Didumas kur I yra vartotojo pajamos, p1p2 yra prekės kaina, x2 yra 2-osios prekės kiekis. Šiuo atveju yra vienas ir antras pranašumas:keičiamas.

Pasirinkite tinkamą teiginys, atitinkantis Keinso rinkos ekonomikos teoriją 1) bendras pusiausvyros atvejis rinkos ekonomikoje esant nedarbui, o visiškas užimtumas yra tik ypatingas atvejis; 2) investicijų paklausa mažėja didėjant palūkanų normoms.

Pasirinkite teisestvirti teiginiai, kurių įgyvendinimas padidina ekonominio ir matematinio modelio parametrų nustatymo patikimumą ir tikslumą. 1. Priimta modelio parametrų nustatymo metodika turi būti teisinga patikimumo užtikrinimo požiūriu, 2. Turi būti pakankamai pradinės informacijos apie objekto įvesties ir išvesties rodiklius, kad būtų galima rasti matematinį modelį. 3. įvesties rodiklių vektorius turi labai kisti per tiriamą intervalą, 4. Priimtas a priori, modelis turi reikšmingai atspindėti faktinius tiriamo objekto modelius.

Pavyzdinė lygtisty porinė regresija y=-3+2x, tada imties porinės koreliacijos koeficientas gali būti lygus..(-3,2,0.6,-2,-0.6) ...0,7 arba 0,6.

Pasirinktinai Porinės regresijos lygtis yra y=-3+2x. Tada imties poros koreliacijos koeficientas gali būti lygus: 0,7.

kur B - prieauginio kapitalo intensyvumo koeficientas C(t) - vartojimo apimtis. maksimumas pasiekiamas , ir yra lygus nuliui, kai Y(0)=C(0).

Hipotezės, naudojamas apskaičiuojant darbo paklausos funkciją klasikiniame rinkos ekonomikos modelyje: Firmos yra visiškai konkurencingos tiekdamos prekes ir samdydamos darbo jėgą. Esant kitoms sąlygoms, ribinis darbo produktas mažėja didėjant darbo naudojimui.

Suteiktos funkcijos paklausa ir siūlo S=2p+1,5, kur p – prekės kaina. tada pusiausvyros kaina yra . ATSAKYMAS: x1= 0,34+0,18+340.....x2=0;25+0,53+280.

Suteiktos funkcijospaklausa ir siūlo S=2p+1,5, kur p – prekės kaina. tada pusiausvyros kaina =1 .

Suteiktos funkcijos paklausa ir siūlo S=2p+1,5, kur p – prekės kaina. tada pusiausvyros kaina = 5,5.

Suteiktos funkcijos paklausa q=(p+6)/(p+2) ir pasiūla s=2p-2, kur p – prekės kaina. Tada pusiausvyros kaina yra: 2.

Pateikiamos funkcijospaklausa q=p+6/p+2 ir ankstesnė s=2p-2...2.

Jei išsaugotasvienodomis sąlygomis, tada didėjant kainai Giffin prekių paklausa: ...auga.

Jei modelyjeSolow atsižvelgti į investicijų atsilikimą koncentruoto atsilikimo forma, tada ryšys tarp investicijų I(t) ir lėšų įvedimo V(t) gali būti atspindėtas lygties forma...V(t) = I(t-t)().

Jei nuo grubiosvidaus produktas atėmus nusidėvėjimo mokesčius, gauname:naujai sukurta vertė (N.D.).

Jei iš bendrojo vidaus Produktas, atėmus nusidėvėjimo mokesčius, gauname: grynas vidaus produktas.

Jei kryžius paklausos elastingumo kainos koeficientas >0, tada...(I produktas pakeičia j).

Jei gamybos funkcijay=f(x 1;x 2), tada savybė reiškia, kad padidėjus vieno ištekliaus naudojimui, ribinis efektyvumas¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Jei gamyba funkcija yra vienalytė funkcija, kurios laipsnis p > 0, tada esant p = 2 ir gamybos mastui padidėjus 3 kartus, kiek kartų padidėja produkcijos apimtis... 9.

Jei gamybafunkcija yra vienalytė funkcija, kurios laipsnis p > 0, tada esant p = 2 ir gamybos mastui padidėjus 4 kartus, kiek kartų padidėja produkcijos apimtis...16.

Jei taip atsitiks vartotojų pajamų padidėjimas, tada paklausa keičiasi (nurodykite teisingą teiginį): nuo mažo elastingumo prekių iki didelio elastingumo prekių. Sumažėja mažo elastingumo prekių vartojimo apimtis.

