Apskaičiuokite ribas lim pavyzdžiai. Funkcijos riba – apibrėžimai, teoremos ir savybės

Iš aukščiau esančio straipsnio galite sužinoti, kokia yra riba ir su kuo ji valgoma – tai LABAI svarbu. Kodėl? Jūs galite nesuprasti, kas yra determinantai, ir sėkmingai juos išspręsti galite visiškai nesuprasti, kas yra išvestinė ir rasti juos su „A“. Bet jei nesupranti, kas yra riba, tada praktines užduotis išspręsti bus sunku. Taip pat būtų naudinga susipažinti su sprendimų pavyzdžiais ir mano dizaino rekomendacijomis. Visa informacija pateikiama paprasta ir prieinama forma.

O šios pamokos tikslams mums reikės šios mokomosios medžiagos: Nuostabios ribos Ir Trigonometrinės formulės. Juos galima rasti puslapyje. Vadovus geriausia atsispausdinti – taip daug patogiau, be to, dažnai teks jais remtis neprisijungus.

Kuo ypatingos ribos? Stebėtina tai, kad jas įrodė didžiausi žinomų matematikų protai, o dėkingi palikuonys neturi kentėti nuo baisių ribų su krūva trigonometrinių funkcijų, logaritmų, galių. Tai yra, kai surasime ribas, naudosime jau paruoštus, teoriškai įrodytus rezultatus.

Yra keletas nuostabių ribų, tačiau praktiškai 95% atvejų neakivaizdiniai studentai turi dvi nuostabias ribas: Pirma nuostabi riba, Antra nuostabi riba. Pažymėtina, kad tai istoriškai nusistovėję pavadinimai ir, pavyzdžiui, kalbant apie „pirmą nepaprastą ribą“, tai reiškia labai konkretų dalyką, o ne kokią nors atsitiktinę ribą, paimtą iš lubų.

Pirma nuostabi riba

Apsvarstykite šią ribą: (vietoj gimtosios raidės „jis“ naudosiu graikišką raidę „alfa“, tai patogesnė medžiagos pateikimo požiūriu).

Pagal mūsų ribų nustatymo taisyklę (žr Ribos. Sprendimų pavyzdžiai) bandome į funkciją pakeisti nulį: skaitiklyje gauname nulį (nulio sinusas lygus nuliui), o vardiklyje, aišku, irgi yra nulis. Taigi, susiduriame su formos neapibrėžtumu, kurio, laimei, nereikia atskleisti. Matematinės analizės metu įrodoma, kad:

Šis matematinis faktas vadinamas Pirma nuostabi riba. Aš nepateiksiu analitinio ribos įrodymo, bet pažvelgsime į jos geometrinę reikšmę pamokoje apie be galo mažos funkcijos.

Dažnai praktinėse užduotyse funkcijos gali būti išdėstytos skirtingai, tai nieko nekeičia:

- ta pati pirmoji nuostabi riba.

Bet jūs negalite patys pertvarkyti skaitiklio ir vardiklio! Jei riba nurodyta formoje , tada ji turi būti išspręsta ta pačia forma, nieko nepertvarkant.

Praktiškai kaip parametras gali veikti ne tik kintamasis, bet ir elementari arba kompleksinė funkcija. Vienintelis svarbus dalykas yra tai, kad jis linkęs į nulį.

Pavyzdžiai:
, , ,

Čia , , , , ir viskas gerai – taikoma pirmoji nuostabi riba.

Tačiau šis įrašas yra erezija:

Kodėl? Kadangi daugianomas nelinkęs į nulį, jis linkęs į penkis.

Beje, greitas klausimas: kokia yra riba? ? Atsakymą rasite pamokos pabaigoje.

Praktiškai ne viskas taip sklandu, beveik niekada studentui nepasiūloma išspręsti nemokamą limitą ir gauti lengvą leidimą. Hmm... Rašau šias eilutes, ir į galvą atėjo labai svarbi mintis - juk geriau mintinai prisiminti „nemokamus“ matematinius apibrėžimus ir formules, tai gali suteikti neįkainojamos pagalbos teste, kai klausimas bus nusprendžiama tarp „du“ ir „trys“, o mokytojas nusprendžia užduoti mokiniui kokį nors paprastą klausimą arba pasiūlyti išspręsti paprastą pavyzdį („gal jis (-iai) dar žino ką?!“).

