Problemos sprendimas paprastai yra susijęs su tam tikro kiekio vertės nustatymu loginiu samprotavimu ir skaičiavimais. Pavyzdžiui, suraskite greitį, laiką, atstumą, objekto masę arba kažko kiekį.
Šią problemą galima išspręsti naudojant lygtį. Norėdami tai padaryti, norima reikšmė pažymima per kintamąjį, tada sukuriama lygtis ir išsprendžiama naudojant loginį samprotavimą. Išsprendę lygtį, jie patikrina, ar lygties sprendimas tenkina uždavinio sąlygas.
Pamokos turinysRašyti išraiškas, kuriose yra nežinoma
Išsprendus problemą, parengiama šios problemos lygtis. Pradiniame problemų tyrimo etape patartina išmokti sudaryti raidžių posakius, apibūdinančius tam tikrą gyvenimo situaciją. Šis etapas nėra sunkus ir gali būti tiriamas pačios problemos sprendimo procese.
Panagrinėkime keletą situacijų, kurias galima parašyti naudojant matematinę išraišką.
1 problema. Tėvo amžius x metų. Mama dvejais metais jaunesnė. Sūnus 3 kartus jaunesnis už tėvą. Užrašykite kiekvieno amžių naudodami posakius.
Sprendimas:
2 problema. Tėvo amžius x metų, mama 2 metais jaunesnė už tėvą. Sūnus 3 kartus jaunesnis už tėvą, dukra 3 kartus jaunesnė už mamą. Užrašykite kiekvieno amžių naudodami posakius.
Sprendimas:
3 problema. Tėvo amžius x metų, mama 3 metais jaunesnė už tėvą. Sūnus 3 kartus jaunesnis už tėvą, dukra 3 kartus jaunesnė už mamą. Kiek metų yra kiekvienam asmeniui, jei bendras tėvo, motinos, sūnaus ir dukters amžius yra 92 metai?
Sprendimas:
Šioje užduotyje, be posakių rašymo, būtina apskaičiuoti kiekvieno šeimos nario amžių.
Pirmiausia posakiais užrašykite kiekvieno šeimos nario amžių. Pagal kintamąjį x Paimkime tėvo amžių, o tada naudodami šį kintamąjį sudarysime likusias išraiškas:
Dabar nustatykime kiekvieno šeimos nario amžių. Norėdami tai padaryti, turime sukurti ir išspręsti lygtį. Mes jau turime paruošę visus lygties komponentus. Belieka juos sujungti.
Bendras 92 metų amžius buvo gautas pridedant tėvo, motinos, sūnaus ir dukters amžių:
Kiekvienam amžiui mes sudarėme matematinę išraišką. Šios išraiškos bus mūsų lygties komponentai. Surinkime savo lygtį pagal šią diagramą ir aukščiau pateiktą lentelę. Tai yra, žodžius tėtis, mama, sūnus, dukra pakeičiame juos atitinkančiu posakiu lentelėje:
Išraiška, nurodanti motinos amžių x - 3, aiškumo dėlei jis įrašytas skliausteliuose.
Dabar išspręskime gautą lygtį. Jei įmanoma, pirmiausia galite išplėsti skliaustus:
Norėdami išlaisvinti lygtį iš trupmenų, padauginkite abi puses iš 3
Išspręskime gautą lygtį naudodami žinomas tapatybės transformacijas:
Mes radome kintamojo reikšmę x. Šis kintamasis buvo atsakingas už tėvo amžių. Tai reiškia, kad tėvo amžius yra 36 metai.
Žinodami tėvo amžių, galite apskaičiuoti likusių šeimos narių amžių. Norėdami tai padaryti, turite pakeisti kintamojo reikšmę xį tas išraiškas, kurios yra atsakingos už konkretaus šeimos nario amžių.
Problema sakė, kad mama yra 3 metais jaunesnė už tėvą. Mes pažymėjome jos amžių naudodami posakį x−3. Kintamoji vertė x dabar yra žinomas, o norint apskaičiuoti motinos amžių, reikia išraiškoje x-3 vietoj x pakeiskite rastą reikšmę 36
x − 3 = 36 − 3 = mamai 33 metai.
Likusių šeimos narių amžius nustatomas panašiai:
Apžiūra:
4 problema. Obuolių kilogramas kainuoja x rublių Užsirašykite išraišką, kuri apskaičiuoja, kiek kilogramų obuolių galima nusipirkti už 300 rublių.
Sprendimas
Jei obuolių kilogramas kainuoja x rublių, tada už 300 rublių galima nusipirkti kilogramą obuolių.
Pavyzdys. Kilogramas obuolių kainuoja 50 rublių. Tada už 300 rublių galite nusipirkti, tai yra, 6 kilogramus obuolių.
5 problema. Įjungta x rublių nupirko 5 kg obuolių. Užrašykite išraišką, kuri apskaičiuoja, kiek rublių kainuoja vienas kilogramas obuolių.
Sprendimas
Jeigu būtų sumokėta 5 kg obuolių x rublių, tada vienas kilogramas kainuos rublius
Pavyzdys. 5 kg obuolių nupirkta už 300 rublių. Tada vienas kilogramas obuolių kainuos 60 rublių.
6 problema. Tomas, Jonas ir Leo per pertrauką nuėjo į kavinę ir nusipirko sumuštinį bei puodelį kavos. Sumuštinis to vertas x rublių, o kavos puodelis – 15 rublių. Nustatykite sumuštinio kainą, jei žinote, kad už viską buvo sumokėta 120 rublių?
Sprendimas
Žinoma, ši problema yra tokia paprasta, kaip trys centai, ir ją galima išspręsti netaikant lygties. Norėdami tai padaryti, iš 120 rublių turite atimti trijų kavos puodelių kainą (15 × 3) ir padalyti rezultatą iš 3
Tačiau mūsų tikslas yra sukurti problemos lygtį ir išspręsti šią lygtį. Taigi, sumuštinio kaina x rublių Nupirkti tik trys iš jų. Tai reiškia, kad padidinus kainą tris kartus, gauname išraišką, nusakanti, kiek rublių buvo sumokėta už tris sumuštinius
3x – trijų sumuštinių kaina
O trijų puodelių kavos kainą galima parašyti 15 × 3. 15 yra vieno puodelio kavos kaina, o 3 yra daugiklis (Tomas, Jonas ir Leo), padidinant šią kainą tris kartus.
Pagal problemos sąlygas už viską buvo sumokėta 120 rublių. Jau turime apytikslę schemą, ką reikia padaryti:
Jau turime posakius, apibūdinančius trijų sumuštinių ir trijų puodelių kavos kainą. Tai yra 3 išraiškos x ir 15 × 3. Naudodami diagramą sukursime lygtį ir ją išspręsime:
Taigi, vieno sumuštinio kaina yra 25 rubliai.
Uždavinys gali būti teisingai išspręstas tik tada, kai jos lygtis yra teisingai sudaryta. Skirtingai nuo įprastų lygčių, su kuriomis mes mokomės rasti šaknis, lygtys problemoms spręsti turi savo specifinį pritaikymą. Kiekvienas tokios lygties komponentas gali būti apibūdintas žodine forma. Sudarant lygtį būtina suprasti, kodėl į jos sudėtį įtraukiame tą ar kitą komponentą ir kodėl jis reikalingas.
Taip pat reikia atsiminti, kad lygtis yra lygybė, kurią išsprendus kairioji pusė turės būti lygi dešiniajai. Sudaryta lygtis neturėtų prieštarauti šiai idėjai.
Įsivaizduokime, kad lygtis yra skalė su dviem dubenimis ir ekranu, rodančiu skalės būseną.
Šiuo metu ekrane rodomas lygybės ženklas. Aišku, kodėl kairysis dubuo lygus dešiniajam – ant dubenėlių nieko nėra. Mes užrašome svarstyklių būklę ir nieko nebuvimą ant dubenėlių, naudodami šią lygybę:
0 = 0
Padėkime arbūzą kairėje skalės pusėje:
Kairysis dubenėlis nusveria dešinįjį, o ekrane skambėjo pavojaus signalas, rodydamas nelygybės ženklą (≠). Šis ženklas rodo, kad kairysis dubuo nėra lygus dešiniajam.
Dabar pabandykime išspręsti problemą. Tarkime, kad norite sužinoti, kiek sveria arbūzas, kuris guli ant kairiojo dubens. Bet kaip tu žinai? Juk mūsų svarstyklės skirtos tik patikrinti, ar kairioji keptuvė lygi dešiniajai.
Į pagalbą ateina lygtys. Prisiminkite, kad lygtis pagal apibrėžimą yra lygybė, kuriame yra kintamasis, kurio reikšmę norite rasti. Šiuo atveju šios lygties vaidmenį atlieka svarstyklės, o arbūzo masė yra kintamasis, kurio vertę reikia rasti. Mūsų tikslas yra padaryti šią lygtį teisingą. Suprask, išlygink svarstykles, kad galėtum apskaičiuoti arbūzo masę.
Norėdami išlyginti svarstykles, ant dešinės keptuvės galite padėti sunkų daiktą. Pavyzdžiui, įdėkime ten 7 kg svorį.
Dabar, priešingai, dešinysis dubuo nusveria kairįjį. Ekrane vis tiek matyti, kad dubenys nėra lygūs.
Pabandykime ant kairiojo dubens uždėti 4 kg svorį
Dabar svarstyklės išsilygino. Paveikslėlyje parodyta, kad kairysis dubuo yra lygiai su dešiniuoju. O ekrane rodomas lygybės ženklas. Šis ženklas rodo, kad kairysis dubuo yra lygus dešiniajam.
Taigi mes gavome lygtį – lygybę, kurioje yra nežinomasis. Kairysis dubuo yra kairioji lygties pusė, kurią sudaro 4 komponentai ir kintamasis x(arbūzo masė), o dešinysis dubuo yra dešinioji lygties pusė, kurią sudaro 7 komponentas.
Na, nesunku atspėti, kad lygties šaknis yra 4 + x= 7 yra lygus 3. Tai reiškia, kad arbūzo masė yra 3 kg.
