Kai kurių užduočių sprendimo pavyzdys iš standartinio darbo „Analitinė geometrija plokštumoje“
Viršūnės pateiktos, 
,
trikampis ABC. Rasti:
Visų trikampio kraštinių lygtys;
Trikampį apibrėžiančių tiesinių nelygybių sistema ABC;
Trikampio, nubrėžto iš viršūnės, aukščio, medianos ir pusiausvyros lygtys A;
Trikampio aukščių susikirtimo taškas;
Trikampio medianų susikirtimo taškas;
Aukščio ilgis nuleistas į šoną AB;
Kampas A;
Padarykite piešinį.
Tegul trikampio viršūnės turi koordinates: A (1; 4), IN (5; 3), SU(3; 6). Iš karto nupieškime piešinį:
1. Norėdami užrašyti visų trikampio kraštinių lygtis, naudojame tiesės, einančios per du nurodytus taškus su koordinatėmis, lygtį ( x 0 , y 0 ) Ir ( x 1 , y 1 ):
=
Taigi, pakeičiant vietoj ( x 0 , y 0 ) taško koordinates A, o vietoj ( x 1 , y 1 ) taško koordinates IN, gauname tiesės lygtį AB:
Gauta lygtis bus tiesės lygtis AB, parašyta bendra forma. Panašiai randame tiesės lygtį AC:
Ir taip pat tiesės lygtis Saulė:
2. Atkreipkite dėmesį, kad trikampio taškų aibė ABC reiškia trijų pusiau plokštumų sankirtą, o kiekvieną pusplokštumą galima apibrėžti naudojant tiesinę nelygybę. Jeigu paimtume bet kurios pusės lygtį ∆ ABC, Pavyzdžiui AB, tada nelygybės
Ir 
apibrėžti taškus, esančius priešingose linijos pusėse AB. Turime pasirinkti pusę plokštumos, kurioje yra taškas C. Pakeiskime jo koordinates į abi nelygybes:
Antroji nelygybė bus teisinga, o tai reiškia, kad reikiamus taškus lemia nelygybė
.
Tą patį darome su tiese BC, jos lygtimi 
. Kaip bandymo tašką naudojame tašką A (1, 1):
Tai reiškia, kad reikiama nelygybė turi tokią formą:
.
Jei patikrinsime tiesę AC (bandymo tašką B), gausime:
Tai reiškia, kad reikiama nelygybė turės formą
Galiausiai gauname nelygybių sistemą:
Ženklai „≤“, „≥“ reiškia, kad taškai, esantys trikampio šonuose, taip pat yra įtraukti į taškų, sudarančių trikampį, rinkinį. ABC.
3. a) Siekdami rasti iš viršūnės nukritusio aukščio lygtį Aį šoną Saulė, apsvarstykite kraštinės lygtį Saulė:
. 
Vektorius su koordinatėmis Saulė statmenai šonui A ir todėl lygiagrečiai aukščiui. Užrašykime tiesės, einančios per tašką, lygtį 
:
lygiagrečiai vektoriui A Tai yra aukščio, praleisto iš t, lygtis. Saulė.
į šoną Saulė b) Raskite kraštinės vidurio koordinates 
pagal formules: 
Čia IN, A 
– koordinatės t. SU. Pakeiskime ir gaukime:
Tiesi linija, einanti per šį tašką ir tašką A yra norima mediana:
c) Bisektoriaus lygties ieškosime remdamiesi tuo, kad lygiašoniame trikampyje aukštis, mediana ir pusiaukraštis, nusileidę iš vienos viršūnės į trikampio pagrindą, yra lygūs. Raskime du vektorius 
Ir 
ir jų ilgiai:
Tada vektorius 
turi tą pačią kryptį kaip ir vektorius 
, ir jo ilgis 
Taip pat vieneto vektorius 
kryptis sutampa su vektoriumi 
Vektorinė suma
yra vektorius, kuris kryptimi sutampa su kampo pusiausvyra A. Taigi, norimo bisektoriaus lygtis gali būti parašyta taip:
4) Mes jau sukonstravome vieno iš aukščių lygtį. Sukurkime lygtį kitam aukščiui, pavyzdžiui, iš viršūnės IN. Šoninė AC pateikta lygtimi 
Taigi vektorius 
statmenai AC, taigi lygiagrečiai norimam aukščiui. Tada tiesės, einančios per viršūnę, lygtis IN vektoriaus kryptimi 
(t. y. statmenai AC), turi tokią formą:
Yra žinoma, kad trikampio aukščiai susikerta viename taške. Visų pirma šis taškas yra rastų aukščių sankirta, t.y. sprendžiant lygčių sistemą:
- šio taško koordinatės.