Jei PF turi peržiūrėti y=f(x 1 ;x 2), savybė, reiškianti, kad didėjant vieno ištekliaus naudojimui, didėja kito išteklių ribinis efektyvumas, išreikštas formule: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Jei išsaugotas vienodomis sąlygomis, tada didėjant kainai Giffin prekių paklausa: auga.

Priklausomybė tarp gamybos sąnaudas o gamybos apimtis išreiškiama funkcija yra lygūs: 3.

Priklausomybė mtarp gamybos kaštų ir gamybos apimties išreiškiama funkcija .Tuomet ribiniai gamybos kaštai yra yra lygūs:23.

Priklausomybėtarp gamybos kaštų C ir gamybos apimties Q išreiškiama funkcija . Tada gamybos apimties Q = 10 ribiniai kaštai yra lygūs: .. 3 .

Priklausomybė tarp gamybos savikaina C ir produkcijos apimtis Q išreiškiama C = 20-0,5*Q. Tada elastingumas c/c, kai gamybos apimtis Q=10, yra lygus: -1/3.

Apibrėžta gamybaformos funkcija: Y=3 K 0,5 *L 0,5 tada vidutinis darbo produktas lygus K=25,L=100……1.5.

Vartotojo užduotispasirinkimas yra:Raskite prekių skaičių iš tam tikros aibės, kuriai esant vartotojo naudingumas yra didžiausias.

Užduotis vartotojo pasirinkimas yra: Problema yra pasirinkti vartotojų paketą (x, x), kuris maksimaliai padidina naudingumo funkciją esant tam tikram biudžeto apribojimui.

Vartotojo užduotis pasirinkimas yra: rasti prekių skaičių iš tam tikros rinkinio, kuris maksimaliai padidina vartotojo naudingumo funkciją.

Mažėjimo dėsnis gamybos efektyvumas pasižymi tuo, kad didėjant sunaudojamų resursų kiekiui... ATSAKYMAS: minimalus galimas išvesties tūris .

Mažėjimo dėsnis gamybos efektyvumas pasižymi tuo, kad didėjant sunaudojamų išteklių kiekiui: Kiekvienas papildomas išteklių vienetas duoda vis mažesnį produkcijos padidėjimą.

Mažėjimo dėsnis gamybos efektyvumas pasižymi tuo, kad didėjant sunaudojamų išteklių kiekiui.. ATSAKYMAS: didžiausia galima išvesties apimtis (y) didėja.

Iš Eq. Slutskį galima gauti (kiekis prekės, prekių kaina). Tai atitinka: (galimi keli atsakymai): 1) Gifino gaminys, 2) menkavertis produktas.

Kokios hipotezės? Klasikiniame rinkos ekonomikos modelyje naudojami darbo paklausos funkcijai nustatyti: firmos yra visiškai konkurencingos siūlydamos prekes ir samdydamos darbo jėgą; jei kiti dalykai yra vienodi, darbo produktas mažėja, nes didėja vergų jėga.

Kokie papildomi sdėl klaidos sunku sukurti EMM... sudėtinga atlikti aktyvų eksperimentą ekonomikoje Be to, praktiškai kiekvienas ekonominis objektas ar procesas yra unikalus, todėl neįmanoma paprasčiausiai atkartoti kadaise sukurtų modelių.

Kokia praktiškaproblemos išsprendžiamos naudojant EMM. 1. Ekonominių objektų ir procesų analizė 2. Ekonomikos prognozavimas ir ekonominių procesų raidos numatymas 3. Valdymo sprendimų rengimas visuose ūkio lygiuose.

Koks teiginysatitinka pilkos permatomos dėžutės problemos sprendimą: Yra informacija apie įvesties ir išvesties rodiklius, o tam tikros struktūros modelis yra žinomas arba priimtas kaip pagrindas. Identifikavimo užduotis šiuo atveju yra rasti šio modelio parametrus.

Koks teiginys atitinka pilkosios dėžutės problemos sprendimą: Be įvesties ir išvesties parametrų, nurodyta galinio keitiklio operacinė sistema. būti sumažintas iki tam tikrų puslapių.

Koks teiginys, pagal Keyneso modelį, bus tiesa:Kai palūkanų normos kyla, vartotojų paklausa didėja, o investicijų paklausa mažėja(Vartojimo prekių paklausa auga tiesiškai didėjant prekių pasiūlai, investicinių prekių paklausa mažėja tiesiškai, didėjant palūkanų normai).

Galutinis produktas dinaminio balanso modelyje, palyginti su galutiniu produktu, statinio balanso modelyje neapima eksportuoti.

Galutinis produktas dinaminio balanso modelyje, palyginti su galutiniu produktu, statinio balanso modelyje neapima: tarpsektorines kapitalo investicijas.

Koeficientas paklausos elastingumas kainai E ii p<-1. Это соответствует товару с: didelis paklausos elastingumas.

