Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis yra rasti matematinį lūkestį. Išspręstos problemos dėl DSV

X pateikiamas tikimybių skirstinio dėsniu: Tada jo standartinis nuokrypis lygus ... 0,80

Sprendimas:
Atsitiktinio dydžio X standartinis nuokrypis apibrėžiamas kaip , kur diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija gali būti apskaičiuojama naudojant formulę Tada , ir

Sprendimas:
A(atsitiktinai nupieštas rutulys yra juodas) pritaikome bendrosios tikimybės formulę: Čia yra tikimybė, kad baltas rutulys buvo perkeltas iš pirmosios urnos į antrąją; – tikimybė, kad juodas rutulys buvo perkeltas iš pirmosios urnos į antrąją; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra juodas, jei baltas rutulys buvo perkeltas iš pirmos urnos į antrą; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra juodas, jei juodas rutulys buvo perkeltas iš pirmos urnos į antrą.

Diskrečiasis atsitiktinis dydis X pateikiamas tikimybių skirstinio dėsniu: Tada tikimybė lygus...

Sprendimas:
Diskretaus atsitiktinio dydžio dispersija gali būti apskaičiuojama naudojant formulę. Tada

Arba . Išspręsdami paskutinę lygtį, gauname dvi šaknis ir

Tema: Tikimybių nustatymas
12 dalių partijoje yra 5 sugedusios dalys. Atsitiktinai atrinktos trys dalys. Tada tikimybė, kad tarp pasirinktų dalių nėra tinkamų dalių, lygi...

Sprendimas:
Norėdami apskaičiuoti įvykį A (tarp pasirinktų dalių nėra tinkamų dalių), naudojame formulę kur n m– elementariųjų baigčių, palankių įvykiui A, skaičius. Mūsų atveju bendras galimų elementarių baigčių skaičius yra lygus būdų, kuriais iš 12 turimų, galima išskirti tris detales, t.

Ir bendras palankių rezultatų skaičius yra lygus būdų, kaip iš penkių galima išskirti tris sugedusias dalis, skaičiui, t.

Juridiniams asmenims bankas išduoda 44 proc., fiziniams asmenims – 56 proc. Tikimybė, kad juridinis asmuo laiku negrąžins paskolos, yra 0,2; o individui ši tikimybė yra 0,1. Tada tikimybė, kad kita paskola bus grąžinta laiku, yra...

0,856

Sprendimas:
Apskaičiuoti įvykio tikimybę A(išduota paskola bus grąžinta laiku) taikykite bendrosios tikimybės formulę: . Čia yra tikimybė, kad paskola buvo išduota juridiniam asmeniui; – tikimybė, kad paskola buvo išduota asmeniui; – sąlyginė tikimybė, kad paskola bus grąžinta laiku, jei ji buvo išduota juridiniam asmeniui; – sąlyginė tikimybė, kad paskola bus grąžinta laiku, jei ji buvo išduota fiziniam asmeniui. Tada

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui X

0,655

Tema: Tikimybių nustatymas
Kauliukas metamas du kartus. Tada tikimybė, kad susuktų taškų suma yra ne mažesnė kaip devyni, yra...

Sprendimas:
Norėdami apskaičiuoti įvykį (surinktų taškų suma bus ne mažesnė kaip devyni), naudojame formulę , kur yra bendras galimų elementarių testo rezultatų skaičius ir m– elementarių įvykių, palankių įvykiui įvykti, skaičius A. Mūsų atveju tai įmanoma elementarių testų rezultatai, iš kurių palankūs yra , , , , , , , ir formos rezultatai, tai yra. Vadinasi,

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai

tikimybių pasiskirstymo funkcija yra tokia:

Tada parametro reikšmė gali būti lygi...

			0,7

			0,85
			0,6

Sprendimas:
Pagal apibrėžimą . Todėl ir. Šias sąlygas tenkina, pavyzdžiui, vertė

Tema: Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos
Nuolatinis atsitiktinis kintamasis nurodomas tikimybių pasiskirstymo funkcija:

Tada jo dispersija yra...

Sprendimas:
Šis atsitiktinis dydis intervale pasiskirsto tolygiai. Tada jo dispersiją galima apskaičiuoti naudojant formulę . Tai yra

Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės
Pirmoje urnoje yra 6 juodi rutuliai ir 4 balti rutuliai. Antroje urnoje yra 2 balti ir 8 juodi rutuliai. Iš atsitiktinės urnos buvo paimtas vienas kamuoliukas, kuris pasirodė baltas. Tada tikimybė, kad šis rutulys buvo ištrauktas iš pirmosios urnos, yra...

Sprendimas:
A(atsitiktinai nupieštas rutulys yra baltas) pagal bendrosios tikimybės formulę: . Čia yra tikimybė, kad kamuolys bus ištrauktas iš pirmosios urnos; – tikimybė, kad kamuolys bus ištrauktas iš antrosios urnos; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei jis ištrauktas iš pirmosios urnos; yra sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei jis ištrauktas iš antrosios urnos.
Tada .
Dabar apskaičiuokime sąlyginę tikimybę, kad šis rutulys buvo ištrauktas iš pirmosios urnos pagal Bayes formulę:

Tema: Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos
Diskretus atsitiktinis dydis X yra pateikta tikimybių pasiskirstymo dėsnio:

Tada jo dispersija yra...

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Sprendimas:
Diskretaus atsitiktinio dydžio dispersija gali būti apskaičiuojama naudojant formulę

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai

Sprendimas:
Pagal apibrėžimą . Tada
a) , ,
b) , ,
c) , ,
d) , ,
d) , .
Vadinasi,

Tema: Tikimybių nustatymas
Taškas atsitiktinai išmestas 4 spindulio apskritimo viduje. Tada tikimybė, kad taškas bus už apskritimo kvadrato ribų, yra...

Tema: Tikimybių nustatymas
12 dalių partijoje yra 5 sugedusios dalys. Atsitiktinai atrinktos trys dalys. Tada tikimybė, kad tarp pasirinktų dalių nėra sugedusių dalių, lygi...

Sprendimas:
Įvykiui apskaičiuoti (tarp pasirinktų dalių nėra defektinių dalių) naudojame formulę kur n yra bendras galimų elementarių testų rezultatų skaičius ir m– elementarių įvykių, palankių įvykiui įvykti, skaičius. Mūsų atveju bendras galimų elementarių rezultatų skaičius yra lygus skaičiui būdų, kuriais iš 12 turimų galima išskirti tris detales, t. Ir bendras palankių rezultatų skaičius yra lygus būdų, kaip iš septynių galima išgauti tris nesugedusias dalis, skaičiui, t. Vadinasi,

Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Sprendimas:
Apskaičiuoti įvykio tikimybę A
Tada

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskretus atsitiktinis dydis nurodomas tikimybių pasiskirstymo dėsniu:

Tada tikimybė lygus...

Sprendimas:
Pasinaudokime formule . Tada

Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Sprendimas:
Pirmiausia apskaičiuokime įvykio tikimybę A
.
.

Tema: Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos

Tada jo matematinis lūkestis yra...

Sprendimas:
Pasinaudokime formule . Tada .

Tema: Tikimybių nustatymas

Sprendimas:

Tema: Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos
Ištisinis atsitiktinis dydis nurodomas tikimybių pasiskirstymo tankiu . Tada matematinis lūkestis a ir šio atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis yra lygus ...

Sprendimas:
Normalaus pasiskirstymo atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankis turi formą , Kur,. Štai kodėl .

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskretus atsitiktinis dydis nurodomas tikimybių pasiskirstymo dėsniu:

Tada vertybės a Ir b gali buti lygus...

