Kombinatorikos problemos. Sprendimų pavyzdžiai

Pažymėtina, kad kombinatorika yra savarankiška aukštosios matematikos šaka (o ne Terver dalis) ir apie šią discipliną buvo parašyti svarūs vadovėliai, kurių turinys kartais nėra lengvesnis už abstrakčiąją algebrą. Tačiau mums užteks nedidelės teorinių žinių dalies, todėl šiame straipsnyje pabandysiu prieinama forma išanalizuoti temos pagrindus su tipiškomis kombinatorinėmis problemomis. Ir daugelis iš jūsų man padės ;-)

Ką darysime? Siaurąja prasme kombinatorika yra įvairių kombinacijų, kurias galima sudaryti iš tam tikros aibės, skaičiavimas diskretiškas objektų. Daiktai suprantami kaip bet kokie izoliuoti objektai ar gyvos būtybės – žmonės, gyvūnai, grybai, augalai, vabzdžiai ir kt. Tuo pačiu kombinatorikai visiškai nerūpi, kad rinkinį sudaro manų kruopų košės lėkštė, lituoklis ir pelkinė varlė. Iš esmės svarbu, kad šiuos objektus būtų galima išvardinti – jų yra trys (diskretiškumas) ir svarbiausia, kad nė vienas iš jų nėra identiškas.

Daug sprendėme, dabar apie derinius. Labiausiai paplitę derinių tipai yra objektų permutacijos, jų parinkimas iš aibės (derinys) ir paskirstymas (dėstymas). Pažiūrėkime, kaip tai vyksta dabar:

Permutacijos, deriniai ir vietos be pasikartojimo

Nebijokite neaiškių terminų, juolab, kad kai kurie iš jų tikrai nėra labai geri. Pradėkime nuo pavadinimo uodegos – ką reiškia “ jokių pakartojimų"? Tai reiškia, kad šiame skyriuje mes apsvarstysime rinkinius, kuriuos sudaro įvairių objektų. Pavyzdžiui, ... ne, košės su lituokliu ir varlyte nesiūlysiu, geriau ką nors skanesnio =) Įsivaizduokite, kad ant stalo priešais jus materializavosi obuolys, kriaušė ir bananas ( jei juos turite, situacija gali būti imituojama tikrovėje). Vaisius išdėstome iš kairės į dešinę tokia tvarka:

obuolys / kriaušė / bananas

Klausimas vienas: Kiek būdų juos galima pertvarkyti?

Vienas derinys jau buvo parašytas aukščiau, o su kitais nėra jokių problemų:

obuolys / bananas / kriaušė
kriaušė / obuolys / bananas
kriaušė / bananas / obuolys
bananas / obuolys / kriaušė
bananas / kriaušė / obuolys

Iš viso: 6 deriniai arba 6 permutacijas.

Gerai, nebuvo sunku išvardyti visus galimus atvejus, bet kas, jei objektų yra daugiau? Turint tik keturis skirtingus vaisius, derinių skaičius gerokai padidės!

Atidarykite informacinę medžiagą (patogu atsispausdinti vadovą) o punkte Nr.2 raskite permutacijų skaičiaus formulę.

Jokio vargo – 3 objektus galima pertvarkyti skirtingais būdais.

Antras klausimas: Keliais būdais galite pasirinkti a) vieną vaisių, b) du vaisius, c) tris vaisius, d) bent vieną vaisių?

Kodėl rinktis? Taigi apetitą padidinome ankstesniame punkte – tam, kad pavalgytume! =)

a) Vienas vaisius gali būti pasirinktas, žinoma, trimis būdais – paimkite arba obuolį, kriaušę arba bananą. Formalus skaičiavimas atliekamas pagal kombinacijų skaičiaus formulė:

Įrašas šiuo atveju turėtų būti suprantamas taip: „kiek būdų galite pasirinkti 1 vaisių iš trijų?

b) Išvardinkime visus galimus dviejų vaisių derinius:

obuolys ir kriaušės;
obuolys ir bananas;
kriaušė ir bananas.

Derinių skaičių galima lengvai patikrinti naudojant tą pačią formulę:

Įrašas suprantamas panašiai: „kiek būdų galite pasirinkti 2 vaisius iš trijų?

c) Ir galiausiai, yra tik vienas būdas pasirinkti tris vaisius:

Beje, derinių skaičiaus formulė lieka reikšminga tuščiam pavyzdžiui:
Tokiu būdu galite pasirinkti ne vieną vaisių – iš tikrųjų nieko neimkite ir viskas.

d) Kiek būdų galite imtis bent vienas vaisius? Sąlyga „bent vienas“ reiškia, kad mus tenkina 1 vaisius (bet kuris) arba 2 vaisiai arba visi 3 vaisiai:
naudodamiesi šiais metodais galite pasirinkti bent vieną vaisių.

Skaitytojai, kurie atidžiai išstudijavo įvadinę pamoką tikimybių teorija, mes jau kažką atspėjome. Bet daugiau apie pliuso ženklo reikšmę vėliau.

Kad atsakyčiau į kitą klausimą, man reikia dviejų savanorių... ...Kadangi niekas nenori, tai pakviesiu į lentą =)

Trečias klausimas: Kiek būdų galite paskirstyti po vieną vaisių Dašai ir Natašai?

Norėdami paskirstyti du vaisius, pirmiausia turite juos pasirinkti. Pagal ankstesnio klausimo pastraipą „būti“, tai galima padaryti įvairiais būdais, aš juos perrašysiu:

obuolys ir kriaušės;
obuolys ir bananas;
kriaušė ir bananas.

Tačiau dabar derinių bus dvigubai daugiau. Apsvarstykite, pavyzdžiui, pirmąją vaisių porą:
Dašą galite gydyti obuoliu, o Natašą - kriauše;
arba atvirkščiai – Daša gaus kriaušę, o Nataša – obuolį.

Ir tokia permutacija galima kiekvienai vaisių porai.

Apsvarstykite tą pačią studentų grupę, kuri ėjo į šokį. Kiek būdų berniuką ir mergaitę galima suporuoti?

Tam tikrais būdais galite pasirinkti 1 jaunuolį;
būdai, kaip galite pasirinkti 1 merginą.

Taigi vienas jaunuolis Ir Galite pasirinkti vieną merginą: būdais.

Kai iš kiekvieno rinkinio pasirenkamas 1 objektas, galioja toks kombinacijų skaičiavimo principas: “ kas objektas iš vieno rinkinio gali sudaryti porą su visais kito rinkinio objektas“.

Tai yra, Olegas gali pakviesti bet kurią iš 13 merginų šokti, Jevgenijus taip pat gali pakviesti bet kurią iš trylikos, o likę jaunuoliai turi panašų pasirinkimą. Iš viso: galimos poros.

Pažymėtina, kad šiame pavyzdyje poros susidarymo „istorija“ neturi reikšmės; Tačiau jei atsižvelgsime į iniciatyvą, derinių skaičius turi būti padvigubintas, nes kiekviena iš 13 merginų taip pat gali pakviesti bet kurį berniuką šokti. Viskas priklauso nuo konkrečios užduoties sąlygų!