Makroekonominė pusiausvyra modeliai laikomi tais kurie apibūdina ekonomikos būklę, kai visų jėgų, linkusių išvesti ekonomiką iš šios būsenos, rezultatas yra lygus 0.

Leontjevo modelis(statinis balansas) apima tokios formos lygtį: x i -Sa ij =y j .

Tarpindustrinis modelisX1 ir X2 apimties pagamintos produkcijos balansas su tiesioginių kaštų koeficientų matrica o galutinis produktas, kurio tūris yra atitinkamai 340 ir 280 vienetų, turi tokią formą: x 1 =0,34x1 +0,18x2 +340; x 2 = 0,25 x 2 + 0,53 x 2 + 280...

Törnqvist modelis n „paklausos-pajamų“ tipas (kitos raidės): atsakyk : prabangos prekės (2 grupė).

Törnqvist modelis, „paklausos-pajamos“ formos Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3:prabangos daiktai.

Harrod-Domar modelis diferencialinės lygties pavidalu
turi tokį sprendimą: ).

Ant izokvanto Cobb-Douglas gamybos funkcija:

On line

On line abejingumo vartotojų rinkiniai turi: tos pačios vertybės ATSAKYMAS: V(t)= I(t-τ).

Prie gamybosCobb-Douglas funkcijos izokvante: Rodomi kapitalo ir darbo verčių deriniai, teikiantys tą pačią produkciją.

Išilgai linijosabejingumo vartotojų rinkinys turi:toks pat individo poreikių patenkinimo lygis.

Kai didinate pajamų paklausos pokyčiai (nurodykite teisingą teiginį): ATSAKYMAS: Didėjant pajamoms, paklausa iš pirmos ir antros grupių prekių pereina prie trečios ir ketvirtos grupių prekių, o pirmosios grupės prekių vartojimas absoliučiais dydžiais mažėja.

Kai didinatepajamų paklausos pokyčiai (nurodykite teisingą teiginį): Nuo mažo elastingumo prekių iki didelio elastingumo prekių Sumažėja mažo elastingumo prekių vartojimo apimtis.

Naudingumo limitas1 produktas u = 8 ir 2 produktas u = 2. kiek asmuo turėtų padidinti 2 produktų suvartojimą, jei jis sumažino pirmojo produkto suvartojimą vienu vienetu...4.

Ribinės komunalinės paslaugos pirmasis produktas , ir antrasis produktas . Kiek asmuo turėtų padidinti antrojo produkto suvartojimą, jei jis sumažino pirmojo produkto suvartojimą vienu vienetu? atsakymas: nesu tikras: 3.

Naudojantžymėjimai: - bendrųjų investicijų dalis BVP, a - tarpinio produkto dalis bendrojoje produkcijoje, X (t) - bendroji produkcija pagal Solow modelį, negamybinio vartojimo fondo vertė C (t) nustatoma pagal formulę. :С(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

AnalizuojantLeontjevo modelis (statistinis įvesties balansas) rodo, kad galutinių produktų suma ir sąlyginai grynųjų produktų suma:…lygūs vienas kitam.

Naudojantžymėjimas: - bendrųjų investicijų dalis bendrajame vidaus produkte, a- tarpinio produkto dalis bendrojoje produkcijoje, X(t) - bendroji produkcija R. Solow modelyje, negamybinio vartojimo fondo vertė C(t) randama pagal formulę: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

Su mažai gamybos apimties didinimas sąlyginai kintamieji 1 produkto kaštai: išliks nepakitęs (galbūt padidės).

Kai aprašoma Proceso tyrimui PFCD pagalba privatūs efektai buvo tokie: lėšoms E k = 2, darbui E l = 8. Šiuo atveju apibendrintas efektyvumas E yra lygus: 16.

Kai aprašoma Atsakymas: 3 (2 laipsnio o.5 padauginus iš 4,5 laipsnio o.5).

Kai aprašoma 3 kartus (2 ne visai).

Kai aprašomatiriamas procesas naudojant formos Cobb-Douglas gamybos funkciją privatus....efektyvumas buvo toks: fondams Ek=2, darbo jėgai EL=4,5. Šiuo atveju apibendrintas efektyvumo rodiklis E yra lygus. .. 3( 2 iki laipsnio o.5, padauginto iš 4,5 iki laipsnio o.5).

Kai aprašomatiriamas procesas naudojant formos Cobb-Douglas gamybos funkciją privatus....efektyvumas buvo toks: fondams Ek=2, darbo jėgai EL=8. Šiuo atveju apibendrintas efektyvumo rodiklis E yra lygus:4 arba 16.