Sprendimas:
Kadangi galimų verčių tikimybių suma yra lygi 1, tada . Atsakymas tenkina šią sąlygą: .

Tema: Tikimybių nustatymas
Mažesnis 5 spindulio apskritimas dedamas į 8 spindulio apskritimą. Tada tikimybė, kad taškas, atsitiktinai įmestas į didesnį apskritimą, taip pat pateks į mažesnį apskritimą, yra ...

Sprendimas:
Norėdami apskaičiuoti norimo įvykio tikimybę, naudojame formulę , kur yra mažesnio apskritimo plotas ir didesnio apskritimo plotas. Vadinasi, .

Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės
Pirmoje urnoje yra 3 juodi rutuliai ir 7 balti rutuliai. Antroje urnoje yra 4 balti rutuliai ir 5 juodi rutuliai. Vienas rutulys buvo perkeltas iš pirmosios urnos į antrąją. Tada tikimybė, kad iš antrosios urnos atsitiktinai ištrauktas rutulys bus baltas, yra...

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

Sprendimas:
Apskaičiuoti įvykio tikimybę A(atsitiktinai nupieštas rutulys yra baltas) taikykite bendrosios tikimybės formulę: . Čia yra tikimybė, kad baltas rutulys buvo perkeltas iš pirmosios urnos į antrąją; – tikimybė, kad juodas rutulys buvo perkeltas iš pirmosios urnos į antrąją; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei baltas rutulys buvo perkeltas iš pirmos urnos į antrą; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei juodas rutulys perkeliamas iš pirmos urnos į antrą.
Tada

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui:

tikimybių pasiskirstymo funkcija yra tokia:

Tada parametro reikšmė gali būti lygi...

			0,7

			0,85
			0,6

N 10 UŽDUOTIS pranešti apie klaidą
Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės
Juridiniams asmenims bankas išduoda 70 proc. visų paskolų, fiziniams asmenims – 30 proc. Tikimybė, kad juridinis asmuo laiku negrąžins paskolos, yra 0,15; o individui ši tikimybė yra 0,05. Buvo gautas pranešimas, kad paskola negrąžinta. Tuomet tikimybė, kad juridinis asmuo šios paskolos negrąžino, yra...

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Sprendimas:
Pirmiausia apskaičiuokime įvykio tikimybę A(išduota paskola nebus grąžinta laiku) pagal bendrosios tikimybės formulę: . Čia yra tikimybė, kad paskola buvo išduota juridiniam asmeniui; – tikimybė, kad paskola buvo išduota asmeniui; – sąlyginė tikimybė, kad paskola nebus grąžinta laiku, jei ji buvo išduota juridiniam asmeniui; – sąlyginė tikimybė, kad paskola nebus grąžinta laiku, jei ji buvo išduota fiziniam asmeniui. Tada
.
Dabar pagal Bayes formulę apskaičiuokime sąlyginę tikimybę, kad juridinis asmuo negrąžino šios paskolos:
.

UŽDUOTIS N 11 praneškite apie klaidą
Tema: Tikimybių nustatymas
12 dalių partijoje yra 5 sugedusios dalys. Atsitiktinai atrinktos trys dalys. Tada tikimybė, kad tarp pasirinktų dalių nėra tinkamų dalių, lygi...

Sprendimas:
Norėdami apskaičiuoti įvykį (tarp pasirinktų dalių nėra tinkamų dalių), naudojame formulę kur n yra bendras galimų elementarių testų rezultatų skaičius ir m– elementarių įvykių, palankių įvykiui įvykti, skaičius. Mūsų atveju bendras galimų elementarių rezultatų skaičius yra lygus būdų, kuriais galima išskirti tris detales iš 12 turimų, skaičiui. Ir bendras palankių rezultatų skaičius yra lygus būdų, kaip iš penkių galima išskirti tris sugedusias dalis, skaičiui, t. Vadinasi,

UŽDUOTIS N 12 praneškite apie klaidą
Tema: Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos
Nuolatinis atsitiktinis kintamasis nurodomas tikimybių pasiskirstymo tankiu:

Tada jo dispersija yra...

Sprendimas:
Ištisinio atsitiktinio dydžio dispersiją galima apskaičiuoti naudojant formulę

Tada

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskretus atsitiktinis dydis nurodomas tikimybių pasiskirstymo dėsniu:

Tada jos tikimybių pasiskirstymo funkcija turi formą...

Sprendimas:
Pagal apibrėžimą . Tada
a) , ,
b) , ,
c) , ,
d) , ,
d) , .
Vadinasi,

Tema: Bendra tikimybė. Bayes formulės
Yra trys urnos, kuriose yra 5 balti ir 5 juodi rutuliai, ir septynios urnos, kuriose yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Vienas rutulys ištraukiamas iš atsitiktinės urnos. Tada tikimybė, kad šis rutulys yra baltas, yra...

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Sprendimas:
Apskaičiuoti įvykio tikimybę A(atsitiktinai nupieštas rutulys yra baltas) taikykite bendrosios tikimybės formulę: . Čia yra tikimybė, kad kamuoliukas bus ištrauktas iš pirmosios urnų serijos; – tikimybė, kad kamuolys bus ištrauktas iš antrosios urnų serijos; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei jis ištrauktas iš pirmosios urnų serijos; – sąlyginė tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas, jei jis ištrauktas iš antrosios urnų serijos.
Tada .

Tema: Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo dėsniai
Diskretus atsitiktinis dydis nurodomas tikimybių pasiskirstymo dėsniu:

Tada tikimybė lygus...

Tema: Tikimybių nustatymas
Kauliukas metamas du kartus. Tada tikimybė, kad ištrauktų taškų suma yra dešimt, yra...

Apibrėžimas 2.3. Atsitiktinis dydis, žymimas X, vadinamas diskrečiu, jeigu jis įgauna baigtinę arba skaičiuojamą reikšmių rinkinį, t.y. aibė – baigtinė arba skaičiuojama aibė.

Panagrinėkime diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžius.

1. Dvi monetos metamos vieną kartą. Šio eksperimento emblemų skaičius yra atsitiktinis dydis X. Jo galimos reikšmės yra 0,1,2, t.y. – baigtinis rinkinys.

2. Užfiksuojamas greitosios pagalbos iškvietimų skaičius per tam tikrą laikotarpį. Atsitiktinis kintamasis X– skambučių skaičius. Galimos jo reikšmės yra 0, 1, 2, 3, ..., t.y. =(0,1,2,3,...) yra skaičiuojama aibė.

3. Grupėje yra 25 mokiniai. Tam tikrą dieną fiksuojamas į pamoką atėjusių mokinių skaičius – atsitiktinis dydis X. Galimos jo reikšmės: 0, 1, 2, 3, ...,25 t.y. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Nors visi 25 žmonės 3 pavyzdyje negali praleisti pamokų, atsitiktinis kintamasis X gali priimti šią vertę. Tai reiškia, kad atsitiktinio dydžio reikšmės turi skirtingas tikimybes.

Panagrinėkime matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio modelį.

Tegul atliekamas atsitiktinis eksperimentas, atitinkantis baigtinę arba skaičiuojamą elementariųjų įvykių erdvę. Panagrinėkime šios erdvės atvaizdavimą realiųjų skaičių aibėje, t.y. kiekvienam elementariajam įvykiui priskirkime tam tikrą realųjį skaičių , . Skaičių aibė gali būti baigtinė arba skaičiuojama, t.y. arba

Poaibių sistema, apimanti bet kurį poaibį, įskaitant ir vienataškį, sudaro skaitinės aibės ( – baigtinę arba skaičiuojamą) -algebrą.