Pereikime prie praktinių pavyzdžių:

1 pavyzdys

Raskite ribą

Jei riboje pastebime sinusą, tai iš karto turėtų paskatinti mus pagalvoti apie galimybę pritaikyti pirmą reikšmingą ribą.

Pirmiausia bandome pakeisti 0 į išraišką po ribos ženklu (tai darome mintyse arba juodraštyje):

Taigi mes turime formos neapibrėžtumą būtinai nurodykite priimant sprendimą. Išraiška po ribos ženklu yra panaši į pirmąją nuostabią ribą, tačiau tai nėra tiksliai, ji yra po sinusu, o vardiklyje.

Tokiais atvejais pirmąjį reikšmingą ribą turime organizuoti patys, naudodami dirbtinę techniką. Motyvavimas galėtų būti toks: „po sinusu, kurį turime , o tai reiškia, kad mes taip pat turime patekti į vardiklį“.
Ir tai daroma labai paprastai:

Tai yra, vardiklis šiuo atveju dirbtinai padauginamas iš 7 ir dalinamas iš tų pačių septynių. Dabar mūsų įrašas įgavo pažįstamą formą.
Kai užduotis sudaroma ranka, patartina paprastu pieštuku pažymėti pirmąją žymią ribą:

Kas atsitiko? Tiesą sakant, mūsų apibrėžta išraiška virto vienetu ir išnyko kūrinyje:

Dabar belieka atsikratyti trijų aukštų frakcijos:

Kas pamiršo kelių lygių trupmenų supaprastinimą, atnaujinkite žinyno medžiagą Karštos formulės mokykliniam matematikos kursui .

Paruošta. Galutinis atsakymas:

Jei nenorite naudoti pieštuko ženklų, sprendimą galima parašyti taip:

“

Pasinaudokime pirmąja nuostabia riba

“

2 pavyzdys

Raskite ribą

Vėlgi riboje matome trupmeną ir sinusą. Bandome pakeisti nulį į skaitiklį ir vardiklį:

Iš tiesų, turime neapibrėžtumo, todėl turime pabandyti suorganizuoti pirmąją nuostabią ribą. Klasėje Ribos. Sprendimų pavyzdžiai laikėme taisyklę, kad kai turime neapibrėžtumo, skaitiklį ir vardiklį turime koeficientuoti. Čia yra tas pats dalykas, laipsnius pateiksime kaip produktą (daugiklius):

Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, pieštuku nubrėžiame nuostabias ribas (čia yra dvi iš jų) ir nurodome, kad jos linkusios susivienyti:

Tiesą sakant, atsakymas yra paruoštas:

Tolesniuose pavyzdžiuose aš nedarysiu meno „Paint“, manau, kaip teisingai sudaryti sprendimą užrašų knygelėje - jūs jau suprantate.

3 pavyzdys

Raskite ribą

Išraiškoje po ribos ženklu pakeičiame nulį:

Gautas neapibrėžtumas, kurį reikia atskleisti. Jei riboje yra liestinė, tada ji beveik visada paverčiama sinusu ir kosinusu, naudojant gerai žinomą trigonometrinę formulę (beje, jie daro maždaug tą patį su kotangentu, žr. metodinę medžiagą Karštos trigonometrinės formulės puslapyje Matematinės formulės, lentelės ir pamatinė medžiaga).

Šiuo atveju:

Nulio kosinusas yra lygus vienetui, ir jo lengva atsikratyti (nepamirškite pažymėti, kad jis linkęs į vienetą):

Taigi, jei riboje kosinusas yra daugiklis, tai, grubiai tariant, jį reikia paversti vienetu, kuris sandaugoje išnyksta.

Čia viskas pasirodė paprasčiau, be daugybos ir dalybos. Pirmoji žymi riba taip pat virsta viena ir dingsta gaminyje:

Dėl to gaunama begalybė, ir tai atsitinka.

