes nustatėme, kad kampo tarp tiesių a ir b kosinusas yra toks pat kaip kosinusas tarp susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2, gaunamas iš formulės cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , kur mes turi, kad n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) ir n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) yra pavaizduotų plokštumų vektorių koordinatės.

Kampas tarp susikertančių linijų apskaičiuojamas pagal formulę

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

2 pavyzdys

Pagal sąlygą pateikiamas gretasienis A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , kur A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, o taškas E dalija kraštinę A A 1 4: 3. Raskite kampą tarp plokštumų A B C ir B E D 1.

Sprendimas

Iš sąlygos aišku, kad jos kraštinės poromis statmenos. Tai reiškia, kad reikia įvesti koordinačių sistemą O x y z su viršūne taške C ir koordinačių ašimis O x, O y, O z. Būtina nustatyti kryptį į atitinkamas puses. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Susikertančios plokštumos A B C Ir B E D 1 sudaryti kampą, kurį galima rasti pagal formulę α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, kuriame n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ir n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) yra normalieji vektoriai šie lėktuvai. Būtina nustatyti koordinates. Iš paveikslo matome, kad koordinačių ašis O x y sutampa su plokštuma A B C, tai reiškia, kad normaliojo vektoriaus k → koordinatės lygios reikšmei n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Plokštumos B E D 1 normalusis vektorius laikomas vektorine sandauga B E → ir B D 1 →, kur jų koordinatės randamos pagal kraštutinių taškų B, E, D 1 koordinates, kurios nustatomos remiantis problema.

Gauname, kad B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Kadangi A E E A 1 = 4 3, iš taškų A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 koordinačių randame E 2, 3, 4. Mes nustatome, kad B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2, - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Rastąsias koordinates būtina pakeisti į kampo per lanko kosinusą skaičiavimo formulę. Mes gauname

α = a rc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinačių metodas duoda panašų rezultatą.

Atsakymas: a r c cos 6 6 .

Paskutinė problema nagrinėjama siekiant rasti kampą tarp susikertančių plokštumų, atsižvelgiant į esamas žinomas plokštumų lygtis.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kampo sinusą, kosinusą ir kampo, kurį sudaro dvi susikertančios tiesės, apibrėžtos koordinačių sistemoje O x y z ir pateiktos lygtimis 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ir 3 y - z, reikšmę. - 1 = 0.

Sprendimas

Nagrinėjant A x + B y + C z + D = 0 formos bendrosios tiesės lygties temą, paaiškėjo, kad A, B, C yra koeficientai, lygūs normaliojo vektoriaus koordinatėms. Tai reiškia, kad n 1 → = 2, - 4, 1 ir n 2 → = 0, 3, - 1 yra duotų tiesių normalieji vektoriai.

Norimo susikertančių plokštumų kampo apskaičiavimo formulėje būtina pakeisti plokštumų normaliųjų vektorių koordinates. Tada mes tai gauname

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Iš čia matome, kad kampo kosinusas yra cos α = 13 210. Tada susikertančių linijų kampas nėra bukas. Pakeitę trigonometrinę tapatybę, mes nustatome, kad kampo sinuso reikšmė yra lygi išraiškai. Paskaičiuokime ir surasime

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Atsakymas: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tikslai:

• ugdyti gebėjimą svarstyti skirtingus problemų sprendimo būdus ir analizuoti šių sprendimo būdų naudojimo „efektą“;
• ugdyti mokinio gebėjimą pasirinkti problemos sprendimo būdą pagal savo matematines nuostatas, paremtas tvirtesnėmis žiniomis ir pasitikinčiais įgūdžiais;
• ugdyti gebėjimą sudaryti nuoseklių etapų planą rezultatams pasiekti;
• ugdyti gebėjimą pagrįsti visus atliktus veiksmus ir skaičiavimus;
• kartoti ir įtvirtinti įvairias stereometrijos ir planimetrijos temas bei problemas, tipines stereometrines struktūras, susijusias su aktualių problemų sprendimu;
• ugdyti erdvinį mąstymą.