Panašus principas galioja ir sudėtingesniems deriniams, pavyzdžiui: kiek būdų galima pasirinkti du jaunuolius? Ir dvi merginos dalyvauti KVN seriale?

sąjunga IR aiškiai rodo, kad derinius reikia padauginti:

Galimos menininkų grupės.

Kitaip tariant, kiekviena gali pasirodyti berniukų pora (45 unikalios poros). bet koks merginų pora (78 unikalios poros). O jei svarstysime vaidmenų pasiskirstymą tarp dalyvių, derinių bus dar daugiau. ...labai noriu, bet vis tiek susilaikysiu nuo tęsinio, kad neįskiepytų jums pasibjaurėjimo studentiškam gyvenimui =).

Derinių dauginimo taisyklė taikoma ir didesniam daugiklių skaičiui:

8 problema

Kiek yra triženklių skaičių, kurie dalijasi iš 5?

Sprendimas: aiškumo dėlei pažymėkime šį skaičių trimis žvaigždutėmis: ***

IN šimtų vieta Galite parašyti bet kurį skaičių (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 arba 9). Nulis netinka, nes šiuo atveju skaičius nustoja būti triženklis.

Bet į dešimčių vieta("viduryje") galite pasirinkti bet kurį iš 10 skaitmenų: .

Pagal sąlygą skaičius turi dalytis iš 5. Skaičius dalijasi iš 5, jei baigiasi skaičiumi 5 arba 0. Taigi žemoje eilėje pasitenkiname 2 skaitmenimis.

Iš viso yra: triženkliai skaičiai, kurie dalijasi iš 5.

Šiuo atveju kūrinys iššifruojamas taip: „9 būdai, kuriais galite pasirinkti skaičių šimtų vieta Ir 10 būdų, kaip pasirinkti skaičių dešimčių vieta Ir 2 būdai vienetų skaitmuo»

Arba dar paprasčiau: “ kiekviena nuo 9 skaitmenų iki šimtų vieta derina su kiekvienu iš 10 skaitmenų dešimčių vieta ir su kiekvienu nuo dviejų skaitmenų iki vienetų skaitmuo».

Atsakymas: 180

O dabar...

Taip, aš beveik pamiršau apie žadėtą ​​komentarą prie problemos Nr.5, kuriame Borui, Dimai ir Volodiai gali būti išdalinta po vieną kortą skirtingais būdais. Dauginimas čia turi tą pačią reikšmę: būdai, kaip išimti 3 kortas iš kaladės IR kiekviename pavyzdį pertvarkyti jas būdais.

O dabar problema, kurią reikia išspręsti patiems... dabar sugalvosiu ką nors įdomesnio... tegul apie tą pačią rusišką blackjack versiją:

9 problema

Kiek laiminčių 2 kortų kombinacijų yra žaidžiant „tašką“?

Tiems, kurie nežino: laimėjimo derinys yra 10 + ACE (11 taškų) = 21 taškas ir, pažiūrėkime į laimintį dviejų tūzų derinį.

(kortelių tvarka bet kurioje poroje neturi reikšmės)

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Beje, nelaikykite pavyzdžio primityviu. Blackjack yra beveik vienintelis žaidimas, kuriam yra matematiškai pagrįstas algoritmas, leidžiantis įveikti kazino. Besidomintys gali nesunkiai rasti daug informacijos apie optimalią strategiją ir taktiką. Tiesa, tokie meistrai gana greitai patenka į visų įstaigų juodąjį sąrašą =)

Atėjo laikas sutvirtinti medžiagą, kuri apima keletą tvirtų užduočių:

10 problema

Vasya namuose turi 4 kates.

a) kiek būdų kates galima sodinti kambario kampuose?
b) kiek būdų galite leisti kates pasivaikščioti?
c) kiek būdų Vasja gali paimti dvi kates (vieną iš kairės, kitą iš dešinės)?

Nuspręskime: pirma, vėl turėtumėte atkreipti dėmesį į tai, kad problema išspręsta skirtinga daiktai (net jei katės yra identiškos dvynės). Tai labai svarbi sąlyga!

a) Kačių tyla. Atsižvelgiant į šį vykdymą visos katės iš karto
+ jų vieta yra svarbi, todėl čia yra permutacijų:
naudodamiesi šiais metodais galite pastatyti kates kambario kampuose.

Kartoju, kad permutuojant svarbu tik skirtingų objektų skaičius ir jų santykinė padėtis. Priklausomai nuo Vasjos nuotaikos, ji gali pasodinti gyvūnus puslankiu ant sofos, eilėje ant palangės ir pan. – visais atvejais bus 24 permutacijos, norintieji patogumo gali įsivaizduoti, kad katės yra įvairiaspalvės (pavyzdžiui, baltos, juodos, raudonos ir tabby) ir išvardinti visus galimus derinius.

b) Kiek būdų galite leisti kates pasivaikščioti?

Spėjama, kad katės eina pasivaikščioti tik pro duris, o klausimas reiškia abejingumą gyvūnų skaičiui – pasivaikščioti gali 1, 2, 3 ar visos 4 katės.

Skaičiuojame visus galimus derinius:

Kai kuriais būdais galite leisti vieną katę (bet kurią iš keturių) pasivaikščioti;
būdai, kuriais galite leisti dvi kates pasivaikščioti (variantus išvardykite patys);
būdais galite išleisti tris kates pasivaikščioti (viena iš keturių sėdi namuose);
Tokiu būdu galite paleisti visas kates.

Tikriausiai atspėjote, kad gautas vertes reikia susumuoti:
būdai, kaip galite leisti katėms pasivaikščioti.

Entuziastams siūlau sudėtingą problemos variantą – kai bet kuri katė iš bet kurio mėginio gali atsitiktinai išeiti į lauką tiek pro duris, tiek pro langą 10 aukšte. Pastebimai padaugės derinių!

c) Kiek būdų Vasja gali pasiimti dvi kates?

Situacija apima ne tik 2 gyvūnų pasirinkimą, bet ir jų įdėjimą į kiekvieną ranką:
Šiais būdais galite pasiimti 2 kates.

Antras sprendimas: naudodami metodus galite pasirinkti dvi kates Ir sodinimo būdai kas pora po ranka:

Atsakymas: a) 24, b) 15, c) 12

Na, kad nuvalytų sąžinę, kažkas konkretesnio apie derinių dauginimą... Leiskite Vasjai turėti 5 papildomas kates =) Kiek būdų galite leisti 2 kates pasivaikščioti? Ir 1 katė?

Tai yra, su kiekviena galima paleisti porą kačių kas katė.

Kitas mygtukų akordeonas nepriklausomam sprendimui:

11 problema

3 keleiviai įlipo į 12 aukštų pastato liftą. Visi, nepriklausomai nuo kitų, vienoda tikimybe gali išeiti iš bet kurio (pradedant nuo 2 aukšto). Kiek būdų:

1) keleiviai gali išlipti tame pačiame aukšte (išėjimo tvarka nesvarbu);
2) viename aukšte gali išlipti du žmonės, kitame – trečias;
3) žmonės gali išeiti iš skirtingų aukštų;
4) ar keleiviai gali išlipti iš lifto?