Kai aprašoma tiriamas procesas naudojant formos Cobb-Douglas gamybos funkciją privatus....efektyvumas buvo toks: fondams Ek=2, darbo jėgai EL=4,5. Šiuo atveju apibendrintas efektyvumo rodiklis E yra lygus.

Kai aprašoma tiriamo proceso, naudojant Cobb-Douglas gamybos funkciją, tapo žinoma, kad apibendrintas gamybos efektyvumo rodiklis E = 1,5, o gamybos skalė M = 2. Šiuo atveju bendroji produkcija padidėjo 3 kartus.

StatantEMM, pagrįsta žinomais objekto įvesties ir išvesties rodikliais, dažniausiai naudojamas kaip modelio valdymo savybių atspindžio artumo kriterijus...mažiausia kvadratinių skirtumų suma.

Kai priimtasužrašas...Kapitalo išleidimas į pensiją ir bendrųjų investicijų suma.

Kai priimtasžymėjimas f(Kо) - darbo našumas stacionarioje trajektorijoje, - kapitalo ir darbo santykis stacionarioje trajektorijoje atrodo kaip...().

Kai priimtasŽymėjimas Solow modelyje, sąlyga, kad ekonomika pasiektų stacionarią trajektoriją, turi formos atsakymą: k(t)=k iki laipsnio 0=konst.

Su priimtu užrašu…viena iš R. Solow modelio lygčių santykiniais vienetais bus tokia: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1 -a)f/(2) Šioje lygtyje terminai (1) ir (2) atspindi poveikį kapitalo ir darbo santykio pokyčiui.

Išskyrus tai vienodos sąlygos augant kainoms prekių paklausa Giffin paklausa viskam auga .

Sprendžiant ;p1x1+p2x2=I kur I=1000, p1=5, p2=10ed.. Koks yra antrojo gaminio 1 sandaugos kiekis….100 vienetų – 1 prekė ir 50 vnt. – antrasis.

Sprendžiantvartotojų pasirinkimo problemos gavo lygčių sistemą ;p1x1+p2x2=I kur I=1000, p1=10, p2=5ed.. Koks yra 2 sandaugos 1 sandaugos kiekis? ….50, 100.

Kai didėjapajamos, prekės paklausa pastovia kaina paprastai...Padidėja (kinta pagal sinusoidinį dėsnį).

Gamyba Aš esu funkcija , tada ribinis produktas, kai Kt=4, Lt=25 yra lygus 2,5.

Gamybos funkcija , tada ribinis produktas, kai Kt=4, Lt=25 yra lygus...0.2.

Gamyba Kt=1100, Lt=9900. Kokia yra ribinė kapitalo grąža?...1,5 (arba 10)

Gamybos funkcija malonus vadinamas: Linijinė, priedų gamybos funkcija.

Gamybos funkcija pateikiama kaip X t =K t 0,5 ´L t 0,5, kur K t yra kapitalas, L t yra darbas. Tada ribinis darbo produktas ¶У/¶L, kai K t =16, L t =25, yra lygus: 0,4.

Cobb gamybos funkcija-Douglasas turi išvaizdą kur Kt=4000, Lt=10. Koks yra ribinis darbo našumas? 10.

GamybaCobb-Douglas funkcija turi formą kur Kt=9000, Lt=10. Koks yra ribinis darbo našumas?...15.

Gamyba Cobb-Douglas funkcija turi tokią formą: pataisos koeficiento matematinis lūkestis yra .. = 1.

Gamybos funkcija Cobb-Douglas yra tokia forma: X t = K t 0,5 ´L t 0,5; K t = 900, L t = 10. Koks yra ribinis darbo našumas ¶Х/¶L: 15.

Gamyba Funkcija vadinama dinamine, jei: 1) laikas t pasirodo kaip nepriklausomas kintamasis, turintis įtakos išėjimo tūriui 2) PF parametrai priklauso nuo laiko 3) PF charakteristikos priklauso nuo laiko.

Gamybos funkcija tai- tokia funkcija, kurios nepriklausomas kintamasis ima sunaudotų išteklių (gamybos koeficiento) apimčių reikšmes, o priklausomasis – produkcijos apimčių reikšmes y=f(x).

Gamyba-tion K-D turi formą kiek procentų padidės produkcija Xt, kai kapitalas Kt padidės 1 % (0,4).

Gamybafunkcija vadinama dinamine, jei:Pasirodo laikas t..PF parametrai priklauso nuo laiko …. Gamybos funkcijos charakteristikos priklauso nuo laiko.

Vidutinisproduktas schemoje, atspindinčioje makroekonominių rodiklių ryšį uždaroje šalies ekonomikoje, yra:darbo priemonės ir vartojimo prekės.

Steigimo procesaspusiausvyros kaina voratinklio modelyje...Išlikti nepakitusi.