Kadangi bet koks elementarus įvykis yra susijęs su tam tikromis tikimybėmis p i(jei viskas baigta), ir , tada kiekviena atsitiktinio dydžio reikšmė gali būti susieta su tam tikra tikimybe p i, toks kad .

Leiskite X yra savavališkas realusis skaičius. Pažymėkime R X (x) tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X paėmė vertę, lygią X, t.y. P X (x) = P (X = x). Tada funkcija R X (x) gali priimti teigiamas reikšmes tik toms vertėms X, kurie priklauso baigtinei arba skaičiuojamai aibei , o visoms kitoms reikšmėms šios vertės tikimybė P X (x) = 0.

Taigi, mes apibrėžėme reikšmių rinkinį -algebra kaip bet kokių poaibių sistemą ir kiekvienam įvykiui ( X = x) palygino tikimybę bet kokiam, t.y. sukonstravo tikimybių erdvę.

Pavyzdžiui, eksperimento, kurį sudaro simetriškos monetos metimas du kartus, elementariųjų įvykių erdvė susideda iš keturių elementarių įvykių: , kur

Kai moneta buvo išmesta du kartus, pasirodė dvi uodegos; monetą išmetus du kartus, nukrito du herbai;

Ant pirmojo monetos metimo iškilo maiša, o antroje – herbas;

Ant pirmojo monetos metimo iškilo herbas, o antroje – maišos ženklas.

Tegul atsitiktinis dydis X– grotelių iškritimų skaičius. Jis apibrėžiamas ir jo reikšmių rinkinys . Visi galimi poaibiai, įskaitant ir vienataškius, sudaro algebrą, t.y. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Įvykio tikimybė ( X=x i}, і = 1,2,3, mes jį apibrėžiame kaip įvykio, kuris yra jo prototipas, tikimybę:

Taigi, elementariuose įvykiuose ( X = x i) nustatykite skaitinę funkciją R X, Taigi .

Apibrėžimas 2.4. Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra skaičių porų rinkinys (x i, р i), kur x i yra galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, o р i yra tikimybės, su kuriomis jis gauna šias reikšmes, ir .

Paprasčiausias diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio nustatymo būdas yra lentelė, kurioje pateikiamos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir atitinkamos tikimybės:

			…		…
			…		…

Tokia lentelė vadinama paskirstymo serija. Kad platinimo serija būtų vizualesnė, ji pavaizduota grafiškai: ašyje Oi taškais x i ir nubrėžkite iš jų ilgio statmenis p i. Gauti taškai sujungiami ir gaunamas daugiakampis, kuris yra viena iš skirstinio dėsnio formų (2.1 pav.).

Taigi, norėdami nurodyti diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį, turite nurodyti jo reikšmes ir atitinkamas tikimybes.

2.2 pavyzdys. Aparato grynųjų pinigų lizdas suveikia kiekvieną kartą, kai su tikimybe įdedama moneta r. Kai jis suveikia, monetos nenukrenta. Leiskite X– monetų, kurias reikia įmesti prieš suveikiant automato grynųjų pinigų lizdą, skaičius. Sukurkite diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo seką X.

Sprendimas. Galimos atsitiktinio dydžio reikšmės X: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ... Raskime šių verčių tikimybes: 1 p– tikimybę, kad pinigų imtuvas veiks pirmą kartą jį nuleidus, ir p 1 = p; 2 p. – tikimybė, kad bus atlikti du bandymai. Tam reikia, kad: 1) pinigų gavėjas neveiktų iš pirmo karto; 2) antruoju bandymu pavyko. Šio įvykio tikimybė yra (1–р)р. Taip pat ir taip toliau, . Paskirstymo diapazonas Xįgaus formą

	1	2	3	…	Į	…
	r	qp	q 2 p		q r -1 p

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybės r k sudaryti geometrinę progresiją su vardikliu: 1–p=q, q<1, todėl šis tikimybių skirstinys vadinamas geometrinis.

Darykime prielaidą, kad buvo sukurtas matematinis modelis eksperimentas, aprašytas diskrečiu atsitiktiniu dydžiu X, ir apsvarstykite galimybę apskaičiuoti savavališkų įvykių tikimybę.

Tegul savavališkame įvykyje yra baigtinis arba skaičiuojamas reikšmių rinkinys x i: A= {x 1, x 2,..., x i, ...) .Įvykis A gali būti pavaizduota kaip nesuderinamų įvykių sąjunga formos: . Tada, naudojant Kolmogorovo aksiomą 3 , gauname

kadangi įvykių pasireiškimo tikimybes nustatėme lygias įvykių, kurie yra jų prototipai, atsiradimo tikimybėms. Tai reiškia, kad bet kokio įvykio tikimybė , , galima apskaičiuoti naudojant formulę, nes šis įvykis gali būti pavaizduotas įvykių sąjungos pavidalu, kur .

Tada paskirstymo funkcija F(x) = Р(–<Х<х) randama pagal formulę. Iš to išplaukia, kad diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X yra nenutrūkstamas ir didėja šuoliais, t. y. tai žingsninė funkcija (2.2 pav.):

Jei aibė baigtinė, tai terminų skaičius formulėje yra baigtinis, o jei skaičiuojama, tai terminų skaičius yra skaičiuojamas.

2.3 pavyzdys. Techninis įrenginys susideda iš dviejų elementų, kurie veikia nepriklausomai vienas nuo kito. Pirmojo elemento gedimo tikimybė per laiką T yra 0,2, o antrojo elemento gedimo tikimybė yra 0,1. Atsitiktinis kintamasis X– nepavykusių elementų skaičius per laiką T. Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją ir nubraižykite jos grafiką.

Sprendimas. Eksperimento, susidedančio iš dviejų techninio įrenginio elementų patikimumo tyrimo, elementariųjų įvykių erdvę lemia keturi elementarūs įvykiai , , , : – abu elementai veikia; – pirmasis elementas veikia, antrasis sugedęs; – pirmasis elementas sugedęs, antrasis veikia; – abu elementai yra sugedę. Kiekvienas elementarus įvykis gali būti išreikštas elementariais erdvių įvykiais Ir , kur – veikia pirmasis elementas; – sugedo pirmasis elementas; – veikia antrasis elementas; – sugedo antrasis elementas. Tada ir kadangi techninio prietaiso elementai veikia nepriklausomai vienas nuo kito, tada

8. Kokia tikimybė, kad diskrečiojo atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui?

Diskretus vadinamas atsitiktiniu dydžiu, kuris su tam tikromis tikimybėmis gali įgyti atskiras, izoliuotas reikšmes.

1 PAVYZDYS. Kiek kartų herbas pasirodo trijose monetose. Galimos reikšmės: 0, 1, 2, 3, jų tikimybės atitinkamai lygios:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

2 PAVYZDYS. Sugedusių elementų skaičius įrenginyje, kurį sudaro penki elementai. Galimos reikšmės: 0, 1, 2, 3, 4, 5; jų tikimybės priklauso nuo kiekvieno elemento patikimumo.

Diskretus atsitiktinis dydis X gali būti pateikta skirstinio seka arba skirstinio funkcija (integralinio skirstinio dėsnis).

Netoli platinimo yra visų galimų reikšmių rinkinys Xi ir atitinkamas tikimybes ri = P(X = xi), ją galima nurodyti kaip lentelę:

x i				x n
p i				р n

Tuo pačiu ir tikimybės ri patenkinti sąlygą

ri= 1, nes

kur yra galimų reikšmių skaičius n gali būti baigtinis arba begalinis.