Ir čia dažnai vėl klausia, patikslinu: jei tame pačiame aukšte išeina 2 ar 3 žmonės, tai išėjimo tvarka nesvarbu. GALVOKITE, naudokite formules ir taisykles derinių sudėjimui/dauginimui. Iškilus sunkumams, keleiviams pravartu nurodyti vardus ir spėlioti, kokiais deriniais jie gali išlipti iš lifto. Nereikia nusiminti, jei kažkas nepavyksta, pavyzdžiui, punktas Nr.2 yra gana klastingas.

Visas sprendimas su išsamiais komentarais pamokos pabaigoje.

Paskutinė pastraipa skirta deriniams, kurie taip pat pasitaiko gana dažnai - mano subjektyviu vertinimu, maždaug 20-30% kombinacinių problemų:

Permutacijos, deriniai ir vietos su pasikartojimais

Išvardyti derinių tipai nurodyti pamatinės medžiagos 5 punkte Pagrindinės kombinatorikos formulės tačiau kai kurie iš jų gali būti nelabai aiškūs per pirmąjį svarstymą. Tokiu atveju patartina pirmiausia susipažinti su praktiniais pavyzdžiais ir tik tada suprasti bendrą formuluotę. Eime:

Permutacijos su pasikartojimais

Permutacijose su pasikartojimais, kaip ir „įprastose“ permutacijose, visus objektus vienu metu, tačiau yra vienas dalykas: šioje rinkinyje kartojasi vienas ar keli elementai (objektai). Atitikti kitą standartą:

12 problema

Kiek skirtingų raidžių kombinacijų galima gauti perdėliojus korteles su tokiomis raidėmis: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Sprendimas: tuo atveju, jei visos raidės buvo skirtingos, reikėtų taikyti trivialią formulę, tačiau visiškai aišku, kad siūlomo kortelių rinkinio atveju kai kurios manipuliacijos veiks „neaktyviai“, pavyzdžiui, jei sukeisite bet kurias dvi korteles su raidės „K“ bet kuriame žodyje, jūs gaunate tą patį žodį. Be to, fiziškai kortelės gali būti labai skirtingos: viena gali būti apvali su atspausdinta raide „K“, kita – kvadratinė su nupiešta raide „K“. Bet pagal užduoties prasmę net ir tokios kortelės laikomi vienodais, nes sąlyga klausia apie raidžių derinius.

Viskas labai paprasta - tik 11 kortelių, įskaitant laišką:

K – kartojama 3 kartus;
O – kartojama 3 kartus;
L – kartojama 2 kartus;
b – kartojama 1 kartą;
H – kartojama 1 kartą;
Ir - pakartojo 1 kartą.

Patikrinkite: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, tai ir reikėjo patikrinti.

Pagal formulę permutacijų su pasikartojimais skaičius:
galima gauti įvairių raidžių derinių. Daugiau nei pusė milijono!

Norėdami greitai apskaičiuoti didelę faktorinę reikšmę, patogu naudoti standartinę „Excel“ funkciją: įveskite į bet kurį langelį =FAKTAS(11) ir paspauskite Įeikite.

Praktiškai visiškai priimtina nerašyti bendrosios formulės ir, be to, praleisti vienetinius faktorius:

Tačiau išankstinės pastabos dėl pasikartojančių laiškų būtinos!

Atsakymas: 554400

Kitas tipiškas permutacijų su pasikartojimu pavyzdys yra šachmatų figūrėlių išdėstymo užduotyje, kurią galima rasti sandėlyje paruoštus sprendimus atitinkamame pdf faile. O savarankiškam sprendimui sugalvojau ne tokią formulę:

13 problema

Aleksejus sportuoja, 4 dienas per savaitę - lengvąją atletiką, 2 dienas - jėgos pratimus ir 1 dieną ilsisi. Kiek būdų jis gali susikurti savaitės tvarkaraštį?

Formulė čia neveikia, nes atsižvelgiama į atsitiktinius apsikeitimus (pavyzdžiui, trečiadienio jėgos pratimų pakeitimas ketvirtadienio jėgos pratimais). Ir dar kartą – iš tikrųjų tos pačios 2 jėgos treniruotės gali labai skirtis viena nuo kitos, tačiau užduoties kontekste (grafiko požiūriu) jos laikomos tais pačiais elementais.

Dviejų eilučių sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Deriniai su pakartojimais

Būdingas šio tipo derinių bruožas yra tai, kad pavyzdys yra sudarytas iš kelių grupių, kurių kiekviena susideda iš identiškų objektų.

Šiandien visi sunkiai dirbo, todėl laikas atsigaivinti:

14 problema

Studentų valgykloje prekiaujama dešrelėmis tešloje, sūrio pyragais ir spurgomis. Keliais būdais galite nusipirkti penkis pyragus?

Sprendimas: iš karto atkreipkite dėmesį į tipinį derinių su pasikartojimais kriterijų – pagal būklę siūloma rinktis ne objektų rinkinį, o įvairių tipų objektai; daroma prielaida, kad parduodami mažiausiai penki dešrainiai, 5 sūrio pyragaičiai ir 5 spurgos. Pyragai kiekvienoje grupėje, žinoma, skirtingi – nes absoliučiai identiškas spurgas galima imituoti tik kompiuteriu =) Tačiau fizinės pyragų savybės nėra reikšmingos problemos tikslui, o dešrainiai / sūrio pyragaičiai / spurgos jų grupėse laikomos vienodais.

Kas gali būti pavyzdyje? Visų pirma reikia pastebėti, kad pavyzdyje tikrai bus identiškų pyragėlių (kadangi renkamės 5 vnt., o galima rinktis iš 3 rūšių). Čia rasite variantų kiekvienam skoniui: 5 dešrainiai, 5 sūrio pyragaičiai, 5 spurgos, 3 dešrainiai + 2 sūrio pyragaičiai, 1 dešrainiai + 2 sūrio pyragaičiai + 2 spurgos ir kt.

Kaip ir „įprastų“ derinių atveju, pyragų atrankos ir išdėstymo atrankoje tvarka neturi reikšmės – jūs tiesiog išsirinkote 5 gabalus ir viskas.

Mes naudojame formulę derinių su pakartojimais skaičius:
Naudodami šį metodą galite įsigyti 5 pyragus.

Gero apetito!

Atsakymas: 21

Kokią išvadą galima padaryti iš daugelio kombinatorinių problemų?

Kartais sunkiausia yra suprasti situaciją.

Panašus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

15 problema

Piniginėje yra gana daug 1, 2, 5 ir 10 rublių monetų. Keliais būdais iš piniginės galima išimti tris monetas?

Savikontrolės tikslais atsakykite į keletą paprastų klausimų:

1) Ar visos pavyzdyje esančios monetos gali skirtis?
2) Įvardykite „pigiausią“ ir „brangiausią“ monetų derinį.

Sprendimas ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Iš savo asmeninės patirties galiu pasakyti, kad deriniai su pakartojimais yra rečiausias svečias praktikoje, ko negalima pasakyti apie tokio tipo derinius:

Vietos su pasikartojimais

Iš rinkinio, susidedančio iš elementų, atrenkami elementai, o elementų tvarka kiekviename pasirinkime yra svarbi. Ir viskas būtų gerai, bet gana netikėtas pokštas, kad bet kurį originalaus komplekto objektą galime pasirinkti tiek kartų, kiek norime. Vaizdžiai tariant, „daugybė nesumažės“.