Tegul funkcija naudingumas turi formą , pradinės prekių kainos ir . Asmens pajamos – 2000 vnt., ir optimalus prekių komplektas ; Jei kaina išaugo keturis kartus, tai kokios bus kompensuojamos asmens pajamos ir optimalaus prekių rinkinio vertės? :I k = 2000; x 1 =50; x 2 = 40.

Tegul funkcija naudingumas turi formą u(x1;x2)=x1*x2, pradinės prekių kainos P1 ir P2. Individualios pajamos = 1000 vnt., o optimalus prekių rinkinys x1 = 100 vnt., x2 = 20 vnt. Jei kaina padidėjo 4 kartus, tai kam bus lygios asmens kompensuojamos pajamos ir optimalaus prekių komplekto vertės (x1 x2)? 2000 50,40.

Pusiausvyros modeliaiyra laikomi...Modeliai, apibūdinantys tokią ek-ki būseną, kai visų jėgų rezultatas. (atsakymas lygus 0)

Padėtis teisinga tvarka FUI konstravimo etapai: 1. Ekonominės problemos išdėstymas ir jos kokybinė analizė 2. Matematinio modelio konstravimas 3. Matematinė modelio analizė 4. Pradinės informacijos parengimas 5. Skaitinis sprendimas 6. Skaitinių rezultatų analizė ir jų taikymas.

Padėtisteisinga tvarka EMM sukūrimo etapai: 1. Ekonominės problemos išdėstymas ir jos kokybinė analizė 2. Matematinio modelio konstravimas 3. Matematinė modelio analizė 4. Pradinės informacijos parengimas 5. Skaitinis sprendimas 6. Skaitinių rezultatų analizė ir jų taikymas.

Kurių pagalba modelis (vienos formulės pavidalu) gali atspindėti bendrąją produkciją, tarpinį produktą, bendrąjį vidaus produktą šalies ekonomikos lygiu: Leontjevo pusiausvyros modelis.

Naudojantkoks modelis gali atspindėti bendrosios produkcijos ir panaudotų išteklių priklausomybę šalies ekonomikos lygmenyje: ...Cobb-Douglas modelis (PFKD)

Naudojantkoks modelis (vienos formulės pavidalu).. VP, tarpinio produkto, BVP rodiklių santykis….Leontjevo pusiausvyros modelis.

Lygčių sistema Leontjevo modelyje vadinamas produktyviu, jei jis yra išsprendžiamas. atsakymas: neneigiamas Xi>0, kai i=1÷n.

Pagal Klasikiniame rinkos ekonomikos modelyje prekių pasiūlą lemia: visiško užimtumo lygis.

Pagalklasikinis rinkos ekonomikos modelis, esant tokiam pačiam BVP, pinigų pasiūlos padidėjimas sukels...BVP vieneto kainos padidėjimas.

Pagal modelįSolow „auksinė“ kaupimo taisyklė atitinka kaupimo greitį, lygų fizinio kapitalo α elastingumo koeficientui.phi=1.

Pagal modelį Harrord-Domar, koks...r vartojimo apimties padidėjimas bus lygus pajamų augimo tempui: ATSAKYMAS: r< 1/в, r=p .

Pagal modelį Harrord-Domar, prie kokio... laiko momentas.

Pagal statinį Leontjevo modelis, jei pirmosios pramonės šakos galutinis produktas yra y1 = 1000 vienetų, o bendroji produkcija x1 = 2500 vienetų, kokia yra pirmosios pramonės produkcijos apimtis, kurią suvartoja kitos pramonės šakos? 1.5.(1500 arba 3500).

Pagal statinį Leontjevo modelis, jei pirmosios pramonės šakos galutinis produktas yra y1 = 1500 vnt., o bendroji produkcija x1 = 3500 vnt., kokia yra pirmosios pramonės produkcijos apimtis, kurią suvartoja kitos pramonės šakos? 2000 vienetų .

Statinis modelisLeontjevas apima formos lygtis…. .

Sąlygiškai grynas pgamyba tarp pramonės balanse apima...Nusidėvėjimas, darbas ir grynosios pajamos.

Naudingumo funkcija vartojimas turi formą .Prekės x kaina lygi 10, prekės y lygi 5, vartotojų pajamos lygios 200. Tada optimali vartojimo prekių aibė turi tokią formą: 10,20.

Naudingumo funkcijavartojimas turi formą .Prekės x kaina yra 5, prekės y - 10, vartotojų pajamos - 200. Tada optimalus vartojimo prekių rinkinys turi formą...20.10. (200 arba 400)

Naudingumo funkcijavartotojas turi savybių... ribinis naudingumas mažėja, jei sumažėja vartojimas; padidėjus vieno produkto suvartojimui, padidėja naudingumas; (kiekvieno produkto ribinis naudingumas didėja, jei didėja kitos prekės kiekis).

