Instrukcijos
Jei pradinis vektorius brėžinyje pavaizduotas stačiakampėje dvimatėje koordinačių sistemoje ir ten reikia sukonstruoti statmeną, vadovaukitės vektorių statmenumo plokštumoje apibrėžimu. Jame teigiama, kad kampas tarp tokios poros nukreiptų atkarpų turi būti lygus 90°. Tokių vektorių galima sukurti begalinį skaičių. Todėl bet kurioje patogioje plokštumos vietoje nubrėžkite statmeną pradiniam vektoriui, padėkite ant jo atkarpą, lygią nurodytos sutvarkytos taškų poros ilgiui, ir vieną iš jos galų priskirkite statmeno vektoriaus pradžiai. Atlikite tai naudodami transporterį ir liniuotę.
Jei pradinis vektorius pateiktas dvimatėmis koordinatėmis ā = (X1;Y1), tarkime, kad statmenų vektorių poros skaliarinė sandauga turi būti lygi nuliui. Tai reiškia, kad reikia pasirinkti norimam vektoriui ō = (X₂,Y₂) tokias koordinates, kad galiotų lygybė (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 Tai galima padaryti taip: pasirinkite bet kurią nulinę X₂ koordinatės reikšmę ir apskaičiuokite Y₂ koordinatę pagal formulę Y₂ = -(X1*X2)/Y₁. Pavyzdžiui, vektoriui ā = (15;5) bus vektorius ō, kurio abscisė lygi vienetui, o ordinatė lygi -(15*1)/5 = -3, t.y. ō = (1;-3).
Trimatei ir bet kuriai kitai stačiakampei koordinačių sistemai galioja ta pati būtina ir pakankama vektorių statmenumo sąlyga – jų skaliarinė sandauga turi būti lygi nuliui. Todėl, jei pradinė nukreipta atkarpa nurodyta koordinatėmis ā = (X₁,Y₁,Z₁), sutvarkytai taškų porai ō = (X₂,Y₂,Z₂), statmenai jai, pasirinkite tokias koordinates, kurios tenkina sąlygą (ā,ō). ) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. Lengviausias būdas yra priskirti atskiras reikšmes X2 ir Y2 ir apskaičiuoti Z₂ pagal supaprastintą lygybę Z₂ = -1*(X1*1 + Y₁* 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Pavyzdžiui, vektoriaus ā = (3,5,4) forma bus tokia: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Tada paimkite abscisę ir ordinates statmenas vektorius kaip vienas, ir šiuo atveju jis bus lygus -(3+5)/4 = -2.
Šaltiniai:
- raskite vektorių, jei jis yra statmenas
Jie vadinami statmenais vektorius, kampas tarp kurių yra 90º. Statmenys vektoriai konstruojami naudojant piešimo priemones. Jei žinomos jų koordinatės, tai vektorių statmenumą galima patikrinti arba rasti naudojant analitinius metodus.
Jums reikės
- - transporteris;
- - kompasas;
- - valdovas.
Instrukcijos
Sukurkite vektorių, statmeną duotajam. Norėdami tai padaryti, taške, kuris yra vektoriaus pradžia, atkurkite jam statmeną. Tai galima padaryti naudojant transporterį, nustatant 90º kampą. Jei neturite transporterio, naudokite kompasą.
Nustatykite jį į vektoriaus pradžios tašką. Nubrėžkite apskritimą su savavališku spinduliu. Tada sukurkite du su centrais taškuose, kuriuose pirmasis apskritimas kerta tiesę, ant kurios yra vektorius. Šių apskritimų spinduliai turi būti lygūs vienas kitam ir didesni už pirmąjį sukonstruotą apskritimą. Apskritimų susikirtimo taškuose nubrėžkite tiesę, kuri bus statmena pradiniam vektoriui jo pradžioje, ir nubraižykite joje statmeną šiam vektoriui.
Sąlyga, kad vektoriai būtų statmeni
Vektoriai yra statmeni tada ir tik tada, kai jų taškinė sandauga yra nulis.
Duoti du vektoriai a(xa;ya) ir b(xb;yb). Šie vektoriai bus statmeni, jei išraiška xaxb + yayb = 0.
Vektoriai yra lygiagretūs, jei jų kryžminė sandauga yra nulis
Tiesės lygtis plokštumoje. Pagrindinės problemos tiesioje plokštumoje.