Kada tai įvyksta? Tipiškas pavyzdys yra kombinuota spyna su keliais diskais, tačiau dėl technologinės plėtros aktualiau atsižvelgti į jos skaitmeninį palikuonį:

16 problema

Kiek yra keturių skaitmenų PIN kodų?

Sprendimas: iš tikrųjų, norint išspręsti problemą, pakanka žinoti kombinatorikos taisykles: tam tikrais būdais galite pasirinkti pirmąjį PIN kodo skaitmenį Ir būdai – antrasis PIN kodo skaitmuo Ir tiek daug būdų – trečia Ir toks pat skaičius – ketvirtas. Taigi, pagal derinių dauginimo taisyklę, keturženklį PIN kodą galima sudaryti: būdais.

O dabar naudojant formulę. Pagal sąlygą mums siūlomas skaičių rinkinys, iš kurio atrenkami ir išdėstomi numeriai tam tikra tvarka, o imtyje esantys skaičiai gali kartotis (t. y. bet kuris pradinio rinkinio skaitmuo gali būti naudojamas neribotą skaičių kartų). Pagal vietų skaičiaus su pasikartojimais formulę:

Atsakymas: 10000

Kas čia ateina į galvą... ...jei bankomatas „suvalgo“ kortelę po trečio nesėkmingo bandymo įvesti PIN kodą, tai tikimybė ją pasiimti atsitiktinai yra labai menka.

O kas sakė, kad kombinatorika neturi praktinės prasmės? Pažintinė užduotis visiems svetainės skaitytojams:

17 problema

Pagal valstybinį standartą automobilio valstybinis numeris susideda iš 3 skaičių ir 3 raidžių. Šiuo atveju skaičius su trimis nuliais yra nepriimtinas, o raidės pasirenkamos iš rinkinio A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X (naudojamos tik tos kirilicos raidės, kurių rašyba sutampa su lotyniškomis raidėmis).

Kiek skirtingų valstybinių numerių galima sukurti regionui?

Beje, jų nėra tiek daug. Dideliuose regionuose tokio kiekio nepakanka, todėl jiems yra keli užrašo RUS kodai.

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje. Nepamirškite pasinaudoti kombinatorikos taisyklėmis ;-) ...norėjau pademonstruoti, kas išskirtinė, bet pasirodė ne išskirtinė =) Pažiūrėjau į Vikipediją - ten yra skaičiavimai, nors be komentarų. Nors edukaciniais tikslais, ko gero, mažai kas tai sprendė.

Mūsų įdomi pamoka baigėsi ir galiausiai noriu pasakyti, kad jūs nešvaistėte savo laiko – dėl to, kad kombinatorikos formulės randa kitą gyvybiškai svarbų praktinį pritaikymą: jos randamos įvairiose problemose tikimybių teorija,
ir viduje problemos, susijusios su klasikiniu tikimybės nustatymu– ypač dažnai =)

Dėkojame visiems už aktyvų dalyvavimą ir iki greito pasimatymo!

Sprendimai ir atsakymai:

2 užduotis: Sprendimas: suraskite visų galimų 4 kortelių permutacijų skaičių:

Kai kortelė su nuliu dedama į 1 vietą, skaičius tampa triženklis, todėl šios kombinacijos turėtų būti neįtrauktos. Tegul nulis yra 1-oje vietoje, tada likusius 3 skaitmenis apatiniuose skaitmenyse galima pertvarkyti įvairiais būdais.

Pastaba : nes Kadangi yra tik kelios kortelės, čia lengva išvardyti visas parinktis:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Taigi iš siūlomo rinkinio galime padaryti:
24 – 6 = 18 keturženklių skaičių
Atsakymas : 18

4 užduotis: Sprendimas: tam tikrais būdais galite pasirinkti 3 korteles iš 36.
Atsakymas : 7140

6 užduotis: Sprendimas: būdais.
Kitas sprendimas : būdai, kaip galite pasirinkti du žmones iš grupės ir ir
2) „Pigiausiame“ rinkinyje yra 3 rublių monetos, o „brangiausiame“ – 3 dešimties rublių monetos.

17 problema: Sprendimas: naudodamiesi šiais metodais galite sukurti skaitmeninį automobilio numerio derinį, o vieną iš jų (000) reikėtų neįtraukti: .
naudodamiesi šiais metodais galite sukurti valstybinio numerio raidžių derinį.
Pagal derinių dauginimo taisyklę, suma gali būti sudaryta:
valstybiniai numeriai
(kiekviena skaitmeninis derinys derinamas su kiekvienu raidžių derinys).
Atsakymas : 1726272

2017-2018 Matematikos mokomieji darbai 11 kl

2 variantas (pagrindinis)

Kiekvienos užduoties atsakymas yra paskutinė dešimtainė trupmena, sveikas skaičius arba skaičių seka. Užduočių atsakymus surašykite darbo tekste esančiame atsakymų laukelyje, o po to perkelkite į atsakymo formą Nr.1 ​​dešinėje nuo atitinkamos užduoties numerio. Jei atsakymas yra skaičių seka, parašykite šią seką atsakymo formoje Nr. 1be tarpų, kablelių ar kitų papildomų simbolių. Įrašykite kiekvieną skaičių, minuso ženklą ir kablelį į atskirą langelį. Matavimo vienetų rašyti nereikia.

1

Atsakymas: _________________.

2 . Raskite posakio prasmę:

Atsakymas: _________________.

3 . Mokykloje mergaitės sudaro 51% visų mokinių. Kiek mergaičių yra šioje mokykloje, jei jų 8 daugiau nei berniukų?

Atsakymas: _________________.

4 . Harmoninis trijų skaičių vidurkisA , b Irsu, apskaičiuojamas pagal formulę Raskite skaičių harmoninį vidurkį

Atsakymas: _________________.

5. Apskaičiuokite:

Atsakymas: _________________.

6 . Instituto vyrų bendrabutyje kiekviename kambaryje gali apsistoti ne daugiau kaip trys žmonės. Kiek mažiausia kambarių reikia 79 užmiesčio studentams apgyvendinti?

Atsakymas: _________________.

7 .Rasti lygties šaknį

Atsakymas: _________________.

8 . Butą sudaro du kambariai, virtuvė, koridorius ir vonios kambarys (žr. brėžinį). Pirmasis kambarys yra 4 m x 4 m, antrasis kambarys yra 4 m x 3,5 m, virtuvė - 4 m x 3,5 m, vonios kambarys - 1,5 m x 2 m Raskite koridoriaus plotą. Atsakymą pateikite kvadratiniais metrais.

Atsakymas: _________________.

9 . Nustatykite atitiktį tarp dydžių ir galimų jų reikšmių: kiekvienam pirmojo stulpelio elementui pasirinkite atitinkamą elementą iš antrojo stulpelio.