Grafinis pasiskirstymo serijos vaizdavimas vadinamas paskirstymo daugiakampiu . Norėdami jį sukurti, galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ( Xi) brėžiami išilgai x ašies ir tikimybės ri- išilgai ordinačių ašies; taškų Ai su koordinatėmis ( Xaš, рi) yra sujungti trūkinėmis linijomis.

Paskirstymo funkcija atsitiktinis kintamasis X vadinama funkcija F(X), kurio vertė taške X yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis kintamasis X bus mažesnė už šią vertę X, tai yra

F(x) = P(X< х).

Funkcija F(X) Už diskrečiųjų atsitiktinių dydžių apskaičiuojamas pagal formulę

F(X) = ri , (1.10.1)

kur sumuojama visomis reikšmėmis i, kuriam Xi< х.

3 PAVYZDYS. Iš partijos, kurioje yra 100 gaminių, iš kurių 10 yra brokuotų, atsitiktine tvarka atrenkami penki gaminiai jų kokybei patikrinti. Sukurkite atsitiktinio skaičiaus skirstinių eilę X pavyzdyje esantys nekokybiški gaminiai.

Sprendimas. Kadangi pavyzdyje gaminių su trūkumais skaičius gali būti bet koks sveikasis skaičius nuo 0 iki 5 imtinai, galimos reikšmės Xi atsitiktinis kintamasis X yra lygūs:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Tikimybė R(X = k) kad pavyzdyje yra tiksliai k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) nekokybiški gaminiai, lygūs

P (X = k) = .

Skaičiuodami pagal šią formulę 0,001 tikslumu, gauname:

r 1 = P(X = 0) @ 0,583;r 2 = P(X = 1) @ 0,340;r 3 = P(X = 2) @ 0,070;

r 4 = P(X = 3) @ 0,007;r 5 = P(X= 4) @ 0;r 6 = P(X = 5) @ 0.

Patikrinkite lygybę rk=1, įsitikiname, kad skaičiavimai ir apvalinimas buvo atlikti teisingai (žr. lentelę).

x i
p i

4 PAVYZDYS. Duota atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilutė X :

x i
p i

Raskite tikimybių pasiskirstymo funkciją F(X) šio atsitiktinio dydžio ir sukonstruoti jį.

Sprendimas. Jeigu X Tada 10 svarų F(X)= P(X<X) = 0;

jei 10<X Tada 20 svarų F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

jei 20<X Tada £30 F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

jei 30<X Tada 40 svarų F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

jei 40<X Tada £50 F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Jeigu X> 50, tada F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Šiame puslapyje surinkome trumpą teoriją ir ugdymo problemų sprendimo pavyzdžius, kai diskretinis atsitiktinis dydis jau yra nurodytas jo pasiskirstymo serija (lentelės forma) ir jį reikia ištirti: rasti skaitines charakteristikas, sudaryti grafikus ir pan. Žinomų platinimo tipų pavyzdžius rasite šiose nuorodose:

Trumpa teorija apie DSV

Diskretus atsitiktinis kintamasis nurodomas jo pasiskirstymo serija: reikšmių $x_i$, kurias jis gali gauti, sąrašas ir atitinkamos tikimybės $p_i=P(X=x_i)$. Atsitiktinio dydžio reikšmių skaičius gali būti baigtinis arba skaičiuojamas. Tikslumui nagrinėsime atvejį $i=\overline(1,n)$. Tada diskretinio atsitiktinio dydžio vaizdavimas lentelėje yra tokia:

$$ \begin(masyvas)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(masyvas) $ $

Šiuo atveju tenkinama normalizavimo sąlyga: visų tikimybių suma turi būti lygi vienetui

$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$

Grafiškai galima pavaizduoti paskirstymo serijas paskirstymo daugiakampis(arba paskirstymo daugiakampis). Tam plokštumoje nubraižomi taškai su koordinatėmis $(x_i,p_i)$ ir sujungiami eilės tvarka laužta linija. Išsamių pavyzdžių rasite.

Skaitmeninės DSV charakteristikos

Matematiniai lūkesčiai:

$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$

Sklaida:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $

Standartinis nuokrypis:

$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$

Variacijos koeficientas:

$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.

Režimas: reikšmė $Mo=x_k$ su didžiausia tikimybe $p_k=\max_i(p_i)$.

Galite naudoti internetinius skaičiuotuvus, kad apskaičiuotumėte numatomą DSV vertę, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

DSV paskirstymo funkcija

Iš paskirstymo serijų galima sudaryti paskirstymo funkcija diskretinis atsitiktinis dydis $F(x)=P(X\lt x)$. Ši funkcija nurodo tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis mažesnę reikšmę nei tam tikras skaičius $x$. Konstravimo pavyzdžius su išsamiais skaičiavimais ir grafikais rasite toliau pateiktuose pavyzdžiuose.

Išspręstų problemų pavyzdžiai

1 užduotis. Diskretus atsitiktinis kintamasis nurodomas skirstinio seka:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Sukurkite skirstinio daugiakampį ir paskirstymo funkciją $F(x)$. Apskaičiuokite: $M[X], D[X], \sigma[X]$, taip pat variacijos koeficientą, pasvirumą, kreivę, režimą ir medianą.

2 užduotis. Pateikiamas diskretinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis.
a) nustatyti atsitiktinio dydžio X matematinę lūkestį M(x), dispersiją D(x) ir standartinį nuokrypį (x); b) sudaryti šio skirstinio grafiką.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

3 užduotis. Atsitiktiniam dydžiui X su tam tikra skirstinio seka
-1 0 1 8
0,2 0,1 $ р_1 $ р_2 $
A) raskite $p_1$ ir $p_2$, kad $M(X)=0,5$
B) po to apskaičiuokite atsitiktinio dydžio $X$ matematinę lūkesčius ir dispersiją ir nubraižykite jo pasiskirstymo funkciją

4 užduotis. Atskiras SV $X$ gali turėti tik dvi reikšmes: $x_1$ ir $x_2$ bei $x_1 \lt x_2$. Yra žinoma galimos reikšmės tikimybė $P$, matematinė lūkestis $M(x)$ ir dispersija $D(x)$. Raskite: 1) šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį; 2) SV paskirstymo funkcija $X$; 3) Sukurkite $F(x)$ grafiką.
$ P = 0,3; M(x) = 6,6; D(x)=13,44.$

5 užduotis. Atsitiktinis dydis X turi tris reikšmes: 2, 4 ir 6. Raskite šių reikšmių tikimybes, jei $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.

6 užduotis. Pateikiama diskrečiųjų r.v. $X$. Raskite r.v padėties ir sklaidos skaitines charakteristikas. $X$. Rasti m.o. ir dispersijos r.v. $Y=X/2-2$, neužrašant r.v. $Y$, patikrinkite rezultatą naudodami generavimo funkciją.
Sukurkite r.v paskirstymo funkciją. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0.3¦ 0.1¦ 0.3¦ 0.2¦ 0.1¦

7 užduotis. Diskretaus atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymas pateikiamas šioje lentelėje (šalia skirstinio):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Paskirstymo lentelėje nustatykite trūkstamą reikšmę. Apskaičiuokite pagrindines skaitines skirstinio charakteristikas: $M_x, D_x, \sigma_x$. Raskite ir sukurkite paskirstymo funkciją $F(x)$. Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis tokias reikšmes:
A) daugiau nei 6,
B) mažiau nei 12,
C) ne daugiau kaip 9.

