Vieneto vektorius- Tai vektorius, kurios absoliuti reikšmė (modulis) lygi vienetui. Vieneto vektoriui žymėti naudosime indeksą e. Taigi, jei pateikiamas vektorius A, tada jo vieneto vektorius bus vektorius A e. Šis vieneto vektorius nukreiptas ta pačia kryptimi kaip ir pats vektorius A, o jo modulis lygus vienetui, tai yra, a e = 1.

Akivaizdu, A= a A e (a - vektorinis modulis A). Tai išplaukia iš taisyklės, pagal kurią atliekama skaliaro padauginimo iš vektoriaus operacija.

Vienetų vektoriai dažnai siejama su koordinačių sistemos koordinačių ašimis (ypač su Dekarto koordinačių sistemos ašimis). Šių kryptys vektoriai sutampa su atitinkamų ašių kryptimis, o jų ištakos dažnai derinamos su koordinačių sistemos pradžia.

Leiskite jums tai priminti Dekarto koordinačių sistema erdvėje tradiciškai vadinama viena kitai statmenų ašių, susikertančių taške, vadinamame koordinačių pradžia, trijulė. Koordinačių ašys paprastai žymimos raidėmis X, Y, Z ir atitinkamai vadinamos abscisių ašimi, ordinačių ašimi ir aplikacine ašimi. Pats Dekartas naudojo tik vieną ašį, ant kurios buvo nubraižytos abscisės. Naudojimo nuopelnas sistemos kirviai priklauso jo mokiniams. Todėl frazė Dekarto koordinačių sistema istoriškai neteisingas. Geriau pasikalbėti stačiakampis koordinačių sistema arba stačiakampė koordinačių sistema. Tačiau tradicijų nekeisime ir ateityje manysime, kad Dekarto ir stačiakampės (stačiakampės) koordinačių sistemos yra viena ir ta pati.

Vieneto vektorius, nukreiptas išilgai X ašies, žymimas i, vieneto vektorius, nukreiptas išilgai Y ašies, žymimas j, A vieneto vektorius, nukreiptas išilgai Z ašies, žymimas k. Vektoriai i, j, k yra vadinami orts(12 pav., kairėje), jie turi pavienius modulius, t
i = 1, j = 1, k = 1.

Kirviai ir vienetiniai vektoriai stačiakampė koordinačių sistema kai kuriais atvejais jie turi skirtingus pavadinimus ir pavadinimus. Taigi abscisių ašis X gali būti vadinama liestinės ašimi, o jos vieneto vektorius žymimas τ (graikiška maža raidė tau), ordinačių ašis yra normalioji ašis, žymima jos orth n, taikomoji ašis yra binormali ašis, pažymėtas jos vieneto vektorius b. Kam keisti vardus, jei esmė išlieka ta pati?

Faktas yra tas, kad, pavyzdžiui, mechanikoje, tiriant kūnų judėjimą, labai dažnai naudojama stačiakampė koordinačių sistema. Taigi, jei pati koordinačių sistema yra stacionari ir šioje stacionarioje sistemoje stebimas judančio objekto koordinačių pokytis, tada paprastai ašys žymimos X, Y, Z ir jų vienetiniai vektoriai atitinkamai i, j, k.

Tačiau dažnai, kai objektas juda kokiu nors kreiviniu keliu (pavyzdžiui, apskritimu), patogiau atsižvelgti į mechaninius procesus koordinačių sistemoje, judančius kartu su šiuo objektu. Būtent tokiai judančiajai koordinačių sistemai naudojami kiti ašių pavadinimai ir jų vienetų vektoriai. Tiesiog taip yra. Šiuo atveju X ašis yra nukreipta tangentiškai į trajektoriją taške, kuriame šiuo metu yra šis objektas. Ir tada ši ašis nebevadinama X ašimi, o liestinės ašimi, o jos vieneto vektorius nebėra žymimas i, A τ . Y ašis nukreipta išilgai trajektorijos kreivumo spindulio (judant apskritimu – į apskritimo centrą). O kadangi spindulys yra statmenas liestinei, ašis vadinama normaliąja ašimi (statmena ir normalioji yra tas pats). Šios ašies vieneto vektorius nebėra žymimas j, A n. Trečioji ašis (anksčiau Z) yra statmena ankstesnėms dviem. Tai binormalus su ortu b(12 pav., dešinėje). Beje, šiuo atveju toks stačiakampė koordinačių sistema dažnai vadinamas „natūraliu“ arba natūraliu.

Prieš pateikiant vektorinės sandaugos sąvoką, pereikime prie sutvarkyto vektorių trigubo a →, b →, c → orientacijos trimatėje erdvėje klausimo.

Pirmiausia atidėkime vektorius a → , b → , c → iš vieno taško. Trigubo a → , b → , c → orientacija gali būti dešinė arba kairė, priklausomai nuo paties vektoriaus c → krypties. Trigubo tipas a → , b → , c → bus nustatomas pagal kryptį, kuria trumpiausias posūkis iš vektoriaus a → į b → nuo vektoriaus c → pabaigos.

Jei trumpiausias posūkis atliekamas prieš laikrodžio rodyklę, vektorių trigubas a → , b → , c → vadinamas teisingai, jei pagal laikrodžio rodyklę – paliko.

Tada paimkite du nekolinearinius vektorius a → ir b →. Tada pavaizduokime vektorius A B → = a → ir A C → = b → iš taško A. Sukonstruokime vektorių A D → = c →, kuris vienu metu yra statmenas ir A B →, ir A C →. Taigi, konstruodami patį vektorių A D → = c →, galime tai padaryti dviem būdais, suteikdami jam arba vieną kryptį, arba priešingą (žr. iliustraciją).

