1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

Sprendimas. Parodykime, kad vektoriai 1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) sudaro pagrindas. Raskime determinantą, sudarytą iš šių vektorių koordinačių.

Atliekame elementarias transformacijas:

Atimti iš 3 eilutės 1 eilutė, padauginta iš (-1)

Iš 3 eilutės atimkite 2 eilutę, iš 4 eilutės atimkite 2 eilutę

Sukeiskime 3 ir 4 eilutes.

Tokiu atveju determinantas pakeis savo ženklą į priešingą:

Nes determinantas nėra lygus nuliui, todėl vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Išplėskime vektorių į tam tikro pagrindo vektorius: , čia, ? norimos vektoriaus koordinatės bazėje, . Koordinačių forma ši lygtis yra (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1, 0, 1, 5) yra tokia forma:

Sistemą išsprendžiame Gauso metodu:

Parašykime sistemą išplėstinės matricos forma

Kad būtų lengviau apskaičiuoti, pakeiskime eilutes:

Padauginkite 3 eilutę iš (-1). Pridėkime 3 eilutę prie 2-osios. Padauginkite 3 eilutę iš 2. Pridėkite 4 eilutę prie 3:

1-ąją eilutę padauginkite iš 3. 2-ąją eilutę padauginkite iš (-2). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

Padauginkite 2 eilutę iš 5. 3 eilutę padauginkite iš 3. Pridėkite 3 eilutę prie 2:

Padauginkite 2 eilutę iš (-2). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

Iš 1 eilutės išreiškiame?4

Iš 2 eilutės mes išreiškiame? 3

Iš 3 eilutės mes išreiškiame? 2

Testinės užduotys

1 užduotis - 10. Pateikiami vektoriai.

Parodykite, kad vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą, ir suraskite vektoriaus koordinates šiame pagrinde:

Duoti vektoriai ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Parodykite, kad vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą ir jame raskite vektoriaus X koordinates.

Ši užduotis susideda iš dviejų dalių. Pirmiausia turite patikrinti, ar vektoriai sudaro pagrindą. Vektoriai sudaro pagrindą, jei determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, nėra lygus nuliui, kitaip vektoriai nėra pagrindiniai ir vektorius X negali būti išplėstas per šį pagrindą.

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Apskaičiuokime matricos determinantą:

Matricos determinantas yra ∆ =37

Kadangi determinantas nėra nulis, vektoriai sudaro pagrindą, todėl vektorius X gali būti išplėstas virš šio pagrindo. Tie. yra skaičiai α 1, α 2, α 3, kad galioja lygybė:

Parašykime šią lygybę koordinačių forma:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Naudodamiesi vektorių savybėmis, gauname tokią lygybę:

(3;0;1) = (3α1;1α1;6α1 ;) + (-2α2;2α2;-3α2;) + (-4α3;5α3;-1α3;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1 α 3)

Pagal vektorių lygybės savybę turime:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Išsprendžiame gautą lygčių sistemą Gauso metodas arba Cramerio metodas.

X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3

Sprendimas gautas ir apdorotas naudojantis paslauga:

Vektorinės koordinatės bazėje

Kartu su šia problema jie taip pat išsprendžia:

Matricinių lygčių sprendimas

Cramerio metodas

Gauso metodas

Atvirkštinė matrica naudojant Jordano-Gauss metodą

Atvirkštinė matrica per algebrinius komplementus

Internetinis matricos dauginimas

Vektorių tiesinė priklausomybė ir tiesinė nepriklausomybė.
Vektorių pagrindas. Afininė koordinačių sistema

Žiūrovų salėje stovi vežimėlis su šokoladukais, o kiekvienas lankytojas šiandien gaus saldžią porelę – analitinę geometriją su tiesine algebra. Šiame straipsnyje bus aptariamos dvi aukštosios matematikos dalys iš karto ir pamatysime, kaip jos egzistuoja viename pakete. Pailsėk, suvalgyk Twix! ...velnias, kokia nesąmonė. Nors, gerai, balų neįtrauksiu, galiausiai į studijas reikėtų nusiteikti teigiamai.

Tiesinė vektorių priklausomybė, tiesinio vektoriaus nepriklausomybė, vektorių pagrindu ir kiti terminai turi ne tik geometrinę interpretaciją, bet, visų pirma, algebrinę reikšmę. Pati „vektoriaus“ sąvoka tiesinės algebros požiūriu ne visada yra „įprastas“ vektorius, kurį galime pavaizduoti plokštumoje ar erdvėje. Įrodymų toli ieškoti nereikia, pabandykite nupiešti penkiamatės erdvės vektorių . Arba orų vektorius, dėl kurio ką tik nuėjau į Gismeteo: atitinkamai temperatūra ir atmosferos slėgis. Pavyzdys, žinoma, yra neteisingas vektorinės erdvės savybių požiūriu, tačiau, nepaisant to, niekas nedraudžia formalizuoti šių parametrų kaip vektorių. Rudens dvelksmas...