Panaši situacija ir su kitomis užduotimis. Norint rasti nežinomą reikšmę, kairėje arba dešinėje lygties pusėje pridedami įvairūs elementai: terminai, veiksniai, išraiškos. Mokyklos problemose šie elementai jau duoti. Belieka teisingai juos susisteminti ir sukonstruoti lygtį. Šiame pavyzdyje mes užsiėmėme atranka, bandėme skirtingų masių svorius, kad galėtume apskaičiuoti arbūzo masę.
Natūralu, kad užduotyje pateikti duomenys pirmiausia turi būti suformuoti taip, kad juos būtų galima įtraukti į lygtį. Todėl, kaip sakoma „Nori tau tai ar ne, tu turi pagalvoti“.
Panagrinėkime toliau pateiktą problemą. Tėvo amžius lygus sūnaus ir dukters amžiui kartu. Sūnus dvigubai vyresnis už dukrą ir dvidešimt metų jaunesnis už tėvą. Kiek visiems metų?
Dukros amžių gali nurodyti x. Jei sūnus yra dvigubai vyresnis už dukrą, jo amžius bus nurodytas kaip 2 metai x. Problemos pareiškime teigiama, kad kartu dukters ir sūnaus amžius yra lygus tėvo amžiui. Tai reiškia, kad tėvo amžius bus nurodytas pagal sumą x + 2x
Panašūs terminai gali būti pateikti išraiškoje. Tada tėvo amžius bus pažymėtas kaip 3 x
Dabar sukurkime lygtį. Turime pasiekti lygybę, kurioje galėtume rasti nežinomybę x. Pasinaudokime svarstyklėmis. Kairėje pusėje nurodome tėvo amžių (3 x), o dešinėje – sūnaus amžius (2 x)
Aišku, kodėl kairysis dubuo nusvėrė dešinįjį ir kodėl ekrane rodomas (≠) ženklas. Logiška, kad tėvo amžius yra didesnis nei sūnaus.
Tačiau turime subalansuoti svarstykles, kad galėtume apskaičiuoti nežinomybę x. Norėdami tai padaryti, turite pridėti tam tikrą skaičių į tinkamą dubenį. Koks tikslus skaičius nurodytas užduotyje. Sąlyga nurodė, kad sūnus yra 20 metų jaunesnis už tėvą. Tai reiškia, kad 20 metų yra pats skaičius, kurį reikia padėti ant svarstyklių.
Svarstyklės išsilygins, jei šiuos 20 metų pridėsime prie dešinės skalės pusės. Kitaip tariant, užauginsime sūnų iki tėvo amžiaus
Dabar svarstyklės išsilygino. Rezultatas yra lygtis 
, kurį galima lengvai išspręsti:
x Nurodėme dukros amžių. Dabar mes nustatėme šio kintamojo reikšmę. Dukrai 20 metų.
Na, pagaliau paskaičiuokime tėvo amžių. Problema sakė, kad ji yra lygi sūnaus ir dukters amžių sumai, tai yra (20 + 40) metų.
Grįžkime į problemos vidurį ir atkreipkime dėmesį į vieną tašką. Kai ant svarstyklių sudėjome tėvo ir sūnaus amžių, kairioji keptuvė nusveria dešinę
Tačiau šią problemą išsprendėme pridėdami dar 20 metų prie tinkamo dubens. Dėl to svarstyklės išsilygino ir gavome lygybę
Bet buvo galima šiuos 20 metų ne pridėti prie dešiniojo dubenėlio, o atimti iš kairiojo. Lygybę gautume ir šiuo atveju
Šį kartą gauname lygtį 
. Lygties šaknis vis dar yra 20
Tai yra lygtys Ir yra lygiaverčiai. Ir mes prisimename, kad lygiavertės lygtys turi tas pačias šaknis. Jei atidžiai pažvelgsite į šias dvi lygtis, pamatysite, kad antroji lygtis gaunama perkeliant skaičių 20 iš dešinės pusės į kairę pusę su priešingu ženklu. Ir šis veiksmas, kaip nurodyta ankstesnėje pamokoje, nekeičia lygties šaknų.
Reikia atkreipti dėmesį ir į tai, kad problemos sprendimo pradžioje kiekvieno šeimos nario amžių būtų galima nurodyti kitais posakiais.
Tarkime, sūnaus amžius žymimas x o kadangi jis yra du kartus vyresnis už savo dukrą, tada dukters amžių pažymėkite (supraskite, kad ji būtų dvigubai jaunesnė už sūnų). O tėvo amžius, kadangi tai yra sūnaus ir dukters amžių suma, žymimas posakiu . Ir galiausiai, norint sudaryti logiškai teisingą lygtį, prie sūnaus amžiaus reikia pridėti skaičių 20, nes tėvas yra dvidešimt metų vyresnis. Rezultatas yra visiškai kitokia lygtis. 
. Išspręskime šią lygtį
Kaip matote, problemos atsakymai nepasikeitė. Mano sūnui dar 40 metų. Dukra dar sena, o tėčiui 40 + 20 metų.
Kitaip tariant, problemą galima išspręsti įvairiais būdais. Todėl neturėtumėte nusiminti, kad negalite išspręsti šios ar kitos problemos. Tačiau reikia nepamiršti, kad yra paprasčiausi problemos sprendimo būdai. Į miesto centrą galite patekti įvairiais maršrutais, tačiau visada yra patogiausias, greičiausias ir saugiausias maršrutas.
Problemų sprendimo pavyzdžiai
1 užduotis. Dviejose pakuotėse yra tik 30 sąsiuvinių. Jei iš pirmos pakuotės į antrą būtų perkeltos 2 sąsiuviniai, tai pirmoje pakuotėje būtų dvigubai daugiau sąsiuvinių nei antroje. Kiek sąsiuvinių buvo kiekvienoje pakuotėje?
Sprendimas
Pažymėkime pagal x sąsiuvinių, kurie buvo pirmoje pakuotėje, skaičius. Jei iš viso būtų 30 sąsiuvinių, ir kintamasis x yra sąsiuvinių skaičius iš pirmojo paketo, tada sąsiuvinių skaičius antroje pakuotėje bus pažymėtas išraiška 30 − x. Tai yra, iš bendro sąsiuvinių skaičiaus atimame sąsiuvinių skaičių iš pirmojo paketo ir taip gauname bloknotų skaičių iš antrojo paketo.
ir pridėkite šias dvi sąsiuvinius į antrą pakuotę
Pabandykime iš esamų išraiškų sukurti lygtį. Padėkite abi sąsiuvinių rietuves ant svarstyklių
Kairysis dubuo yra sunkesnis nei dešinysis. Taip yra todėl, kad problemos teiginyje rašoma, kad iš pirmos pakuotės paėmus du sąsiuvinius ir įdėjus juos į antrą, sąsiuvinių skaičius pirmoje pakuotėje tapo dvigubai didesnis nei antroje.
Norėdami išlyginti skales ir gauti lygtį, padvigubinkite dešinę pusę. Norėdami tai padaryti, padauginkite iš 2
Rezultatas yra lygtis. Išspręskime šią lygtį:
Pirmąją pakuotę pažymėjome per kintamąjį x. Dabar mes atradome jo prasmę. Kintamasis x yra lygus 22. Tai reiškia, kad pirmoje pakuotėje buvo 22 sąsiuviniai.
O antrąjį paketą pažymėjome per išraišką 30 − x o kadangi reikšmė yra kintamasis x Dabar žinome, kad galime apskaičiuoti užrašų knygelių skaičių antroje pakuotėje. Jis lygus 30–22, tai yra, 8 vienetai.
2 problema. Du žmonės skuto bulves. Vienas nuskustas dvi bulves per minutę, o antrasis – tris bulves. Kartu jie išvalė 400 vienetų. Kiek laiko dirbo kiekvienas žmogus, jei antrasis dirbo 25 minutėmis ilgiau nei pirmasis?
Sprendimas
Pažymėkime pagal x pirmojo asmens darbo laikas. Kadangi antrasis asmuo dirbo 25 minutėmis daugiau nei pirmasis, jo laikas bus žymimas išraiška
Pirmas darbininkas per minutę skuto 2 bulves, o nuo tada, kai dirbo x minučių, tada iš viso jis įveikė 2 x bulves.
Antras vyras per minutę skusdavo po tris bulves, o kadangi dirbdavo minutes, tai iš viso nuskustas bulves.
Kartu jie nulupo 400 bulvių
Naudodami turimus komponentus sudarysime ir išspręsime lygtį. Kairėje lygties pusėje bus kiekvieno žmogaus nuskustos bulvės, o dešinėje – jų suma:
Šios problemos sprendimo pradžioje per kintamąjį x nurodėme pirmojo asmens darbo laiką. Dabar mes nustatėme šio kintamojo reikšmę. Pirmasis asmuo dirbo 65 minutes.
O antras žmogus dirbo minutes, ir nuo kintamojo reikšmės x Dabar tai žinoma, tada galime apskaičiuoti antrojo asmens darbo laiką - jis lygus 65 + 25, tai yra 90 minučių.
Problema iš Andrejaus Petrovičiaus Kiselevo „Algebros vadovėlio“.. Iš arbatos rūšių gaminamas 32 kg mišinys. Pirmos klasės kilogramas kainuoja 8 rublius, o antros – 6 rublius. 50 kapeikų Kiek kilogramų paimama abiejų veislių, jei kilogramas mišinio kainuoja (be pelno ar nuostolių) 7 rublius. 10 kapeikų?
Sprendimas
Pažymėkime pagal x daug pirmos klasės arbatos. Tada antros rūšies arbatos masė bus žymima išraiška 32 − x
Kilogramas pirmos rūšies arbatos kainuoja 8 rublius. Jei šiuos aštuonis rublius padauginsime iš pirmos klasės arbatos kilogramų skaičiaus, galite sužinoti, kiek rublių ji kainavo x kg pirmos rūšies arbatos.
Antros rūšies arbatos kilogramas kainuoja 6 rublius. 50 kapeikų Jei šie 6 rubliai. 50 kapeikų padauginkite iš 32 − x, tada galite sužinoti, kiek kainuoja 32 rublių − x kg antros rūšies arbatos.