• įvairių uždavinio sprendimo metodų analizė: koordinačių-vektoriaus metodas, kosinuso teoremos taikymas, trijų statmenų teoremos taikymas;
• kiekvieno metodo privalumų ir trūkumų palyginimas;
• kubo, trikampės prizmės, taisyklingojo šešiakampio savybių pasikartojimas;
• pasirengimas išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą;
• sprendimų priėmimo savarankiškumo ugdymas.

Pamokos metmenys

Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 su briauna 1 taškas O – veido centras ABCD.

a) kampas tarp tiesių A 1 D Ir B.O.;

b) atstumas nuo taško B iki segmento vidurio A 1 D.

a) punkto sprendimas.

Padėkime savo kubą į stačiakampę koordinačių sistemą, kaip parodyta paveikslėlyje, viršūnėse A 1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Tiesių linijų krypties vektoriai A 1 D Ir B 1 O:

(0; 1; -1) ir (½; ½; -1);

tarp jų randame norimą kampą φ pagal formulę:

cos∠φ = ,
iš kur ∠φ = 30°.

2 būdas. Mes naudojame kosinuso teoremą.

1) Nubrėžkime tiesią liniją B 1 C lygiagrečiai linijai A 1 D. Kampas CB 1 O bus tai, ko ieškote.

2) Iš stačiojo trikampio BB 1 O pagal Pitagoro teoremą:

3) Kosinusų iš trikampio teorema CB 1 O apskaičiuokite kampą CB 1 O:

cos CB 1 O = , reikalingas kampas yra 30°.

komentuoti. Spręsdami uždavinį 2-uoju būdu, galite pastebėti, kad pagal trijų statmenų teoremą COB 1 = 90°, todėl iš stačiakampio ∆ CB 1 O Taip pat lengva apskaičiuoti norimo kampo kosinusą.

b) punkto sprendimas.

1 būdas. Naudokime atstumo tarp dviejų taškų formulę

Tegul taškas E– vidurys A 1 D, tada koordinates E (1; 1/2; 1/2), B (0; 0; 0).

BŪTI = .

2 metodas. Pagal Pitagoro teoremą

Iš stačiakampio ∆ B.A.E. su tiesioginiu B.A.E. randame BE = .

Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1 visos briaunos lygios a. Raskite kampą tarp eilučių AB Ir A 1 C.

1 būdas. Koordinačių vektoriaus metodas

Stačiakampės sistemos prizmės viršūnių koordinatės, kai prizmė išdėstyta taip, kaip paveikslėlyje: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), A1 (0; 0; a), C (0; a; 0).

Tiesių linijų krypties vektoriai A 1 C Ir AB:

(0; a; -a) Ir (a; ; 0} ;

cos φ = ;

2 metodas. Mes naudojame kosinuso teoremą

Svarstome ∆ A 1 B 1 C, kuriame A 1 B 1 || AB. Turime

cos φ = .

(Iš 2012 m. Vieningo valstybinio egzamino rinkinio. Matematika: standartinės egzamino parinktys, redagavo A.L. Semenovas, I.V. Jaščenka)

Taisyklingoje šešiakampėje prizmėje ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, kurio visos briaunos lygios 1, raskite atstumą nuo taško Eį tiesią liniją B 1 C 1.

1 būdas. Koordinačių vektoriaus metodas

1) Įdėkite prizmę į stačiakampę koordinačių sistemą, išdėstydami koordinačių ašis, kaip parodyta paveikslėlyje. SS 1, NE Ir SE yra statmenos poromis, todėl koordinačių ašis galite nukreipti išilgai jų. Gauname koordinates:

C1 (0; 0; 1), E (; 0; 0), B 1 (0; 1; 1).

2) Raskite tiesių krypties vektorių koordinates Nuo 1 iki 1 Ir C1E:

(0;1;0), (;0;-1).

3) Raskite kampo tarp kosinusą Nuo 1 iki 1 Ir C1E, naudojant vektorių skaliarinę sandaugą ir :

cos β = = 0 => β = 90° => C 1 E – reikiamas atstumas.

4)C 1 E = = 2.