5. Vidurio AB turi koordinates 
. Parašykime medianos lygtį į šoną AB.Ši linija eina per taškus, kurių koordinatės (3, 2) ir (3, 6), o tai reiškia, kad jos lygtis yra tokia:
Atkreipkite dėmesį, kad tiesės lygties trupmenos vardiklyje esantis nulis reiškia, kad ši tiesė eina lygiagrečiai ordinačių ašiai.
Norint rasti medianų susikirtimo tašką, pakanka išspręsti lygčių sistemą:
Trikampio medianų susikirtimo taškas turi koordinates 
.
6. Aukščio ilgis nuleistas į šoną AB, lygus atstumui nuo taško SUį tiesią liniją AB su lygtimi 
ir randama pagal formulę:
7. Kampo kosinusas A galima rasti naudojant kampo tarp vektorių kosinuso formulę 
Ir 
, kuris yra lygus šių vektorių skaliarinės sandaugos ir jų ilgių sandaugos santykiui:
.
1. Kraštinių AB ir BC lygtis ir jų kampiniai koeficientai.
Užduotyje pateikiamos taškų, per kuriuos eina šios linijos, koordinatės, todėl naudosime tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ pakaitalas ir gaukite lygtis
tiesės AB lygtis $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ tiesės AB nuolydis lygus \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
tiesės BC lygtis $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ tiesės BC nuolydis yra lygus \ (k_(BC) = -7\)
2. Kampas B radianais dviejų skaitmenų tikslumu
Kampas B yra kampas tarp tiesių AB ir BC, kuris apskaičiuojamas pagal formulę $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$pakeičia kampinių koeficientų reikšmes iš šių eilučių ir gauti $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \apytiksliai 0,79 USD
3. AB kraštinės ilgis
Kraštinės AB ilgis apskaičiuojamas kaip atstumas tarp taškų ir yra lygus \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15 $$
4. CD aukščio ir ilgio lygtis.
Aukščio lygtį rasime naudodami tiesės, einančios per duotą tašką C(4;13) tam tikra kryptimi - statmenai tiesei AB, formulę naudodami formulę \(y-y_0=k(x-x_0) \). Raskime kampinį aukščio koeficientą \(k_(CD)\) naudodami statmenų tiesių savybę \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) gausime $$k_(CD)= -\frac( 1)(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Į lygtį pakeičiame tiesia linija, gauname $$ y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Aukščio ilgio ieškosime kaip atstumas nuo taško C(4;13) iki tiesės AB, naudojant formulę $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ skaitiklyje yra tiesės AB lygtį, sumažinkime ją iki šios formos \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , pakeiskite gautą lygtį ir taško koordinates į formulę $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10 USD