Sąlygose rašoma, kad kilogramas mišinio kainuoja 7 rublius. 10 kapeikų Iš viso buvo paruošta 32 kg mišinio. Padauginkime 7 rublius. 10 kapeikų ties 32 galime sužinoti kiek kainuoja 32 kg mišinio.
Išraiškos, iš kurių sudarysime lygtį, dabar yra tokios formos:
Pabandykime iš esamų išraiškų sukurti lygtį. Kairėje svarstyklių keptuvėje padėkime pirmos ir antros rūšies arbatos mišinių kainą, o dešinėje – 32 kg mišinio kainą, tai yra bendrą mišinio, kuriame yra abiejų rūšių arbata:
Šios problemos sprendimo pradžioje per kintamąjį x Mes nustatėme pirmos rūšies arbatos masę. Dabar mes nustatėme šio kintamojo reikšmę. Kintamasis x lygus 12,8. Tai reiškia, kad mišiniui paruošti buvo paimta 12,8 kg pirmos rūšies arbatos.
Ir per 32 išraišką − x mes nurodėme antros rūšies arbatos masę ir kadangi vertė yra kintama x Dabar žinoma, galime apskaičiuoti antros rūšies arbatos masę. Jis lygus 32 − 12,8, tai yra 19,2. Tai reiškia, kad mišiniui paruošti buvo paimta 19,2 kg antros rūšies arbatos.
3 problema. Dviratininkas tam tikrą atstumą nuvažiavo 8 km/h greičiu. Jis turėjo grįžti kitu keliu, kuris buvo 3 km ilgesnis nei pirmasis, ir, nors grįždamas 9 km/h greičiu, užtruko daugiau minučių. Kiek ilgi buvo keliai?
Sprendimas
Kai kurios problemos gali apimti temas, kurių asmuo galbūt nestudijavo. Ši užduotis priklauso tokiai užduočių grupei. Ji apima atstumo, greičio ir laiko sąvokas. Atitinkamai, norėdami išspręsti tokią problemą, turite turėti idėją apie dalykus, kurie yra aptariami sprendžiant problemą. Mūsų atveju turime žinoti, kas yra atstumas, greitis ir laikas.
Problema susijusi su dviejų kelių atstumų paieška. Turime sukurti lygtį, kuri leistų apskaičiuoti šiuos atstumus.
Prisiminkime, kaip atstumas, greitis ir laikas yra tarpusavyje susiję. Kiekvieną iš šių dydžių galima apibūdinti naudojant pažodinę lygtį:
Mes naudosime dešinę vienos iš šių lygčių pusę, kad sukurtume savo lygtį. Norint išsiaiškinti, kuris iš jų, reikia grįžti prie problemos teksto ir ieškoti, ką užgauti
Galite sugauti momentą, kai dviratininkas grįždamas užtruko daugiau minučių. Ši užuomina mums sako, kad galime naudoti lygtį, būtent jos dešinę pusę. Tai leis mums sukurti lygtį, kurioje yra kintamasis S .
Taigi, pažymėkime pirmojo kelio ilgį S. Šiuo maršrutu dviratininkas važiavo 8 km/h greičiu. Laikas, per kurį jis įveikė šį kelią, bus pažymėtas išraiška, nes laikas yra nuvažiuoto atstumo ir greičio santykis
Grįžimo kelias dviratininkui buvo 3 km ilgesnis. Todėl jo atstumas bus žymimas išraiška S+ 3. Šiuo keliu dviratininkas važiavo 9 km/h greičiu. Tai reiškia, kad laikas, per kurį jis įveikė šį kelią, bus pažymėtas išraiška .
Dabar sukurkime lygtį iš esamų išraiškų
Dešinysis dubuo yra sunkesnis nei kairysis. Taip yra todėl, kad problema sako, kad dviratininkas daugiau laiko praleido grįždamas.
Norėdami subalansuoti svarstykles, pridėkite tas pačias minutes kairėje pusėje. Bet pirmiausia paverskime minutes į valandas, nes užduotyje greitis matuojamas kilometrais per valandą, o ne metrais per minutę.
Norėdami konvertuoti minutes į valandas, turite jas padalyti iš 60 
Minutės sudaro valandas. Pridėkite šias valandas kairėje lygties pusėje:
Gauta lygtis yra 
. Išspręskime šią lygtį. Norint atsikratyti trupmenų, abi dalies puses galima padauginti iš 72. Toliau, naudojant gerai žinomas tapatybės transformacijas, randame kintamojo reikšmę S
Per kintamąjį S pažymėjome pirmojo kelio atstumą. Dabar mes nustatėme šio kintamojo reikšmę. Kintamasis S yra lygus 15. Tai reiškia, kad pirmojo kelio atstumas yra 15 km.
Ir antrojo kelio atstumą pažymėjome per išraišką S+ 3 , o nuo kintamojo reikšmės S Dabar žinoma, galime apskaičiuoti atstumą iki antrojo kelio. Šis atstumas yra lygus 15 + 3 sumai, tai yra 18 km.
4 problema. Greitkeliu vienodu greičiu važiuoja du automobiliai. Jei pirmasis padidina greitį 10 km/h, o antrasis sumažina 10 km/h, tai pirmasis įveiks tą patį atstumą per 2 valandas, kaip ir antrasis per 3 valandas.
Sprendimas
Pažymėkime pagal v kiekvieno automobilio greitis. Toliau problemoje pateikiamos užuominos: pirmojo automobilio greitį padidinkite 10 km/h, o antrojo – 10 km/h. Pasinaudokime šiuo patarimu
Toliau teigiama, kad važiuojant tokiais greičiais (padidintu ir sumažintu 10 km/val.) pirmasis automobilis tą patį atstumą įveiks per 2 valandas, kaip ir antrasis per 3 valandas. Frazė "ta pati suma" galima suprasti kaip „Pirmo automobilio įveiktas atstumas bus lygus atstumas, kurį įveikė antras automobilis".
Atstumas, kaip prisimename, nustatomas pagal formulę. Mus domina dešinioji šios raidės lygties pusė – ji leis mums sukurti lygtį su kintamuoju v .
Taigi, greičiu v + 10 km/val pravažiuos pirmas automobilis 2(v+10) km, o antras praeis 3(v − 10) km. Esant šiai sąlygai, automobiliai nuvažiuos vienodus atstumus, todėl lygčiai gauti pakanka šias dvi išraiškas sujungti lygybės ženklu. Tada gauname lygtį. Išspręskime:
Problema nurodė, kad automobiliai judėjo vienodu greičiu. Šį greitį pažymėjome per kintamąjį v. Dabar mes nustatėme šio kintamojo reikšmę. Kintamasis v yra lygus 50. Tai reiškia, kad abiejų automobilių greitis buvo 50 km/val.
5 problema. Per 9 valandas upe laivas nuplaukia tokį patį atstumą kaip ir per 11 valandų prieš srovę. Raskite savo valties greitį, jei upės tėkmė yra 2 km/h.
Sprendimas
Pažymėkime pagal v paties laivo greitis. Upės tėkmės greitis 2 km/h. Palei upę laivo greitis bus v + 2 km/val, ir prieš srovę - (v − 2) km/val.
Problemos teiginyje rašoma, kad per 9 valandas palei upę motorlaivis įveikia tokį patį atstumą kaip ir per 11 valandų prieš srovę. Frazė "taip pat" galima suprasti kaip „atstumas, kurį motorlaivis įveikė upe per 9 valandas, lygus atstumas, kurį laivas įveikė prieš upės tėkmę per 11 valandų". Tai yra, atstumai bus vienodi.
Atstumas nustatomas pagal formulę. Naudokime dešinę šios raidės lygties pusę, kad sukurtume savo lygtį.
Taigi, po 9 valandų laivas praplauks upe 9(v + 2) km, o per 11 valandų prieš srovę - 11(v − 2) km. Kadangi abi išraiškos apibūdina tą patį atstumą, prilyginkime pirmąją išraišką antrajai. Dėl to gauname lygtį. Išspręskime:
Tai reiškia, kad paties laivo greitis yra 20 km/val.
Sprendžiant problemas naudingas įprotis – iš anksto nustatyti, kur ieškoma sprendimo.
Tarkime, kad problemai išspręsti reikėjo rasti laiką, per kurį pėsčiasis įveiks nurodytą kelią. Laiką pažymėjome per kintamąjį t, tada sudarėme lygtį, kurioje yra šis kintamasis, ir radome jo reikšmę.
Iš praktikos žinome, kad objekto judėjimo laikas gali užtrukti ir sveikąsias, ir trupmenines reikšmes, pavyzdžiui, 2 valandos, 1,5 valandos, 0,5 valandos. Tada galima sakyti, kad šios problemos sprendimo ieškoma racionaliųjų skaičių aibėje K, nes kiekviena iš reikšmių 2 h, 1,5 h, 0,5 h gali būti pavaizduota trupmena.
Todėl po to, kai nežinomas dydis yra paženklintas kintamuoju, naudinga nurodyti, kuriai aibei šis dydis priklauso. Mūsų pavyzdyje laikas t priklauso racionaliųjų skaičių aibei K
t ∈ K
Taip pat galite įvesti kintamojo apribojimą t, nurodant, kad jis gali turėti tik teigiamas reikšmes. Iš tiesų, jei objektas tam tikrą laiką praleido kelyje, tai šis laikas negali būti neigiamas. Todėl šalia išsireiškimo t∈ K nurodome, kad jo reikšmė turi būti didesnė už nulį:
t∈ R, t > 0
Jei išspręsime lygtį, gausime neigiamą kintamojo reikšmę t, tada galime daryti išvadą, kad problema buvo išspręsta neteisingai, nes šis sprendimas netenkins sąlygos t∈ K , t> 0 .