Ne, aš nesiruošiu jums nuobodžiauti teorija, tiesinėmis vektorinėmis erdvėmis, užduotis yra suprasti apibrėžimai ir teoremos. Naujieji terminai (tiesinė priklausomybė, nepriklausomybė, tiesinis derinys, pagrindas ir kt.) taikomi visiems vektoriams algebriniu požiūriu, tačiau bus pateikti geometriniai pavyzdžiai. Taigi viskas paprasta, prieinama ir aišku. Be analitinės geometrijos problemų, mes taip pat apsvarstysime keletą tipinių algebros uždavinių. Norint įsisavinti medžiagą, patartina susipažinti su pamokomis Manekenų vektoriai Ir Kaip apskaičiuoti determinantą?

Plokštumos vektorių tiesinė priklausomybė ir nepriklausomybė.
Plokštumos pagrindas ir afininė koordinačių sistema

Apsvarstykime jūsų kompiuterio stalo plokštumą (tik stalas, naktinis staliukas, grindys, lubos, kas jums patinka). Užduotį sudarys šie veiksmai:

1) Pasirinkite plokštumos pagrindą. Grubiai tariant, stalviršis turi ilgį ir plotį, todėl intuityviai suprantama, kad pagrindui sukurti reikės dviejų vektorių. Akivaizdu, kad vieno vektoriaus nepakanka, trijų vektorių yra per daug.

2) Remiantis pasirinktu pagrindu nustatyti koordinačių sistemą(koordinačių tinklelis), kad priskirtumėte koordinates visiems lentelės objektams.

Nenustebkite, iš pradžių paaiškinimai bus ant pirštų. Be to, ant jūsų. Prašau vietą kairysis smilius ant stalviršio krašto, kad jis žiūrėtų į monitorių. Tai bus vektorius. Dabar vieta dešinysis mažasis pirštas ant stalo krašto tokiu pat būdu – kad būtų nukreiptas į monitoriaus ekraną. Tai bus vektorius. Šypsokis, tu puikiai atrodai! Ką galime pasakyti apie vektorius? Duomenų vektoriai kolinearinis, o tai reiškia linijinis išreikšti vienas per kitą:
, gerai, arba atvirkščiai: , kur koks nors skaičius skiriasi nuo nulio.

Šio veiksmo nuotrauką galite pamatyti klasėje. Manekenų vektoriai, kur paaiškinau vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę.

Ar jūsų pirštai nustatys pagrindą ant kompiuterio stalo plokštumos? Akivaizdu, kad ne. Kolineariniai vektoriai keliauja pirmyn ir atgal vienas kryptimi, o plokštuma turi ilgį ir plotį.

Tokie vektoriai vadinami tiesiškai priklausomas.

Nuoroda: Žodžiai „tiesinis“, „tiesiškai“ reiškia tai, kad matematinėse lygtyse ir išraiškose nėra kvadratų, kubų, kitų laipsnių, logaritmų, sinusų ir kt. Yra tik tiesinės (1 laipsnio) išraiškos ir priklausomybės.

Du plokštumos vektoriai tiesiškai priklausomas jei ir tik tada, kai jie yra kolineariniai.

Sukryžiuokite pirštus ant stalo taip, kad tarp jų būtų ne 0 arba 180 laipsnių kampas. Du plokštumos vektoriailinijinis Ne priklausomi tada ir tik tada, kai jie nėra kolineariniai. Taigi gaunamas pagrindas. Nereikia gėdytis, kad pagrindas pasirodė „iškreiptas“ su skirtingo ilgio nestatmenais vektoriais. Labai greitai pamatysime, kad jo konstrukcijai tinka ne tik 90 laipsnių kampas, o ne tik vienodo ilgio vienetiniai vektoriai

Bet koks plokštumos vektorius vienintelis būdas išplečiamas pagal pagrindą:
, kur yra realieji skaičiai. Skaičiai skambinami vektoriaus koordinatesšiuo pagrindu.

Taip pat sakoma, kad vektoriuspateiktas kaip linijinis derinys baziniai vektoriai. Tai yra, išraiška vadinama vektoriaus skaidymaspagal pagrindą arba linijinis derinys baziniai vektoriai.