Sutvarkytas vektorių trigubas a → , b → , c → gali būti, kaip išsiaiškinome, dešinėje arba kairėje, priklausomai nuo vektoriaus krypties.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, galime pateikti vektorinės sandaugos apibrėžimą. Šis apibrėžimas pateiktas dviem vektoriams, apibrėžtiems trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje.

1 apibrėžimas

Dviejų vektorių a → ir b → vektorinė sandauga tokį vektorių, apibrėžtą trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje, vadinsime taip, kad:

• jei vektoriai a → ir b → yra kolinearūs, tai bus lygus nuliui;
• jis bus statmenas ir vektoriui a → ​​​​ ir vektoriui b → t.y. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• jo ilgis nustatomas pagal formulę: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• vektorių trigubas a → , b → , c → turi tokią pačią orientaciją kaip ir duotoji koordinačių sistema.

Vektorių a → ir b → vektorinė sandauga turi tokį žymėjimą: a → × b →.

Vektorinės sandaugos koordinatės

Kadangi bet kuris vektorius koordinačių sistemoje turi tam tikras koordinates, galime įvesti antrą vektorinės sandaugos apibrėžimą, kuris leis mums rasti jo koordinates naudojant nurodytas vektorių koordinates.

2 apibrėžimas

Trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje dviejų vektorių a → = (a x ; a y ; a z) ir b → = (b x ; b y ; b z) vektorinė sandauga vadinamas vektoriumi c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kur i → , j → , k → yra koordinačių vektoriai.

Vektorinė sandauga gali būti pavaizduota kaip trečios eilės kvadratinės matricos determinantas, kur pirmoje eilutėje yra vektoriai i → , j → , k → , antroje eilutėje yra vektoriaus a → koordinatės, o trečioje eilutėje yra vektoriaus b → koordinatės duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, tai matricos determinantas atrodo taip: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Išplėtę šį determinantą į pirmosios eilutės elementus, gauname lygybę: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a = a · y b x b → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kryžminio produkto savybės

Yra žinoma, kad vektorinė sandauga koordinatėse vaizduojama kaip matricos c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z determinantas, tada remiantis matricos determinanto savybės rodomi šie vektoriaus produkto savybės:

1. antikomutatyvumas a → × b → = - b → × a → ;
2. pasiskirstymas a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → arba a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociatyvumas λ a → × b → = λ a → × b → arba a → × (λ b →) = λ a → × b →, kur λ yra savavališkas realusis skaičius.

Šios savybės turi paprastus įrodymus.

Kaip pavyzdį galime įrodyti vektorinės sandaugos antikomutacinę savybę.

Antikomutatyvumo įrodymas

Pagal apibrėžimą a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ir b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . O jei dvi matricos eilutės yra sukeistos, tai matricos determinanto reikšmė turėtų pasikeisti į priešingą, todėl a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , kuri ir įrodo, kad vektorinė sandauga yra antikomutacinė.

Vektorinis produktas – pavyzdžiai ir sprendimai

Daugeliu atvejų yra trijų tipų problemos.

Pirmojo tipo uždaviniuose paprastai nurodomi dviejų vektorių ilgiai ir kampas tarp jų, ir reikia rasti vektorinės sandaugos ilgį. Šiuo atveju naudokite šią formulę c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

1 pavyzdys

Raskite vektorių a → ir b → vektorinės sandaugos ilgį, jei žinote a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Sprendimas

Nustatę vektorių a → ir b → vektorinės sandaugos ilgį, išsprendžiame šį uždavinį: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Atsakymas: 15 2 2 .

Antrojo tipo problemos turi ryšį su vektorių koordinatėmis, jose vektorine sandauga, jos ilgiu ir kt. ieškoma pagal žinomas duotųjų vektorių koordinates a → = (a x; a y; a z) Ir b → = (b x ; b y ; b z) .

Dėl tokio tipo problemų galite išspręsti daugybę užduočių parinkčių. Pavyzdžiui, galima nurodyti ne vektorių a → ir b → koordinates, o jų išplėtimus į formos koordinačių vektorius. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ir c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → arba vektoriai a → ir b → gali būti nurodyti jų pradžios koordinatėmis ir pabaigos taškai.

Apsvarstykite šiuos pavyzdžius.

2 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikti du vektoriai: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Raskite jų kryžminį produktą.

Sprendimas

Pagal antrąjį apibrėžimą randame dviejų vektorių vektorinę sandaugą nurodytomis koordinatėmis: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jei vektorinį sandaugą rašome per matricos determinantą, tai šio pavyzdžio sprendimas atrodo taip: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Atsakymas: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

3 pavyzdys

Raskite vektorių i → - j → ir i → + j → + k → vektorinės sandaugos ilgį, kur i →, j →, k → yra stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos vienetiniai vektoriai.

Sprendimas

Pirmiausia suraskime duotos vektorinės sandaugos i → - j → × i → + j → + k → koordinates duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Yra žinoma, kad vektoriai i → - j → ir i → + j → + k → turi atitinkamai koordinates (1; - 1; 0) ir (1; 1; 1). Raskime vektorinės sandaugos ilgį naudodami matricos determinantą, tada turime i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Todėl vektorinė sandauga i → - j → × i → + j → + k → turi koordinates (- 1 ; - 1 ; 2) duotoje koordinačių sistemoje.

Vektorinės sandaugos ilgį randame naudodami formulę (žr. skyrių apie vektoriaus ilgio radimą): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Atsakymas: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

4 pavyzdys

Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje pateiktos trijų taškų A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) koordinatės. Raskite kokį nors vektorių, statmeną A B → ir A C → vienu metu.