Kitas pavyzdys. Jei spręstume uždavinį, pagal kurį mums reikia rasti žmonių, kurie atliks tam tikrą darbą, skaičių, šį skaičių pažymėtume naudodami kintamąjį x. Tokioje užduotyje sprendimo būtų ieškoma natūraliųjų skaičių aibėje
x ∈ N
Iš tiesų, žmonių skaičius yra sveikasis skaičius, pavyzdžiui, 2 žmonės, 3 žmonės, 5 žmonės. Bet ne 1,5 (vienas visas žmogus ir pusė žmogaus) ar 2,3 (du sveiki žmonės ir dar trys dešimtosios žmogaus).
Čia galima būtų nurodyti, kad žmonių skaičius turi būti didesnis už nulį, bet skaičiai įeina į natūraliųjų skaičių aibę N patys yra teigiami ir didesni už nulį. Šioje aibėje nėra neigiamų skaičių arba skaičiaus 0. Todėl išraiškos x > 0 rašyti nereikia.
6 problema. Remontuoti mokyklą atvyko komanda, kurioje buvo 2,5 karto daugiau dažytojų nei stalių. Netrukus meistras į komandą įtraukė dar keturis dailininkus, o du stalius perkėlė į kitą aikštelę. Dėl to komandoje buvo 4 kartus daugiau dažytojų nei stalių. Kiek tapytojų ir kiek stalių iš pradžių buvo komandoje?
Sprendimas
Pažymėkime pagal x staliai, kurie iš pradžių atvyko remontuoti.
Dailidžių skaičius yra sveikasis skaičius, didesnis už nulį. Todėl atkreipiame dėmesį į tai x priklauso natūraliųjų skaičių aibei
x∈N
Dailininkų buvo 2,5 karto daugiau nei stalių. Todėl tapytojų skaičius bus žymimas kaip 2,5 karto.
O tapytojų skaičių padidinsime 4
Dabar stalių ir dažytojų skaičius bus nurodytas naudojant šias išraiškas:
Pabandykime sudaryti lygtį iš galimų išraiškų:
Tinkamas dubuo didesnis, nes į komandą įtraukus dar keturis dailininkus, o du stalius perkėlus į kitą aikštelę, dažytojų komandoje pasirodė 4 kartus daugiau nei stalių. Norėdami išlyginti svarstykles, kairiąją keptuvę turite padidinti 4 kartus:
Gavome lygtį. Išspręskime:
Per kintamąjį x buvo paskirtas pradinis stalių skaičius. Dabar mes nustatėme šio kintamojo reikšmę. Kintamasis x yra lygus 8. Tai reiškia, kad iš pradžių komandoje buvo 8 staliai.
O tapytojų skaičius buvo nurodytas per išraišką 2,5 x o kadangi kintamojo reikšmė x Dabar mes žinome, kad galime apskaičiuoti tapytojų skaičių - jis lygus 2,5 × 8, tai yra 20.
Grįžtame į užduoties pradžią ir įsitikiname, kad sąlyga yra įvykdyta x∈ N. Kintamasis x yra lygus 8, o natūraliųjų skaičių aibės elementai N tai visi skaičiai, prasidedantys 1, 2, 3 ir taip toliau iki begalybės. Tame pačiame rinkinyje yra numeris 8, kurį radome.
8 ∈N
Tą patį galima pasakyti ir apie tapytojų skaičių. Skaičius 20 priklauso natūraliųjų skaičių rinkiniui:
20 ∈N
Norint suprasti problemos esmę ir teisingai sudaryti lygtį, visai nebūtina naudoti svarstyklių su dubenimis modelio. Galite naudoti kitus modelius: segmentus, lenteles, diagramas. Galite sugalvoti savo modelį, kuris gerai apibūdintų problemos esmę.
9 problema. Iš skardinės išpilta 30% pieno. Dėl to jame liko 14 litrų. Kiek litrų pieno iš pradžių buvo skardinėje?
Sprendimas
Norima vertė yra pradinis litrų skaičius skardinėje. Nubrėžkime litrų skaičių kaip liniją ir pažymėkime šią eilutę kaip X
Teigiama, kad iš skardinės išpilta pieno 30 proc. Paveiksle paryškinkime maždaug 30 proc.
Procentas pagal apibrėžimą yra viena šimtoji kažko. Jei 30% pieno buvo išpilta, tai likę 70% liko skardinėje. Šie 70% sudaro 14 litrų, nurodytų problemoje. Pažymėkime paveikslėlyje likusius 70 proc.
Dabar galite sukurti lygtį. Prisiminkime, kaip rasti skaičiaus procentą. Norėdami tai padaryti, bendra kažko suma padalijama iš 100 ir gautas rezultatas padauginamas iš norimo procento. Atkreipiame dėmesį, kad 14 litrų, sudarančių 70%, galima gauti tokiu pačiu būdu: pradinis litrų skaičius X padalykite iš 100 ir gautą rezultatą padauginkite iš 70. Visa tai prilyginkite skaičiui 14
Arba gaukite paprastesnę lygtį: parašykite 70% kaip 0,70, tada padauginkite iš X ir prilyginkite šią išraišką 14
Tai reiškia, kad iš pradžių skardinėje buvo 20 litrų pieno.
9 problema. Paėmėme du aukso ir sidabro lydinius. Viename šių metalų kiekis yra santykis 1:9, o kitame 2:3. Kiek reikia paimti kiekvieno lydinio, kad būtų gauta 15 kg naujo lydinio, kuriame aukso ir sidabro santykis būtų 1 : 4?
Sprendimas
Pirmiausia pabandykime išsiaiškinti, kiek aukso ir sidabro bus 15 kg naujojo lydinio. Problemoje teigiama, kad šių metalų kiekis turi būti 1:4, tai yra, viena lydinio dalis turi būti aukso, o keturios – sidabro. Tada bendra lydinio dalių dalis bus 1 + 4 = 5, o vienos dalies masė bus 15: 5 = 3 kg.
Nustatykime, kiek aukso bus 15 kg lydinio. Norėdami tai padaryti, padauginkite 3 kg iš aukso dalių skaičiaus:
3 kg × 1 = 3 kg
Nustatykime, kiek sidabro bus 15 kg lydinio:
3 kg × 4 = 12 kg
Tai reiškia, kad 15 kg sveriančiame lydinyje bus 3 kg aukso ir 12 kg sidabro. Dabar grįžkime prie pradinių lydinių. Turite naudoti kiekvieną iš jų. Pažymėkime pagal x pirmojo lydinio masė, o antrojo lydinio masė gali būti žymima 15 − x
Išreikškime procentais visus uždavinyje pateiktus santykius ir užpildykime jais šią lentelę:
Pirmajame lydinyje aukso ir sidabro santykis yra 1:9, tada bendra dalis bus 1 + 9 = 10. Iš jų bus aukso 
, ir sidabro 
.
Perkelkime šiuos duomenis į lentelę. Pirmoje stulpelio eilutėje įvesime 10 proc "aukso procentas lydinyje", 90% taip pat įvesime pirmoje stulpelio eilutėje "sidabro procentas lydinyje", ir paskutiniame stulpelyje "lydinio masė" pridėkime kintamąjį x, nes taip nurodėme pirmojo lydinio masę:
Panašiai elgiamės ir su antruoju lydiniu. Jame aukso ir sidabro santykis yra 2:3. Tada bendra dalis bus 2 + 3 = 5. Iš jų bus aukso 
, ir sidabro 
.
Perkelkime šiuos duomenis į lentelę. Antroje stulpelio eilutėje įvesime 40%. "aukso procentas lydinyje", 60% taip pat bus įrašyta antroje stulpelio eilutėje "sidabro procentas lydinyje", ir paskutiniame stulpelyje "lydinio masė"įveskime išraišką 15 − x, nes taip mes nurodėme antrojo lydinio masę:
Užpildykime paskutinę eilutę. Gautame 15 kg sveriančiame lydinyje bus 3 kg aukso, o tai yra 
lydinys, o sidabras bus 
lydinio Paskutiniame stulpelyje užrašome gauto lydinio masę 15
Dabar galite naudoti šią lentelę lygtims kurti. Prisiminkime. Atskirai sudėjus abiejų lydinių auksą ir šią sumą prilyginus aukso masei gautame lydinyje, galime sužinoti, kokia vertė lygi x.
Pirmajame lydinyje buvo 0,10 aukso x, o antrajame lydinyje buvo 0,40(15 − x). Tada aukso masė gautame lydinyje bus aukso masių iš pirmojo ir antrojo lydinių suma, o ši masė yra 20% naujo lydinio. O 20% naujo lydinio yra 3 kg aukso, ką skaičiavome anksčiau. Dėl to gauname lygtį 0,10x+ 0.40(15 − x) = 3 . Išspręskime šią lygtį:
Iš pradžių per x mes nurodėme pirmojo lydinio masę. Dabar mes nustatėme šio kintamojo reikšmę. Kintamasis x yra lygus 10. O antrojo lydinio masę pažymėjome 15 − x, o kadangi kintamojo reikšmė x Dabar tai žinoma, tada galime apskaičiuoti antrojo lydinio masę, kuri yra lygi 15 − 10 = 5 kg.
Tai reiškia, kad norint gauti naują 15 kg sveriantį lydinį, kuriame aukso ir sidabro santykis būtų 1:4, reikia paimti 10 kg pirmojo ir 5 kg antrojo lydinio.
Lygtį galima sukurti naudojant antrąjį gautos lentelės stulpelį. Tada gautume lygtį 0,90x+ 0.60(15 − x) = 12. Šios lygties šaknis taip pat yra 10
10 problema. Yra dviejų sluoksnių rūda, kurioje vario kiekis yra 6% ir 11%. Kiek reikia paimti žemos kokybės rūdos, kad sumaišius su turtinga rūda gautųsi 20 tonų, kurių vario kiekis yra 8%?
Sprendimas
Pažymėkime pagal xžemos kokybės rūdos masė. Kadangi reikia gauti 20 tonų rūdos, bus paimta 20 - turtinga rūda x. Kadangi vario kiekis žemos kokybės rūdoje yra 6%, tada x tonų rūdos bus 0,06 x tonų vario. Turtingoje rūdoje vario kiekis yra 11%, o 20 - x tonų turtingos rūdos bus 0,11(20 − x) tonų vario.