Išvada: įvairių stereometrinių problemų sprendimo požiūrių išmanymas leidžia pasirinkti bet kuriam studentui palankesnį metodą, t.y. tokia, kurią studentas įvaldo užtikrintai, padeda išvengti klaidų, leidžia sėkmingai išspręsti problemą ir gauti gerą egzamino balą. Koordinačių metodas turi pranašumą prieš kitus metodus, nes jam reikia mažiau stereometrinių svarstymų ir matymo, jis pagrįstas formulių, turinčių daug planimetrinių ir algebrinių analogijų, kurios yra labiau žinomos studentams, naudojimu.

Pamokos forma – tai mokytojo paaiškinimo ir priekinio kolektyvinio mokinių darbo derinys.

Aptariami daugiakampiai rodomi ekrane naudojant vaizdo projektorių, kuris leidžia palyginti skirtingus sprendimo būdus.

Namų darbas: išspręskite 3 uždavinį kitu būdu, pavyzdžiui, naudodami trijų statmenų teoremą .

Literatūra

1. Eršova A.P., Goloborodko V.V. Savarankiškas ir kontrolinis geometrijos darbas 11 klasei. – M.: ILEKSA, – 2010. – 208 p.

2. Geometrija, 10-11: vadovėlis švietimo įstaigoms: pagrindiniai ir specializuoti lygiai / L.S., V.F. Butuzovas, S.B. Kadomtsev ir kt. - M.: Švietimas, 2007. - 256 p.

3. Vieningas valstybinis egzaminas-2012 m. Matematika: standartiniai egzamino variantai: 10 variantų / red. A. L. Semenova, I. V. Jaščenka. – M.: Tautinis švietimas, 2011. – 112 p. – (USE-2012. FIPI - mokykla).

\(\blacktriangleright\) Dvikampis kampas yra kampas, sudarytas iš dviejų pusplokštumų ir tiesės \(a\), kuri yra jų bendra riba.

\(\blacktriangleright\) Norėdami rasti kampą tarp plokštumų \(\xi\) ir \(\pi\) , turite rasti tiesinį kampą (ir aštrus arba tiesioginis) dvikampis kampas, sudarytas iš plokštumų \(\xi\) ir \(\pi\) :

1 veiksmas: tegul \(\xi\cap\pi=a\) (plokštumų susikirtimo linija). Plokštumoje \(\xi\) pažymime savavališką tašką \(F\) ir nubrėžiame \(FA\perp a\) ;

2 veiksmas: atlikite \(FG\perp \pi\) ;

3 žingsnis: pagal TTP (\(FG\) – statmena, \(FA\) – įstrižinė, \(AG\) – projekcija) turime: \(AG\perp a\) ;

4 veiksmas: kampas \(\kampas FAG\) vadinamas dvikampio kampo, kurį sudaro plokštumos \(\xi\) ir \(\pi\) , tiesiniu kampu.

Atkreipkite dėmesį, kad trikampis \(AG\) yra stačiakampis.
Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu sukonstruota plokštuma \(AFG\) yra statmena abiem plokštumoms \(\xi\) ir \(\pi\) . Todėl galime pasakyti kitaip: kampas tarp plokštumų\(\xi\) ir \(\pi\) yra kampas tarp dviejų susikertančių tiesių \(c\in \xi\) ir \(b\in\pi\), sudarančių plokštumą, statmeną ir \(\xi\ ) ir \(\pi\) .

1 užduotis #2875

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Duota keturkampė piramidė, kurios visos briaunos yra lygios, o pagrindas yra kvadratas. Raskite \(6\cos \alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp gretimų šoninių paviršių.

Tegul \(SABCD\) yra duotoji piramidė (\(S\) yra viršūnė), kurios briaunos lygios \(a\) . Vadinasi, visi šoniniai paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Raskime kampą tarp paviršių \(SAD\) ir \(SCD\) .