Sprendimas

Vektoriai A B → ir A C → turi šias koordinates (- 1 ; 2 ; 2) ir (0 ; 4 ; 1). Radus vektorių A B → ir A C → vektorinę sandaugą, akivaizdu, kad tai pagal apibrėžimą statmenas vektorius ir A B →, ir A C →, tai yra, tai yra mūsų problemos sprendimas. Raskime A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Atsakymas: - 6 i → + j → - 4 k → . - vienas iš statmenų vektorių.

Trečiojo tipo problemos yra orientuotos į vektorių vektorinės sandaugos savybių panaudojimą. Taikę tai, gausime pateiktos problemos sprendimą.

5 pavyzdys

Vektoriai a → ir b → yra statmeni, o jų ilgiai yra atitinkamai 3 ir 4. Raskite vektorinės sandaugos ilgį 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Sprendimas

Pagal vektorinės sandaugos skirstomąją savybę galime parašyti 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Pagal asociatyvumo savybę skaitinius koeficientus išimame iš vektorinių sandaugų ženklo paskutinėje išraiškoje: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorinės sandaugos a → × a → ir b → × b → lygios 0, nes a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ir b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, tada 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Iš vektorinės sandaugos antikomutatyvumo išplaukia - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Naudodamiesi vektorinės sandaugos savybėmis, gauname lygybę 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pagal sąlygą vektoriai a → ir b → yra statmeni, tai yra kampas tarp jų lygus π 2. Dabar belieka rastąsias reikšmes pakeisti atitinkamomis formulėmis: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Atsakymas: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Vektorių vektorinės sandaugos ilgis pagal apibrėžimą lygus a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Kadangi jau žinoma (iš mokyklos kurso), kad trikampio plotas yra lygus pusei jo dviejų kraštinių ilgių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp šių kraštinių sinuso. Vadinasi, vektorinės sandaugos ilgis yra lygus lygiagretainio – padvigubinto trikampio – plotui, būtent kraštinių sandaugai vektorių a → ir b → pavidalu, išdėstytų iš vieno taško sinusu kampas tarp jų sin ∠ a →, b →.

Tai geometrinė vektorinės sandaugos reikšmė.

Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė

Mechanikoje, vienoje iš fizikos šakų, vektorinio produkto dėka galite nustatyti jėgos momentą erdvės taško atžvilgiu.

3 apibrėžimas

Pagal jėgos F → momentą, taikomą taškui B, taško A atžvilgiu, suprasime tokią vektorinę sandaugą A B → × F →.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

7.1. Kryžminio produkto apibrėžimas

Trys ne lygiaplaniai vektoriai a, b ir c, paimti nurodyta tvarka, sudaro dešiniarankį tripletą, jei nuo trečiojo vektoriaus c pabaigos trumpiausias posūkis nuo pirmojo vektoriaus a iki antrojo vektoriaus b. būti prieš laikrodžio rodyklę, o kairiarankis tripletas, jei pagal laikrodžio rodyklę (žr. .16 pav.).

Vektorių a ir vektoriaus b kryžminė sandauga vadinama vektoriumi c, kuris:

1. Statmenai vektoriams a ir b, ty c ^ a ir c ^ b ;

2. Jo ilgis skaitiniu požiūriu lygus lygiagretainio plotui, sudarytam iš vektorių a irb kaip ir šonuose (žr. 17 pav.), t.y.

3. Vektoriai a, b ir c sudaro dešiniarankį trigubą.

Kryžminė sandauga žymima a x b arba [a,b]. Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo, j Ir k

(žr. 18 pav.):
i x j = k, j x k = i, k x i = j. Pavyzdžiui, įrodykime tai

i xj =k. ^ 1) k ^ i, k

j; 2) |k |=1, bet | i x j

| = |i | Ir|J | sin(90°)=1;

3) vektoriai i, j ir

suformuoti dešinįjį trigubą (žr. 16 pav.).

7.2. Kryžminio produkto savybės = -(1. Pertvarkant veiksnius vektorinė sandauga keičia ženklą, t.y.).

ir xb =(b xa) (žr. 19 pav.).

Vektoriai a xb ir b xa yra kolinearūs, turi tuos pačius modulius (lygiagretainio plotas išlieka nepakitęs), bet yra priešingos krypties (priešingos orientacijos trigubai a, b, a xb ir a, b, b x a). Todėl axb b xa b 2. Vektoriaus sandauga turi derinimo savybę skaliarinio koeficiento atžvilgiu, ty l (a xb) = (l a) x b = a x (l b). b Tegul l >0. Vektorius l (a xb) yra statmenas vektoriams a ir b. Vektorius ( axb l axb a)x axb b xa b taip pat yra statmenas vektoriams a ir

(vektoriai a, axb bet guli toje pačioje plokštumoje). Tai reiškia, kad vektoriai axb(a xb) ir ( axb<0.

kolinearinis. Akivaizdu, kad jų kryptys sutampa. Jie yra vienodo ilgio: bŠtai kodėl<=>(a xb)=

a xb. Tai įrodoma panašiu būdu

3. Du nuliniai vektoriai a ir

(yra kolineariniai tada ir tik tada, kai jų vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui, t. y. a ||b ir xb =0. b Visų pirma, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorinė sandauga turi pasiskirstymo savybę:

a+b)

xc = a xc + Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo, xs.

Priimsime be įrodymų.