Gautose 20 tonų rūdos turėtų būti 8% vario. Tai reiškia, kad 20 tonų vario rūdos bus 20 × 0,08 = 1,6 tonos.
Pridėkime išraiškas 0,06 x ir 0,11(20 − x) ir šią sumą prilyginti 1,6. Gauname lygtį 0,06x+ 0,11(20 − x) = 1,6
Išspręskime šią lygtį:
Tai reiškia, kad norint gauti 20 tonų rūdos, kurioje vario kiekis yra 8%, reikia paimti 12 tonų žemos kokybės rūdos. Turtingieji pasiims 20–12 = 8 tonas.
11 problema. Vidutinį greitį padidinęs nuo 250 iki 300 m/min, sportininkas distanciją pradėjo bėgti 1 minute greičiau. Koks atstumas?
Sprendimas
Kurso ilgį (arba atstumą) galima apibūdinti šia pažodine lygtimi:
Naudokime dešinę šios lygties pusę, kad sukurtume savo lygtį. Iš pradžių sportininkas distanciją bėgo 250 metrų per minutę greičiu. Esant tokiam greičiui, atstumo ilgis bus apibūdintas išraiška 250 t
Tada sportininkė padidino greitį iki 300 metrų per minutę. Tokiu greičiu atstumo ilgis bus aprašytas išraiška 300t
Atminkite, kad atstumo ilgis yra pastovi reikšmė. Nesvarbu, ar sportininkė padidins ar sumažins greitį, distancijos ilgis išliks nepakitęs.
Tai leidžia sulyginti išraišką 250 tį išraišką 300 t, nes abi išraiškos apibūdina to paties atstumo ilgį
250t = 300t
Tačiau problema sako, kad 300 metrų per minutę greičiu sportininkas pradėjo bėgti distanciją 1 minute greičiau. Kitaip tariant, esant 300 metrų per minutę greičiui, judėjimo laikas sumažės vienu. Todėl 250 lygtyje t= 300t dešinėje pusėje laikas turi būti sutrumpintas vienu:
250 metrų per minutę greičiu sportininkas distanciją įveikia per 6 minutes. Žinodami greitį ir laiką, galite nustatyti atstumo ilgį:
S= 250 × 6 = 1500 m
O 300 metrų per minutę greičiu sportininkas įveikia distanciją t− 1, tai yra per 5 minutes. Kaip minėta anksčiau, atstumo ilgis nesikeičia:
S= 300 × 5 = 1500 m
12 problema. Vairuotojas pasiveja 15 km priekyje esantį pėsčiąjį. Kiek valandų užtruks, kol motociklininkas pasivys pėsčiąjį, jei kas valandą pirmasis nuvažiuoja 10 km, o antrasis tik 4 km?
Sprendimas
Ši užduotis yra. Ją galima išspręsti nustačius uždarymo greitį ir iš šio greičio padalijus pradinį atstumą tarp motociklininko ir pėsčiojo.
Uždarymo greitis nustatomas atimant mažesnį greitį iš didesnio:
10 km/h − 4 km/h = 6 km/h (uždarymo greitis)
Kas valandą 15 kilometrų atstumas sumažės 6 km. Norėdami sužinoti, kada jis visiškai susitrauks (kai motociklininkas pasivys pėsčiąjį), turite padalinti 15 iš 6
15:6 = 2,5 valandos
2,5 h tai yra dvi valandos ir pusvalandis. O pusvalandis yra 30 minučių. Tai reiškia, kad motociklininkas pasivys pėsčiąjį per 2 valandas 30 minučių.
Išspręskime šią problemą naudodami lygtį.
Po to jį keliu sekė motociklininkas 10 km/h greičiu. O pėsčiųjų greitis tik 4 km/val. Tai reiškia, kad po kurio laiko motociklininkas pasivys pėsčiąjį. Turime rasti šį laiką.
Kai motociklininkas pasivys pėsčiąjį, tai reikš, kad jie kartu nuvažiavo tą patį atstumą. Vairuotojo ir pėsčiojo nuvažiuotas atstumas apibūdinamas tokia lygtimi:
Naudokime dešinę šios lygties pusę, kad sukurtume savo lygtį.
Raitelio įveiktas atstumas bus apibūdinamas 10 išraiška t. Kadangi pėsčiasis išvažiavo prieš motociklininką ir sugebėjo įveikti 15 km, jo įveiktas atstumas bus apibūdintas posakiu 4 t + 15 .
Tuo metu, kai motociklininkas pasivys pėsčiąjį, abu bus įveikę tą patį atstumą. Tai leidžia sulyginti motociklininko ir pėsčiojo nuvažiuotus atstumus:
Rezultatas yra paprasta lygtis. Išspręskime:
Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai
1 uždavinys. Keleivinis traukinys iš vieno miesto į kitą atvyksta 45 minutėmis greičiau nei prekinis. Apskaičiuokite atstumą tarp miestų, jei keleivinio traukinio greitis yra 48 km/h, o krovininio – 36 km/h.
Sprendimas
Traukinių greitis šioje problemoje matuojamas kilometrais per valandą. Todėl uždavinyje nurodytas 45 minutes konvertuosime į valandas. 45 minutės yra 0,75 valandos
Per kintamąjį pažymėkime laiką, per kurį prekinis traukinys atvyksta į miestą t. Kadangi keleivinis traukinys į šį miestą atvyksta 0,75 valandos greičiau, jo kelionės laikas bus žymimas išraiška t − 0,75
Keleivinis traukinys nuvažiavo 48( t − 0,75) km, o prekė 36 t km. Kadangi kalbame apie tą patį atstumą, pirmąją išraišką prilyginkime antrajai. Dėl to gauname lygtį 48(t − 0.75) = 36t . Išspręskime:
Dabar apskaičiuokime atstumą tarp miestų. Norėdami tai padaryti, padauginkite prekinio traukinio greitį (36 km/h) iš jo važiavimo laiko t. Kintamoji vertė t dabar žinoma – tai lygu trims valandoms
36 × 3 = 108 km
Norėdami apskaičiuoti atstumą, taip pat galite naudoti keleivinio traukinio greitį. Bet šiuo atveju kintamojo reikšmė
Kintamoji vertė t lygus 1,2. Tai reiškia, kad automobiliai susitiko po 1,2 val. Atsakymas: automobiliai susitiko po 1,2 val.
3 uždavinys. Trijuose gamyklos cechuose dirba tik 685 darbuotojai. Antrajame ceche dirba tris kartus daugiau nei pirmame, o trečiame 15 mažiau nei antrame. Kiek darbuotojų yra kiekvienoje dirbtuvėje?
Sprendimas
Leiskite x pirmajame ceche buvo darbininkų. Antrame ceche buvo tris kartus daugiau nei pirmajame, todėl antrame ceche darbuotojų skaičius gali būti žymimas 3 išraiška x. Trečiame ceche buvo 15 darbuotojų mažiau nei antrame. Todėl trečiojo cecho darbuotojų skaičius gali būti pažymėtas 3 išraiška x− 15 .
Problema sako, kad iš viso buvo 685 darbuotojai, todėl galime pridėti išraiškas x, 3x, 3x− 15 ir šią sumą prilyginkite skaičiui 685. Dėl to gauname lygtį x+ 3x + ( 3x− 15) = 685
Per kintamąjį x buvo nurodytas pirmojo cecho darbininkų skaičius. Dabar radome šio kintamojo reikšmę, kuri lygi 100. Tai reiškia, kad pirmajame ceche dirbo 100 darbuotojų.
Antrame seminare buvo 3 x darbuotojų, tai yra 3 × 100 = 300. O trečiame seminare buvo 3 x− 15, tai yra, 3 × 100 - 15 = 285
Atsakymas: pirmame ceche dirbo 100 darbininkų, antrame - 300, trečiame - 285.
4 užduotis. Dvi remonto dirbtuvės per savaitę pagal planą turi suremontuoti 18 variklių. Pirmasis cechas planą įvykdė 120%, o antrasis 125%, tad per savaitę suremontavo 22 variklius. Kokį savaitės variklio remonto planą turėjo kiekviena dirbtuvė?
Sprendimas
Leiskite x Pirmosiose dirbtuvėse teko remontuoti variklius. Tada teko remontuoti antrąjį cechą 18 − x variklius.
Kadangi pirmasis cechas savo planą įvykdė 120%, tai reiškia, kad suremontavo 1.2 x variklius. O antrasis cechas savo planą įvykdė 125%, vadinasi, suremontavo 1,25(18 − x) varikliai.
Problema sako, kad buvo suremontuoti 22 varikliai. Todėl galime pridėti posakius 1,2x ir 1,25(18 − x) , tada šią sumą prilyginkite skaičiui 22. Rezultate gauname lygtį 1,2x+ 1,25(18− x) = 22
Per kintamąjį x buvo nurodytas variklių, kuriuos turėjo remontuoti pirmasis cechas, skaičius. Dabar radome šio kintamojo reikšmę, ji lygi 10. Tai reiškia, kad pirmame dirbtuvėse teko remontuoti 10 variklių.
Ir per išraišką 18 − x buvo nurodytas variklių, kuriuos turėjo remontuoti antrasis cechas, skaičius. Tai reiškia, kad antrasis cechas turėjo remontuoti 18 − 10 = 8 variklius.
Atsakymas: pirmame ceche turėjo būti suremontuota 10, o antrajame – 8 varikliai.
5 problema. Prekės kaina išaugo 30% ir dabar yra 91 rublis. Kiek kainavo prekė iki kainos padidėjimo?
Sprendimas
Leiskite x rublių produkto savikainą iki kainos padidėjimo. Jei kaina padidėjo 30%, tai reiškia, kad ji padidėjo 0,30 x rublių Padidinus kainą, produktas pradėjo kainuoti 91 rublį. Pridėkite x prie 0,30 x o šią sumą prilyginkite 91. Dėl to gauname lygtį Kai skaičius sumažinamas 10%, rezultatas yra 45. Raskite pradinę skaičiaus reikšmę. x− Atsakymas: norint gauti 12% druskos tirpalą, į 1 kg 10% tirpalo reikia įpilti 0,25 kg 20% tirpalo.