Pardavimo kaina vienas produktas lygus 7 vienetams. Fiksuotos išlaidos yra lygios 8000 vnt. Kintamieji kaštai lygūs 5 vnt. už 1 vnt Kokia yra nenutrūkstamo gamybos apimtis? 4000 vienetų

Kam jis lygus modelyje Keinso obligacijų paklausa, jei pinigų pasiūla = 1000 vienetų. , pinigų apyvartos greitis realioje rinkoje k=0,1, BVP vieneto kaina p=0,5 vnt., BVP reikšmė 10 000 vnt... 500.

Kas yra lygus Keyneso modelyje obligacijų paklausa, jei pinigų pasiūla = 1000 vnt. , pinigų apyvartos greitis realioje rinkoje k=0,1, BVP vieneto kaina p=0,2 vnt., BVP reikšmė 10 000 vnt... 800.

Panagrinėkime formos santykį F(x, y)=0, jungiantys kintamuosius x Ir adresu. Mes vadinsime lygybe (1) lygtis su dviem kintamaisiais x, y, jei ši lygybė galioja ne visoms skaičių poroms X Ir adresu. Lygčių pavyzdžiai: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Jei (1) yra teisingas visoms skaičių poroms x ir y, tada jis vadinamas tapatybę. Tapatybių pavyzdžiai: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Mes vadinsime (1) lygtį taškų aibės lygtis (x; y), jei šią lygtį tenkina koordinatės X Ir adresu bet kurį aibės tašką ir jų netenkina nė vieno šiai aibei nepriklausančio taško koordinatės.

Svarbi analitinės geometrijos sąvoka yra tiesės lygties samprata. Tegu plokštumoje pateikta stačiakampė koordinačių sistema ir tam tikra tiesė α.

Apibrėžimas. Lygtis (1) vadinama tiesine lygtimi α (sukurtoje koordinačių sistemoje), jei šią lygtį tenkina koordinatės X Ir adresu bet kuris taškas, esantis ant linijos α , ir netenkina jokio taško, esančio ne šioje tiesėje, koordinačių.

Jei (1) yra tiesės lygtis α, tada mes pasakysime, kad lygtis (1) apibrėžia (rinkinius) linija α.

Linija α galima nustatyti ne tik formos lygtimi (1), bet ir pagal formos lygtį

F (P, φ) = 0 kuriose yra polinės koordinatės.

• tiesės lygtis su kampiniu koeficientu;

Tegu yra tiesi linija, o ne statmena ašiai Oi. Paskambinkime pasvirimo kampas duota tiesi linija į ašį Oi kampe α , į kurią reikia pasukti ašį Oi kad teigiama kryptis sutaptų su viena iš tiesės krypčių. Tiesios linijos polinkio kampo liestinė su ašimi Oi paskambino nuolydisši eilutė ir žymima raide KAM.

Išveskime šios tiesės lygtį, jei ją žinome KAM ir segmento vertę OB, kurią jis nupjauna ašyje Op-amp.

(2) lygtis vadinama tiesės lygtis su kampiniu koeficientu. Jeigu K=0, tada tiesi linija yra lygiagreti ašiai Oi o jo lygtis yra y = b.

• tiesės, einančios per du taškus, lygtis;

Jeigu y 1 = y 2, tada norimos linijos lygtis turi formą y = y 1. Šiuo atveju tiesi linija yra lygiagreti ašiai Oi. Jeigu x 1 = x 2, tada tiesi linija, einanti per taškus M 1 Ir M 2, lygiagrečiai ašiai Op-amp, jos lygtis turi formą x = x 1.

• tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikru nuolydžiu, lygtis;

ir, atvirkščiai, (5) lygtis savavališkiems koeficientams A, B, C (A Ir B ≠ 0 vienu metu) apibrėžia tam tikrą tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje Oho.

Įrodymas.

Pirma, įrodykime pirmąjį teiginį. Jei linija nėra statmena O tada jis nustatomas pagal pirmojo laipsnio lygtį: y = kx + b, t.y. (5) formos lygtis, kur

A = k, B = -1 Ir C = b. Jei linija statmena O tada visi jo taškai turi identiškas abscises, lygias reikšmei α segmentas, nupjautas tiesia linija ašyje Oi.

Šios linijos lygtis turi formą x = α, tie. taip pat yra (5) formos pirmojo laipsnio lygtis, kur A = 1, B = 0, C = - α. Tai patvirtina pirmąjį teiginį.