VERTYBĖS VERTYBĖS

A) komodos stalčiaus tūris 1) 0,75 l

B) vandens tūris Kaspijos jūroje 2) 78200 km 3

C) ryazhenka pakuotės tūris 3) 96 l

D) geležinkelio vagono tūris 4) 90 m 3

Lentelėje po kiekviena raide, atitinkančia reikšmę, nurodykite jos galimos reikšmės skaičių.

Atsakymas:

10 . Rusų kalbos olimpiadoje dalyviai susodinti į tris auditorijas. Pirmuosiuose dviejuose yra po 130 žmonių, likusieji nuvežami į rezervinę auditoriją kitame pastate. Suskaičiavus paaiškėjo, kad iš viso buvo 400 dalyvių. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas dalyvis parašė konkursą laisvoje klasėje.

Atsakymas: _________________.

11 . Paveikslėlyje parodytas atmosferos slėgio verčių tam tikrame mieste per tris dienas grafikas. Savaitės dienos ir laikas nurodomi horizontaliai, o atmosferos slėgio reikšmės gyvsidabrio stulpelio milimetrais – vertikaliai. Raskite atmosferos slėgį trečiadienį 12 val. Atsakymą pateikite gyvsidabrio stulpelio milimetrais.

Atsakymas: ____________.

Atsakymas: _________________.

13. Taisyklinga šešiakampė piramidė su 1 briauna buvo priklijuota prie taisyklingos šešiakampės prizmės su briauna 1 taip, kad pagrindų kraštai sutaptų. Kiek veidų turi gautas daugiakampis (nematomos briaunos paveikslėlyje nerodomos)?

Atsakymas: _________________.

14. Paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas TaškaiA, B, C, DIrEnustatyti ant ašiesX keturi intervalai. Naudodami grafiką suderinkite kiekvieną intervalą su funkcijos charakteristika arba jos išvestine.

FUNKCIJOS AR IŠVEDINĖS CHARAKTERISTIKŲ INTERVALAI

A) (A; B) 1) funkcija keičia ženklą iš „–“ į „+“

B) (B; C) 2) išvestinė keičia ženklą iš „–“ į „+“

B) (C;D) 3) išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „–“

G) (D; E) 4) funkcija yra teigiama ir didėja

Lentelėje po kiekviena raide nurodykite atitinkamą skaičių.

Atsakymas: _________________.

16 . Duotos dvi taisyklingos keturkampės prizmės formos dėžės. Pirmasis langelis yra keturis su puse karto žemesnis nei antrasis, o antrasis - tris kartus siauresnis nei pirmasis. Kiek kartų pirmosios dėžutės tūris yra didesnis už antrosios?

Atsakymas: _________________.

17. Kiekviena iš keturių nelygybių kairiajame stulpelyje atitinka vieną iš sprendinių dešiniajame stulpelyje. Nustatyti atitikmenis tarp nelygybių ir jų sprendimų.

NELYGYBĖS SPRENDIMAI

A)

B)

IN)

G)

Lentelėje, pateiktoje atsakyme po kiekviena raide, įveskite atitinkamą sprendimo numerį.

Atsakymas:

Pasirinkite teiginius, kurie yra teisingi nurodytomis sąlygomis.

1) Iš įvardintų komandų Kanados komanda užėmė antrąją vietą pagal medalių skaičių.

2) Tarp įvardintų komandų yra trys, kurios laimėjo vienodą skaičių medalių.

3) Vokietijos komanda iškovojo daugiau medalių nei Rusijos komanda.

4) Rusijos komanda iškovojo daugiau medalių nei kiekviena iš kitų trijų komandų.

Atsakyme nurodykite teisingų teiginių skaičius didėjančia tvarka.

Atsakymas: _________________.

19 . Porostriženklį skaičiųA susideda iš skaičių 3; 4; 8; 9, aporostriženklį skaičiųIN – iš skaičių 6; 7; 8; 9. Yra žinoma, kadIN = 2 A. Raskite numerįA. Atsakyme nurodykite bet kurį tokį skaičių, išskyrus numerį 3489.

Atsakymas: _________________.

20 . Stačiakampis yra padalintas į keturis mažus stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų perimetrai, pradedant nuo viršaus į kairę, o po to pagal laikrodžio rodyklę, yra 17, 15 ir 18. Raskite ketvirtojo stačiakampio perimetrą.

15

?

18

Habrahabr skaitytojams siūlau išversti leidinį „100 kalinių pabėgimo galvosūkis“, kurį radau DataGenetics svetainėje. Su šiuo straipsniu susijusias klaidas prašome siųsti asmenine žinute.

Pagal problemą kalėjime yra 100 kalinių, kurių kiekvienas turi asmeninį numerį nuo 1 iki 100. Kalėjimo prižiūrėtojas nusprendžia suteikti kaliniams galimybę išeiti į laisvę ir pasiūlo išlaikyti savo sugalvotą testą. Jei visiems kaliniams pasiseks, jie yra laisvi, jei bent vienam nepasiseks, jie visi mirs.

Užduotis

Prasideda varžybos, kalėjimo prižiūrėtojas nuveda kiekvieną kalinį po vieną į kambarį su dėžėmis ir sako kaliniams, kad jie turi surasti dėžutę, kurioje bus lentelė su kalinio numeriu. Kaliniai bando surasti savo numerį atidarydami dėžes. Kiekvienam asmeniui leidžiama atidaryti iki 50 dėžių; jei kiekvienas iš kalinių ras savo numerį, tada kaliniai bus paleisti, jei bent vienas iš jų neras savo numerio per 50 bandymų, tada visi kaliniai mirs.

Kad kaliniai būtų paleisti, VISI kaliniai turi išlaikyti testą.

Taigi kokia tikimybė, kad kaliniai bus atleisti?

• Kaliniui atidarius dėžutę ir patikrinus ženklą, ji įdedama atgal į dėžę ir vėl uždaromas dangtis;
• Plokštės vietomis nekeičiamos;
• Prasidėjus testui, kaliniai negali vienas kitam palikti įkalčių arba kaip nors bendrauti tarpusavyje;
• Prieš pradedant testą, kaliniams leidžiama aptarti strategiją.

Kokia yra optimali kalinių strategija?

Papildomas klausimas:

Jei kalinys (ne testo dalyvis) galės patekti į slaptą kambarį prieš bandymo pradžią, apžiūrėkite visus ženklus visuose langeliuose ir (neprivaloma, bet nebūtina) sukeiskite du ženklus iš dviejų langelių (į tokiu atveju draugas neturės galimybės - informuoti kalinius apie savo veiksmų rezultatą), kokios strategijos jis turėtų imtis, kad padidintų kalinių galimybes išsigelbėti?

Ar sprendimas mažai tikėtinas?

Vieno kalinio tikimybė yra 50:50. Yra tik 100 dėžių ir jis gali atidaryti iki 50 dėžių ieškodamas savo ženklo. Jei jis atidaro dėžutes atsitiktinai ir atidaro pusę visų dėžių, jis ras savo ženklą atviroje dėžių pusėje arba jo ženklas liks uždarytose 50 dėžių. Jo sėkmės tikimybė yra ½.

Paimkime du kalinius. Jei abu langelius pasirenka atsitiktinai, kiekvienos iš jų tikimybė bus ½, o abiejų - ½x½=¼.
(dviem kaliniams sėkmė bus vienu atveju iš keturių).