7.3. Kryžminės sandaugos išreiškimas koordinatėmis Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo, Naudosime vektorių i sandaugų lentelę, Ir ir k: jei trumpiausio kelio kryptis nuo pirmojo vektoriaus iki antrojo sutampa su rodyklės kryptimi, tai sandauga lygi trečiajam vektoriui, jei nesutampa, trečiasis vektorius imamas su minuso ženklu. Tegu pateikti du vektoriai a =a x i +a y Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo,+a z Ir ir b =b x

i

kadangi lygybės (7.1) dešinioji pusė atitinka trečiosios eilės determinanto plėtinį pagal pirmosios eilės elementus. Lygybę (7.2) lengva prisiminti.

7.4. Kai kurios kryžminio produkto taikymo sritys

Vektorių kolineariškumo nustatymas

Lygiagretainio ir trikampio ploto radimas

Pagal vektorių vektorinės sandaugos apibrėžimą A ir b |a xb | =|a | * |b |sin g, t.y. S poros = |a x b |. Ir todėl D S =1/2|a x b |.

Jėgos momento apie tašką nustatymas

Tegu taške A veikia jėga F = AB ir tegul APIE- tam tikras erdvės taškas (žr. 20 pav.).

Iš fizikos žinoma, kad jėgos momentas F taško atžvilgiu APIE vadinamas vektoriumi M, kuri eina per tašką APIE Ir:

1) statmenai plokštumai, einančiai per taškus O, A, B;

2) skaičiais lygus jėgos sandaugai, tenkančiai rankai

3) sudaro dešinįjį trigubą su vektoriais OA ir A B.

Todėl M = OA x F.

Linijinio sukimosi greičio nustatymas

Greitis v kampiniu greičiu besisukančio standaus kūno taškas M w aplink fiksuotą ašį, nustatomas pagal Eilerio formulę v =w xr, kur r =OM, kur O yra koks nors fiksuotas ašies taškas (žr. 21 pav.).

Šioje pamokoje apžvelgsime dar dvi operacijas su vektoriais: vektorių sandauga Ir mišrus vektorių sandauga (Tiesioginė nuoroda tiems, kam to reikia). Viskas gerai, kartais nutinka taip, kad dėl visiškos laimės, be to vektorių skaliarinė sandauga, reikia vis daugiau. Tai yra vektorinė priklausomybė. Gali atrodyti, kad patenkame į analitinės geometrijos džiungles. Tai neteisinga. Šioje aukštosios matematikos dalyje paprastai yra mažai medienos, išskyrus galbūt pakankamai Pinokiui. Tiesą sakant, medžiaga yra labai paplitusi ir paprasta - vargu ar sudėtingesnė nei ta pati taškinis produktas, bus dar mažiau tipinių užduočių. Pagrindinis dalykas analitinėje geometrijoje, kaip daugelis įsitikins arba jau įsitikino, yra NEDARYTI SKAIČIAVIMO KLAIDŲ. Kartokite kaip burtažodį ir būsite laimingi =)

Jei vektoriai kibirkščiuoja kažkur toli, kaip žaibas horizonte, tai nesvarbu, pradėkite nuo pamokos Manekenų vektoriai atkurti arba iš naujo įgyti pagrindines žinias apie vektorius. Labiau pasiruošę skaitytojai gali susipažinti su informacija pasirinktinai. Stengiausi surinkti kuo išsamesnį pavyzdžių, dažnai sutinkamų praktiniame darbe, rinkinį

Kas jus iškart pradžiugins? Kai buvau mažas, galėjau žongliruoti dviem ar net trimis kamuoliais. Tai pavyko gerai. Dabar jums visai nereikės žongliruoti, nes mes svarstysime tik erdviniai vektoriai, o plokštieji vektoriai su dviem koordinatėmis bus palikti. Kodėl? Taip gimė šie veiksmai – vektorius ir mišrus vektorių sandauga yra apibrėžti ir veikia trimatėje erdvėje. Tai jau lengviau!

Ši operacija, kaip ir skaliarinis sandauga, apima du vektoriai. Tebūnie tai neišnykstantys laiškai.

Pats veiksmas žymimas taip: . Yra ir kitų variantų, bet aš įpratęs vektorių sandaugą žymėti tokiu būdu, laužtiniuose skliaustuose su kryželiu.

Ir tuoj pat klausimas: jei įeina vektorių skaliarinė sandauga dalyvauja du vektoriai, o čia taip pat padauginami du vektoriai, tada koks skirtumas? Akivaizdus skirtumas visų pirma yra REZULTATAS:

Vektorių skaliarinės sandaugos rezultatas yra SKAIČIUS:

Kryžminės vektorių sandaugos rezultatas yra VECTOR: , tai yra, vektorius padauginame ir vėl gauname vektorių. Uždaras klubas. Tiesą sakant, iš čia ir kilęs operacijos pavadinimas. Skirtingoje mokomojoje literatūroje pavadinimai taip pat gali skirtis.

Kryžminio produkto apibrėžimas

Pirmiausia bus apibrėžimas su nuotrauka, tada komentarai.

Apibrėžimas: Vektorinis produktas nekolinearinis vektoriai, paimta tokia tvarka, vadinamas VECTOR, ilgio kuris yra skaitinis lygus lygiagretainio plotui, sukurta remiantis šiais vektoriais; vektorius statmenas vektoriams, ir yra nukreiptas taip, kad pagrindas būtų teisingas:

Išskaidykime apibrėžimą po gabalėlį, čia yra daug įdomių dalykų!

Taigi, galima pabrėžti šiuos svarbius dalykus:

1) Pradiniai vektoriai, pažymėti raudonomis rodyklėmis, pagal apibrėžimą ne kolinearinis. Kolinearinių vektorių atvejį tikslinga apsvarstyti šiek tiek vėliau.