Įrodykime priešingą teiginį. Tegu pateikta (5) lygtis ir bent vienas iš koeficientų A Ir B ≠ 0.

Jeigu B ≠ 0, tada (5) gali būti parašytas forma . Butas , gauname lygtį y = kx + b, t.y. (2) formos lygtis, apibrėžianti tiesę.

Jeigu B = 0, Tai A ≠ 0 ir (5) turi formą . Žymima pagal α, gauname

x = α, t.y. tiesės, statmenos Oh, lygtis.

Vadinamos tiesės, apibrėžtos stačiakampėje koordinačių sistemoje pirmojo laipsnio lygtimi pirmosios eilės.

Formos lygtis Ax + Wu + C = 0 yra nepilnas, t.y. Kai kurie koeficientai yra lygūs nuliui.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 ir apibrėžia tiesę, einančią per pradžią.

2) B = 0 (A ≠ 0); lygtis Ax + C = 0 Oi.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 ir apibrėžia lygiagrečią tiesę Oi.

Lygtis (6) vadinama tiesės lygtimi „atkarpomis“. Skaičiai A Ir b yra atkarpų, kurias tiesi linija nukerta koordinačių ašyse, reikšmės. Ši lygties forma yra patogi tiesios linijos geometrinei konstrukcijai.

• normalioji tiesės lygtis;

Аx + Вy + С = 0 yra bendroji tam tikros tiesės lygtis ir (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

jos normalioji lygtis.

Kadangi (5) ir (7) lygtys apibrėžia tą pačią tiesę, tada ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 Ir

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) šių lygčių koeficientai yra proporcingi. Tai reiškia, kad padauginę visus (5) lygties narius iš tam tikro koeficiento M, gauname lygtį MA x + MV y + MS = 0, sutampa su (7) lygtimi, t.y.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Norėdami rasti koeficientą M, sugretiname pirmąsias dvi lygybes ir pridedame:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

Tikslas: Apsvarstykite tiesės plokštumoje sampratą, pateikite pavyzdžių. Remdamiesi tiesės apibrėžimu, pateikite tiesės lygties plokštumoje sąvoką. Apsvarstykite tiesių linijų tipus, pateikite tiesės apibrėžimo pavyzdžių ir metodų. Stiprinti gebėjimą išversti tiesės lygtį iš bendrosios formos į tiesės lygtį „atkarpomis“, su kampiniu koeficientu.

1. Tiesės lygtis plokštumoje.
2. Tiesės lygtis plokštumoje. Lygčių tipai.
3. Tiesios linijos nustatymo metodai.

1. Tegul x ir y yra du savavališki kintamieji.

Apibrėžimas: Vadinamas F(x,y)=0 formos santykis lygtis , jei tai netiesa jokioms skaičių poroms x ir y.

Pavyzdys: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Jei lygybė F(x,y)=0 galioja bet kuriam x, y, tada F(x,y) = 0 yra tapatybė.

Pavyzdys: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Jie sako, kad skaičiai x yra 0, o y yra 0 patenkinti lygtį , jei pakeičiant juos į šią lygtį, tai virsta tikra lygybe.

Svarbiausia analitinės geometrijos sąvoka yra tiesės lygties samprata.

Apibrėžimas: Duotos tiesės lygtis yra lygtis F(x,y)=0, kurią tenkina visų šioje tiesėje esančių taškų koordinatės, o ne tenkina nė vieno taško, esančio ne šioje tiesėje, koordinatės.

Tiesė, apibrėžta lygtimi y = f(x), vadinama f(x) grafiku. Kintamieji x ir y vadinami esamomis koordinatėmis, nes jie yra kintamojo taško koordinatės.

Kai kurie pavyzdžių eilučių apibrėžimai.

1) x – y = 0 => x = y. Ši lygtis apibrėžia tiesią liniją:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => taškai turi tenkinti lygtį x - y = 0 arba lygtį x + y = 0, kuri plokštumoje atitinka susikertančių tiesių pora, kurios yra koordinačių kampų pusiausvyros:

3) x 2 + y 2 = 0. Šią lygtį tenkina tik vienas taškas O(0,0).

2. Apibrėžimas: Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

Be to, konstantos A ir B vienu metu nėra lygios nuliui, t.y. A 2 + B 2 ¹ 0. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis.

Atsižvelgiant į konstantų A, B ir C vertes, galimi šie specialūs atvejai:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – tiesė eina per pradžios tašką

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (by + C = 0) – tiesi linija, lygiagreti Ox ašiai

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – tiesi linija, lygiagreti Oy ašiai

B = C = 0, A ¹ 0 – tiesė sutampa su Oy ašimi

A = C = 0, B ¹ 0 – tiesė sutampa su Ox ašimi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, priklausomai nuo bet kokių pradinių sąlygų.