8 užduotis. Problemai reikia rasti: a) matematinį lūkestį; b) dispersija; c) diskretinio atsitiktinio dydžio X standartinis nuokrypis pagal duotą jo pasiskirstymo dėsnį, pateiktą lentelėje (pirmoje lentelės eilutėje nurodomos galimos reikšmės, antroje – galimų reikšmių tikimybės).

9 užduotis. Pateikiamas diskretinio atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnis (pirmoje eilutėje rodomos galimos $x_i$ reikšmės, antroje eilutėje rodomos galimų $p_i$ reikšmių tikimybės).
Rasti:
A) matematinė lūkestis $M(X)$, dispersija $D(X)$ ir standartinis nuokrypis $\sigma(X)$;
B) sudaryti atsitiktinio dydžio $F(x)$ pasiskirstymo funkciją ir sudaryti jos grafiką;
C) apskaičiuokite tikimybę, kad atsitiktinis dydis $X$ pateks į intervalą $x_2 \lt X \lt x_4$, naudojant sudarytą skirstinio funkciją $F(x)$;
D) parengti paskirstymo dėsnį reikšmei $Y=100-2X$;
D) apskaičiuokite sudaryto atsitiktinio dydžio $Y$ matematinį lūkestį ir dispersiją dviem būdais, t.y. pasinaudodamas
matematinio lūkesčio ir sklaidos savybę, taip pat tiesiogiai pagal atsitiktinio dydžio $Y$ pasiskirstymo dėsnį.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

10 problema. Lentelei suteikiamas diskretinis atsitiktinis dydis. Apskaičiuokite jo pradinius ir centrinius momentus iki 4 eilės imtinai. Raskite įvykių $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi tikimybes $.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1

1 skyrius. Diskretus atsitiktinis dydis

§ 1. Atsitiktinio dydžio sąvokos.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis.

Apibrėžimas : Atsitiktinis yra dydis, kuris dėl testavimo iš galimo reikšmių rinkinio paima tik vieną reikšmę, kuri iš anksto nežinoma ir priklauso nuo atsitiktinių priežasčių.

Yra dviejų tipų atsitiktiniai dydžiai: diskretieji ir nuolatiniai.

Apibrėžimas : vadinamas atsitiktiniu dydžiu X diskretiškas (nepertraukiamas), jei jo reikšmių rinkinys yra baigtinis arba begalinis, bet skaičiuojamas.

Kitaip tariant, galimas diskrečiojo atsitiktinio dydžio reikšmes galima pernumeruoti.

Atsitiktinį kintamąjį galima apibūdinti naudojant jo pasiskirstymo dėsnį.

Apibrėžimas : Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis vadinti atitiktį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų tikimybių.

Diskretaus atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, kurios pirmoje eilutėje didėjimo tvarka nurodomos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, o antroje – atitinkamos jų tikimybės. vertybes, t.y.

kur р1+ р2+…+ рn=1

Tokia lentelė vadinama diskrečiojo atsitiktinio dydžio skirstinio seka.

Jei atsitiktinio dydžio galimų reikšmių aibė yra begalinė, tai eilutė p1+ p2+…+ pn+… suartėja ir jos suma lygi 1.

Grafiškai gali būti pavaizduotas diskretinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis, kuriam stačiakampėje koordinačių sistemoje nubrėžiama trūkinė linija, nuosekliai jungianti taškus su koordinatėmis (xi; pi), i=1,2,…n. Gauta eilutė vadinama paskirstymo daugiakampis (1 pav.).

Organinė chemija" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organinė chemija yra atitinkamai 0,7 ir 0,8. Sudarykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – egzaminų, kuriuos mokinys išlaikys, skaičių.

Sprendimas. Atsitiktinis dydis X, kaip egzamino rezultatas, gali turėti vieną iš šių reikšmių: x1=0, x2=1, x3=2.

Raskime šių reikšmių tikimybę Pažymime įvykius:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Taigi, atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį pateikia lentelė:

Kontrolė: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Paskirstymo funkcija

Išsamų atsitiktinio dydžio aprašymą taip pat pateikia pasiskirstymo funkcija.

Apibrėžimas: Diskretinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija vadinama funkcija F(x), kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis mažesnę nei x reikšmę:

F(x)=P(X<х)

Geometriškai pasiskirstymo funkcija interpretuojama kaip tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę, kuri skaičių tiesėje pavaizduota tašku, esančiu kairėje nuo taško x.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) yra nemažėjanti funkcija (-∞;+∞);

3) F(x) - ištisinis kairėje taškuose x= xi (i=1,2,...n) ir tolydis visuose kituose taškuose;

4) F(-∞) = P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Jei diskrečiojo atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis pateikiamas lentelės pavidalu:

tada paskirstymo funkcija F(x) nustatoma pagal formulę:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0, jei x≤ x1,

р1 prie x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 ties x2< х≤ х3

1 x> xn.

Jo grafikas parodytas 2 pav.

§ 3. Diskretaus atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos.

Viena iš svarbių skaitinių charakteristikų yra matematinis lūkestis.

Apibrėžimas: Matematinis lūkestis M(X) Diskretusis atsitiktinis dydis X yra visų jo reikšmių ir atitinkamų tikimybių sandaugų suma:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio vidutinės vertės charakteristika.

Matematinės lūkesčių savybės:

1)M(C)=C, kur C yra pastovi reikšmė;

2) M(C X) = C M(X),

3) M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), kur X, Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai;

5)M(X±C)=M(X)±C, kur C yra pastovi reikšmė;

Norint apibūdinti galimų diskretiškojo atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos laipsnį aplink jo vidutinę vertę, naudojama dispersija.

Apibrėžimas: Dispersija D ( X ) Atsitiktinis kintamasis X yra matematinis atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo matematinio tikėjimo kvadratas:

Dispersijos savybės:

1)D(C)=0, kur C yra pastovi reikšmė;

2)D(X)>0, kur X yra atsitiktinis dydis;

3)D(C X)=C2 D(X), kur C yra pastovi reikšmė;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), kur X, Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai;

Apskaičiuojant dispersiją dažnai patogu naudoti formulę:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

kur M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Dispersija D(X) turi kvadratinio atsitiktinio dydžio dydį, o tai ne visada patogu. Todėl reikšmė √D(X) taip pat naudojama kaip galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos indikatorius.

Apibrėžimas: Standartinis nuokrypis σ(X) Atsitiktinis kintamasis X vadinamas dispersijos kvadratine šaknimi:

2 užduotis. Diskrečiasis atsitiktinis dydis X nurodomas skirstymo dėsniu:

Raskite P2, pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite jos grafiką, taip pat M(X), D(X), σ(X).

Sprendimas: Kadangi atsitiktinio dydžio X galimų reikšmių tikimybių suma yra lygi 1, tada

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Raskime skirstinio funkciją F(x)=P(X

Geometriškai ši lygybė gali būti aiškinama taip: F(x) yra tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, kurią skaičių ašyje vaizduoja taškas, esantis kairėje nuo taško x.

Jei x≤-1, tai F(x)=0, nes (-∞;x) nėra nė vienos šio atsitiktinio dydžio reikšmės;

Jei -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Jei 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) yra dvi reikšmės x1=-1 ir x2=0;

Jei 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Jei 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Jei x>3, tai F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, nes keturios reikšmės x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 patenka į intervalą (-∞;x) ir x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 ties x≤-1,

0,1 iki -1<х≤0,

0,2 prie 0<х≤1,

F(x) = 0,5 ties 1<х≤2,

0,7 prie 2<х≤3,

1, x>3

Pavaizduokime funkciją F(x) grafiškai (3 pav.):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845.

