Tipo ir rūšies neapibrėžtis yra dažniausiai pasitaikantys neapibrėžtumai, kuriuos reikia atskleisti sprendžiant ribas.
Dauguma ribinių problemų, su kuriomis susiduria studentai, yra būtent tokie neapibrėžtumai. Norint juos atskleisti arba, tiksliau, išvengti neaiškumų, yra keletas dirbtinių būdų transformuoti po ribinio ženklo išraiškos tipą. Šie metodai yra tokie: skaitiklio ir vardiklio padalijimas pagal terminą pagal didžiausią kintamojo laipsnį, dauginimas iš konjugato išraiškos ir faktorinavimas vėlesniam redukavimui, naudojant kvadratinių lygčių sprendimus ir sutrumpintas daugybos formules.
Rūšies neapibrėžtumas
1 pavyzdys.
n yra lygus 2. Todėl skaitiklio ir vardiklio terminą dalijame iš termino iš:
.
Komentuokite dešinėje išraiškos pusėje. Rodyklės ir skaičiai rodo, kokios trupmenos linkusios po pakeitimo n reiškia begalybę. Čia, kaip 2 pavyzdyje, laipsnis n Vardiklyje yra daugiau nei skaitiklyje, todėl visa trupmena būna be galo maža arba „labai maža“.
Gauname atsakymą: šios funkcijos su kintamuoju, linkusiu į begalybę, riba yra lygi .
2 pavyzdys. .
Sprendimas. Čia didžiausia kintamojo galia x yra lygus 1. Todėl dalijame skaitiklio ir vardiklio narį iš termino iš x:
.
Komentaras apie sprendimo priėmimo eigą. Skaitiklyje po trečiojo laipsnio šaknies įvedame „x“ ir, kad jo pradinis laipsnis (1) liktų nepakitęs, priskiriame jam tokį patį laipsnį kaip ir šaknies, tai yra 3. Nėra jokių rodyklių ar papildomų skaičių šiame įraše, todėl pabandykite mintyse, bet pagal analogiją su ankstesniu pavyzdžiu nustatykite, kokios yra skaitiklio ir vardiklio išraiškos, pakeitus begalybę vietoj „x“.
Gavome atsakymą: šios funkcijos su kintamuoju, linkusiu į begalybę, riba lygi nuliui.
Rūšies neapibrėžtumas
3 pavyzdys. Atskleiskite netikrumą ir raskite ribą.
Sprendimas. Skaitiklis yra kubelių skirtumas. Paskaičiuokime jį faktoriais naudodami sutrumpintą daugybos formulę iš mokyklinio matematikos kurso:
Vardiklyje yra kvadratinis trinaris, kurį suskaidysime išspręsdami kvadratinę lygtį (dar kartą nuoroda į kvadratinių lygčių sprendimą):
Užrašykime išraišką, gautą atlikus transformacijas, ir raskime funkcijos ribą:
4 pavyzdys. Išlaisvinkite netikrumą ir raskite ribą
Sprendimas. Dalinio ribos teorema čia netaikoma, nes
Todėl trupmeną transformuojame identiškai: skaitiklį ir vardiklį padauginame iš dvinario konjugato su vardikliu ir sumažiname x+1. Pagal 1 teoremos išvadą gauname išraišką, kurią išsprendę randame norimą ribą:
5 pavyzdys. Išlaisvinkite netikrumą ir raskite ribą
Sprendimas. Tiesioginis vertės pakeitimas x= 0 į tam tikrą funkciją lemia 0/0 formos neapibrėžtį. Norėdami tai atskleisti, atliekame identiškas transformacijas ir galiausiai gauname norimą ribą: 
6 pavyzdys. Apskaičiuokite 
Sprendimas: Panaudokime teoremas apie ribas
Atsakymas: 11
7 pavyzdys. Apskaičiuokite 
Sprendimas:šiame pavyzdyje skaitiklio ir vardiklio ribos yra lygios 0:
; 
. Gavome, todėl teorema apie koeficiento ribą negali būti taikoma.
Suskaidykime skaitiklį ir vardiklį, kad trupmeną sumažintume bendru koeficientu, linkusiu į nulį, ir todėl būtų galima taikyti 3 teoremą.