Pavyzdžiui, galime pasakyti, kad vektorius yra išskaidytas pagal ortonormalų plokštumos pagrindą, arba galime pasakyti, kad jis pavaizduotas kaip tiesinis vektorių derinys.

Suformuluokime pagrindo apibrėžimas formaliai: Lėktuvo pagrindas vadinama tiesiškai nepriklausomų (ne kolinearinių) vektorių pora, , kol bet koks plokštumos vektorius yra tiesinis bazinių vektorių derinys.

Esminis apibrėžimo punktas yra tai, kad vektoriai yra paimti tam tikra tvarka. Bazės – tai dvi visiškai skirtingos bazės! Kaip sakoma, negali pakeisti kairės rankos mažojo piršto vietoj dešinės rankos mažojo piršto.

Mes išsiaiškinome pagrindą, tačiau neužtenka nustatyti koordinačių tinklelį ir kiekvienam kompiuterio stalo elementui priskirti koordinates. Kodėl neužtenka? Vektoriai yra laisvi ir klaidžioja visoje plokštumoje. Taigi, kaip priskirti koordinates toms mažoms nešvarioms vietoms ant stalo, likusioms po laukinio savaitgalio? Reikalingas atspirties taškas. Ir toks orientyras yra visiems pažįstamas taškas – koordinačių kilmė. Supraskime koordinačių sistemą:

Pradėsiu nuo „mokyklos“ sistemos. Jau įžanginėje pamokoje Manekenų vektoriai Pabrėžiau kai kuriuos skirtumus tarp stačiakampės koordinačių sistemos ir stačiakampio pagrindo. Štai standartinis paveikslėlis:

Kai jie kalba apie stačiakampė koordinačių sistema, tada dažniausiai jie reiškia kilmę, koordinačių ašis ir mastelį išilgai ašių. Pabandykite į paieškos variklį įvesti „stačiakampė koordinačių sistema“ ir pamatysite, kad daugelis šaltinių jums pasakys apie koordinačių ašis, pažįstamas iš 5–6 klasės, ir kaip nubraižyti taškus plokštumoje.

Kita vertus, atrodo, kad stačiakampę koordinačių sistemą galima apibrėžti ortonormaliu pagrindu. Ir tai beveik tiesa. Formuluotė yra tokia:

kilmės, Ir ortonormalus nustatytas pagrindas Dekarto stačiakampio plokštumos koordinačių sistema . Tai yra stačiakampė koordinačių sistema būtinai yra apibrėžtas vienu tašku ir dviem vienetiniais stačiakampiais vektoriais. Štai kodėl matote brėžinį, kurį pateikiau aukščiau - geometriniuose uždaviniuose dažnai (bet ne visada) nubraižomi ir vektoriai, ir koordinačių ašys.

Manau, kad visi supranta, kad naudojant tašką (kilmę) ir ortonormalų pagrindą Bet koks TAŠKAS lėktuve ir BET VEKTORIAUS lėktuve galima priskirti koordinates. Vaizdžiai tariant, „viskas lėktuve gali būti sunumeruota“.

Ar koordinačių vektoriai turi būti vienetiniai? Ne, jie gali būti savavališkai nulinio ilgio. Apsvarstykite tašką ir du stačiakampius vektorius, kurių ilgis skiriasi nuo nulio:

Toks pagrindas vadinamas stačiakampis. Koordinačių su vektoriais kilmė apibrėžiama koordinačių tinkleliu, o bet kuris plokštumos taškas, bet koks vektorius turi savo koordinates tam tikru pagrindu. Pavyzdžiui, arba. Akivaizdus nepatogumas yra tas, kad koordinačių vektoriai bendru atveju turi skirtingus ilgius, išskyrus vienetą. Jei ilgiai lygūs vienetui, tada gaunamas įprastas ortonormalus pagrindas.

! Pastaba : stačiakampyje, taip pat žemiau afininiuose plokštumos ir erdvės pagrinduose, laikomi vienetai išilgai ašių SĄLYGINĖ. Pavyzdžiui, viename vienete išilgai x ašies yra 4 cm, viename vienete išilgai ordinačių ašies yra 2 cm. Šios informacijos pakanka, kad prireikus „nestandartines“ koordinates būtų galima konvertuoti į „mūsų įprastus centimetrus“.

Ir antras klausimas, į kurį iš tikrųjų jau buvo atsakyta, ar kampas tarp bazinių vektorių turi būti lygus 90 laipsnių? Ne! Kaip nurodyta apibrėžime, baziniai vektoriai turi būti tik nekolinearinis. Atitinkamai, kampas gali būti bet koks, išskyrus 0 ir 180 laipsnių.