Atlikime \(CH\perp SD\) . Nes \(\triangle SAD=\triangle SCD\), tada \(AH\) taip pat bus \(\triangle SAD\) aukštis. Todėl pagal apibrėžimą \(\angle AHC=\alpha\) yra dvikampio kampo tiesinis kampas tarp paviršių \(SAD\) ir \(SCD\) .
Kadangi pagrindas yra kvadratas, tada \(AC=a\sqrt2\) . Taip pat atkreipkite dėmesį, kad \(CH=AH\) yra lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra \(a\), aukštis, todėl \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Tada pagal kosinuso teoremą iš \(\trikampis AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Atsakymas: -2

2 užduotis #2876

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Plokštumos \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikerta kampu, kurio kosinusas lygus \(0,2\) . Plokštumos \(\pi_2\) ir \(\pi_3\) susikerta stačiu kampu, o plokštumų \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikirtimo linija yra lygiagreti plokštumos \(\pi_2\) ir \(\ pi_3\) . Raskite kampo tarp plokštumų \(\pi_1\) ir \(\pi_3\) sinusą.

Tegul \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikirtimo linija yra tiesi \(a\), o \(\pi_2\) ir \(\pi_3\) susikirtimo linija yra tiesė linija \(b\), o susikirtimo linija \(\pi_3\) ir \(\pi_1\) – tiesė \(c\) . Kadangi \(a\parallel b\) , tada \(c\parallel a\parallel b\) (pagal teoremą iš teorinės nuorodos skyriaus „Geometrija erdvėje“ \(\rightarrow\) „Įvadas į stereometriją, paralelizmas“).

Pažymėkime taškus \(A\in a, B\in b\), kad \(AB\perp a, AB\perp b\) (tai įmanoma, nes \(a\parallel b\) ). Pažymėkime \(C\in c\), kad \(BC\perp c\) , taigi \(BC\perp b\) . Tada \(AC\perp c\) ir \(AC\perp a\) .
Iš tiesų, kadangi \(AB\perp b, BC\perp b\) , tada \(b\) yra statmena plokštumai \(ABC\) . Kadangi \(c\parallel a\parallel b\), tai tiesės \(a\) ir \(c\) taip pat yra statmenos plokštumai \(ABC\), taigi bet kuriai tiesei iš šios plokštumos, ypač , eilutė \ (AC\) .

Iš to išplaukia \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Pasirodo, \(\trikampis ABC\) yra stačiakampis, o tai reiškia \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Atsakymas: 0,2

3 užduotis #2877

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Duotos tiesės \(a, b, c\), susikertančios viename taške, o kampas tarp bet kurių dviejų yra lygus \(60^\circ\) . Raskite \(\cos^(-1)\alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp plokštumos, kurią sudaro tiesės \(a\) ir \(c\), ir plokštumos, kurią sudaro tiesės \( b\ ) ir \(c\) . Atsakymą pateikite laipsniais.

Tegul tiesės susikerta taške \(O\) . Kadangi kampas tarp bet kurių dviejų yra lygus \(60^\circ\), visos trys tiesės negali būti toje pačioje plokštumoje. Pažymėkime tašką \(A\) tiesėje \(a\) ir nubrėžkime \(AB\perp b\) ir \(AC\perp c\) . Tada \(\trikampis AOB=\trikampis AOC\) kaip stačiakampis išilgai hipotenuzės ir smailiojo kampo. Todėl \(OB=OC\) ir \(AB=AC\) .
Atlikime \(AH\perp (BOC)\) . Tada pagal teoremą apie tris statmenus \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Kadangi \(AB=AC\) , tada \(\trikampis AHB=\trikampis AHC\) kaip stačiakampis išilgai hipotenuzės ir kojos. Todėl \(HB=HC\) . Tai reiškia, kad \(OH\) ​​yra kampo \(BOC\) pusiausvyra (nes taškas \(H) yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių).

Atkreipkite dėmesį, kad tokiu būdu mes taip pat sukūrėme dvisienio kampo, kurį sudaro plokštuma, sudaryta iš tiesių \(a\) ir \(c\), linijinį kampą ir plokštumą, kurią sudaro tiesės \(b\) ir \(c \) . Tai kampas \(ACH\) .

Raskime šį kampą. Kadangi tašką \(A\) pasirinkome savavališkai, parinksime jį taip, kad \(OA=2\) . Tada stačiakampiu \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Kadangi \(OH\) ​​​​on pusiausvyra, tada \(\angle HOC=30^\circ\) , todėl stačiakampyje \(\triangle HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Tada iš stačiakampio \(\trikampis ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Atsakymas: 3

4 užduotis #2910

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Plokštumos \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) susikerta išilgai tiesės \(l\), kurioje yra taškai \(M\) ir \(N\). Atkarpos \(MA\) ir \(MB\) yra statmenos tiesei \(l\) ir yra atitinkamai \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) plokštumose ir \(MN = 15) \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Raskite \(3\cos\alpha\) , kur \(\alpha\) yra kampas tarp plokštumų \(\pi_1\) ir \(\pi_2\) .