12 uždavinys. Duoti du druskos tirpalai vandenyje, kurių koncentracijos yra 20% ir 30%. Kiek kilogramų kiekvieno tirpalo reikia sumaišyti viename inde, kad gautumėte 25 kg 25,2% tirpalo?
Sprendimas
Leiskite x reikia išgerti kg pirmojo tirpalo. Kadangi reikia paruošti 25 kg tirpalo, antrojo tirpalo masę galima žymėti išraiška 25 − x.
Pirmame tirpale bus 0,20 x kg druskos, o antrajame – 0,30 (25 − x) kg druskos. Gautame tirpale druskos kiekis bus 25 × 0,252 = 6,3 kg. Sudėkime išraiškas 0,20x ir 0,30(25 − x), tada šią sumą prilyginkime 6,3. Dėl to gauname lygtį
Tai reiškia, kad reikia išgerti 12 kg pirmojo tirpalo, o antrojo – 25–12 = 13 kg.
Atsakymas: Reikia išgerti 12 kg pirmojo tirpalo, o antrojo – 13 kg.
Ar patiko pamoka?
Prisijunkite prie mūsų naujos VKontakte grupės ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas
Žodinių uždavinių, susijusių su lygčių sudarymu, sprendimai bus naudinga pirmiausia moksleiviams. 9 ir 10 klasių mokymo programa apima daugybę problemų, dėl kurių reikia nustatyti nežinomuosius, sudaryti lygtį ir jas išspręsti. Žemiau pateikiama tik nedidelė galimų problemų dalis ir jų skaičiavimo metodika.
1 pavyzdys. Pirmasis dviratininkas kas minutę nuvažiuoja 50 metrų mažiau nei antrasis, todėl 120 km kelionėje praleidžia 2 valandomis daugiau nei antrasis. Raskite antrojo dviratininko greitį (km per valandą).
Sprendimas: užduotis daugeliui sunki, bet iš tikrųjų viskas paprasta.
Po fraze „Kas minutę nuvažiuoja 50 metrų mažiau“ paslėptas 50 m/min greitis. Kadangi likę duomenys pateikiami km ir valandomis, 50 m/min konvertuojame į km/h.
50/1000*60=3000/1000=3 (km/val).
Antrojo dviratininko greitį pažymėkime V, o judėjimo laiką – t.
Padauginę greitį iš judėjimo laiko, gauname kelią
V*t=120.
Pirmasis dviratininkas važiuoja lėčiau, todėl užtrunka ilgiau. Sudarome atitinkamą judėjimo lygtį
(V-3)(t+2)=120.
Turime dviejų lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais.
Iš pirmosios lygties išreiškiame judėjimo laiką ir pakeičiame jį antrąja
t = 120/V; (V-3)(120/V+2)=120.
Padauginę iš V/2 ir sugrupavę panašius terminus, galime gauti tokią kvadratinę lygtį
V^2-3V-180=0.
Apskaičiuojame lygties diskriminantą
D=9+4*180=729=27*27
ir šaknys
V=(3+27)/2=15;
V=(3-27)/2=-12.
Mes atmetame antrąjį, jis neturi fizinės reikšmės. Rasta reikšmė V = 15 km/h yra antrojo dviratininko greitis.
Atsakymas: 15 km/val.
2 pavyzdys. Jūros vandenyje yra 5 % masės druskos. Kiek gėlo vandens reikia įpilti į 30 kg jūros vandens, kad druskos koncentracija sumažėtų 70 %?
Sprendimas: Raskite, kiek druskos yra 30 kg jūros vandens
30*5/100=1,5 (kg).
Naujame sprendime taip bus
(100%-70%) = 30% iš 5%, sudaro proporcijas
5% – 100%
X – 30 proc.
Skaičiavimų atlikimas
X=5*30/100=150/100=1,5%.
Taigi 1,5 kg druskos naujajame tirpale atitinka 1,5%. Dar kartą pridėkite proporcijas
1,5 – 1,5 % Y – 100 % .
Jūros vandens tirpalo masės nustatymas
Y=1,5*100/1,5=100 (kg).
Norėdami sužinoti gėlo vandens kiekį, atimkite sūraus vandens masę
100-30=70 (kg).
Atsakymas: 70 kg gėlo vandens.
3 pavyzdys. Motociklininkas prie užtvaros užtruko 24 minutes. Po to, padidinęs greitį 10 kilometrų per valandą, jis atsigriebė už vėlavimą 80 km atkarpoje. Prieš sulėtindami, nustatykite motociklininko greitį (km per valandą).
Sprendimas: greičio lygties sudarymo uždavinys. Motociklininko pradinį greitį pažymėkime V, o laiką, kurį jis turėjo nuvažiuoti – t. Yra du nežinomieji, todėl turi būti ir 2 lygtys. Pagal būklę per šį laiką jam teko nuvažiuoti 80 km.
V*t=80 (km) .
Uždelstas reiškia, kad laikas sutrumpėjo 24 minutėmis. Taip pat verta atkreipti dėmesį į tai, kad esant tokioms problemoms, laikas turi būti perskaičiuotas į valandas ar minutes (priklausomai nuo būklės) ir tada išspręsti. Judėjimo lygtį sudarome atsižvelgdami į trumpesnį laiką ir didesnį greitį
(V+10)(t-24/60)=80.
Yra dvi lygtys, skirtos laikui ir greičiui nustatyti. Kadangi problema reikalauja greičio, išreikšime laiką nuo pirmosios lygties ir pakeisime ją antrąja
t = 80/V;
(V+10)(80/V-24/60)=80.
Mūsų tikslas yra išmokyti jus sudaryti uždavinių lygtis, iš kurių galite nustatyti reikiamus kiekius.
Todėl, nesigilinant į detales, gautą lygtį padauginus iš 60 * V ir padalijus iš 24 galima sumažinti iki šios kvadratinės lygties
V^2+10*V-2000=0.
Pats raskite diskriminantą ir lygties šaknis. Turėtumėte gauti vertę
V=-50;
V=40.
Mes atmetame pirmąją reikšmę, ji neturi fizinės reikšmės. Antrasis V = 40 km/h – norimas motociklininko greitis.
Atsakymas: 40 km/val.
4 pavyzdys. Prekinis traukinys kelyje vėlavo 12 minučių, o tada 112 kilometrų atstumu atsigriebė sugaištą laiką, padidindamas greitį 10 km/val. Raskite pradinį traukinio greitį (km/h).
Sprendimas: Turime problemą, kurioje nežinomieji yra traukinio greitis V ir kelionės laikas t.
Kadangi uždavinys pagal lygčių schemą atitinka ankstesnį, rašome dvi lygtis nežinomiesiems
V*t=112;
(V+10)*(t-12/60)=112.
Lygtys turėtų būti parašytos būtent tokiu užrašu. Tai leidžia mums paprastai išreikšti laiką nuo pirmosios lygties
t = 112/V
ir, pakeisdami antrąja, gaukite tik greičio lygtį
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
Jei pasirinksite neteisingą žymėjimą, galite gauti šio tipo nežinomųjų lygtį
V*(t+12)=112;
(V+10)*t=112.
Čia t atitinka laiką padidinus greitį 10 km/h, bet ne tai esmė. Pateiktos lygtys taip pat teisingos, tačiau skaičiavimo požiūriu nepatogios.
Pabandykite išspręsti pirmąsias dvi lygtis ir paskutines ir suprasite, kad sudarydami lygtis antrosios schemos reikėtų vengti. Todėl gerai pagalvokite, kokį žymėjimą įvesite, kad sumažintumėte skaičiavimų skaičių.
Gauta lygtis
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
sumažinti iki kvadratinės lygties (padauginti iš 60*V/12)
V^2+10*V-5600=0.
Nesileidžiant į tarpinius skaičiavimus, šaknys bus
V=-80;
V=70.
Tokio tipo uždaviniuose visada gauname neigiamą šaknį (V=-80), kurią reikia atmesti. Traukinio greitis 70 km/h.
5 pavyzdys. Iš autobusų stoties išvažiavęs po 10 minučių autobusas iki pirmosios stotelės nuvažiavo 16 km/h didesniu nei numatyta greičiu ir atvyko laiku. Kokiu greičiu (km/val.) turėtų važiuoti autobusas pagal tvarkaraštį, jei atstumas nuo autobusų stoties iki pirmosios stotelės yra 16 kilometrų?
Sprendimas: Nežinomieji yra magistralės greitis V ir laikas t.
Sudarome lygtį, atsižvelgdami į tai, kad delsos laikas nurodomas minutėmis, o ne valandomis
V * t = 16 - taip autobusas turėjo važiuoti įprastai;
(V + 16) (t-10/60) = 16 yra judėjimo lygtis dėl vėlyvo autobuso išvykimo.
Yra dvi lygtys ir du nežinomieji.
Išreikškime laiką nuo pirmosios lygties ir pakeiskime ją antrąja
t = 16/V;
(V+16)(16/V-1/6)=16.
Gauta greičio lygtis sumažinama iki kvadratinės (*6*V)
V^2+16*V-1536=0.
Kvadratinės lygties šaknys yra
V=32; V=-48.
Reikalingas autobuso greitis – 32 km/val.
Atsakymas: 32 km/val.
6 pavyzdys. Automobilio vairuotojas 12 minučių sustojo keisti padangų. Po to, padidinęs greitį 15 km/h, jis atsigriebė 60 kilometrų. Kokiu greičiu (km/h) jis judėjo sustojęs?
Sprendimas: Ankstesniuose pavyzdžiuose uždavinio sprendimo algoritmas buvo pateiktas kelis kartus. Greitį ir laiką standartiškai žymime V, t.
Rašydami lygtį nepamirškite minutes konvertuoti į valandas. Lygčių sistema atrodys taip
V*t=60;
(V+15)(t-12/60)=60.
Taip pat turėtumėte žinoti arba įsiminti kitas manipuliacijas.
t = 60/V;
(V+15)(60/V -12/60)=60.