4 pavyzdys

Raskite ribą

Pabandykime pakeisti nulį į skaitiklį ir vardiklį:

Gaunamas neapibrėžtis (nulio kosinusas, kaip prisimename, yra lygus vienetui)

Mes naudojame trigonometrinę formulę. Atkreipkite dėmesį! Dėl tam tikrų priežasčių apribojimai naudojant šią formulę yra labai dažni.

Perkelkime pastovius veiksnius už ribos piktogramos:

Suorganizuokime pirmąjį nuostabų limitą:

Čia turime tik vieną nepaprastą ribą, kuri virsta viena ir dingsta gaminyje:

Atsikratykime trijų aukštų struktūros:

Riba iš tikrųjų išspręsta, nurodome, kad likęs sinusas linkęs į nulį:

5 pavyzdys

Raskite ribą

Šis pavyzdys yra sudėtingesnis, pabandykite tai išsiaiškinti patys:

Kai kurias ribas galima sumažinti iki 1-osios reikšmingos ribos pakeitus kintamąjį, apie tai galite perskaityti šiek tiek vėliau straipsnyje Ribų sprendimo būdai.

Antra nuostabi riba

Matematinės analizės teorijoje buvo įrodyta, kad:

Šis faktas vadinamas antra nuostabi riba.

Nuoroda: yra neracionalus skaičius.

Parametras gali būti ne tik kintamasis, bet ir sudėtinga funkcija. Svarbu tik tai, kad ji siekia begalybės.

6 pavyzdys

Raskite ribą

Kai išraiška po ribos ženklu yra laipsniu, tai yra pirmasis ženklas, kad reikia pabandyti pritaikyti antrą nuostabią ribą.

Bet pirmiausia, kaip visada, bandome į išraišką pakeisti be galo didelį skaičių, principas, kuriuo tai daroma, yra aptariamas pamokoje Ribos. Sprendimų pavyzdžiai.

Nesunku pastebėti, kad kai laipsnio pagrindas yra , o eksponentas yra , tai yra, yra formos neapibrėžtumas:

Šis neapibrėžtumas tiksliai atskleidžiamas antrosios nepaprastos ribos pagalba. Tačiau, kaip dažnai nutinka, antroji nuostabi riba slypi ne ant sidabrinio padėklo, o ją reikia dirbtinai organizuoti. Galite samprotauti taip: šiame pavyzdyje parametras yra , tai reiškia, kad mes taip pat turime organizuoti indikatorių. Norėdami tai padaryti, pakeliame bazę į galią, o kad išraiška nepasikeistų, pakeliame ją į galią:

Kai užduotis atliekama ranka, pažymime pieštuku:

Beveik viskas paruošta, baisus laipsnis virto gražiu laišku:

Tokiu atveju pačią ribos piktogramą perkeliame į indikatorių:

7 pavyzdys

Raskite ribą

Dėmesio! Tokio tipo apribojimai pasitaiko labai dažnai, labai atidžiai išstudijuokite šį pavyzdį.

Pabandykime pakeisti be galo didelį skaičių į išraišką po ribos ženklu:

Rezultatas – netikrumas. Tačiau antroji nepaprasta riba taikoma formos neapibrėžtumui. Ką daryti? Turime konvertuoti laipsnio bazę. Mes samprotaujame taip: vardiklyje turime , o tai reiškia, kad skaitiklyje taip pat turime organizuoti .