§ 4. Binominio skirstinio dėsnis

Diskretusis atsitiktinis dydis, Puasono dėsnis.

Apibrėžimas: Binominis vadinamas diskretiškojo atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsniu – įvykio A atvejų skaičius n nepriklausomų pakartotinių bandymų, kurių kiekviename įvykis A gali įvykti su tikimybe p arba neįvykti su tikimybe q = 1-p. Tada P(X=m) – tikimybė, kad įvykis A įvyks tiksliai m kartų per n bandymų, apskaičiuojama naudojant Bernulio formulę:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Atsitiktinio dydžio X, paskirstyto pagal dvejetainį dėsnį, matematinė tikėtis, sklaida ir standartinis nuokrypis randami atitinkamai naudojant formules:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Įvykio A tikimybė – „penketo išleidimas“ kiekviename bandyme yra tokia pati ir lygi 1/6 , t.y. P(A)=p=1/6, tada P(A)=1-p=q=5/6, kur

- „nesugebėjimas gauti A“.

Atsitiktinis dydis X gali turėti šias reikšmes: 0;1;2;3.

Kiekvienos galimos X reikšmės tikimybę randame naudodami Bernulio formulę:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Tai. atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis yra toks:

Kontrolė: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Raskime atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas:

M(X) = np = 3 (1/6) = 1/2,

D(X) = npq = 3 (1/6) (5/6) = 5/12,

4 užduotis. Automatinė mašina štampuoja dalis. Tikimybė, kad pagaminta dalis bus sugedusi, yra 0,002. Raskite tikimybę, kad tarp 1000 pasirinktų dalių bus:

a) 5 su defektais;

b) bent vienas yra sugedęs.

Sprendimas: Skaičius n=1000 yra didelis, tikimybė pagaminti sugedusią detalę p=0,002 maža, o nagrinėjami įvykiai (pasirodo, kad dalis sugedusi) yra nepriklausomi, todėl galioja Puasono formulė:

Рn(m)= e- λ λm

Raskime λ=np=1000 0,002=2.

a) Raskite tikimybę, kad bus 5 sugedusios dalys (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Raskite tikimybę, kad bus bent viena sugedusi dalis.

Įvykis A – „bent viena iš pasirinktų dalių yra sugedusi“ yra priešinga įvykiui – „visos pasirinktos dalys nėra sugedusios, todėl P(A) = 1-P(). Vadinasi, reikalinga tikimybė yra lygi: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Savarankiško darbo užduotys.

1.1

1.2. Išsklaidytas atsitiktinis dydis X nurodomas pasiskirstymo dėsniu:

Raskite p4, pasiskirstymo funkciją F(X) ir nubraižykite jos grafiką, taip pat M(X), D(X), σ(X).

1.3. Dėžutėje yra 9 žymekliai, iš kurių 2 neberašo. Atsitiktinai paimkite 3 žymeklius. Atsitiktinis kintamasis X yra rašymo žymeklių skaičius tarp paimtų. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį.

1.4. Bibliotekos lentynoje atsitiktinai sustatyti 6 vadovėliai, iš kurių 4 įrišti. Bibliotekininkė atsitiktinai paima 4 vadovėlius. Atsitiktinis kintamasis X yra įrištų vadovėlių skaičius tarp paimtų. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį.

1.5. Ant bilieto yra dvi užduotys. Tikimybė teisingai išspręsti pirmąjį uždavinį yra 0,9, antrąjį - 0,7. Atsitiktinis kintamasis X yra teisingai išspręstų problemų skaičius biliete. Sudarykite pasiskirstymo dėsnį, apskaičiuokite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją, taip pat suraskite pasiskirstymo funkciją F(x) ir sukurkite jos grafiką.

1.6. Trys šauliai šaudo į taikinį. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,5 pirmajam šauliui, 0,8 – antrajam, 0,7 – trečiajam. Atsitiktinis kintamasis X yra smūgių į taikinį skaičius, jei šauliai iššauna vieną šūvį vienu metu. Raskite pasiskirstymo dėsnį, M(X),D(X).

1.7. Krepšininkas meta kamuolį į krepšį, kurio kiekvieno metimo tikimybė yra 0,8. Už kiekvieną pataikymą jis gauna 10 taškų, o jei nepataiko, taškai jam neskiriami. Sudarykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – krepšininko surinktų taškų skaičių per 3 metimus. Raskite M(X),D(X), taip pat tikimybę, kad jis gaus daugiau nei 10 taškų.

1.8. Ant kortelių rašomos raidės, iš viso 5 balsės ir 3 priebalsiai. Atsitiktinai parenkamos 3 kortelės ir kiekvieną kartą paimta kortelė grąžinama atgal. Atsitiktinis kintamasis X yra balsių skaičius tarp paimtų balsių. Sudarykite pasiskirstymo dėsnį ir raskite M(X),D(X),σ(X).

1.9. Vidutiniškai mažiau nei 60% sutarčių draudimo bendrovė sumoka draudimo sumas, susijusias su įvykusiu draudiminiu įvykiu. Sudarykite atsitiktinio dydžio X paskirstymo dėsnį – sutarčių, už kurias buvo sumokėta draudimo suma, skaičius tarp keturių atsitiktinai atrinktų sutarčių. Raskite šio dydžio skaitines charakteristikas.

1.10. Radijo stotis tam tikrais intervalais siunčia šaukinius (ne daugiau kaip keturis), kol užmezgamas dvipusis ryšys. Tikimybė gauti atsakymą į šaukinį yra 0,3. Atsitiktinis kintamasis X yra išsiųstų šaukinių skaičius. Sudarykite paskirstymo dėsnį ir raskite F(x).

1.11. Yra 3 rakteliai, iš kurių tik vienas tinka spynai. Sudarykite atsitiktinio dydžio X bandymų atidaryti spyną skaičiaus pasiskirstymo dėsnį, jei bandytas raktas nedalyvauja tolesniuose bandymuose. Raskite M(X), D(X).

1.12. Siekiant užtikrinti patikimumą, atliekami nuoseklūs nepriklausomi trijų įrenginių bandymai. Kiekvienas paskesnis įrenginys išbandomas tik tuo atveju, jei ankstesnis pasirodė patikimas. Kiekvieno įrenginio testo išlaikymo tikimybė yra 0,9. Sudarykite atsitiktinio dydžio X išbandytų įrenginių pasiskirstymo dėsnį.

1.13 .Diskretusis atsitiktinis kintamasis X turi tris galimas reikšmes: x1=1, x2, x3 ir x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Elektroninio įrenginio bloke yra 100 identiškų elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė per laiką T yra 0,002. Elementai veikia savarankiškai. Raskite tikimybę, kad ne daugiau kaip du elementai suges per laiką T.

1.15. Vadovėlis išleistas 50 000 egzempliorių tiražu. Tikimybė, kad vadovėlis įrištas neteisingai, yra 0,0002. Raskite tikimybę, kad cirkuliacijoje yra:

a) keturios brokuotos knygos,

b) mažiau nei dvi brokuotos knygos.

1 .16. Kas minutę į PBX atvykstančių skambučių skaičius paskirstomas pagal Puasono dėsnį parametru λ=1,5. Raskite tikimybę, kad po minutės ateis:

a) du skambučiai;

b) bent vienas skambutis.

1.17.

Raskite M(Z),D(Z), jei Z=3X+Y.

1.18. Pateikiami dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai:

Raskite M(Z),D(Z), jei Z=X+2Y.