5. Medianos AE ir taško K koordinačių lygtis, šios medianos sankirta su aukščiu CD.
Medianos lygties ieškosime kaip tiesės, einančios per du duotus taškus A(-6;8) ir E lygties, kur taškas E yra vidurio taškas tarp taškų B ir C, o jo koordinatės randamos pagal formulė \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) pakeičia taškų koordinates \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), tada AE medianos lygtis bus tokia $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Rasime susikirtimo taško koordinates aukščiai ir mediana, t.y. Raskime jų bendrą tašką. Norėdami tai padaryti, sukursime sistemos lygtį $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \. frac(4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$ $$\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(atvejai)=> $ $$$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Susikirtimo taško koordinatės \(K(-\frac(1)(2); 7)\)
6. Tiesės, einančios per tašką K lygiagrečiai AB kraštinei, lygtis.
Jei tiesė lygiagreti, tai jų kampiniai koeficientai lygūs, t.y. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), taip pat žinomos taško \(K(-\frac(1)(2);7)\) koordinatės , t.y. norėdami rasti tiesės lygtį, pritaikome tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi, lygties formulę \(y - y_0=k(x-x_0)\), pakeičiame duomenis ir gauname $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $
8. Taško M, kuris yra simetriškas taškui A, koordinatės tiesės CD atžvilgiu.
Taškas M yra tiesėje AB, nes CD yra šios pusės aukštis. Raskime CD ir AB susikirtimo tašką, kad tai padarytume, išspręskite lygčių sistemą $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -; \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(atvejai) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(atvejai) => $$$$\begin(atvejai )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(atvejai) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Taško D koordinatės(-2;5). Pagal sąlygą AD=DK šis atstumas tarp taškų randamas pagal Pitagoro formulę \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), kur AD ir DK yra lygių stačiųjų trikampių hipotenzės, o \(Δx =x_2-x_1\) ir \(Δy=y_2-y_1\) yra šių trikampių kojos, t.y. raskime kojeles ir raskime taško M koordinates. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), ir \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), tada koordinates taško M bus lygus \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4 = 2 \) ir \(y_M-y_D = Δy => y_D + Δy =5-3 = 2 \), nustatėme, kad taško koordinatės \( M(2;2)\)
1. Duotos trikampio viršūnės ABC.A(–9; –2), IN(3; 7), SU(1; –7).
1) šono ilgis AB;
2) kraštinių lygtys AB Ir AC ir jų kampinius koeficientus;
3) kampas A radianais;
4) aukščio lygtis SUD ir jo ilgis;
5) apskritimo, kurio aukštis, lygtis SUD yra skersmuo;
6) tiesinių nelygybių sistema, apibrėžianti trikampį ABC.
Sprendimas. Padarykime piešinį.
1. Raskime kraštinės AB ilgį. Atstumas tarp dviejų taškų nustatomas pagal formulę
2. Raskime kraštinių lygtisAB IrAC ir jų kampinius koeficientus.
Užrašykime tiesės, einančios per du taškus, lygtį.
Tai yra bendroji linijos lygtis. Išspręskime tai y atžvilgiu, gausime
, tiesės nuolydis lygus 
Panašiai turime ir šoninę AC.
tiesės nuolydis lygus 
3. Mes rasimekampeA
radianais.
Tai kampas tarp dviejų vektorių 
Ir 
. Užrašykime vektorių koordinates. Kampo tarp vektorių kosinusas lygus
4. Mes rasimeaukščio lygtisSU
D
ir jo ilgis.
, todėl jų kampinius koeficientus sieja ryšys 
.
Parašykime aukščio lygtį per kampinį koeficientą
Taškas 
priklauso linijai CD, todėl jos koordinatės tenkina tiesės lygtį, vadinasi, turime 
Pagaliau 
arba
Aukščio ilgį apskaičiuojame kaip atstumą nuo taško C iki tiesės AB
5. Raskime apskritimo lygtį, kokiam aukščiuiSU D yra skersmuo.
Dviejų tiesių AB ir CD, kurių lygtys žinomos, susikirtimo taško D koordinates.
Raskime taško O – apskritimo centro – koordinates. Tai yra CD skyriaus vidurys.
Apskritimo spindulys yra 
Užrašykime apskritimo lygtį.
6) Apibrėžkime trikampįABC tiesinių nelygybių sistema.
Raskime tiesės CB lygtį.