Ribų radimo uždavinių sprendimas Spręsdami ribų radimo uždavinius, turėtumėte atsiminti kai kurias ribas, kad jų nereikėtų skaičiuoti kiekvieną kartą. Sujungę šias žinomas ribas, rasime naujas ribas naudodami 4 straipsnyje nurodytas savybes. Patogumo dėlei pateikiame dažniausiai pasitaikančias ribas: Ribos 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), jei f (x) yra tolydis x a Jei žinoma, kad funkcija yra tolydi, tai užuot radę ribą, apskaičiuojame funkcijos reikšmę. 1 pavyzdys. Raskite lim (x*-6l:+ 8). Kadangi kelių terminų X->2 terminų funkcija yra ištisinė, tai lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 2 pavyzdys. Raskite lim -G. . Pirmiausia randame vardiklio ribą: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; jis nėra lygus X-Y1 nuliui, o tai reiškia, kad galime taikyti 4 savybę, § 4, tada x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. vardiklis X X yra lygus nuliui, todėl 4 ypatybė negali būti taikoma Kadangi skaitiklis yra pastovus skaičius, o vardiklis yra [x2x) -> -0, kai yra x - 1, tada visa trupmena neribotai didėja. absoliuti reikšmė, ty lim " 1 X - * - - 1 x* + x 4 pavyzdys. Raskite lim\-ll*"!"" "Vardiklio riba lygi nuliui: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, todėl X savybė 4 § 4 netaikoma. Bet skaitiklio riba taip pat lygi nuliui: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Taigi, skaitiklio ir vardiklio ribos vienu metu yra lygios nuliui. Tačiau skaičius 2 yra ir skaitiklio, ir vardiklio šaknis, todėl trupmeną galima sumažinti skirtumu x-2 (pagal Bezout teoremą). Tiesą sakant, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4", todėl xr- - f- 6 g x-3 -1 1 5 pavyzdys. Raskite lim xn (n sveikasis skaičius, teigiamas). X su Turime xn = X* X . . X, n kartų Kadangi kiekvienas veiksnys auga neribotai, produktas taip pat auga neribotai, t.y. lim xn=oo. x oo 6 pavyzdys. Raskite lim xn(n sveikasis skaičius, teigiamas). X -> - CO Turime xn = x x... x. Kadangi kiekvienas veiksnys auga absoliučia verte, likdamas neigiamas, tada lyginio laipsnio atveju sandauga augs neribotai, likdama teigiama, t.y. lim *n = + oo (lyginiam n). *-* -о Nelyginio laipsnio atveju absoliuti sandaugos reikšmė didėja, tačiau išlieka neigiama, t.y. lim xn = - oo (n nelyginiam). p -- 00 7 pavyzdys. Rasti lim . x x-*- co * Jei m>pu tada galime rašyti: m = n + kt kur k>0. Todėl xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Priėjome prie 6 pavyzdžio. Jei ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x-* yu A X ->co Čia skaitiklis išlieka pastovus, o vardiklis auga absoliučia verte, todėl lim -ь = 0. X-*oo X* Rekomenduojama atsiminti šio pavyzdžio rezultatą tokia forma: galios funkcija didėja kuo greičiau, tuo didesnis eksponentas. $хв_Зхг + 7 8 pavyzdys. Raskite lim g L -г-= Šiame pavyzdyje x-*® «J* "Г bХ -ох-о ir skaitiklis bei vardiklis didėja neribotai. Padalinkime ir skaitiklį, ir skaitiklį. vardiklis pagal didžiausią x laipsnį, t.y. ant xb, tada 3 7_ 9 pavyzdys. Atlikdami transformacijas gauname lira ^ = lim X CO + 3 7 3 Kadangi lim -5 = 0, lim -, = 0. , tada vardiklio riba lygi 1. Todėl visa trupmena didėja be ribos, t.y. lim Apskaičiuokime vardiklio ribą S, prisimindami, kad cos*-funkcija yra tolydi: lira (2 + cos x) = 2. + jaukus =2 Tada x->- S lim (l-fsin*) 15 pavyzdys. Rasti lim *.<*-e>2 ir lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO presas (l: - a)2 = z; kadangi (l;-a)2 visada auga neneigiamai ir neribotai su x, tai x - ±oo naujas kintamasis z-*oc. Todėl gauname qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (žr. §5 pastabą). g -*■ co Panašiai lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, nes x ± oo g m - (x- a)z mažėja be apribojimų kaip x ->±oo (žr. pastabą prie §

Pažvelkime į keletą iliustruojančių pavyzdžių.

Tegu x yra skaitinis kintamasis, X – jo kitimo sritis. Jei kiekvienas skaičius x, priklausantis X, yra susietas su tam tikru skaičiumi y, tada jie sako, kad funkcija yra apibrėžta aibėje X, ir rašo y = f(x).
X rinkinys šiuo atveju yra plokštuma, susidedanti iš dviejų koordinačių ašių – 0X ir 0Y. Pavyzdžiui, pavaizduokime funkciją y = x 2. 0X ir 0Y ašys sudaro X – jo pasikeitimo sritį. Paveikslėlyje aiškiai parodyta, kaip veikia funkcija. Šiuo atveju jie sako, kad funkcija y = x 2 yra apibrėžta aibėje X.