Išplėskime kvadratinį trinarį skaitiklyje naudodami formulę , kur x 1 ir x 2 yra trinalio šaknys. Suskaičiavę faktorių ir vardiklį, sumažinkite trupmeną (x-2), tada pritaikykite 3 teoremą.
Atsakymas:
8 pavyzdys. Apskaičiuokite
Sprendimas: Kai skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę, todėl tiesiogiai taikydami 3 teoremą gauname išraišką , kuri reiškia neapibrėžtumą. Norėdami atsikratyti šio tipo neapibrėžtumo, skaitiklį ir vardiklį turėtumėte padalyti iš didžiausios argumento galios. Šiame pavyzdyje reikia padalyti iš X:
Atsakymas:
9 pavyzdys. Apskaičiuokite 
Sprendimas: x 3:
Atsakymas: 2
10 pavyzdys. Apskaičiuokite 
Sprendimas: Kai skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę. Skaitiklį ir vardiklį padalinkime iš didžiausios argumento galios, t.y. x 5:
= 
Trupmenos skaitiklis linkęs į 1, vardiklis linkęs į 0, taigi trupmena linkusi į begalybę.
Atsakymas:
11 pavyzdys. Apskaičiuokite
Sprendimas: Kai skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę. Skaitiklį ir vardiklį padalinkime iš didžiausios argumento galios, t.y. x 7:
Atsakymas: 0
Darinys.
Funkcijos y = f(x) išvestinė argumento x atžvilgiu vadinama jo prieaugio y ir argumento x prieaugio x santykio riba, kai argumento prieaugis linkęs į nulį: . Jei ši riba yra baigtinė, tada funkcija y = f(x) Sakoma, kad yra diferencijuotas taške x. Jei ši riba egzistuoja, jie sako, kad funkcija y = f(x) turi begalinę išvestinę taške x.
Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestiniai:
1. (const)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Atskyrimo taisyklės:
a) 
V) 
1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę 
Sprendimas: Jei antrojo nario išvestinė randama naudojant trupmenų diferenciacijos taisyklę, tai pirmasis narys yra sudėtinga funkcija, kurios išvestinė randama pagal formulę:
, Kur 
, Tada
Sprendžiant buvo naudojamos šios formulės: 1,2,10,a,c,d.
Atsakymas:
21 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę 
Sprendimas: abu terminai yra sudėtingos funkcijos, kur pirmasis , , o antrasis , , tada
Atsakymas: 
Išvestinės programos.
1. Greitis ir pagreitis
Tegul funkcija s(t) apibūdina padėtis objektas kokioje nors koordinačių sistemoje momentu t. Tada pirmoji funkcijos s(t) išvestinė yra momentinė greitis objektas:
v=s′=f′(t)
Antroji funkcijos s(t) išvestinė reiškia momentinę pagreitis objektas:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Tangento lygtis
y-y0=f′(x0)(x-x0),
čia (x0,y0) – liestinės taško koordinatės, f′(x0) – funkcijos f(x) išvestinės reikšmė liestinės taške.
3. Normali lygtis
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
čia (x0,y0) yra taško, kuriame nubrėžta normalioji, koordinatės, f′(x0) yra funkcijos f(x) išvestinės reikšmė šiame taške.
4. Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas
Jei f′(x0)>0, tai taške x0 funkcija didėja. Žemiau esančiame paveikslėlyje funkcija didėja kaip x
Jei f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Vietinis funkcijos ekstremumas
F(x) funkcija turi vietinis maksimumas taške x1, jei yra taško x1 kaimynystė, kad visiems x iš šios kaimynystės galioja nelygybė f(x1)≥f(x).
Panašiai turi ir funkcija f(x). vietinis minimumas taške x2, jei yra taško x2 kaimynystė, kad visiems x iš šios kaimynystės galioja nelygybė f(x2)≤f(x).
6. Kritiniai taškai
Taškas x0 yra kritinis taškas funkcija f(x), jei joje esanti išvestinė f′(x0) lygi nuliui arba neegzistuoja.
7. Pirmas pakankamas ekstremumo egzistavimo požymis
Jei funkcija f(x) didėja (f′(x)>0) visiems x tam tikrame intervale (a,x1] ir mažėja (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) visiems x iš intervalo )