Tiesinių nelygybių sistema atrodys taip.
2. Išspręskite šią lygčių sistemą naudodami Cramerio formules. Patikrinkite gautą tirpalą.
Sprendimas. Apskaičiuokime šios sistemos determinantą:
.
Raskime determinantus 
ir išspręskite sistemą:
Egzaminas:
Atsakymas:
3. Parašykite lygčių sistemą matricine forma ir išspręskite ją naudodami
atvirkštinė matrica. Patikrinkite gautą tirpalą
Sprendimas.
Raskime matricos A determinantą
matrica yra ne vienaskaita ir turi atvirkštinę reikšmę. Raskime visus algebrinius papildinius ir sukurkime sąjungos matricą. 
Atvirkštinė matrica turi tokią formą: 
Padarykime daugybą 
ir raskite sprendinių vektorių.
Apžiūra
. 
Atsakymas: 
Sprendimas.
N = (2, 1). Nubrėžkite lygių liniją, statmeną normaliajam vektoriui, ir perkelkite ją normalaus kryptimi,
Tikslinė funkcija savo minimumą pasiekia taške A, o maksimumą – taške B. Šių taškų koordinates randame bendrai spręsdami tiesių, kurių sankirtoje jie yra, lygtis.
5. Kelionių kompanijai daugiau nereikia A trijų tonų autobusų ir ne daugiau V
penkių tonų autobusų. Pirmos markės autobusų pardavimo kaina – 20 000 USD, antros markės
40 000 USD Kelionių kompanija gali skirti ne daugiau kaip Su c.u.
Kiek kiekvienos markės autobusų reikėtų įsigyti atskirai, kad jų bendra
(bendra) apkrova buvo maksimali. Išspręskite problemą grafiškai.
A= 20 V= 18 Su= 1000000
Sprendimas.
Sukurkime matematinį problemos modelį .
Pažymėkime pagal 
- kiekvienos tonažo autobusų, kurie bus perkami, skaičius. Pirkimo tikslas – turėti maksimalią perkamų mašinų keliamąją galią, aprašytą tikslo funkcija
Užduoties apribojimus lemia perkamų autobusų skaičius ir jų kaina.
Išspręskime problemą grafiškai. . Sukonstruojame galimų problemos sprendimų sritį ir normalią lygio linijoms N = (3, 5). Nubrėžkite lygio liniją, statmeną normaliajam vektoriui, ir perkelkite ją normalaus kryptimi.
Tikslo funkcija taške pasiekia maksimumą 
, tikslo funkcija įgyja reikšmę .
Sprendimas. 1. Funkcijos apibrėžimo sritis yra visos skaičiaus ašis.
2, funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3. Kai x=0, y=20
4. Nagrinėjame monotoniškumo ir ekstremalumo funkciją.
Raskime išvestinės nulius
Stacionarūs funkcijos taškai.
Nubraižykime stacionarius taškus Ox ašyje ir patikrinkime išvestinės požymius kiekvienoje ašies atkarpoje.
– maksimalus taškas 
; 
- minimalus taškas 
5. Nagrinėjame išgaubto ir įgaubto funkcijos grafiką. Paimkime 2-ąją išvestinę
Funkcijos grafiko vingio taškas.
At 
- funkcija išgaubta; adresu 
- funkcija įgaubta.
Funkcijos grafikas atrodo taip
6. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę intervale [-1; 4]
Apskaičiuokime funkcijos reikšmę segmento galuose 
Mažiausiame taške funkcija įgauna reikšmes, todėl mažiausia atkarpos reikšmė [-1; 4] funkcija užima mažiausią tašką, o maksimumą – kairėje intervalo riboje.
7. Raskite neapibrėžtus integralus ir patikrinkite integravimo rezultatus
diferenciacija.
Sprendimas.
Apžiūra.
Čia kosinusų sandauga buvo pakeista suma, pagal trigonometrines formules.