Visų funkcijos dalinių reikšmių rinkinys Y vadinamas reikšmių rinkiniu f(x). Kitaip tariant, reikšmių rinkinys yra intervalas išilgai 0Y ašies, kuriame yra apibrėžta funkcija. Pavaizduota parabolė aiškiai parodo, kad f(x) > 0, nes x2 > 0. Todėl reikšmių diapazonas bus . Mes žiūrime į daugybę verčių pagal 0Y.

Visų x aibė vadinama f(x) sritimi. Į daugelį apibrėžimų žiūrime 0X, o mūsų atveju priimtinų reikšmių diapazonas yra [-; +].

Taškas a (a priklauso arba X) vadinamas aibės X ribiniu tašku, jei bet kurioje taško a kaimynystėje yra aibės X taškų, kurie skiriasi nuo a.

Atėjo laikas suprasti, kokia yra funkcijos riba?

Iškviečiamas grynasis b, į kurį funkcija linkusi taip, kaip x linksta į skaičių a funkcijos riba. Tai parašyta taip:

Pavyzdžiui, f(x) = x 2. Turime išsiaiškinti, į ką funkcija linkusi (nėra lygi) ties x 2. Pirmiausia užrašome ribą:

Pažiūrėkime į grafiką.

Nubrėžkime liniją, lygiagrečią 0Y ašiai per tašką 2 0X ašyje. Jis kirs mūsų grafiką taške (2;4). Numeskime statmeną iš šio taško į 0Y ašį ir pateksime į tašką 4. Štai ko mūsų funkcija siekia x 2. Jei dabar reikšmę 2 pakeisime funkcija f(x), atsakymas bus toks pat.

Dabar, prieš pereinant prie limitų skaičiavimas, pristatykime pagrindinius apibrėžimus.

Prancūzų matematiko Augustino Louiso Cauchy pristatė XIX a.

Tarkime, kad funkcija f(x) yra apibrėžta tam tikrame intervale, kuriame yra taškas x = A, bet visai nebūtina apibrėžti f(A) reikšmę.

Tada, pagal Cauchy apibrėžimą, funkcijos riba f(x) bus tam tikras skaičius B su x link A, jei kiekvienam C > 0 yra skaičius D > 0, kuriam

Tie. jei funkcija f(x) ties x A ribojama riba B, tai rašoma forma

Sekos riba tam tikras skaičius A vadinamas, jei bet kuriam savavališkai mažam teigiamam skaičiui B > 0 yra skaičius N, kurio visos reikšmės tuo atveju n > N tenkina nelygybę

Ši riba atrodo taip.

Seka, kuri turi ribą, bus vadinama konvergentine, jei ne, vadinsime ją divergentine.

Kaip jau pastebėjote, ribas nurodo lim piktograma, pagal kurią įrašoma tam tikra kintamojo sąlyga, o tada įrašoma pati funkcija. Toks rinkinys bus skaitomas kaip „funkcijos, kuriai taikoma..., riba“. Pavyzdžiui:

- funkcijos, kaip x, riba yra 1.

Posakis „artėja prie 1“ reiškia, kad x paeiliui įgyja vertes, kurios artėja prie 1 be galo artimos.

Dabar tampa aišku, kad norint apskaičiuoti šią ribą, pakanka x reikšmę pakeisti 1:

Be konkrečios skaitinės reikšmės, x taip pat gali būti linkęs į begalybę. Pavyzdžiui:

Išraiška x reiškia, kad x nuolat didėja ir neribotai artėja prie begalybės. Todėl vietoj x pakeitus begalybę, tampa akivaizdu, kad funkcija 1-x bus linkusi , bet su priešingu ženklu:

Taigi, limitų skaičiavimas reikia rasti konkrečią jo reikšmę arba tam tikrą sritį, kurioje patenka ribos apribota funkcija.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, darytina išvada, kad apskaičiuojant ribas svarbu vadovautis keliomis taisyklėmis:

Supratimas ribos esmė ir pagrindinės taisyklės ribiniai skaičiavimai, gausite pagrindinių įžvalgų, kaip jas išspręsti. Jei koks nors apribojimas sukelia jums sunkumų, rašykite komentaruose ir mes tikrai jums padėsime.