Bet kurią tiesę plokštumoje galima pateikti pirmos eilės lygtimi Ax + Bi + C = 0, o konstantos A ir B vienu metu nėra lygios nuliui, t.y. A2 + B2 0. Ši pirmos eilės lygtis vadinama bendrąja tiesės lygtimi. Priklausomai nuo konstantų A, B ir C reikšmių, galimi tokie specialūs atvejai: - C = 0, A 0, B 0 – tiesė eina per koordinačių pradžią - A = 0, B 0, C 0 ( Pagal
C = 0) - tiesi linija, lygiagreti Oy ašiai - B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - tiesi linija, lygiagreti Oy ašiai - B = C = 0, A 0 - tiesė sutampa su Oy ašimi - A = C = 0, B 0 - tiesė sutampa su Ox ašimi Tiesios lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, priklausomai nuo bet kokių pradinių sąlygų.
Jei bent vienas iš Ax+By+C=0 lygio koeficientų A, B, C yra lygus 0, lygis
paskambino nepilnas. Pagal tiesės lygties formą galima spręsti apie jos padėtį
lygumas OXU. Galimi atvejai:
1 C=0 L: Ax+By=0 t O(0,0) tenkina šią lygtį reiškia tiesus
eina per kilmę
2 A=0 L: Ву+С=0 - normalus VP n=(0,B) yra statmenas OX ašiai nuo čia
iš to išplaukia, kad tiesė lygiagreti OX ašiai
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 – vardinė vertė n=(A,0) yra statmena OY ašiai nuo čia
iš to išplaukia, kad tiesi linija yra lygiagreti operatyvinio stiprintuvo ašiai
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B = 0, C = 0 L: Ax = 0 (x = 0 (L = OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - neeina per pradžią ir susikerta
abi ašys.
Tiesės lygtis plokštumoje, einančioje per du nurodytus taškus, ir: 
Kampas tarp plokštumų.
Determinantų skaičiavimas
Determinantai apskaičiuojami remiantis žinomomis jų savybėmis, kurios taikomos visų eilių determinantams. Tai yra savybės:
1. Jei pertvarkysite dvi determinanto eilutes (arba du stulpelius), determinantas pakeis ženklą.
2. Jei determinanto dviejų stulpelių (arba dviejų eilučių) atitinkami elementai yra lygūs arba proporcingi, tai determinantas lygus nuliui.
3. Determinanto reikšmė nepasikeis, jei sukeisite eilutes ir stulpelius, išlaikydami jų tvarką.
4. Jei visi eilutės (ar stulpelio) elementai turi bendrą koeficientą, tai jį galima išimti iš determinantinio ženklo.
5. Determinanto reikšmė nepasikeis, jei prie vienos eilutės (ar stulpelio) elementų pridedami atitinkami kitos eilutės (ar stulpelio) elementai, padauginti iš to paties skaičiaus.
Matrica ir veiksmai virš jų
Matrica- matematinis objektas, parašytas stačiakampės skaičių lentelės (arba žiedo elementų) pavidalu ir leidžiantis tarp jo ir kitų panašių objektų atlikti algebrines operacijas (sudėti, atimti, dauginti ir kt.). Paprastai matricos vaizduojamos kaip dvimatės (stačiakampės) lentelės. Kartais svarstomos daugiamatės arba nestačiakampės matricos.
Paprastai matrica žymima didžiąja lotyniškos abėcėlės raide ir paryškinama apvaliais skliaustais „(…)“ (taip pat pažymėta laužtiniais skliaustais „[…]“ arba dvigubomis tiesiomis linijomis „||…||“) .
Skaičiai, sudarantys matricą (matricos elementai), dažnai žymimi ta pačia raide kaip ir pati matrica, bet mažosiomis raidėmis (pavyzdžiui, a11 yra A matricos elementas).
Kiekvienas matricos elementas turi 2 apatinius indeksus (aij) – pirmasis „i“ žymi eilutės, kurioje yra elementas, numerį, o antrasis „j“ – stulpelio numerį. Jie sako „dimensinė matrica“, o tai reiškia, kad matricoje yra m eilučių ir n stulpelių. Visada toje pačioje matricoje
Operacijos su matricomis
Tegu aij yra matricos A elementai, o bij matricos B elementai.