Trikampis \(AMN\) yra stačiakampis, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), iš kur \ Trikampis \(BMN\) yra stačiakampis, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), iš kurio \Rašome trikampio \(AMB\) kosinuso teoremą: \ Tada \ Kadangi kampas \(\alpha\) tarp plokštumų yra smailus kampas, o \(\kampas AMB\) buvo bukas, tada \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Tada \

Atsakymas: 1.25

5 užduotis #2911

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) yra gretasienis, \(ABCD\) yra kvadratas, kurio kraštinė yra \(a\), taškas \(M\) yra statmens, numesto iš taško \(A_1\) į plokštumą ((ABCD)\) , be to, \(M\) yra kvadrato \(ABCD\) įstrižainių susikirtimo taškas. Yra žinoma, kad \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Raskite kampą tarp plokštumų \((ABCD)\) ir \((AA_1B_1B)\) . Atsakymą pateikite laipsniais.

Pastatykime \(MN\) statmeną \(AB\), kaip parodyta paveikslėlyje.

Kadangi \(ABCD\) yra kvadratas su kraštinėmis \(a\) ir \(MN\perp AB\) ir \(BC\perp AB\) , tada \(MN\parallel BC\) . Kadangi \(M\) yra kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas, \(M\) yra \(AC\) vidurys, todėl \(MN\) yra vidurinė linija ir \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) yra \(A_1N\) projekcija į plokštumą \((ABCD)\), o \(MN\) yra statmena \(AB\), tada pagal trijų statmenų teoremą \ (A_1N\) yra statmena \(AB \), o kampas tarp plokštumų \((ABCD)\) ir \((AA_1B_1B)\) yra \(\kampas A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\kampas A_1NM = 60^(\circ)\]

Atsakymas: 60

6 užduotis #1854

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Kvadrate \(ABCD\) : \(O\) – įstrižainių susikirtimo taškas; \(S\) – nėra kvadrato plokštumoje, \(SO \perp ABC\) . Raskite kampą tarp plokštumų \(ASD\) ir \(ABC\), jei \(SO = 5\) ir \(AB = 10\) .

Statieji trikampiai \(\triangle SAO\) ir \(\triangle SDO\) yra lygūs iš dviejų kraštinių, o kampas tarp jų (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , nes \(O\) – kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas, \(SO\) – bendroji pusė) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\trikampis ASD\) – lygiašonis. Taškas \(K\) yra \(AD\) vidurys, tada \(SK\) yra trikampio aukštis \(\triangle ASD\), o \(OK\) yra trikampio aukštis \( AOD\) \(\ Rightarrow\) plokštuma \(SOK\) yra statmena plokštumoms \(ASD\) ir \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – tiesinis kampas, lygus norimam dvikampis kampas.

\(\trikampis SKO\) : \(Gerai = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – lygiašonis stačiakampis trikampis \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Atsakymas: 45

7 užduotis #1855

Užduoties lygis: Sunkesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Kvadrate \(ABCD\) : \(O\) – įstrižainių susikirtimo taškas; \(S\) – nėra kvadrato plokštumoje, \(SO \perp ABC\) . Raskite kampą tarp plokštumų \(ASD\) ir \(BSC\), jei \(SO = 5\) ir \(AB = 10\) .