Taškas lėktuve vadinamas kilmės, Ir nekolinearinis vektoriai, , rinkinys afininės plokštumos koordinačių sistema :

Kartais tokia koordinačių sistema vadinama įstrižas sistema. Kaip pavyzdžiai, brėžinyje rodomi taškai ir vektoriai:

Kaip suprantate, afininė koordinačių sistema yra dar mažiau patogi vektorių ir atkarpų ilgių formulės, kurias aptarėme antroje pamokos dalyje, joje neveikia; Manekenų vektoriai, daug skanių formulių, susijusių su vektorių skaliarinė sandauga. Tačiau galioja vektorių pridėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklės, segmento padalijimo formulės šiuo atžvilgiu, taip pat kai kurios kitos problemos, kurias netrukus apsvarstysime.

Ir daroma išvada, kad patogiausias specialus afininės koordinačių sistemos atvejis yra Dekarto stačiakampė sistema. Štai kodėl tau dažniausiai tenka ją matyti, mano brangioji. ...Tačiau viskas šiame gyvenime yra reliatyvu – yra daug situacijų, kai įstrižas kampas (ar koks kitas, pvz. poliarinis) koordinačių sistema. Ir humanoidams tokios sistemos gali patikti =)

Pereikime prie praktinės dalies. Visos šios pamokos problemos galioja tiek stačiakampei koordinačių sistemai, tiek bendrajam giminingam atvejui. Čia nėra nieko sudėtingo, visa medžiaga prieinama net moksleiviui.

Kaip nustatyti plokštumos vektorių kolineariškumą?

Tipiškas dalykas. Tam, kad du plokštumos vektoriai buvo kolinerinės, būtina ir pakanka, kad jų atitinkamos koordinatės būtų proporcingos Iš esmės tai yra akivaizdžių santykių detalizavimas po koordinatės.

1 pavyzdys

a) Patikrinkite, ar vektoriai yra kolinearūs .
b) Ar vektoriai sudaro pagrindą? ?

Sprendimas:
a) Išsiaiškinkime, ar yra vektorių proporcingumo koeficientas, kad būtų įvykdytos lygybės:

Tikrai papasakosiu apie „nepaprastą“ šios taisyklės taikymo versiją, kuri praktiškai veikia gana gerai. Idėja yra nedelsiant sudaryti proporciją ir patikrinti, ar ji teisinga:

Padarykime proporciją iš atitinkamų vektorių koordinačių santykio:

Sutrumpinkime:
, taigi atitinkamos koordinatės yra proporcingos, todėl

Santykis gali būti sukurtas atvirkščiai, tai yra lygiavertis variantas:

Norėdami atlikti savęs patikrinimą, galite naudoti faktą, kad kolineariniai vektoriai yra tiesiškai išreikšti vienas per kitą. Tokiu atveju atsiranda lygybės . Jų pagrįstumą galima lengvai patikrinti atliekant elementarias operacijas su vektoriais:

b) Du plokštumos vektoriai sudaro pagrindą, jei jie nėra kolineariniai (tiesiškai nepriklausomi). Mes tiriame vektorių kolineariškumą . Sukurkime sistemą:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad iš antrosios lygties išplaukia, kad tai reiškia sistema nenuosekli(sprendimų nėra). Taigi atitinkamos vektorių koordinatės nėra proporcingos.

Išvada: vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Supaprastinta sprendimo versija atrodo taip:

Padarykime proporciją iš atitinkamų vektorių koordinačių :
, o tai reiškia, kad šie vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Paprastai šios parinkties recenzentai neatmeta, tačiau problema iškyla tais atvejais, kai kai kurios koordinatės yra lygios nuliui. kaip tai: . Arba taip: . Arba taip: . Kaip čia išnaudoti proporcijas? (Iš tiesų, jūs negalite padalyti iš nulio). Būtent dėl ​​šios priežasties supaprastintą sprendimą pavadinau „foppish“.

Atsakymas: a) , b) forma.

Mažas kūrybinis pavyzdys jūsų sprendimui:

2 pavyzdys

Kokioje parametro reikšmėje yra vektoriai ar jie bus kolineariniai?

Mėginio tirpale parametras randamas per proporciją.