Linijinės operacijos:
Padauginus matricą A iš skaičiaus λ (simbolis: λA) sudaroma matrica B, kurios elementai gaunami padauginus kiekvieną matricos A elementą iš šio skaičiaus, tai yra, kiekvienas matricos B elementas yra lygus
Matricų A + B sudėjimas – tai matricos C radimo operacija, kurios visi elementai yra lygūs visų atitinkamų matricų A ir B elementų porinei sumai, tai yra, kiekvienas matricos C elementas yra lygus
Matricų A − B atėmimas apibrėžiamas panašiai kaip sudėjimas, tai yra matricos C, kurios elementai, radimas
Sudėti ir atimti galima tik tokio paties dydžio matricose.
Yra tokia nulinė matrica Θ, kurią pridėjus prie kitos matricos A A nekeičiama, tai yra
Visi nulinės matricos elementai yra lygūs nuliui.
Netiesinės operacijos:
Matricos daugyba (žymėjimas: AB, rečiau su daugybos ženklu) yra matricos C skaičiavimo operacija, kurios elementai yra lygūs elementų sandaugų sumai atitinkamoje pirmojo koeficiento eilutėje ir antrojo stulpelyje. .cij = ∑ aikbkj k
Pirmasis veiksnys turi turėti tiek pat stulpelių, kiek ir antrojo eilučių skaičius. Jei matrica A turi matmenį B - , tai jų sandaugos AB = C matmuo yra. Matricos daugyba nėra komutacinė.
Matricos daugyba yra asociatyvi. Tik kvadratines matricas galima pakelti į laipsnius.
Matricos perkėlimas (simbolis: AT) yra operacija, kurios metu matrica atspindima pagrindinės įstrižainės atžvilgiu, t.
Jei A yra dydžio matrica, tai AT yra dydžio matrica
Sudėtingos funkcijos išvestinė
Sudėtinė funkcija turi tokią formą: F(x) = f(g(x)), t.y. yra funkcijos funkcija. Pavyzdžiui, y = sin2x, y = ln(x2+2x) ir kt.
Jei taške x funkcija g(x) turi išvestinę g"(x), o taške u = g(x) funkcija f(u) turi išvestinę f"(u), tada kompleksinė funkcija f(g(x)) taške x egzistuoja ir yra lygi f"(u)g"(x).
Netiesioginės funkcijos išvestinė
Daugelyje problemų funkcija y(x) nurodoma netiesiogiai. Pavyzdžiui, toliau nurodytoms funkcijoms
Neįmanoma aiškiai gauti priklausomybės y(x).
Netiesioginės funkcijos išvestinės y"(x) apskaičiavimo algoritmas yra toks:
Pirmiausia reikia diferencijuoti abi lygties puses x atžvilgiu, darant prielaidą, kad y yra diferencijuojama x funkcija ir naudojant sudėtingos funkcijos išvestinės apskaičiavimo taisyklę;
Išspręskite gautą išvestinės y"(x) lygtį.
Pažvelkime į kelis iliustruojančius pavyzdžius.
Atskirkite lygties pateiktą funkciją y(x).
Išskirkime abi lygties puses kintamojo x atžvilgiu:
kas veda į rezultatą
Lapitalio taisyklė
L'Hopital taisyklė. Tegul funkcijos f(x) ir g(x) turi aplinkoje. t-ki x0 pr-nye f' ir g', atmetus šio t-tu x0 galimybę. Tegul lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0, kad f(x)/g(x) ties x®x0 gautų 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), kai jis sutampa su funkcijos lim(x®x0)f(x)/g(x)= santykio riba lim(x®x0)f'(x)/g'(x) (5)
44
.1.(Funkcijos, turinčios intervalo išvestinę, monotoniškumo kriterijus) Tegul funkcija 
nuolatinis
(a,b), ir kiekviename taške turi išvestinę f"(x). Tada
1)f didėja (a,b) tada ir tik tada
2) sumažėja (a,b) tada ir tik tada
2. (Pakankama griežto funkcijos, turinčios intervalo išvestinę, monotoniškumo sąlyga) Tegul funkcija 
yra ištisinis (a,b) ir kiekviename taške turi išvestinę f"(x). Tada
1) jei tada f griežtai didėja (a,b);
2) jei tada f griežtai mažėja ties (a,b).
Priešingai, paprastai kalbant, nėra tiesa. Griežtai monotoniškos funkcijos išvestinė gali išnykti. Tačiau taškų, kurių išvestinė nėra nulis, rinkinys turi būti tankus intervale (a,b). Tiksliau, tai daro.