Atsakymai:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4; 0, kai x≤-2,

0,3 iki -2<х≤0,

F(x) = 0,5 esant 0<х≤2,

0,9 prie 2<х≤5,

1 x>5

1.2. p4=0,1; 0, kai x≤-1,

0,3 prie -1<х≤0,

0,4 prie 0<х≤1,

F(x) = 0,6 ties 1<х≤2,

0,7 prie 2<х≤3,

1, x>3

M(X) = 1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 x ≤0,

0,03 prie 0<х≤1,

F(x) = 0,37 ties 1<х≤2,

1 x>2

M(X) = 2; D(X)=0,62

M(X) = 2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X) = 15/8; D(X) = 45/64; σ(X) ≈

M(X) = 2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X) = 2; D(X) = 2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a)0,0189; b) 0,00049

1.16. a)0,0702; b)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

2 skyrius. Nuolatinis atsitiktinis dydis

Apibrėžimas: Nuolatinis yra dydis, kurio visos galimos reikšmės visiškai užpildo baigtinį arba begalinį skaičių eilutės intervalą.

Akivaizdu, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis.

Ištisinis atsitiktinis dydis gali būti nurodytas naudojant paskirstymo funkciją.

Apibrėžimas: F paskirstymo funkcija ištisinis atsitiktinis kintamasis X vadinamas funkcija F(x), kuri kiekvienai reikšmei nustato xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R

Pasiskirstymo funkcija kartais vadinama kaupiamojo pasiskirstymo funkcija.

Paskirstymo funkcijos savybės:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra ištisinė bet kuriame taške ir diferencijuota visur, išskyrus, galbūt, atskirus taškus.

3) Tikimybė, kad atsitiktinis dydis X pateks į vieną iš intervalų (a;b), [a;b], [a;b], yra lygi funkcijos F(x) reikšmių skirtumui. taškuose a ir b, t.y. R(a)<Х

4) Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis X įgis vieną atskirą reikšmę, yra 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Ištisinio atsitiktinio dydžio nurodymas naudojant paskirstymo funkciją nėra vienintelis būdas. Įveskime tikimybių pasiskirstymo tankio (paskirstymo tankio) sąvoką.

Apibrėžimas : Tikimybių pasiskirstymo tankis f ( x ) ištisinio atsitiktinio dydžio X yra jo pasiskirstymo funkcijos išvestinė, ty:

Tikimybių tankio funkcija kartais vadinama diferencinio pasiskirstymo funkcija arba diferencinio pasiskirstymo dėsniu.

Tikimybių tankio skirstinio f(x) grafikas vadinamas tikimybių pasiskirstymo kreivė .

Tikimybių tankio skirstinio savybės:

1) f(x) ≥0, adresu xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" aukštis ="62 src="> 0 x ≤2,

f(x)= c(x-2) ties 2<х≤6,

0 x>6.

Raskite: a) c reikšmę; b) pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją; c) P(3≤x<5)

Sprendimas:

+ ∞

a) C reikšmę randame iš normalizavimo sąlygos: ∫ f(x)dx=1.

Todėl -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

jei 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 x ≤2,

F(x)= (x-2) 2/16 ties 2<х≤6,

1 x>6.

Funkcijos F(x) grafikas parodytas 3 pav

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 x ≤0,

F(x)= (3 arctan x)/π esant 0<х≤√3,

1 x>√3.

Raskite diferencinio pasiskirstymo funkciją f(x)

Sprendimas: Kadangi f(x)= F’(x), tada

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Visos matematinio lūkesčio ir sklaidos savybės, aptartos anksčiau pasklidiesiems atsitiktiniams dydžiams, galioja ir tolydžiosioms.

Užduotis Nr.3. Atsitiktinis dydis X nurodomas diferencine funkcija f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6 = 31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 –

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Savarankiško sprendimo problemos.

2.1. Nuolatinis atsitiktinis dydis X nurodomas paskirstymo funkcija:

0, kai x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0, jei x≤ π/6,

F(x)= – cos 3x ties π/6<х≤ π/3,

1, kai x> π/3.

Raskite diferencinio pasiskirstymo funkciją f(x), taip pat

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0, kai x≤2,

f(x)= c x ties 2<х≤4,

0 x>4.

2.4. Nuolatinis atsitiktinis dydis X nurodomas pasiskirstymo tankiu:

0, kai x≤0,

f(x)= c √x esant 0<х≤1,

0 x>1.

Raskite: a) skaičių c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> ties x,

0 ties x.

Raskite: a) F(x) ir nubraižykite jį; b) M(X), D(X), σ(X); c) tikimybę, kad keturiuose nepriklausomuose bandymuose X reikšmė lygiai 2 kartus viršys reikšmę, priklausančią intervalui (1;4).

2.6. Pateikiamas nuolatinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis:

f(x)= 2(x-2) ties x,

0 ties x.

Raskite: a) F(x) ir nubraižykite jį; b) M(X), D(X), σ (X); c) tikimybę, kad per tris nepriklausomus bandymus X reikšmė lygiai 2 kartus viršys segmentui priklausančią reikšmę.

2.7. F(x) funkcija pateikiama taip:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. F(x) funkcija pateikiama taip:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Raskite: a) konstantos c reikšmę, kuriai esant funkcija bus kokio nors atsitiktinio dydžio X tikimybės tankis; b) pasiskirstymo funkcija F(x).

2.9. Atsitiktinis dydis X, sutelktas į intervalą (3;7), nurodomas pasiskirstymo funkcija F(x)= . Raskite tikimybę, kad

Atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę: a) mažesnę nei 5, b) ne mažesnę nei 7.

2.10. Atsitiktinis kintamasis X, sutelktas į intervalą (-1;4),

pateikiama pasiskirstymo funkcija F(x)= . Raskite tikimybę, kad

Atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę: a) mažesnę nei 2, b) ne mažesnę nei 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Raskite: a) skaičių c; b) M(X); c) tikimybė P(X> M(X)).

2.12. Atsitiktinis dydis nurodomas diferencinio pasiskirstymo funkcija:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Raskite: a) M(X); b) tikimybė P(X≤M(X))

2.13. Rem skirstinys pateikiamas tikimybių tankiu:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0.

Įrodykite, kad f(x) iš tikrųjų yra tikimybės tankio funkcija.

2.14. Pateikiamas nuolatinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(4 pav.) (5 pav.)

2.16. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal „stačiojo trikampio“ dėsnį intervale (0;4) (5 pav.). Raskite tikimybės tankio f(x) analitinę išraišką visoje skaičių eilutėje.

Atsakymai

0, kai x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0, jei x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x ties π/6<х≤ π/3,

0, kai x> π/3. Ištisinis atsitiktinis kintamasis X turi vienodą pasiskirstymo dėsnį tam tikrame intervale (a;b), kuriam priklauso visos galimos X reikšmės, jei tikimybių pasiskirstymo tankis f(x) šiame intervale yra pastovus ir lygus 0 išorėje. tai, t.y.

0 x≤a,

f(x)= a<х

0 x≥b.

Funkcijos f(x) grafikas parodytas pav. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤a,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Užduotis Nr.1. Atsitiktinis dydis X yra tolygiai paskirstytas segmente. Rasti:

a) tikimybių pasiskirstymo tankį f(x) ir nubraižykite jį;

b) pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją;

c) M(X), D(X), σ(X).

Sprendimas: Naudodami aukščiau aptartas formules, kai a=3, b=7, randame:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7,

0 x>7

Sukurkime jo grafiką (3 pav.):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 x ≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">4 pav.

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 at x<0,

f(x)= λе-λх, kai x≥0.