Pastaba: Jurisprudencija yra dėsnių mokslas, padedantis konfliktuose ir kituose gyvenimo sunkumuose.

4.6 tema Limitų skaičiavimas

Funkcijos riba nepriklauso nuo to, ar ji apibrėžta ribiniame taške, ar ne. Tačiau praktikoje skaičiuojant elementariųjų funkcijų ribas ši aplinkybė turi didelę reikšmę.

1. Jei funkcija yra elementari ir jei argumento ribinė reikšmė priklauso jos apibrėžimo sričiai, tai funkcijos ribos apskaičiavimas redukuojamas į paprastą argumento ribinės reikšmės pakeitimą, nes elementariosios funkcijos f (x) riba at x siekiaA , kuris įtrauktas į apibrėžimo sritį, yra lygus funkcijos dalinei reikšmei, kai x = A, t.y. lim f(x)=f( a) .

2. Jei x linkęs į begalybę arba argumentas linksta į skaičių, kuris nepriklauso funkcijos apibrėžimo sričiai, tai kiekvienu tokiu atveju funkcijos ribos radimas reikalauja specialaus tyrimo.

Žemiau pateikiamos paprasčiausios ribos, pagrįstos ribų savybėmis, kurios gali būti naudojamos kaip formulės:

Sudėtingesni funkcijos ribos radimo atvejai:

kiekvienas svarstomas atskirai.

Šiame skyriuje bus aprašyti pagrindiniai neapibrėžtumo atskleidimo būdai.

1. Atvejis, kai x siekiaA funkcija f(x) reiškia dviejų be galo mažų dydžių santykį

a) Pirmiausia reikia įsitikinti, kad funkcijos ribos negalima rasti tiesioginiu pakeitimu ir, esant nurodytam argumento pakeitimui, ji parodo dviejų be galo mažų dydžių santykį. Transformacijos atliekamos siekiant sumažinti trupmeną koeficientu, linkusiu į 0. Pagal funkcijos ribos apibrėžimą, argumentas x linksta į savo ribinę reikšmę, niekada su ja nesutampa.

Apskritai, jei ieškome funkcijos ribos ties x siekiaA , tuomet turite atsiminti, kad x neįgyja reikšmės A, t.y. x nėra lygus a.

b) Taikoma Bezout teorema. Jei ieškote trupmenos ribos, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai, kurie išnyksta ribiniame taške x = A, tada pagal aukščiau pateiktą teoremą abu daugianariai dalijasi iš x- A.

c) Iracionalumas skaitiklyje arba vardiklyje naikinamas skaitiklį ar vardiklį padauginus iš konjugato su iracionaliąja išraiška, tada supaprastinus trupmeną sumažinama.

d) Naudojama 1-oji žymioji riba (4.1).

e) Naudojama teorema apie begalinių mažų skaičių ekvivalentiškumą ir šie principai:

2. Atvejis, kai x siekiaA funkcija f(x) reiškia dviejų be galo didelių dydžių santykį

a) Trupmenos skaitiklio ir vardiklio dalijimas iš didžiausios nežinomybės laipsnio.

b) Apskritai galite naudoti taisyklę

3. Atvejis, kai x siekiaA funkcija f (x) reiškia be galo mažo ir be galo didelio kiekio sandaugą

Trupmena transformuojama į formą, kurios skaitiklis ir vardiklis vienu metu linkę į 0 arba į begalybę, t.y. 3 atvejis sumažinamas iki 1 arba 2 atvejo.

4. Atvejis, kai x siekiaA funkcija f (x) reiškia dviejų teigiamų be galo didelių dydžių skirtumą

Šis atvejis sumažinamas iki 1 arba 2 tipo vienu iš šių būdų:

a) trupmenų suvedimas į bendrą vardiklį;

b) funkcijos pavertimas trupmena;

c) atsikratyti neracionalumo.