Yra elegantiškas algebrinis vektorių kolineariškumo tikrinimo būdas. Susisteminkime savo žinias ir pridėkite jas kaip penktą tašką:

Dviejų plokštumos vektorių atveju šie teiginiai yra lygiaverčiai:

2) vektoriai sudaro pagrindą;
3) vektoriai nėra kolineariniai;

+ 5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, yra nulis.

Atitinkamai, sekantys priešingi teiginiai yra lygiaverčiai:
1) vektoriai yra tiesiškai priklausomi;
2) vektoriai nesudaro pagrindo;
3) vektoriai yra kolineariniai;
4) vektoriai gali būti tiesiškai išreikšti vienas per kitą;
+ 5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, yra lygus nuliui.

Labai, labai tikiuosi, kad jau supratote visus terminus ir teiginius, su kuriais susidūrėte.

Pažvelkime atidžiau į naują, penktąjį tašką: du plokštumos vektoriai yra kolineariniai tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš nurodytų vektorių koordinačių, yra lygus nuliui:. Norėdami pritaikyti šią funkciją, žinoma, turite mokėti rasti determinantų.

Nuspręskime 1 pavyzdys antruoju būdu:

a) Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių :
, o tai reiškia, kad šie vektoriai yra kolineariniai.

b) Du plokštumos vektoriai sudaro pagrindą, jei jie nėra kolineariniai (tiesiškai nepriklausomi). Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių :
, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Atsakymas: a) , b) forma.

Tai atrodo daug kompaktiškiau ir gražiau nei sprendimas su proporcijomis.

Nagrinėjamos medžiagos pagalba galima nustatyti ne tik vektorių kolineariškumą, bet ir įrodyti atkarpų bei tiesių lygiagretumą. Panagrinėkime keletą problemų, susijusių su konkrečiomis geometrinėmis formomis.

3 pavyzdys

Pateiktos keturkampio viršūnės. Įrodykite, kad keturkampis yra lygiagretainis.

Įrodymas: Problemoje nereikia kurti brėžinio, nes sprendimas bus grynai analitinis. Prisiminkime lygiagretainio apibrėžimą:
Lygiagretainis Vadinamas keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis.

Taigi, būtina įrodyti:
1) priešingų kraštinių lygiagretumas ir;
2) priešingų kraštinių lygiagretumas ir.

Mes įrodome:

1) Raskite vektorius:

2) Raskite vektorius:

Rezultatas yra tas pats vektorius („pagal mokyklą“ – lygūs vektoriai). Kolineariškumas yra gana akivaizdus, ​​tačiau geriau įforminti sprendimą aiškiai, susitarus. Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių:
, o tai reiškia, kad šie vektoriai yra kolineariniai ir .

Išvada: Priešingos keturkampio kraštinės yra lygiagrečios poromis, o tai reiškia, kad pagal apibrėžimą jis yra lygiagretainis. Q.E.D.

Daugiau gerų ir skirtingų figūrų:

4 pavyzdys

Pateiktos keturkampio viršūnės. Įrodykite, kad keturkampis yra trapecija.

Norint tiksliau suformuluoti įrodymą, žinoma, geriau gauti trapecijos apibrėžimą, tačiau pakanka tiesiog prisiminti, kaip ji atrodo.

Tai užduotis, kurią turite išspręsti patys. Visas sprendimas pamokos pabaigoje.

O dabar atėjo laikas lėtai judėti iš lėktuvo į kosmosą:

Kaip nustatyti erdvės vektorių kolineariškumą?

Taisyklė labai panaši. Kad du erdvės vektoriai būtų kolineriniai, būtina ir pakanka, kad jų atitinkamos koordinatės būtų proporcingos.

5 pavyzdys

Sužinokite, ar šie erdvės vektoriai yra kolineariniai:

A) ;
b)
V)

Sprendimas:
a) Patikrinkime, ar yra atitinkamų vektorių koordinačių proporcingumo koeficientas:

Sistema neturi sprendimo, o tai reiškia, kad vektoriai nėra kolineariniai.

„Supaprastintas“ įforminamas tikrinant proporciją. Šiuo atveju:
– atitinkamos koordinatės nėra proporcingos, vadinasi, vektoriai nėra kolinijiniai.

Atsakymas: vektoriai nėra kolineariniai.

b-c) Tai savarankiško sprendimo taškai. Išbandykite dviem būdais.

Yra metodas, skirtas erdvinių vektorių kolinearumui patikrinti naudojant trečiosios eilės determinantą. Šis metodas aprašytas straipsnyje Vektorinė vektorių sandauga.

Panašiai kaip ir plokštumos atveju, nagrinėjamais įrankiais galima tirti erdvinių atkarpų ir tiesių lygiagretumą.