Atsitiktinio dydžio X, paskirstyto pagal eksponentinį dėsnį, pasiskirstymo funkcija pateikiama formule:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Taigi, matematinis lūkestis ir standartinis eksponentinio skirstinio nuokrypis yra lygūs vienas kitam.

Tikimybė, kad X pateks į intervalą (a;b), apskaičiuojama pagal formulę:

P(a<Х

2 užduotis. Vidutinis įrenginio veikimo laikas be gedimų yra 100 valandų. Darant prielaidą, kad įrenginio veikimo laikas be gedimų turi eksponentinį pasiskirstymo dėsnį, raskite:

a) tikimybių pasiskirstymo tankis;

b) paskirstymo funkcija;

c) tikimybę, kad įrenginio veikimo be gedimų laikas viršys 120 valandų.

Sprendimas: Pagal sąlygą matematinis skirstinys M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x, kai x≥0.

b) F(x)= 0 ties x<0,

1-e -0,01x, kai x≥0.

c) Naudodami paskirstymo funkciją randame norimą tikimybę:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1,2)=e-1,2≈0,3.

§ 3.Normalaus paskirstymo dėsnis

Apibrėžimas: Ištisinis atsitiktinis dydis X turi normalaus paskirstymo dėsnis (Gauso dėsnis), jei jo pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

kur m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Normaliojo pasiskirstymo kreivė vadinama normalioji arba Gauso kreivė (7 pav.)

Normalioji kreivė yra simetriška tiesės x=m atžvilgiu, jos maksimumas yra ties x=a, lygi .

Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija, paskirstyta pagal normalųjį dėsnį, išreiškiama Laplaso funkcija Ф (x) pagal formulę:

kur yra Laplaso funkcija.

komentaras: Funkcija Ф(x) yra nelyginė (Ф(-х)=-Ф(х)), be to, esant x>5 galime manyti, kad Ф(х) ≈1/2.

Pasiskirstymo funkcijos F(x) grafikas parodytas pav. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Tikimybė, kad absoliuti nuokrypio vertė yra mažesnė už teigiamą skaičių δ, apskaičiuojama pagal formulę:

Konkrečiai, m = 0 galioja ši lygybė:

„Trijų sigmų taisyklė“

Jei atsitiktinis dydis X turi normalaus skirstinio dėsnį su parametrais m ir σ, tai beveik neabejotina, kad jo reikšmė yra intervale (a-3σ; a+3σ), nes

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Naudokime formulę:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Iš funkcijų reikšmių lentelės Ф(х) randame Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413.

Taigi, norima tikimybė:

P(28

Savarankiško darbo užduotys

3.1. Atsitiktinis dydis X yra tolygiai pasiskirstęs intervale (-3;5). Rasti:

b) pasiskirstymo funkcija F(x);

c) skaitinės charakteristikos;

d) tikimybė P(4<х<6).

3.2. Atsitiktinis dydis X yra tolygiai paskirstytas segmente. Rasti:

a) pasiskirstymo tankis f(x);

b) pasiskirstymo funkcija F(x);

c) skaitinės charakteristikos;

d) tikimybė P(3≤х≤6).

3.3. Greitkelyje yra automatinis šviesoforas, kuriame žalias dega 2 minutes, geltonas 3 sekundes, raudonas 30 sekundžių ir tt Atsitiktiniu momentu greitkeliu važiuoja automobilis. Raskite tikimybę, kad automobilis nesustodamas pravažiuos pro šviesoforą.

3.4. Metro traukiniai reguliariai kursuoja 2 minučių intervalu. Keleivis į peroną patenka atsitiktiniu laiku. Kokia tikimybė, kad keleiviui traukinio teks laukti ilgiau nei 50 sekundžių? Raskite atsitiktinio dydžio X matematinį lūkestį – traukinio laukimo laiką.

3.5. Raskite pasiskirstymo funkcijos pateikto eksponentinio skirstinio dispersiją ir standartinį nuokrypį:

F(x)= 0 ties x<0,

1-8x, jei x≥0.

3.6. Nuolatinis atsitiktinis dydis X nurodomas tikimybių pasiskirstymo tankiu:

f(x)= 0 ties x<0,

0,7 e–0,7 x, kai x≥0.

a) Įvardykite nagrinėjamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį.

b) Raskite pasiskirstymo funkciją F(X) ir atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas.

3.7. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal eksponentinį dėsnį, nurodytą tikimybių pasiskirstymo tankiu:

f(x)= 0 ties x<0,

0,4 e–0,4 x, kai x≥0.

Raskite tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš intervalo (2,5;5).

3.8. Ištisinis atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal pasiskirstymo funkcijos nurodytą eksponentinį dėsnį:

F(x)= 0 ties x<0,

1-0,6x, kai x≥0

Raskite tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš segmento.

3.9. Normalaus pasiskirstymo atsitiktinio dydžio numatoma vertė ir standartinis nuokrypis yra atitinkamai 8 ir 2 Raskite:

a) pasiskirstymo tankis f(x);

b) tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš intervalo (10;14).

3.10. Atsitiktinis dydis X paprastai pasiskirsto su 3,5 matematiniu lūkesčiu ir 0,04 dispersija. Rasti:

a) pasiskirstymo tankis f(x);

b) tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš atkarpos .

3.11. Atsitiktinis dydis X paprastai pasiskirsto M(X)=0 ir D(X)=1. Kuris iš įvykių: |X|≤0,6 ar |X|≥0,6 yra labiau tikėtinas?

3.12. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto normaliai, kai M(X)=0 ir D(X)=1. Iš kurio intervalo (-0,5;-0,1) arba (1;2) yra didesnė tikimybė paimti reikšmę per vieną testą?

3.13. Dabartinę vienos akcijos kainą galima modeliuoti naudojant įprastą paskirstymo dėsnį, kai M(X)=10 den. vienetų ir σ (X)=0,3 den. vienetų Rasti:

a) tikimybė, kad dabartinė akcijos kaina bus nuo 9,8 den. vienetų iki 10,4 dienos vienetai;

b) naudodami „trijų sigmų taisyklę“ raskite ribas, kuriose bus dabartinė akcijų kaina.

3.14. Medžiaga sveriama be sisteminių klaidų. Atsitiktinėms svėrimo paklaidoms taikomas normalus dėsnis, kai vidutinis kvadratinis santykis σ=5g. Raskite tikimybę, kad keturių nepriklausomų eksperimentų metu trijų svėrimų paklaida neatsiras absoliučia verte 3r.

3.15. Atsitiktinis dydis X paprastai skirstomas M(X)=12,6. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą (11,4;13,8), yra 0,6826. Raskite standartinį nuokrypį σ.

3.16. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto normaliai, kai M(X)=12 ir D(X)=36 Raskite intervalą, į kurį atsitiktinis dydis X pateks atlikus testą su tikimybe 0,9973.

3.17. Automatine mašina pagaminta dalis laikoma sugedusia, jeigu jos valdomo parametro nuokrypis X nuo vardinės vertės viršija modulo 2 matavimo vienetus. Daroma prielaida, kad atsitiktinis dydis X yra normaliai pasiskirstęs, kai M(X)=0 ir σ(X)=0,7. Kiek procentų sugedusių dalių gamina mašina?

3.18. Dalies X parametras paskirstomas normaliai, matematinė tikėtis 2 lygi vardinei vertei ir standartinis nuokrypis 0,014. Raskite tikimybę, kad X nuokrypis nuo nominalios vertės neviršys 1% vardinės vertės.

Atsakymai

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0, jei x≤-3,

F(x)= kairėje>