Trims kaliniams tikimybė bus ½ × ½ × ½ = ⅛.

100 kalinių tikimybė yra tokia: ½ × ½ × … ½ × ½ (padauginta iš 100 kartų).

Tai lygu

Pr ≈ 0,000000000000000000000000000000008

Tai yra, tai yra labai maža galimybė. Šioje situacijoje greičiausiai visi kaliniai bus mirę.

Neįtikėtinas atsakymas

Daugiau nei 30% visiems 100 kalinių! Taip, tai net geriau nei dviejų kalinių tikimybė, jei jie dėžes atidarys atsitiktinai. Bet kaip tai įmanoma?

Aišku, kad kiekvienam kaliniui po vieną, šansai negali būti didesni nei 50% (juk tarp kalinių nėra galimybės bendrauti). Tačiau nepamirškite, kad informacija saugoma plokščių išdėstyme dėžutėse. Niekas nemaišo ženklų tarp atskirų kalinių apsilankymų kambaryje, todėl galime pasinaudoti šia informacija.

Sprendimas

Strategija yra labai paprasta. Pirmasis kalinys atidaro dėžutę su numeriu, užrašytu ant jo drabužių. Pavyzdžiui, kalinys numeris 78 atidaro dėžutę su numeriu 78. Jei jis ras savo numerį ant lentelės dėžutės viduje, puiku! Jei ne, jis žiūri į numerį ant plokštelės „savo“ langelyje ir atidaro kitą langelį su tuo numeriu. Atidaręs antrą dėžutę, jis žiūri į šios dėžutės viduje esančios plokštelės numerį ir atidaro trečią dėžutę su šiuo numeriu. Toliau šią strategiją tiesiog perkeliame į likusius langelius. Aiškumo dėlei žiūrėkite paveikslėlį:

Galų gale kalinys arba suras savo numerį, arba pasieks 50 dėžių ribą. Iš pirmo žvilgsnio tai atrodo beprasmiška, palyginti su tiesiog atsitiktiniu dėžutės parinkimu (ir vienam kaliniui tai daro), bet kadangi visi 100 kalinių naudos tą patį dėžių rinkinį, tai prasminga.

Šios matematikos problemos grožis yra ne tik rezultato žinojimas, bet ir supratimas Kodėlši strategija veikia.

Taigi kodėl strategija veikia?

Jei pagalvoji, dėžutės sudaro uždarą apskritą grandinę. Vienas langelis gali būti tik vienos grandinės dalis, nes dėžutės viduje yra tik viena rodyklė į kitą ir atitinkamai ankstesniame langelyje yra tik viena žymeklis į tam tikrą langelį (programuotojai gali matyti analogiją su susietais sąrašais) .

Jei dėžutė nenurodo į save (dėžutės numeris lygus joje esančios plokštelės skaičiui), tada ji bus grandinėje. Kai kurios grandinės gali būti sudarytos iš dviejų dėžių, kai kurios yra ilgesnės.

Kadangi visi kaliniai pradeda nuo dėžės, kurios numeris yra toks pat kaip ir jų drabužių, jie pagal apibrėžimą yra dedami ant grandinės, kurioje yra jų ženklas (yra tik vienas ženklas, rodantis į tą dėžutę).

Tyrinėdami dėžutes ratu išilgai šios grandinės, jie garantuotai galiausiai suras savo ženklą.

Lieka tik klausimas, ar jie ras savo ženklą per 50 ėjimų.

Grandinės ilgis

Jei maksimalus ilgiausios grandinės ilgis yra mažesnis nei 50 dėžių, tada visi kaliniai išlaikys testą!

Pagalvokite apie tai sekundę. Pasirodo, bet kokiame plokščių išdėstyme gali būti tik viena grandinė ilgesnė nei 50 dėžių (turime tik 100 dėžių, todėl jei viena grandinė yra ilgesnė nei 50, tai likusi dalis bus trumpesnė nei 50) .

Išdėstymo su ilga grandine tikimybė

Dar šiek tiek matematikos

Jei grandinės ilgis l, tikimybė, kad dėžės bus už šios grandinės ribų, yra lygi:

Šioje skaičių rinkinyje yra (l-1)! ženklų išdėstymo būdai.

Likusius ženklus galima rasti (100-l)! būdai (nepamirškite, kad grandinės ilgis neviršija 50).

Atsižvelgiant į tai, permutacijų, turinčių tikslaus ilgio l grandinę, skaičius: (>50)

Pasirodo, yra 100(!) ženklų išdėstymo būdų, todėl l ilgio grandinės egzistavimo tikimybė lygi 1/l. Beje, šis rezultatas nepriklauso nuo dėžių skaičiaus.

Kaip jau žinome, gali būti tik vienas variantas, kai grandinės ilgis > 50, todėl sėkmės tikimybė apskaičiuojama naudojant šią formulę:

Rezultatas

Tikimybė, kad visi kaliniai ras savo ženklus ir išlaikys testą, yra 31,18%.

Žemiau yra grafikas, rodantis visų l ilgio grandinių (x ašyje) tikimybes (y ašyje). Raudona spalva žymi visus „gedimus“ (pateikta kreivė čia yra tik 1/l grafikas). Žalia reiškia "sėkmę" (šioje grafiko dalyje skaičiavimas yra šiek tiek sudėtingesnis, nes yra keli būdai nustatyti maksimalų ilgį<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Harmoninis skaičius (ši straipsnio dalis skirta geeksams)

Apskaičiuokime limitą, jei vietoje 100a dėžučių turime savavališkai daug dėžučių (tarkime, kad iš viso turime 2n dėžučių).

Eulerio-Mascheroni konstanta yra konstanta, apibrėžiama kaip skirtumo tarp harmoninės serijos dalinės sumos ir skaičiaus natūralaus logaritmo riba.

Didėjant kalinių skaičiui, jei prižiūrėtojas leidžia kaliniams atidaryti pusę visų dėžių, išgelbėjimo tikimybė siekia 30,685%.

(Jei priėmėte sprendimą, pagal kurį kaliniai atsitiktinai atspėjo langelius, tada, didėjant kalinių skaičiui, išsigelbėjimo tikimybė yra lygi nuliui!)

Papildomas klausimas

Dabar mes jau žinome sprendimą, todėl strategija čia paprasta: jis turi ištirti visus ženklus ir surasti ilgiausią dėžių grandinę. Jei ilgiausia grandinėlė yra mažesnė nei 50, tada plokštelių jam visai nereikia keisti arba keisti taip, kad ilgiausia grandinė netaptų ilgesnė nei 50. Tačiau jei jis randa ilgesnę nei 50 dėžučių grandinę, tereikia sukeisti dviejų tos grandinės dėžučių turinį, kad grandinė būtų padalinta į dvi trumpesnes grandines.

Dėl šios strategijos nebus ilgų grandinių ir garantuotai visi kaliniai ras savo ženklą ir išsigelbėjimą. Taigi, sukeisdami du ženklus, mes sumažiname išsigelbėjimo tikimybę iki 100%!