Sveiki atvykę į antrą skyrių:

Vektorių tiesinė priklausomybė ir nepriklausomybė trimatėje erdvėje.
Erdvinis pagrindas ir afininė koordinačių sistema

Daugelis modelių, kuriuos ištyrėme plokštumoje, galios erdvėje. Bandžiau sumažinti teorijos pastabas, nes liūto dalis informacijos jau buvo sukramtyta. Tačiau rekomenduoju atidžiai perskaityti įžanginę dalį, nes atsiras naujų terminų ir sąvokų.

Dabar vietoj kompiuterio stalo plokštumos tyrinėjame trimatę erdvę. Pirmiausia sukurkime jo pagrindą. Kažkas dabar yra patalpoje, kažkas lauke, bet bet kuriuo atveju negalime išvengti trijų matmenų: pločio, ilgio ir aukščio. Todėl norint sukurti pagrindą, reikės trijų erdvinių vektorių. Vieno ar dviejų vektorių neužtenka, ketvirtas – nereikalingas.

Ir vėl šildome ant pirštų. Pakelkite ranką aukštyn ir paskleiskite ją įvairiomis kryptimis nykščiu, smiliumi ir viduriniu pirštu. Tai bus vektoriai, jie žiūri į skirtingas puses, yra skirtingo ilgio ir turi skirtingus kampus tarpusavyje. Sveikiname, trimatės erdvės pagrindas yra paruoštas! Beje, mokytojams to demonstruoti nereikia, kad ir kaip susuktum pirštus, bet nuo apibrėžimų nepabėgsi =)

Tada užduokime sau svarbų klausimą: ar bet kurie trys vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą? Trimis pirštais tvirtai prispauskite prie kompiuterio stalo viršaus. Kas atsitiko? Trys vektoriai yra vienoje plokštumoje, ir, grubiai tariant, praradome vieną iš matmenų – aukštį. Tokie vektoriai yra koplanarinis ir visiškai akivaizdu, kad trimatės erdvės pagrindas nėra sukurtas.

Reikėtų pažymėti, kad koplanariniai vektoriai neturi būti toje pačioje plokštumoje, jie gali būti lygiagrečiose plokštumose (tik nedarykite to pirštais, tai padarė tik Salvadoras Dali =)).

Apibrėžimas: vektoriai vadinami koplanarinis, jei yra plokštuma, kuriai jie lygiagretūs. Čia logiška pridurti, kad jei tokios plokštumos nėra, vektoriai nebus lygiagrečiai.

Trys koplanariniai vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi, tai yra, jie yra tiesiškai išreikšti vienas per kitą. Paprastumo dėlei dar kartą įsivaizduokime, kad jie guli toje pačioje plokštumoje. Pirma, vektoriai yra ne tik koplanarūs, jie taip pat gali būti kolineariniai, tada bet koks vektorius gali būti išreikštas bet kuriuo vektoriumi. Antruoju atveju, jei, pavyzdžiui, vektoriai nėra kolineariniai, tada trečiasis vektorius per juos išreiškiamas unikaliu būdu: (ir kodėl, nesunku atspėti iš ankstesniame skyriuje pateiktos medžiagos).

Ir atvirkščiai: trys nevienaplaniai vektoriai visada yra tiesiškai nepriklausomi, tai yra, jie jokiu būdu nėra išreikšti vienas per kitą. Ir, aišku, tik tokie vektoriai gali sudaryti trimatės erdvės pagrindą.

Apibrėžimas: Trimatės erdvės pagrindas vadinamas tiesiškai nepriklausomų (ne lygiaplokščių) vektorių trigubu, paimti tam tikra tvarka, ir bet koks erdvės vektorius vienintelis būdas yra išskaidomas per tam tikrą pagrindą, kur yra šio pagrindo vektoriaus koordinatės

Leiskite jums priminti, kad taip pat galime pasakyti, kad vektorius vaizduojamas formoje linijinis derinys baziniai vektoriai.

Koordinačių sistemos sąvoka įvedama lygiai taip pat, kaip ir plokštumos atveju, pakanka vieno taško ir bet kokių trijų tiesiškai nepriklausomų vektorių:

kilmės, Ir ne lygiagrečiai vektoriai, paimti tam tikra tvarka, rinkinys afininė trimatės erdvės koordinačių sistema :

Žinoma, koordinačių tinklelis yra „įstrižas“ ir nepatogus, tačiau, nepaisant to, sukonstruota koordinačių sistema leidžia mums būtinai nustatyti bet kurio vektoriaus koordinates ir bet kurio erdvės taško koordinates. Panašiai kaip plokštumoje, kai kurios formulės, kurias jau minėjau, neveiks erdvės afininėje koordinačių sistemoje.