3. (Funkcijos, turinčios intervalo išvestinę, griežto monotoniškumo kriterijus) Tegu o išvestinė f"(x) apibrėžiama visur intervale. Tada f griežtai didėja intervale (a,b) tada ir tik tada, kai tenkinamos šios dvi sąlygos:
Taškinė vektorių sandauga. Kampas tarp vektorių. Vektorių lygiagretumo arba statmenumo sąlyga.
Vektorių skaliarinė sandauga yra jų ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandauga:
Šie teiginiai įrodomi lygiai taip pat, kaip planimetrijoje:
Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai vektoriai yra statmeni.
Vektoriaus skaliarinis kvadratas, tai yra jo paties ir savęs skaliarinė sandauga, yra lygus jo ilgio kvadratui.
Dviejų vektorių skaliarinę sandaugą, pateiktą jų koordinatėmis, galima apskaičiuoti naudojant formulę
Vektoriai yra statmeni tada ir tik tada, kai jų taškinė sandauga yra nulis. Pavyzdys. Duoti du vektoriai ir . Šie vektoriai bus statmeni, jei išraiška x1x2 + y1y2 = 0. Kampas tarp nulinių vektorių yra kampas tarp tiesių, kurioms šie vektoriai yra kreipiamosios. Pagal apibrėžimą kampas tarp bet kurio vektoriaus ir nulinio vektoriaus laikomas lygiu nuliui. Jei kampas tarp vektorių yra 90°, tai tokie vektoriai vadinami statmenais. Kampą tarp vektorių pažymėsime taip:
Šiame straipsnyje atskleidžiama dviejų vektorių statmenumo reikšmė plokštumoje trimatėje erdvėje ir randamos vektoriaus, statmeno vienam ar visai vektorių porai, koordinatės. Tema taikoma sprendžiant uždavinius, susijusius su tiesių ir plokštumų lygtimis.
Išnagrinėsime būtiną ir pakankamą dviejų vektorių statmenumo sąlygą, išspręsime statmeno duotajam vektoriaus radimo metodą ir paliesime situacijas, kai reikia rasti statmeną dviem vektoriams.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Būtina ir pakankama dviejų vektorių statmenumo sąlyga
Taikykime taisyklę apie statmenus vektorius plokštumoje ir trimatėje erdvėje.
1 apibrėžimas
Jei kampas tarp dviejų nulinių vektorių yra lygus 90 ° (π 2 radianai), vadinamas statmenai.
Ką tai reiškia ir kokiose situacijose būtina žinoti apie jų statmenumą?
Statmenumą galima nustatyti naudojant brėžinį. Braižydami vektorių plokštumoje iš nurodytų taškų, galite geometriškai išmatuoti kampą tarp jų. Net jei bus nustatytas vektorių statmenumas, jis nebus visiškai tikslus. Dažniausiai šios užduotys neleidžia to padaryti naudojant transporterį, todėl šis metodas taikomas tik tada, kai apie vektorius nieko daugiau nežinoma.
Dauguma atvejų, kai įrodomas dviejų nulinių vektorių statmenumas plokštumoje arba erdvėje, atliekamas naudojant būtina ir pakankama dviejų vektorių statmenumo sąlyga.
1 teorema
Dviejų nulinių vektorių a → ir b →, lygių nuliui, skaliarinės sandaugos, kad būtų įvykdyta lygybė a → , b → = 0, pakanka jų statmenumui.
1 įrodymas
Tegul duoti vektoriai a → ir b → yra statmeni, tada įrodysime lygybę a ⇀, b → = 0.
Iš apibrėžimo vektorių taškinė sandauga mes žinome, kad tai lygu duotųjų vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandauga. Pagal sąlygą a → ir b → yra statmenos, todėl, remiantis apibrėžimu, kampas tarp jų yra 90 °. Tada turime a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Antroji įrodymo dalis
Su sąlyga, kad a ⇀, b → = 0, įrodo a → ir b → statmenumą.
Tiesą sakant, įrodymas yra priešingas ankstesniam. Yra žinoma, kad a → ir b → yra ne nulis, o tai reiškia, kad iš lygybės a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ randame kosinusą. Tada gauname cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Kadangi kosinusas lygus nuliui, galime daryti išvadą, kad vektorių a → ir b → kampas a →, b → ^ yra lygus 90 °. Pagal apibrėžimą tai yra būtina ir pakankama savybė.