2) Imami vektoriai griežtai nustatyta tvarka: – "a" padauginamas iš "būti", o ne „būk“ su „a“. Vektoriaus daugybos rezultatas yra VECTOR, kuris pažymėtas mėlyna spalva. Jei vektoriai padauginami atvirkštine tvarka, gauname vienodo ilgio ir priešingos krypties vektorių (avietinės spalvos). Tai yra, lygybė yra tiesa .

3) Dabar susipažinkime su vektorinės sandaugos geometrine reikšme. Tai labai svarbus punktas! Mėlynojo vektoriaus ILGIS (taigi ir tamsiai raudonos spalvos vektoriaus) yra skaitine prasme lygus lygiagretainio, sudaryto ant vektorių, PLOTUI. Paveiksle šis lygiagretainis nuspalvintas juodai.

Pastaba : brėžinys yra schematiškas ir, žinoma, vardinis vektorinės sandaugos ilgis nėra lygus lygiagretainio plotui.

Prisiminkime vieną iš geometrinių formulių: Lygiagretainio plotas lygus gretimų kraštinių sandaugai ir kampo tarp jų sinusui. Todėl, remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, galioja vektoriaus sandaugos ILGIO apskaičiavimo formulė:

Pabrėžiu, kad formulė yra apie vektoriaus ILGĮ, o ne apie patį vektorių. Kokia praktinė prasmė? O prasmė ta, kad analitinės geometrijos problemose lygiagretainio plotas dažnai randamas naudojant vektorinės sandaugos sąvoką:

Paimkime antrąją svarbią formulę. Lygiagretainio įstrižainė (raudona punktyrinė linija) padalija jį į du vienodus trikampius. Todėl trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą (raudonas atspalvis) galima rasti naudojant formulę:

4) Ne mažiau svarbus faktas yra tas, kad vektorius yra statmenas vektoriams, tai yra . Žinoma, priešingos krypties vektorius (avietės rodyklė) taip pat yra statmenas pirminiams vektoriams.

5) Vektorius nukreiptas taip pagrindu turi teisingai orientacija. Pamokoje apie pereiti prie naujo pagrindo Kalbėjau pakankamai išsamiai plokštumos orientacija, o dabar išsiaiškinsime, kas yra erdvės orientacija. Paaiškinsiu ant pirštų dešine ranka. Psichiškai derinkite rodomasis pirštas su vektoriumi ir vidurinis pirštas su vektoriumi. Bevardis pirštas ir mažasis pirštas paspauskite jį į delną. Dėl to nykščiu– vektorinė sandauga atrodys aukštyn. Tai yra į dešinę orientuotas pagrindas (paveikslėlyje yra šis). Dabar pakeiskite vektorius ( rodomieji ir viduriniai pirštai) kai kuriose vietose, todėl nykštys apsisuks, o vektorinė sandauga jau žiūrės žemyn. Tai taip pat yra į dešinę orientuotas pagrindas. Jums gali kilti klausimas: kuris pagrindas turi kairiąją orientaciją? „Priskirti“ tiems patiems pirštams kaire ranka vektorius ir gaukite kairįjį pagrindą bei kairę erdvės orientaciją (šiuo atveju nykštis bus apatinio vektoriaus kryptimi). Vaizdžiai tariant, šios bazės „suka“ arba orientuoja erdvę įvairiomis kryptimis. Ir šios sąvokos nereikėtų laikyti kažkuo nutolusia ar abstrakčia - pavyzdžiui, erdvės orientaciją keičia įprasčiausias veidrodis, o jei „ištrauki atspindėtą objektą iš žiūrinčiojo stiklo“, tai apskritai nebus įmanoma derinti su „originalu“. Beje, pakelkite tris pirštus prie veidrodžio ir analizuokite atspindį ;-)

...kaip gerai, kad dabar apie tai žinai orientuota į dešinę ir į kairę pagrindus, nes kai kurių dėstytojų pasisakymai apie orientacijos pasikeitimą gąsdina =)

Kolinearinių vektorių kryžminė sandauga

Apibrėžimas buvo išsamiai aptartas, belieka išsiaiškinti, kas atsitinka, kai vektoriai yra kolineariniai. Jei vektoriai yra kolinearūs, tada jie gali būti išdėstyti vienoje tiesėje, o mūsų lygiagretainis taip pat „susilenkia“ į vieną tiesią liniją. Tokių sričių, kaip sako matematikai, išsigimęs lygiagretainis lygus nuliui. Tas pats išplaukia ir iš formulės – nulio arba 180 laipsnių sinusas lygus nuliui, vadinasi, plotas lygus nuliui

Taigi, jei , tada . Griežtai tariant, pats vektorinis sandauga yra lygus nuliniam vektoriui, tačiau praktikoje to dažnai nepaisoma ir rašoma, kad jis tiesiog lygus nuliui.

Ypatingas atvejis yra vektoriaus sandauga su savimi:

Naudodami vektorių sandaugą galite patikrinti trimačių vektorių kolineariškumą, be kita ko, mes taip pat išanalizuosime šią problemą.

Norint išspręsti praktinius pavyzdžius, gali prireikti trigonometrinė lentelė iš jo rasti sinusų reikšmes.

Na, užkurkime ugnį:

1 pavyzdys

a) Raskite vektorių sandaugos ilgį, jei

b) Raskite lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei

Sprendimas: Ne, tai nėra rašybos klaida, aš sąmoningai sudariau tokius pat pradinius duomenis. Nes sprendimų dizainas bus kitoks!

a) Pagal sąlygą reikia rasti ilgio vektorius (kryžminis produktas). Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Kadangi klausimas buvo apie ilgį, atsakyme nurodome matmenį – vienetai.

b) Pagal sąlygą reikia rasti kvadratas lygiagretainis, pastatytas ant vektorių. Šio lygiagretainio plotas yra skaitiniu būdu lygus vektorinės sandaugos ilgiui:

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad atsakyme visai nekalbama apie vektorinį sandaugą figūros plotas, atitinkamai matmuo yra kvadratiniai vienetai.