Labiausiai pažįstamas ir patogiausias specialus afininės koordinačių sistemos atvejis, kaip visi spėja, yra stačiakampės erdvės koordinačių sistema:

Taškas erdvėje vadinamas kilmės, Ir ortonormalus nustatytas pagrindas Dekarto stačiakampės erdvės koordinačių sistema . Pažįstamas vaizdas:

Prieš pereidami prie praktinių užduočių, dar kartą susisteminkime informaciją:

Trims erdvės vektoriams šie teiginiai yra lygiaverčiai:
1) vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi;
2) vektoriai sudaro pagrindą;
3) vektoriai nėra vienodi;
4) vektoriai negali būti tiesiškai išreikšti vienas per kitą;
5) determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, skiriasi nuo nulio.

Manau, kad priešingi teiginiai yra suprantami.

Erdvės vektorių tiesinė priklausomybė/nepriklausomybė tradiciškai tikrinama naudojant determinantą (5 punktas). Likusios praktinės užduotys bus aiškiai algebrinio pobūdžio. Atėjo laikas pakabinti geometrijos lazdą ir valdyti linijinės algebros beisbolo lazdą:

Trys erdvės vektoriai yra plokštumos tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš nurodytų vektorių koordinačių, yra lygus nuliui: .

Noriu atkreipti jūsų dėmesį į nedidelį techninį niuansą: vektorių koordinates galima rašyti ne tik stulpeliais, bet ir eilutėmis (determinanto reikšmė nuo to nepasikeis – žr. determinantų savybes). Bet tai daug geriau stulpeliuose, nes tai naudingiau sprendžiant kai kurias praktines problemas.

Tiems skaitytojams, kurie determinantų skaičiavimo metodus šiek tiek pamiršo, o gal išvis menkai juos supranta, rekomenduoju vieną iš seniausių mano pamokų: Kaip apskaičiuoti determinantą?

6 pavyzdys

Patikrinkite, ar šie vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą:

Sprendimas: Tiesą sakant, visas sprendimas priklauso nuo determinanto apskaičiavimo.

a) Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektorių koordinačių (determinantas atskleidžiamas pirmoje eilutėje):

, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (ne koplanarūs) ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

Atsakymas: šie vektoriai sudaro pagrindą

b) Tai nepriklausomo sprendimo taškas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Taip pat yra kūrybinių užduočių:

7 pavyzdys

Esant kokiai parametro vertei vektoriai bus lygiagrečiai?

Sprendimas: Vektoriai yra vienodi tada ir tik tada, kai determinantas, sudarytas iš šių vektorių koordinačių, yra lygus nuliui:

Iš esmės jums reikia išspręsti lygtį su determinantu. Nusileidžiame ant nulių kaip aitvarai ant jerboų - geriausia atidaryti determinantą antroje eilutėje ir nedelsiant atsikratyti minusų:

Atliekame tolesnius supaprastinimus ir sumažiname dalyką iki paprasčiausios tiesinės lygties:

Atsakymas: at

Tai lengva patikrinti, kad tai padarytumėte, gautą vertę pakeisti pradiniu determinantu ir tuo įsitikinti , atidarykite jį dar kartą.

Pabaigoje pažvelkime į kitą tipinę problemą, kuri yra labiau algebrinio pobūdžio ir tradiciškai įtraukta į tiesinės algebros kursą. Tai taip įprasta, kad nusipelno savo temos:

Įrodykite, kad 3 vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą
ir šiame pagrinde raskite 4-ojo vektoriaus koordinates

8 pavyzdys

Pateikiami vektoriai. Parodykite, kad vektoriai sudaro pagrindą trimatėje erdvėje ir suraskite vektoriaus koordinates šiame pagrinde.

Sprendimas: Pirma, panagrinėkime sąlygą. Pagal sąlygą pateikiami keturi vektoriai ir, kaip matote, jie jau turi koordinates tam tikru pagrindu. Kas yra šis pagrindas, mums neįdomu. Įdomu tai: trys vektoriai gali sudaryti naują pagrindą. Ir pirmasis etapas visiškai sutampa su 6 pavyzdžio sprendimu, reikia patikrinti, ar vektoriai yra tikrai tiesiškai nepriklausomi:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš vektoriaus koordinačių:

, o tai reiškia, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

! Svarbu : vektorinės koordinatės Būtinai užsirašyti į kolonas determinantas, o ne eilutėse. Priešingu atveju kils painiavos tolesniame sprendimo algoritme.