Statmenumo sąlyga koordinačių plokštumoje
skyrius skaliarinė sandauga koordinatėmis parodo nelygybę (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , galioja vektoriams, kurių koordinatės a → = (a x , a y) ir b → = (b x , b y), plokštumoje ir (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y vektoriams a → = (a x , a y , a z) ir b → = (b x , b y , b z) erdvėje. Būtinoji ir pakankama dviejų vektorių statmenumo koordinačių plokštumoje sąlyga yra a x · b x + a y · b y = 0, trimatės erdvės a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Įgyvendinkime tai praktiškai ir pažvelkime į pavyzdžius.
1 pavyzdys
Patikrinkite dviejų vektorių a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4) statmenumo savybę.
Sprendimas
Norėdami išspręsti šią problemą, turite rasti skaliarinį sandaugą. Jei pagal sąlygą jis lygus nuliui, tai jie yra statmeni.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Sąlyga įvykdyta, o tai reiškia, kad pateikti vektoriai yra statmeni plokštumai.
Atsakymas: taip, duoti vektoriai a → ir b → yra statmeni.
2 pavyzdys
Pateikti koordinačių vektoriai i → , j → , k →. Patikrinkite, ar vektoriai i → - j → ir i → + 2 · j → + 2 · k → gali būti statmeni.
Sprendimas
Norėdami prisiminti, kaip nustatomos vektorių koordinatės, turite perskaityti straipsnį apie vektorinės koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje. Taigi, mes nustatome, kad pateikti vektoriai i → - j → ir i → + 2 · j → + 2 · k → turi atitinkamas koordinates (1, - 1, 0) ir (1, 2, 2). Pakeičiame skaitines reikšmes ir gauname: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Išraiška nėra lygi nuliui, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, tai reiškia, kad vektoriai i → - j → ir i → + 2 j → + 2 k → nėra statmenos, nes sąlyga neįvykdyta.
Atsakymas: ne, vektoriai i → - j → ir i → + 2 · j → + 2 · k → nėra statmeni.
3 pavyzdys
Duoti vektoriai a → = (1, 0, - 2) ir b → = (λ, 5, 1). Raskite λ reikšmę, kuriai esant šie vektoriai yra statmeni.
Sprendimas
Mes naudojame dviejų vektorių statmenumo sąlygą erdvėje kvadrato forma, tada gauname
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Atsakymas: vektoriai yra statmeni reikšmei λ = 2.
Pasitaiko atvejų, kai statmenumo klausimas neįmanomas net esant būtinoms ir pakankamoms sąlygoms. Turint žinomus duomenis apie tris trikampio kraštines ant dviejų vektorių, galima rasti kampas tarp vektorių ir patikrinkite.
4 pavyzdys
Duotas trikampis A B C, kurio kraštinės A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Patikrinkite vektorių A B → ir A C → statmenumą.
Sprendimas
Jei vektoriai A B → ir A C → yra statmeni, trikampis A B C laikomas stačiakampiu. Tada taikome Pitagoro teoremą, kur B C yra trikampio hipotenuzė. Lygybė B C 2 = A B 2 + A C 2 turi būti teisinga. Iš to išplaukia, kad 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Tai reiškia, kad A B ir A C yra trikampio A B C kojos, todėl A B → ir A C → yra statmenos.
Svarbu išmokti rasti vektoriaus, statmeno duotajam, koordinates. Tai įmanoma tiek plokštumoje, tiek erdvėje, jei vektoriai yra statmeni.
Vektoriaus, statmeno duotajam plokštumoje, radimas.
Nulinis vektorius a → plokštumoje gali turėti begalinį statmenų vektorių skaičių. Pavaizduokime tai koordinačių linijoje.
Duotas nulinis vektorius a → esantis tiesėje a. Tada duotasis b →, esantis bet kurioje tiesėje, statmenoje tiesei a, tampa statmena a →. Jei vektorius i → yra statmenas vektoriui j → arba bet kuriam iš vektorių λ · j →, kurio λ yra lygus bet kuriam realiajam skaičiui, išskyrus nulį, tada reikia rasti vektoriaus b → koordinates statmenai a → = (a x , a y ) sumažinamas iki begalinės sprendinių aibės. Bet reikia rasti vektoriaus, statmeno a → = (a x , a y) koordinates. Norėdami tai padaryti, reikia užrašyti vektorių statmenumo sąlygą tokia forma: a x · b x + a y · b y = 0. Turime b x ir b y, kurios yra norimos statmeno vektoriaus koordinatės. Kai a x ≠ 0, b y reikšmė yra ne nulis, o b x galima apskaičiuoti iš nelygybės a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Jei a x = 0 ir a y ≠ 0, priskiriame b x bet kokią reikšmę, išskyrus nulį, ir randame b y pagal išraišką b y = - a x · b x a y .