Atminkite, kad stačiakampio gretasienio (arba paprastos dėžutės) tūris yra lygus jo ilgio, pločio ir aukščio sandaugai. Jei jūsų dėžutė yra stačiakampio arba kvadrato formos, tereikia žinoti jos ilgį, plotį ir aukštį. Norint gauti tūrį, būtina padauginti matavimo rezultatus. Skaičiavimo formulė sutrumpintai dažnai pateikiama taip: V = P x P x A.
Problemos pavyzdys: „Jei dėžutės ilgis 10 cm, plotis 4 cm, o aukštis 5 cm, koks jos tūris?
V = P x P x A
V = 10 cm x 4 cm x 5 cm
V = 200 cm3
Dėžės „aukštis“ gali būti vadinamas „gyliu“. Pavyzdžiui, užduotyje gali būti ši informacija: „Dėžutės ilgis 10 cm, plotis 4 cm, gylis 5 cm.

2
Išmatuokite dėžutės ilgį. Jei pažvelgsite į dėžutę iš viršaus, ji pasirodys prieš akis stačiakampio pavidalu. Dėžutės ilgis bus ilgiausia šio stačiakampio kraštinė. Užrašykite šios pusės matavimo rezultatą kaip parametro „ilgis“ vertę.
Atliekant matavimus, būtinai naudokite vienodus matavimo vienetus. Jei išmatavote vieną pusę centimetrais, tada kitas puses taip pat reikia matuoti centimetrais.

3
Išmatuokite dėžutės plotį. Dėžutės plotį pavaizduos kita, trumpesnė stačiakampio pusė, matoma iš viršaus. Jei vizualiai sujungsite dėžutės šonus pagal ilgį ir plotį, jie pasirodys raidės „L“ pavidalu. Paskutinį matavimą įrašykite kaip "plotį".
Plotis visada yra trumpesnė dėžutės pusė.

4
Išmatuokite dėžutės aukštį. Tai paskutinis parametras, kurio dar neišmatavote. Tai rodo atstumą nuo viršutinio dėžutės krašto iki apačios. Įrašykite šį matavimą kaip "aukštį".
Priklausomai nuo to, kurioje pusėje įdėsite dėžutę, konkrečios pusės, kurias pažymėsite „ilgis“, „plotis“ arba „aukštis“, gali skirtis. Tačiau tai nesvarbu, tereikia išmatuoti iš trijų skirtingų pusių.

5
Padauginkite trijų matavimų rezultatus. Kaip jau minėta, tūrio skaičiavimo formulė yra tokia: V = ilgis x plotis x aukštis; todėl norėdami gauti tūrį, tiesiog padauginkite visas tris puses. Būtinai nurodykite matavimo vienetus, kuriuos naudojote skaičiuodami, kad nepamirštumėte, ką tiksliai reiškia gautos vertės.

6
Skirdami tūrio matavimo vienetus, nepamirškite nurodyti trečiosios galios „3“. Apskaičiuotas tūris turi skaitinę išraišką, tačiau be teisingų matavimo vienetų jūsų skaičiavimai neteks prasmės. Norint teisingai atspindėti tūrio vienetus, jie turėtų būti nurodyti kubu. Pavyzdžiui, jei visos pusės būtų matuojamos centimetrais, tūrio vienetai būtų rodomi kaip "cm3".
Problemos pavyzdys: „Jei dėžė yra 2 m ilgio, 1 m pločio ir 3 m aukščio, koks jos tūris?
V = P x P x A
V = 2 m x 1 m x 4 m
V = 8 m3
Pastaba: Nurodę kubinio tūrio vienetus galite suprasti, kiek šių kubelių galima įdėti į dėžutę. Jei remsimės ankstesniu pavyzdžiu, tai reiškia, kad į dėžę telpa aštuoni kubiniai metrai.

Kitų formų dėžių tūrio skaičiavimas

Nustatykite cilindro tūrį. Cilindras yra apvalus vamzdis, kurio abiejuose galuose yra apskritimai. Cilindro tūriui nustatyti naudojama formulė: V = π x r 2 x h, kur π = 3,14, r yra apvalios cilindro kraštinės spindulys, o h - jo aukštis.
Kūgio arba piramidės su apvaliu pagrindu tūriui nustatyti naudojama ta pati formulė, bet padauginta iš 1/3. Tai yra, kūgio tūris apskaičiuojamas pagal formulę: V = 1/3 (π x r 2 x h)

2
Nustatykite piramidės tūrį. Piramidė yra figūra su plokščiu pagrindu, o šonai susilieja viršuje į vieną tašką. Norėdami nustatyti piramidės tūrį, turite paimti 1/3 jos pagrindo ploto ir aukščio sandaugos. Tai yra, skaičiavimo formulė yra tokia: Piramidės tūris = 1/3 (pagrindo plotas x aukštis).
Daugeliu atvejų piramidės turi kvadratinį arba stačiakampį pagrindą. Esant tokiai situacijai, pagrindo plotas apskaičiuojamas pagrindo ilgį padauginus iš pločio.

Norėdami nustatyti sudėtingų formų dėžutės tūrį, sudėkite atskirų jo dalių tūrius. Pavyzdžiui, jums gali tekti išmatuoti dėžutės, kurios forma yra „L“ raidė, tūrį. Taip dėžutė turės daugiau matuotinų kraštų. Jei padalysite šį langelį į dvi dalis, galėsite išmatuoti šių dviejų dalių tūrį standartiniu būdu ir pridėti gautas reikšmes. L formos dėžutės atveju ilgesnę dalį galima laikyti atskira ilga stačiakampe dėže, o trumpesnę – prie jos pritvirtinta kvadratine (arba beveik kvadratine).
Jei jūsų dėžutė yra labai sudėtingų formų, žinokite, kad yra daug būdų, kaip nustatyti bet kokios formos objektų tūrį.

Kombinacinės problemos

1 . Katya, Maša ir Ira žaidžia su kamuoliu. Kiekvienas iš jų turi vieną kartą mesti kamuolį į kiekvieną draugą. Kiek kartų kiekviena mergina turėtų mesti kamuolį? Kiek kartų kamuolys bus mestas? Nustatykite, kiek kartų kamuolys bus mėtomas, jei žaidime dalyvaus šie žmonės: keturi vaikai; penki vaikai.

2 . Pateikti trys fasadai ir du stogai, vienodos formos, bet nudažyti skirtingomis spalvomis: fasadai geltoni, mėlyni ir raudoni, stogai – mėlyni ir raudoni. Kokius namus galima statyti? Kiek iš viso yra kombinacijų?

3 . Pateikti trys tos pačios formos namo fasadai: mėlyna, geltona ir raudona – ir trys stogai: mėlynas, geltonas ir raudonas. Kokius namus galima statyti? Kiek iš viso yra kombinacijų?

4 . Vėliavos piešiniai gali būti apskritimo, kvadrato, trikampio arba žvaigždės formos, gali būti nudažyti žalia arba raudona spalva. Kiek skirtingų vėliavų gali būti?

5. Mokyklos valgykloje kaip antrieji patiekalai pietums buvo ruošiama mėsa, kotletai, žuvis. Desertui – ledai, vaisiai ir pyragas. Galite pasirinkti vieną pagrindinį ir vieną desertinį patiekalą. Kiek skirtingų pietų variantų yra?