Statieji trikampiai \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) ir \(\triangle SOC\) yra lygūs iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų (\(SO \perp ABC) \) \(\rodyklė dešinėn\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), nes \(O\) – kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas, \(SO\) – bendroji pusė) \(\Rodyklė dešinėn\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \trikampis ASD\) ir \(\trikampis BSC\) yra lygiašoniai. Taškas \(K\) yra \(AD\) vidurys, tada \(SK\) yra trikampio aukštis \(\triangle ASD\), o \(OK\) yra trikampio aukštis \( AOD\) \(\ Rodyklė dešinėn\) plokštuma \(SOK\) yra statmena plokštumai \(ASD\) . Taškas \(L\) yra \(BC\) vidurys, tada \(SL\) yra trikampio aukštis \(\triangle BSC\), o \(OL\) yra trikampio aukštis \( BOC\) \(\ Rodyklė dešinėn\) plokštuma \(SOL\) (dar žinoma kaip plokštuma \(SOK\)) yra statmena plokštumai \(BSC\) . Taigi gauname, kad \(\kampas KSL\) yra tiesinis kampas, lygus norimam dvikampio kampui.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rodyklė dešinėn\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – lygiašonių trikampių aukščiai, kuriuos galima rasti naudojant Pitagoro teoremą: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Galima pastebėti, kad \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) trikampiui \(\trikampis KSL\) atvirkštinė Pitagoro teorema galioja \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – stačiakampis trikampis \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) .

Atsakymas: 90

Mokinių paruošimas laikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą, kaip taisyklė, prasideda kartojant pagrindines formules, įskaitant tas, kurios leidžia nustatyti kampą tarp plokštumų. Nepaisant to, kad ši geometrijos dalis yra pakankamai išsamiai aprašyta mokyklos programoje, daugelis absolventų turi pakartoti pagrindinę medžiagą. Suprasdami, kaip rasti kampą tarp plokštumų, gimnazistai galės greitai apskaičiuoti teisingą atsakymą spręsdami problemą ir tikėtis, kad gaus neblogus balus išlaikę vieningą valstybinį egzaminą.

Pagrindiniai niuansai

Siekiant užtikrinti, kad klausimas, kaip rasti dvitaškį kampą, nesukeltų sunkumų, rekomenduojame vadovautis sprendimo algoritmu, kuris padės susidoroti su vieningo valstybinio egzamino užduotimis.

Pirmiausia turite nustatyti tiesią liniją, išilgai kurios plokštumos susikerta.

Tada reikia pasirinkti tašką šioje tiesėje ir nubrėžti jam du statmenis.

Kitas žingsnis – rasti statmenų suformuoto dvikampio kampo trigonometrinę funkciją. Patogiausia tai padaryti naudojant gautą trikampį, kurio dalis yra kampas.

Atsakymas bus kampo reikšmė arba jo trigonometrinė funkcija.

Pasiruošimas egzamino testui su Shkolkovo yra jūsų sėkmės raktas

Vieningo valstybinio egzamino išvakarėse vykstančių užsiėmimų metu daugelis moksleivių susiduria su apibrėžimų ir formulių, leidžiančių apskaičiuoti kampą tarp 2 plokštumų, problema. Mokyklinis vadovėlis ne visada būna po ranka tiksliai tada, kai reikia. Ir norint rasti reikiamas formules ir jų teisingo taikymo pavyzdžius, įskaitant kampo tarp plokštumų nustatymą internete, kartais reikia praleisti daug laiko.

Shkolkovo matematikos portalas siūlo naują požiūrį į pasiruošimą valstybiniam egzaminui. Užsiėmimai mūsų svetainėje padės mokiniams patiems atpažinti sunkiausius skyrius ir užpildyti žinių spragas.

Paruošėme ir aiškiai pateikėme visą reikalingą medžiagą. Pagrindiniai apibrėžimai ir formulės pateikiami skyriuje „Teorinė informacija“.

Siekiant geriau suprasti medžiagą, taip pat siūlome atlikti atitinkamus pratimus. Didelis įvairaus sudėtingumo užduočių pasirinkimas, pavyzdžiui, apie, pateikiamas skiltyje „Katalogas“. Visose užduotyse yra išsamus teisingo atsakymo paieškos algoritmas. Svetainėje esantis pratimų sąrašas nuolat pildomas ir atnaujinamas.

Praktikuodami sprendžiant problemas, kuriose reikia rasti kampą tarp dviejų plokštumų, mokiniai turi galimybę išsaugoti bet kurią užduotį internete kaip „Mėgstamiausius“. Dėl to jie galės grįžti prie jo reikiamą skaičių kartų ir aptarti jo sprendimo eigą su mokyklos mokytoju ar mokytoju.