Visada žiūrime, KĄ turime rasti pagal būklę, ir pagal tai formuluojame aišku atsakyti. Tai gali atrodyti pažodžiui, bet tarp jų yra daug pažodinių mokytojų, ir yra didelė tikimybė, kad užduotis bus grąžinta peržiūrėti. Nors tai ir nėra itin toli užkliuvęs pokštas – jei atsakymas neteisingas, susidaro įspūdis, kad žmogus nesupranta paprastų dalykų ir/arba nesuprato užduoties esmės. Šis taškas visada turi būti kontroliuojamas sprendžiant aukštosios matematikos ir kitų dalykų uždavinius.

Kur dingo didžioji raidė „en“? Iš principo jį buvo galima papildomai prisegti prie sprendimo, bet norėdamas sutrumpinti įrašą to nepadariau. Tikiuosi, kad visi tai supranta ir reiškia tą patį.

Populiarus „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:

2 pavyzdys

Raskite trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei

Formulė, kaip rasti trikampio plotą per vektorinį sandaugą, pateikta apibrėžimo komentaruose. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Praktiškai užduotis yra labai dažna, trikampiai gali jus kankinti.

Norėdami išspręsti kitas problemas, mums reikės:

Vektorių vektorinės sandaugos savybės

Mes jau apsvarstėme kai kurias vektorinio produkto savybes, tačiau įtrauksiu jas į šį sąrašą.

Savavališkiems vektoriams ir savavališkam skaičiui galioja šios savybės:

1) Kituose informacijos šaltiniuose šis elementas paprastai nėra paryškinamas savybėse, tačiau jis yra labai svarbus praktiniu požiūriu. Taigi tegul būna.

2) – turtas taip pat aptartas aukščiau, kartais jis vadinamas antikomutatyvumas. Kitaip tariant, vektorių tvarka yra svarbi.

3) – asociatyvinis arba asociatyvus vektorinės sandaugos dėsniai. Konstantos gali būti lengvai perkeltos už vektorinės sandaugos ribų. Tikrai, ką jie ten turėtų daryti?

4) – paskirstymas arba paskirstymo vektorinės sandaugos dėsniai. Taip pat nėra problemų atidarant laikiklius.

Norėdami parodyti, pažvelkime į trumpą pavyzdį:

3 pavyzdys

Rasti, jei

Sprendimas: Sąlyga vėlgi reikalauja rasti vektorinės sandaugos ilgį. Nupieškime savo miniatiūrą:

(1) Pagal asociatyvinius dėsnius konstantas laikome už vektorinės sandaugos ribų.

(2) Konstantą perkeliame už modulio ribų, o modulis „suvalgo“ minuso ženklą. Ilgis negali būti neigiamas.

(3) Likusi dalis aišku.

Atsakymas:

Atėjo laikas į ugnį įpilti daugiau malkų:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite vektoriais pastatyto trikampio plotą, jei

Sprendimas: Raskite trikampio plotą naudodami formulę . Svarbiausia, kad vektoriai „tse“ ir „de“ pateikiami kaip vektorių sumos. Algoritmas čia yra standartinis ir šiek tiek primena pamokos 3 ir 4 pavyzdžius Taškinė vektorių sandauga. Aiškumo dėlei sprendimą suskirstysime į tris etapus:

1) Pirmajame etape vektorinį sandaugą išreiškiame per vektorinį sandaugą, iš tikrųjų, vektorių išreikškime vektoriumi. Apie ilgį dar nėra žodžio!

(1) Pakeiskite vektorių išraiškas.

(2) Naudodamiesi paskirstymo dėsniais, skliaustus atveriame pagal daugianario daugybos taisyklę.

(3) Naudodamiesi asociatyviniais dėsniais, visas konstantas perkeliame už vektorinių sandaugų. Turint šiek tiek patirties, 2 ir 3 veiksmus galima atlikti vienu metu.

(4) Pirmasis ir paskutinis nariai yra lygūs nuliui (nulis vektorius) dėl gražios savybės. Antrajame termine mes naudojame vektorinio sandaugos antikomutatyvumo savybę:

(5) Pateikiame panašias sąlygas.

Dėl to vektorius buvo išreikštas vektoriumi, o tai ir reikėjo pasiekti:

2) Antrame žingsnyje randame mums reikalingos vektorinės sandaugos ilgį. Šis veiksmas panašus į 3 pavyzdį:

3) Raskite reikiamo trikampio plotą:

2-3 sprendimo etapai galėjo būti parašyti vienoje eilutėje.

Atsakymas:

Nagrinėjama problema yra gana dažna bandymuose, čia yra pavyzdys, kaip ją išspręsti patiems:

5 pavyzdys

Rasti, jei

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Pažiūrėkime, koks buvote dėmesingas tyrinėdamas ankstesnius pavyzdžius ;-)

Kryžminė vektorių sandauga koordinatėse

Formulė tikrai paprasta: viršutinėje determinanto eilutėje rašome koordinačių vektorius, antroje ir trečioje eilutėse „įdedame“ ​​vektorių koordinates ir dedame griežta tvarka– pirmiausia „ve“ vektoriaus koordinatės, tada „dvigubo ve“ vektoriaus koordinatės. Jei vektorius reikia padauginti kita tvarka, tada eilutes reikia sukeisti:

10 pavyzdys

Patikrinkite, ar šie erdvės vektoriai yra kolinearūs:
A)
b)

Sprendimas: Patikrinimas pagrįstas vienu iš šios pamokos teiginių: jei vektoriai yra kolinearūs, tada jų vektorinė sandauga yra lygi nuliui (nulis vektorius): .

a) Raskite vektorinę sandaugą:

Taigi vektoriai nėra kolineariniai.

b) Raskite vektorinę sandaugą:

Atsakymas a) ne kolinearinis, b)

Čia, ko gero, yra visa pagrindinė informacija apie vektorių sandaugą.