5. Atvejis, kai x siekiaA funkcija f(x) reiškia laipsnį, kurio bazė linkusi į 1, o eksponentas – į begalybę.

Funkcija transformuojama taip, kad būtų panaudota 2-oji žymioji riba (4.2).

Pavyzdys. Rasti .

Nes x linkęs į 3, tada trupmenos skaitiklis linksta į skaičių 3 2 +3 *3+4=22, o vardiklis į skaičių 3+8=11. Vadinasi,

Pavyzdys

Čia yra trupmenos skaitiklis ir vardiklis x linkęs į 2 linkę į 0 (tipo neapibrėžtis), skaitiklį ir vardiklį išskaidome faktoriais, gauname lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Pavyzdys

Padauginę skaitiklį ir vardiklį iš išraiškos, susietos su skaitikliu, gauname

Atidarę skliaustus skaitiklyje, gauname

Pavyzdys

2 lygis. Pavyzdys. Pateiksime funkcijos ribos sąvokos taikymo ekonominiuose skaičiavimuose pavyzdį. Panagrinėkime įprastą finansinę operaciją: sumos paskolinimą S 0 su sąlyga, kad praėjus tam tikram laikotarpiui T suma bus grąžinta S T. Nustatykime vertę r santykinis augimas formulę

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Santykinis augimas gali būti išreikštas procentais, padauginus gautą vertę r iki 100.

Iš (1) formulės nesunku nustatyti reikšmę S T:

S T= S 0 (1 + r)

Skaičiuojant ilgalaikes paskolas keliems metams, naudojama sudėtinių palūkanų schema. Jį sudaro tai, kad jei už 1 metus suma S 0 padidina iki (1 + r) kartų, tada antrus metus (1 + r) kartų suma padidėja S 1 = S 0 (1 + r), tai yra S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Pasirodo panašiai S 3 = S 0 (1 + r) 3 . Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime gauti bendrą formulę, skirtą sumos augimui apskaičiuoti n metai, skaičiuojant pagal sudėtinių palūkanų schemą:

S n= S 0 (1 + r) n.

Finansiniuose skaičiavimuose naudojamos schemos, kai sudėtinės palūkanos skaičiuojamos kelis kartus per metus. Šiuo atveju tai numatyta metinė norma r Ir kaupimų skaičius per metus k. Paprastai kaupimai daromi vienodais intervalais, ty kiekvieno intervalo ilgiu Tk sudaro metų dalį. Tada laikotarpiui m T metų (čia T nebūtinai sveikasis skaičius) suma S T apskaičiuojamas pagal formulę

(2)

kur yra sveikoji skaičiaus dalis, kuri sutampa su pačiu skaičiumi, jei pvz. T? sveikasis skaičius.

Tegul metinė norma būna r ir yra gaminamas n sukauptos sumos per metus reguliariais intervalais. Tada už metus suma S 0 padidinamas iki vertės, nustatytos pagal formulę

(3)

Teorinėje analizėje ir finansinės veiklos praktikoje dažnai susiduriama su „nuolat kaupiamų palūkanų“ sąvoka. Norėdami pereiti prie nuolat kaupiamų palūkanų, turite neribotą laiką didinti atitinkamai (2) ir (3) formulėse skaičius k Ir n(tai yra režisuoti k Ir n iki begalybės) ir apskaičiuokite, iki kokios ribos bus linkusios funkcijos S T Ir S 1. Taikykime šią procedūrą (3) formulei:

Atkreipkite dėmesį, kad skliaustuose esanti riba sutampa su antrąja reikšminga riba. Iš to išplaukia, kad metine norma r su nuolat kaupiamomis palūkanomis, suma S 0 per 1 metus padidėja iki vertės S 1 *, kuris nustatomas pagal formulę

S 1 * = S 0 e r (4)

Dabar pateiksime sumą S 0 suteikiama kaip paskola su priskaičiuotomis palūkanomis n kartą per metus reguliariais intervalais. Pažymėkime r e metinė norma, pagal kurią metų pabaigoje suma S 0 padidinama iki vertės S 1 * iš (4) formulės. Šiuo atveju mes tai pasakysime r e- Tai metinė palūkanų norma n kartą per metus, lygiavertėms metinėms palūkanoms r su nuolatiniu kaupimu. Iš (3) formulės gauname

S*1 =S 0 (1+r e/n) n

Paskutinės formulės ir (4) formulės dešiniųjų pusių prilyginimas, darant prielaidą, kad pastarojoje T= 1, galime išvesti ryšius tarp dydžių r Ir r e:

Šios formulės plačiai naudojamos finansiniuose skaičiavimuose.