6. Mokyklos valgykloje pietums ruošdavo pirmuosius patiekalus sriubą su mėsa ir vegetarišką sriubą, antrajam patiekalui – mėsą, kotletus ir žuvį, o desertui – ledus, vaisius ir pyragą. Kiek skirtingų variantų yra trijų patiekalų patiekalui?

7. Keliais būdais trys mokiniai gali sėdėti eilėje ant kėdžių? Užsirašykite visus galimus atvejus.

8 . Keliais būdais keturi (penki) žmonės gali stovėti iš eilės?

9 . Trys takai kyla į kalvą iš skirtingų pusių ir susilieja viršuje. Sukurkite kelis maršrutus, kaip pakilti ir nusileisti nuo kalno. Išspręskite tą pačią problemą, jei turite eiti aukštyn ir žemyn skirtingais keliais.

10 . Yra trys keliai, vedantys iš Akulovo į Rybnitsa ir keturi keliai iš Rybnitsa į Kitovo. Kokiais būdais galite keliauti iš Akulovo į Kitovą per Rybnitsa?

11 . Skiemuo vadinamas atviruoju, jei jis prasideda priebalsiu ir baigiasi balse. Kiek atvirų dviejų raidžių skiemenų galima parašyti naudojant raides „a“, „b“, „c“, „d“, „e“, „i“, „o“? Užsirašykite šiuos skiemenis.

12. Kiek skirtingų kostiumų galima pasiūti iš palaidinės ir sijono, jei yra 4 palaidinės ir 4 sijonai?

13. Kai Petya eina į mokyklą, jis kartais susitinka su vienu ar keliais savo draugais: Vasia, Lenya, Tolja. Išvardykite visus galimus atvejus, kurie gali įvykti.

14 . Užrašykite visus galimus dviženklius skaičius naudodami skaičius 7 ir 4.

15 . Miša planavo pirkti: pieštuką, liniuotę, bloknotą ir sąsiuvinį. Šiandien jis nusipirko tik dvi skirtingas prekes. Ką Miša galėtų nusipirkti, jei manytume, kad parduotuvėje yra visos jam reikalingos mokymo priemonės?

16 . Keturi žmonės paspaudė rankas.

17 Kiek rankų paspaudimų iš viso buvo?

18 . Kiek yra dviženklių skaičių, kuriuose nėra skaitmens 0?

19 . Užrašykite visus įmanomus triženklius skaičius, kuriuos galima padaryti iš skaičių 1 ir 2.

20 . Užrašykite visus galimus net triženklius skaičius, sudarytus iš 1 ir 2 skaitmenų.

21 . Užrašykite visus galimus dviženklius skaičius, kuriuose naudojami skaičiai 2, 8 ir 5.

22 . Kokius triženklius skaičius galima parašyti naudojant skaičius 3, 7 ir 1, jei skaičiuje neturi būti identiškų skaitmenų? Kiek tokių skaičių?

23 . Kiek triženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 2, 4, 6, jei nė vienas skaitmuo nenaudojamas daugiau nei vieną kartą? Kiek iš šių skaičių bus lyginių? Kiek nelyginių?

24 . Automobilyje yra penkios sėdynės. Keliais būdais į šį automobilį gali įsėsti penki žmonės, jei tik du iš jų gali užimti vairuotojo vietą?

25. Klasėje yra 5 vienviečiai stalai. Kiek būdų ant jų galima pasodinti du (tris) naujai atvykusius moksleivius?

26 . Prisiminkite I. Krylovo pasakėčią „Kvartetas“:

Išdykęs Beždžionė, Asilas, Ožka ir kuokas Meškiukas pradėjo groti kvartetu. Jie muša lankus, kovoja, bet nėra prasmės. „Sustokite, broliai, sustokite! - šaukia beždžionė. - Palauk! Kaip turėtų skambėti muzika? Jūs ne taip sėdite“. Kiek skirtingų būdų šie muzikantai gali bandyti sėdėti? Ar tai galėtų pagerinti jų žaidimo kokybę?

27 . Berniukai ir mergaitės sėdi iš eilės ant sėdynių iš eilės, berniukai sėdi nelyginiuose, o mergaitės poriniuose. Kiek būdų tai galima padaryti, jei:

a) 3 berniukai ir 3 mergaitės sėdi 6 vietose;

b) 5 berniukai ir 5 merginos sėdi 10 vietų?

28 . Ant tuščios šaškių lentos reikia pastatyti dvi šaškes – juodą ir baltą. Kiek skirtingų pozicijų jie gali užimti lentoje?

29. Tegul automobilio numerį sudaro dvi raidės ir du skaičiai, pavyzdžiui, AB-53. Kiek skirtingų skaičių galite padaryti, jei naudosite 5 raides ir 6 skaičius?

30 . Automobilio numerį sudaro trys raidės ir keturi skaičiai. Kiek skirtingų valstybinių numerių yra (trys raidės paimtos iš 29 rusiškos abėcėlės raidžių)?

31 . Tarkime, reikėjo nueiti į biblioteką, taupomąją kasą, paštą ir pasitaisyti batus. Norint pasirinkti trumpiausią maršrutą, reikia apgalvoti visus galimus variantus. Kiek galimų maršrutų, jei biblioteka, taupyklė, paštas ir batsiuvys yra toli vienas nuo kito?

32. Tarkime, reikėjo nueiti į biblioteką, taupomąją kasą, paštą ir pasitaisyti batus. Norint pasirinkti trumpiausią maršrutą, reikia apgalvoti visus galimus variantus. Kiek yra pagrįstų maršrutų, jei biblioteka ir paštas yra šalia, bet toli nuo taupomosios kasos ir batsiuvio, esančios toli vienas nuo kito?

33. Tarp vagone važiavusių keleivių kilo gyva diskusija dėl keturių žurnalų. Paaiškėjo, kad visi prenumeruoja du žurnalus, o kiekvieną iš galimų dviejų žurnalų kombinacijų prenumeruoja vienas žmogus. Kiek žmonių buvo šioje grupėje?

34 . Yra penki kubeliai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik spalva: 2 raudoni, 1 baltas ir 2 juodi. Yra dvi dėžės A ir B, o A talpina 2 kubelius, o B – 3. Kiek skirtingų būdų šiuos kubelius galima sudėti į A ir B dėžutes?

35. Kad carui-tėvui atgabentų jauninančius obuolius, Ivanas Tsarevičius turi rasti vienintelį tikrą kelią į stebuklingą sodą. Ivanas Tsarevičius trijų kelių išsišakojime sutiko seną varną ir štai ką iš jo išgirdo patarimas:

1) dabar eik teisingu keliu;

2) prie kito išsišakojimo nepasukti teisingu keliu;

3) trečiame išsišakojime nevažiuokite kairiuoju keliu.

Praskridęs balandis sušnibždėjo Ivanui Carevičiui, kad tik vienas varno patarimas buvo teisingas ir kad būtina eiti keliais skirtingomis kryptimis. Mūsų herojus atliko užduotį ir atsidūrė stebuklingame sode. Kokiu keliu jis važiavo?