Šią lygtį galima redukuoti į kvadratinę lygtį
V^2+15*V-4500=0.
Išsprendę kvadratinę lygtį, gauname tokias greičio reikšmes
V=60; V=-75.
Greitis negali būti neigiamas, todėl vienintelis teisingas atsakymas yra V=60 km/h.
7 pavyzdys. Tam tikras dviženklis skaičius yra 4 kartus didesnis už sumą ir 3 kartus iš jo skaitmenų sandaugą. Raskite šį numerį.
Sprendimas: užduotys su skaičiais užima svarbią vietą tarp lygčių sudarymo uždavinių ir gali būti ne mažiau įdomios konstruojant sprendimus nei greitos užduotys. Viskas, ko jums reikia, yra gerai suprasti problemą. Pažymėkime skaičių ab, tai yra, skaičius lygus 10 * a + b.
Remdamiesi sąlyga, sukuriame lygčių sistemą
10*a+b=4*(a+b);
10*a+b=3*a*b.
Kadangi nežinomieji į pirmąją lygtį patenka tiesiškai, mes ją išrašome ir vieną iš nežinomųjų išreiškiame per kitą
10*a+b-4*a-4*b=0;
6*a-3*b=0; b=2*a.
Antroje lygtyje pakeiskite b = 2 * a
10*a+2*a=3*a*2*a;
6*a2-12*a=0; a(a-2)=0.
Taigi a=0; a=2. Nėra prasmės atsižvelgti į pirmąją reikšmę, jei a=2, antrasis skaitmuo yra lygus b=2*a=2*2=4, o reikalingas skaičius yra 24.
54. Atsakymas: skaičius yra 24.:
Problemos, susijusios su lygčių su vienu nežinomuoju sudarymu
1 užduotis. Namas buvo parduodamas. Vienas pirkėjas turėjo pinigų sumą, lygią ¾ jo vertės, o kitas - 5/6 jo vertės. Sudėjus juos, susidarytų 7000 rublių perteklius. Kokia namo kaina?
Tarkime, kad namas kainuoja x rubliai. Tada (pagal problemos pradžią) pirmasis pirkėjas turėjo (x · ¾) rublių. arba, kas yra tas pats, 3x/4 rubliai, o antrasis turėjo 5x/6 rublius. Kita frazė yra problemos sąlyga, ty „jei jie būtų sudėti, jie turėtų 7000 rublių perteklių“. - yra lygtis, išreikšta žodžiais: dabar ją reikia išreikšti ne žodžiais, o matematiniais simboliais. Pirma, paimkime panašią frazę supaprastinta forma: „jei pridėsite skaičius a ir b, tada gauta suma duos m perteklių prieš skaičių c“ - šią frazę galima perrašyti matematiniais simboliais, kaip: a + b = c + m.
Lygtį mūsų uždavinyje galima parašyti lygiai taip pat: jei sudėsime skaičius 3x/4 ir 5x/6, gauta suma duos 7000 perteklių per skaičių x, arba
3x/4 + 5x/6 = x + 7000.
Gautą lygtį reikia supaprastinti: 1) padauginkite abi lygties puses iš bendro vardiklio 12 – gausime
9x + 10x = 12x + 84000
2) Perkelkite nežinomus terminus į kairę pusę:
9x + 10x - 12x = 84000
Dabar galime atsakyti į problemą:
Namo kaina buvo 12 000 rublių.
2 užduotis. Pirmadienį pamokose neatvyko 13 mokinių, antradienį – 5 mokiniai. Pirmadienį atvykusių studentų skaičiaus ir antradienį atvykusių studentų skaičiaus santykis buvo 7/9. Kiek mokinių buvo šioje klasėje?
Tarkime, kad klasėje iš viso yra x mokinių. Tada pirmadienį dalyvavo (x – 13) studentai, o antradienį (x – 5) studentai. Frazė „pirmadienį atvykusių mokinių ir antradienį dalyvavusių mokinių skaičiaus santykis buvo 7/9“ yra lygtis, išreikšta žodžiais ir gali būti perrašyta matematiniais simboliais:
(x – 13) / (x – 5) = 7/9.
Išspręskime šią lygtį:
9 (x – 13) = 7 (x – 5) arba 9x – 117 = 7x – 35.
Iš čia gauname: 2x = 82 ir x = 41.
Taigi šioje klasėje mokėsi 41 mokinys.
3 užduotis. Raskite trupmeną, kurios vardiklis yra 3 didesnis už skaitiklį ir kuri tampa 4/5, jei iš jos skaitiklio ir vardiklio atimate 1.
Ši užduotis šiek tiek skiriasi nuo ankstesnių. Tam reikia „rasti trupmeną“, bet pradėti spręsti uždavinį taip pat, kaip buvo 1 ir 2 uždaviniuose, būtų neįmanoma: tarkime, kad reikiama trupmena lygi x. Taip pradėti būtų neįmanoma, nes problema susijusi atskirai su skaitikliu ir atskirai su vardikliu: jūs turite atimti 1 atskirai iš skaitiklio ir atskirai iš vardiklio. Todėl trupmeną reikia pažymėti taip, kad būtų matomas ir jos skaitiklis, ir vardiklis. Kadangi sakoma, kad vardiklis yra 3 daugiau nei skaitiklis, tai raide x galime žymėti arba skaitiklį, arba vardiklį – tuomet lengva rasti išraišką kitam trupmenos nariui ir pačiai trupmenai.
Čia yra problemos sprendimas.
Tarkime, kad norimos trupmenos skaitiklis yra lygus x. Tada jo vardiklis yra x + 3, o norima trupmena yra x/(x+3). Frazė „kuri (t. y. trupmena) tampa 4/5, kai iš skaitiklio ir vardiklio atimamas 1“ yra lygtis ir ją galima parašyti matematiškai:
(x – 1) / (x + 3 – 1) = 4/5 arba (x – 1) / (x + 2) = 4/5.
5 (x – 1) = 4 (x + 2); 5x – 5 = 4x + 8; 5x – 4x = 5 + 8; x = 13.
Tada trupmenos vardiklis yra 16, o norima trupmena yra 13/16.
4 užduotis. Vienas brolis už kitą vyresnis 14 metų, o po 6 metų bus 2 kartus vyresnis. Kiek kiekvienam broliui metų?
Čia reikia pateikti du atsakymus: kiek jaunesniam broliui ir kiek vyresniam, tačiau problemą galima išspręsti naudojant lygtį su 1 nežinomu, nes sakoma, kad vyresnis brolis yra 14 metų vyresnis už jaunesnįjį. vienas. Išspręskime problemą taip:
Tarkime, kad jaunesniajam broliui x metų; tada vyriausias yra (x + 14) metų.
Po 6 metų jaunesniajam broliui bus (x + 6) metai, o vyresniajam – (x + 14 + 6) arba (x + 20) metų.
Sakoma, kad vyresnėlis tada (po 6 metų) bus 2 kartus vyresnis už jaunesnįjį, t.y. skaičius x + 20 turi būti 2 kartus didesnis už x + 6, ir tai galima parašyti kaip
(x + 20) / (x + 6) = 2 arba x + 20 = 2 (x + 6) arba (x + 20) / 2 = x + 6.
Natūraliausias žymėjimas yra pirmasis: norint sužinoti, kiek kartų vienas skaičius didesnis už kitą, reikia padalyti; turime išsiaiškinti, kiek kartų skaičius (x + 20) yra didesnis už skaičių (x + 6) - tam turime padalyti (x + 20) iš (x + 6) ir pasakyti mums atsakymą. du kartus“. Todėl rašome, kad iš šio padalijimo gauname skaičių 2, ty (x + 20) / (x + 6) = 2.
Antrąjį įrašą galima paaiškinti taip: mums sakoma, kad skaičius (x + 20) turi būti 2 kartus didesnis už skaičių (x + 6). Todėl norint išlyginti šiuos skaičius, reikia mažesnįjį iš jų, t.y. x + 6, padauginti iš 2. Tada x + 20 = 2(x + 6).
Tada žymėjimas paaiškinamas taip: norint išlyginti skaičius x + 20 ir x + 6, didesnį iš jų reikia sumažinti 2 kartus, o tada (x + 20) / 2 = x + 6.
Jei imtume 1-ąjį įrašą
(x + 20) / (x + 6) = 2
ir padauginkite abi lygties puses iš x + 6, gauname
x + 20 = 2 (x + 6)
y., antrasis įrašas. Taip pat lengva gauti 2 ar 1 įrašą iš 3 įrašo ir pan.
Bet kokiu atveju, atlaisvinę lygtį iš trupmenų, gauname
x + 20 = 2 (x + 6)
ir lengvai išspręskite lygtį:
x + 20 = 2x + 12; 20 – 12 = 2x – x; 8 = x arba x = 8.
Taigi, jaunesniajam broliui yra 8 metai, o vyresniajam - 8 + 14 = 22 metai.
5 užduotis. Nusipirkome cukraus ir kavos, viso už 28 svarus; už kilogramą cukraus mokėjo 15 kapeikų, už svarą kavos – 80 kapeikų, bet už visą pirkinį mokėjo 12 rublių. Kiek nusipirkote cukraus ir kiek kavos?
Sunkumas čia gali būti tas, kad problemos sąlygomis skaičiai pateikiami kapeikomis arba rubliais. Turi būti iš anksto nustatyta, kokiais vienetais, rubliais ar kapeikomis, bus priimtas sprendimas. Išspręskime problemą rubliais. Tada sprendimas yra:
Tarkime, kad nusipirkote x svarų cukraus. Tada nusipirkome (28 – x) svarus kavos.
Už cukrų mokėjo (15x) kapeikų arba (3/20)x rublių (nes 15 kapeikų yra 3/20 rublių), o už kavą mokėjo 80(28 – x) kapeikų. arba 4/5 (28 – x) patrinti. (nes 80 kapeikų = 4/5 rub.).
Frazė „už visą pirkinį sumokėjo 12 rublių“. galima parašyti:
3x/20 + 4(28x – x)/5 = 12
[Jei būtų išspręsta centais, lygtis būtų 15x + 80(28 – x) = 1200].