5 pavyzdys
Duotas vektorius su koordinatėmis a → = (- 2 , 2) . Raskite tam statmeną vektorių.
Sprendimas
Norimą vektorių pažymėkime b → (b x , b y) . Jo koordinates galima rasti iš sąlygos, kad vektoriai a → ir b → yra statmeni. Tada gauname: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Priskirkime b y = 1 ir pakeiskime: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Taigi iš formulės gauname b x = - 2 - 2 = 1 2. Tai reiškia, kad vektorius b → = (1 2 , 1) yra vektorius, statmenas a → .
Atsakymas: b → = (1 2 , 1) .
Jei keliamas klausimas apie trimatę erdvę, problema sprendžiama pagal tą patį principą. Tam tikram vektoriui a → = (a x , a y , a z) yra begalinis statmenų vektorių skaičius. Ištaisys tai trimatėje koordinačių plokštumoje. Duota → guli ant linijos a. Tiesei a statmena plokštuma žymima α. Šiuo atveju bet kuris nulinis vektorius b → iš plokštumos α yra statmenas a →.
Reikia rasti b → koordinates, statmenas nuliniam vektoriui a → = (a x , a y , a z) .
Tegu b → pateikiamos koordinatėmis b x , b y ir b z . Norint juos rasti, reikia taikyti dviejų vektorių statmenumo sąlygos apibrėžimą. Turi būti tenkinama lygybė a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. Iš sąlygos a → yra ne nulis, o tai reiškia, kad vienos iš koordinačių reikšmė nėra lygi nuliui. Tarkime, kad a x ≠ 0 (a y ≠ 0 arba a z ≠ 0). Todėl visą nelygybę a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 turime teisę padalinti iš šios koordinatės, gauname išraišką b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Koordinatėms b y ir b x priskiriame bet kokią reikšmę, pagal formulę apskaičiuojame b x reikšmę, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Norimas statmenas vektorius turės reikšmę a → = (a x, a y, a z).
Pažvelkime į įrodymą naudodami pavyzdį.
6 pavyzdys
Duotas vektorius, kurio koordinatės a → = (1, 2, 3) . Raskite vektorių, statmeną duotajam.
Sprendimas
Norimą vektorių pažymėkime b → = (b x , b y , b z) . Remiantis sąlyga, kad vektoriai yra statmeni, skaliarinė sandauga turi būti lygi nuliui.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Jei reikšmė b y = 1, b z = 1, tai b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Iš to seka, kad vektoriaus b → (- 5 , 1 , 1) koordinatės . Vektorius b → yra vienas iš vektorių, statmenų duotajam.
Atsakymas: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Dviems duotiesiems vektoriams statmeno vektoriaus koordinačių radimas
Turime rasti vektoriaus koordinates trimatėje erdvėje. Jis statmenas nekolineariniams vektoriams a → (a x , a y , a z) ir b → = (b x , b y , b z) . Jei vektoriai a → ir b → yra kolinearūs, užduotyje pakaks rasti vektorių, statmeną a → arba b →.
Sprendžiant vartojama vektorių sandaugos samprata.
Vektorinė vektorių sandauga a → ir b → yra vektorius, kuris vienu metu yra statmenas ir a →, ir b →. Šiai problemai išspręsti naudojama vektorinė sandauga a → × b →. Trimatei erdvei ji turi formą a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Pažvelkime į vektorinį sandaugą išsamiau, naudodami pavyzdinę problemą.
7 pavyzdys
Pateikti vektoriai b → = (0, 2, 3) ir a → = (2, 1, 0). Raskite bet kurio duomenims statmeno vektoriaus koordinates vienu metu.
Sprendimas
Norėdami išspręsti, turite rasti vektorių sandaugą. (Žr. pastraipą skaičiuojant matricos determinantą Norėdami rasti vektorių). Mes gauname:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Atsakymas: (3 , - 6 , 4) - vektoriaus, kuris vienu metu statmenas duotiesiems a → ir b → koordinates.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