Funkcijos riba- numeris a bus kurio nors kintamo dydžio riba, jei jo kitimo procese šis kintamasis dydis neribotą laiką priartės a.

Arba, kitaip tariant, skaičius A yra funkcijos riba y = f(x) taške x 0, jei bet kuriai taškų sekai iš funkcijos apibrėžimo srities , nelygi x 0, ir kuris susilieja su tašku x 0 (lim x n = x0), atitinkamų funkcijų reikšmių seka susilieja į skaičių A.

Funkcijos, kurios riba, esant argumentui, linkusiam į begalybę, yra lygi L:

Reikšmė A yra funkcijos riba (ribinė vertė). f(x) taške x 0 bet kurios taškų sekos atveju , kuris susilieja su x 0, bet kuriame nėra x 0 kaip vienas iš jo elementų (t. y. pradurtoje aplinkoje x 0), funkcijos reikšmių seka susilieja su A.

Funkcijos riba pagal Koši.

Reikšmė A bus funkcijos riba f(x) taške x 0 jei už kokį nors iš anksto paimtą neneigiamą skaičių ε bus rastas atitinkamas neneigiamas skaičius δ = δ(ε) toks, kad kiekvienam argumentui x, atitinkančią sąlygą 0 < | x - x0 | < δ , nelygybė bus patenkinta | f(x)A |< ε .

Tai bus labai paprasta, jei suprasite limito esmę ir pagrindines jo nustatymo taisykles. Kokia yra funkcijos riba f (x) adresu x siekiantis a lygus A, parašyta taip:

Be to, vertė, į kurią linksta kintamasis x, gali būti ne tik skaičius, bet ir begalybė (∞), kartais +∞ arba -∞, arba ribos gali nebūti.

Norėdami suprasti, kaip rasti funkcijos ribas, geriausia žiūrėti į sprendimų pavyzdžius.

Būtina rasti funkcijos ribas f (x) = 1/x adresu:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Raskime pirmosios ribos sprendimą. Norėdami tai padaryti, galite tiesiog pakeisti x skaičius, į kurį jis linkęs, t.y. 2, gauname:

Raskime antrąją funkcijos ribą. Vietoj to pakeiskite gryną 0 x tai neįmanoma, nes Negalite padalyti iš 0. Bet mes galime paimti reikšmes, artimas nuliui, pavyzdžiui, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 ir pan., ir funkcijos reikšmė f (x) padidės: 100; 1000; 10 000; 100 000 ir pan. Taigi galima suprasti, kad kada x→ 0 funkcijos reikšmė, kuri yra po ribiniu ženklu, didės be ribos, t.y. siekti begalybės. O tai reiškia:

Dėl trečiosios ribos. Tokia pati situacija kaip ir ankstesniu atveju, pakeisti neįmanoma ∞ gryniausia forma. Turime apsvarstyti neriboto didinimo atvejį x. 1000 pakeičiame po vieną; 10 000; 100 000 ir tt, mes turime tą funkcijos reikšmę f (x) = 1/x sumažės: 0,001; 0,0001; 0,00001; ir taip toliau, linkę į nulį. Štai kodėl:

Būtina apskaičiuoti funkcijos ribą

Pradėdami spręsti antrąjį pavyzdį, matome neapibrėžtumą. Iš čia randame aukščiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį - tai yra x 3, išimame jį iš skliaustų skaitiklyje ir vardiklyje ir sumažiname taip:

Atsakymas

Pirmas žingsnis rasti šią ribą, vietoj to pakeiskite reikšmę 1 x, todėl atsiranda netikrumas. Norėdami tai išspręsti, suskaidykime skaitiklį faktoriais ir atlikime tai naudodami kvadratinės lygties šaknų radimo metodą x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Taigi skaitiklis bus toks:

Atsakymas