Išlaisvinkime lygtį iš trupmenų, kurių abi dalis padauginame iš 20 ir gauname:
3x + 16 (28 - x) = 240
3x + 448 – 16x = 240
3x - 16x = 240 - 448
–13x = –208,
Taigi, nusipirkome 16 svarų cukraus ir 12 svarų kavos (28–16 = 12).
1 puslapis
Sudarant lygtis, atspindinčias oksidatoriaus ir redukcijos agento cheminę sąveiką, reikia nustatyti koeficientus pradinių medžiagų ir reakcijos produktų formulėse, kurių sudėtis nustatoma remiantis patirtimi.
Rekomenduojama sudaryti lygtis kriterijų skaičiui nustatyti taip, kad į kiekvieną lygtį būtų įtraukti trys kintamieji dydžiai ab a2, a3, o likę dydžiai a4 ir i būtų įtraukti į lygtis po vieną.
Sudaryti lygtis galima tik paprasčiausiems objektams. Sudėtingesni objektai, įskaitant daugumą naftos pramonės objektų, vis dar tiriami eksperimentiškai. Objekto savybės, naudojamos tiriant automatinio valdymo sistemas, yra savaiminis išsilyginimas, talpa ir vėlavimas.
Surašysime skirtumų formos lygtis laidžiajai terpei ir dielektrikui, taip pat vienmačiams ir dvimačiams uždaviniams, kai lauko verčių pokytis per atstumą vyksta atitinkamai viena arba dviem koordinačių kryptimis.
Virtualių variacijų lygčių sudėtis parodyta naudojant neholonominių ryšių pavyzdį. Parodyta, kad holonominės jungties lygtis su parametru yra ideali jungtis, kai ji apibūdina apvalkalą. Aptariamos dviejų nepriklausomų kintamųjų jungčių virtualios variacijos taisyklės.
Lygčių sudarymas turi daug bendro su tokiu vertimu. Lengvais atvejais žodinė formuluotė beveik mechaniškai suskaidoma į keletą nuoseklių dalių, kurių kiekviena gali būti tiesiogiai išreikšta matematiniais simboliais. Sunkesniais atvejais sąlyga susideda iš dalių, kurių negalima tiesiogiai paversti matematiniais simboliais. Šiuo atveju turėtume mažiau dėmesio skirti žodinei formuluotei ir sutelkti dėmesį į šios formuluotės reikšmę. Prieš pradedant naudoti matematinį žymėjimą, mums gali tekti kitaip suformuluoti sąlygas, visada turėdami omenyje matematines šios naujos formuluotės rašymo priemones.
Tokių cheminių procesų lygčių sudarymas nesukelia jokių sunkumų.
Toliau aptariama variacinių lygčių sudėtis bendra forma.
Posūkio kampų Q lygties sudarymas ir jos išvestinių nustatymas.
Sudaryti lygtis galima tik paprasčiausiems objektams. Sudėtingesni objektai, įskaitant daugumą naftos pramonės objektų, vis dar tiriami eksperimentiškai. Objekto savybės, naudojamos tiriant automatinio valdymo sistemas, yra savaiminis išsilyginimas, talpa ir vėlavimas.
Analitiškai sudaryti lygtis galima tik santykinai paprastiems objektams, kurių procesai ar fizikiniai reiškiniai yra pakankamai gerai ištirti. Bendruoju atveju valdomų objektų dinamines savybes apibūdina diferencialinės lygtys, išreiškiančios priklausomybę tarp išėjimo ir įvesties dydžių laike. Šios lygtys sudarytos remiantis fizikiniais dėsniais, kurie lemia pereinamuosius procesus objektuose.
A ir B lygčių sudarymas (6 - 58) ir jų sprendimas. Galima nurodyti bendrą šios problemos sprendimo būdą, jei A ir B lygtį įveda tiesiškai.
Pakalbėkime apie tai, kaip parašyti cheminės reakcijos lygtį. Būtent šis klausimas daugiausia kelia rimtų sunkumų moksleiviams. Vieni nesupranta sandaugos formulių sudarymo algoritmo, kiti neteisingai išdėsto koeficientus lygtyje. Atsižvelgiant į tai, kad visi kiekybiniai skaičiavimai atliekami naudojant lygtis, svarbu suprasti veiksmų algoritmą. Pabandykime išsiaiškinti, kaip parašyti cheminių reakcijų lygtis.
Valencijos formulių sudarymas
Norint teisingai įrašyti procesus, vykstančius tarp skirtingų medžiagų, reikia išmokti rašyti formules. Dvejetainiai junginiai sudaromi atsižvelgiant į kiekvieno elemento valentingumą. Pavyzdžiui, pagrindinių pogrupių metalams jis atitinka grupės numerį. Sudarant galutinę formulę tarp šių rodiklių nustatomas mažiausias kartotinis, tada dedami indeksai.
Kas yra lygtis
Jis suprantamas kaip simbolinis įrašas, kuriame rodomi sąveikaujantys cheminiai elementai, jų kiekybiniai santykiai, taip pat tos medžiagos, kurios gaunamos proceso metu. Viena iš užduočių, siūlomų devintos klasės mokiniams baigiant chemijos atestaciją, yra tokia: „Sudarykite reakcijų lygtis, apibūdinančias siūlomos klasės medžiagų chemines savybes“. Norėdami susidoroti su užduotimi, mokiniai turi įsisavinti veiksmų algoritmą.
Veiksmų algoritmas
Pavyzdžiui, reikia užrašyti kalcio degimo procesą naudojant simbolius, koeficientus ir indeksus. Pakalbėkime apie tai, kaip sukurti cheminės reakcijos lygtį naudojant operacijų tvarką. Kairėje lygties pusėje per „+“ rašome šioje sąveikoje dalyvaujančių medžiagų ženklus. Kadangi degimas vyksta dalyvaujant deguoniui ore, kuris yra dviatomė molekulė, jo formulę rašome kaip O2.
Po lygybės ženklo mes sudarome reakcijos produkto sudėtį pagal valentingumo išdėstymo taisykles:
2Ca + O2 = 2CaO.
Tęsdami pokalbį apie tai, kaip sukurti cheminės reakcijos lygtį, pažymime, kad reikia naudoti sudėties pastovumo dėsnį, taip pat išlaikyti medžiagų sudėtį. Jie leidžia atlikti koregavimo procesą ir įtraukti trūkstamus koeficientus į lygtį. Šis procesas yra vienas iš paprasčiausių neorganinės chemijos sąveikos pavyzdžių.
Svarbūs aspektai
Norėdami suprasti, kaip parašyti cheminės reakcijos lygtį, atkreipiame dėmesį į kai kuriuos su šia tema susijusius teorinius klausimus. Medžiagų masės išsaugojimo įstatymas, suformuluotas M. V. Lomonosovo, paaiškina koeficientų išdėstymo galimybę. Kadangi kiekvieno elemento atomų skaičius išlieka toks pat prieš ir po sąveikos, galima atlikti matematinius skaičiavimus.
Lyginant kairę ir dešinę lygties puses, naudojamas mažiausias bendras kartotinis, panašiai kaip sudėtinė formulė sudaroma atsižvelgiant į kiekvieno elemento valentingus.
Redokso sąveika
Mokiniai, parengę veiksmų algoritmą, galės sudaryti reakcijų lygtį, apibūdinančią paprastų medžiagų chemines savybes. Dabar galime pereiti prie sudėtingesnių sąveikų, pavyzdžiui, tų, kurios atsiranda keičiantis elementų oksidacijos būsenoms, analizė:
Fe + CuSO4 = FeSO4 + Cu.
Yra tam tikros taisyklės, pagal kurias paprastoms ir sudėtingoms medžiagoms priskiriamos oksidacijos būsenos. Pavyzdžiui, dviatominėse molekulėse šis rodiklis yra lygus nuliui, esantis kompleksiniuose junginiuose, visų oksidacijos būsenų suma taip pat turėtų būti lygi nuliui. Sudarant elektronines svarstykles nustatomi atomai ar jonai, kurie atiduoda elektronus (reduktorius) ir juos priima (oksidatorius).
Tarp šių rodiklių nustatomas mažiausias kartotinis, taip pat koeficientai. Paskutinis redokso sąveikos analizės etapas yra koeficientų išdėstymas schemoje.
Joninės lygtys
Vienas iš svarbių klausimų, aptariamas mokykliniame chemijos kurse, yra sprendimų sąveika. Pavyzdžiui, buvo pateikta tokia užduotis: „Sudarykite bario chlorido ir natrio sulfato jonų mainų cheminės reakcijos lygtį“. Tai apima molekulinės, pilnos, sutrumpintos joninės lygties rašymą. Norint įvertinti sąveiką joniniu lygiu, būtina nurodyti kiekvienos pradinės medžiagos ir reakcijos produkto tirpumo lentelę. Pavyzdžiui:
BaCl2 + Na2SO4 = 2NaCl + BaSO4
Medžiagos, kurios netirpsta į jonus, rašomos molekuline forma. Jonų mainų reakcija visiškai įvyksta trimis atvejais:
- nuosėdų susidarymas;
- dujų išleidimas;
- gauti šiek tiek besiskiriančią medžiagą, pavyzdžiui, vandenį.
Jei medžiaga turi stereocheminį koeficientą, į jį atsižvelgiama rašant visą joninę lygtį. Parašius visą joninę lygtį, redukuojami tie jonai, kurie nebuvo surišti tirpale. Galutinis bet kurios užduoties, susijusios su proceso, vykstančio tarp sudėtingų medžiagų tirpalų, svarstymu, rezultatas bus sutrumpintos joninės reakcijos registravimas.
Išvada
Cheminės lygtys leidžia simbolių, indeksų ir koeficientų pagalba paaiškinti tuos procesus, kurie stebimi tarp medžiagų. Atsižvelgiant į konkretų vykstantį procesą, rašant lygtį yra tam tikrų subtilybių. Pirmiau aptartas bendras reakcijų sudarymo algoritmas pagrįstas valentingumu, medžiagų masės tvermės dėsniu ir sudėties pastovumu.