Erdvės pagrindas jie vadina tokią vektorių sistemą, kurioje visi kiti erdvėje esantys vektoriai gali būti pavaizduoti kaip tiesinis vektorių, įtrauktų į bazę, derinys.
Praktiškai visa tai įgyvendinama gana paprastai. Pagrindas, kaip taisyklė, tikrinamas plokštumoje arba erdvėje, ir tam reikia rasti antros, trečios eilės matricos, sudarytos iš vektorių koordinačių, determinantą. Žemiau yra schematiškai parašyta sąlygos, kuriomis vektoriai sudaro pagrindą

Į Išplėskite vektorių b į bazinius vektorius
e,e...,e[n] reikia rasti koeficientus x, ..., x[n], kuriems vektorių e,e...,e[n] tiesinė kombinacija yra lygi vektorius b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Norėdami tai padaryti, vektorinę lygtį reikia konvertuoti į tiesinių lygčių sistemą ir rasti sprendinius. Tai taip pat gana paprasta įgyvendinti.
Iškviečiami rasti koeficientai x, ..., x[n] vektoriaus b koordinates baze e, e..., e[n].
Pereikime prie praktinės temos pusės.

Vektoriaus skaidymas į bazinius vektorius

1 užduotis. Patikrinkite, ar vektoriai a1, a2 sudaro pagrindą plokštumoje

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Sprendimas: Iš vektorių koordinačių sudarome determinantą ir jį apskaičiuojame

Determinantas nėra nulis, vadinasi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, o tai reiškia, kad jie sudaro pagrindą.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Sprendimas: apskaičiuojame determinantą, sudarytą iš vektorių

Determinantas lygus 13 (nelygus nuliui) – iš to išplaukia, kad vektoriai a1, a2 yra pagrindas plokštumoje.

---=================---

Pažvelkime į tipinius pavyzdžius iš MAUP programos disciplinoje „Aukštoji matematika“.

2 užduotis. Parodykite, kad vektoriai a1, a2, a3 sudaro trimatės vektorinės erdvės pagrindą, ir pagal šį pagrindą išplėskite vektorių b (sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemą naudokite Cramerio metodą).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (–3; 1; 2).
Sprendimas: Pirmiausia apsvarstykite vektorių a1, a2, a3 sistemą ir patikrinkite matricos A determinantą

pastatytas ant nulinių vektorių. Matricoje yra vienas nulinis elementas, todėl determinantą tikslingiau skaičiuoti kaip tvarkaraštį pirmame stulpelyje arba trečioje eilutėje.

Atlikę skaičiavimus nustatėme, kad determinantas skiriasi nuo nulio vektoriai a1, a2, a3 yra tiesiškai nepriklausomi.
Pagal apibrėžimą vektoriai sudaro R3 pagrindą. Remdamiesi užrašykime vektoriaus b grafiką

Vektoriai yra lygūs, kai jų atitinkamos koordinatės yra lygios.
Todėl iš vektorinės lygties gauname tiesinių lygčių sistemą

Išspręskime SLAE Cramerio metodas. Norėdami tai padaryti, rašome lygčių sistemą formoje

Pagrindinis SLAE determinantas visada yra lygus determinantui, sudarytam iš bazinių vektorių

Todėl praktikoje jis neskaičiuojamas du kartus. Norėdami rasti pagalbinius determinantus, vietoje kiekvieno pagrindinio determinanto stulpelio įdedame laisvųjų terminų stulpelį. Determinantai apskaičiuojami naudojant trikampio taisyklę



Rastus determinantus pakeiskime Cramerio formule



Taigi vektoriaus b išplėtimas pagal pagrindą yra b=-4a1+3a2-a3. Vektoriaus b koordinatės pagrindu a1, a2, a3 bus (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Sprendimas: Patikriname vektorių bazę – iš vektorių koordinačių sudarome determinantą ir jį apskaičiuojame

Todėl determinantas nėra lygus nuliui vektoriai sudaro pagrindą erdvėje. Belieka per šį pagrindą rasti vektoriaus b grafiką. Norėdami tai padaryti, parašome vektorinę lygtį

ir transformuoti į tiesinių lygčių sistemą

Rašome matricos lygtį

Toliau Cramerio formulėms randame pagalbinius determinantus



Taikome Cramerio formules



Taigi duotas vektorius b turi grafiką per du bazinius vektorius b=-2a1+5a3, o jo koordinatės bazėje lygios b(-2,0, 5).