Ši sekcija nebus labai didelė, nes yra keletas problemų, kai naudojamas vektorių mišrus sandauga. Tiesą sakant, viskas priklausys nuo apibrėžimo, geometrinės reikšmės ir poros darbo formulių.

Mišrus vektorių sandauga yra trijų vektorių sandauga:

Taigi jie išsirikiavo kaip traukinys ir nekantrauja, kol bus identifikuoti.

Pirma, vėl apibrėžimas ir paveikslėlis:

Apibrėžimas: Mišrus darbas ne lygiagrečiai vektoriai, paimta tokia tvarka, paskambino gretasienio tūrio, pastatytas ant šių vektorių, turintis „+“ ženklą, jei pagrindas yra teisingas, ir „–“ ženklą, jei pagrindas yra kairysis.

Padarykime piešinį. Mums nematomos linijos brėžiamos punktyrinėmis linijomis:

Pasinerkime į apibrėžimą:

2) Imami vektoriai tam tikra tvarka, tai yra, vektorių persirikiavimas sandaugoje, kaip galima spėti, neįvyksta be pasekmių.

3) Prieš komentuodamas geometrinę reikšmę, atkreipsiu dėmesį į akivaizdų faktą: vektorių mišrus sandauga yra SKAIČIUS: . Mokomojoje literatūroje dizainas gali šiek tiek skirtis, aš įpratęs mišrų gaminį žymėti raide „pe“.

Pagal apibrėžimą sumaišytas produktas yra lygiagretaus vamzdžio tūris, pastatytas ant vektorių (figūra nupiešta raudonais vektoriais ir juodomis linijomis). Tai yra, skaičius lygus tam tikro gretasienio tūriui.

Pastaba : Brėžinys yra schematiškas.

4) Vėl nesijaudinkime dėl pagrindo ir erdvės orientacijos sampratos. Paskutinės dalies prasmė ta, kad prie tomo galima pridėti minuso ženklą. Paprastais žodžiais tariant, mišrus produktas gali būti neigiamas: .

Tiesiogiai iš apibrėžimo seka gretasienio, pastatyto ant vektorių, tūrio apskaičiavimo formulė.

Apibrėžimas Tvarkinga (x 1 , x 2 , ... , x n) n realiųjų skaičių rinkinys vadinamas n matmenų vektorius, ir skaičiai x i (i = ) - komponentai, arba koordinates,

Pavyzdys. Pavyzdžiui, jei tam tikra automobilių gamykla per pamainą turi pagaminti 50 automobilių, 100 sunkvežimių, 10 autobusų, 50 komplektų atsarginių dalių lengviesiems automobiliams ir 150 komplektų sunkvežimiams ir autobusams, tai šios gamyklos gamybos programą galima parašyti kaip vektorių. (50, 100, 10, 50, 150), turinčius penkis komponentus.

Žymėjimas. Vektoriai žymimi paryškintomis mažosiomis raidėmis arba raidėmis su juostele ar rodykle viršuje, pvz. a arba. Du vektoriai vadinami lygus, jei jie turi tą patį komponentų skaičių ir jų atitinkami komponentai yra vienodi.

Negalima sukeisti vektorių komponentų, pavyzdžiui, (3, 2, 5, 0, 1) ir (2, 3, 5, 0, 1) skirtingi vektoriai.
Veiksmai su vektoriais. Darbas x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) realiuoju skaičiumiλ vadinamas vektoriumiλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Sumax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ir y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) vadinamas vektoriumi x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... , x n + + y n).

Vektorinė erdvė. N -matmenų vektorinė erdvė R n apibrėžiamas kaip visų n matmenų vektorių aibė, kuriai apibrėžtos daugybos iš realiųjų skaičių ir sudėjimo operacijos.

Ekonominė iliustracija. Ekonominė n-matės vektorinės erdvės iliustracija: prekių erdvė (prekes). Pagal prekes suprasime kokią nors prekę ar paslaugą, kuri tam tikru laiku buvo parduota tam tikroje vietoje. Tarkime, kad yra baigtinis turimų prekių skaičius n; kiekvienos iš jų vartotojo įsigytus kiekius apibūdina prekių rinkinys

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

čia x i žymi vartotojo įsigytos i-osios prekės kiekį. Darysime prielaidą, kad visos prekės turi savavališko dalijimosi savybę, kad būtų galima įsigyti bet kokį neneigiamą kiekvienos iš jų kiekį. Tada visos galimos prekių aibės yra prekių erdvės C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linijinė nepriklausomybė. Sistema e 1 , e 2 , ... , e vadinami m n matmenų vektoriai tiesiškai priklausomas, jei yra tokių skaičiųλ 1 , λ 2 , ... , λ m , iš kurių bent vienas yra ne nulis, kad lygybėλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; kitaip ši vektorių sistema vadinama tiesiškai nepriklausomas, tai yra, nurodyta lygybė galima tik tuo atveju, kai visi . Vektorių tiesinės priklausomybės geometrinė reikšmė R 3, interpretuojami kaip nukreipti segmentai, paaiškinkite šias teoremas.

1 teorema. Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai šis vektorius yra lygus nuliui.

2 teorema. Tam, kad du vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad jie būtų kolineariniai (lygiagrečiai).