Tiesios linijos su kampiniu koeficientu lygtis.

Jei bendroji tiesės Ax + By + C = 0 lygtis sumažinama į formą:

ir pažymėkite , tada gauta lygtis vadinama tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, tai dalijant iš –С gauname: arba , kur

Koeficientų geometrinė reikšmė yra ta, kad koeficientas A yra tiesės susikirtimo su Ox ašimi taško koordinatė ir b– tiesės susikirtimo su Oy ašimi taško koordinatė.

Normalioji tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + By + C = 0 yra padalintos iš vadinamo skaičiaus normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosj + ysinj - p = 0 – normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip, kad m×С< 0.

p yra statmens, nukritusio nuo pradžios iki tiesės, ilgis, o j yra šio statmens suformuotas kampas su teigiama Ox ašies kryptimi.

3. Tiesios linijos lygtis naudojant tašką ir nuolydį.

Tegul tiesės kampinis koeficientas lygus k, tiesė eina per tašką M(x 0, y 0). Tada tiesės lygtis randama pagal formulę: y – y 0 = k(x – x 0)

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtis:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui.

Plokštumoje aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

jei x 1 ¹ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2.

Vadinama trupmena = k nuolydis tiesioginis.

Apžvelkime * Kuri lygtis vadinama kvadratine? * Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? * Kuri kvadratinė lygtis vadinama redukuota? * Kas vadinama kvadratinės lygties šaknimi? * Ką reiškia kvadratinės lygties sprendimas? Kuri lygtis vadinama kvadratine? Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? Kuri kvadratinė lygtis vadinama redukuota? Kas yra kvadratinės lygties šaknis? Ką reiškia išspręsti kvadratinę lygtį? Kuri lygtis vadinama kvadratine? Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? Kuri kvadratinė lygtis vadinama redukuota? Kokia yra kvadratinės lygties šaknis? Ką reiškia išspręsti kvadratinę lygtį?

Kvadratinės lygties sprendimo algoritmas: 1. Nustatykite racionaliausią kvadratinės lygties sprendimo būdą 2. Pasirinkite racionaliausią sprendimo būdą 3. Kvadratinės lygties šaknų skaičiaus nustatymas 4. Kvadratinės lygties šaknų radimas Kad būtų geriau įsiminimas, užpildykite lentelę... Kad geriau įsimintų, užpildykite lentelę... Kad geriau įsimintų, užpildykite lentelę...

Papildoma sąlyga Lygtis Šaknys Pavyzdžiai 1. b = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), kur c/a 0. b) jei c/a 0, tai sprendinių nėra 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 a, kur D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – lyginis skaičius (b = 2k), a 0, 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, kur k = 6. Vietos teoremos atvirkštinė teorema x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Specialieji metodai 7. Dvinalio kvadrato išskyrimo metodas. Tikslas: Sumažinti bendrąją lygtį iki nepilnos kvadratinės lygties. Pastaba: metodas taikomas bet kurioms kvadratinėms lygtims, bet ne visada patogus naudoti. Naudojamas kvadratinės lygties šaknų formulei įrodyti. Pavyzdys: išspręskite lygtį x 2 -6 x+8=0 8. Didžiausio koeficiento „perkėlimo“ būdas. Kvadratinių lygčių ax 2 + bx + c = 0 ir y 2 +by+ac=0 šaknys yra susietos ryšiais: ir Pastaba: metodas tinka kvadratinėms lygtims su „patogiais“ koeficientais. Kai kuriais atvejais tai leidžia žodžiu išspręsti kvadratinę lygtį. Pavyzdys: išspręskite lygtį 2 x 2 -9 x-5=0 Remiantis teoremomis: Pavyzdys: išspręskite lygtį 157 x x-177=0 9. Jei kvadratinėje lygtyje a+b+c=0, tai viena iš šaknys yra 1, o antroji, pagal Vietos teoremą, yra lygi c / a 10. Jei kvadratinėje lygtyje a + c = b, tai viena iš šaknų yra lygi -1, o antroji pagal Vietos teorema, lygi –c / a Pavyzdys: išspręskite lygtį 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Bendrieji lygčių sprendimo metodai 11. Faktorizacijos metodas. Tikslas: Sumažinti bendrąją kvadratinę lygtį į formą A(x)·B(x)=0, kur A(x) ir B(x) yra daugianariai x atžvilgiu. Metodai: Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų; Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas; Grupavimo metodas. Pavyzdys: išspręskite lygtį 3 x 2 +2 x-1=0 12. Naujo kintamojo įvedimo būdas. Gerai pasirinkus naują kintamąjį, lygties struktūra tampa skaidresnė Pavyzdys: išspręskite lygtį (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8