3 teorema . Tam, kad trys vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad jie būtų vienodi (gulėtų toje pačioje plokštumoje).

Kairysis ir dešinysis vektorių trigubai. Nevienaplanių vektorių trigubas a, b, c paskambino teisingai, jei stebėtojas iš jų bendros kilmės aplenkia vektorių galus a, b, c nurodyta tvarka, atrodo, vyksta pagal laikrodžio rodyklę. Priešingu atveju a, b, c -liko trys. Vadinami visi dešinieji (arba kairieji) vektorių trigubai tas pats orientuotas.

Pagrindas ir koordinatės. Troika e 1, e 2 , e 3 nevienaplaniai vektoriai in R 3 vadinamas pagrindu, ir patys vektoriai e 1, e 2 , e 3 - pagrindinis. Bet koks vektorius a gali būti vienareikšmiškai išplėsti į bazinius vektorius, tai yra, pavaizduoti formoje

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

skaičiai x 1 , x 2 , x 3 plėtinyje (1.1) vadinami koordinatesa pagrinde e 1, e 2 , e 3 ir yra pažymėti a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormalus pagrindas. Jei vektoriai e 1, e 2 , e 3 yra poromis statmenos ir kiekvieno iš jų ilgis lygus vienetui, tada vadinamas pagrindas ortonormalus, o koordinatės x 1 , x 2 , x 3 - stačiakampio formos. Ortonormalaus pagrindo baziniai vektoriai bus pažymėti i, j, k.

Mes manysime, kad erdvėje R 3 pasirinkta teisinga Dekarto stačiakampių koordinačių sistema (0, i, j, k}.

Vektorinis meno kūrinys. Vektorinis meno kūrinys Aį vektorių b vadinamas vektoriumi c, kuris nustatomas pagal šias tris sąlygas:

1. Vektoriaus ilgis c skaitine prasme lygi lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotui a Ir b, t.y.
c= |a||b| nuodėmė ( a^b).

2. Vektorius c statmenai kiekvienam vektoriui a Ir b.

3. Vektoriai a, b Ir c, paimti nurodyta tvarka, sudaro dešinįjį trigubą.

Dėl kryžminio produkto cįvedamas pavadinimas c =[ab] arba
c = a × b.

Jei vektoriai a Ir b yra kolineariniai, tada sin( a^b) = 0 ir [ ab] = 0, ypač [ aa] = 0. Vienetinių vektorių vektorinės sandaugos: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Jei vektoriai a Ir b nurodyta pagrinde i, j, k koordinates a(1, 2, 3), b(b 1, b 2, b 3), tada

Mišrus darbas. Jei dviejų vektorių vektorinė sandauga A Ir b skaliariai padauginta iš trečiojo vektoriaus c, tada tokia trijų vektorių sandauga vadinama mišrus darbas ir yra pažymėtas simboliu a b c.

Jei vektoriai a, b Ir c pagrinde i, j, k pateiktos pagal jų koordinates
a(1, 2, 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), tada

.

Mišrus sandauga turi paprastą geometrinį aiškinimą – tai skaliaras, absoliučia verte lygus gretasienio, pastatyto ant trijų duotųjų vektorių, tūriui.

Jei vektoriai sudaro dešinįjį trigubą, tada jų mišrusis sandauga yra teigiamas skaičius, lygus nurodytam tūriui; jei tai trejetas a, b, c - tada paliko a b c<0 и V = - a b c, todėl V =|a b c|.

Laikoma, kad vektorių, su kuriais susiduriama pirmojo skyriaus uždaviniuose, koordinatės pateiktos teisingo ortonormalaus pagrindo atžvilgiu. Vieneto vektorius kartu su vektoriumi A, pažymėtas simboliu A O. Simbolis r=OMžymimas taško M spindulio vektoriumi, simboliais a, AB arba|a|, | AB|žymimi vektorių moduliai A Ir AB.

Pavyzdys 1.2. Raskite kampą tarp vektorių a= 2m+4n Ir b= m-n, Kur m Ir n- vieneto vektoriai ir kampas tarp m Ir n lygus 120 o.

Sprendimas. Mes turime: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, vadinasi, a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, o tai reiškia, kad b = . Pagaliau turime: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

1.3 pavyzdys.Žinant vektorius AB(-3,-2,6) ir B.C.(-2,4,4),apskaičiuokite trikampio ABC aukščio AD ilgį.

Sprendimas. Trikampio ABC plotą pažymėdami S, gauname:
S = 1/2 pr. Kr. Tada AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, o tai reiškia vektorių A.C. turi koordinates
. .

Pavyzdys 1.4 . Pateikti du vektoriai a(11,10,2) ir b(4,0,3). Raskite vieneto vektorių c, statmenas vektoriams a Ir b ir nukreiptas taip, kad sutvarkytas vektorių trigubas a, b, c buvo teisus.

Sprendimas.Pažymime vektoriaus koordinates c atsižvelgiant į duotą teisingą ortonormalų pagrindą x, y, z atžvilgiu.

Kadangi c ⊥ a, c ⊥b, Tai apytiksliai= 0,cb= 0. Pagal uždavinio sąlygas reikia, kad c = 1 ir a b c >0.

Turime lygčių sistemą, skirtą rasti x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Iš pirmosios ir antrosios sistemos lygčių gauname z = -4/3 x, y = -5/6 x. Pakeitę y ir z į trečiąją lygtį, gauname: x 2 = 36/125, iš kur
x =± . Naudojant sąlygą a b c > 0, gauname nelygybę

Atsižvelgdami į z ir y išraiškas, gautą nelygybę perrašome į formą: 625/6 x > 0, o tai reiškia, kad x>0. Taigi, x = , y = - , z =- .